С.Н. Зиненко

Векторный и тензорный анализ
Скалярные и векторные поля
(сборник задач)

2016

5. Скалярные и векторные поля: градиент, ротор, дивергенция. Оператор Гамильтона  Условия
 Найти grad скалярного поля f ( r ) , применяя оператор Гамильтона 
  № 5.1. a )  f ( r )   g ( r )   b) f ( r )  g ( r )  c ) f ( g ( r ))   № 5.2 a ) f ( r )  r  r  q b) f ( r )     c) f ( r )   c , r

№ 5.1. a )  f ( r )   g ( r )
b) f ( r )  g ( r ) c ) f ( g ( r ))

      № 5.2. a ) f ( r )  d  d , d     e, r  , e    b) f ( r )  ln d    c) f ( r )   e , d

r





  Найти div и rot векторного поля F ( r ) , применяя оператор Гамильтона 

    № 5.3. a)  F ( r )   G ( r )    b) f ( r )  G ( r )   c) F ( g ( r ))
   № 5.4. a ) F ( r )  r    b) E ( r )  f ( r ) r ,     c) F ( r )    c, r  

  № 5.3. a )  F ( r )   G ( r )  b) f ( r )  G ( r )  c ) F ( g ( r ))      № 5.4. a ) F ( r )  F ( d )  d



f (r ) 

 r3

q

   b) E ( d )  f ( d ) d ,

 f (d ) 

2q

 2j    c) H ( d )    e, f ( d ) d   d 2

d2



№ 5.5. Найти выражения векторных операций второго порядка

Теория
1о Скалярное поле В объеме V задано скалярное поле f , если каждой точке A      x  A  OA  r  x i  y j  z k   y  z   поставлен в соответствие скаляр (число)   r  f  f ( r )  f ( x, y , z ) Удобным геометрическим описанием скалярного поля являются поверхности уровня  (изоповерхности) – поверхности постоянства поля f ( r )  const . В случае плоского поля говорят о линиях уровня (изолинии).    Например, температура T ( r ) (изотермы), плотность  ( r ) , давление p ( r ) (изобары),  потенциал электростатического поля  ( r ) (эквипотенциальные поверхности) и т.д. 1

    Всякий единичный вектор e  cos  i  cos  j  cos  k будем называть направлением.    Производной скалярного поля f  f ( r ) в точке r по направлению e называется     f  f (r  t e )  f (r )  fe ( r )   ( r )  lim   t 0 e t
f ( x   t cos  , y   t cos  , z   t cos  )  f ( x, y, z )   cos   f y   cos   f z  cos   fx  t 0 t  Физический по направлению – скорость изменения поля f ( r )   смысл производной в точке r по направлению e .  Градиентом скалярного поля f  f ( r ) называется вектор     f x    j  f z k   f y   grad f ( r )  f x i  f y    f z   lim

Приведенное определение градиента, удобное с точки зрения его нахождения, имеет тот недостаток, что зависит от выбора базиса.  Из связи grad f ( r ) с производной по направлению
     ( r )   grad f ( r ), e  fe

вытекает инвариантный характер градиента и его физический смысл.

Теорема   1) направление grad f ( r ) - направление emax   наибольшего роста поля f ( r )       2) длина grad f ( r ) - величина fe  max  fe max
e

    emax grad f  fe max
   3) grad f ( r )  поверхности (линии) уровня f ( r )  const , проходящей через точку r
 z  f ( x, y )  f ( r )

y

 f ( r )  const  grad f ( r )

 r

x

Удобно ввести в рассмотрение оператор Гамильтона - символический вектор “набла” 
          x    i  x  j  y  k  z   y      z   

 Тогда градиент может быть записан как “произведение” вектора  на скаляр f ( r )

             x   f f f   k f z  i  x  j  y  k  z  i x  j y  k z f   y  f   f grad f ( r )  i f x  j f y     z    2





2о Векторное поле  В объеме V задано векторное поле F , если каждой точке A      x  A  OA  r  x i  y j  z k   y  z   поставлен в соответствие вектор P ( x, y , z )   P          r  F  F ( r )  P ( x , y , z ) i  Q ( x , y , z ) j  R ( x, y , z ) k   Q ( x , y , z )    Q       R ( x, y , z )   R 
Удобным геометрическим описанием векторного поля являются векторные линии   – кривые, в каждой точке которых касательная параллельна полю F  F ( r ) . Пучок векторных линий, пронизывающих некоторую поверхность S , образует так называемую векторную трубку.   Например, стационарное поле скоростей v ( r ) жидкости (линии тока),     гравитационное поле F ( r ) , электростатическое поле E ( r ) (силовые линии),   магнитостатическое поле H ( r ) (линии индукции) и т.д.   v (r )
  E (r )

 j   H (r )

