Державний вищий навчальний заклад «Донбаський державний педагогiчний унiверситет» Мiнiстерство освiти i науки України Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В. Н. Каразiна Мiнiстерство освiти i науки України Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису Дзюба Марина Володимирiвна УДК 517.9 ДИСЕРТАЦIЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНI МАТРИЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI Спецiальнiсть 01.01.02 – «Диференцiальнi рiвняння» (Фiзико-математичнi науки) Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, результатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело. М.В. Дзюба Науковий керiвник Чуйко Сергiй Михайлович, доктор фiзико-математичних наук, професор. Харкiв – 2019 2 АНОТАЦIЯ Дзюба М. В. Диференцiально-алгебраїчнi матричнi крайовi задачi. — Квалiфiкацiйна наукова праця на правах рукопису. Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 — диференцiальнi рiвняння (Фiзикоматематичнi науки). — Державний вищий навчальний заклад «Донбаський державний педагогiчний унiверситет» Мiнiстерства освiти i науки України; Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В. Н. Каразiна Мiнiстерства освiти i науки України, Харкiв, 2019. Дисертацiя присвячена дослiдженню проблеми знаходження конструктивних умов iснування та побудовi розв’язкiв 1 × () ∈ C1 × {[, ] ∖ { } } := C {[, ] ∖ { } } ⊗ R матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач ′ () = ℬ () + (), ℒ (·) = A, Тут ̸= , = 1, 2, . . . , , A ∈ R× . ′ () : C1 × {[, ] ∖ { } } → C × {[, ] ∖ { } }, 0 := — матричний диференцiально-алгебраїчний оператор, який за визначенням для будь-яких скалярних функцiй (), () ∈ C1 {[, ] ∖ { } } та сталих матриць Ξ1 , Ξ2 ∈ R× забезпечує рiвнiсть ( ′ ()Ξ1 + ′ ()Ξ2 )() = ′ ()(Ξ1 )() + ′ ()(Ξ2 )(). Аналогiчно матричний оператор 1 ℬ () : C1 × {[, ] ∖ { } } → C × {[, ] ∖ { } } будемо далi називати алгебраїчним, якщо для будь-яких (), () ∈ C1 {[, ] ∖ { } }, має мiсце рiвнiсть Ξ1 , Ξ2 ∈ R× ℬ ( ()Ξ1 + ()Ξ2 )() = ()ℬ (Ξ1 )() + ()ℬ (Ξ2 )(). 3 Тут також () ∈ C × {[, ] ∖ { } } — неперервна для ̸= матриця та ℒ (·) — лiнiйний обмежений матричний функцiонал: ℒ (·) := де × ℒ (·) : C1 , × [ , +1 [→ R ∑︁ =0 × ℒ (·) : C1 , × {[, ] ∖ { } } → R = 1, 2, . . . , , = 0, . . . , − 1, × ℒ (·) : C1 × [ , ] → R — лiнiйнi обмеженi матричнi функцiонали. Взагалi кажучи, припускаємо , , , , , ∈ N — довiльнi натуральнi числа. Традицiйне вивчення перiодичних i нетерових крайових задач у критичних випадках було пов’язано з припущенням, що невiдома являє собою вектор-функцiю. У той же час дослiдження рiзноманiтних крайових задач, пов’язаних з численними застосуваннями в електронiцi, механiцi, теорiї стiйкостi руху, бiологiї та радiотехнiцi, теорiї нелiнiйних коливань, передбачає, необхiднiсть дослiдження саме матричних диференцiальноалгебраїчних крайових задач. Таким чином, основною вiдмiннiстю даної дисертацiї є знаходження конструктивних умов iснування та побудова розв’язкiв диференцiально-алгебраїчних крайових задач у припущеннi, що невiдома являє собою матричну функцiю. Матричний запис невiдомої узагальнює вигляд, як матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння, так i крайової умови. При дослiдженнi диференцiально-алгебраїчних крайових задач суттєвою перешкодою для використання традицiйних методiв вивчення перiодичних i нетерових крайових задач є той факт, що навiть задача Кошi для диференцiально-алгебраїчних систем, дослiджена С. Кемпбелом, А.М. Самойленком, М.О. Перестюком, Ю.Е. Бояринцевим, В.Ф. Чистяковим та О.А. Бойчуком, взагалi кажучи, не розв’язна для довiльних початкових значень. За допомогою апарату псевдообернених матриць в дисертацiї вдосконалено схему дослiдження задач про iснування та побудову розв’язкiв матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач. Для матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi ′ () = ℬ () + (), ℒ (·) = A, A ∈ R× 4 знайденi умови iснування, а також конструкцiя найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку 1 × () ∈ C1 . × [; ] := C [; ] ⊗ R Тут ′ () : C1 × [, ] → C × [, ] — матричний диференцiально-алгебраїчний оператор, який, за визначенням, для будь-яких скалярних функцiй (), () ∈ C1 [, ] та сталих матриць Ξ1 , Ξ2 ∈ R× забезпечує рiвнiсть ( ′ ()Ξ1 + ′ ()Ξ2 )() = ′ ()(Ξ1 )() + ′ ()(Ξ2 )(). Аналогiчно матричний оператор 1 ℬ () : C1 × [, ] → C × [, ] будемо далi називати алгебраїчним, якщо для будь-яких (), () ∈ C1 [, ], має мiсце рiвнiсть Ξ1 , Ξ2 ∈ R× ℬ ( ()Ξ1 + ()Ξ2 )() = ()ℬ (Ξ1 )() + ()ℬ (Ξ2 )(). Тут також () ∈ C × [, ] — неперервна матриця та ℒ (·) — лiнiйний обмежений матричний функцiонал: × ℒ (·)C1 . × [, ] → R Взагалi кажучи, припускаємо , , , , , ∈ N — довiльнi натуральнi числа. На прикладi матричного рiвняння Сильвестра ∑︁ =1 = , ∈ R× , ∈ R × , ∈ R× 5 продемонстровано ефективнiсть отриманих умов розв’язностi та схеми побудови розв’язкiв. Побудовано схему регуляризацiї матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра, яка суттєво вiдрiзняється вiд класичного методу регуляризацiї Тихонова. На прикладi матричних перiодичних та багатоточкових задач для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь продемонстровано ефективнiсть отриманих умов розв’язностi та схеми побудови розв’язкiв. Дисертацiйна робота складається з вступу, трьох роздiлiв, висновкiв, списку використаних джерел i списку публiкацiй. У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми, сформульовано мету дослiдження, подано короткий аналiз сучасного стану проблем, якi дослiджуються в дисертацiї, а також наведено загальний опис отриманих результатiв. Перший роздiл присвячено огляду наукових праць iз теорiї лiнiйних матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач у критичних випадках, а також наведено необхiднi вiдомостi з теорiї матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра. Проаналiзовано сучасний стан i встановлено перспективнiсть дослiдження матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач. Встановлено, що умови iснування та формули для побудови розв’язкiв матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра можуть бути застосованi при побудовi схем регуляризацiї цих рiвнянь, якi суттєво вiдрiзнятимуться вiд класичного методу регуляризацiї Тихонова. Встановлено, що умови iснування та формули для побудови розв’язкiв матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра можуть бути застосованi при дослiдженнi матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач, а також отриманi достатнiх умов регуляризацiї за рахунок, як виродженого, так i невиродженого iмпульсного збурення, нетерових крайових задач. У другому роздiлi: 1. Для матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра отриманi достатнi умови та побудовано схему регуляризацiї, яка узагальнює та суттєво вiдрiзняється вiд класичного методу регуляризацiї Тихонова. 2. Для лiнiйних нетерових крайових задач отриманi достатнi умови регуляризацiї за рахунок, як виродженого, так i невиродженого iм- 6 пульсного збурення, а також за допомогою iмпульсного впливу типу ”interface conditions”. 3. Для лiнiйних матричних крайових задач отриманi достатнi умови регуляризацiї за допомогою збурення крайової умови. Побудовано узагальнений оператор Грiна та знайдено вигляд збуреної крайової умови матричної крайової задачi. У третьому роздiлi: 1. Знайденi умови розв’язностi, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсним впливом, якi узагальнюють традицiйнi результати, як для матричних диференцiальних рiвнянь, так i для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь. 2. У випадку нерозв’язностi матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15), знайденi умови iснування, а також конструкцiя найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi. 3. У випадку розв’язностi матричної диференцiально алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15) для вiдповiдного вибору матрицi () знайденi умови iснування, а також конструкцiя найкращого (у сенсi найменших квадратiв) розв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi. Ключовi слова: диференцiально-алгебраїчнi крайовi задачi, матричнi рiвняння, диференцiально-алгебраїчнi рiвняння, псевдооберненi матрицi, узагальнений оператор Грiна. 7 ABSTRACT Maryna V. Dziuba. Differential-algebraic matrix boundary value problems. — Qualification scientific paper, manuscript. Thesis for a Candidate Degree in Physics and Mathematics: Speciality — 01.01.02 Differential Equations (Physical and Mathematical Sciences). — State High Educational Institution «Donbass State Pedagogical University», the Ministry of Education and Science of Ukraine; V. N. Karazin Kharkiv National University, the Ministry of Education and Science of Ukraine, Kharkiv, 2019. The thesis research is devoted to the study of the problem of finding constructive conditions for the existence and construction of solutions 1 × () ∈ C1 × {[, ] ∖ { } } := C {[, ] ∖ { } } ⊗ R of matrix differential-algebraic boundary value problems ′ () = ℬ () + (), ℒ (·) = A, where ̸= , = 1, 2, . . . , , A ∈ R× , ′ () : C1 × {[, ] ∖ { } } → C × {[, ] ∖ { } }, 0 := is linear matrix operator. By definition, for any scalar functions (), () ∈ C1 {[, ] ∖ { } } and any constant matrices Ξ1 , Ξ2 ∈ R× this operator guarantees the equality ( ′ ()Ξ1 + ′ ()Ξ2 )() = ′ ()(Ξ1 )() + ′ ()(Ξ2 )(). Similarly, the matrix operator 1 ℬ () : C1 × {[, ] ∖ { } } → C × {[, ] ∖ { } } is called algebraic if, for any scalar functions (), () ∈ C1 {[, ] ∖ { } }, and any constant matrices Ξ1 , Ξ2 ∈ R× the following equality is true: ℬ ( ()Ξ1 + ()Ξ2 )() = ()ℬ (Ξ1 )() + ()ℬ (Ξ2 )(). 8 Here, () ∈ C × {[, ] ∖ { } } is a matrix continuous for ̸= and ℒ (·) is a bounded linear matrix functional such that: ∑︁ =0 ℒ (·) := where × ℒ (·) : C1 , × {[, ] ∖ { } } → R = 1, 2, . . . , , × ℒ (·) : C1 , × [ , +1 [→ R = 0, . . . , − 1, × ℒ (·) : C1 × [ , ] → R is a bounded linear matrix functionals and, moreover, , , , , , ∈ N are arbitrary positive integers. The traditional study of periodic and Noetherian boundary-value problems in critical cases was associated with the assumption that the unknown is a vector-function. At the same time, the study of various boundary problems associated with numerous applications in electronics, mechanics, theory of motion stability, biology and radio engineering, the theory of nonlinear oscillations, implies the need to study the matrix of differential algebraic boundary problems. Thus, the main difference between this dissertation is the finding of constructive conditions of existence and construction of solutions of differential-algebraic boundary value problems in the assumption that the unknown is a matrix function. The matrix record of an unknown generalizes the form of a matrix differential-algebraic equation, as well as a boundary condition. In the study of differential algebraic boundary value problems, the fact that even the Cauchy problem for differential algebraic systems is a significant obstacle for the use of traditional methods of studying periodic and Noetherian boundary value problems is investigated by S. Campbell, A. M. Samoilenko, M. O. Perestyuk, Yu. E. Boyarintsev, V. F. Chistyakov and O. A. Boichuk, in general, does not solve for arbitrary initial values. With the help of the device of pseudo-inverse matrices in the dissertation, the scheme of investigations of the problem of the existence and construction of solutions of matrix differentialalgebraic boundary value problems was improved. 9 We use the scheme of the classical least-squares method for the construction of approximate pseudosolutions 1 × () ∈ C1 × [; ] := C [; ] ⊗ R of a linear matrix boundary-value problem for a system of differential-algebraic equations ′ () = ℬ () + (), ℒ (·) = A, Here, A ∈ R× . ′ () : C1 × [, ] → C × [, ] is a matrix differential-algebraic operator guaranteeing (by definition), for any scalar functions (), () ∈ C1 [, ] and constant matrices Ξ1 , Ξ2 ∈ R× the validity of the equality ( ′ ()Ξ1 + ′ ()Ξ2 )() = ′ ()(Ξ1 )() + ′ ()(Ξ2 )(). Similarly, a matrix operator 1 ℬ () : C1 × [, ] → C × [, ] is called algebraic if, for any (), () ∈ C1 [, ], the equality Ξ1 , Ξ2 ∈ R× ℬ ( ()Ξ1 + ()Ξ2 )() = ()ℬ (Ξ1 )() + ()ℬ (Ξ2 )() is true. Here, () ∈ C × [, ] is a continuous matrix and ℒ (·) is the linear bounded matrix functional: × ℒ (·) : C1 . × [, ] → R Generally speaking, we can assume that , , , , , ∈ N are arbitrary natural numbers. 10 An example of the Sylvester matrix equations ∑︁ =1 = , ∈ R× , ∈ R × , ∈ R× demonstrates the efficiency of the solvability conditions and the solutions for the construction of solutions. The scheme of regularization of the Lyapunov and Sylvester matrix equations is constructed, which differs significantly from the classical Tikhonov regularization method. On the example of matrix periodic and multipoint problems for differential algebraic equations, the efficiency of the obtained solvability conditions and the scheme of construction of solutions are demonstrated. In an introduction it is justified a theme relevance, the research objective is formulated, the short analysis of a current state of problems which are investigated in a thesis is presented, and also the general exposition of the received outcomes is reduced. The first section is devoted the review of scientific works from the theory of linear matrix is differential-algebraic boundary value problems in critical cases, and also necessary informations from the theory of the matrix equations of Lyapunov and Silvestra are reduced. The current state is analysed and perspectivity of research matrix differentially - algebraic boundary value problems is established. It is established that living conditions and formulas can be applied to construction of solutions of the matrix equations of Lyapunov and Sylvester at construction of schemes of a regularisation of these equations which will essentially differ from a classical method of a regularisation of Tikhonov. It is established that existence conditions and formulas can be applied to construction of solutions of the matrix equations of Lyapunov and Sylvester at research of matrix differentially-algebraic boundary value problems, and also the regularisations received sufficient conditions for the account, both singular and nonsingular impulse perturbation, Noether boundary value problems. In the second section: 1. For Lyapunov’s and Sylvester’s matrix equations the received sufficient conditions the scheme of a regularisation which generalises also is constructed and essentially differs from a classical method of a regularisation of Tikhonov. 11 2. For linear Noether boundary value problems the received sufficient conditions of a regularisation for the account, both impulse perturbation, and also by means of impulse perturbation of type "interface conditions". 3. For linear matrix boundary value problems the received sufficient conditions of a regularisation by means of perturbation of a boundary condition. It is constructed Green’s generalised operator and the aspect of a perturbed boundary condition of a matrix boundary value problem is discovered. In the third section: 1. The discovered conditions of resolvability, and also design of the generalised operator of Green matrix it is differentialan algebraic boundary value problem with impulse perturbation which generalise traditional outcomes, both for matrix differential equations, and for differential - the algebraic equations. 2. In case of unsolvability matrix it is differential - an algebraic boundary value problem (1.14), (1.15), the discovered living conditions, and also a design of the best (in sense of least squares) pseudo-solutions of matrix differentially-algebraic boundary value problem. 3. In case of resolvability of matrix differentially algebraic boundary value problem (1.14), (1.15) for a corresponding choice of a matrix () the discovered living conditions, and also a design of the best (in sense of least squares) solutions of matrix differentially-algebraic boundary value problem. Keywords: differential-algebraic boundary value problems, matrix equ- ations, differential-algebraic equations, pseudo-inverse matrices, generalized Green operator. 12 СПИСОК ПУБЛIКАЦIЙ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ Публiкацiї у фахових виданнях України i виданнях, що входять до мiжнародних наукометричних баз 1. Чуйко С. М. Про наближене розв’язання матричних диференцiальноалгебраїчних крайових задач методом найменших квадратiв / С. М. Чуйко, О. В. Нєсмєлова, М. В. Дзюба // Нелiнiйнi коливання. — 2019. — Т. 22, № 3. — С. 423—436. (Входить до мiжнародної наукометричної бази MathSciNet.) Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження умов iснування, а також конструкцiї найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi. 2. Чуйко С. М. Метод найменших квадратiв у теорiї матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач / С. М. Чуйко, О. В. Нєсмєлова, М. В. Дзюба // Український математичний журнал. — 2018. — T. 70, № 2. — С. 280—292. Переклад: Chuiko S. M. Least-squares method in the theory of matrix differentialalgebraic boundary-value problems / S. M. Chuiko, O. V. Nesmelova, M. V. Dzyuba // Ukrainian Mathematical Journal. — 2018. — V. 70, N 2. — P. 319—333. (Входить до мiжнародних наукометричних баз Scopus, Web of Science, MathSciNet, Zentralblatt MATH.) Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження умов iснування i конструкцiї найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiальноалгебраїчної крайової задачi. 3. Чуйко С. М. Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Нелiнiйнi коливання. — 2017. — T. 20, № 4. — C. 564—573. 13 Переклад: Chuiko S. M. Matrix differential-algebraic boundary-value problem with pulsed action / S. M. Chuiko, M. V. Dzyuba // Journal of Mathematical Sciences. — 2019. — V. 238, N 3. — P. 333—343. (Входить до мiжнародних наукометричних баз Scopus, MathSciNet, Zentralblatt MATH.) 4. Дзюба М. В. Про наближене розв’язання матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi методом найменших квадратiв / М. В. Дзюба // Працi Iнституту прикладної математики i механiки НАН України. — 2017. — T. 31. — С. 46—53. 5. Чуйко С. М. Регуляризацiя матричної крайової задачi за допомогою збурення крайової умови / С. М. Чуйко, О. В. Чуйко, М. В. Дзюба // Буковинський математичний журнал. — 2016. — Т. 4, № 1—2. — С. 145—151. (Входить до мiжнародної наукометричної бази Zentralblatt MATH.) Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження конструктивних умов регуляризацiї матричної крайової задачi за допомогою збурення крайової умови. 6. Чуйко С. М. Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа "interface conditions"/ С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — 2016. — Т. 30. — С. 143—154. Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження для лiнiйних нетерових крайових задач достатнiх умов регуляризацiї за допомогою iмпульсного впливу типу ”interface conditions”. 7. Чуйко С. М. Про регуляризацiю матричного рiвняння Сильвестра / С. М. Чуйко, О. В. Чуйко, М. В. Дзюба // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — 2015. — Т. 29. — С. 147—156. 14 Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження для матричного рiвняння Сильвестра достатнiх умов та схеми регуляризацiї. Науковi працi, що засвiдчують апробацiю матерiалiв дисертацiї: 8. Chuiko S. About an approximate solution of matrix differential-algebraic boundary-value problems with a least-squares method / S. Chuiko, O. Nesmelova, M. Dzuba // Differential equations and control theory, 25–27 September 2018 : Book of Abstracts. — Kharkiv, 2018. — P. 18. 9. Чуйко С. Матрична iмпульсна диференцiально-алгебраїчна крайова задача / С. Чуйко, М. Дзюба // Сучаснi проблеми математики та її застосування в природничих науках i iнформацiйних технологiях, 17–19 вересня 2018 р. : матерiали мiжнар. наук. конф. — Чернiвцi, 2018. — С. 113. 10. Чуйко С. М. Матричная импульсная дифференциально-алгебраическая краевая задача / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Международная летняя математическая школа памяти В. А. Плотникова, 11–16 июня 2018 г. : тезисы докл. — Одесса, 2018. — С. 84. 11. Чуйко С. М. Матрична iмпульсна диференцiально-алгебраїчна крайова задача / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Мiжнародна конференцiя молодих математикiв, присвячена 100-рiччю з дня народження академiка НАН України Ю. О. Митропольського, 7–10 червня 2017 р. : тези доп. — Київ, 2017. — С. 109. 12. Чуйко С. М. Матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача з iмпульсним впливом / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Теорiя наближення функцiй та її застосування, 28 травня–3 червня 2017 р. : тези доп. мiжнар. конф. — Слов’янськ, 2017. — С. 95. 13. Chuiko S. M. On a regularization method for solving matrix Sylvester equation / S. M. Chuiko, M. V. Dzuba // Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation, 24–26 May 2017 : Abstracts of XVIII Intern. Conf. Reports. — Kyiv, 2017. — P. 24. 15 14. Чуйко О. Про регуляризацiю матричної крайової задачi збуренням крайової умови / О. Чуйко, М. Дзюба // Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування, 28–30 вересня 2016 р. : матерiали мiжнар. конф. — Чернiвцi, 2016. — С. 99. 15. Chuiko S. M. On regularization method for solving linear matrix Sylvester equation / S. M. Chuiko, M. V. Dzuba // International Conference on Differential Equations, dedicated to the 110-th anniversary of Ya. B. Lopatynsky, 20–24 September 2016 : Book of Abstracts. — Lviv, 2016. — Р. 39. 16. Чуйко С. М. Регуляризация матричного уравнения Сильвестра / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // ХI Мiжнародна математична лiтня школа «Алгебра, топологiя, аналiз», 1–14 серпня 2016 р. : тези доп. — Одеса, 2016. — С. 142. Особистий внесок здобувача. У спiльних роботах iз науковим керiв- ником С. М. Чуйком, а також з О. В. Чуйко, О. С. Чуйком та О. В. Нєсмєловою автору дисертацiї належать результати, якi полягають у знаходженнi необхiдних i достатнiх умов iснування розв’язкiв та регуляризацiї матричних крайових задач для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь. Спiвавторам належить участь у постановцi задач, консультацiї з вибору методологiї дослiдження, обговорення отриманих результатiв та висновкiв. 16 ЗМIСТ ПЕРЕЛIК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ВСТУП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 РОЗДIЛ 1. ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ З ТЕОРIЇ ЛIНIЙНИХ МАТРИЧНИХ РIВНЯНЬ ТА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОАЛГЕБРАЇЧНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . . . . . . . . 25 . . . 25 1.1 1.2 1.3 Огляд лiтератури з теорiї лiнiйних матричних рiвнянь Оператор Грiна задачi Кошi диференцiально-алгебраїчної крайової задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Оператор Грiна матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Висновки до роздiлу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 РОЗДIЛ 2. РЕГУЛЯРИЗАЦIЯ МАТРИЧНИХ РIВНЯНЬ ТА НЕТЕРОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . . . . . . . . 48 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Регуляризацiя матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра . 48 Регуляризацiя нетерових крайових задач за допомогою виродженого iмпульсного збурення . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Регуляризацiя перiодичних крайових задач за допомогою iмпульсного збурення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Регуляризацiя лiнiйної нетерової крайової задачi за допомогою iмпульсного впливу типу ”interface conditions” . . . . . . 76 Регуляризацiя матричної крайової задачi за допомогою збурення крайової умови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Висновки до роздiлу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 РОЗДIЛ 3. МАТРИЧНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.1 3.2 3.3 Матричнi диференцiально-алгебраїчнi крайовi задачi з iмпульсним впливом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Метод найменших квадратiв у теорiї матричних диференцiальноалгебраїчних крайових задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Випадок нерозв’язностi системи (1.16) вiдносно похiдної . . 116 17 3.4 Розв’язання матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi методом найменших квадратiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Висновки до роздiлу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 ВИСНОВКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ . . . . . . . . . . . . . . . . 134 ДОДАТОК А. Допомiжнi приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 ДОДАТОК Б. Список публiкацiй здобувача за темою дисертацiї . . 163 18 ПЕРЕЛIК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ C× [, ] 1 C [︂ × ]︂[, ] простiр дiйсних, неперервних матриць простiр неперервно диференцiйовних матриць c. 42 c. 41 c. 37 c. 37 c. 62 c. 62 c. 63 c. 37 c. 37 c. 28 c. 27 c. 61 c. 120 [︂ ]︂ 1 =1 [︂ ]︂ () () оператор Грiна задачi Кошi [︂ ]︂ (); () узагальнений оператор Грiна задачi Кошi [︂ ]︂ (); () узагальнений оператор Грiна [︂ ]︂ матриця := 1 ⊗ ∈ R×· [︂ ]︂ {︂ }︂ матриця 1 := ∈ R1× [︂ ]︂ ℳ[] ℳ−1 [] + 0 () )︂ (︂ Γ (·) ϒ Ξ( ) оператор : R× → R· оператор : R· → R× ортопроектор матрицi псевдообернена за Муром-Пенроузом матриця нормальна фундаментальна матриця матриця Грама системи векторiв Φ() символ Кронеккера вектор ϒ := (︂ 1 0 0 ... 1 0 0 ... 