Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В.Н. Каразiна Факультет математики i iнформатики Кафедра фундаментальної математики Квалiфiкацiйна робота освiтньо-квалiфiкацiйний рiвень: магiстр на тему «Деякi нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними у просторi кополiномiв» Виконав: студент групи М162 VI курсу (другий магiстерський рiвень), спецiальностi 111 “Математика” освiтньо-професiйної програми “Математика” Богославська В.В. Керiвник: кандидат фiз.-мат. наук, доцент кафедри фундаментальної математики Гефтер С.Л. Рецензент: доцент кафедри прикладної математики Макаров О.А. Харкiв — 2023 рiк Анотацiї Богославська В.В. Деякi нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними у просторi кополiномiв. Робота присвячена вивченню нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинни- ми похiдними у кiльцi F [x]′[[t]] формальних степеневих рядiв з кополiномiальними коефiцiєнтами. З операцiєю множення кополiномiв векторний простiр F [x]′ розгляда- ється як комутативне кiльце. Результати роботи можливо будуть цiкавими для теорiї нелiнiйних диференцiйних рiвнянь. Bohoslavska V.V. Differential equations with partial derivatives in the space of copolynomials. This work is dedicated to study of nonlinear partial differential equations within the ring F [x]′[[t]] of formal power series with copolynomial coefficients. In this context, F represents a field (such as real or complex numbers), x is a formal variable, and t is an independent time variable. With the multiplication of copolynomials, the vector space F [x]′ is considered as a commutative ring, that is, the multiplication of elements in this space is well-defined and follows algebraic rules. This findings hold potential significance for advancing the theory of nonlinear differ- ential equations, providing a framework for understanding solutions in terms of formal power series. 2 Змiст Анотацiї 2 Вступ 4 1 Попереднi вiдомостi 5 2 Множення кополiномiв 11 3 Деякi нелiнiйнi еволюцiйнi рiвняння з частинними похiдними у кiль- цi F [x]′[[t]] 14 3.1 Квазiлiнiйне рiвняння ∂u ∂t = P (u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Нелiнiйне рiвняння першого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Нелiнiйне рiвняння m-го порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Формальний степенний ряд вiд кополiнома 26 Список використаних джерел 28 3 Вступ В класичнiй математичнiй фiзицi дослiджуються лiнiйнi диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними (див. [3]). Розв’язки рiзних задач для лiнiйних рiвнянь мо- жна шукати в рiзних класах, як звичайних, так i узагальнених функцiй. При вивченi нелiнiйних рiвнянь у просторах узагальнених функцiй з’являються суттєвi пробле- ми, що пов’язанi з проблемою множення узагальнеих функцiй. Як вiдомо, операцiя множення в класичних просторах узагальнених функцiй не є коректно визначеною. Французький математик Жан-Франсуа Коломбо побудував нову теорiю узагальне- них функцiй, яка дала можливiсть перемножати узагальненi функцiї (див. книгу [5]). При цьому вiн суттєво розширив простiр об’єктiв, якi вiн назвав новими узагальнени- ми функцiями. Є i деякi iншi пiдходи до множення узагальнених функцiй (див. [6]). У представленiй дипломнiй роботi розглядається суто алгебраїчний пiдхiд до ви- вчення нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Алгебраїчним аналогом простору узагальнених функцiй є спряжений простiр до кiльця полiномiв з коефiцiєнтами у довiльному полi нульової характеристики. У роботах Гефтера С.Л., Пiвня А.Л. та Стулової Т.Є. (див. [1], [2]) такi алгебраїчнi аналоги узагальнених функцiй були названi формальними узагальненими функцiями, або кополiномами. Введена Гефтером С.Л. та Пiвнем А.Л. (див. [7]) операцiя множення кополiномiв дає чисто алгебраїчну можливiсть вивчення деяких нелiнiйних рiвнянь з частковими по- хiдними. Основними результатами дипломної роботи є теореми 4.2, 4.3 про iснування та єдинiсть iснування розв’язку першого та m-го порядку. Крiм того, у роботi наведенi змiстовнi приклади нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, що будують загальну теорiю (див. приклади 4.4, 4.5, 4.7). 