  Дивергенцией векторного поля F ( r ) называется скаляр       Qy   Rz   x P  y Q  z R   , F ( r )  div F ( r )  Px   Ротором векторного поля F ( r ) называется вектор

                 Q P R Q P      rot F ( r )   R i j k  z x  x y  y z  

  Qz  R y  Pz  Rx   Py  Qx

     x y z   P Q R

 i

 j

 k

    , F ( r )  

С помощью оператора Гамильтона дивергенция и ротор могут быть записаны соответственно как “скалярное” и “векторное” “произведения” символического   вектора  на вектор F ( r ) . Данные определения дивергенции и ротора, удобные с точки зрения их нахождения, имеют тот недостаток, что зависят от выбора базиса. В дальнейшем будут получены инвариантные формулы дивергенции и ротора и выяснен их физический смысл.

3

Решения
При нахождении

grad    ,
оператор Гамильтона

div   ,   ,

rot    ,   

     i x  j y  k z

Сначала оператор  действует подобно операции дифференцирования. При этом на нахождение частных производных удобно смотреть, как на одновременное действие,   которое вместо “штриха сбоку” ( )xyz будем обозначать   “стрелкой сверху”.

удобно рассматривать как “дифференциальный вектор”, который “умножается слева” на скаляр   или вектор (в скалярном  ,   / векторном   ,    произведении).

 для Правила “стрелки”   вытекают из соответствующих правил “штриха” ( )xyz   a) суммы  f  g, F G      b) произведения f g, f G ,  F, G  ,   F, G       c) суперпозиции F (g) , F (G ) f (g) , f (G ) ,
Затем, воспринимая  как обычный вектор в составе соответствующего произведения и применяя




правила

векторной

алгебры, на

преобразуем который

полученное он

поставив

слева от сомножителя,

выражение,  подействовал   

4

№ 5.5.

Операции grad    ,
div   ,   , rot    ,   

называются векторными операциями первого порядка Построим векторные операции второго порядка
f

  ,   

  , F    


  ,  f  

 ,  

 ,  f 

   ,   , F      , F    , 



 , F     , F 
 



Используя символическое исчисление, получим   rot grad f ( r )    ,  f   ,  f  0             div rot F ( r )   ,   , F      , , F      ,   , F   0  div grad f ( r ) 

 ,  f     ,   f


  f yy   f zz    2 f   f  f xx
  Qxy   Rxz    Pxx     R    Q yy yz    Pyx     Qzy   Rzz    Pzx


лапласиан

   grad div F ( r )    , F

  Q   Rz 'x y   Px    Rz   Q  'y    Px y    P  Q  R'
x y z z

    

         rot rot F ( r )   , , F , F       





 ,   F

   grad div F   F 

  Qxy   Rxz   Pxx    Q   R    Pyx yy yz    Qzy   Rzz   Pzx Следовательно,  grad f ( r )
grad rot   0

  Pyy   Pzz     Pxx      Q   Qzz   yy    Qxx      R   Rzz     Rxx yy

  rot F ( r )
     grad div F ( r )   F ( r )

  div F ( r )   grad div F (r )
 

div

  f (r )

0

5

6. Криволинейные интегралы от скалярных и векторных полей Условия
 № 6.1. Найти массу кривой L с линейной плотностью  ( r )
cos t   L  r   sin t   t



 ,  
2

t  0, 2  



ch t    L  r   sh t  , t    0, 1      t 





 (r ) 

x  y z
2

(r ) 



z 1  x2  y 2

 № 6.2. Найти заряд кривой L с линейной плотностью заряда q( r ) e  t cos t   t L  r   e sin t   e t  q( r )  x  y  z



 , t   0,     



cos e   L  r   sin e  t   e t  q( r )  x  y  z



t

 , t   0,     


точки

  № 6.3. Найти работу силы F ( r ) при из начала A в конец B кривой LAB

перемещении

материальной

LAB

ch t     r   sh t  ,   t  



t   1,  1  



LAB

cos t    r   sin t   t



 ,  

t    ,   



y   F(r )   z   x 

z   F(r )   x   y 

№ 6.4. Найти работу силы трения № 6.4. Найти работу силы сопротивления     FTP ( r ) при перемещении материальной FC ( r ) воздуха при перемещении точки по плоской кривой материальной точки по кривой     LAB  r  r ( t ), t LAB  r  r ( t ), t  ,     ,   









№ Найти работу силы тяготения  6.5.  FT ( r ), создаваемой материальной точкой массой M , находящейся в начале координат, при перемещении материальной точки массой m по кривой   LAB  r  r ( t ), t  ,   

 



№ Найти работу силы упругости  6.5.  FУ ( r ), создаваемой бесконечно растяжимой пружиной, прикрепленной к началу координат, при перемещении материальной точки по кривой   LAB  r  r ( t ), t  ,   