0 1 )︂* c. 37 ∈ R 2 ×1 c. 37 c. 36 природний базис простору 19 ВСТУП Обґрунтування вибору теми дослiдження. Систематичному ви- вченню диференцiально-алгебраїчних крайових задач присвяченi роботи С. Кемпбелла, В. Ф. Бояринцева, В. Ф. Чистякова, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, В. П. Яковця, О. А. Бойчука та I. М. Черевка [17, 56, 62, 63, 112, 113, 114, 148, 149]. В той же час дослiдження диференцiально-алгебраїчних крайових задач започатковане значно ранiше у роботах К. Вейєрштрасса, М. М. Лузiна та Ф. Р. Гантмахера [23, 46, 160]. Вивчення матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач пов’язане з численними застосуваннями таких задач у теорiї нелiнiйних коливань, у механiцi, бiологiї, радiотехнiцi, теорiї керування, теорiї стiйкостi руху [56, 63, 112, 113, 114, 134, 135, 136, 142, 148, 149]. В останнi роки значна увага придiляється дослiдженню крайових задач, лiнiйна частина яких не є оборотним оператором, i, зокрема, тому випадку, коли число крайових умов не збiгається з розмiрнiстю розв’язку. Зауважимо, що у науковiй лiтературi цей клас крайових задач дiстав назву нетерових. Дослiдженню рiзних аспектiв теорiї лiнiйних i слабконелiнiйних нетерових крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь, систем iз запiзненням аргументу, з iмпульсною дiєю, iнтегро-диференцiальних систем, матричних диференцiальних рiвнянь з допомогою апарату узагальнено-обернених операторiв присвяченi роботи А. М. Самойленка, О. А. Бойчука, В. П. Журавльова, С. М. Чуйка, С. А. Кривошеї, Л. I. Каранджулова та iнших авторiв [7, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 107, 109, 110, 133]. Лiнiйнi та нелiнiйнi матричнi алгебраїчнi рiвняння [30] широко використовуються при розв’язаннi диференцiальних рiвнянь Рiккатi та Бернуллi, в теорiї стiйкостi руху, у теорiї оптимального керування, варiацiйному численнi [33], а також у задачах на вiдновлення та покращення зображень [154, 155]. Отже, актуальною проблемою є перенесення результатiв, отриманих у статтях та монографiях А. М. Самойленка, О. А. Бойчука та С. А. Кривошеї [11, 107, 109, 110], на лiнiйнi крайовi задачi для диференцiально- 20 алгебраїчних рiвнянь, а також, на лiнiйнi матричнi диференцiально-алгебраїчнi крайовi задачi, зокрема, знаходження необхiдних та достатнiх умов iснування шуканих розв’язкiв, а також, конструкцiї оператора Грiна задачi Кошi та узагальненого оператора Грiна. Мета i завдання дослiдження. Метою дисертацiйної роботи є ви- значення конструктивних умов iснування та побудова алгоритмiв знаходження розв’язкiв матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач, для яких вiдповiдний оператор не має оберненого. Об’єктом дослiдження дисертацiйної роботи є матричнi диференцiально-алгебраїчнi крайовi задачi. Предметом дослiдження дисертацiйної роботи є необхiднi i достатнi умови iснування розв’язкiв матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач у критичних випадках. Завданнями дослiдження є: – для матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра побудувати схему регуляризацiї; – для наближеного розв’язання матричного рiвняння Рiккатi побудувати iтерацiйну схему за класичною схемою методу найменших квадратiв, а також знайти умови її збiжностi до шуканого розв’язку; – знайти умови розв’язностi, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсним впливом; – для лiнiйних нетерових крайових задач отримати достатнi умови регуляризацiї за рахунок, як виродженого, так i невиродженого iмпульсного збурення, а також за допомогою iмпульсного впливу типу «interface conditions»; – у випадку нерозв’язностi матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi знайти умови iснування, а також конструкцiю найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi. Методи дослiдження. У роботi суттєво використовується апарат псевдообернення (за Муром-Пенроузом) матриць [2, 11, 12, 23, 41, 65, 21 110, 146, 155], конструкцiї узагальнених операторiв Грiна, побудованi в роботах А. М. Самойленка та О. А. Бойчука [10, 11, 16] та метод найменших квадратiв, розвинений для лiнiйних крайових задач у роботах М. М. Крилова, М. М. Боголюбова, М. П. Кравчука [22, 37, 40, 77]. При розв’язаннi проблем регуляризацiї некоректно поставлених лiнiйних матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач суттєво використовується метод узагальнених операторiв Грiна, побудований у роботах А. М. Самойленка та О. А. Бойчука [10, 11, 16, 110], а також технiка регуляризацiї некоректно поставлених крайових задач, розвинута у роботах С. Г. Крейна [38], А. М. Тихонова, В. Я. Арсенiна [61] та школою професора М. В. Азбелева [1]. Рiзним аспектам теорiї крайових задач присвяченi роботи А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, Є. О. Гребенiкова, Ю. О. Рябова, О. А. Бойчука, М. Й. Ронто та багатьох iнших вчених [12, 26, 36, 45, 48, 49, 64]. Серед iноземних вчених теорiї крайових задач присвяченi роботи таких науковцiв як G. D. Birkhoff, G. A. Bliss, D. Bainov, R. Conti, J. Hale, W. T. Reid, O. Veivoda, S. Schwabik, T. Vogel, D. Wexler та iн. [131, 137, 138, 139, 140, 152, 156, 157, 158, 159], зокрема, теорiї крайових задач для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь: S. L. Campbell, Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [17, 63, 108, 113, 115, 116]. Цi методи застосовуються при аналiзi крайових задач для рiзних класiв систем: крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь, матричних крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь, для операторних рiвнянь у функцiональних просторах [52]. Наукова новизна отриманих результатiв. Основнi результати, якi визначають наукову новизну й виносяться на захист, наступнi. 1) Для матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра побудовано схему регуляризацiї, яка суттєво вiдрiзняється вiд класичного методу регуляризацiї Тихонова. Для наближеного розв’язання матричного рiвняння Рiккатi побудовано iтерацiйну схему за класичною схемою методу найменших квадратiв, а також знайденi умови її збiжностi до шуканого розв’язку. 2) Знайденi умови розв’язностi, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсним впливом, якi узагальнюють традицiйнi результати, як 22 для матричних диференцiальних рiвнянь, так i для диференцiальноалгебраїчних рiвнянь. Для лiнiйних нетерових крайових задач отриманi достатнi умови регуляризацiї за рахунок, як виродженого, так i невиродженого iмпульсного збурення, а також за допомогою iмпульсного впливу типу ”interface conditions”. 3) У випадку нерозв’язностi матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi знайденi умови iснування, а також конструкцiя найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi, якi узагальнюють традицiйнi результати, як для матричних диференцiальних рiвнянь, так i для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь. Особистий внесок здобувача. Усi результати дисертацiйної ро- боти здобувач отримала самостiйно. З 16 наукових публiкацiй за темою дисертацiї роботу [31] пiдготовлено без спiвавторiв. У спiльних роботах iз науковим керiвником С.М. Чуйком автору дисертацiї належать основнi результати, якi полягають у знаходженнi необхiдних i достатнiх умов iснування розв’язкiв та регуляризацiї матричних крайових задач для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь. У спiльних роботах iз О. В. Чуйко [93, 97] спiвавтору належить участь у постановцi задач, консультацiї з вибору методологiї дослiдження. У спiльнiй роботi iз О. С. Чуйком [94] спiвавтору належить участь у постановцi задач. У спiльних роботах iз О.В. Нєсмєловою [103, 104] спiвавтору належить участь у постановцi задач, обговорення отриманих результатiв та висновкiв. Апробацiя матерiалiв дисертацiї. Основнi результати дисертацiї доповiдались та обговорювались на таких конференцiях i семiнарах: 1. Мiжнароднiй математичнiй лiтнiй школi «Алгебра, топологiя, аналiз» (м. Одеса, 1—14 серпня 2016 р.); 2. International conference on Differential Equations, dedicated to the 110th anniversary of Ya. B. Lopatynsky (Lviv, Ukraine, 20—24 September, 2016); 3. Мiжнароднiй науковiй конференцiї «Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування» (м. Чернiвцi, 28—30 вересня 2016 р.); 23 4. Спiльних засiданнях семiнару IПММ НАН України та кафедри математики та iнформатики ДВНЗ «Донбаський державний педагогiчний унiверситет» (4 травня 2017 р., 10 серпня 2017 р., 1 грудня 2017 р., 5 березня 2018 р. та 4 сiчня 2019 р.); 5. Мiжнароднiй науковiй конференцiї «Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation» (м. Київ, 24—26 травня 2017 р.); 6. Мiжнароднiй науковiй конференцiї «Теорiя наближення функцiй та її застосування» (м. Слов’янськ, 28 травня—3 червня 2017 р.); 7. Мiжнароднiй науковiй конференцiї молодих математикiв, присвяченiй 100-рiччю з дня народження академiка НАН України Ю.О. Митропольського (м. Київ 7—10 червня 2017 р.); 8. Мiжнароднiй науковiй конференцiї пам’ятi В.А. Плотнiкова (м. Одеса, 11—16 червня 2018 р.); 9. The Seventh International Workshop «Constructive methods for nonlinear boundary value problems» (Miskolc, Hungary, 5—8 July, 2018); 10. Мiжнароднiй науковiй конференцiї «Сучаснi проблеми математики та її застосування в природничих науках й iнформацiйних технологiях» (Чернiвцi, 17—19 вересня 2018 р.); 11. 3-rd International Scientific Conference «Differential equations and control theory» (Kharkiv, 25—27 September, 2018); 12. Засiданнi семiнару вiддiлу диференцiальних рiвнянь Iнституту математики НАН України 8 квiтня 2019 р. (керiвник семiнару академiк НАН України А. М. Самойленко); 13. Засiданнi семiнару кафедри прикладної математики Харкiвського нацiонального унiверситету iменi В.Н. Каразiна 12 червня 2019 р. (керiвник семiнару доктор фiз.-мат. наук, професор В. I. Коробов). Результати дисертацiї опублiковано в статтях та тезах доповiдей на мiжнародних наукових конференцiях та семiнарах [69, 95, 98, 99, 101, 102, 122, 123, 130]. 24 Публiкацiї. Всi основнi результати роботи в повнiй мiрi опублiкова- нi у фахових виданнях, пройшли апробацiю на наукових конференцiях та семiнарах. За темою дисертацiї у наукових фахових виданнях України опублiковано 7 статей [31, 93, 94, 97, 100, 103, 104], двi з яких [100, 103] перевидано англiйською мовою у виданнях, що реферуються в наукометричних базах Scopus, Web of Science, MathSciNet, Zentralblatt MATH, i 9 тез доповiдей на мiжнародних наукових конференцiях. Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiя складається зi вступу, трьох роздiлiв, висновкiв, списку використаних джерел, який мiстить 160 найменувань, та двох додаткiв. Повний обсяг роботи – 166 сторiнок. Роздiл 1, присвячений огляду лiтератури, займає 23 сторiнки. Практичне значення отриманих результатiв. Дисертацiйна робо- та має теоретичний характер. Отриманi результати можуть бути використанi в подальших дослiдженнях у якiснiй теорiї диференцiальних рiвнянь, електронiцi, механiцi та теорiї стiйкостi руху. Результати роботи успiшно використовуються в навчальному процесi в ДВНЗ «Донбаський державний педагогiчний унiверситет». Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота здiйснювалась згiдно з планом наукової роботи ДВНЗ «Донбаський державний педагогiчний унiверситет», планом дослiджень спiльної iз ДВНЗ «Донбаський державний педагогiчний унiверситет» мiжвiдомчої лабораторiї «Крайовi задачi теорiї диференцiальних рiвнянь» Iнституту математики НАН України та пов’язана з тематичним планом фундаментальної наукової роботи «Конструктивнi методи аналiзу матричних крайових задач для систем диференцiальних, функцiонально-диференцiальних та диференцiально-алгебраїчних рiвнянь i теорiї наближень» (реєстрацiйний № 0118U003390), яка фiнансується з коштiв державного бюджету й виконується в ДВНЗ «Донбаський державний педагогiчний унiверситет». Автор висловлює щиру подяку науковому керiвнику — доктору фiз.мат. наук, професору С.М. Чуйку за постiйну увагу до роботи та обговорення одержаних результатiв, а також вдячна академiку НАН України, доктору фiз.-мат. наук, професору А.М. Самойленку i члену-кореспонденту НАН України, доктору фiз.-мат. наук, професору О.А. Бойчуку за увагу до роботи. 25 РОЗДIЛ 1 ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ З ТЕОРIЇ ЛIНIЙНИХ МАТРИЧНИХ РIВНЯНЬ ТА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 1.1 Огляд лiтератури з теорiї лiнiйних матричних рiвнянь Лiнiйнi та нелiнiйнi матричнi алгебраїчнi рiвняння [30] широко використовуються при розв’язаннi диференцiальних рiвнянь Рiккатi та Бернуллi [42, 107, 147], в теорiї стiйкостi руху [24, 60, 132], у теорiї оптимального керування, варiацiйному численнi [33], а також у задачах на вiдновлення та покращення зображень [154, 155]. Позначимо , дiйснi -вимiрнi вектори. Як вiдомо, множина Ω усiх дiйсних -вимiрних векторiв утворює лiнiйний простiр [19]. Означення 1.1.1. Нормою вектора ∈ Ω називають дiйсне число, яке задовольняє наступним аксiомам: 1∘ |||| ≥ 0; |||| = 0, тодi i тiльки тодi, коли = 0; 2∘ |||| = || · |||| (аксiома однорiдностi); 3∘ || + || ≤ |||| + || || (нерiвнiсть трикутника). Норму вектора у просторi Ω можна визначити, як |||| := Означення 1.1.2. (︃ ∑︁ =1 1 )︃ | | . Норму |||| для ≥ 1 називають нормою Гельде- ра, зокрема, для = 2 — евклидовою нормою: ⎯ ⎸ ⎸∑︁ ||||2 := ⎷ | |2 . =1 Означення 1.1.3. Лiнiйний простiр Ω усiх дiйсних -вимiрних ве- кторiв iз визначеною на ньому нормою називають нормованим простором R . 26 Означення 1.1.4. Лiнiйний простiр дiйсних -вимiрних векторiв iз нормою ||||2 називають евклiдовим простором E . Означення 1.1.5. Норму |||| для → ∞ називатимемо макси- мальною нормою: ||||∞ := max | |. 1≤≤ Означення 1.1.6. Норму ||||2 називають сферичною, а норму ||||∞ — кубiчною. Позначимо та дiйснi ( × )-вимирнi матрицi. Множину Ω× усiх дiйсних ( × )-вимiрних матриць утворює лiнiйний простiр [19]. Означення 1.1.7. Нормою матриць ∈ Ω× та ∈ Ω× назива- тимемо дiйсне число, яке задовольняє аксiомам: 1∘ |||| ≥ 0; |||| = 0, тодi i тiльки тодi, коли = 0; 2∘ |||| = || · |||| (аксiома однорiдностi); 3∘ || + || ≤ |||| + || || (нерiвнiсть трикутника). Означення 1.1.8. За умови || || ≤ |||| · || || норму матриць ∈ Ω× та ∈ Ω × назвемо мультиплiкативною. У випадку |||| ≤ |||| · |||| норми матрицi ∈ Ω× та вектора ∈ Ω назвемо узгодженими. Норму матрицi := ( ) у просторi Ω× можна визначити, як [19] ⎯ ⎸ , ⎸ ∑︁ |||| := ⎷ | |2 . , =1 Означення 1.1.9. Норму |||| матрицi ∈ Ω× називатимемо евклiдовою, а також нормою Фробенiуса. Означення 1.1.10. Норму |||| матрицi ∈ Ω× за умови |||| := max |||| ||||=1 називають пiдпорядкованi нормi вектора ∈ Ω . Лема 1.1.1. Норма Фробенiуса узгоджена з евклидовою нормою, але не пiдпорядкована їй. 27 Лема 1.1.2. Спектральна норма √ ||||2 := * , * := max , 1≤ ≤ 1 , 2 , ... , ∈ (* ) пiдпорядкована евклидовiй нормi. Лема 1.1.3. Норма ||||1 := max ∑︁ =1 1≤ ≤ | | матрицi ∈ Ω× пiдпорядкована нормi ||||1 . Лема 1.1.4. Норма ||||∞ := max ∑︁ =1 1≤≤ | | матрицi ∈ Ω× пiдпорядкована нормi ||||∞ . И, нарештi, нам стануть в нагодi позначення [35, c. 160] ||()||C[,] := sup |()|, ∈[,] крiм того ||()||C1 [,] := sup |()| + sup |′ ()|, ∈[,] ∈[,] ||()||C2 [,] := sup |()| + sup |′ ()| + sup |′′ ()|. ∈[,] ∈[,] ∈[,] Наведемо необхiднi вiдомостi з лiнiйної алгебри. Означення 1.1.11. Для матрицi ∈ R× матрицю + ∈ R× за умов + = , + + = + , (+ )* = + , (+ )* = + називатимемо псевдооберненою за Муром – Пенроузом. Оскiльки псевдообернена за Муром – Пенроузом матриця може бути однозначно знайдена з наведених рiвностей, їх називають рiвняннями Мура – Пенроуза [23]. 28 Означення 1.1.12. Кiстковим розвиненням матрицi називають добуток = · , де матриця ∈ R×1 та матриця ∈ R1 × — повного рангу: rank = rank = rank = 1 . Для знаходження псевдооберненої матрицi стане у нагодi формула + = + + = * ( * )−1 (* )−1 * , де = — кiсткове розвинення матрицi . Псевдообернена матриця iснує для будь – якої матрицi, крiм того, вона єдина [21, 23]. Означення 1.1.13. Ортопроектором ∈ R× для матрицi ∈ R× називатимемо матрицю [10, 110] = 0, [ ]* = , [ ]2 = . Ортопроектори та * можна знайти за допомогою формули * = − + , = − + . Означення 1.1.14. Нуль-простором N() матрицi ∈ R× нази- вають множину векторiв ∈ R , для яких = 0. Аналогiчно визначимо нуль-простiр N(* ): {︂ }︂ N(* ) = ∈ R : * = 0 . Теорема 1.1.1. Алгебраїчна система = , ∈ R (1.1) з матрицею ∈ R× розв’язна тодi й тiльки тодi, коли * = 0. За умови (1.2), розв’язок системи (1.1) має зображення (1.2) = + + , ∈ R . (1.3) 29 Позначимо = · — кiсткове розвинення матрицi ; тут ( × )− матриця та ( × )− матриця − повного рангу: rank = rank = rank = . Як вiдомо [4], будь-яка ( × )− вимiрна матриця у певному базисi може бути зображена у виглядi = Φ · · Ψ, rank := ; (1.4) тут Φ ∈ R× та Ψ ∈ R× — невиродженi матрицi, (︃ := )︃ = · , := (︃ )︃ , := (︁ )︁ . Розвинення (1.4) у подальшому будемо називати стандартним розвиненням матрицi . Стандартне розвинення суттєво вiдрiзняється вiд сингулярного розвинення [113]. Для одержання стандартного розвинення стане в нагодi наступне твердження [121]. Лема 1.1.5. Будь-яка матриця ∈ R× може бути зображена у виглядi (1.4); тут Φ ∈ R× та Ψ ∈ R× — невиродженi матрицi: (︃ )︃ )︁ (︁ * , Ψ := ; Φ := − − − − * ∈ R×(−) утворена з − лiнiйно незалежних стовматриця − пцiв ортопроектора * : R× → N(* ), матриця − ∈ R(−)× утворена з − лiнiйно незалежних рядкiв ортопроектора : R× → N( ), крiм того − ∈ R(−)×(−) та − ∈ R(−)×(−) — довiльнi невиродженi матрицi. Припустимо, що матрицi Φ ∈ R× та Ψ ∈ R× невiдомi; їх визначають рiвняння Φ = , Ψ = ; (1.5) 30 тут ( × )− матриця та ( × )− матриця − повного рангу, якi визначають кiсткове розвинення матрицi . Перше з рiвнянь (1.5) рiвнозначне наступному: * Φ* = * . Обидва рiвняння (1.5) розв’язнi внаслiдок повноти рангу матриць та i визначають сiм’ю матриць Φ = * + * , тут * та — ортопроектори: Ψ = * + ; * : R× → N(* ), (1) (1) : R× → N( ), ∈ R×(−) та ∈ R(−)× — довiльнi матрицi. Зазначимо, що матрицi Φ ∈ R× та Ψ ∈ R× квадратнi: (︃ )︃ (︁ )︁ (1) Φ = , Ψ= , (1) причому ( × )− матриця та ( × )− матриця — повного рангу, тому за умови повноти рангу матриць , (1) (1) та у випадку лi(1) нiйної незалежностi стовпцiв матрицi вiд стовпцiв матрицi , а також у випадку лiнiйної незалежностi рядiв матрицi вiд рядкiв матрицi , — невиродженi. Очевидно, що стовпцi матрицi ортогональнi до стовпцiв матрицi-ортопроектора * , а отже, лiнiйно незалежнi, тому якщо − ∈ R(−)×(−) — довiльна невироджена матриця, то добуток * − — матриця повного рангу, при цьому стовпцi матрицi ортого− * нальнi до стовпцiв матрицi − , а отже, лiнiйно незалежнi. Таким − (1) чином отримуємо невироджену матрицю Φ. Аналогiчно, рядки матрицi ортогональнi до стовпцiв матрицi-ортопроектора , а отже, лiнiйно незалежнi, тому якщо − ∈ R(−)×(−) — довiльна невироджена матриця, то добуток − − — матриця повного рангу, при цьому рядки матрицi ортогональнi до стовпцiв матрицi − − , а отже, лiнiйно незалежнi. Таким чином отримуємо невиродженi матрицi Φ та Ψ, якi утворюють розвинення (1.4). Таким чином, лему доведено. Cтандартне розвинення (1.4) можна застосувати для розв’язання систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (1.1). Дiйсно, згiдно лемi 1.1.5, матриця ∈ R× у певному базисi може бути зображена у виглядi (1.4): = Φ · · Ψ, rank := ≤ min(, ); 31 тут Φ ∈ R× та Ψ ∈ R× — невиродженi матрицi, (︃ := )︃ ∈ R× . Система алгебраїчних рiвнянь (1.1) равнозначна наступнiй = , Позначимо вектори := Φ−1 , := Ψ. := ( ) ∈ R , та := ( ) ∈ R , := − := ( ) ∈ R , := ( ) ∈ R . У нових позначеннях рiвняння (1.1) розв’язне за умови = 0 для довiльного ∈ R у виглядi = . У вихiдних позначеннях рiвняння (1.1) розв’язне за умови (︃ * = 0, Позначивши матрицю * := )︃ Φ−1 . * := ( ) Φ−1 ∈ R× , отримуємо необхiдну i достатню умову розв’язностi рiвняння (1.1): * = 0; при цьому (1.6) = * Φ−1 + ( )* , отже = Ψ−1 * Φ−1 + Ψ−1 ( )* , Позначимо матрицi ∈ R . † := Ψ−1 * Φ−1 , := Ψ−1 ( )* . Умови розв’язностi та структуру загального розв’язку системи (1.1) визначає наступне твердження. 32 Теорема 1.1.2. Задача про знаходження розв’язкiв системи лiнiй- них алгебраїчних рiвнянь вигляду (1.1) розв’язна тодi i тiльки тодi, коли виконується умова (1.6), при цьому загальний розв’язок системи (1.1) має зображення = † + , Тут ∈ R . = Φ · · Ψ, — невиродженi матрицi. rank := — стандартне розвинення матрицi ∈ R× та Φ ∈ R× й Ψ ∈ R× Зазначимо, що традицiйна умови розв’язностi системи (1.1) рiвнозначна до теореми 1.1.2, оскiльки матрицi (︃ * ∈ R× , визначають ортопроектори := Ψ−1 )︃ ∈ R× * : R → N(* ), причому, взагалi кажучи, : R → N(), * ̸= * , ̸= . Лема 1.1.6. Ортопроектор пов’язаний з проектором насту- пним чином (︃ = , := × × × × )︃ , × ∈ R× , × ∈ R× ; матрицi × та × визначають спiввiдношення 2 = , * = . Дiйсно, (︃ := Φ · · Ψ · Ψ−1 )︃ =Φ· (︃ )︃ (︃ )︃ = 0, 33 отже, матриця являє собою проектор : R → N(). Невiдому матрицю ∈ R× шукатимемо у виглядi (︃ := × × × × )︃ . Оскiльки добуток не залежить вiд блокiв × та × , має сенс покласти × = 0 та × = 0. Таким чином, ортопроектор являє собою лiнiйну комбiнацiю стовпцiв проектора . Лема 1.1.7. Ортопроектор * пов’язаний з матрицею * насту- пним чином * = * , матрицi )︀* := Φ−1 (︀ (︃ × × × × )︃ ; × ∈ R× , × ∈ R× визначають спiввiдношення 2 * = * , * * = * . Невiдому матрицю визначає рiвнiсть (︃ * * = Ψ* * Φ* Позначимо матрицю := Φ* ; тут × × × )︃ Φ−1 . )︃ Φ−1 . (︃ := × × × Добуток * * = 0 матиме мiсце за умови × = 0 та × = 0; матрицi × та × визначають спiввiдношення 2 * = * , * * = * . Таким чином, ортопроектор * являє собою лiнiйну комбiнацiю рядкiв матрицi * . Зазначимо, що матриця † , взагалi кажучи, не спiвпадає з псевдооберненою за Муром-Пенроузом. Це випливає з нерiвностей (︃ † )︃* ̸= † , (︃ )︃* ̸= † ; † 34 тут (︃ † = Φ )︃ Φ−1 , † = Ψ−1 (︃ )︃ Ψ. В той же час, матриця † — одна з напiвобернених до вихiдної матрицi . Дiйсно, з попереднiх рiвностей випливає наступна † = , отже, матриця † — напiвобернена до матрицi . Бiльш того, матриця † — iнверсно-напiвобернена, оскiльки [17, c. 20] † † = † . Таким чином, доведено наступне твердження. Лема 1.1.8. Матриця † := Ψ−1 * Φ−1 — iнверсно напiвобернена до матрицi . Поставимо наступну задачу: чи можна у критичному випадку малим збуренням привести алгебраїчну систему (1.1) з ( × )− матрицею до некритичного випадку? Таким чином поставлена задача вiдноситься до задач про регуляризацiю [1, 10, 38, 61]. Припустимо задачу про знаходження розв’язкiв системи (1.1) некоректно поставленою, а саме: припустимо, що система (1.1) не має розв’язкiв для довiльної неоднорiдностi ∈ R , iнакше кажучи, припустимо, що має мiсце нерiвнiсть * ̸= 0. При дослiдженнi задачi про регуляризацiю можна скористатися стандартним розвиненням (1.4); збурення матрицi будемо шукати у виглядi := + ℛ. Система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь = , := + ℛ, ℛ ∈ R× , 0 < ≪ 1 (1.7) буде приведена до некритичного випадку за умови * = 0. Позначимо матрицю (︃ Π := )︃ ∈ R× , rank := − . 35 Позначимо − матрицю, утворену з лiнiйно-незалежних рядкiв ортопроектора . Блок , який визначає матрицю Π може бути зображено у виглядi = (−)×(−) − ; тут (−)×(−) — довiльна ( − ) × ( − ) – вимiрна матриця. Зазначимо, що у критичному випадку (* ̸= 0) задача про регуляризацiю рiвняння (1.1) шляхом збурення матрицi розв’язна лише для визначеної ( = ), або ж недовизначеної ( < ) системи (1.1). Дiйсно, припустимо систему (1.1) перевизначеною ( > ), у такому разi rank · + ≤ rank = rank + ≤ < , що суперечить рiвностi рангiв лiвої та правої частини рiвняння · + = , рiвнозначного рiвнянню * = 0. Таким чином, умови регуляризацiї лiнiйних алгебраїчних рiвнянь визначає наступна теорема [81, 129]. Теорема 1.1.3. У критичному випадку (* ̸= 0) задача про регуля- ризацiю рiвняння (1.1) шляхом збурення матрицi : := + ℛ розв’язна лише для визначеної ( = ), або ж недовизначеної ( < ) системи (1.1). Задача про регуляризацiю системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (1.1) за умови ≤ має сiм’ю розв’язкiв (1.7), де ℛ := Φ · Π · Ψ. Тут Φ ∈ R× и Ψ ∈ R× — невиродженi матрицi, = Φ · · Ψ — cтандартне розвинення ( × )− матрицi . Приклад 1.1.1. Згiдно iз теоремою 1.1.3, задача про регуляризацiю системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь (1.1) з матрицею , наведеною у прикладi А.1, має розв’язок ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ := + ℛ, ℛ := Φ · Π · Ψ, Π := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ 0 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟. ⎟ 0 0 0 1 0 1 0 1⎠ 0 0 0 0 1 0 1 0 36 Матричнi рiвняння Ляпунова та Сильвестра ∑︁ =1 = (1.8) докладно вивченi у статтях [107, 150] та монографiї [28]. Тут ∈ R× , ∈ R × , ∈ R× — заданi матрицi, ∈ R × — невiдома матриця. У частинному випадку = рiвняння Сильвестра (1.8) вивчено у монографiї [43, c. 239]. Як вiдомо, загальний розв’язок рiвняння (1.8) являє собою суму = Φ[ , ] + Ψ[ ] загального розв’язку Φ[ , ] однорiдного рiвняння ∑︁ =1 = 0 (1.9) та довiльного часткового розв’язку Ψ[ ] рiвняння (1.8). Позначимо {︂ }︂ · Θ ∈ R × =1 природний базис [21] простору R × . Пiд природним базисом R × будемо розумiти сукупнiсть матриць Θ , для яких вектори ℳΘ утворюють природний базис простору R · . Загальний розв’язок рiвняння (1.8) шукаємо у виглядi суми · ∑︁ =1 = Θ , ∈ R1 . Таким чином, приводимо рiвняння (1.8) до вигляду · [︂ ∑︁ ∑︁ =1 =1 ]︂ Θ = . Позначимо матрицi Ξ := ∑︁ =1 Θ ∈ R× , = 1, 2, ... , · . 37 Таким чином, рiвняння (1.8) рiвнозначне наступному · ∑︁ =1 Ξ = . Визначимо оператор ℳ[] : R× → R· , як оператор, який ставить у вiдповiднiсть матрицi ∈ R× вектор ℬ := ℳ[] ∈ R· , утворений з стовпцiв матрицi , а також обернений оператор [︂ ]︂ ℳ ℬ : R· → R× , −1 який ставить у вiдповiднiсть вектору ℬ ∈ R· матрицю ∈ R× . Зазначимо, що оператор ℳ[], як i обернений оператор ℳ−1 [ℬ ], можуть бути зображенi явно [84, 87]. Позначимо матрицi ϒ1 := ( 1 ) ∈ R1×1 , ϒ2 := ( 1 0 0 1 )* ∈ R4×1 , ϒ3 := ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )* ∈ R9×1 , ϒ4 := ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )* ∈ R16×1 , ... . Вектор ϒ складений з − 1 векторiв вигляду ( 1 0 0 ... 0 )* ∈ R(−1)×1 та закiнчується одиницею: (︂ ϒ := 1 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 ... 1 0 0 ... 0 1 )︂* ∈ R 2 ×1 . У нових позначеннях оператор ℳ[] зображується явно: (︂ )︂ ℳ[] = ⊗ · ϒ ∈ R· . Визначимо також матрицi [︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂ {︂ }︂ ×· , 1 := ∈ R1× ; := 1 ⊗ ∈ R =1 тут — символ Кронеккера: {︃ := 1, = , , 0, = ̸ = 1, 2, ... , . 