   № 6.6. Найти работу векторного поля F ( r )  grad f ( r ) материальной точки из начала A конец B кривой LAB   LAB  r  r ( t ), t  ,   

при

перемещении


6

  LAB  r  r ( t ),



t  ,    , A B



1о Криволинейные интегралы от скалярных полей Пусть дана простая гладкая кривая         L  r  r ( t ), t    ,  (  непрерывная r ( t ) , причем r ( t ) 0 )   t t    на которой задано скалярное поле f ( r ) (например, линейная плотность вещества/заряда)      f ( r )  lim  m r  r(t ) B  L r  L Найдем массу (заряд) кривой n n  m    mk  lim  f ( k )  L k   Lk d  0 k 1 k 1     f ( k )  A k  f ( r ) dL

Теория






L

 Полученный предел называется криволинейным интегралом от скалярного поля f ( r ) по кривой L и сводится к следующему определенному


L

 f ( r ) dL 







  f ( r ) r t dt

2о Криволинейные интегралы от векторных полей Пусть дана простая гладкая ориентированная кривая      L   r  r ( t ), t   ( непрерывная rt ( t ) , причем rt ( t )  0 )  ,   





воспринимаемая, как траектория движения материальной точки, направление которой L  (или L  ) задается непрерывным полем единичных векторов касательных        r  ( t )  ( r )   ( r (t) )   (или   ( r ) ) r  ( t ) (что равносильно указанию для концевых точек A или B начала или конца: L   LAB ).   Пусть на кривой LAB задано непрерывное векторное поле F ( r ) (например, силовое).   Найдем работу силы F ( r ) при перемещении материальной точки из начала A в конец B   кривой LAB r  r(t )  B  Lk n n     // A    A k  lim   F ( k ),  ( k )  L k   d  0 k 1 k 1   Lk  Lk    ( k )           F ( r ),  ( r )  dL   F ( r ), dL  A k   L LAB F ( k )   Полученный предел называется криволинейным интегралом от векторного поля F ( r )   по ориентированной кривой LAB (совпадая с интегралом от скалярного поля f   F ,   )





и сводится к следующему определенному

LAB



   ) , dL   F (r





  F ( r ) , r   t  dt 



7

8

7. Поверхностные интегралы от скалярных и векторных полей Условия
 № 7.1. Найти массу поверхности S с поверхностной плотностью  ( r )

 x2  y 2  , x2  y 2  a2 S z1 2





S z



x 2  y 2 , x 2  y 2  ax



(r ) 



 x2  y 2   z

(r ) 



 x2  y 2   z

 № 7.2. Найти заряд поверхности S с поверхностной плотностью q( r )
S z



x 2  y 2 , x 2  y 2  ay



S  z  xy, x 2  y 2  a 2  q( r )   x 2  y 2





 q( r )   x 2  y 2   z

2  z

№ 7.3. Найти количество жидкости (объем), протекающее в единицу времени через   верхнюю сторону поверхности S  , со скоростью v ( r )

S  z  xy, x 2  y 2  a 2 ,





v (r )   z 
 x 

 

y

z   S  z  x 2  y 2 , x 2  y 2  a 2 , v ( r )   y   x 





№ 7.4. Найти величину заряда, протекающего в единицу времени через нижнюю    сторону поверхности S  , с плотностью заряда q ( r ) и со скоростью v (r ) (силу тока)

S  z  x 2  y 2 , x 2  y 2  a 2  q( r )  x  y  z



z  , v( r )   x    y 

S  z  xy, x 2  y 2  a 2  q( r )  x  y  z



,

v (r )   x 
 z 

 

y

  № 7.5. Найти поток вектора F ( r ) через коническую поверхность S  z  a x  y , ( x, y )  D ,
2 2





   F(r )  r

   S  z  a x 2  y 2 , ( x, y )  D , F ( r )  r 3





r

   Найти поток вектора F ( r )  r через поверхность
№ 7.6. № 7.6.

u cos v   S  r   u sin v   v



 ,  

0ua 0  v  2



u cos v   S  r   u sin v   u



 ,  

0ua 0  v  2



№ 7.7.
 часть сферы S    r  r 0  площади S

№ 7.7.
   часть плоскости  r  r 0 , n   0 площади S

9

Теория
1о Поверхностные интегралы от скалярных полей Пусть дана простая гладкая поверхность
  S  r  r (u , v), (u , v )  





     , rv  , причем   , rv   ( непрерывные ru  ru   0)

 на которой задано скалярное поле f ( r ) .  Например, f ( r )   поверхностная плотность вещества (заряда)

S

  r  r  u, v 

  lim  m
 S r

S


Найдем массу (заряд) поверхности

  f ( k )



 Sk

n n  m    mk  lim  f ( k )  S k  k 1 d  0 k 1

k





S

 f ( r ) dS

 Полученный предел называется поверхностным интегралом от скалярного поля f ( r ) по поверхности S и сводится к следующему двойному


S

 f ( r ) dS 




    , rv   f (r )   ru  du dv

В частном случае, когда поверхность

S  z  z ( x, y ), ( x, y )  D





  f  x, y , z 

график непрерывно дифференцируемой функции, интеграл равен

S

z  z  x, y 

 f ( x, y, z) dS 
S

D 10



 f ( x, y, z)
D

 2  zy 2 dx dy 1  z x

2о Поверхностные интегралы от векторных полей

Пусть дана простая гладкая ориентированная поверхность         , rv  , причем   , rv   S  r  r (u, v), (u, v)   ( непрерывные ru  ru   0)   со стороной задаваемой непрерывным полем единичных векторов нормалей  n( r )      , rv ru        n( r )  n( r (u , v) )     , rv      ru   на которой задано непрерывное векторное поле F (r ) . Например,    - F  v ( r ) поле скоростей стационарного потока жидкости        - F  j ( r )  q( r ) v ( r ) стационарный ток зарядов с плотностью q и скоростью v





Найдем поток векторного поля через заданную сторону поверхности, т.е. - объем жидкости, протекающий в данном направлении в единицу времени - силу тока (массу жидкости)      F ( k ) r  r  u, v  S S k  // n n         k  lim   F ( k ), n( k )  S k   d  0 k 1  k 1  Sk  Sk   n( k )           F ( r ), n( r )  dS   F ( r ), dS   k S S






  Полученный предел называется поверхностным интегралом от векторного поля F ( r ) по выбранной стороне S ориентированной поверхности (совпадая с интегралом от   скалярного поля f   F , n  ) и сводится к следующему двойному

где через

    S k  n( k )  S k

обозначен вектор ориентированной площади.

  F ( r ) , dS     F ( r ) , ru , rv  du dv
S 

 



 





В частном случае, когда ориентированная поверхность S  z  z ( x, y ), ( x, y )  D





верхняя сторона графика непрерывно дифференцируемой функции, интеграл равен

x     z n    zy     1 

  P ( x, y , z )  F  Q ( x, y , z )   R ( x, y , z )   

S

 P( x, y, z) dy dz  Q(...) dz dx  R(...) dx dy 
S

z  z  x, y 



   P( x, y, z)  z  Q(...)  z  R(...)  dx dy
x y
D

D

11

12

13

8. Теорема Стокса. Ротор Условия
  № 8.1. Найти циркуляцию “плоского” поля F ( r ) вдоль замкнутой “плоской” кривой L .

L  x 2  y 2  2ax ,





   x  x2 y F(r )   2   xy  y

 2 2 2  L x y a ,  





   3 x 4 y  x 2 y 3  F(r )    3 2 4   x y  3 xy  

  № 8.2. Используя формулу Грина, найти работу поля F ( r ) вдоль незамкнутой кривой LAB    cos x cos y    e x cos y  x  cos t x  t cos t   ,   F (r )   L  t   L  , t  , ( ) F r  0,      2 2   x AB  sin x sin y   AB  y  sin t  y  t sin t e sin y 









№ 8.3. Используя формулу Грина, найти площадь фигуры, ограниченной кривой

 x  a cos t , эллипс L    y  b sin t



t  0, 2  



 x  a cos3 t , t астроида L    0, 2   3  y  b sin t





  Найти циркуляцию поля F ( r ) вдоль замкнутой кривой L (движение по кривой совершается по часовой стрелке, если смотреть со стороны оси Ox)
№ 8.4. № 8.4.

1 x  2 y  3 z  9 x  8 y  7 z     x2  y 2  z 2  a2     x2  y 2  z 2  a2  6x  5 y  4z L  , F ( r )  4 x  5 y  6 z  L   , F(r )    1x  2 y  3 z  0 3 x  2 y  1z  0         x y z x y z 7 8 9 3 2 1    









№ 8.5.

№ 8.5.

 x3  y 2  z   x4  y 2  z 2  2 2 2   x2  y 2  z 2  a2    3 x  y  a    , F ( r )   y  z2  x  L   L  , F ( r )   y5  z 2  x2  x yz0  x  y  z 0  z3  x2  y   z 6  x2  y 2     









  № 8.6. Используя формулу Стокса, найти работу поля F ( r ) вдоль незамкнутой кривой LAB
x2  y z  2 xy  z 2  cos t t cos t           2   r L  r  sin t  , t   , F ( r )  2 y z  x 2   t sin t  , t   0, 2  0, 2   , F(r )  y zx  L   AB   AB  2   t    t    z  xy   2 z x  y 2    