38 ℳ−1 [ℬ ] зображується явно: ℳ−1 [ℬ ] = [︂ ∑︁ =1 ]︂ [︂ ]︂ · ℬ · 1 , а рiвняння (1.8) рiвнозначне рiвнянню = ℳ[ ] вiдносно вектора ∈ R · ; тут (1.10) ]︂ }︂ {︂[︂ ∑︁ 1 := ⊗ ℳ[Ξ ] ∈ R·× · . =1 В англомовнiй лiтературi оператор ℳ[] називають оператором векторизацiї [144, 145]: ℳ[] := vec(A). У частинному випадку = в iнший спосiб рiвняння Сильвестра (1.8) приведено до вигляду (1.10) у монографiї [43]. За умови * ℳ[ ] = 0 i тiльки у цьому випадку рiвняння (1.10) розв’язне = + ℳ[ ] + , ∈ R , при цьому рiвняння (1.8) має – параметричну сiм’ю розв’язкiв = Φ[ , ] + Ψ[, ], де {︂ }︂ Φ[ , ] := ℳ−1 + ℳ[ ] , : R · × · → N(), Ψ[, ] := ℳ−1 . [︂ ]︂ Тут * : R·×· → N(* ) — ортопроектори матриць та * . Матриця складена з лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi-ортопроектора . Таким чином, доведена наступна теорема [84, 87, 144]. Теорема 1.1.4. Матричне рiвняння Сильвестра (1.8) розв’язне тодi й тiльки тодi, коли * ℳ[ ] = 0. (1.11) 39 За умови (1.11) рiвняння (1.8) має -параметричну сiм’ю розв’язкiв = Φ[ , ] + Ψ[, ], де Φ[ , ] := ℳ−1 {︂ }︂ + ℳ[ ] , Ψ[, ] := ℳ−1 . [︂ ]︂ За умови * ̸= 0 будемо казати, що для матричного рiвняння Сильвестра (1.8) має мiсце критичний випадок, при цьому рiвняння Сильвестра (1.8) розв’язне тодi й тiльки тодi, коли виконується умова (1.11). За умови * = 0 будемо казати, що для матричного рiвняння Сильвестра (1.8) має мiсце некритичний випадок, при цьому рiвняння Сильвестра (1.8) розв’язне для будь-якої неоднорiдностi . Наслiдок 1.1.1. Матричне рiвняння Сильвестра (1.8) у некрити- чному випадку (* = 0) розв’язне для будь-якої неоднорiдностi ∈ R× . В цьому випадку рiвняння (1.8) має -параметричну сiм’ю розв’язкiв = Φ[ , ] + Ψ[, ]. Частинним випадком матричного рiвняння Сильвестра при = , = , = 2, 1 := ∈ R× , 1 := та 2 := ∈ R × є матричне рiвняння Ляпунова [84, 85, 86, 109]: + = , ∈ R× ; (1.12) тут ∈ R× — невiдома матриця. Позначимо {︂ Θ }︂· =1 ∈ R× базис простору R× . Загальний розв’язок матричного рiвняння (1.12) шукаємо у виглядi суми · ∑︁ =1 = Позначимо матрицю Θ , ∈ R1 . ]︂ }︂ 2 {︂[︂ ∑︁ 2 := 1 ⊗ ℳ[Ξ ] ∈ R· ×· . =1 40 де Ξ := Θ + Θ ∈ R× , = 1, 2, ... · . Умови iснування розв’язку матричного рiвняння Ляпунова (1.12) визначає наступний наслiдок [84, 85, 86] до теореми 1.1.4. Наслiдок 1.1.2. Матричне рiвняння Ляпунова (1.12) розв’язне тодi та тiльки тодi, коли виконано умову * ℳ[] = 0; (1.13) в цьому випадку рiвняння (1.12) має -параметричну сiм’ю розв’язкiв = Φ[ ] + Ψ[], де {︂ }︂ Ψ[] := ℳ−1 + ℳ[] , [︂ ]︂ Φ[ ] := ℳ−1 . За умови * ̸= 0 будемо казати, що для матричного рiвняння Ляпунова (1.12) має мiсце критичний випадок, при цьому рiвняння Ляпунова (1.12) розв’язне тодi й тiльки тодi, коли виконується умова (1.13). За умови * = 0 будемо казати, що для матричного рiвняння Ляпунова (1.12) має мiсце некритичний випадок, при цьому рiвняння Ляпунова (1.12) розв’язне для будь-якої неоднорiдностi . Умови iснування розв’язку матричного рiвняння Ляпунова (1.12) у некритичному випадку визначає наступний наслiдок [84, 85, 86] до теореми 1.1.4. Наслiдок 1.1.3. У некритичному випадку матричне рiвняння Ля- пунова (1.12) розв’язне для будь-якої неоднорiдностi . За умови * = 0 рiвняння (1.12) має -параметричну сiм’ю розв’язкiв = Φ[ ] + Ψ[], де {︂ }︂ Ψ[] := ℳ−1 + ℳ[] , [︂ ]︂ Φ[ ] := ℳ−1 . Зазначимо, що наведенi у теоремi 1.1.4 та наслiдках 1.1.2 та 1.1.3 умови iснування та формули для побудови розв’язкiв матричних рiвняннь Ляпунова та Сильвестра можуть бути застосованi при дослiдженнi матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач, а також отриманi достатнiх умов регуляризацiї за рахунок, як виродженого, так i невиродженого iмпульсного збурення, нетерових крайових задач. 41 1.2 Оператор Грiна задачi Кошi диференцiально-алгебраїчної крайової задачi Розглянемо задачу про побудову розв’язкiв [18, 30, 107] 1 × () ∈ C1 × [; ] := C [; ] ⊗ R матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння ′ () = ℬ () + (), пiдпорядкованих крайовiй умовi (1.14) ℒ (·) = A, Тут [116, 128] A ∈ R× . (1.15) ′ () : C1 × [, ] → C × [, ] — матричний диференцiально-алгебраїчний оператор, який за визначенням для будь-яких скалярних функцiй (), () ∈ C1 [, ] та сталих матриць Ξ1 , Ξ2 ∈ R× забезпечує рiвнiсть ( ′ ()Ξ1 + ′ ()Ξ2 )() = ′ ()(Ξ1 )() + ′ ()(Ξ2 )(). Аналогiчно матричний оператор 1 ℬ () : C1 × [, ] → C × [, ] будемо далi називати алгебраїчним, якщо для будь-яких (), () ∈ C1 [, ], має мiсце рiвнiсть Ξ1 , Ξ2 ∈ R× ℬ ( ()Ξ1 + ()Ξ2 )() = ()ℬ (Ξ1 )() + ()ℬ (Ξ2 )(). Тут також () ∈ C × [, ] — неперервна матриця та ℒ (·) — лiнiйний обмежений матричний функцiонал: × ℒ (·) : C1 . × [, ] → R 42 Взагалi кажучи, припускаємо , , , , , ∈ N — довiльнi натуральнi числа. Тут i надалi C× [, ] — лiнiйний нормований простiр дiйсних ( × ) – вимiрних матриць (), неперервних на вiдрiзку [, ] з нормою || ()||C× := max || ()||R× , [;] () ∈ C× [, ], а також простiр C1 × [, ] — лiнiйний нормований простiр дiйсних матриць (), неперервно диференцiйовних на вiдрiзку [, ] з нормою 1 ∑︁ =0 := max || ()||C1 × [;] || () ()||R× , () ∈ C1 × [, ]. Матричне диференцiально-алгебраїчне рiвняння (1.14) узагальнює традицiйнi постановки задач, як для матричних диференцiальних рiвнянь [18, 30, 107], так i для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь [17, 66, 67, 112]. З iншого боку, матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача (1.14), (1.15) узагальнює нетеровi крайовi задачi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь [9, 73, 110]. Позначимо Ξ( ) ∈ R× , = 1, 2, ... , · — природний базис простору R× , при цьому задача про побудову розв’язкiв узагальненого диференцiально-алгебраїчного матричного рiвняння (1.14) приводить до задачi про побудову вектора (), компоненти якого () визначають розвинення матрицi · ∑︁ =1 () = Ξ( ) (), () ∈ C1 [, ], = 1, 2, ... , · . Лiнiйний диференцiально-алгебраїчний матричний оператор ′ () за визначенням зображується у виглядi ∑︁ =1 () = ′ ′ Ξ( ) () (). 43 При цьому [︂ ]︂ ℳ ′ () = Ω() · ′ (), де ]︂· Ω() := Ω () ∈ C1 · ×· [, ], [︂ =1 [︁ ]︁ ( ) Ω () = ℳ Ξ () , Аналогiчно = 1, 2, ... , · . [︂ ]︂ ℳ ℬ () = Θ() · (), де ]︂· Θ() := Θ () ∈ C1 · ×· [, ], [︂ =1 ]︁ Θ () = ℳ ℬ Ξ () , ( ) [︁ = 1, 2, ... , · . Таким чином, задачу про побудову розв’язкiв диференцiально-алгебраїчного матричного рiвняння (1.14) приведено до задачi про знаходження розв’язкiв () ∈ C1 · [, ] традицiйного диференцiально-алгебраїчного рiвняння [17, 66, 67, 112] Ω() · ′ () = Θ() · () + ℱ (), За умови [73, 128] ℱ () := ℳ[ ()]. (1.16) Ω* () Θ() = 0, Ω* () ℱ () = 0, Ω+ ()Θ() ∈ C· ×· [, ], у випадку (1.17) Ω+ ()ℱ (), Ω ()() ∈ C· × [, ] система (1.16) розв’язна вiдносно похiдної (1.18) = Ω+ ()Θ() + F(, ()), де F(, ()) := Ω+ ()ℱ () + Ω ()(). Тут Ω* () — ( · × · )− матриця-ортопроектор: Ω* () : R · → N(Ω* ()), Ω () — ( · × )− матриця, утворена з лiнiйно-незалежних стовпцiв ( · × · )− матрицi-ортопроектора Ω () : R· → N(Ω()). 44 Позначимо () нормальну фундаментальну матрицю [110] () = Ω+ ()Θ() (), 0 () = одержаної традицiйної системи звичайних диференцiальних рiвнянь. За умови (1.17), (1.18) система (1.16) має розв’язок вигляду ]︂ (, ) = 0 () + F(, ()) (), [︂ ∈ R· , [︂ ]︂ ∫︁ −1 F(, ()) () := 0 () 0 ()F(, ()), який визначає розв’язок матричного диференцiально алгебраїчного рiвняння (1.14) ]︂ [︂ ]︂ (, ) = (, ) + F(, ()) (), (, ) := ℳ−1 0 () . Тут [︂ (1.19) ]︂ {︂ [︂ ]︂ }︂ F(, ()) () := ℳ−1 F(, ()) () [︂ — узагальнений оператор Грiна задачi Кошi () = 0 для диференцiальноалгебраїчної системи (1.14). Таким чином, доведено наступну достатню умову розв’язностi задачi Кошi для системи (1.14). Лема 1.2.1. За умов (1.17) та (1.18) матрична задача Кошi () = A для диференцiально-алгебраїчної системи (1.14) однозначно розв’язна для будь-якого початкового значення A ∈ R× . За умов (1.17) та (1.18) загальний розв’язок (1.19) задачi Кошi () = A для диференцiальноалгебраїчної системи (1.14) визначає узагальнений оператор Грiна задачi Кошi () = 0 для диференцiально-алгебраїчної системи (1.14) та загальний розв’язок (, ) задачi Кошi () = A для однорiдної частини рiвняння (1.14). Доведена лема 1.2.1 узагальнює вiдповiднi результати, як для матричних диференцiальних рiвнянь [18, 30, 107], так i для диференцiальноалгебраїчних рiвнянь [17, 66, 67, 112, 128]. З iншого боку, доведена лема узагальнює вiдповiднi результати, отриманi для нетерових крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь [9, 73, 110]. 45 1.3 Оператор Грiна матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi Пiдставляючи розв’язок матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1.14) у крайову умову (1.15), приходимо до задачi про знаходження розв’язкiв · ∑︁ =1 = Ξ( ) ∈ R· , ∈ R1 , = 1, 2, ... , · матричного рiвняння [83, 85] ]︂ ℒ (·, ) + ℒ F(, ()) (·) = A ∈ R× . У критичному випадку (* ̸= 0) за умов (1.17), (1.18) та [︂ (1.20) {︂ [︂ ]︂ }︂ * ℳ A − ℒ F(, ()) (·) = 0 розв’язок матричного рiвняння (1.20) визначає вектор [85, 86, 87] (1.21) {︂ [︂ ]︂ }︂ = ℳ A − ℒ F(, ()) (·) + , + ∈ R . Тут * − ( · × · )− матриця-ортопроектор * : R· → N(* ), де {︃ [︂ ]︂}︃ [︂ ]︂· ∈ R· ×· , := ℳ ℒℳ−1 (·)Ξ() , = 1, 2, ... , · ; := =1 матриця утворена з лiнiйно-незалежних стовпцiв ( · × · )− матрицi-ортопроектора : R· → (). Матриця * утворена з лiнiйно-незалежних рядкiв матрицi-ортопроектора * . Таким чином, у критичному випадку, за умови (1.17), (1.18) та (1.21), розв’язок матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1.14), який задовольняє крайову умову (1.15) має зображення [︃ (, ) = ℳ −1 ]︂ {︃ −1 () + ℳ {︂ () ℳ A− + [︂ ]︂ }︂}︃ [︂ ]︂ −ℒ F(, ()) (·) + F(, ()) (), ∈ R . Таким чином, доведено наступну достатню умову [116] розв’язностi матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15). 46 Теорема 1.3.1. У критичному випадку (* ̸= 0) за умов (1.17), (1.18) та (1.21), розв’язок [︂ ]︂ (, ) = (, ) + F(, ()); A (), ∈ R (1.22) матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1.14), який задовольняє крайову умову (1.15) визначає узагальнений оператор Грiна {︃ [︂ ]︂ {︂ −1 + F(, ()); A () := ℳ () ℳ A− [︂ ]︂ }︂}︃ [︂ ]︂ −ℒ F(, ()) (·) + F(, ()) () матричної диференцiально-алгебраїчної задачi (1.14), (1.15) та загальний розв’язок однорiдної частини матричної диференцiально-алгебраїчної задачi (1.14), (1.15) [︃ (, ) := ℳ−1 () , ]︂ ∈ R . Зазначимо, що другий доданок, який утворює узагальнений оператор Грiна матричної задачi Кошi () = 0 для диференцiально-алгебраїчної системи (1.14) [︂ ]︂ {︂ [︂ ]︂ }︂ {︂ [︂ ]︂ }︂ F(, ()) () := ℳ−1 + ()ℱ () () + ℳ−1 ()() () за умов (1.17), (1.18) та ̸= 0 залежить вiд довiльної функцiї () ∈ C×1 [; ]. У критичному випадку (* ̸= 0) за умов (1.17), (1.18) та ̸= 0 узагальнений оператор Грiна [ F(, ()); A ]() матричної диференцiальноалгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15) також залежить вiд довiльної функцiї (). Висновки до роздiлу 1 1. Проаналiзовано сучасний стан i встановлено перспективнiсть дослiдження матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач. 47 2. Встановлено, що умови iснування та формули для побудови розв’язкiв матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра можуть бути застосованi при побудовi схем регуляризацiї цих рiвнянь, якi суттєво вiдрiзнятимуться вiд класичного методу регуляризацiї Тихонова. 3. Встановлено, що умови iснування та формули для побудови розв’язкiв матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра можуть бути застосованi при дослiдженнi матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач, а також отриманi достатнi умови регуляризацiї за рахунок, як виродженого, так i невиродженого iмпульсного збурення, нетерових крайових задач. 48 РОЗДIЛ 2 РЕГУЛЯРИЗАЦIЯ МАТРИЧНИХ РIВНЯНЬ ТА НЕТЕРОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 2.1 Регуляризацiя матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра У випадку некоректно поставленої задачi [38, 71, 96, 127] матричне рiвняння Сильвестра (1.8) може бути регуляризоване. Дiйсно, припустимо, що умова розв’язностi (1.11) матричного рiвняння Сильвестра (1.8) не виконується для довiльної неоднорiдностi: * ℳ[ ] ̸= 0. Iнакше кажучи, припустимо, що для матричного рiвняння Сильвестра (1.8) має мiсце критичний випадок (* ̸= 0). Поставимо наступну задачу: чи iснують матрицi ℰ ∈ R× та ℱ ∈ R × , для яких збурення матричного рiвняння Сильвестра ∑︁ =1 + ℰ ℱ = (2.1) розв’язне для довiльної неоднорiдностi? Припустимо матрицю ℰ ∈ R× невiдомою, а матрицю ℱ ∈ R × — фiксованою. Розв’язок збуреного матричного рiвняння Сильвестра (2.1) шукатимемо у виглядi суми · ∑︁ =1 = тут Θ , ∈ R1 ; {︂ Θ }︂ · =1 ∈ R × — базис простору R × . Згiдно до теореми 1.1.3, збурення матричного алгебраїчного рiвняння Сильвестра (2.1) можна регуляризувати лише за умови ≤ [93, 96, 97, 121]. Позначимо (+1 )* : R·×· → N( + 1 )* 49 — ортопроектор матрицi + 1 , де ]︂ }︂ {︂[︂ ∑︁ ⊗ ℳ[ℰ Θ ℱ ] ∈ R·× · . 1 1 := =1 Збурення матричного рiвняння Сильвестра (2.1) розв’язне для довiльної неоднорiдностi у випадку (+1 )* = 0. Покладемо ℰ= тут · ∑︁ =1 Ξ , ∈ R1 ; {︂ Ξ }︂· =1 ∈ R× — базис простору R× . Позначимо ( × ) – матрицi Ω1, := Ξ Θ1 ℱ , Ω2, := Ξ Θ2 ℱ , ... , Ω, := Ξ Θ ℱ . Для знаходження вектора ∈ R· , компоненти якого визначають матрицю ℰ , приходимо до рiвняння Q · = ℳ[1 ], для розв’язностi якого необхiдно i достатньо, щоб Q* ℳ[1 ] = 0; тут (2.2) {︂ [︂ ]︂ Q := ℳ ℳ(Ω1,1 ), ... , ℳ(Ω1, ) , ... , [︂ ]︂}︂ ℳ ℳ(Ω,1 ), ... , ℳ(Ω, ) — стала ( × ) – матриця, Q* : R × → N(Q* ) — ортопроектор матрицi Q* . Покладемо для визначеностi > 1, > 1, > 1, > 1, при цьому за умови повноти рангу матрицi ℱ rank Ω, > 0, = 1, 2, ... , , = 1, 2, ... , 50 мають мiсце нерiвностi > rank Q* ≥ ( − 1) > 0. Умову (2.2) задовольняє серiя матриць [︂ ]︂ 1 ( ) := ℳ Q* , −1 ∈ R ; тут Q* — матриця, складена з лiнiйно незалежних стовпцiв ортопрое ктора Q* : Q* : R × → N(Q* ). Зазначимо, що 0 < rank Q* ≤ , тому > 0. Згiдно лемi 1.1.5 матриця ∈ R·× · може бути зображена у виглядi = Φ · · Ψ, rank := ; тут Φ ∈ R·×· та Ψ ∈ R · × · — невиродженi матрицi. Зафiксуємо один з векторiв ∈ R ; у випадку ≤ , матричне рiвняння Сильвестра (1.8) можна регуляризувати за умови (︂ rank тут )︂ + Π −1 −1 = ≤ ; [︂ ]︂ (2.3) Π := Φ ·ℳ Q* · Ψ−1 . Оскiльки умову (2.2) при цьому виконано, знаходимо вектор ( ) = Q+ ℳ[1 ] + Q , а, отже, i матрицю ∈ R ℰ (ℱ , ) = Тут Q : · ∑︁ =1 Ξ (ℱ , ), (ℱ , ) ∈ R1 . R × → N(Q) — ортопроектор матрицi Q; матриця Q складена з лiнiйно-незалежних стовпцiв ортопроектора Q . За умови ≤ у випадку (2.3) розв’язок збуреного матричного рiвняння Сильвестра (2.1) (ℱ , ) = · ∑︁ =1 Θ (ℱ , ), (ℱ , ) ∈ R1 51 визначає вектор (ℱ , ) := ( + 1 )+ ℳ[ ] + (+1 ) , Тут ∈ R . (+1 ) : R · × · → N( + 1 ) — ортопроектор матрицi + 1 ; матриця (+1 ) складена з лiнiйнонезалежних стовпцiв ортопроектора (+1 ) . Таким чином, доведена наступна теорема [93]. Теорема 2.1.1. Матричне рiвняння Сильвестра (1.8) у критичному випадку (* ̸= 0) не розв’язне для довiльної неоднорiдностi , однак за умови > 1, > 1, > 1, > 1, у випадку (2.3) для фiксованої матрицi повного рангу ℱ розв’язок збуреного матричного рiвняння Сильвестра (2.1) визначає матриця [︂ ]︂ [︂ ]︂ (ℱ , ) = ℱ + та вектор (ℱ , ) = (ℱ ) + ( ), (ℱ ) := Q+ ℳ[1 ], ( ) := Q , де [︂ ]︂ · ∑︁ ℱ := Θ (ℱ ), =1 [︂ ]︂ · ∑︁ := Θ ( ); =1 тут (ℱ ) := ( + 1 )+ ℳ[ ], ( ) := (+1 ) , ∈ R . Зазначимо, що матричне рiвняння Сильвестра (1.8) можна регуляризувати за умови (2.3). Якщо для фiксованої матрицi повного рангу ℱ ця умова не виконується, матричне рiвняння (1.8) можна регуляризувати для iншої матрицi повного рангу ℱ . Доведена теорема 2.1.1 узагальнює теорему [121] на випадок матричного рiвняння Сильвестра (1.8). Технiка регуляризацiї, наведена у теоремi 2.1.1 значно спрощує вiдповiдну схему регуляризацiї [121], оскiльки виконання умови (2.3) передбачає знаходження ≪ параметрiв навiдмiну вiд схеми регуляризацiї [121], яка для матричного рiвняння Сильвестра (1.8) передбачає розв’язання нелiнiйного рiвняння вiдносно параметрiв. 52 Приклад 2.1.1. Матричне рiвняння Сильвестра 2 ∑︁ =1 = (2.4) не розв’язне для довiльної неоднорiдностi у випадку (︃ )︃ (︃ )︃ 1 0 1 0 1 0 1 := , 2 := , 0 1 0 1 0 1 ⎞ 1 0 ⎜ ⎟ 1 := ⎝ 0 0 ⎠ , 0 1 проте його можна регуляризувати. ⎛ ⎞ 1 0 ⎜ ⎟ 2 := ⎝ 0 0 ⎠ , 1 1 ⎛ Зазначимо, що для рiвняння Сильвестра (2.4) умови = 2 > 1, = 3 > 1, = 3 > 1, = 2 > 1, = 6 ≤ = 6 виконуються. Позначимо Θ1 , Θ2 , ... , Θ9 — природний базис простору R3×3 , при цьому матриця ⎛ 1 1 1 0 0 0 0 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 1 1 0 0 0 1 0 1⎟ ⎟ = ⎜ ⎜0 0 0 0 0 0 1 1 1⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 0 0 0 1 1 1 визначає ортопроектор * 0 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 1⎜ ⎟. = ⎜ ⎟ 2⎜ 0 0 1 − 1 ⎝ ⎠ 0 0 −1 1 ⎛ ⎞ Оскiльки * ̸= 0, то для матричного рiвняння Сильвестра (2.4) має мiсце критичний випадок, отже, матричне рiвняння Сильвестра (2.4) не розв’язне для довiльної неоднорiдностi . Дiйсно, покладемо ⎞ 1 0 ⎜ ⎟ ℱ := ⎝ 0 2 ⎠ . 3 0 ⎛ 53 {︂ }︂6 Позначимо Ξ =1 ∈ R2×3 природний базис простору R2×3 , при цьому Q := (︁ Q* 1 ⎞ Q* 2 Q* 3 Q* 4 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Q2 := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Q4 := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ )︁* , де ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Q1 := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Q3 := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ 1 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎠ 0 1 0 ⎞ 0 0 0 ⎟ 3 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 3 0⎟ ⎟, ⎟ 0 0 3⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎠ 0 0 0 ⎞ 0 0 0 ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 2 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟. ⎟ 0 2 0⎟ ⎟ 0 0 2⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎠ 0 0 0 Згiдно лемi 1.1.5 матриця ∈ R4×9 може бути зображена у виглядi = Φ · · Ψ, rank = 3; 54 тут ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Ψ=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ Φ=⎜ ⎜ ⎝ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 6 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 1 1 −1 4 −2 −2 −2 −2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 3 0 −3 — невиродженi матрицi. Умову (2.2) задовольняє серiя матриць 1 ⎜ ⎜ 2 1 ( ) = ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 (2.2) та (2.3): ⎛ 3 5 0 0 0 2 1 2 3 2 5 ⎟ 4 6 0 0 0 2 2 2 4 2 6 ⎟ ⎟; 0 0 3 1 3 3 3 5 0 0 0 ⎟ ⎠ 0 0 3 2 3 4 3 6 0 0 0 ⎞ тут ∈ R6 , де = 6 — ранг матрицi-ортопроектора Q* . Зокрема, умови (︂ )︂ rank + Π = 4 ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟; ⎟ ⎠ задовольняє матриця 0 ⎜ ⎜0 0 1 ( ) := ⎜ ⎜0 0 ⎝ 0 0 тут −1 0 0 0 0 0 3 0 0 −1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [︂ Π = Φ ℳ 4 12 ⎜ 1 ⎜ ⎜ −4 −12 = 24 ⎜ ⎝ 4 12 0 0 вектор ]︂ Q* Ψ−1 = 0 −3 0 0 4 ⎞ ⎛ 0 2 0 −2 0 3 0 2 0 3 0 0 0 6 ⎟ 0 0 −4 ⎟ ⎟. 0 0 4 ⎟ ⎠ 0 0 0 Оскiльки умову (2.2) при цьому виконано, однозначно ( = 0) знаходимо ( ) = Q+ ℳ[1 ], 55 а, отже, i матрицю (︃ ℰ (ℱ ) = 0 0 0 0 0 )︃ , яка регуляризує матричне рiвняння Сильвестра (2.4). Покладемо для визначеностi (︃ := 0 0 1 0 )︃ , при цьому розв’язок збурення для матричного рiвняння Сильвестра (2.4) вигляду (2.1) визначає матриця [︂ ]︂ [︂ ]︂ (ℱ , ) = ℱ + , де ∈ R5 , ⎛ [︂ ]︂ ⎜ ℱ = ⎝ та 2−5+32 12−8+162 4−3+112 24−16+322 4−3+112 24−16+322 ⎞ −7−32 0 246− 2 16+32 ⎟ 2 0 − 6−3+ 4+82 ⎠ +72 0 246+7 −16+322 ( ) := (+1 ) ; (2) (+1 ) [︂ ]︂ · ∑︁ Θ ( ), := =1 тут (+1 ) = , ⎛ (︀ )︀ 4 4 − 4 + 52 −8 + 4 − 62 ⎜ ⎜ −8 + 4 − 62 16 − 8 + 212 ⎜ ⎜ −8 + 4 − 62 −8 + 8 − 112 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 ⎜ (1) (+1 ) = ⎜ 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 ⎜ ⎜ −102 3(−2 + ) ⎜ ⎜ 4(1 + ) ⎝ 8(−1 + ) 2(4 + ) −(−2 + 7) (︁ (1) (+1 ) )︁ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 56 ⎛ 0 0 −102 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (+1 ) (2) ⎜ ⎜ 0 0 3(−2 + ) ⎜ ⎜ 0 0 3(−2 + ) ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎜ ⎜ (︀ )︀ 2 =⎜ 0 0 ⎜ 8 3 − 2 + 4 (︀ )︀ ⎜ 0 8 3 − 2 + 42 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 12 + 4 + 52 ⎜ ⎜ 0 0 −4(3 + ) ⎝ 0 0 −12 + 8 − 2 Зазначимо, що перевiрка виконання умови (2.3) у випадку матричного рiвняння Сильвестра (2.4) передбачає знаходження = 6 параметрiв навiдмiну вiд схеми регуляризацiї [121], яка для матричного рiвняння Сильвестра (1.8) передбачає розв’язання нелiнiйного рiвняння вiдносно = 36 невiдомих. Частинним випадком матричного рiвняння Сильвестра при = , = , = 2, 1 := ∈ R× , 1 := та 2 := ∈ R × є матричне рiвняння Ляпунова (1.12); тут ∈ R× — невiдома матриця. У випадку некоректно поставленої задачi матричне рiвняння Ляпунова (1.12) може бути регуляризоване [38, 71, 96, 127]. Дiйсно, припустимо, що умова розв’язностi (1.13) матричного рiвняння Ляпунова (1.12) не виконується для довiльної неоднорiдностi: * ℳ[] ̸= 0. Iнакше кажучи, припустимо, що для матричного рiвняння Ляпунова (1.12) має мiсце критичний випадок (* ̸= 0). Поставимо наступну задачу: чи iснують матрицi ℰ ∈ R× та ℱ ∈ R× , для яких збурення матричного рiвняння Ляпунова + + ℰ ℱ = мою, а матрицю ℱ — фiксованою. Наслiдок 2.1.1. (2.5) розв’язне для довiльної неоднорiдностi? Припустимо матрицю ℰ невiдо- Матричне рiвняння Ляпунова (1.12) у критичному випадку (* ̸= 0) не розв’язне для довiльної неоднорiдностi , однак, у випадку (︂ rank + Π )︂ = 57 для фiксованої матрицi повного рангу ℱ розв’язок збурення (2.5) матричного рiвняння Ляпунова (1.12) визначає матриця [︂ ]︂ [︂ ]︂ (ℱ , ) = Φ ℱ + Ψ та вектор (ℱ , ) = (ℱ ) + ( ), (ℱ ) := Q+ ℳ[1 ], ( ) := Q , де [︂ ]︂ · ∑︁ Φ ℱ := Θ (ℱ ), =1 [︂ ]︂ · ∑︁ Φ := Θ ( ); =1 тут (ℱ ) := ( + 1 )+ ℳ[], ( ) := (+1 ) , ∈ R . Приклад 2.1.2. Матричне рiвняння Ляпунова (1.12) + = не розв’язне для довiльної неоднорiдностi для ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 0 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ := ⎝ 1 1 0 ⎠ , := ⎝ 1 0 0 ⎠ , 1 1 2 0 0 2 проте його можна регуляризувати. (2.6) Позначимо Θ1 , Θ2 , ... , Θ9 — природний базис простору R3×3 , при цьому матриця ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ 1 2 0 0 1 0 0 0 0⎟ ⎟ 1 1 3 0 0 1 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 1 1 0 0 0 0⎟ ⎟. ⎟ 0 0 0 1 1 2 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0 2 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0 1 3 0⎠ 0 0 0 0 0 0 1 1 4 58 Оскiльки * ̸= 0, то для матричного рiвняння Ляпунова (2.6) має мiсце критичний випадок, отже, матричне рiвняння не розв’язне для довiльної неоднорiдностi . Дiйсно, покладемо ℱ := 3 . Згiдно лемi 1.1.5 матриця ∈ R9×9 може бути зображена у виглядi = Φ · · Ψ, тут rank = 8; ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Φ=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ та 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎟ 1 2 0 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 1 1 3 0 1 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0 0 0 1⎟ ⎟ 0 0 0 1 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 1 2 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 2 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 1 3 0 0⎠ 0 0 0 0 0 1 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎞ −1 0 0 0 0 ⎟ 1 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 1 1 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 1 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 1 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 1 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 1⎠ −1 1 0 0 0 0 0 0 ⎞ 1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜ ⎜0 0 ⎜ Ψ=⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜ ⎜ ⎝0 0 1 −1 ⎛ 59 — невиродженi матрицi. Умову rank (︂ + Π 0 0 0 0 0 2 )︂ = 9 задовольняє матриця ⎞ 0 0 4 ⎟ 0 0 −8 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 − 24 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎟, ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎠ 0 0 −4 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 4 − 38 −8 4 −8 − 24 0 0 0 0 4 0 0 −8 0 0 − 24 0 0 0 0 0 0 Π 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 −4 0 0 0 3 4 0 −6 0 − 12 0 0 для якої сума ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ + 1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ — невироджена матриця: 1 + 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 2 + 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 1 3 0⎠ 1 1 4 det( + 1 ) = 288 + 432 2 + 144 3 . Оскiльки умову (2.2) при цьому виконано, однозначно ( = 0) знаходимо вектор ( ) = Q+ ℳ[1 ], а, отже, i матрицю ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ ℰ (ℱ ) = ⎝ 0 0 0 ⎠ , 0 0 0 яка регуляризує матричне рiвняння Ляпунова (2.6). Покладемо для ви- ⎛ 60 значеностi ⎞ 1 0 1 ⎜ ⎟ := ⎝ 0 1 0 ⎠ , 1 0 1 ⎛ при цьому розв’язок збурення (2.5) матричного рiвняння Ляпунова (2.6) визначає матриця = ⎛ 1 × 12 (2 + )(1 + ) ⎞ 12 (2 + ) 0 12 (1 + ) ⎜ ⎟ ×⎝ −6 (2 + )2 12 (1 + )(2 + ) −4 (1 + ) ⎠ . 2 (2 + )(3 + 4 ) −6 (1 + )(2 + ) (1 + )(4 + 3 ) Вiдзначимо, що технiка регуляризацiї некоректно поставлених матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра, наведена у теоремi 2.1.1 та наслiдку 2.1.1, суттєво вiдрiзняється, як вiд класичного методу регуляризацiї А.М. Тихонова [61], так i вiд його розвинення [106]. Актуальнiсть вивчення методiв регуляризацiї пов’язана з їх широким використанням у задачах на вiдновлення та покращення зображень [154, 155]. 2.2 Регуляризацiя нетерових крайових задач за допомогою виродженого iмпульсного збурення Дослiдження систем звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом традицiйне для київської школи нелiнiйних коливань. М.М. Крилов та М.М. Боголюбов дослiдили модель годинника, в якому затухання коливань, викликане тертям, компенсувалося перiодичними поштовхами анкера [39]. Дослiдження М.М. Крилова та М.М. Боголюбова було продовжено в роботi А.Д. Мишкiса й А.М. Самойленка [51]. Задача про регуляризацiю перiодичної крайової задачi за допомогою iмпульсного впливу була розв’язана С.М. Чуйко та О.