14

  Ротором векторного поля F ( r ) называется вектор        Qz  R i j k y           R  Q i  , F ( r )        Pz  Rx               P R Q P rot F ( r )   j k       y z z x x y x y z        Q P   y  P Q R   x rot F Теорема (Стокса)   Циркуляция векторного поля F(r ) вдоль замкнутого    контура L равна потоку n ротора rot F ( r ) через соответствующую сторону поверхности S L , опирающуюся на L SL

Теория

   F ( r ), dL     rot F ( r ), dS 
L SL

 



 



или
y z z x

L





 F
y

  P dx  Q dy  R dz    R  Q  dy dz   P  R  dz dx  Q  P  dxdy
x

  Замечание. Ориентация поверхности (поле единичных векторов нормалей n  r  )   согласована с ориентацией кривой L (поле единичных векторов касательных   r  ),   т.е. при движении вектора нормали n вдоль кривой L в направлении  поверхность S L должна оставаться слева (обход границы L с выбранной стороны поверхности S L должен быть виден “против часовой стрелки”  “правило правого винта”) В частном случае плоской кривой, ограничивающей плоскую область DL , и плоского поля    x  x(t )  P ( x, y )    F L  , t , , (r )       y  y (t )  Q ( x, y )   получаем частный случай формулы Стокса - формулу Грина y L DL
x

L

SL





 Pdx  Qdy    Q  P  dxdy 
x y
L DL

Из теоремы Стокса можно получить инвариантное (не зависящее от выбора системы  координат) определение ротора векторного поля n     F ( r ), dL  L   S    L rot F ( r 0 ), n   lim  S S  r 0 r0  (здесь L - замкнутый контур в плоскости, проходящей через точку r0 ортогонально   заданному направлению n , ограничивающий плоскую область S  r0 с площадью S )



Приведенная формула позволяет найти не сам ротор, а его проекцию на произвольное     i направление. Выбирая последовательно в качестве n базисные векторы    , j, k можно получить данную выше координатную формулу для ротора. i , j , k Из инвариантного определения вытекает физический смысл ротора – плотность циркуляции векторного поля или, как говорят, степень завихренности поля (отсюда другое название ротора – вихрь поля).
15

16

17

9. Теорема Гаусса - Остроградского. Дивергенция Условия
  Найти поток поля F ( r ) через внешнюю сторону замкнутой поверхности S
№ 9.1.
 x5  10 x y 2 z 2    F ( r )   y 5  10 x 2 y z 2   5  2 2 z  x y z 10     S  x2  y 2  z 2  a2

№ 9.1.
 x3  x ( y  z )    F ( r )   y 3  y ( z  x)   3    z z x y ( )     S  x 2  y 2  z 2  2az









№ 9.2.
  x3 z     3 F(r )  y z  2 2 2   x  y  z   S  SV , V 

№ 9.2.

 x5 z    F ( r )   y5 z   2 2 2   5 x y z 



x 2  y 2  z  2a 2  x 2  y 2



S  SV , V  x 2  y 2  z  x 2  y 2





№ 9.3.

   F(r )  r S

№ 9.3.    F(r )  r
2 2 a 0 0      S   J  r  r0  ,  r  r 0   1 , J   0 b 2 0    0 0 c2  

  r  r , r  r   a 
0 0





№ 9.4. Используя формулу Гаусса-Остроградского, найти объем тела

V



x2  y 2  z  2  ( x2  y 2 )



V

x

2

 y2  z 

x2  y 2



   № 9.5. Используя формулу Гаусса-Остроградского, найти поток поля F ( r )  r через верхнюю сторону части сферы, заключенной внутри конуса
S  x2  y 2  z 2  a2





3z 

x2  y 2



S  x 2  y 2  z 2  2a z



z 

3( x 2  y 2 )



№ 9.6. Доказать, что объем конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью

S h , где S - площадь основания конуса, расположенного и плоскостью равен V  1 3 в данной плоскости, и h - его высота

18

  Дивергенцией векторного поля F ( r ) называется скаляр       Qy   Rz div F ( r )   , F ( r )   x P  y Q  z R  Px Теорема (Гаусса-Остроградского )   Поток векторного поля F ( r ) через внешнюю сторону S поверхности, ограничивающей объем VS , равен   объемному интегралу от дивергенции поля div F ( r )

Теория

 F
 n

S VS

   F ( r ), dS    div F ( r ) dV
S VS

 



 

d iv

 F

или

 P dy dz  Q dz dx  R dxdy    P  Q  R  dx dy dz
x y z
S VS

Замечание. Ориентация поверхности выбирается внешней S (поле единичных векторов   нормалей n( r ) внешнее по отношению к VS ). Из теоремы Гаусса-Остроградского можно получить инвариантное (не зависящее от выбора системы координат) определение дивергенции векторного поля
  S div F ( r 0 )  lim 
V  r 0

   F ( r ), dS 
V

 



V
 r0

S  (здесь S - замкнутая поверхность, ограничивающая область V  r 0 с объемом V )
Из инвариантного определения вытекает физический смысл дивергенции – плотность (мощность, интенсивность) источников векторного поля или, как говорят, степень расходимости поля (отсюда другое название дивергенции – расходимость поля)

19

20

10. Интегральные теоремы о градиенте, роторе, дивергенции, лапласиане

Условия
Применяя интегральные теоремы о градиенте, роторе, дивергенции, найти     № 10.1. grad  f ( r )   g ( r )  № 10.1. a) grad c, b) div c , c) rot c       № 10.2. a) grad r , b) div r , c ) rot r № 10.2. div, rot  F ( r )   G ( r )          № 10.3. grad J r , r , , c r c r  № 10.3. a) grad  c , r  , b) div  , c ) rot       
№ 10.4. Применяя интегральные теоремы, показать, что        ( r ) dL  0 , n( r ) dS  0 № 10.4. Тело V погружено в жидкость. Исходя из закона Паскаля, показать, что выталкивающая сила равна весу жидкости в объеме тела и направлена вертикально вверх (закон Архимеда)

 
L

 
S

№ 10.5. Показать, что поток Ньютонова поля № 10.5. Твердое тело вращается вокруг     r неподвижной оси с угловой скоростью  F(r ) 

через поверхность S равен величине Найти расходимость и вихрь линейных   телесного угла, опирающегося на S скоростей v ( r ) точек этого тела
№ 10.6. Найти “скалярный” и “векторный” № 10.6. Получить уравнение, описывающее   поток Ньютонова поля  распределение скорости v ( r ) и плотности    F ( r )  r3  ( r ) жидкости в объеме V r (стационарное уравнение неразрывности) через замкнутую поверхность S  № 10.7. Найти поток поля        a ) F ( r )  grad f ( r ), b) F ( r )  rot G ( r ) № 10.7. Получить уравнение, описывающее  распределение температуры u ( r ) в объеме V

r3

через замкнутую поверхность S 

(стационарное уравнение теплопроводности)

Теория
1о Формуле Гаусса-Остроградского можно придать вид, получивший название формулы “о дивергенции”

   n( r ), F ( r )  dS    , F ( r )  dV
S VS

 

 

 

         Полагая вместо F ( r )  f ( r )  c ,  F  ( r ), c   , grad f ( r )  f ( r ) , получаем формулы

“о градиенте”

  n( r ) f ( r )dS   f ( r ) dV
S VS

 





“о роторе”

 
S S

      n( r ), F ( r )   dS 


VS VS

    , F ( r )   dV

“о лапласиане”

f ( r )  dS   , f ( r )  dV    n( r ),    
  ( r ) fn
\\

 





f (r )

\\

21

Отсюда вытекают единообразные инвариантные определения векторных операций

градиент

  f ( r 0 )  lim 
V  r 0

  n( r ) f ( r ) dS S
V

 



дивергенция

 ,

  S F ( r 0 )   lim 
V  r 0

   n( r ), F ( r )  dS
V

 

 

ротор

    , F ( r 0 )   

V  r 0

lim 

 n( r ), F ( r )      dS S V

 

 

лапласиан

  f ( r 0 )  lim 
V  r 0

 n( r ),  f ( r )  dS   S
V

 



 lim 
V  r 0

  ( r ) dS fn   S



V

    2о Из формулы Гаусса-Остроградского при F ( r )  f ( r )  g ( r ) , вытекает 1) первая формула Грина

  f ( r ) g( r ) dS    f ( r )  g ( r )    f ( r ),  g ( r )   dV

 n











S

VS

из которой следует “симметричная” 2) вторая формула Грина

   f ( r ) g( r )  g ( r ) f  ( r )  dS    f ( r )  g ( r )  g ( r )  f ( r )  dV

 n





 n











S

VS

 превращающаяся при g ( r )   1  r  r0

 , где r0  VS

внутренняя точка, в

3) интегральную формулу Грина  4 f ( r0 )  

 Vs

 f (r )   dV  r  r0

 
S

 f ( r )   1  dS   n r  r0 22

 
S

  1   f ( r )dS r  r0  n

3о Рассмотрим ряд полезных физических примеров применения интегральных теорем. 3.1о Градиент (закон Архимеда)
Тело V погружено в жидкость. Исходя из закона Паскаля, показать, что выталкивающая сила равна весу жидкости в объеме тела и направлена вертикально вверх. В покоящейся жидкости под действием силы тяжести каждый ее слой давит своим весом на нижние слои. Создаваемое тем самым гидростатическое давление по закону Паскаля передается по всем направлениям одинаково и равно    p( r )   g h     g, r   Fapx  Сила давления, действующая со стороны жидкости  r  g в точке r на элементарную площадь dS равна    по величине p( r ) dS и направлена по нормали  n( r )    n  r  p  r       dFдав ( r )   n( r ) p ( r ) dS VS
S

(Если тело погружено в жидкость не полностью, то сила давления на “верхнюю” сторону погруженной части равна нулю, как и должно быть на глубине h  0 ).