В. Чуйко [96]. Нами дослiджено задачу про регуляризацiю лiнiйної нетерової ( ̸= ) крайової задачi ()/ = () () + (), ℓ (·) = (2.7) за допомогою iмпульсного збурення. Зокрема, припустимо, що крайова задача (2.7) не розв’язна у класi () ∈ C1 [, ] для довiльної неперервної 61 функцiї () та довiльного вектора ∈ R . Тут () — неперервна на вiдрiзку [, ] матриця та ℓ (·)− лiнiйний обмежений векторний функцiонал вигляду (︂ )︂ ℓ (·) := col ℓ1 (·), ... , ℓ (·) , де ℓ1 (·), ... , ℓ (·) : C[, ] → R1 лiнiйнi обмеженi функцiонали. На вiдмiну вiд монографiї [110] та статтi [8] поставимо задачу не про умови розв’язностi лiнiйної перiодичної крайової задачi для системи з фiксованим iмпульсним впливом [8, 13, 55, 90, 92, 110] (2.8) Δ ( ) = ( − 0), Δ ( ) := ( + 0) − ( − 0), а дослiджуємо задачу про знаходження матрицi ∈ R× , яка б гарантувала б розв’язнiсть цiєї задачi у класi {︂ }︂ () ∈ C [, ] ∖ { } 1 для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R . Поставлена задача продовжує дослiдження умов регуляризацiї лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь за допомогою iмпульсного впливу, наведених у монографiї [110, c. 248] та статтi [8] на випадок не фiксованої матрицi . Позначимо 0 () нормальну (0 () = ) фундаментальну матрицю [14, 89] однорiдної частини системи (2.7). Загальний розв’язок () ∈ C 1 {︂ }︂ [0, ] ∖ { } , 0 < < системи (2.7) з iмпульсним впливом (2.8) зобразимо у виглядi ]︂ (, ) = () + () (), де [︂ ∈ R , {︃ () := 0 () ∈ [, [, −1 0 ()0 ( )( + )0 ( ) ∈ [, ] — нормальна ( () = ) фундаментальна матриця однорiдної частини системи (2.7), (2.8), [︂ ]︂ [︂ ]︂ () () ∈ [, [, [︂ ]︂ (); () := ⎪ ⎪ ⎩ 0 ()1 + () () ∈ [, ], ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 62 — узагальнений оператор Грiна задачi Кошi ( ) = 0 для диференцiальної системи (2.7), (2.8), ]︂ ∫︁ () () := 0 () −1 () () [︂ — традицiйний оператор Грiна задачi Кошi ( ) = 0 для диференцiальної системи (2.7); тут [︂ ]︂ −1 1 := 0 ( ) () ( ). Позначимо матрицi := ℓ0 (·), := ℓ (·) та ортопроектори [110] * : R → N(* ), : R → N(). Крайова задача (2.7) не розв’язна у класi () ∈ C1 [, ] для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора за умови * ̸= 0. У той же час, регуляризована крайова задача (2.7) та iмпульсним впливом (2.8) розв’язна для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора , якщо * = 0. Лiнiйний обмежений векторний функцiонал ℓ (·) може бути зображений у виглядi ℓ (·) = ℓ (·) + ℓ (·), де ℓ (·) : C[, ] → R , ℓ (·) : C[, ] → R — лiнiйнi обмеженi функцiонали. Позначимо також матрицi := ℓ 0 (·) ∈ R× , := ℓ 0 (·) ∈ R× . Вимога * = 0 рiвнозначна повнотi рангу матрицi . Як i у випадку матричного рiвняння Сильвестра (1.8), крайову задачу (2.7) можна регуляризувати лише за умови ≤ . Позначимо ℰ ∈ R× довiльну матрицю повного рангу ≤ . Повнота рангу матрицi рiвнозначна рiвнянню −1 0 ( )( + )0 ( ) = ℰ − , розв’язному вiдносно матрицi за умови (︂ )︂ −1 ( 0 = 0. ( ))* ℰ − (2.9) 63 У разi виконання рiвностi (2.9) одержуємо принаймнi одну матрицю (︂ )︂+ (︂ )︂ −1 −1 = 0 ( ) ℰ − 0 ( ) − . яка забезпечує розв’язнiсть задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8) у класi {︂ }︂ () ∈ C1 [, ] ∖ { } для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R . Дiйсно, вимога * = 0 забезпечує розв’язнiсть рiвняння [︂ ]︂ = − ℓ (); (·), а, отже, iснування − параметричної ( > 0) сiм’ї розв’язкiв (, ) = () + (); () − ()+ ℓ (); (·), [︂ ]︂ [︂ ]︂ ∈ R . Тут ()− ( × )− вимiрна матриця, складена з − лiнiйно-незалежних розв’язкiв однорiдної частини задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8). Таким чином, доведено наступне твердження. Теорема 2.2.1. Якщо нетерова ( ̸= ) крайова задача (2.7) не розв’язна у класi () ∈ C1 [, ] для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R , то за умови (2.9) iснує принаймнi одна матриця (︂ )︂+ (︂ )︂ −1 −1 = 0 ( ) ℰ − 0 ( ) − , яка забезпечує розв’язнiсть задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8) у класi {︂ }︂ () ∈ C1 [, ] ∖ { } для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R у виглядi − параметричної ( > 0) сiм’ї розв’язкiв [︂ ]︂ (, ) = () + (); (), := − , ∈ R , зображуваного за допомогою узагальненого оператора Грiна [︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂ + (); () := (); () − () ℓ () (·) задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8). Тут ℰ ∈ R× — довiльна матриця повного рангу ≤ . 64 У залежностi вiд матрицi iмпульсний вплив (2.8) за умови (︂ det + )︂ ̸= 0 — невироджений [55, 110], або ж вироджений [14, 89]: (︂ det + )︂ = 0. У разi повноти рангу матрицi , або ж матрицi , рiвнiсть (2.9) виконується. Дiйсно, у наслiдок невиродженостi матрицi 0 (), у разi повноти −1 рангу матрицi , добуток 0 ( ) — також матриця повного рангу, що забезпечує у разi ≤ рiвнiсть (2.9). У разi повноти рангу матрицi рiвнiсть ℰ = забезпечує вимогу (2.9). Таким чином, доведено наступне твердження. Наслiдок 2.2.1. Якщо нетерова ( ̸= ) крайова задача (2.7) не розв’язна у класi () ∈ C1 [, ] для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R , то разi повноти рангу матрицi , або ж матрицi , iснує принаймнi одна матриця (︂ )︂+ (︂ )︂ −1 −1 = 0 ( ) ℰ − 0 ( ) − , яка забезпечує розв’язнiсть задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8) у класi {︂ }︂ () ∈ C [, ] ∖ { } 1 для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R у виглядi − параметричної ( > 0) сiм’ї розв’язкiв [︂ ]︂ (, ) = () + (); (), ∈ R задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8). Тут ℰ ∈ R× — довiльна матриця повного рангу ≤ . Приклад 2.2.1. Умови доведеного наслiдку 2.2.1 виконуються у ви- падку двоточкової крайової задачi / = () + (), ℓ (·) := 1 (0) − 2 (2 ) = , (2.10) 65 яка для довiльної неперервної функцiї () не має розв’язкiв у класi () ∈ C1 [0; 2 ]; в той же час у класi функцiй }︂ {︂ () ∈ 1 [0, 2 ] ∖ { } , := двоточкова крайова задача з iмпульсним впливом / = () + (), ̸= , ℓ (·) = , Δ ( ) = ( − 0) (2.11) розв’язна для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R3 ; тут ⎞ 0 0 −1 1 1 ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 −1 −1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟, () := ⎜ 1 − 1 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 1 0 0 −1 ⎠ 0 0 0 0 1 ⎛ крiм того ⎞ 0 0 0 0 0 ⎜ ⎟ 1 := ⎝ 0 1 0 0 0 ⎠ , 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ 1 0 0 0 0 ⎜ ⎟ 2 := ⎝ 0 1 0 0 0 ⎠ . 0 0 0 1 0 ⎛ Нормальна (0 () = 5 ) фундаментальна матриця однорiдної частини системи (2.10) має зображення cos sin − sin cos cos ⎜ ⎜ 0 cos 0 − sin − sin ⎜ 0 () = ⎜ sin ⎜ sin − cos cos sin ⎜ sin 0 cos + cos ⎝ 0 0 0 0 0 Оскiльки ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ −1 0 0 −2 −2 ⎜ ⎟ = ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠, 0 0 0 −1 −1 + 2 ⎛ * ⎞ 0 0 0 ⎜ ⎟ = ⎝ 0 1 0 ⎠ ̸= 0, 0 0 0 ⎛ крайова задача (2.10) не розв’язна у класi () ∈ C1 [0, 2 ] для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R3 . У той же час, регуляризована крайова задача з iмпульсним впливом (2.11) розв’язна для 66 довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора , якщо * = 0. Лiнiйний обмежений векторний функцiонал ℓ (·) може бути зображений у виглядi ℓ (·) = ℓ (·) + ℓ (·), де ℓ (·) = 1 (0), ℓ (·) = −2 (2 ) — лiнiйнi обмеженi функцiонали. У наслiдок повноти рангу матрицi ⎞ −1 0 0 −2 −2 ⎜ ⎟ = ⎝ 0 −1 0 0 0 ⎠ 0 0 0 −1 −1 + 2 рiвнiсть (2.9) виконується. Позначимо := 1 + 2 . Для матрицi повного рангу ⎛ ⎛ 0 0 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ℰ := ⎝ 1 0 0 0 0 ⎠ 0 0 0 0 1 iснує принаймнi одна матриця −1 ⎜ ⎜ −1 ⎜ ⎜ = ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 ⎛ (2+2 +2 )(−1+) 2+2 +2 2+2 +2 2+2 +2 0 0 (1+ )(−1+ ) 2+2 +2 (−1+ ) − 2+2 +2 0 −1 (1+ ) 2+2 +2 − 2+2 +2 0 0 −1 0 − (2+ ) − 2+2 +2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎠ 0 − − 2 2+2 +2 − (1−22 + −3 (1+ 2 )) 2+2 +2 яка забезпечує розв’язнiсть регуляризованої задачi з iмпульсним впливом (2.11) у класi {︂ }︂ () ∈ C1 [0, 2 ] ∖ { } для довiльної функцiї () ∈ C1 [0, 2 ] та довiльного вектора ∈ R3 , а, отже, iснування = 3 параметричної сiм’ї розв’язкiв [︂ ]︂ (, ) = () + (); (), ∈ R3 . 67 Тут ( − 1) sin ( − 1) sin 2 cos ⎜ cos cos −2 sin ⎜ ⎜ () = ⎜ ⎜ −( − 1) cos −( − 1) cos 2 sin ⎜ sin sin 2 cos ⎝ 0 0 0 ( − ) sin ( − ) sin ⎜ cos cos ⎜ ⎜ () = ⎜ ⎜ −( − ) cos −( − ) cos ⎜ sin sin ⎝ 0 0 ⎛ ⎞ 0 ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟, ⎟ 0⎠ 0 ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎠ ∈ [0, [, ∈ [, 2 ] — матриця, складена з = 3 лiнiйно-незалежних розв’язкiв однорiдної частини задачi (2.11). Позначимо для визначеностi = 0 та () := (︁ 0 0 sin 0 0 )︁* . Розв’язок (, ) регуляризованої задачi з iмпульсним впливом (2.11) зображується за допомогою узагальненого оператора Грiна ⎛ ⎜ ⎜ [︂ ]︂ 1⎜ (); () = ⎜ 2⎜ ⎜ ⎝ 1 2 (−2( − ) cos + (−2 + + ) sin ) 2 cos − 2 (1 + ) cos + (− + ) sin sin 0 [︂ ]︂ (); () = ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , ∈ [0, [, ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1⎜ ⎜ = ⎜ 2⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2(2+2 +2 )(2 −) cos +(2+2 +2 (1+ 2 ))(2+ 2 −) sin − 2(2+2 +2 (1+ 2 )) ((2+2 +2 (1+ 2 )) cos +22 sin ) 2(2+2 +2 (1+ 2 )) (2+2 +2 (1+ 2 ))( −) cos −2(2+2 +2 )(2 −) sin 2(2+2 +2 (1+ 2 )) 2 (2 −2 cos +(2+2 +2 (1+ 2 )) sin ) 2(2+2 +2 (1+ 2 )) 2 − 2+2 + 2 (1+ 2 ) ∈ [, 2 ]. У даному випадку (︂ )︂ det 5 + = 0, 68 тому iмпульсний вплив (2.11) — вироджений [14, 89]. Регуляризацiя крайової задачi (2.7) за допомогою iмпульсного впливу (2.8) можлива лише за умови ≤ . Якщо < , iснує принаймнi одна матриця (︂ )︂+ (︂ )︂ −1 −1 = 0 ( ) ℰ − 0 ( ) − , яка забезпечує розв’язнiсть задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8) у класi }︂ {︂ () ∈ C1 [, ] ∖ { } для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R , причому (︂ )︂ (︂ )︂ rank + ≤ rank ℰ − ≤ < , отже, за умови < , доведено виродженiсть iмпульсного впливу (2.8). Якщо ж = , iснує принаймнi одна матриця , яка забезпечує розв’язнiсть задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8) для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R , причому (︂ )︂ (︂ )︂ rank + = rank ℰ − ≤ , отже, за умови = , невиродженiсть матрицi ℰ − забезпечує невиродженiсть iмпульсного впливу (2.8). Таким чином, доведено наступне твердження. Наслiдок 2.2.2. Якщо нетерова ( ̸= ) крайова задача (2.7) не розв’язна у класi () ∈ C1 [, ] для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R , то разi повноти рангу матрицi iснує принаймнi одна матриця (︂ )︂+ (︂ )︂ −1 −1 = 0 ( ) ℰ − 0 ( ) − , яка забезпечує розв’язнiсть задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8) у класi {︂ }︂ () ∈ C1 [, ] ∖ { } для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R у виглядi − параметричної ( > 0) сiм’ї розв’язкiв (, ) задачi (2.7) з 69 iмпульсним впливом (2.8). Тут ℰ ∈ R× — довiльна матриця повного рангу ≤ . Умова < гарантує виродженiсть iмпульсного впливу (2.8); у випадку = невиродженiсть матрицi ℰ − забезпечує невиродженiсть iмпульсного впливу (2.8). Приклад 2.2.2. Умови доведеного наслiдку 2.2.2 виконуються у ви- падку двоточкової крайової задачi (2.10), яка для довiльної неперервної функцiї () не має розв’язкiв у класi () ∈ C1 [0; 2 ]; в той же час у класi функцiй }︂ {︂ () ∈ 1 [0, 2 ] ∖ { } , := двоточкова крайова задача з iмпульсним впливом (2.11) розв’язна для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R5 ; тут () — матриця, наведена ⎛ 0 0 1 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ 1 := ⎜ ⎜1 0 0 ⎜ ⎝0 1 0 0 0 0 у прикладi 2.2.1, крiм того ⎛ ⎞ 0 0 0 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 0 0 0 , := 0 0⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0⎠ ⎝0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ Нормальна (0 () = 5 ) фундаментальна матриця однорiдної частини системи (2.10) наведена у прикладi 2.2.1. Оскiльки 0 −1 1 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 1 −2 ⎜ = ⎜ 0 0 −2 −2 ⎜0 ⎜ 0 ⎝ 0 1 + 2 −1 0 0 0 0 −1 2 ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎠ * 0 0 0 ⎜ ⎜0 1 0 1⎜ = ⎜ 0 0 0 2⎜ ⎜ ⎝0 0 0 0 1 0 ⎛ ⎞ 0 0 ⎟ 0 1⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎟ ̸= 0, ⎟ 0 0⎠ 0 1 крайова задача (2.10) не розв’язна у класi () ∈ C1 [0, 2 ] для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R5 . У наслiдок повноти рангу матрицi рiвнiсть (2.9) виконується. Для матрицi повного рангу ℰ := 2 iснує принаймнi одна матриця ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −2 0 0 2 2 0 −1 − −1 0 0 0 −1 − 2 −1 − 0 0 (︀ )︀ 0 0 0 −2 − − −−2 1 + + 2 0 0 0 − −1 + −2 + − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎠ 70 яка забезпечує розв’язнiсть регуляризованої задачi з iмпульсним впливом (2.11) у класi {︂ }︂ () ∈ C [0, 2 ] ∖ { } 1 для довiльної функцiї () ∈ C1 [0, 2 ] та довiльного вектора ∈ R5 , а, отже, iснування єдиного (* = 0) розв’язку [︂ ]︂ () = (); (). Тут ⎞ 0 0 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎜0 0 0 1 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎜ 1 0 0 0 0 ⎟. ⎟ ⎜ ⎝0 1 0 0 0⎠ 0 0 0 0 1 Позначимо для визначеностi = 0 та (︁ )︁* () := 0 0 sin 0 0 . ⎛ Розв’язок () регуляризованої задачi з iмпульсним впливом (2.11) зображується за допомогою узагальненого оператора Грiна ⎞ cos − sin ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ [︂ ]︂ ⎟ 1⎜ ⎟, (); () = ⎜ sin ⎟ 2⎜ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ 0 ⎛ (−2 + ) cos − sin ⎜ ⎜ 0 [︂ ]︂ 1⎜ (); () = ⎜ (−2 + ) sin 2⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 У даному випадку (︂ )︂ det ℰ − тому, згiдно наслiдку 2.2.2, ⎛ ∈ [0, [, ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎠ ∈ [, 2 ]. = 1 ̸= 0, (︂ det 5 + )︂ = −−2 ̸= 0, отже, iмпульсний вплив (2.11) — невироджений [14, 89]. 71 2.3 Регуляризацiя перiодичних крайових задач за допомогою iмпульсного збурення Припустимо задачу про знаходження -перiодичних розв’язкiв () ∈ C1 [0, ] системи звичайних диференцiальних рiвнянь [110] ()/ = () () + () некоректно поставленою [1, 8] (2.12) ∫︁ 0 * () () ̸= 0 для довiльної неперервної -перiодичної функцiї (); тут () — неперервна на вiдрiзку [0, ] матриця, () — фундаментальна матриця системи, спряженої до однорiдної частини системи (2.12). Дослiдимо умови регуляризацiї [1, 38, 110] крайової задачi для системи (2.12) з перiодичною граничною умовою ℓ (·) := (0) − ( ) = 0 та iмпульсним впливом [8, 13, 55, 90, 92, 110] (2.13) Δ ( ) = ( − 0) + , Δ ( ) := ( + 0) − ( − 0). (2.14) На вiдмiну вiд монографiї [110] та статтi [8] поставимо задачу не про умови розв’язностi лiнiйної перiодичної крайової задачi для системи (2.12) з фiксованим iмпульсним впливом (2.14), а дослiджуємо задачу про знаходження -перiодичних розв’язкiв () ∈ C 1 {︂ [0, ] ∖ { } }︂ а також матрицi ∈ R× , яка б для фiксованого вектора := 0 гарантувала б розв’язнiсть цiєї задачi для довiльної неперервної функцiї (). Поставлена задача продовжує дослiдження умов регуляризацiї лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь за допомогою iмпульсного впливу, наведених у монографiї [110, c. 248] та статтi [8] на випадок := 0 та не фiксованої матрицi . Позначимо 0 () нормальну (0 ( ) = ) фундаментальну матрицю [14, 89] однорiдної частини 72 системи (2.12). Загальний розв’язок () ∈ C1 [0, ] ∖ { } , {︂ }︂ 0 < < диференцiальної системи з iмпульсним впливом (2.12), (2.14) зобразимо у виглядi ]︂ (, ) = () + () (), [︂ ∈ R , де {︃ ∫︀ −1 [︂ ]︂ −0 () 0 () () ∈ [0, [, ∫︀ −1 () () := 0 () 0 () (), ∈ [, ] — узагальнений оператор Грiна задачi Кошi ( ) = 0 для диференцiальної системи (2.12) та ()− нормальна ( ( − 0) = ) фундаментальна матриця однорiдної частини системи (2.12) з iмпульсним впливом (2.14) {︃ () = 0 (), ∈ [0, [, 0 ()( + ), ∈ [, ]. Диференцiальна система (2.12) з перiодичною крайовою умовою (2.13) та iмпульсним впливом (2.14) розв’язна у класi () ∈ C1 [0, ] ∖ { } {︂ }︂ для довiльної неперервної функцiї (), якщо * = 0. Лiнiйний векторний функцiонал ℓ (·) у даному випадку може бути зображений у виглядi ℓ (·) = ℓ (·) + ℓ (·), Позначимо матрицi ℓ (·) := (0), ℓ (·) := ( ). := ℓ 0 (·) ∈ R× , := ℓ 0 (·) ∈ R× . Вимога * = 0 рiвнозначна повнотi рангу матрицi . Позначимо довiльну невироджену матрицю ℰ ∈ R× . Повнота рангу матрицi := ℓ (·) рiвнозначна рiвнянню ( + ) = ℰ − , розв’язному вiдносно матрицi := ℓ 0 (·) := −0 ( ) у наслiдок невиродженостi нормальної (0 ( ) = ) фундаментальної матрицi 0 () 73 однорiдної частини системи (2.12). Таким чином, одержуємо принаймнi одну матрицю (︂ )︂ −1 = 0 ( ) − ℰ − , яка забезпечує однозначну розв’язнiсть задачi (2.12), (2.13) з iмпульсним впливом (2.14) для довiльної неперервної функцiї (), причому (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ det + = det ℰ − = det 0 (0) − ℰ . Отже, за умови невиродженостi матрицi 0 (0) − ℰ , наприклад, у разi ℰ := 0 (0), iмпульсний вплив (2.14) — невироджений. Таким чином, доведено наступне твердження. Наслiдок 2.3.1. Якщо задача про знаходження -перiодичних роз- в’язкiв () ∈ C1 [0, ] системи звичайних диференцiальних рiвнянь (2.12) нерозв’язна, то iснує принаймнi одна матриця = −1 0 ( ) (︂ )︂ − ℰ − , яка забезпечує розв’язнiсть задачi (2.12), (2.13) з iмпульсним впливом (2.14) для довiльної неперервної функцiї () у класi {︂ }︂ 1 () ∈ C [, ] ∖ { } , у виглядi − параметричної ( > 0) сiм’ї розв’язкiв [︂ ]︂ (, ) = () + () (), ∈ R задачi (2.7) з iмпульсним впливом (2.8). Умова невиродженостi матрицi 0 (0) − ℰ гарантує однозначну розв’язнiсть задачi (2.12), (2.13) з невиродженим iмпульсним впливом (2.14). У разi ж (︂ )︂ det 0 (0) − ℰ = 0 iмпульсний вплив (2.14) — вироджений. Тут 0 () нормальна (0 ( ) = ) фундаментальна матриця однорiдної частини системи (2.12), ()− 74 нормальна ( ( −0) = ) фундаментальна матриця однорiдної частини задачi (2.12), (2.13) з iмпульсним впливом (2.14) {︃ 0 (), ∈ [0, [, () = 0 ()( + ), ∈ [, ], ()− ( × )− вимiрна матриця, складена з − лiнiйно-незалежних розв’язкiв однорiдної частини задачi (2.12) з iмпульсним впливом (2.14), ℰ ∈ R× — довiльна матриця повного рангу. Доведений наслiдок 2.3.1 не передбачає вимоги iснування розв’язкiв рiвняння вiдносно матрицi ∈ R× , тому суттєво покращує вiдповiдний результат [96]. Приклад 2.3.1. Умови доведеного наслiдку 2.3.1 виконуються у ви- падку 2 − перiодичної крайової задачi / = () + (), ℓ (·) := (0) − (2 ) = 0, (2.15) яка для довiльної неперервної функцiї () не має розв’язкiв у класi () ∈ C1 [0; 2 ]; в той же час у класi функцiй {︂ }︂ 1 () ∈ [0, 2 ] ∖ { } , := 2 − перiодична крайова задача з iмпульсним впливом / = () + (), ̸= , ℓ (·) = 0, Δ ( ) = ( − 0) (2.16) розв’язна для довiльної неперервної функцiї (); тут ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ () := ⎝ 0 0 1 ⎠ . 0 −1 0 Нормальна (0 ( ) = 3 ) фундаментальна матриця однорiдної частини системи (2.15) має вигляд ⎞ − 0 0 ⎜ ⎟ () = ⎝ 0 − cos − sin ⎠ , 0 sin − cos ⎛ 75 Оскiльки ⎞ − − 0 0 ⎜ ⎟ = ⎝ 0 0 0 ⎠, 0 0 0 ⎛ * ⎞ 0 0 0 ⎜ ⎟ =⎝0 1 0⎠= ̸ 0, 0 0 1 ⎛ крайова задача (2.15) не розв’язна у класi () ∈ C1 [0, 2 ] для довiльної неперервної функцiї (). Для матрицi повного рангу ℰ := − знаходимо єдину матрицю ⎞ −1 − 2−2 0 0 ⎜ ⎟ = ⎝ 0 −3 0 ⎠ , 0 0 −3 яка забезпечує розв’язнiсть регуляризованої задачi з iмпульсним впливом (2.16) у класi ⎛ {︂ }︂ () ∈ C1 [0, 2 ] ∖ { } для довiльної функцiї () ∈ C1 [0, 2 ]. У наслiдок невиродженостi матрицi 0 (0) − ℰ iмпульсний вплив (2.16) невироджений, а розв’язок регуляризованої задачi (2.16) — єдиний. Покладемо для визначеностi () := (︁ 0 0 sin )︁* . Розв’язок () регуляризованої задачi з iмпульсним впливом (2.16) зображується за допомогою узагальненого оператора Грiна ⎞ ⎛ 0 [︂ ]︂ 1⎜ ⎟ () () = ⎝ − cos + sin ⎠ , 2 sin 0 [︂ ]︂ 1⎜ ⎟ () () = ⎝ ( − ) cos + sin ⎠ , 2 ( − ) sin Для матрицi ж повного рангу ∈ [0, [, ⎛ ⎞ ∈ [, 2 ]. ⎞ 0 0 1 ⎜ ⎟ ℰ := ⎝ 0 −1 0 ⎠ 1 0 0 ⎛ 76 знаходимо матрицю ⎛ ⎜ = ⎝ −1 − −2 0 −1 0 − ⎞ ⎟ −1 0 ⎠ , 0 −2 яка також забезпечує розв’язнiсть регуляризованої задачi з iмпульсним впливом (2.16). У наслiдок виродженостi матрицi 0 (0) − ℰ iмпульсний вплив (2.16) також вироджений, але розв’язок регуляризованої задачi (2.16) — єдиний. Для тiєї ж самої неоднорiдностi () розв’язок () регуляризованої задачi з iмпульсним впливом (2.16) набуває вигляду ⎛ ⎞ 0 [︂ ]︂ 1⎜ ⎟ () () = ⎝ −( + ) cos + sin ⎠ , ∈ [0, [, 2 ( + ) sin ⎛ ⎞ 0 [︂ ]︂ 1⎜ ⎟ () () = ⎝ ( − ) cos + sin ⎠ , ∈ [, 2 ]. 2 ( − ) sin Таким чином, доведений наслiдок дозволяє знаходження, як виродженого, так i невиродженого iмпульсного впливу (2.14), який дає розв’язок задачi про регуляризацiю задачi про знаходження перiодичних розв’язкiв системи звичайних диференцiальних рiвнянь (2.12). На завершення зазначимо, що побудована нами схема регуляризацiї лiнiйних нетерових крайових задач аналогiчно [91, 116, 128] може бути перенесена на матричнi диференцiально-алгебраїчнi крайовi задачi. 2.4 Регуляризацiя лiнiйної нетерової крайової задачi за допомогою iмпульсного впливу типу ”interface conditions” Припустимо далi, що крайова задача ()/ = () () + (), та довiльного вектора : ℓ (·) = ∈ R (2.17) не розв’язна у класi () ∈ C1 [, ] для довiльної неперервної функцiї () {︃ * [︂ ]︂ }︃ − ℓ () (·) ̸= 0, := ℓ0 (·) ∈ R× , rank := 1 . 77 Тут () — неперервна на вiдрiзку [, ] матриця та ℓ (·)− лiнiйний векторний функцiонал, компоненти якого ℓ(1) (·), ... , ℓ() (·) : C[, ] → R1 — лiнiйнi обмеженi функцiонали, * ∈ R× — матрица-ортопроектор: * : R → N(* ), 0 () — нормальна (0 () = ) фундаментальна матриця [14, 89] однорiдної частини системи (2.17). На вiдмiну вiд монографiї [110] та статтi [8] поставимо задачу про знаходження умов розв’язностi та побудову розв’язку () ∈ C 1 {︂ }︂ [, ] ∖ { } , = 1, 2, ... , , ∈ [, ] лiнiйної крайової задачi для системи з iмпульсним впливом типу ”interface conditions” [13, 90, 92] ()/ = () () + (), Лiнiйний обмежений векторний функцiонал ℒ (·) = ˇ, (2.18) ℒ (·) : C[, ] → R , припускаємо, зображується у виглядi ∑︁ =0 ℒ (·) = ℓ (·), ℓ0 (·) : C[, 1 ] → R , ℓ (·) : C[ , ] → R , ℓ (·) : C[−1 , [→ R , = 1, 2, ... , та гарантує розв’язнiсть задачi (2.18) у класi }︂ {︂ () ∈ C1 [, ] ∖ { } для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R . Поставлена задача продовжує дослiдження умов регуляризацiї лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь за допомогою iмпульсного впливу, наведених у монографiї [110, c. 248] на випадок iмпульсного впливу типу ”interface conditions” [94] ℓ0 (·) + ℓ1 (·) ⎜ ⎜ ℓ0 (·) + ℓ1 (·) + ℓ2 (·) ℒ (·) : = ⎜ ⎜ ........................................... ⎝ ℓ0 (·) + ℓ1 (·) + ... + ℓ (·) ⎛ ⎞ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟=⎜ ⎟ ˇ. ⎟ ⎜ ... ⎟ := ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 78 Позначимо матрицю ⎧ ⎪ 0 (), ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ( − ), 0 1 () = ⎪ ............... ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ( − ), 0 а також матрицю ∈ [, 1 [, ∈ [1 , 2 [, ................ ∈ [ , ] , 0 ⎜ ⎜ 0 Θ := ⎜ ⎜ ... ⎝ 0 ⎛ 1 ... ⎞ ⎞ 0 ⎜ ⎟ := ⎝ ... ⎠ ∈ R(+1) ⎛ ⎟ 1 2 ... ⎟ ⎟ ∈ R·×·(+1) , ... ... ... ⎟ ⎠ 1 2 ... та її ортопроектор Θ* : R → N(Θ* ); тут 0 := ℓ0 0 (·) ∈ R× , ... , := ℓ 0 (·) ∈ R× . Розв’язок задачi (2.18) () ∈ C зображується у виглядi 1 {︂ [, ] ∖ { } }︂ ]︂ (, ) = () + () (), ∈ [, ], де [︂ ̸= ∈ [, ], ∈ R , [︂ ]︂ ∫︁ −1 () () := 0 () 0 () (), ∈ [, ], 0 ̸= ∈ [, ] — узагальнений оператор Грiна задачi Кошi () = для диференцiальної системи (2.18). Загальний розв’язок однорiдної частини системи (2.18) ⎧ ⎪ 0 () · 0 , ∈ [, 1 [, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ( − ) · , ∈ [ , [, 0 1 1 1 2 0 (, ) = () · = ⎪ ............... ................ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ( − ) · , ∈ [ , ] 0 задовольняє крайовiй умовi (2.18) за умови Θ · = 0. Останню умову задовольняє вектор ˇ = Θ · , ˇ ∈ R(+1) ; 79 тут Θ — ортопроектор: R(+1) → N(Θ). Позначимо матрицю Θ , утворену з ≤ лiнiйно незалежних стовпцiв ортопроектора Θ та матрицi 0 := ( ... ) · Θ , ... , := ( ... ) · Θ . Таким чином, отримуємо загальний розв’язок 0 (, ) = () · , однорiдної частини системи (2.18), де ∈ R ⎧ ⎪ 0 () · 0 , ∈ [, 1 [, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ( − ) · , ∈ [ , [, 0 1 1 1 2 () := ⎪ ............... ................ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ( − ) · , ∈ [ , ] 0 — фундаментальна матриця однорiдної частини крайової задачi (2.18). Для розв’язання неоднорiдної крайової задачi (2.18) достатньо задовольнити крайову умову ℒ (·) := ℓ0 (·) + ℓ1 (·) + ... + ℓ (·) = ˇ. Таким чином, отримуємо рiвняння (2.19) ]︂ · = ˇ − ℒ () (·), [︂ := ( ) := ℒ (·), := [ 1 , 2 , ... , ] , розв’язне тодi й тiльки тодi, коли {︃ * ]︂ }︃ ˇ − ℒ () (·) = 0; [︂ тут * — ортопроектор: R → N(* ). Розв’язнiсть крайової задачi (2.18) для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R гарантує умова * = 0, рiвнозначна рiвнянню ℱ ( ) := ( ) · + ( ) = (2.20) вiдносно невiдомого вектора ∈ R . Зазначимо, що у критичному випадку (* ̸= 0), згiдно iз теоремою 1.1.3, рiвняння (2.20) розв’язне [81, 129] 80 лише для фредгольмової ( = ), або ж недовизначеної ( < ) крайової задачi (2.18). Отже, рiвняння (2.20), розв’язне, зокрема, для фредгольмової ( = ) крайової задачi (2.18) за умови det ( ) ̸= 0, при цьому iснує принаймнi один вектор , який дає розв’язок рiвняння (2.20). Таким чином, доведено наступну умову регуляризацiї лiнiйної нетерової крайової задачi за допомогою iмпульсного впливу типу ”interface conditions” [94]. Теорема 2.4.1. Якщо крайова задача (2.17) у класi () ∈ C1 [, ] не розв’язна для довiльної неперервної функцiї () та довiльного вектора ∈ R : * {︃ [︂ ]︂ }︃ − ℓ () (·) ̸= 0, то для кожного вектора ∈ R — розв’язку рiвняння (2.20), крайова задача (2.18) у класi {︂ }︂ () ∈ C1 [, ] ∖ { } , = min , ∈N 0≤≤ ]︂ max rank ( ) = ≤ [︂ має принаймнi один розв’язок [︂ ]︂ (, ) = () + (), (), ∈ [, ], де ̸= ∈ [, ], ∈ R , {︃ [︂ ]︂ [︂ ]︂ }︃ [︂ ]︂ + (); () := () ˇ − ℒ () (·) + () () — узагальнений оператор Грiна задачi про регуляризацiю за допомогою iмпульсного впливу (2.18), ⎧ ⎪ 0 ()0 , 0 = ( ... ) · Θ , ∈ [, 1 [, ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ( − ) , = ( ... ) · , ∈ [ , [, 0 1 1 1 Θ 1 2 () = ⎪ ................. ...................................... ................ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ( − ) , := ( ... ) · , ∈ [ , ] 0 Θ — фундаментальна матриця однорiдної частини задачi (2.18). Приклад 2.4.1. Умови теореми 2.4.1 виконуються для трьохточко- вої задачi / = () + (), ℓ (·) := 0 (− ) + 1 (0) + 2 ( ) = 1, (2.21) 81 яка для довiльної неперервної функцiї () ∈ C[− ; ] не має розв’язкiв у класi функцiй () ∈ C1 [− ; ]; у той же час у класi {︂ }︂ 1 () ∈ C [− ; ] ∖ { } , 1 := − , 2 := 2 2 трьохточкова крайова задача з iмпульсним впливом / = () + (), ̸= , ℒ (·) := 0 (− ) + 1 (0) + 2 ( ) = (2.22) розв’язна для довiльної неперервної функцiї () ∈ C[− ; ]; тут (︃ )︃ (︃ )︃ (︁ )︁ 0 −1 sin () = , () = , 0 = 2 = 1 1 , 1 = 20 . 1 0 cos Оскiльки [︃ 0 () = − cos sin − sin − cos ]︃ , = [︁ 0 0 , ]︁ [︃ * = (1), = 1 0 0 1 ]︃ , то у випадку трьохточкової задачi для диференцiального рiвняння (2.21) має мiсце критичний випадок, при цьому необхiдну i достатню умову iснування гладкого розв’язку в класi () ∈ C1 [− ; ] для довiльної неперервної функцiї () ∈ C[− ; ] не виконано, в то й же час, у класi () ∈ C 1 {︂ }︂ [− ; ] ∖ { } , 1 := − , 2 2 := 2 трьохточкова крайова задача з iмпульсним впливом (2.22) розв’язна для довiльної функцiї }︂ () ∈ C [− ; ] ∖ { } . {︂ У тому же просторi нормальна ( (− ) = (− 2 ) = ( 2 ) = 2 ) фун- даментальна матриця () однорiдної частини диференцiальної системи (2.21) набуває вигляду ⎧ (︃ )︃ ⎪ − cos sin ⎪ ⎪ , ∈ [− ; − ⎪ 2 [, ⎪ ⎪ − sin − cos ⎪ ⎪ (︃ )︃ ⎪ ⎨ sin cos () = , ∈ [− , 2 2 [, ⎪ − cos sin ⎪ ⎪ (︃ )︃ ⎪ ⎪ ⎪ − sin − cos ⎪ ⎪ , ∈ [ ⎪ 2 , ]. ⎩ cos − sin 82 Тут 0 := ℓ0 0 (·) = 0 0 (− ) = 1 1 , (︁ )︁ 1 := ℓ1 0 (·) = 1 0 (0) = −2 2 , (︁ )︁ 2 := ℓ2 0 (·) = 2 0 ( ) = −1 1 . Для побудови фундаментальної системи розв’язкiв () однорiдної частини диференцiальної системи (2.22) використовуємо матрицю (︁ )︁ (︃ Θ= ортопроектор 1 1 −2 2 0 0 1 1 −2 2 −1 1 9 )︃ , ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎜ Θ = ⎜ 10 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −1 2 −2 0 0 2 −2 6 4 4 6 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ −1 9 2 2 −2 −2 0 0 0 0 5 5 а також матрицю, утворену з двох лiнiйно незалежних стовпцiв останнього ортопроектора ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎜ = ⎜ 10 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ Θ 2 2 6 4 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ 0 5⎟ ⎠ 0 5 0 0 0 0 ⎞ Оскiльки * = 0; то неоднорiдна задача (2.22), регуляризована за допомогою iмпульсного впливу, розв’язна для довiльної функцiї (); тут = [︁ −2 4 . ]︁ При цьому трьохточкова крайова задача з iмпульсним впливом (2.22), регуляризована за допомогою iмпульсного впливу має однопараметричну сiм’ю розв’язкiв [︂ ]︂ (, ) = () + () (), ∈ [− ; ], ̸= 1 , ̸= 2 , ∈ R2 , 83 де − cos + sin 0 , ∈ [− ; − 2 [, − cos − sin 0 (︃ )︃ 2 cos + 3 sin 0 1 () = , ∈ [− ; 5 2 2 [, ⎪ − 3 cos + 2 sin 0 ⎪ ⎪ (︃ )︃ ⎪ ⎪ ⎪ 0 − cos − sin ⎪ 1 ⎪ , ∈ [ ⎪ 2 ; ] ⎩ 2 0 cos − sin 1 5 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (︃ )︃ — фундаментальна матриця однорiдної частини крайової задачi з iмпульсним впливом (2.22), 1 (), () = 10 [︂ [︁ cos + 2 sin [︁ , ∈ − ; − , 2 −2 cos + 11 sin [︃ ]︃ [︂ ]︂ [︁ [︁ 2 cos − sin 1 , , ∈ − ; (), () = 10 cos + 12 sin 2 2 [︃ ]︃ [︂ ]︂ [︁ ]︁ −2 cos + sin 1 (), () = , ∈ ; 10 − cos + 8 sin 2 ]︂ [︃ ]︃ — узагальнений оператор Грiна задачi про регуляризацiю за допомогою iмпульсного впливу (2.21). Рiвняння (2.20), зокрема, розв’язне для фредгольмової ( = ) перiодичної задачi ()/ = () () + (), ℓ (·) := (0) − ( ) = 0, (2.23) при цьому будь-який момент iмпульсного впливу 0 < < є розв’язком рiвняння (2.20). Таким чином, доведено наступну умову регуляризацiї лiнiйної нетерової крайової задачi за допомогою iмпульсного впливу. Наслiдок 2.4.1. Якщо крайова задача (2.23) у класi () ∈ C1 [0; ] не розв’язна для довiльної неперервної функцiї () : [︂ ]︂ * ℓ () (·) ̸= 0, то для кожного 0 < < крайова задача (2.23) у класi {︂ }︂ () ∈ C1 [0, ] ∖ { } 84 має принаймнi один розв’язок [︂ ]︂ (, ) = () + () (), ∈ [0; ], де ̸= , ∈ R , ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂ −1 () () := () () − () ℒ () (·) [︂ — узагальнений оператор Грiна задачi про регуляризацiю за допомогою iмпульсного впливу перiодичної задачi (2.23), {︃ 0 ()0 , 0 = ( ) · Θ , ∈ [0, [, () = 0 ( − 1 )1 , 1 = ( ) · Θ , ∈ [, ] — фундаментальна матриця однорiдної частини задачi (2.23). Приклад 2.4.2. Умови наслiдку 2.4.1 виконуються для перiодичної задачi / = () + (), ℓ (·) := (0) − (2 ) = 0, (2.24) яка для довiльної неперервної функцiї () ∈ C[0, 2 ] не має розв’якiв у класi функцiй () ∈ C1 [0; 2 ]; в то й же час, у класi {︂ }︂ 1 () ∈ C [0, 2 ] ∖ { } , := перiодична крайова задача з iмпульсним впливом / = () + (), ̸= , ℒ (·) := (0) − (2 ) = 0 розв’язна для довiльної неперервної функцiї () ∈ C[0, 2 ]; тут ⎛ ⎞ 0 0 −1 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 −1 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ () := ⎜ ⎜ 1 −1 0 1 0 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 0 0 −1 ⎠ 0 0 0 0 1 Оскiльки (2.25) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ 0 () = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ cos sin − sin cos 0 cos 0 − sin sin − cos cos sin 0 0 sin 0 0 0 cos 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ − + cos ⎦ cos − sin sin ⎤ 85 то ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝0 0 0 0 0 0 при цьому 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 −2 0 0 −1 + 2 1 − 2 0 0 0 1 1 ⎞ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ 1⎜ = ⎜ 2⎜ ⎜ ⎝ * 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ̸= 0, ⎟ ⎟ ⎠ отже, у випадку перiодичної задачi (2.24) має мiсце критичний випадок, при цьому необхiдну i достатню умову iснування гладкого розв’язку в класi () ∈ C1 [0, 2 ] для довiльної функции () ∈ C[0, 2 ] не виконано, в той же час, у класi () ∈ C1 [0, 2 ] ∖ { } , {︂ }︂ := перiодична крайова задача з iмпульсним впливом (2.25) розв’язна для довiльної функцiї () ∈ C1 [0, 2 ] ∖ { } . Дiйсно, нормальна ( (0) = ( ) = 5 ) фундаментальна матриця () однорiдної частини диференцiальної системи з iмпульсним впливом (2.25) {︂ }︂ {︃ () = визначає рiвнiсть * = 0, де 0 (), ∈ [0; [, 0 ( − ), ∈ [, 2 ] ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 0 0 2 0 − 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 + 0 1 − ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ 86 Для побудови фундаментальної системи розв’язкiв () однорiдної частини диференцiальної системи (2.22) використовуємо матрицю 1 0 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎜ Θ=⎜ ⎜0 0 1 ⎜ ⎝0 0 0 0 0 0 Тут 0 = 5 , крiм того ⎛ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ 0 1 1 + ⎠ 0 0 − 0 0 ⎞ 0 0 ⎞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1 = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ 0 1 1 + ⎠ 0 0 − При цьому перiодична крайова задача, регуляризована за допомогою iмпульсного впливу (2.25) має єдиний ( = 0) розв’язок () = [ ()]() для довiльної неперервної функцiї () ∈ C[0, 2 ]; припустимо, наприклад, () := ⎡ (︁ sin cos sin cos sin )︁* , при цьому, для ∈ [0, [ : ⎤ (2 + + )(( + ) cos + (2 − 1 + 2) sin ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2( + )(2 cos − sin ) ⎥ ⎢ [︂ ⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎥ [︂ ]︂ − (2 + (3 + 2 ) + (3 + 4 )) cos + ⎥ 1⎢ ⎥ ]︂ (), 0 () = ⎢ ⎥ 4⎢ 2 2 ⎢ ⎥ +(3 + + 2 + + 2 (1 + )) sin ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2(+ + (1 + + ) cos + 2(1 + + ) sin ) ⎥ ⎣ ⎦ + 2(− − cos − sin ) та при ∈ [ ; 2 ] : (−2 + − )(( − ) cos + (2 + 1 − 2) sin ) ⎢ ⎢ −2( − )(2 cos − sin ) ⎢ [︂ ⎢ ⎢ [︂ ]︂ (2 2 − (3 + 2) + (3 + 4)) cos + 1⎢ ]︂ (), 0 () = ⎢ 4⎢ 2 2 ⎢ +(3 + + 2 + − 2 (1 + )) sin ⎢ ⎢ ⎢ 2(−+ + (1 − + ) cos + 2(1 − + ) sin ) ⎣ 2(−−+ − cos − sin ) ⎡ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 87 — узагальнений оператор Грiна в задачi про регуляризацiю за допомогою iмпульсного впливу (2.25). Навiдмiну вiд статтi [80] задача про регуляризацiю лiнiйної крайової задачi за допомогою iмпульсного впливу розв’язана конструктивно, причому отриманi достатнi умови iснування розв’язку рiвняння (2.20). Запропонована технiка регуляризацiї лiнейної нетерової крайової задачi за допомогою iмпульсного впливу може бути аналогiчно [107] перенесена на матричнi крайовi задачi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь, а також аналогiчно [112, 116] — на матричнi диференцiальноалгебраїчнi крайовi задачi. Крiм того, запропонована технiка регуляризацiї лiнейної нетерової крайової задачi може бути аналогiчно [106] перенесена на вiдповiднi крайовi задачi у частинних похiдних. 2.5 Регуляризацiя матричної крайової задачi за допомогою збурення крайової умови Припустимо задачу про знаходження розв’язкiв матричного диференцiального рiвняння ′ () = () + () + (), пiдпорядкованих крайовiй умовi (2.26) ℒ (·) = A, (2.27) некоректно поставленою [1, 38, 110], а саме: припустимо, що матрична крайова задача (2.26), (2.27) не має розв’язкiв [18, 107] × () ∈ C1 ⊗ C1 [; ] × [; ] := R для довiльних неоднорiдностей () ∈ C× [, ], A ∈ R× . Тут ∈ R× та ∈ R × — сталi матрицi; ℒ (·) — лiнiйний обмежений матричний функцiонал: × ℒ (·) : C1 . × [; ] → R 88 Нами дослiджено умови регуляризацiї [1, 38, 110] матричної крайової задачi (2.26), (2.27) за допомогою малого 0 < ≪ 1 збурення ˇ (·, ) := ℒ (·, ) + (, ) ℒ крайової умови (2.27): ˇ (·, ) = A, ℒ ∈ R× , ∈ R × . (2.28) На вiдмiну вiд статей [96, 127] регуляризацiя матричної крайової задачi (2.26), (2.27) вiдбувається не за рахунок iмпульсного збурення, а за рахунок збурення крайової умови (2.27) у просторi [91, 128] (, ) : (·, ) ∈ C1 × [; ], (, ·) ∈ C× [0, 0 ]. Взагалi кажучи, припускаємо ̸= ̸= ̸= . Умови розв’язностi та структура розв’язкiв системи (2.26) були наведенi в монографiї [18]. Конструктивнi умови розв’язностi та структура перiодичного розв’язку системи (2.26) за умов = = = були отриманi у статтi [107]. Як вiдомо [18, c. 211], загальний розв’язок задачi Кошi ′ () = () + (), має зображення () = Θ (, Θ) = (, Θ) := () · Θ · (), Θ ∈ R× , де () та () — нормальнi фундаментальнi матрицi: ′ () = (), та () = ′ () = (), () = . Загальний розв’язок () ∈ C1 × [, ] задачi Кошi ′ () = () + () + (), має зображення [107] () = Θ (, Θ) = (, Θ) + [ ()](), де Θ ∈ R× , ∫︁ [ ()]() := () −1 () () () −1 () 89 — оператор Грiна задачi Кошi для матричного диференцiального рiвняння (2.26). Матрична крайова задача (2.26), (2.27) розв’язна тодi й тiльки тодi, коли ℒ (·, Θ) = − ℒ [ ()](·). Позначимо Ξ( ) ∈ R× — природний базис [21] простору R× та — константи, якi визначають розвинення матрицi · ∑︁ =1 Θ= Ξ( ) , ∈ R1 , = 1, 2, ... · за векторами Ξ( ) ∈ R× базиса простору R× , при цьому ℒ (·, Θ) = · ∑︁ =1 ℒ (·)Ξ( ) (·) . Таким чином, отримуємо лiнiйне алгебраїчне рiвняння · ∑︁ =1 ℒ (·)Ξ( ) (·) = − ℒ [ ()](·) вiдносно · констант ∈ R1 , = 1, 2, ... , · , рiвнозначне лiнiйному алгебраїчному рiвнянню (2.29) = ℳ[] − ℳ{ℒ [ ()](·)} вiдносно вектора ∈ R· ; тут := [ ℳ[(1) ] ℳ[(2) ] ... ℳ[(· ) ] ] ∈ R· ×· , де ( ) := ℒ (·)Ξ( ) (·) ∈ R× , 86, 87, 110] = 1, 2, ... , · . Лiнiйне алгебраїчне рiвняння (2.29) розв’язне тодi й тiльки тодi, коли [85, * ℳ{ − ℒ [ ()](·)} = 0. Тут * — ортопроектор: R ·× · → N(* ). Оскiльки, за припущенням, матрична крайова задача (2.26), (2.27) не має розв’язкiв () ∈ C1 × [; ] для довiльних () ∈ C× [, ], A ∈ R× , 90 для цiєї задачi має мiсце критичний випадок [110], а саме: для матричної крайової задачi (2.26), (2.27) має мiсце нерiвнiсть * ̸= 0. Отже, матрична крайова задача (2.26), (2.28) матиме розв’язки (, ) : (·, ) ∈ C1 × [; ], (, ·) ∈ C× [0, 0 ] для довiльних () ∈ C× [, ], A ∈ R× у випадку Q* = 0; тут Q := [ ℳ[Q(1) ] ℳ[Q(2) ] ... ℳ[Q(· ) ] ] ∈ R· ×· , де ˇ (·)Ξ( ) (·) ∈ R× , Q( ) := ℒ зображена у виглядi = 1, 2, ... , · . Як вiдомо [4], кожна ( × )− матриця у певному базисi може бути = · · , rank := ; (2.30) тут ∈ R× та ∈ R× — невиродженi матрицi, (︃ := )︃ . Розвиненням (2.30) можна скористатися для знаходження умов регуляризацiї матричної крайової задачi (2.26), (2.27). Збурення матрицi шукатимемо у виглядi Q := + ℛ ∈ R ·×· , Нерiвнiсть Q* ̸= 0 рiвнозначна рiвнянню 0 < ≪ 1. [ + ℛ] · [ + ℛ]+ = · (2.31) вiдносно ( · × · )− матрицi ℛ. Зазначимо, що рiвняння (2.31) розв’язне лише за умови ≤ [121]. Дiйсно, припустимо рiвняння (2.31) перевизначеним: > , при цьому rank ( + ℛ)( + ℛ)+ ≤ rank ( + ℛ) = = rank ( + ℛ)+ ≤ < , що суперечить рiвностi рангiв лiвої та правої частин рiвняння (2.31). У випадку ≤ рiвняння (2.31) має принаймнi один розв’язок ℛ := · Π · ∈ R× , 91 де Π ∈ R× — матриця повного рангу. Таким чином, поставлена задача про регуляризацiю матричної крайової задачi (2.26), (2.27) рiвнозначна задачi про регуляризацiю матричного рiвняння Q() = ℳ[] − ℳ{ℒ [ ()](·)} (2.32) з ( × )− матрицею Q(). Остання задача розв’язна за умови ≤ у виглядi Q() := + ℛ, ℛ := · Π · . Дiйсно, матрицi та невиродженi, тому має мiсце рiвнiсть [21, 4.48] rank Q = rank ( + Π ) = , при цьому Q* = 0, отже система (2.32) з матрицею Q() розв’язна для довiльних неоднорiдностей () ∈ C× [, ], A ∈ R× . Припустимо матрицю ∈ R × — фiксованою, а ∈ R × — невiдомою матрицею; зазначимо, що · ∑︁ =1 (, ) = (, ) = Ξ( ) , ∈ R· . Позначимо Λ , = 1, 2, ... , · — природний базис [21] простору R × . Невiдому матрицю ∈ R × шукатимемо у виглядi · ∑︁ =1 = Λ ∈ R × , ∈ R1 , = 1, 2, ... , · . Для цього використовуємо рiвняння { ℳ[ Ξ(1) ] , ... , ℳ[ Ξ( ) ] } = · Π · . Позначимо матрицi Π := { ℳ[ Ξ() Λ1 ] , ... , ℳ[ Ξ() Λ ] }, де Π ∈ R × , = 1, 2, ... , · . 92 Невiдому матрицю визначає вектор ∈ R , для знаходження якого використовуємо систему (2.33) D = ℳ[ · Π · ]; тут ⎛ ⎜ ⎜ D := ⎜ ⎜ ⎝ Π1 ℳΛ1 Π2 ℳΛ1 . . . Π1 ℳΛ2 · · · Π2 ℳΛ2 · · · . ... . . Π1 ℳΛ Π2 ℳΛ . . . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Π ℳΛ1 Π ℳΛ2 · · · Π ℳΛ — ( × ) – вимiрна стала матриця. Система (2.33) розв’язна за умови D* ℳ[ Π ] = 0. має принаймнi один розв’язок (2.34) Якщо вимога (2.34) виконується (i тiльки у цьому випадку) система (2.33) = D+ ℳ[ Π ]; тут D* — матриця-ортопроектор: D* : R· · · → N(D* ). Таким чином, поставлену задачу про регуляризацiю матричної крайової задачi (2.26), (2.27) розв’язує принаймнi одна матриця = ℳ−1 [D+ ℳ( Π )], яка визначає збурення матрицi вигляду Q() := + ℛ, ℛ = · Π · , при цьому Q* () = 0, отже система (2.32) з матрицею Q() розв’язна для довiльних неоднорiдностей. За умови [97] ˇ [ ()](·, )} ∈ C [0, 0 ] Q+ ()ℳ{ − ℒ система (2.32) має розв’язок (2.35) ˇ [ ()](·, )} + Q () , ∈ R . = Q+ ()ℳ{ − ℒ Таким чином, отримуємо розв’язок матричної крайової задачi (2.26), (2.28) вигляду (, ) = (, ) + [ (); A](, ), ∈ R , 93 де (, ) := ℳ−1 [ ()Q () ] — загальний розв’язок однорiдної частини матричної крайової задачi (2.26), (2.28), [ (); A](, ) := [ ()]()+ {︃ {︂ }︂}︃ ˇ [ ()](·, ) +ℳ−1 Q+ ()ℳ − ℒ (2.36) — узагальнений оператор Грiна задачi про регуляризацiю матричної крайової задачi (2.26), (2.28), Q () — матриця, складена з лiнiйно-незалежних стовпцiв матрицi-ортопроектора Q () : R → N(Q()). Таким чином, доведено наступне твердження [97]. Теорема 2.5.1. Припустимо, що матрична крайова задача (2.26), (2.27) не має розв’язкiв () ∈ C1 × [; ] для довiльних неоднорiдностей () ∈ C× [, ], ння A ∈ R× . За умови ≤ та за вимог (2.34), (2.35) за допомогою малого збуре- ˇ (·, ) := ℒ (·, ) + (, ) , ℒ крайової умови (2.27): ∈ [0, 0 ] ˇ (·, ) = A, ℒ ∈ R× , ∈ R × матрична крайова задача (2.26), (2.28) отримує розв’язки вигляду (, ) = (, ) + [ (); A](, ), ∈ R у просторi (, ) : (·, ) ∈ C1 × [; ], (, ·) ∈ C× [0, 0 ]. Тут [ (); A](, ) — узагальнений оператор Грiна (2.36) задачi про регуляризацiю матричної крайової задачi (2.26), (2.28), (, ) := ℳ−1 [ ()Q () ] 94 — загальний розв’язок однорiдної частини матричної крайової задачi (2.26), (2.28). Зазначимо, що регуляризацiя матричної крайової задачi (2.26), (2.27) може бути здiйснена аналогiчно до статей [96, 127] за рахунок iмпульсного збурення розв’язкiв. Приклад 2.5.1. Умови доведеної теореми виконуються у випадку матричної задачi ′ () = () + () + (), ℒ (·) = A, яка для довiльних неоднорiдностей (2.37) () ∈ C2×3 [0; 2 ], A ∈ R2×3 не має розв’язкiв у класi () ∈ C2×3 [0; 2 ]; у той же час у класi функцiй (, ) : (·, ) ∈ C2×3 [0; 2 ], за допомогою малого збурення (, ·) ∈ C2×3 [0, 0 ] ˇ (·, ) := ℒ (·, ) + (0, ) ℒ крайової умови (2.37) регуляризована крайова задача для системи (2.37) стає розв’язною для довiльних неоднорiдностей; тут ⎛ ⎞ (︃ )︃ 0 0 −2 1 −2 ⎜ ⎟ := , := ⎝ −1 1 −2 ⎠ , 1 := 0, 2 := , 3 := 2, 1 −1 2 0 0 (︃ )︃ (︃ )︃ 3 ∑︁ 0 1 1 0 ℒ (·) := ( ) , 1 := , 2 := , 0 0 0 0 =1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (︃ )︃ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 := , 1 := ⎝ 0 0 0 ⎠ , 2 := ⎝ 1 0 0 ⎠ , 0 1 0 0 1 0 0 1 ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ 3 := ⎝ 0 0 0 ⎠ . 1 0 0 95 Загальний розв’язок задачi Кошi ′ () = () + (), для системи (2.37) має зображення () = Θ (, Θ) = () · Θ · (), Θ ∈ R2×3 , де () и () — нормальнi ( (0) = 2 , (0) = 3 ) фундаментальнi матрицi: (︃ () = ⎛ cos + sin −2 sin sin cos − sin )︃ , ⎞ cos 2 0 − sin 2 ⎜ ⎟ () = ⎝ − + cos 2 − sin 2 ⎠ . sin 2 0 cos 2 Позначимо (︃ Ξ(1) 1 0 0 0 0 0 )︃ , Ξ(2) = (︃ 0 0 0 1 0 0 )︃ , ... , Ξ(6) := (︃ 0 0 0 0 0 1 )︃ природний базис простору R2×3 . Загальний розв’язок задачi (2.37) визначає матриця ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜0 0 ⎝ 0 0 та її ортопроектор 0 0 0 0 0 − 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ −1 1 ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 0 0 0 1 0 0 ⎞ ⎛ * ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 0 0 1 Оскiльки * ̸= 0, то матрична задача (2.37) не має розв’язкiв у класi () ∈ C2×3 [0; 2 ] для довiльних неоднорiдностей () ∈ C2×3 [0; 2 ], A ∈ R2×3 . 96 Матрицю можна подати у виглядi = ; тут ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ := ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 − 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 − 2 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 1 1 0 0 0 0 0 — невиродженi матрицi, 1 0 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎜ ⎜0 0 1 ⎜ := ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎝ 0 0 0 ⎛ ⎞ 0 0 0 ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟. 1 0 0⎟ ⎟ 0 1 0⎟ ⎠ 0 0 0 Оскiльки умова = = 6 виконується, рiвняння (2.31) має щонайменше один розв’язок ℛ := · Π · ∈ R6×6 , де ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Π = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ — матриця, для якої 0 0 1 1−2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 −1+2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 det( + Π ) = 2 (1 + ) ̸= 0. 97 Стала матриця ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ D=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ задовольняє вимогу (2.34). Таким чином, поставлену задачу про регуля- 98 ризацiю матричної крайової задачi (2.37) розв’язує матриця ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ = ⎝ 0 0 −1 ⎠ , 0 0 0 яка визначає збурення матрицi вигляду ⎛ 0 0 − 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 0 0 ⎜ ⎜ 1 0 0 0 ⎜ Q() := ⎜ ⎜ 0 1 + 0 1 − 2 0 ⎜ ⎜0 0 − 0 −1 ⎝ 0 0 0 − 0 ⎛ ⎞ 0 ⎟ 1⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ ⎟, 0⎟ ⎟ 1⎟ ⎠ 0 при цьому Q* = 0, крiм того виконується умова (2.35). Отже матрична ˇ (·, ) крайової крайова задача (2.37) за допомогою малого збурення ℒ умови стає розв’язною для довiльних неоднорiдностей. Зокрема, покладемо (︃ A := 1 0 1 0 0 0 )︃ , () := (︃ cos 5 0 0 0 0 0 )︃ . Позначимо функцiю () := −2 cos − 9 sin 3. Оскiльки матриця Q() невироджена, загальний розв’язок збуреної крайової задачi для системи (2.37) єдиний: [ (); ]() = [ ()]() = = тут (︁ [ ()]()1 [ ()]()2 [ ()]()3 ⎛ )︁ ; ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 := ⎝ 0 ⎠ , 2 := ⎝ 1 ⎠ , 3 := ⎝ 0 ⎠ , 0 0 1 а також (︃ )︃ ]︂ () + 9 cos 3 − 7 cos 5 − 2 sin + 25 sin 5 1 () ()1 = , 96 −2 cos + 9 cos 3 − 7 cos 5 [︂ ]︂ () ()2 = 0, (︃ )︃ [︂ ]︂ () − 9 cos 3 + 11 cos 5 + 2 sin + 5 sin 5 1 . () ()3 = 96 2 sin − 9 sin 3 + 5 sin 5 [︂ 99 Зазначимо, що запропонована технiка регуляризацiї матричної крайової задачi за допомогою збурення крайової умови може бути перенесена на матричнi диференцiально-алгебраїчнi крайовi задачi [129], а також на матричнi крайовi задачi з запiзненням [6, 110]. Висновки до роздiлу 2 1) Для матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра отриманi достатнi умови та побудовано схему регуляризацiї, яка узагальнює та суттєво вiдрiзняється вiд класичного методу регуляризацiї Тихонова. 2) Для лiнiйних нетерових крайових задач отриманi достатнi умови регуляризацiї за рахунок, як виродженого, так i невиродженого iмпульсного збурення, а також за допомогою iмпульсного впливу типу ”interface conditions”. 3) Для лiнiйних матричних крайових задач отриманi достатнi умови регуляризацiї за допомогою збурення крайової умови. Побудовано узагальнений оператор Грiна та знайдено вигляд збуреної крайової умови матричної крайової задачi. Основнi результати другого роздiлу дисертацiї опублiковано в статтях у наукових фахових виданнях України та тезах доповiдей на Мiжнародних наукових конференцiях та семiнарах [93, 94, 97]. 100 РОЗДIЛ 3 МАТРИЧНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-АЛГЕБРАЇЧНI КРАЙОВI ЗАДАЧI 3.1 Матричнi диференцiально-алгебраїчнi крайовi задачi з iмпульсним впливом Розглянемо задачу про побудову розв’язкiв [18, 30, 107] 1 × () ∈ C1 × {[, ] ∖ { } } := C {[, ] ∖ { } } ⊗ R матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння ′ () = ℬ () + (), ̸= , пiдпорядкованих крайовiй умовi = 1, 2, . . . , , (3.1) ℒ (·) = A, Тут [116, 128] A ∈ R× . (3.2) ′ () : C1 × {[, ] ∖ { } } → C × {[, ] ∖ { } }, ням для будь-яких скалярних функцiй 0 := — матричний диференцiально-алгебраїчний оператор, який за визначен- (), () ∈ C1 {[, ] ∖ { } } та сталих матриць Ξ1 , Ξ2 ∈ R× забезпечує рiвнiсть ( ′ ()Ξ1 + ′ ()Ξ2 )() = ′ ()(Ξ1 )() + ′ ()(Ξ2 )(). Аналогiчно матричний оператор 1 ℬ () : C1 × {[, ] ∖ { } } → C × {[, ] ∖ { } } будемо далi називати алгебраїчним, якщо для будь-яких (), () ∈ C1 {[, ] ∖ { } }, має мiсце рiвнiсть Ξ1 , Ξ2 ∈ R× ℬ ( ()Ξ1 + ()Ξ2 )() = ()ℬ (Ξ1 )() + ()ℬ (Ξ2 )(). 101 Тут також () ∈ C × {[, ] ∖ { } } — неперервна для ̸= матриця та ℒ (·) — лiнiйний обмежений матричний функцiонал: ℒ (·) := де × ℒ (·) : C1 , = 0, . . . , − 1, × [ , +1 [→ R × ℒ (·) : C1 × [ , ] → R ∑︁ =0 × ℒ (·) : C1 , × {[, ] ∖ { } } → R = 1, 2, . . . , , — лiнiйнi обмеженi матричнi функцiонали. Взагалi кажучи, припускаємо , , , , , ∈ N — довiльнi натуральнi числа. Матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача (3.1), (3.2) з iмпульсним впливом узагальнює нетеровi крайовi задачi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь [9, 73, 91, 110], в тому числi, з iмпульсним впливом [90, 92, 110]. Задача про побудову розв’язкiв диференцiально-алгебраїчного матричного рiвняння (3.1) приводить до задачi про побудову вектора (), компоненти якого () визначають розвинення матрицi · ∑︁ =1 () = Ξ( ) (), () ∈ C1 {[, ] ∖ { } }, = 1, 2, ... , · . Лiнiйний диференцiально-алгебраїчний матричний оператор ′ () за визначенням зображується у виглядi ∑︁ =1 ′ () = При цьому ′ Ξ( ) () (). [︂ ]︂ ℳ ′ () = Ω() · ′ (), де ]︂· Ω() := Ω () ∈ C1 · ×· {[, ] ∖ { } }, [︂ =1 ]︁ Ω () = ℳ Ξ () , ( ) [︁ = 1, 2, ... , · . Аналогiчно [︂ ]︂ ℳ ℬ () = Θ() · (), [︂ ]︂· Θ() := Θ () ∈ C1 · ×· {[, ] ∖ { } }, =1 102 де ]︁ Θ () = ℳ ℬ Ξ () , ( ) [︁ = 1, 2, ... , · . Таким чином, задачу про побудову розв’язкiв диференцiально-алгебраїчного матричного рiвняння (3.1) приведено до задачi про знаходження розв’язкiв () ∈ C1 · [, ] ∖ { } {︂ }︂ традицiйного диференцiально-алгебраїчного рiвняння [17, 66, 67, 112] Ω() · ′ () = Θ() · () + ℱ (), За умови [73, 128] ℱ () := ℳ[ ()]. (3.3) Ω* () Θ() = 0, Ω* () ℱ () = 0, Ω+ ()Θ() ∈ C· ×· {[, ] ∖ { } }, (3.4) у випадку Ω+ ()ℱ (), Ω ()() ∈ C· × {[, ] ∖ { } } система (3.3) розв’язна вiдносно похiдної (3.5) = Ω+ ()Θ() + F(, ()), де F(, ()) := Ω+ ()ℱ () + Ω ()(). Позначимо 0 () нормальну фундаментальну матрицю [110] 0 () = Ω+ ()Θ()0 (), 0 () = , ∈ [; 1 [ одержаної традицiйної системи звичайних диференцiальних рiвнянь. Фундаментальну матрицю нетривiальних розв’язкiв задачi ′ = Ω+ ()Θ(), шукаємо у виглядi ̸= , ℓ (·) := ℳℒ (·) = 0 ⎧ ⎡ ⎤ · ×· ⎪ ( ) , ∈ R , ∈ [ ; [ , ⎪ 0 0 0 1 0 ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎨ () , ∈ R· ×· , ∈ [ ; [, ⎢ 1 ⎥ 0 1 1 1 2 ⎥. () = := ⎢ ⎢ ⎥ ⎪ .............. ................. ............. , ... ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩ () , ∈ R· ×· , ∈ [ ; ], 0 (3.6) 103 Пiдставляючи матрицю (3.6) у крайову умову (3.2), отримуємо рiвняння = 0, де ℓ (·) := ℳℒ (·), ]︁ (3.7) := [︁ ℓ0 0 (·) ℓ1 0 (·) . . . ℓ 0 (·) ∈ R· ×· (+1) . Позначимо : R· (+1) → N()− матрицю-ортопроектор. За умови = 0 однорiдна частина задачi (3.1), (3.2) має тiльки нульовий розв’язок; якщо ж ̸= 0, то однорiдна частина задачi (3.1), (3.2) має розв’язок вигляду (, ) = (), де = , Припустимо, що ∈ R· (+1)×· . ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ ⎢ ..... ⎥ , ⎣ ⎦ () (0) (1) () (0) (1) ⎤ ˜ · (0) , = · ⎢ ⎢ ˜ = ⎢ · ⎢ ..... ⎣ · ⎡ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎦ де , , . . . , — ( · × · ( +1))-вимiрнi блоки ортопроектора , ˜ — стала ( · ( + 1) × · ) (0) — довiльна стала ( · × · )-матриця, — вимiрна матриця. У нових позначеннях загальний розв’язок рiвняння (3.7) визначають матрицi (0) ˜ (0) 0 = , (1) ˜ (0) () ˜ (0) 1 = , . . . , = , де ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ ⎢ ............... ⎥ . ⎣ ⎦ () ˜ (0) Таким чином, за умов (3.4), (3.5) та ̸= 0, однорiдна частина задачi (3.1), (3.2) має розв’язок (0) ˜ (0) (1) ˜ (0) ⎤ (, ) = (, ) := ℳ −1 [︂ ]︂ () , ∈ R· , який визначається фундаментальною матрицею (). За умов (3.4), (3.5) розв’язок неоднорiдної диференцiально-алгебраїчної задачi (3.1), (3.2) з 104 iмпульсним впливом шукаємо, використовуючи розв’язок неоднорiдної крайової задачi = Ω+ ()Θ() + F(, ()), у виглядi ℓ (·) := ℳℒ (·) = ℳA [︂ ]︂ ⎧ ⎪ ⎪ 0 ()0 + F(, ()) (), ∈ [; 1 [, ⎪ ⎪ ⎪ [︂ ]︂ ⎪ ⎪ ⎪ [︂ ]︂ ⎨ () + F(, ()) (), ∈ [ ; [, 0 1 1 2 F(, ()); ℳA () := ⎪ ⎪ .................................... , .............. , ⎪ ⎪ [︂ ]︂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 () + F(, ()) (), ∈ [ ; ]. Тут [︂ ]︂ ∫︁ −1 F(, ()) () := 0 () 0 ()F(, ()); розв’язок матричного диференцiально алгебраїчного рiвняння (3.1) ]︂ [︂ ]︂ (, ) = (, ) + F(, ()) (), (, ) := ℳ−1 0 () визначає узагальнений оператор Грiна задачi Кошi () = 0 для диференцiально-алгебраїчної системи (3.1) [︂ [︂ ]︂ {︂ [︂ ]︂ }︂ F(, ()) () := ℳ−1 F(, ()) () , ∈ [; 1 [. Крiм того 0 , 1 , . . . , — сталi, для знаходження яких використовуємо рiвняння {︂ [︂ ]︂ }︂ = ℳ A − ℒ F(, ()) (·) , розв’язне тодi i тiльки тодi, коли := col (0 , . . . , ) ∈ R· (+1) , {︂ [︂ ]︂ }︂ * ℳ A − ℒ F(, ()) (·) = 0; (3.8) тут * — ортопроектор: R· → N(* ). Згiдно до традицiйної класифiкацiї крайових задач, випадок * ̸= 0 називатимемо критичним; у цьому випадку умови iснування та вигляд загального розв’язку задачi (3.1), (3.2) визначає наступна теорема [100]. 105 Теорема 3.1.1. За умов (3.4) та (3.5) однорiдна частина диферен- цiально-алгебраїчної задачi з iмпульсним впливом (3.1), (3.2) має розв’язок [︂ ]︂ (, ) = (, ) := ℳ−1 () , ∈ R· , який зображується фундаментальною матрицею ⎧ (0) ˜ (0) ⎪ ( ) , ∈ [, 1 ], 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ () (1) ˜ (0) , ∈ [1 , 2 ], 0 () = ⎪ ....................... .............. , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ () () ˜ (0) , ∈ [ , ]. 