Следовательно, результирующая сила гидростатического давления (Архимеда) равна  Fарх 

 
S

  dFдав ( r )  

  n( r ) p( r ) dS      n( r )  g, r  dS     grad  g, r  dV 
S S VS
\\

 



 

 

 

g

  g


VS

   1 dV    V g   m g   G
\\

V

Тем самым получен закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости.

Замечание. Наглядно представить себе закон Архимеда можно, заменив тело помещенное в жидкость на саму эту жидкость, вес которой в покое уравновешивается гидростатическим давлением. Замечание. В состоянии невесомости гидростатическое давление, обусловленное весом жидкости, отсутствует, так что сила Архимеда равна нулю.

 
S

 dS 

 
S

   n( r ) dS  0

Замечание. Диаметрально противоположно случаю плавающего тела, пересекающегося с верхним уровнем жидкости, выглядит ситуация соприкосновения с нижним (дном). В этом случае выталкивающая сила гидростатического давления уменьшается на величину, пропорциональную площади соприкосновения (т.е. на величину веса соответствующего столба жидкости). Поплавок, герметично прижатый ко дну резервуара, не будет всплывать, т.к. к силе тяжести, тянущей его вниз, добавится ещё и сила давления столба жидкости над ним.
23

3.2о Ротор (угловая скорость)

 Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью  .   Найти расходимость и вихрь линейных скоростей v ( r ) точек твердого тела.

   Линейная скорость v ( r ) точки r направлена по касательной к окружности      радиуса d  d , лежащей в плоскости ортогональной оси  , так что v    d Учитывая, что

v  v   d    d  sin  2
получим (сравнить стр. 5)       v (r )     ,d   , r   Следовательно, (см. № 5.4.)
         div v ( r )  div   , r    0rot v ( r )  rot   , r    2











 d
 r

v (r )    , r  

 

 

Замечание. Нахождение div и rot с помощью соответствующих интегральных формул, вытекающих из теоремы Гаусса-Остроградского, будет проведено в № 10.3.
Для разнообразия при вычислении rot воспользуемся другой интегральной формулой, ранее полученной из теоремы Стокса (стр. 53)

 rot v ( r0 ), n   S lim  r






0

1 S

 
L

 v ( r ), dL 





 lim

 0

1 S

 
L

  , r   ,   dL
  

 





 lim

 0

1 S

    ,     r  r ,   dL 
0 L



   , r0  ,



   dL   
L



Замечая, что

 
L

 dL 

 
L

 dL  0





 n

v (r0 )
 r0  r

 

получим  lim
 0 S

v (r )
1

 

 ,  
L



     r  r0 ,    dL   

 Возьмем в качестве контура L окружность радиуса  (  S    2 ) с центром r 0      лежащей в плоскости  n . В любой точке r окружности ее радиус-вектор r  r 0       вектору касательной, так что   r  r0 ,       n . Имеем

 lim

 0 

1

2

 ,



1     n dL   lim  
L 0



2

 ,



  n   2    2 , n 



 



   rot v ( r )  2

24

3.3о Дивергенция (стационарное движение жидкости)
Пусть в объеме V циркулируют стационарные потоки жидкости, характеризуемые установившимся распределением   постоянной скорости v ( r ) (в каждой точке своей) и  постоянной плотности  ( r ) . Предположим, что имеются  внутренние источники жидкости интенсивности f ( r )  (количество жидкости, выделяемое в точке r за единицу времени). Найти уравнение, описывающее распределение    скорости v ( r ) и плотности  ( r ) в объеме V .  Выделим достаточно малый объем V , окружающий точку r и ограниченный поверхностью S . Количество жидкости, выделившееся внутри V за счет источников, равно  m  f ( r ) dV

 f (r )

 Поскольку плотность  ( r ) остается неизменной, то образовавшееся количество жидкости вытекает во внешность через поверхность S    m    ( r ) v ( r ), dS  Таким образом,

 
V

 (r ) v (r )



 

  
S

  ( r )v ( r ), dS      
S V







 f ( r ) dV

Применяя формулу Гаусса-Остроградского, получим    div   ( r )v ( r )  dV 

 
V

 
V

 f ( r ) dV

В силу произвольности объема V , приходим к равенству подынтегральных выражений
div

  ( r )v( r )  





 f (r )

называемом стационарным уравнением неразрывности. Полученное уравнение особенно отчетливо вскрывает физический смысл дивергенции – плотность источников векторного поля.