0 За умов (3.4) та (3.5) лiнiйна неоднорiдна диференцiально алгебраїчна задача з iмпульсним впливом (3.1), (3.2) розв’язна тодi i тiльки тодi, коли виконано умову (3.5). В цьому випадку задача (3.1), (3.2) має розв’язок [︂ ]︂ (, ) = (, ) + G F(, ()); ℳA (), ∈ R· , який зображується узагальненим оператором Грiна [︂ ]︂ {︂ [︂ ]︂ }︂ −1 G F(, ()); ℳA () := ℳ F(, ()); ℳA () , де {︂ [︂ ]︂ }︂ col (0 , . . . , ) := + ℳ A − ℒ F(, ()) (·) . Твердження теореми 3.1.1 спрощується у некритичному (* = 0) ви- падку, при цьому лiнiйна неоднорiдна диференцiально-алгебраїчна задача з iмпульсним впливом (3.1), (3.2) розв’язна для будь-яких неоднорiдностей [100]. Приклад 3.1.1. Вимогам доведеної теореми задовольняє матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача з iмпульсним впливом ′ () = ℬ () + (), де ∈ [−1; 1], ̸= 1 , ℒ (·) = A. (3.9) () := ′ 3 ∑︁ 2 ∑︁ =1 =1 ^ () ˇ () ′ () ^ () ˇ (), 106 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ^ ^ ^1 := ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0 ⎟ , 2 := ⎜ 1 0 0 ⎟ , 3 := ⎜ 0 0 0 ⎟ , ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (︃ )︃ 0 1 0 0 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ˇ1 := ⎜ ˇ2 := ⎜ ^ 1 := , ⎝ 0 0 0 ⎠ , ⎝ 0 0 0 ⎠ , 0 0 1 0 0 0 0 0 (︃ )︃ (︃ )︃ (︃ )︃ 1 0 0 1 1 0 0 ^ 2 := ^ 3 := ˇ 1 := , , . 1 0 0 1 1 0 0 Крiм того 3 ∑︁ 2 ∑︁ =1 =1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (︃ ^ () Φ ˇ () () Ψ ^ () Ψ ˇ (), Φ ˇ 2 := ℬ () := де 0 1 0 0 1 0 ⎞ )︃ , ⎛ ⎜ ⎜ ^ 1 := ⎜ Φ ⎜ ⎝ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ^ 2 := ⎜ ⎟, Φ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎛ 0 0 0 ⎞ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠ ⎛ ⎟ ˇ 1 := ⎜ Φ ⎝ 0 0 0 ⎠, 1 0 0 (︃ )︃ (︃ ^ 1 := 1 0 , Ψ ^ 2 := Ψ 0 0 (︃ ˇ 1 := Ψ )︃ , ˇ 2 := Ψ (︃ ˇ 2 := ⎜ Φ ⎝ 0 1 0 0 )︃ , )︃ , 0 ⎜ ⎜ ^ 3 := ⎜ 0 Φ ⎜0 ⎝ 0 ⎞ 0 0 0 ⎟ 0 2 0 ⎠, 0 0 0 (︃ ^ 3 := Ψ ⎛ 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠ 1 0 )︃ , 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎛ 0 ⎜ ⎜0 () := ⎜ ⎜0 ⎝ 0 Iмпульсний вплив визначають рiвностi: √ ℒ (·) : (−1) − (0) = 0, (−1) − (1) = 0, Позначимо A := 0. (︃ Ξ* 1 := 1 0 0 0 0 0 )︃ , Ξ* 2 := (︃ 0 1 0 0 0 0 )︃ , ... , Ξ* 6 := (︃ 0 0 0 0 0 1 )︃ 107 природний базис простору R3×2 . Оскiльки ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Ω() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Θ() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 то умови (1.17) та (1.18) виконуються, ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ + Ω ()Θ() = ⎜ ⎟ ∈ C6×6 [−1; 1], ⎟ 2⎜ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 0 0 0 при цьому матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача (3.9) являє критичний випадок (* ̸= 0); тут 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ * 108 У наслiдок нерiвностi ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ = 2 (1 + 2 ) ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ̸= 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 однорiдна частина диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (3.9) має нетривiальний розв’язок ⎜ ⎜ 0 (, 1 ) = 1 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 ⎛ 1 + /2 ⎜ ⎜ 0 (, 1 ) = 1 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 ⎛ /2 0 0 ⎞ ∈ [−1; 0[, ⎟ 0 0⎟ ⎟, 0 0⎟ ⎠ 0 0 1 + 0 0 0 /2 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠ ∈ [0; 1]. Зазначимо, що = 1 ̸= 0, при цьому розв’язок диференцiально алгебраїчної задачi (3.9) залежить вiд довiльної функцiї () ∈ C[−1; 1]; покладемо () := 0. Узагальнений оператор Грiна задачi Кошi (−1) = 0 для диференцiально-алгебраїчної системи (3.9) має вигляд ⎛ ⎞ 0 0 ]︂ + 1 ⎜ ⎟ F(, ()) () = ⎝ 0 0 ⎠, 2 1 −1 [︂ ∈ [−1; 1 [ та дозволяє перевiрити виконання умови (3.5). Оскiльки вимогу (3.5) виконано, неднорiдна диференцiально-алгебраїчна задача з iмпульсним впли- 109 вом (3.9) розв’язна. При цьому диференцiально-алгебраїчна задача з iмпульсним впливом (3.9) має розв’язок ]︂ (, 1 ) = (, 1 ) + G F(, ()); ℳA (), який визначає оператор Грiна [︂ 1 ∈ R· , ⎞ 0 0 [︂ ]︂ √ − ( + 1) ⎜ ⎟ √ G F(, ()); ℳA () = ⎝ 0 0 ⎠, 2 (1 − ) 1 −1 крiм того ⎛ ∈ [−1; 0[, ⎞ 0 0 [︂ ]︂ √ − 2 − ( − 1) ⎜ ⎟ √ G F(, ()); ℳA () = ⎝ 0 0 ⎠, 2 (1 − ) 1 −1 ⎛ ∈ [0; 1]. Знайденi умови розв’язностi, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсним впливом (3.1), (3.2) узагальнюють традицiйнi результати, як для матричних диференцiальних рiвнянь [18, 30, 107], так i для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь [17, 66, 67, 112]. З iншого боку, умови розв’язностi, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсним впливом (3.1), (3.2) узагальнюють результати для нетерових крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь [9, 73, 110]. 3.2 Метод найменших квадратiв у теорiї матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач Припустимо задачу про побудову розв’язкiв [18, 30, 104, 107] 1 × () ∈ C1 × [; ] := C [; ] ⊗ R матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1.14): ′ () = ℬ () + (), пiдпорядкованих крайовiй умовi (1.15): (3.10) ℒ (·) = A, A ∈ R× (3.11) 110 некоректно поставленою, а саме, припустимо, що виконуються умови (1.17) та (1.18), при цьому матрична задача Кошi () = A для диференцiальноалгебраїчної системи (1.14) однозначно розв’язна для будь-якого початкового значення A ∈ R× . В той же час припустимо, що має мiсце критичний випадок (* ̸= 0) та не виконується умова (1.21) розв’язностi матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15). За умов (1.17) та (1.18) система (1.16) розв’язна вiдносно похiдної = Ω+ ()Θ() + F(, ()); тут F(, ()) := Ω+ ()ℱ () + Ω ()(). Отже, за умов (1.17) та (1.18) матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача (3.10), (3.11) рiвнозначна наступнiй = Ω+ ()Θ() + F(, ()), ℓ (·) := ℳℒ (·) = ℳA. (3.12) Припустимо 1 (), 2 (), ... , (), ... − система лiнiйно-незалежних неперервно-диференцiйовних – вимiрних вектор-функцiй. Позначимо ( × ) – вимiрну матрицю [︂ ]︂ () = 1 () 2 () ... () . Наближення до розв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (3.10), (3.11) шукатимемо у виглядi [︂ ]︂ () := ℳ () = () · , Вимагатимемо [77, 115] ∈ R . ⃒⃒ ⃒ ]︂⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ 2 ⃒⃒ ⃒⃒ () := ⃒⃒ − Ω+ ()Θ() − F(, ()) ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ 2 ⃒⃒ [︂ ⃒ ]︂⃒ ⃒⃒ ⃒⃒2 ⃒⃒ ⃒⃒ +⃒⃒ℳ ℒ (·) − ⃒⃒ → min ⃒⃒ ⃒⃒ · R + L [,] для фiксованої матрицi (); при цьому ⃒⃒ ⃒⃒2 ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ ′ ⃒⃒ + () = ⃒⃒ () · − Ω ()Θ() () · − F(, ())⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ 2 + L [,] 111 ⃒ ⃒⃒ [︂ [︂ ]︂ ]︂⃒ ⃒⃒2 ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ → min . +⃒⃒ℳ ℒℳ−1 (·) − ⃒⃒ ⃒⃒ · ⃒⃒ Позначимо R ˇ ( ) ∈ R· , Ξ розвинення вектора = 1, 2, ... , · — базис простору R· та , = 1, 2, ... , · — константи, якi визначають · ∑︁ =1 = ˇ ( ) , Ξ ∈ R1 , = 1, 2, ... , · ˇ ( ) ∈ R· базиса простору R· . Зазначимо, що по векторам Ξ ′ () · − Ω+ ()Θ() () · − F(, ()) = ]︂}︂ · {︂ ∑︁ ′ ( ) + ( ) ˇ − Ω ()Θ() () · Ξ ˇ − F(, () = Φ(), = () · Ξ =1 де [︂ Φ() := Φ1 () Φ2 () ... Φ () ]︂ — ( · × )− матриця, ˇ ( ) − Ω+ ()Θ() () · Ξ ˇ ( ) , Φ () := ′ () · Ξ Аналогiчно ∈ R . ]︂ {︂ [︂ ]︂}︂ ℳ ℒℳ−1 (·) = Ψ, де [︂ Ψ := Ψ1 Ψ2 ... Ψ ∈ R·× , {︂ [︂ ]︂}︂ −1 ( ) ˇ Ψ := ℳ ℒℳ (·)Ξ , = 1, 2, ... , · . Функцiя () зображувана у виглядi }︂* {︂ ∫︁ {︂ () = Φ() − F(, ()) Φ()− }︂ {︂ [︂ ]︂}︂* {︂ [︂ ]︂}︂ −F(, ()) + Ψ − ℳ · Ψ − ℳ . Для фiксованої матрицi () мiнiмум функцiї () iснує, оскiльки неперервна невiд’ємна функцiя досягає мiнiмуму. Необхiдною умовою мiнiмiзацiї функцiї () є рiвнiсть () = 0, 112 тотожня рiвнянню [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂ [︂ ]︂ ∫︁ * * Γ (·) + Γ ℒ (·) · = Φ () F(, ()) + Ψ ℳ , розв’язному вiдносно вектора [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂+ {︂∫︁ [︂ ]︂}︂ * * = Γ (·) + Γ ℒ (·) Φ () F(, ()) + Ψ ℳ за умови {︂∫︁ [︂ ]︂}︂ Φ () F(, ()) + Ψ ℳ = 0, * * (3.13) зокрема, у випадку невиродженостi суми ( × )− матриць Грама [5] (︂ )︂ ∫︁ Γ (·) := Φ* ()Φ(), (︂ )︂ Γ ℒ (·) := Ψ* Ψ. Тут := [Γ((·))+Γ(ℒ(·))]* [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂* : R → N Γ (·) + Γ ℒ (·) — ( × )− матриця-ортопроектор. Отриманий псевдорозв’язок [103] [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂+ ( ()) = () · Γ (·) + Γ ℒ (·) × † {︂∫︁ × [︂ ]︂}︂ Φ* () F(, ()) + Ψ* ℳ забезпечує мiнiмум функцiї () i залежить вiд вибору матрицi (). Таким чином, доведено теорему [103, 104]. Теорема 3.2.1. Для фiксованого числа та фiксованої ( × )− вимiрної матрицi () за умов (1.17), (1.18) та (3.13) найкращим чином (у сенсi найменших квадратiв) мiнiмiзує нев’язку () псевдорозв’язку {︃ [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂+ † ( ()) = ℳ−1 () · Γ (·) + Γ ℒ (·) × (3.14) {︂∫︁ × [︂ ]︂}︂ }︃ Φ* () F(, ()) + Ψ* ℳ матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1.14), пiдпорядкованого крайовiй умовi (1.15), серед функцiй вигляду {︂ }︂ † ( ()) = ℳ−1 () · . 113 Наслiдок 3.2.1. Для фiксованого числа та фiксованої ( × )− вимiрної матрицi () за умов (1.17), (1.18) та [74] [︃ (︂ )︂ (︂ )︂]︃ det Γ (·) + Γ ℒ (·) ̸= 0 псевдорозв’язок (3.14) найкращим чином (у сенсi найменших квадратiв) мiнiмiзує нев’язку () псевдорозв’язку † ( ()) матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1.14), пiдпорядкованого крайовiй умовi (1.15), серед функцiй вигляду ( ()) = ℳ † −1 {︂ }︂ () · . У частинному випадку, коли ℓ (·) = 0, умова (3.13): ∫︁ Φ* () F(, ()) = 0 (3.15) та формула (3.14) значно спрощуються: [︂ (︂ )︂]︂+ ∫︁ † ( ()) = () · Γ (·) Φ* () F(, ()) . У випадку розв’язностi матричної крайової задачi (1.14), (1.15) за умов (1.17), (1.18) та (3.13) для вiдповiдного вибору матрицi () найкращий (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язок (3.14) матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15) є точним розв’язком. Доведена теорема 3.2.1 та наслiдок 3.2.1 узагальнюють [103] вiдповiднi твердження [74] на випадок матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15). Приклад 3.2.1. Побудуємо псевдорозв’язок † ( ()) коректно по- ставленої 2 -перiодичної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi для системи (А.5): () = () + (), дослiдженої у прикладi А.7. У наслiдок рiвностей Ω* () Θ() = 0, Ω* () ℱ () = 0, умови (1.17), (1.18) виконано. Оскiльки * ̸= 0, то в задачi про побудову 2 -перiодичних розв’язкiв матричної диференцiально-алгебраїчної системи (А.5) має мiсце критичний випадок; умову (1.21) виконано, крiм того Ω () ̸= 0, тому 114 розв’язок матричної диференцiально-алгебраїчної системи (А.5) залежатиме вiд довiльної функцiї () ∈ C[0; 2 ]; покладемо, як i у прикладi А.7 (︃ () := sin cos )︃ . Позначимо (6 × 18)− вимiрну матрицю () := 6 ⊗ ( 1 cos sin ). Оскiльки ℓ (·) = 0, для знаходження псевдорозв’язку коректно поставленої 2 -перiодичної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi для системи (А.5) використовуємо формулу (3.13); тут [103] ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ (︂ )︂ 1⎜ ⎜ Γ (·) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 4 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 −2 0 0 0 0 −2 8 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 при цьому умова (3.15) виконується: 2 0 0 0 0 2 ∫︁ Φ* () F(, ()) = 0. 115 Тут ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ + F(, ()) := Ω ()ℱ () + Ω ()() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ sin cos sin cos sin cos ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ крiм того 5 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ 1⎜ ⎜0 0 0 = ⎜ 5⎜ 0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎝ 0 0 0 ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ −2 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟. 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 1 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 Оскiльки умову (3.15) виконано, отримуємо розв’язок 2 -перiодичної матричної задачi для диференцiально-алгебраїчної системи (А.5) ⎞ − cos sin ⎜ ⎟ (, ()) = ⎝ sin −3 cos − sin ⎠ , − cos sin який вiдрiзняється вiд розв’язку, отриманого у прикладi А.7. ⎛ 116 3.3 Випадок нерозв’язностi системи (1.16) вiдносно похiдної Якщо умова (1.17), або (1.18) не виконуються, система (1.16) не розв’язна вiдносно похiдної, при цьому система (1.14) може мати розв’язки вигляду [73, 76, 104, 128] () = ℓ () , ℓ ∈ R× , ∈ R × , де ℓ , — невiдомi сталi матрицi, при цьому задача про знаходження розв’язкiв диференцiально-алгебраїчного матричного рiвняння (1.14) приводить до задачi про знаходження вектора () ∈ C1 · [; ], компоненти якого () визначають розвинення матрицi · ∑︁ =1 () = Ξ( ) (), () ∈ C1 [; ], = 1, 2, ... , · . У цьому випадку лiнiйний обмежений диференцiально-алгебраїчний матричний оператор ′ () набуває вигляду ∑︁ =1 () = при цьому ′ ′ ℓ Ξ( ) (), [︂ ]︂ ′ ℳ () = Ω1 () · ′ (), де ( ) Ω1 () [︂ ]︂· ( ) ∈ R ·×· , Ω1 () := Ω1 () =1 = ℳ ℓ Ξ () , [︁ ( ) ]︁ = 1, 2, ... , · . Аналогiчно [︂ ]︂ ℳ ℬ () = Θ1 () · (), де ( ) Θ1 () [︂ ]︂· ( ) Θ1 () := Θ1 () ∈ R ·×· , =1 [︁ ]︁ ( ) = ℳ ℬ ℓ Ξ () , = 1, 2, ... , · . Таким чином, задачу про побудову розв’язкiв диференцiально-алгебраїчного матричного рiвняння (1.14) приведено до задачi про побудову розв’язкiв () ∈ C1 · ×1 [; ] традицiйного диференцiально-алгебраїчного рiвняння [17, 66, 67, 76, 104, 112] [︂ ]︂ Ω1 () · ′ () = Θ1 () · () + ℱ (), ℱ () := ℳ () . (3.16) 117 За умови [73, 76, 104, 128] Ω* Θ1 () = 0, 1 () у випадку Ω* ℱ () = 0, 1 () (3.17) Ω+ 1 ()Θ1 () ∈ C· ×· [; ], Ω+ 1 ()ℱ (), Ω1, ()() ∈ C· × [; ] система (3.16) розв’язна вiдносно похiдної (3.18) = Ω+ 1 ()Θ1 () + F1 (, ()), F1 (, ()) := Ω+ 1 ()ℱ () + Ω1, ()(). Тут Ω1, () — ( · × )− матриця, утворена з лiнiйно-незалежних стовпцiв ( · × · )− матрицi-ортопроектора Ω1 () : R· → N(Ω1 ()). Умова (3.17) являє собою, взагалi кажучи, нелiнiйне рiвняння вiдносно сталих матриць ℓ , . Припустимо, що система рiвнянь (3.17) має дiйсний розв’язок ℓ ∈ R× , ∈ R × , для якого виконується умова (3.18). Позначимо X() нормальну фундаментальну матрицю X() = Ω+ 1 ()Θ1 ()X(), () = отриманої традицiйної системи звичайних диференцiальних рiвнянь. За умов (3.17) та (3.18) система (3.16) має розв’язок вигляду ]︂ (, ) = X() + F1 (, ()) (), який визначає розв’язок матричного диференцiально алгебраїчного рiвняння (1.14) [︂ ]︂ (, ) = W(, ) + () (), де [︂ ∈ R· , [︂ ]︂ W(, ) := ℓ ℳ X() , [︂ ]︂ {︂ [︂ ]︂ }︂ () () := ℓ ℳ−1 F1 (, ()) () −1 (3.19) 118 — узагальнений оператор Грiна матричної задачi Кошi () = 0 для диференцiально-алгебраїчної системи (1.14). Пiдставляючи розв’язок матричного диференцiально алгебраїчного рiвняння (1.14) у крайову умову (1.15), приходимо до задачi про знаходження розв’язкiв · ∑︁ =1 = Ξ( ) ∈ R· , ∈ R1 , = 1, 2, ... , · матричного рiвняння [︂ ]︂ ℒW(·, ) + ℒ () (·) = A ∈ R× . (3.20) У критичному випадку (Q* ̸= 0) за умов (3.17), (3.18) матричне рiвняння (3.20) розв’язне тодi i тiльки тодi, коли {︂ [︂ ]︂ }︂ Q* ℳ A − ℒ () (·) = 0. (3.21) Тут Q* — ( · × · )− матриця-ортопроектор Q* : R· → N(Q* ), де [︂ Q := Q ]︂· =1 {︃ ∈ R· ×· , Q := ℳ ℒℓ ℳ−1 X(·)Θ() , [︂ ]︂ }︃ = 1, 2, ... , · ; матриця Q утворена з лiнiйно-незалежних стовпцiв ( · × · )− матрицi-ортопроектора Q : R· → N(Q). Матриця Q* утворена з лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-ортопроектора Q* . Припустимо, що у критичному випадку (Q* ̸= 0) за умов (3.17), (3.18) матричне рiвняння (3.20) не розв’язне: {︂ [︂ ]︂ }︂ Q* ℳ A − ℒ () (·) ̸= 0. (3.22) Припустимо 1 (), 2 (), ... , (), ... − система лiнiйно-незалежних неперервно-диференцiйовних − вимiрних вектор-функцiй. Позначимо ( × )− вимiрну матрицю [︂ ]︂ () = 1 () 2 () ... () . Наближення до розв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi = Ω+ 1 ()Θ1 () + F1 (, ()), ℓ (·) := ℳℒℓ (·) = ℳA (3.23) 119 шукатимемо у виглядi [︂ ]︂ () := ℳ ℓ () = () · , Вимагатимемо [77, 115] ∈ R . ⃒ ⃒⃒ ]︂⃒ ⃒⃒ ⃒⃒2 ⃒⃒ ⃒⃒ () := ⃒⃒ − Ω+ 1 ()Θ1 () − F(, ()) ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ 2 ⃒ ⃒⃒ [︂ ]︂⃒ ⃒⃒2 ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ → min +⃒⃒ℳ ℒℓ (·) − ⃒⃒ ⃒⃒ · ⃒⃒ R + L [,] для фiксованої матрицi (); при цьому ⃒⃒2 ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒ ′ + () = ⃒⃒ () · − Ω1 ()Θ1 () () · − F(, ())⃒⃒ ⃒⃒ 2 ⃒⃒ ⃒⃒ [︂ ⃒ [︂ ]︂ ]︂⃒ ⃒⃒ ⃒⃒2 ⃒⃒ ⃒⃒ +⃒⃒ℳ ℒℓ ℳ−1 (·) − ⃒⃒ → min . ⃒⃒ ⃒⃒ · R + L [,] Позначимо ˇ ( ) ∈ R· , Ξ розвинення вектора = 1, 2, ... , · — базис простору R· та , = 1, 2, ... , · — константи, якi визначають · ∑︁ =1 = ˇ ( ) , Ξ ∈ R1 , = 1, 2, ... , · ˇ ( ) ∈ R· базиса простору R· . Зазначимо, що по векторам Ξ ′ () · − Ω+ 1 ()Θ1 () () · = = де · {︂ ∑︁ =1 ]︂}︂ ˇ ( ) − Ω+ ()Θ1 () () · Ξ ˇ ( ) = Φ( ˇ ), ′ () · Ξ 1 [︂ ]︂ ˇ ) := Φ( — ( · × )− матриця, ˇ 1 () Φ ˇ 2 () ... Φ ˇ () Φ ˇ () := ′ () · Ξ ˇ ( ) − Ω+ ()Θ1 () () · Ξ ˇ ( ) , Φ 1 ∈ R . 120 Аналогiчно {︂ [︂ ]︂ }︂ −1 ˇ , ℳ ℒℓ ℳ (·) = Ψ де ˇ := Ψ [︂ ˇ1 Ψ ˇ 2 ... Ψ ˇ Ψ ]︂ ∈ R·× , {︂ [︂ ]︂ }︂ ˇ := ℳ ℒℓ ℳ−1 (·)Ξ ˇ ( ) , Ψ = 1, 2, ... , · . Функцiя () зображувана у виглядi }︂* {︂ ∫︁ {︂ ˇ )− ˇ ) − F(, ()) Φ( Φ( () = [︂ ]︂}︂ [︂ ]︂}︂* {︂ }︂ {︂ ˇ − ℳ . ˇ − ℳ · Ψ −F(, ()) + Ψ Для фiксованої матрицi () мiнiмум функцiї () iснує, оскiльки неперервна невiд’ємна функцiя досягає мiнiмуму. Необхiдною умовою мiнiмiзацiї функцiї () є рiвняння [︂ ]︂ )︂ (︂ )︂]︂ [︂ (︂ ∫︁ * * ˇ () F(, ()) + Ψ ˇ ℳ , ˇ (·) + Γ ˇ ℒ (·) · = Φ Γ розв’язне вiдносно вектора [︂ ]︂}︂ )︂ (︂ )︂]︂+ {︂∫︁ [︂ (︂ ˇ * () F(, ()) + Ψ ˇ * ℳ ˇ (·) + Γ ˇ ℒ (·) Φ = Γ за умови ˇ {︂∫︁ [︂ ]︂}︂ ˇ * () F(, ()) + Ψ ˇ * ℳ Φ = 0, (3.24) зокрема, у випадку невиродженостi суми ( × )− матриць Грама [5] (︂ )︂ ∫︁ ˇ (·) := ˇ * ()Φ( ˇ ), Γ Φ (︂ )︂ ˇ ℒ (·) := Ψ ˇ *Ψ ˇ. Γ Тут ˇ := ˇ ˇ ℒ (·))]* [Γ( (·))+Γ( [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂* ˇ (·) + Γ ˇ ℒ (·) : R →N Γ — ( × )− матриця-ортопроектор. Отриманий псевдорозв’язок [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂+ ˇ (·) + Γ ˇ ℒ (·) ( ()) = () · Γ × † {︂∫︁ × [︂ ]︂}︂ ˇ * () F(, ()) + Ψ ˇ * ℳ Φ забезпечує мiнiмум функцiї () i залежить вiд вибору матрицi (). Таким чином, доведено наступне твердження [104]. 121 Теорема 3.3.1. Для фiксованого числа та фiксованої ( × )− вимiрної матрицi () за умов (3.17), (3.18) та (3.24) псевдорозв’язок {︃ )︂ (︂ )︂]︂+ [︂ (︂ † −1 ˇ (·) + Γ ˇ ℒ (·) × (3.25) ( ()) = ℳ () · Γ {︂∫︁ × [︂ ]︂}︂ }︃ ˇ * () F(, ()) + Ψ ˇ * ℳ Φ матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1.14), пiдпорядкованого крайовiй умовi (1.15), найкращим чином (у сенсi найменших квадратiв) мiнiмiзує нев’язку (). Наслiдок 3.3.1. Для фiксованого числа та фiксованої ( × )− вимiрної матрицi () за умов (3.17), (3.18) та [︃ (︂ )︂ (︂ )︂]︃ ˇ (·) + Γ ˇ ℒ (·) det Γ ̸= 0 псевдорозв’язок (3.25) найкращим чином (у сенсi найменших квадратiв) мiнiмiзує нев’язку () псевдорозв’язку † ( ()) матричного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (1.14), пiдпорядкованого крайовiй умовi (1.15). У частинному випадку, коли ℓ (·) = 0, умова (3.24): ˇ ∫︁ ˇ * () F(, ()) = 0 Φ (3.26) та формула (3.25) значно спрощуються: [︂ (︂ )︂]︂+ ∫︁ ˇ (·) ˇ * () F(, ()) . † ( ()) = () · Γ Φ У випадку розв’язностi матричної крайової задачi (1.14), (1.15) за умов (3.17), (3.18) та (3.24) для вiдповiдного вибору матрицi () найкращий (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язок (3.25) матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15) є точним розв’язком. Доведена теорема 3.3.1 та наслiдок 3.3.1 узагальнюють вiдповiднi твердження [74, 76, 128] на випадок матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15). 122 Приклад 3.3.1. Побудуємо псевдорозв’язок † ( ()) коректно по- ставленої 2 -перiодичної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi ′ () = ℬ () + (), де 2 ∑︁ =1 2 ∑︁ =1 (3.27) () := ′ () , ′ ℬ () := Φ ()Ψ , — лiнiйнi матричнi оператори, крiм того [128] ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 0 0 1 0 1 (︃ )︃ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 0 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎟ , 1 := 1 0 1 , ⎟ , 2 := ⎜ 1 := ⎜ ⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 0⎟ 0 1 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 1 0 0 1 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 0 1 0 0 (︃ )︃ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 1⎟ 1 0 1 ⎟ , Φ2 := ⎜ ⎟, 2 := , Φ1 := ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 ⎝0 0 0⎠ ⎝0 0 0⎠ 1 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ 0 sin 0 (︃ )︃ (︃ )︃ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0⎟ 0 1 0 0 1 0 ⎟ () := ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎟ , Ψ1 := 0 1 0 , Ψ2 := 0 0 0 . ⎝ ⎠ 0 cos 0 Оскiльки ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Ω() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Θ() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 123 то ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Ω* () Θ() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞* ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ̸= 0, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 отже, умову (1.17) не виконано, отже система (1.16) не розв’язна вiдносно похiдної, при цьому система (3.27) має розв’язки вигляду [104] () = ℓ () , дiйсний розв’язок ℓ ∈ R3×3 , ∈ R2×2 , де ℓ , — невiдомi сталi матрицi. Зокрема, система рiвнянь (3.17) має ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ ℓ := ⎝ 0 1 0 ⎠ , := 2 , 0 0 0 для якого виконуються умови (3.17), (3.18). Добуток ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1⎜ ⎜ + 1 ()Ω1 () = ⎜ 2⎜ ⎜ ⎜ ⎝ визначає матрицю 0 0 0 0 0 0 ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 2 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 2 0 0 1 0 0⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 0 0 0 ⎟ 1 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 1 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 1 0 0⎟ ⎟ 0 0 2 1 0⎟ ⎠ 0 0 0 0 1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ X() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ та загальний розв’язок 1 0 0 2 (4+) 8 0 ⎞ 8 1 8 4 + 4 1 ⎜ ⎟ W(, ) = ⎝ 8 2 8 3 + (4 4 + 1 ( + 4)) ⎠ 0 0 ⎛ 124 задачi Кошi () = A для однорiдної частини диференцiально-алгебраїчної системи (3.27). Тут ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Ω1 () = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ Оскiльки 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Θ1 () = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 Q=− ⎜ 2⎜ 2 ⎜ ⎜ 2 + ⎝ 0 ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 0 0 0 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜ ⎟ , Q* = ⎜ ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎛ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 1 то Q* ̸= 0, отже, у задачi про побудову 2 -перiодичних розв’язкiв матричної диференцiально-алгебраїчної системи (3.27) має мiсце критичний випадок. Загальний розв’язок ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ W(, ) = ⎝ 1 2 ⎠ , 0 0 ⎛ (︃ := 1 2 )︃ ∈ R2 однорiдної частини 2 -перiодичної матричної задачi для диференцiально- 125 алгебраїчної системи (3.27) визначають матрицi ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Q = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Q 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 Розв’язок ℓ , системи рiвнянь (3.17) визначає матрицi ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Ω1 () = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ таким чином, вектор 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Ω1, () = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 ⎟ 0 0⎟ ⎟ 1 0⎟ ⎟ ⎟; 0 0⎟ ⎟ 0 0⎟ ⎠ 0 1 ⎞ F1 (, ()) := Ω+ 1 ()ℱ () + Ω1, ()() = (︁ )︁* = 0 0 0 sin cos 0 залежить вiд довiльної функцiї () ∈ R ; тут ⎞ )︃ (︃ 0 0 ( ) ⎜ ⎟ 1 ()() = ⎝ 0 , = 2. 0 ⎠ , () := 2 () 1 () 2 () Покладемо ⎛ (︃ () = sin cos )︃ , при цьому узагальнений оператор Грiна задачi Кошi для системи (3.27) має вигляд [128] ]︂ {︂ [︂ ]︂ }︂ F1 (, ()) () := ℓ ℳ−1 F1 (, ()) () = ⎛ = 0 4 sin2 2 [︂ ⎞ 1⎜ ⎟ ⎝ 0 + sin ⎠ 4 0 0 126 i дозволяє пересвiдчитись у виконаннi умови (3.21). Позначимо (6 × 18)− вимiрну матрицю () := 6 ⊗ ( 1 cos sin ). Оскiльки ℓ (·) = 0, для знаходження псевдорозв’язку коректно поставленої 2 -перiодичної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi для системи (3.27) використовуємо формулу (3.24); тут [104] ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ (︂ )︂ ⎜ 4 ⎜ ˇ Γ (·) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 −2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 2 0 0 1 0 −2 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 2 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 при цьому умова (3.26) виконується: ˇ ∫︁ ˇ * () F(, ()) = 0. Φ Оскiльки умову (3.26) виконано, отримуємо розв’язок 2 -перiодичної матричної задачi для диференцiально-алгебраїчної системи (3.27) ⎞ 0 −2 cos 1⎜ ⎟ (, ()) = ⎝ 0 sin ⎠ , 4 0 0 який спiвпадає з розв’язком, отриманим у статтi [128]. ⎛ 127 3.4 Розв’язання матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi методом найменших квадратiв Знайденi у попередньому пiдроздiлi умови iснування, а також конструкцiя найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi можуть бути перенесенi на задачу про розв’язання матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi. Вивчення матричних алгебраїчних рiвнянь [109], зокрема, матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi [42, 147], пов’язане з численними застосуваннями таких рiвнянь при розв’язаннi матричного диференцiального рiвняння Рiккатi [33, 107], теорiї нелiнiйних коливань, у механiцi, бiологiї, радiотехнiцi, теорiї керування та стiйкостi руху [24, 60]. Дослiджуємо задачу про знаходження розв’язкiв ∈ R× матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi * + + = 0; (3.28) тут , , ∈ R× — сталi ( × ) – вимiрнi матрицi. Визначений вище оператор ℳ[] приводить матричне алгебраїчне рiвняння Рiккатi (3.28) до рiвнозначного ( ) = 0, ( ) := ℳ[ * + + ], := ℳ[ ]. (3.29) Для побудови iтерацiйної схеми { }, збiжної до розв’язку ˜ ∈ R рiвняння (3.29), використовуємо класичний метод найменших квадратiв [5, 115]. Припустимо, що знайдено наближення , досить близьке до точного розв’язку ˜ рiвняння (3.29). У малому околi точного розв’язку ˜ рiвняння (3.29) має мiсце наближена рiвнiсть ( ) + (˜ − ) ≈ 0, ˜ природно покласти ( ) + +1 = 0, Вимагаючи [5, 115] := ′ ( ) ∈ R 2 ×2 , тому для знаходження наступного наближення +1 до точного розв’язку +1 := +1 − , ∈ N. ( ) := || ( ) + +1 || R 2 → min, 128 за умови невиродженостi матрицi Грама [5, 115] * Γ := ∈ R 2 ×2 , отримуємо iтерацiйну схему { } +1 = + +1 , 1 * +1 = −Γ− ( ), ∈ N, збiжну до розв’язку ˜ рiвняння (3.29), якщо оператор ( ) := − Γ−1 ( ) * ( ) ( ), ( ) := ′ ( ), Γ( ) := ( )* ( ) ∈ R 2 ×2 є оператором стиснення [35] у малому околi наближення , досить близького до точного розв’язку ˜ рiвняння (3.29). Таким чином, у малому околi точного розв’язку рiвняння (3.29) за умови det Γ ̸= 0, iтерацiйна схема [31] || ′ ( )|| 2 2 R × ≤ < 1, ∈ N, (3.30) +1 := ℳ[+1 ], 1 * +1 = − Γ− ( ), ∈ N, (3.31) збiгається до розв’язку рiвняння (3.29), а отже, i рiвняння (3.28). Теорема 3.4.1. Припустимо, що для матричного алгебраїчного рiв- няння Рiккатi (3.28) виконуються наступнi умови. ˜ 1. Рiвняння (3.28) має розв’язок . ˜ рiвняння (3.29) виконується 2. У малому околi точного розв’язку умова (3.30). ˜ рiвняння (3.28) застосовна У такому разi для знаходження розв’язку iтерацiйна схема (3.31), яка збiгається до розв’язку рiвняння (3.28). Зазначимо, що для знаходження розв’язку матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi (3.28) застосовний також метод Ньютона-Канторовича [35]. Запропонована у статтi технiка розв’язання матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi (3.28) аналогiчно [120] може бути перенесена на нелiнiйнi матричнi диференцiально-алгебраїчнi крайовi задачi. 129 Приклад 3.4.1. Запропонована у теоремi 3.4.1 схема застосовна для знаходження розв’язку матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi (︃ )︃ 1 1 * + + = 0, := − . (3.32) 0 0 Для нульового наближення 5 0 := 6 (︃ 0 1 0 0 )︃ , || (0 )|| = √ 157 ≈ 0, 348 055 36 умова (3.30) виконується: ⎛ det Γ0 = 1 ̸= 0, ⎜ 1 ⎜ ⎜ Γ0 = 18 ⎜ ⎝ 18 0 30 0 0 18 0 15 30 0 68 15 0 15 15 43 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠ крiм того √︂ )︁ √ 1 37 (︁ ′ || (0 )||R4 = 79 + 3649 ≈ 0, 470 223 < 1. 108 2 Для першого наближення (︃ )︃ 1 36 37 1 , || (1 )|| = ≈ 0, 0285 494 1 = 36 0 0 1296 умова (3.30) також виконується: 494 209 det Γ1 = ̸= 0, 419 904 крiм того 722 0 1368 0 ⎜ 1 ⎜ ⎜ 0 685 18 684 Γ1 = 648 ⎜ ⎝ 1368 18 3240 648 0 684 648 1944 ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠ || ′ (1 )||R4 ≈ 0, 0766 725 < 1. Для другого наближення 2 = 1 1368 (︃ 1 1368 0 0 )︃ , || (2 )|| = 1 369 ≈ 0, 000 731 529 1 871 424 умова (3.30) також виконується: det Γ2 = 879 403 195 225 ̸= 0 , 875 556 946 944 130 крiм того || ′ (2 )||R4 ≈ 0, 00 220 254 ≪ 1; тут 938 450 0 1 874 160 0 ⎜ ⎜ 0 937 081 684 937 080 1 ⎜ Γ2 = 935 712 ⎜ 684 4 678 560 935 712 ⎝ 1 874 160 0 937 080 935 712 2 807 136 Для третього наближення ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠ 1 3 = 1 874 160 (︃ 1 1 874 160 0 0 )︃ , || (3 )|| = 1 369 ≈ 0, 000 731 529 1 871 424 умова (3.30) також виконується: det Γ3 = крiм того 3 084 381 270 031 172 630 449 681 ̸= 0 , 3 084 371 395 607 554 467 840 000 || ′ (3 )||R4 ≈ 1, 61 162 × 10−6 ≪ 1. Для четвертого 4 = 1 3 512 479 453 920 (︃ 1 3 512 479 453 920 0 0 )︃ , || (4 )|| ≈ 2, 84 699 × 10−13 i п’ятого наближень (︃ 5 = 1 12 337 511 914 217 166 362 274 240 0 || (5 )|| ≈ 8, 10 536 × 10−26 1 0 )︃ , умова (3.30) також виконується det Γ4 ̸= 0, крiм того det Γ5 ̸= 0, || ′ (4 )||R4 ≈ 8, 59 919 × 10−13 ≪ 1, || ′ (5 )||R4 ≈ 2, 44 818 × 10−25 ≪ 1. 131 Про збiжнiсть до розв’язку рiвняння (3.32) знайденої послiдовностi наближень, визначених iтерацiйною схемою (3.31), свiдчить послiдовне зменшення величин || ( )||, = 0, 1, 2, 3, 4, 5. (︃ )︃ , Рiвняння (3.32) має точний розв’язок ˜= 0 1 0 0 тому про збiжнiсть до розв’язку рiвняння (3.32) знайденої послiдовностi наближень, визначених iтерацiйною схемою (3.31), свiдчить послiдовне зменшення величин ˜ ||, || − зокрема = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 1 ˜ || = 1 , ||1 − ˜ || = 1 , ||2 − ˜ || = 1 , ||3 − ˜ || = ||0 − , 6 36 1368 1 874 160 1 ˜ || = ||4 − ≈ 2, 84 699 × 10−13 , 3 512 479 453 920 1 ˜ || = ||5 − ≈ 8, 10 536 × 10−26 . 12 337 511 914 217 166 362 274 240 Висновки до роздiлу 3 1. Знайденi умови розв’язностi, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсним впливом, якi узагальнюють традицiйнi результати, як для матричних диференцiальних рiвнянь, так i для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь. 2. У випадку нерозв’язностi матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15), знайденi умови iснування, а також конструкцiя найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi. 3. У випадку розв’язностi матричної диференцiально алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15) для вiдповiдного вибору матрицi () знайденi умови iснування, а також конструкцiя найкращого (у сенсi найменших квадратiв) розв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi. 132 Основнi результати третього роздiлу дисертацiї опублiковано в статтях у наукових фахових виданнях України та тезах доповiдей на Мiжнародних наукових конференцiях та семiнарах [31, 100, 103, 104]. 133 ВИСНОВКИ У дисертацiйнiй роботi отримано конструктивнi умови iснування та побудовано алгоритми знаходження розв’язкiв матричних диференцiальноалгебраїчних крайових задач, для яких вiдповiдний оператор не має оберненого, зокрема: 1) для матричних рiвнянь Ляпунова та Сильвестра побудовано схему регуляризацiї, яка суттєво вiдрiзняється вiд класичного методу регуляризацiї Тихонова. Для наближеного розв’язання матричного рiвняння Рiккатi побудовано iтерацiйну схему за технiкою найменших квадратiв, а також знайденi умови її збiжностi до шуканого розв’язку; 2) знайденi умови розв’язностi, а також конструкцiя узагальненого оператора Грiна матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсним впливом, якi узагальнюють традицiйнi результати, як для матричних диференцiальних рiвнянь, так i для диференцiальноалгебраїчних рiвнянь. Для лiнiйних нетерових крайових задач отриманi достатнi умови регуляризацiї за рахунок, як виродженого, так i невиродженого iмпульсного збурення, а також за допомогою iмпульсного впливу типу ”interface conditions”; 3) у випадку нерозв’язностi матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi (1.14), (1.15), знайденi умови iснування, а також конструкцiя найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi, якi узагальнюють традицiйнi результати, як для матричних диференцiальних рiвнянь, так i для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь. 134 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 1. Азбелев Н.В. Введение в теорию функционально-дифференциаль- ных уравнений / Н.В. Азбелев, В.П. Максимов, Л.Ф. Рахматуллина. — Москва : Наука, 1991. — 277 с. 2. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и реккурентное оценивание / А. Алберт. — Москва : Наука, 1977. — 224 с. 3. Алиев Ф.А. О построении общего решения обобщенного уравнения Сильвестра / Ф.А. Алиев, В.Б. Ларин // Proceedings of IAM. — 2016. — Т. 5, № 1. — P. 3—10. 4. Арнольд В.И. Особенности дифференцируемых отображений / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. — 3-е изд., перераб. — Москва : МЦНМО, 2009. — 672 с. 5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. — Москва : Наука, 1965. — 408 с. 6. Бiгун Я.Й. Iснування розв’язку та усереднення нелiнiйних багаточастотних задач iз запiзненням / Я.Й. Бiгун // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 4. — С. 435–446. 7. Бойчук А.А. Автономные слабонелинейные краевые задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28, № 10. — С. 1668—1674. 8. Бойчук А.А. Бифуркация решений импульсной краевой задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Нелiнiйнi коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 21—31. 9. Бойчук А.А. 312. 10. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач / Виродженi нетеровi крайовi задачi / А.А Бойчук, Л.М. Шегда // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 303— А.А. Бойчук. — Київ : Наук. думка, 1990. — 96 с. 135 11. Бойчук А.А. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые задачи / А.А. Бойчук, В.Ф. Журавлев, А.М. Самойленко. — Киев : Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 с. 12. Бойчук А.А. Нормально-разрешимые краевые задачи / А.А. Бойчук, В.Ф. Журавлев, А.М. Самойленко. — К.: Наук. думка. — 2019. — 628 с. 13. Бойчук А.А. Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 51—65. 14. Бойчук А.А. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырожденным импульсным воздействием / А. А. Бойчук, Е. В. Чуйко, С. М. Чуйко // Укр. мат. журн. — 1996. — Т. 48, № 5. — С. 588—594. 15. Бойчук А.А. Слабонелинейные краевые задачи с импульсным воздействием типа "interface conditions"/ А. А. Бойчук, С. М. Чуйко, Е. В. Чуйко // Нелiнiйнi коливання. — 2000. — Т. 3, № 3. — С. 291— 296. 16. Бойчук А.А. Функция Грина линейной неоднородной краевой задачи / А. А. Бойчук. // Доповiдi АН УРСР. Серiя А: фiз.-мат. i техн. науки. — 1988. — №7. — С. 3–6. 17. Бояринцев Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука, 1998. — 224 с. 18. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р . Беллман. — Москва : Наука, 1969. — 367 с. 19. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В.М. Вержбицкий. — Москва : Высшая школа, 2000. — 270 с. 20. Власенко Л.А. Теоремы единственности и аппроксимации для одного вырожденного операторно-дифференциального уравнения / Л.А. Власенко, А.Г. Руткас // Матем. заметки. — 1996. — Т. 68, № 4. — C. 597—601. 136 21. Воеводин В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. — Москва : Наука, 1984. — 318 с. 22. Гаврилюк I.П. Методи обчислен. Ч. II. / I.П. Гаврилюк, В.Л. Макаров. — Київ : Вища школа, 1995. — 432 с. 23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — Москва : Наука, 1988. — 552 с. 24. Годунов С.К. Нормы решений матричных уравнений Лурье – Риккати как критерий качества стабилизируемости и детектируемости / С.К. Годунов // Вычислительные проблемы в задачах математической физики. — Новосибирск: Наука, 1992. — С. 3–21. — (Труды Института математики СО РАН; т. 22). 25. Гребеников Е.А. Введение в резонансную аналитическую механи- ку / Е.А. Гребеников, Ю.А. Митропольский, Ю.А. Рябов. — Москва : Янус, 1999. — 302 c. 26. Гребеников Е.А. Конструктивные методы анализа нелинейных си- стем / Е.А. Гребеников, Ю.А. Рябов. — Москва : Наука, 1979. — 432 с. 27. Гукенхеймер Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. — Москва : Ижевск, 2002. — 560 с. 28. Демиденко Г.В. Матричные уравнения / Г.В. Демиденко. — Новосибирск : НГУ. — 2009. — 204 с. 29. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. — Москва : Наука, 1967. — 472 с. 30. Деревенский В.П. № 2. — С. 14—23. 31. Дзюба М. В. Про наближене розв’язання матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi методом найменших квадратiв / М. В. Дзюба // Працi Iнституту прикладної математики i механiки НАН України. — 2017. — T. 31. — С. 46—53. Матричные уравнения Бернулли. I / В.П. Деревенский // Известия вузов. Математика. — 2008. — 137 32. Дьяконов В.П. Mathematica в математических и научно-технических расчетах / В.П. Дьяконов. — Москва : Солон-Пресс, 2004. — 696 с. 33. Зеликин М.И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении / М.И. Зеликин — Москва : Факториал. — 1998. — 352 с. 34. Иванов А.П. Итерационный метод построения периодических решений систем с малым параметром. Проблемы механики. / А.П. Иванов, Т.И. Наджафов. — Москва : Наука, 2003. — C. 406—417. 35. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — Москва : Наука, 1977. — 744 с. 36. Каудерер Г. Нелинейная механика / Г. Каудерер. — Москва : Изд.-во иностр. лит., 1961. — 778 с. 37. Кравчук М. Вибранi математичнi працi / М. Кравчук. — Київ; НьюЙорк: Задруга, 2002. — 792 с. 38. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. — Москва : Наука, 1971. — 104 с. 39. Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику / Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. — Киев : Изд-во АН УССР, 1937. — 365 с. 40. Крылов Н.М. Избранные труды. Т. 1 / Н.М. Крылов. — Киев : Изд-во Акад. наук УССР, 1961.— 268 с. 41. Кублановская В.И. О вычислении обобщенной обратной матрицы и проектора / В.И. Кублановская // Журн. вычислит. матем. и мат. физики. — 1966. — Т. 6, № 2. — С. 326—332. 42. Кувшинов В.М. Особенности численного решения матричного алгебраического уравнения Риккати методом установления // Ученые записки ЦАГИ. — 1979. — Т. Х. № 1. — С. 69—87. 43. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер. — Москва : Наука, 1978. — 280 с. 138 44. Лаптинский В.Н. К конструктивному анализу двухточечной краевой задачи для нелинейного уравнения Ляпунова / В.Н. Лаптинский, И.И. Маковецкий // Дифференц. уравнения. — 2005. — Т. 41, № 7. — С. 994—996. 45. Лика Д.К. Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний / Д.К. Лика, Ю.А. Рябов. — Кишинев: Штиница, 1974. — 292 с. 46. Лузин Н.Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений / Н.Н. Лузин // Автоматика и телемеханика. — 1940. — № 5. — С. 4—66. 47. Лшссел У. Связанные и параметрические колебания в электронике / У. Лшссел. — Москва : Иностранная литература, 1963. — 351 c. 48. Лыкова О.Б. Построение периодических решений нелинейных сис- тем в критических случаях / О.Б. Лыкова, А.А. Бойчук // Укр. мат. журнал. — 1988. — Т. 40, № 1. — С. 62—69. 49. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И.Г. Малкин. — Москва : Гостехиздат, 1956. — 491 с. 50. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. — Москва : ГИТТЛ, 1952. — 432 с. 51. Мышкис А.Д. Системы с толчками в заданные моменты времени / А.Д. Мышкис, А.М. Самойленко // Математ. сборник. Новая серия. — 1967. — Т. 74, № 2. — С. 202—208. 52. Панасенко Е.В. Краевые задачи для уравнения Ляпунова в банаховом пространстве / Е.В. Панасенко, А.А. Покутный // Нелiнiйнi коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 240—246. 53. Покутний О. Розробка методiв розв’язування крайових задач для операторно-диференцiальних систем, якi моделюють фiзико-технiчнi та бiологiчнi задачi / О. Покутний, I. Бондар. — Препр. IМ НАН України. — 6.06.2016. 139 54. Потемкин В.Г. Система MATLAB. Справочное пособие / В.Г. Потемкин. — Москва : Диалог; МИФИ, 1997. — 350 с. 55. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием / А.М. Самойленко, Н.А. Перестюк. — Киев: Вища шк., 1987. — 287 с. 56. Самойленко А.М. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженням / А.М. Самойленко, М.I. Шкiль, В.П. Яковець. — Київ : Вища школа, 2000. — 296 c. 57. Самойленко А.М. Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних коливань / А.М. Самойленко, Р.I. Петришин. — Київ : Наук. думка, 2004. — 475 с. 58. Самойленко А.М. импульсным С. 1061—1079. 59. Самойленко А.М. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач / А.М. Самойленко, Н.И. Ронто. — Київ : Наук. думка, 1986. — 224 с. 60. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. — М.: Наука, 1987. — 712 с. 61. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. — Москва : Наука, 1986. — 288 с. 62. Фодчук В.И. К теории интегральных многообразий сингулярно возмущенных дифференциально-разностных уравнений / В.И. Фодчук, И.M. Черевко // Укр. мат. журн. — 1982. — Т. 34, № 6. — С. 725—731. 63. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер. — Москва : Мир. — 1999. — 686 с. 64. Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах / Т. Хаяси. — Москва : Иностр. лит., 1957. — 204 с. О существовании периодических решений не/ А.М. Самойленко, Н.А. Перестюк, которых классов дифференциальных уравнений со случайным воздействием А.Н. Станжицкий // Укр. мат. журнал. — 2001. — Т. 53, № 8. — 140 65. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. — Москва : Мир, 1989. — 655 с. 66. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечно- мерным ядром / В.Ф. Чистяков. — Новосибирск: Наука, 1996. — 280 с. 67. Чистяков В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова. — Новосибирск: Наука. — 2003. — 317 с. 68. Чуйко А.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи / А.С. Чуйко // Нелинейные колебания. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 278—288. 69. Чуйко О. Про регуляризацiю матричної крайової задачi збуренням крайової умови / О. Чуйко, М. Дзюба // Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування, 28–30 вересня 2016 р. : матерiали мiжнар. конф. — Чернiвцi, 2016. — С. 99. 70. Чуйко С.М. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае / С.М. Чуйко, И.А. Бойчук // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — Т. 12, № 3. — C. 405—416. 71. Чуйко С.М. Возникновение решений линейной нетеровой краевой задачи / С.М. Чуйко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 8. — C. 1148—1152. 72. Чуйко С.М. К вопросу об обобщении матричной дифференциальноалгебраической краевой задачи / С.М. Чуйко // Укр. мат. вестник. — 2017. — Т. 14, № 1. — С. 16—32. 73. Чуйко С.М. Линейные нетеровы краевые задачи для дифферен- циально-алгебраических систем / С.М. Чуйко // Комп. исследов. и моделирование. — 2013. — Т. 5, №5. — С. 769—783. 74. Чуйко С.М. Метод найменших квадратiв в теорiї некорректно по- ставлених крайових задач / С.М. Чуйко // Вiсник Київського нацiонального унiверситету iм. Тараса Шевченка. — 2007. — № 7. — С. 51— 53. 141 75. Чуйко С.М. Нелинейная нетерова краевая задача в случае пара- метрического резонанса / С.М. Чуйко // Нелинейные колебания. — 2014. — Т. 17, № 1. — C. 137—148. 76. Чуйко С.М. Нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем с линейным импульсным воздействием / С.М. Чуйко // Динамические системы. — 2014. — Т. 4 (32), № 1–2. — С. 89—100. 77. Чуйко С.М. О приближенном решении автономных краевых задач методом наименьших квадратов/ С.М. Чуйко, О.В. Старкова // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — Т. 12, № 4. — C. 556—573. 78. Чуйко С.М. О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов / С.М. Чуйко // Нелiнiйнi коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 554—573. 79. Чуйко С.М. О разрешимости линейной матричной краевой задачи / С.М. Чуйко // Известия Вузов. Математика. — 2018. — № 4. — С. 86— 97. 80. Чуйко С.М. О регуляризации линейной нетеровой краевой задачи при помощи вырожденного импульсного воздействия / С.М. Чуйко // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — Т. 16, № 1. — C. 133—145. 81. Чуйко С.М. О регуляризации матричной дифференциально-алге- браической краевой задачи / С.М. Чуйко // Український математичний вiсник. — 2016. — Т. 13, № 1. — С. 76—90. 82. Чуйко С. М. С. 196—205. 83. Чуйко С.М. О решении линейных матричных уравнений / О решении билинейного матричного уравнения / С.М. Чуйко // Чебышевский сборник. — 2016. — Т. 17, Вып. 2. — С.М. Чуйко // Вiсник Харкiвського нацiонального унiверситету iменi В.Н. Каразiна. Серiя: матем., прикладна матем. i механiка. — 2015. — Т. 81. — С. 28—34. 142 84. Чуйко С.М. О решении матричного уравнения Ляпунова / С.М. Чуйко // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: физика и математика. — 2015, № 3. — С. 176—185. 85. Чуйко С. М. О решении матричного уравнения Сильвестра / С.М. Чуйко // Вестник Одесского национального университета. Серия: математика и механика. — 2014. — Т. 19, Вып. 1 (21). — С. 49—57. 86. Чуйко С.М. О решении матричных уравнений Ляпунова / С.М. Чуйко // Вестник Харьковского национального университета им. В.Н. Каразiна. Серия: математика, прикладная математика и механика. — 2014. — № 1120. — C. 85—94. 87. Чуйко С.М. О решении обобщенного матричного уравнения Сильвестра / С.М. Чуйко // Чебышевский сборник. — 2015. — Т. 16, Вып. 1. — С. 52—66. 88. Чуйко С.М. Область сходимости итерационной процедуры для автономной краевой задачи / С.М. Чуйко // Нелiнiйнi коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — C. 416—432. 89. Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, Е.В. Чуйко // Доповiдi НАНУ. — 1999. — № 6. — С. 43—47. 90. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным во- здействием / С.М. Чуйко // Доклады Академии Наук. Июль 2001. — Т. 379, № 2. — С. 170—172. 91. Чуйко С.М. Оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи для матричного дифференциального уравнения / С.М. Чуйко // Динамические системы. — 2014. — Т. 4 (32), № 1–2. — С. 101—107. 92. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздей- ствием / С.М. Чуйко // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37, № 8. — С. 1132—1135. 93. Чуйко С. М. Про регуляризацiю матричного рiвняння Сильвестра / С. М. Чуйко, О. В. Чуйко, М. В. Дзюба // Труды Института при- 143 кладной математики и механики НАН Украины. — 2015. — Т. 29. — С. 147—156. 94. Чуйко С. М. Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа "interface conditions"/ С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — 2016. — Т. 30. — С. 143—154. 95. Чуйко С. М. Регуляризация матричного уравнения Сильвестра / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // ХI Мiжнародна математична лiтня школа «Алгебра, топологiя, аналiз», 1–14 серпня 2016 р. : тези доп. — Одеса, 2016. — С. 142. 96. Чуйко С.М. Регуляризацiя перiодичної крайової задачi за допомогою iмпульсного впливу / С.М. Чуйко, О.В. Чуйко // Буковинський математичний журнал. — 2013. — Т. 1, № 3—4. — С. 158—161. 97. Чуйко С. М. Регуляризацiя матричної крайової задачi за допомогою збурення крайової умови / С. М. Чуйко, О. В. Чуйко, М. В. Дзюба // Буковинський математичний журнал. — 2016. — Т. 4, № 1—2. — С. 145—151. 98. Чуйко С. М. Матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача з iмпульсним впливом / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Теорiя наближення функцiй та її застосування, 28 травня–3 червня 2017 р. : тези доп. мiжнар. конф. — Слов’янськ, 2017. — С. 95. 99. Чуйко С. М. Матрична iмпульсна диференцiально-алгебраїчна крайова задача / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Мiжнародна конференцiя молодих математикiв, присвячена 100-рiччю з дня народження академiка НАН України Ю. О. Митропольського, 7–10 червня 2017 р. : тези доп. — Київ, 2017. — С. 109. 100. Чуйко С. М. Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Нелiнiйнi коливання. — 2017. — T. 20, № 4. — C. 564—573. Translated in: Chuiko S. M. Matrix differential-algebraic boundary-value problem with 144 pulsed action / S. M. Chuiko, M. V. Dzyuba // Journal of Mathematical Sciences. — 2019. — V. 238, N 3. — P. 333—343. 101. Чуйко С. М. Матричная импульсная дифференциально-алгебраическая краевая задача / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Международная летняя математическая школа памяти В. А. Плотникова, 11–16 июня 2018 г. : тезисы докл. — Одесса, 2018. — С. 84. 102. Чуйко С. Матрична iмпульсна диференцiально-алгебраїчна крайова задача / С. Чуйко, М. Дзюба // Сучаснi проблеми математики та її застосування в природничих науках i iнформацiйних технологiях, 17–19 вересня 2018 р. : матерiали мiжнар. наук. конф. — Чернiвцi, 2018. — С. 113. 103. Чуйко С. М. Метод найменших квадратiв у теорiї матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач / С. М. Чуйко, О. В. Нєсмєлова, М. В. Дзюба // Український математичний журнал. — 2018. — T. 70, № 2. — С. 280—292. Translated in: Chuiko S. M. Leastsquares method in the theory of matrix differential-algebraic boundaryvalue problems / S. M. Chuiko, O. V. Nesmelova, M. V. Dzyuba // Ukrainian Mathematical Journal. — 2018. — V. 70, N 2. — P. 319—333. 104. Чуйко С. М. Про наближене розв’язання матричних диференцiальноалгебраїчних крайових задач методом найменших квадратiв / С. М. Чуйко, О. В. Нєсмєлова, М. В. Дзюба // Нелiнiйнi коливання. — 2019. — Т. 22, № 3. — С. 423—436. 105. Якубович В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В.А. Якубович, В.М. Старжинский. — Москва : Наука, 1972. — 720 с. 106. Barnes B. Convex regularization method for solving Cauchy problem of the Helmholtz equation / B. Barnes , E. Osei-Frimpong, J. Ackora-Prah, S. K. Amponsah // Math. theory and Modeling. — 2016. — V. 11, N 6. — P. 63—74. 107. Boichuk A.A. A Critical Periodic Boundary Value Problem for a Matrix Riccati Equations / A.A. Boichuk, S.A. Krivosheya // Differential Equations. — 2001. — Т. 37, N 4. — P. 464—471. 145 108. Boichuk A.A. Application of perturbation theory to the solvability analysis of differential algebraic equations / A.A. Boichuk, A.A. Pokutnyi, V.F. Chistyakov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 2013. — V. 53, N 6. — P. 777—788. 109. Boichuk A.A. Criterion of the solvability of matrix equations of the Lyapunov type / A.A. Boichuk, S.A. Krivosheya // Ukrainian Mathematical Journal. — 1998. — V. 50, N 8. — P. 1162—1169. 110. Boichuk A.A. Generalized inverse operators and Fredholm boundaryvalue problems; 2-th edition / A.A. Boichuk, A.M. Samoilenko. — Berlin; Boston: De Gruyter, 2016. — 298 p. 111. Boichuk A. Autonomous Weakly Nonlinear Boundary Value Problems in Critical Cases / A. Boichuk, S. Chuiko // Differential Equations. — 1992. — N 10. — Р. 1353—1358. 112. Campbell S.L. Singular Systems of differential equations / S. L. Campbell — San Francisco – London – Melbourne: Pitman Advanced Publishing Program. — 1980. — 178 p. 113. Campbell S.L. 1979. — 272 p. 114. Cherevko I. Asymptotic decomposition of linear singularly perturbed multiscale systems / I. Cherevko, O.Osypova // Miskolc Mathematical Notes. — 2015. — V. 16, N 2. — P. 729—745. 115. Chuiko S.M. About an approximate solution of autonomous boundaryvalue problem with a least-squares methods / S. M. Chuiko, О.V. Starkova // Nonlinear oscillation. — 2009. — V. 12, N 4. — Р. 556—573. 116. Chuiko S.M. A generalized matrix differential-algebraic equation / S.M. Chuiko // Journal of Mathematical Sciences (N.Y.). — 2015. — V. 210, N 1. — Р. 9—21. 117. Chuiko S.M. An autonomous Noetherian boundary value problem in the critical case / S.M. Chuiko, I.A. Boichuk // Nonlinear Oscillations (N.Y.) — 2009. — V. 12, N 3. — Р. 405—416. Generalized Inverses of Linear Transformations / S.L. Campbell, C.D. Meyer — London. — Pitman Publishing Limited. — 146 118. Chuiko S.M. Emergence of solution of linear Noetherian boundary-value problem / S.M. Chuiko // Ukr. Math. Zh. — 2007. — V. 59, N 8. — Р. 1274—1279. 119. Chuiko S.M. Generalized Green Operator of Noetherian boundary- value problem for matrix differential equation / S. M. Chuiko // Russian Mathematics. — 2016. — V. 60, N 8. — Р. 64—73. 