Замечание. Аналогично можно рассмотреть установившееся движение с плотностью    q( r ) и скоростью v ( r ) зарядов, т.е. стационарный электрический ток с плотностью      j ( r )  q( r ) v ( r )
Физический закон сохранения зарядов, формулируемый в том смысле, что заряды могут  лишь перемещаться в пространстве, но не могут ни возникать, ни исчезать ( f ( r )  0 ), приобретает дифференциальную форму

  div j ( r )  0
Если стационарный ток циркулирует в объеме V , то на границе SV , очевидно, ток      скользит вдоль поверхности: j ( r )  n( r ), r  S V . Итак,

 , j 



    n, j
V



0
SV

25

3.4о Лапласиан (стационарное распределение тепла)
Пусть в объеме V циркулируют стационарные потоки тепла, характеризуемые установившимся распределением постоянной  температуры u ( r ) (в каждой точке своей). Предположим, что имеются внутренние источники тепла интенсивности   f ( r ) (количество тепла, выделяемое в точке r за единицу времени). Найти уравнение, описывающее распределение  температуры u ( r ) в объеме V .  Выделим достаточно малый объем V , окружающий точку r и Количество тепла, ограниченный поверхностью S . выделившееся внутри V за счет тепловых источников, равно  Q  f ( r ) dV

 f (r )

  k grad u (r )

 Поскольку температура u ( r ) остается неизменной, то образовавшееся количество тепла вытекает во внешность через поверхность S .
Для его нахождения вспомним очевидный физический факт: в неравномерно нагретом теле поток тепла распространяется из мест с более высокой температурой в места с более низкой, причем тем интенсивней, чем больше перепад температур. Перепад     ( r ) в температур в данной точке r в заданном направлении n - это производная un   точке r по направлению n . Естественно предположить, что количество тепла,    протекающее через ориентированную площадку dS  n( r ) dS пропорционально   ( r ) (закон Фурье) и, разумеется, величине площади dS перепаду температур un

 
V

       ( r )  dS   k  grad u ( r ), n( r )  dS   k  grad u ( r ), dS  dQ   k  un
где k - коэффициент теплопроводности, который в случае изотропной однородной среды является k  const . Следовательно, количество тепла, вытекающее через поверхность S во внешность пропорционально потоку градиента поля температур
Q 

  
S

dQ   k

   grad u( r ), dS 
S





Таким образом,
k

   grad u( r ), dS    f ( r ) dV
S V







Применяя формулу Гаусса-Остроградского (“о лапласиане”), получим   k div grad u ( r ) dV  f ( r ) dV

 
V

 
V

В силу произвольности объема V , приходим к равенству подынтегральных выражений
   k  u( r )  f ( r )

называемом стационарным уравнением распределение тепла.

26

Замечание. Стационарные уравнения распределения тепла называются неоднородное однородное -

  u (r )  f (r )   u(r )  0

уравнением Пуассона уравнением Лапласа

 Замечание. Конкретное распределение температуры u ( r ) внутри тела V , очевидно,  зависит не только от интенсивности внутренних источников f ( r ) , но и от температурного режима на границе SV . Типичными являются задача Дирихле

 u(r ) 

r  SV

  g( r )

когда в каждой точке границы поддерживается заданная температура

-

задача Неймана

  (r )  un 

r  SV

  g( r )

когда в каждой точке границы задан тепловой поток

 В случае задачи Дирихле интенсивность источников тепла f ( r ) и поддерживаемая на  границе температура g ( r ) не связаны друг с другом (произвольны). При этом решение уравнения Пуассона (в частности, Лапласа), как это следует из физических соображений, очевидно (?!), единственное.
В случае задачи Неймана, естественно, что должно выполняться требование: сколько тепла выделяется внутри объема V , столько же его вытекает  во внешнее пространство, так что между интенсивностью источников тепла f ( r )  и величиной потока g ( r ) через границу должен быть сохранен баланс

 
SV

 g ( r ) dS 


V

 f ( r ) dV

При этом решение уравнения Пуассона (в частности, Лапласа) не единственно,   а определяется с точностью до const . Действительно, если u 1 ( r ) , u 2 ( r ) два решения,    то разность u ( r )  u 1 ( r )  u 2 ( r ) есть решение однородной задачи Неймана
   u (r )  0    u ( r )  0 n 

 т.е. представляет собой распределение температуры u ( r ) внутри теплоизолированного с “боков” тела и лишенного внутренних источников тепла, так что из физических соображений, очевидно (?!),  u ( r )  const    Замечание. Из первой формулы Грина при f ( r )  g ( r )  u ( r ) вытекает

r  SV

 
S

   ( r ) dS  u ( r ) un
\\


VS

  u ( r )  u ( r ) dV 

0

0   u( r )  0

\\


VS

 2  u ( r ) dV  u ( r )  const




VS

 2  u ( r ) dV  0



27

28

29