120. Chuiko S.M. Nonlinear matrix differential-algebraic boundary value problem / S.M. Chuiko // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2017. — V. 38 (2). — P. 236—244. 121. Chuiko S.M. On a regularization method for solving linear matrix equation / S.M. Chuiko, E.V. Chuiko, A.V. Belushenko // Bull. of Taras Shevchenko National Univ. Ser. Math. — 2014. — V. 1. — P. 12—14. 122. Chuiko S. M. On regularization method for solving linear matrix Sylvester equation / S. M. Chuiko, M. V. Dzuba // International Conference on Differential Equations, dedicated to the 110-th anniversary of Ya. B. Lopatynsky, 20–24 September 2016 : Book of Abstracts. — Lviv, 2016. — Р. 39. 123. Chuiko S. M. On a regularization method for solving matrix Sylvester equation / S. M. Chuiko, M. V. Dzuba // Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation, 24–26 May 2017 : Abstracts of XVIII Intern. Conf. Reports. — Kyiv, 2017. — P. 24. 124. Chuiko S.M. On approximate solution of boundary value problems by the least square method / S.M. Chuiko // Nonlinear Oscillations (N.Y.). — 2008. — V. 11, N 4. — Р. 585—604. 125. Chuiko S.M. On the approximate solution of an autonomous boundaryvalue problem the Newton - Kantorovich method / S. M. Chuiko, I. A. Boichuk, O. E. Pirus // Journal of Mathematical Sciences — 2013. — V. 189, N 5. — Р. 867—881. 126. Chuiko S.M. On the approximate solution of autonomous boundary- value problems by the Newton method / S.M. Chuiko, O.E. Pirus // Journal of Mathematical Sciences — 2013. — V. 191, N 3. — Р. 449—464. 147 127. Chuiko S.M. On the regularization of a linear Fredholm boundary-value problem by a degenerate pulsed action / S.M. Chuiko // Journal of Mathematical Sciences — 2014. — V. 197, N 1. — P. 138—150. 128. Chuiko S.M. The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary value problem / S.M. Chuiko // Siberian Mathematical Journal. — 2015. — V. 56, N 4. — Р. 752—760. 129. Chuiko S.M. On the regularization of a matrix differential-algebraic boundary-value problem / S.M. Chuiko // Journal of Mathematical Sciences. — 2017. — V. 220, N 5. — P. 591—602. 130. Chuiko S. About an approximate solution of matrix differential-algebraic boundary-value problems with a least-squares method / S. Chuiko, O. Nesmelova, M. Dzuba //Differential equations and control theory, 25– 27 September 2018 : Book of Abstracts. — Kharkiv, 2018. — P. 18. 131. Conti R. On ordinary differential equation with interface conditions / R. Conti // Journ. of Diff. Eq. — 1968. — V. 4, N 1. — P. 4—11. 132. Godunov S.K. Norms of solutions to the Lurie-Riccati matrix equations as criteria of the quality of stabilizability and detectability / S.K.Godunov // Siberian Advances in Mathematics. — 1992. — V. 2, N 3. — P. 135—157. 133. Каrandjulov L.I. Generalized Green’s matrix for linear pulse boundaryvalue problems / L. I. Каrandjulov // Укр. мат. журнал. — 1994. — Т. 46, № 7. — С. 849—856. 134. Kovalev A.M. Inverse problems of nonlinear control systems / A.M. Kovalev, V.F. Shcherbak // Facta Univ. Ser. Mech. Automat. Control Robot. — 1997. — V. 2, N 7. — P. 241—253. 135. Kovalev A.M. The Synthesis of Stabilizing Control of a Rigid Body with Attached Elastic Elements / A.M. Kovalev, A.L. Zuyev, V.F. Shcherbak // J. of Automation and Information Sciences. — 2002. — V. 34, N 11. — P. 1—10. 136. Kovalev A.M. Damping for forced oscillations in systems of li- nked rigid bodies / A.M. Kovalev, I.A. Bolgrabskaya, D.A. Chebanov, 148 V.F. Shcherbak // Internat. Appl. Mech. — 2003. — V. 39, N 3. — P. 343— 349. 137. Lakshmikantham V. Theory of Impulsive Differential Equations / V. Lakshmikantham, D. Bainov, P. Simeonov. — Singapore; New Jersey; Londn; Hong Kong: World Scientific, 1989. — 272 p. 138. Lakshmikantham V. Trends in the theory of impulsive differential equations / V. Lakshmikantham // Differential equations and applications V. I, II. — Ohio Univ. Press, Athens, OH, 1989. — P. 76—87. 139. Lakshmikantham V. Hybrid systems with time scales and impulses / V. Lakshmikantham, J. Vasundhara Devi // Nonlinear Anal. — 2006. — V. 65, N 11. — P. 2147—2152. 140. Lakshmikantham V. Impulsive differential systems for two-point boundary value problems / V. Lakshmikantham, K. N. Murty, S. Sivasundaram // Appl. Math. Comput. — 1992. — V. 50, N 2—3. — P. 157— 166. 141. Lamour R. Differential-Algebraic Equations: A Projector Based Analysis / R. Lamour, R. M¨ arz, C. Tischendorf. — Heidelberg, New York, Dordrecht, London. — Springer. — 2013. — 667 p. 142. Leontief W.W. The Structure of American Economy 1919-1939: An Empirical Application of Equilibrium Analysis / W.W. Leontief. — Oxford University Press, Inc., 1951; 2nd edition enlarged. — 264 p. 143. Liz E. Periodic solutions of discontinuous impulsive differential systems / E. Liz, J. J. Nieto // J. Math. Anal. Appl. — 1991. — V. 161, N 2. — P. 388—394. 144. Magnus J.R. -structured matrices and linear matrix equations / J.R. Magnus // Linear algebra and its appl. — 1983. — V. 14. — P. 67—88. 145. Magnus J.R. Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, 2nd Edition / J.R. Magnus, H. Neudecker // Wiley. — 1999. — 424 pp. 149 146. Nashed M.Z. Generalized Inverses and Applications / M. Z. Nashed. — New York: Academic Press, 1976. — 1054 p. 147. Palin V.V. Solvability of Quadratic Matrix Equations / V.V. Palin // Vestnik Moskovskogo Universiteta, Matematika. Mekhanika. — 2008. — V. 63, N 6. — P. 36—41. 148. Perestyuk N.A. On the Solvability of Impulsive Differential-algebraic Equations / N.A. Perestyuk, L.A. Vlasenko // Ukrainian Mathematical Journal. — 2005. — V. 57, N 4. — P. 458—468. 149. Perestyuk M.O. Decomposition of linear singularly perturbed functional differential equations / M.O. Perestyuk, I.M. Cherevko // Nonlinear Oscillations. — 2001. — V. 4, N 3. — P. 345—353. 150. Panasenko E.V. Bifurcation conditions for the solutions of the Lyapunov equation in a Hilbert space / E.V. Panasenko, O.O. Pokutnyi // Journal of Mathematical Sciences. — 2019. — V. 236, N 3. — P. 313—326. 151. Samoilenko A. Hybrid difference differential boundary-value problem / A. Samoilenko, A. Boichuk, S. Chuiko // Miskolc Mathematical Notes. — 2017. — V. 18, № 2. — P. 1015—1031. 152. Sˇ chwabik S. Differential Equations with Interface Conditions / ˇ S. Sˇ chwabik // Casopis Pro pestovani matematiky. — 1980. — roˇ c. 105. — P. 391—410. 153. Stallard F.W. 1955. — 71 p. 154. Stanimirovic P.S. On the Leverrier-Faddeev algorithm for computing Differential systems with interface conditions / F. W. Stallard. — Oak Ridge National Laboratory Report, N 1876. — the Moore-Penrose inverse / P. S. Stanimirovic, M. B. Tasic // J. Appl. Math. Comput. — 2011. — V. 35, N 1—2. — P. 135—141. 155. Stanimirovic P.S. On removing blur in images using least squares solutions / P. S. Stanimirovic, I. Stojanovic, D. Pappas, S. Chountasis // Filomat. — 2016. — V. 30 (14). — P. 3855—3866. 150 156. Vejvoda O. On perturbed nonlinear boundary-value problems / O. Vejvoda // Czech. Math. J. — 1961. — N 11. — P. 323—364. 157. Vogel T. Breaking oscillations in servo systems / T. Vogel // Journ. Mental. Sci. — 1954. — V. 100. — P. 103—113. 158. Vogel T. Theorie des systemes evolutifs / T. Vogel // Goutnier. — Villons. — 1965. — 172 p. 159. Wexler D. On Boundary Value Problems for an Ordinary Linear Differential Systems / D. Wexler // Ann. Vft. Pura et Appl. — 1968. — V. 80. — P. 123—136. 160. Weierstrass K. Zur theorie der bilinearen und quadratischen formen / K. Weierstrass // Monatsh. Akad. Wiss. Berlin. — 1867. — P. 310—338. 151 ДОДАТОК А Допомiжнi приклади Приклад А.1. Матриця ⎛ 4 8 ⎜ ⎜2 4 ⎜ = ⎜ ⎜1 2 ⎜ ⎝2 4 12 6 3 6 5 3 1 3 10 6 2 6 16 9 3 9 2 0 0 0 3 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 4 8 12 5 10 16 2 3 зображується у виглядi стандартного розвинення (1.4) з використанням матриць ⎛ 1 2 3 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜0 1 2 0 1 ⎜ Φ=⎜ ⎜0 0 1 0 0 ⎜ ⎝ 0 1 2 0 −1 1 2 3 −1 0 та 1 2 3 0 0 1 2 3 ⎜ ⎜ 0 0 0 1 2 3 0 0 ⎜ ⎜ 1 2 3 1 2 3 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ −374 1870 −1122 0 0 0 0 0 Ψ=⎜ ⎜ 2431 −374 −561 0 0 0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 −546 −1092 910 −140 −210 ⎜ ⎜ 0 0 0 −392 1834 −1092 168 252 ⎝ 0 0 0 84 168 −140 1834 −1176 матрицi ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Дiйсно, rank = 3, тому кiсткове розвинення := · визначають ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 1 2 3 ⎟ 0 1 2⎟ ⎟ 0 0 1⎟ ⎟, ⎟ 0 1 2⎠ 1 2 3 ⎞ 1 2 3 0 0 1 2 3 ⎜ ⎟ = ⎝ 0 0 0 1 2 3 0 0 ⎠ . 1 2 3 1 2 3 0 0 ⎛ 152 Зобразимо матрицю у виглядi ⎛ = · , ⎜ ⎜ ⎜ := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ ⎟ := ⎝ 0 1 0 0 0 0 0 0 ⎠ . 0 0 1 0 0 0 0 0 ⎛ 0 0 0 Оскiльки ⎛ ⎜ ⎜ 1⎜ = ⎜ 2⎜ ⎜ ⎝ * ⎞ 0 0 −1 ⎟ 0 −1 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎟, ⎟ 0 −1 0 1 0 ⎠ −1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ⎛ * − ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 −1 −1 0 1 0 0 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ та ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2431 −374 −561 0 0 0 −374 1870 −1122 0 0 0 −561 −1122 935 0 0 0 0 0 0 2422 −392 −546 0 0 0 −392 1834 −1092 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ −546 −1092 910 −140 −210 ⎟ ⎟ 84 168 −140 1834 −1176 ⎟ ⎠ 126 252 −210 −1176 854 0 0 0 84 168 0 0 0 126 252 ⎞ то для матриць ⎛ (︃ − := 0 1 1 1 )︃ , − 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜1 0 0 ⎜ := ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎝0 0 1 0 0 0 за формулами Φ= (︁ * − − )︁ (︃ , Ψ= − − )︃ ; отримуємо наведенi вище матрицi Φ та Ψ. 153 Приклад А.2. Як iлюстрацiю до теореми 1.1.2 розглянемо задачу про розв’язання рiвняння = , де (А.1) ⎛ 1 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ∈ R5 . ⎜ ⎟ := ⎝ 0 −1 0 0 0 ⎠ , 0 0 0 0 0 Cтандартне розвинення матрицi ⎜ ⎟ := ⎝ 2 ⎠ , 0 := Φ · · Ψ, визначають невиродженi матрицi ⎞ 1 0 0 0 0 ⎜ ⎟ := ⎝ 0 1 0 0 0 ⎠ 0 0 0 0 0 ⎛ ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ Φ = ⎝ −1 0 1 ⎠ , 0 0 1 ⎛ 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜1 0 0 ⎜ Ψ=⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎝0 0 1 0 0 0 Система (А.1) розв’язна, оскiльки * = 0; при цьому = + , тут † := (︁ 1 2 3 )︁* ∈ R3 ; = † (︁ 1 −2 0 0 0 (︁ )︁ , = (︁ 0 0 −1 + 2 1 3 )︁ . Таким чином = теми (А.1). 1 −2 −1 + 2 1 3 )︁* — загальний розв’язок сис- Приклад А.3. Побудуємо ортопроектори , * матрицi ⎛ ⎞ 2 0 2 0 0 ⎜ ⎟ = ⎝ 0 2 0 0 0 ⎠ . 4 0 4 0 0 154 Матриця має rank = 2, тому стандартне розвинення визначає матриця ⎞ 1 0 0 0 0 ⎜ ⎟ := ⎝ 0 1 0 0 0 ⎠ , 0 0 0 0 0 причому стандартне розвинення (1.4) визначають матрицi ⎛ ⎛ ⎞ 0 1 0 ⎜ ⎟ Φ = ⎝ 2 0 2 ⎠, 0 2 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ Ψ=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 2 0 0 1 0 2 2 0 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 1 Для знаходження ортопроекторiв , * будуємо матрицi 0 0 2 −1 ⎜ ⎜0 0 0 0 ⎜ = ⎜ ⎜ 0 0 −2 1 ⎜ ⎝0 0 1 0 0 0 0 0 ⎛ ⎞ 0 ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟, ⎟ 0⎠ 1 * 0 0 0 ⎟ ⎜ = ⎝ 0 0 0 ⎠. −2 0 1 ⎛ ⎞ Ортопроектор пов’язаний з проектором наступним чином ⎛ = , ⎜ ⎜ ⎜ := ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 0 ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 1 0⎟ ⎟. ⎟ 1 2 2 0 ⎠ 0 0 1 Аналогiчно ортопроектор * пов’язаний з матрицею * рiвнiстю ⎛ * = * , ⎜ ⎜ ⎜ := ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎝ −2 0 0 0 0 ⎞ 0 0 0 0 ⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 1 0⎟ ⎟. ⎟ 0 1 2 2 0 ⎠ 0 0 0 1 Приклад А.4. Використовуючи стандартне розвинення, дослiджу(А.2) ємо задачу про розв’язання рiвняння = , 155 де ⎞ 2 0 2 0 0 ⎜ ⎟ := ⎝ 0 2 0 0 0 ⎠ , 4 0 4 0 0 ⎛ ⎞ 0 ⎜ ⎟ := ⎝ 1 ⎠ , 0 ⎛ ∈ R5 . Cтандартне розвинення матрицi := Φ · · Ψ наведене у прикладi А.3, крiм того ⎞ −7 4 8 −8 0 1⎜ ⎟ † = ⎝ −2 1 2 −2 0 ⎠ . 2 4 −2 −4 4 0 Система (А.2) розв’язна, оскiльки * = 0; при цьому ⎛ = † + , тут † = 1 2 (︃ −2 1 2 −2 0 )︃ , ∈ R3 ; (︃ = 21 − 2 0 −21 + 2 1 3 )︃ . Таким чином = 1 2 (︃ 2 (21 − 2 − 1) 1 −2 (21 − 2 − 1) 2 (21 − 1) 2 3 )︃* — загальний розв’язок системи (А.2). Приклад А.5. Матричне рiвняння Сильвестра 2 ∑︁ =1 = (А.3) розв’язне для ⎛ 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 = ⎝ 0 0 0 ⎠ , 2 = ⎝ 0 0 0 ⎠ , 1 = ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ , 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 ⎞ 0 0 1 0 0 ⎜ ⎟ 2 = ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ , 1 0 1 0 1 ⎛ ⎞ 0 0 0 0 0 1⎜ ⎟ = ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ . 2 1 0 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 156 Природний базис простору R3×3 складають матрицi [21] ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Θ1 = ⎝ 0 0 0 ⎠ , Θ2 = ⎝ 1 0 0 ⎠ , ... , Θ9 = ⎝ 0 0 0 ⎠ , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 при цьому ⎛ ⎛ 1 0 0 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 2 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ξ1 = ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ , ... , Ξ9 = ⎝ 0 0 0 0 0 ⎠ . 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 Ключова при дослiдженнi матричного рiвняння Сильвестра (А.3) матриця ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 0 0 0 0 0 1 0 1 157 визначає матрицю-ортопроектор ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 * 1 −2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 −1 2 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 ⎟. ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 1 0 ⎠ 0 1 2 Оскiльки * ̸= 0, то для матричного рiвняння Сильвестра (А.3) має мiсце критичний випадок, при цьому умова (1.11), виконується, тому поставлена задача розв’язна. Шуканий := 5 – параметричний розв’язок = Φ[ , ] + Ψ[, ] матричного рiвняння Сильвестра (А.3) визначає матриця )︁ 1 (︁ ℳ[ ] = 1 0 −2 0 0 0 0 0 1 . 4 + Таким чином, розв’язок матричного рiвняння Сильвестра (А.3) має вигляд = Φ[ , ] + Ψ[, ], де ⎞ 1 0 0 1⎜ ⎟ Φ[ , ] = ⎝ 0 0 0 ⎠ , 4 −2 0 1 ⎛ ⎞ 0 2 0 ⎜ ⎟ Ψ[, ] = ⎝ 1 3 5 ⎠ , 0 4 0 ⎛ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ∈ R1 — довiльнi константи. 158 Приклад А.6. Вимогам леми 1.2.1 задовольняє традицiйна диферен- цiально-алгебраїчна система () () = Ω() () + (), де ′ () := (︁ sin cos sin cos )︁* (А.4) cos ⎜ ⎜ − sin () := ⎜ ⎜ cos ⎝ − sin ⎛ sin cos cos − sin sin cos cos − sin ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎠ − sin cos ⎜ ⎜ − cos − sin Ω() := ⎜ ⎜ − sin cos ⎝ − cos − sin ⎛ − sin − cos − sin − cos ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎠ У наслiдок рiвностi * () Ω() = 0, * () ℱ () = 0 умови (1.17) та (1.18) виконано. Добуток ⎞ 0 1 0 1⎜ ⎟ + ()Ω() = ⎝ −2 0 −2 ⎠ 2 0 1 0 визначає загальний розв’язок ⎛ (, ) = () , ⎞ 2 sin − sin cos2 2 2 2 ⎟ ⎜ () = ⎝ − sin cos − sin ⎠ , sin − sin2 2 cos2 2 2 ⎛ ∈ R3 задачi Кошi () = , ∈ R3 для однорiдної частини рiвняння (А.4), а також узагальнений оператор Грiна задачi Кошi (0) = 0 для диференцiально-алгебраїчної системи (А.4); покладемо () := sin , при цьому ⎞ 3 (cos − 1) [︂ ]︂ 1⎜ ⎟ F(, ()) () = ⎝ 3 sin ⎠. 2 cos − 1 Приклад А.7. ⎛ Вимогам теореми 1.3.1 задовольняє задача про побу- дову 2 -перiодичних розв’язкiв диференцiально-алгебраїчної системи ′ () = ℬ () + (), (А.5) 159 де ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ (︃ )︃ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎟ , 1 := 1 0 0 , ⎟ , 2 := ⎜ 1 := ⎜ ⎜0 0 1⎟ ⎜0 0 1⎟ 0 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 0 0 1 0 (︃ )︃ (︃ )︃ 0 0 0 0 1 0 2 := , Ψ1 := 2 , Ψ2 := , 0 1 0 0 1 0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 sin 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎟ ⎜ ⎟ Φ1 := Φ2 := ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎟ , () := ⎜ sin cos 0 ⎟ . ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ cos 0 0 0 0 0 Крiм того () := Позначимо ′ 2 ∑︁ =1 () , ′ ℬ () := 2 ∑︁ =1 Φ ′ () Ψ . ⎞ 1 0 ⎜ ⎟ Ξ1 := ⎝ 0 0 ⎠ , 0 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ξ2 := ⎝ 1 0 ⎠ , ... , Ξ6 := ⎝ 0 0 ⎠ 0 0 0 1 ⎛ природний базис простору R3×2 . У наслiдок рiвностi Ω* () Θ() = 0, умови (1.17), (1.18) виконано; тут Ω* () ℱ () = 0, ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Θ() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Ω() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 1 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 1 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 1 0⎟ ⎟, 0 0 0 0 0 1⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 ⎞ 0 0 0 0 0 0 ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 1 0 0 2⎟ ⎟. 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0 0 0 0⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 160 Добуток ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ + Ω ()Θ() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 визначає матрицю ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ () = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ 1 0 0 0 0 0 ⎟ 0 1 0 0 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 1 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟; 0 0 0 1 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 1 2 ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 1 для її знаходження використано жорданову форму: Ω+ ()Θ() = −1 ; тут ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ крiм того 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 1 0 2 0 0 0 1 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 −1 −1 −1 () = () −1 ; тут 1 0 ⎜ ⎜0 1 0 ⎜ ⎜0 0 1 ⎜ () = ⎜ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜0 0 0 ⎝ 0 0 0 ⎛ ⎞ 0 0 0 ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ 0 0 0⎟ ⎟ ⎟. 1 0 0⎟ ⎟ 0 1 0⎟ ⎠ 0 0 1 161 Таким чином знаходимо розв’язок ⎞ 1 4 ⎜ ⎟ (, ) = ⎝ 2 3 + 5 + 2 6 ⎠ 3 6 задачi Кошi ⎛ ⎞ 1 4 ⎜ ⎟ (0) = ℳ−1 () := ⎝ 2 5 ⎠ , 3 6 ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ := ⎝ ... ⎠ ∈ R6 6 ⎛ для однорiдної частини диференцiально-алгебраїчної системи (А.5). Традицiйний оператор Грiна задачi Кошi [ ()]() визначає узагальнений оператор Грiна задачi Кошi для системи (А.5) ]︂ {︂ [︂ ]︂ }︂ () () := ℳ−1 + ()ℱ () () = ⎛ ⎜ =⎝ тут [︂ 0 0 ⎞ ⎟ sin 3 + − 3 cos − sin ⎠ ; 1 − cos sin + ()ℱ () = ( 0 cos sin 0 sin cos )* . Оскiльки * ̸= 0, то в задачi про побудову 2 -перiодичних розв’язкiв матричної диференцiально-алгебраїчної системи (А.5) має мiсце критичний випадок; тут ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ = −2 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ * 0 0 0 0 0 0 Загальний розв’язок 0 0 0 0 0 1 ⎞ 1 3 ⎟ ⎜ (, ) = ⎝ 2 4 ⎠ , −25 5 ⎛ ∈ R5 162 однорiдної частини 2 -перiодичної матричної задачi для диференцiальноалгебраїчної системи (А.5) визначають матрицi ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1⎜ ⎜ = ⎜ 5⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 0 0 0 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ 0 −2 ⎟ ⎟ ⎟, 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 0 5 0 ⎟ ⎠ 0 0 −2 0 0 1 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Ω () = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 ⎞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ 1⎜ ⎜ = ⎜ 5⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 5 0 0 0 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ 0 −2 ⎟ ⎟ ⎟. 0 0 ⎟ ⎟ 0 0 0 5 0 ⎟ ⎠ 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 0 0 5 ⎞ Оскiльки Ω () ̸= 0 : 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ̸= 0, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 0 тому розв’язок матричної диференцiально-алгебраїчної системи (А.5) залежатиме вiд довiльної функцiї () ∈ C[0; 2 ]; покладемо (︃ () := Таким чином, отримуємо функцiю sin cos )︃ . ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ + F(, ()) := Ω ()ℱ () + Ω ()() = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ sin ⎟ cos ⎟ ⎟ sin ⎟ ⎟ ⎟. cos ⎟ ⎟ sin ⎟ ⎠ cos ⎞ Оскiльки умову (1.21) виконано, розв’язок 2 -перiодичної матричної задачi для диференцiально-алгебраїчної системи (А.5) [︂ ]︂ (, ) = (, ) + F(, ()); A (), визначає узагальнений оператор Грiна ∈ R5 ⎛ [︂ ]︂ ⎜ F(, ()); A () = ⎝ 4 5 4 5 ⎞ − cos sin ⎟ sin 3 − 3 cos − sin ⎠ . 2 − cos −5 + sin 163 ДОДАТОК Б Список публiкацiй здобувача за темою дисертацiї Публiкацiї у фахових виданнях України i виданнях, що входять до мiжнародних наукометричних баз 1. Чуйко С. М. Про наближене розв’язання матричних диференцiальноалгебраїчних крайових задач методом найменших квадратiв / С. М. Чуйко, О. В. Нєсмєлова, М. В. Дзюба // Нелiнiйнi коливання. — 2019. — Т. 22, № 3. — С. 423—436. (Входить до мiжнародної наукометричної бази MathSciNet.) Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження умов iснування, а також конструкцiї найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi. 2. Чуйко С. М. Метод найменших квадратiв у теорiї матричних диференцiально-алгебраїчних крайових задач / С. М. Чуйко, О. В. Нєсмєлова, М. В. Дзюба // Український математичний журнал. — 2018. — T. 70, № 2. — С. 280—292. Переклад: Chuiko S. M. Least-squares method in the theory of matrix differentialalgebraic boundary-value problems / S. M. Chuiko, O. V. Nesmelova, M. V. Dzyuba // Ukrainian Mathematical Journal. — 2018. — V. 70, N 2. — P. 319—333. (Входить до мiжнародних наукометричних баз Scopus, Web of Science, MathSciNet, Zentralblatt MATH.) Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження умов iснування i конструкцiї найкращого (у сенсi найменших квадратiв) псевдорозв’язку матричної диференцiальноалгебраїчної крайової задачi. 3. Чуйко С. М. Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // 164 Нелiнiйнi коливання. — 2017. — T. 20, № 4. — C. 564—573. Переклад: Chuiko S. M. Matrix differential-algebraic boundary-value problem with pulsed action / S. M. Chuiko, M. V. Dzyuba // Journal of Mathematical Sciences. — 2019. — V. 238, N 3. — P. 333—343. (Входить до мiжнародних наукометричних баз Scopus, MathSciNet, Zentralblatt MATH.) 4. Дзюба М. В. Про наближене розв’язання матричного алгебраїчного рiвняння Рiккатi методом найменших квадратiв / М. В. Дзюба // Працi Iнституту прикладної математики i механiки НАН України. — 2017. — T. 31. — С. 46—53. 5. Чуйко С. М. Регуляризацiя матричної крайової задачi за допомогою збурення крайової умови / С. М. Чуйко, О. В. Чуйко, М. В. Дзюба // Буковинський математичний журнал. — 2016. — Т. 4, № 1—2. — С. 145—151. (Входить до мiжнародної наукометричної бази Zentralblatt MATH.) Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження конструктивних умов регуляризацiї матричної крайової задачi за допомогою збурення крайової умови. 6. Чуйко С. М. Регуляризация линейной нетеровой краевой задачи при помощи импульсного воздействия типа "interface conditions"/ С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, М. В. Дзюба // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — 2016. — Т. 30. — С. 143—154. Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження для лiнiйних нетерових крайових задач достатнiх умов регуляризацiї за допомогою iмпульсного впливу типу ”interface conditions”. 7. Чуйко С. М. Про регуляризацiю матричного рiвняння Сильвестра / С. М. Чуйко, О. В. Чуйко, М. В. Дзюба // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — 2015. — Т. 29. — С. 147—156. 165 Особистий внесок здобувача. Автору дисертацiї належать результати зi знаходження для матричного рiвняння Сильвестра достатнiх умов та схеми регуляризацiї. Науковi працi, що засвiдчують апробацiю матерiалiв дисертацiї: 8. Chuiko S. About an approximate solution of matrix differential-algebraic boundary-value problems with a least-squares method / S. Chuiko, O. Nesmelova, M. Dzuba // Differential equations and control theory, 25–27 September 2018 : Book of Abstracts. — Kharkiv, 2018. — P. 18. 9. Чуйко С. Матрична iмпульсна диференцiально-алгебраїчна крайова задача / С. Чуйко, М. Дзюба // Сучаснi проблеми математики та її застосування в природничих науках i iнформацiйних технологiях, 17–19 вересня 2018 р. : матерiали мiжнар. наук. конф. — Чернiвцi, 2018. — С. 113. 10. Чуйко С. М. Матричная импульсная дифференциально-алгебраическая краевая задача / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Международная летняя математическая школа памяти В. А. Плотникова, 11–16 июня 2018 г. : тезисы докл. — Одесса, 2018. — С. 84. 11. Чуйко С. М. Матрична iмпульсна диференцiально-алгебраїчна крайова задача / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Мiжнародна конференцiя молодих математикiв, присвячена 100-рiччю з дня народження академiка НАН України Ю. О. Митропольського, 7–10 червня 2017 р. : тези доп. — Київ, 2017. — С. 109. 12. Чуйко С. М. Матрична диференцiально-алгебраїчна крайова задача з iмпульсним впливом / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // Теорiя наближення функцiй та її застосування, 28 травня–3 червня 2017 р. : тези доп. мiжнар. конф. — Слов’янськ, 2017. — С. 95. 13. Chuiko S. M. On a regularization method for solving matrix Sylvester equation / S. M. Chuiko, M. V. Dzuba // Dynamical Systems Modelling and Stability Investigation, 24–26 May 2017 : Abstracts of XVIII Intern. Conf. Reports. — Kyiv, 2017. — P. 24. 166 14. Чуйко О. Про регуляризацiю матричної крайової задачi збуренням крайової умови / О. Чуйко, М. Дзюба // Диференцiально-функцiональнi рiвняння та їх застосування, 28–30 вересня 2016 р. : матерiали мiжнар. конф. — Чернiвцi, 2016. — С. 99. 15. Chuiko S. M. On regularization method for solving linear matrix Sylvester equation / S. M. Chuiko, M. V. Dzuba // International Conference on Differential Equations, dedicated to the 110-th anniversary of Ya. B. Lopatynsky, 20–24 September 2016 : Book of Abstracts. — Lviv, 2016. — Р. 39. 16. Чуйко С. М. Регуляризация матричного уравнения Сильвестра / С. М. Чуйко, М. В. Дзюба // ХI Мiжнародна математична лiтня школа «Алгебра, топологiя, аналiз», 1–14 серпня 2016 р. : тези доп. — Одеса, 2016. — С. 142. Особистий внесок здобувача. У спiльних роботах iз науковим керiв- ником С. М. Чуйком, а також з О. В. Чуйко, О. С. Чуйком та О. В. Нєсмєловою автору дисертацiї належать результати, якi полягають у знаходженнi необхiдних i достатнiх умов iснування розв’язкiв та регуляризацiї матричних крайових задач для диференцiально-алгебраїчних рiвнянь. Спiвавторам належить участь у постановцi задач, консультацiї з вибору методологiї дослiдження, обговорення отриманих результатiв та висновкiв.