4 Роздiл 1 Попереднi вiдомостi Нехай F є довiльним полем нульової характеристики, i F [x] – простiр полiномiв з коефiцiєнтами з поля F . Означення 1.1. Кополiномом над полем F будемо називати лiнiйний фун- кцiонал у векторному просторi F [x]. Всi кополiноми створюють новий векторний простiр, а саме, спряжений простiр до простору F [x]. Будемо його позначати за F [x]′. Якщо T ∈ F [x]′ i p ∈ F [x], то для значення лiнiйного функцiоналу T на векторi p будемо використовувати позначення (T, p), або (T (x), p(x)). Природнiм чином вводиться операцiя множення кополiнома на полiном. Означення 1.2. Нехай T ∈ F [x]′ i q ∈ F [x]. Покладемо (qT, p) = (T, qp), p ∈ F [x]. Очевидно, що qT ∈ F [x]′. Таким чином векторний простiр F [x]′ над полем F є водночас i модулем над простором полiномiв F [x]. Означення 1.3. Похiдна T ′ кополiнома T ∈ F [x]′ визначається як i у кла- сичнiй ситуацiї, формулою: (T ′, p) = −(T, p′), p ∈ F [x]. Для похiдної k-го порядку маємо: (T (k), p) = (−1)k(T, p(k)), p ∈ F [x]. Тому (T (k), p) = 0, якщо k > deg p. (1.1) Для добутку кополiнома на полiном є правильною звичайна формула Лейбниця. Лема 1.1. Нехай T ∈ F [x]′ i p ∈ F [x]. Тодi (pT )′ = p′T + pT ′. 5 Доведення. Для довiльного полiнома q ∈ F [x] маємо: ((pT )′, q) = −(pT, q′) = −(T, pq′) = −(T, (pq)′−qp′) = −(T, (pq)′)+(T, p′q) = (T ′, pq)+(p′T, q) = (pT ′, q)+(p′T, q) ⇒ (pT )′ = p′T + pT ′ Теорема 1.1. (КРИТЕРIЙ IСНУВАННЯ ПЕРВIСНОЇ) Щоб для кополiнома T ∈ F [x]′ iснувала первiсна необхiдно i достатньо, щоб (T, 1) = 0. Доведення. Необхiднiсть: Нехай S ∈ F [x]′ — первiсна для T : (T, 1) = (S ′, 1) = (−1)(S, 1′) = (−1)(S, 0) = 0 . Достатнiсть: Нехай S ∈ F [x]′. (S, 1) = (S, x′) = −(S ′, x), (S, x) = 1 2 (S, (x2)′) = −1 2 (S ′, x2), . . . (S, xn) = 1 n+ 1 (S, (xn+1)′) = − 1 n+ 1 (S ′, xn+1) Нехай T = S ′, тодi (S, 1) = −(T, x), (S, x) = −1 2 (T, x2), . . . (S, xn) = − 1 n+ 1 (T, xn+1), тобто кополiном S можливо задати через T. Оскiльки лiнiйний функцiонал вiд 0 зав- жди дорiнює 0, тому має виконуватись наступна умова: (S, 0) = (S, 1′) = −(S ′, 1) = −(T, 1) = 0. Розглянемо деякi приклади. Приклад 1.1. Нехай δ : F [x] → F, (δ, p) = p(0), p ∈ F [x]. Кополiном δ має назву δ-функцiї. Маємо:(δ(k), p) = (−1)k(δ, p(k)) = (−1)kp(k)(0), p ∈ F [x]. 6 Приклад 1.2. Покажемо, що загальний розв’язок рiвняння xT = 0 має ви- гляд cδ(x), де c ∈ F . Вiдмiтимо, що кополiном cδ(x) задовольняє це рiвняння. Для будь-якого p ∈ F [x] маємо (xT, p) = (T, xp). Але за умовою рiвняння xT = 0, лiва частина рiвностi до- рiвнює 0 для будь-якого полiнома p. Отже, маємо (T, xp) = 0 для всiх p ∈ F [x]. Це означає, що кополiном T дiє як нульовий функцiонал на усiх полiномах xp, зокрема (T, xn) = 0, n > 0. Нехай тепер c = (T, 1). Тодi (T, 1) = (cδ, 1). Тому (T, xn) = (cδ, xn) для всiх n ≥ 0. Тому T = cδ. Приклад 1.3. Покажемо, що диференцiальне рiвняння xT ′ = δ(x) має єди- ний розв’язок T = −δ. Оскiльки (xδ′, xn) = (δ′, xn+1) = −(δ, (n + 1)xn) = [лiнiйнiть] = −(n + 1)(δ, xn) = 0, якщо n ≥ 0, −1, якщо n < 0. = −(δ, xn) = (−δ, xn) для всiх n ≥ 0, то xδ′ = −δ, або x(−δ)′ = δ, тобто кополiном −δ задовольняє розглянуте рiвняння. Нехай тепер xT ′ = δ. Тодi (T, 1) = −(T ′, x) = −(xT ′, 1) = −(δ, 1) = (−δ, 1), i (T, xn) = −(T ′, xn n+1 ) = − 1 n+1 (T ′, xn+1) = − 1 n+1 (xT ′, xn) = − 1 n+1 (δ, xn) = 0 = (−δ, xn), якщо n ≥ 1. Тому (T, xn) = (−δ, xn) для всiх n ≥ 0, тобто T = −δ Приклад 1.4. Покажемо, що диференцiальне рiвняння T ′ = δ(x) не має розв’язкiв, тобто δ-функцiя не має первiсної як кополiном над полем F . Доведення. З Теореми 1.1. випливає, що достатньо перевiрити дiю δ на 1: (δ, 1) = 1. Отже не виконується необхiдна умова iснування первiсної. Приклад 1.5. Покажемо, що диференцiальне рiвняння T ′ = 0 має тiльки нульовий розв’язок. Для будь-якого полiнома p ∈ F [x] (T ′, p) = −(T, p′) = 0. Оскiльки будь-який полiном має первiсну i похiдну у просторi, то для будь-якого q ∈ F [x] виконується (T, q) = 0, тому T = 0. Приклад 1.6. Припустимо, що F = R i f : R → R - це функцiя, яка є iнтегровною за Лебегом така, що ∫ ∞ −∞ ∣∣xkf(x) ∣∣ dx < +∞, k = 0, 1, 2 . . . 7 Тодi функцiя f утворює кополiном: (f, p) = ∫ ∞ −∞ p(x)f(x)dx, p ∈ R[x]. У цьому випадку, на вiдмiну вiд класичної теорiї, всi кополiноми є регулярними, але ненульова функцiя f може породжувати нульовий кополiном [1, Роздiл 2]. Означення 1.4. Збiжнiсть послiдовностi {Tn}∞n=0 до T в F [x]′ означає, що для кожного полiнома p ∈ F [x] iснує n0 ∈ N таке, що (Tn, p) = (T, p) для n = n0, n0 + 1, n0 + 2, . . .. Теорема 1.2. [1]. Нехай {Bn}∞n=0 буде послiдовнiстю в F та нехай T ∈ F [x]′. Тодi ряд ∑∞ n=0BnT (n) збiгається в F [x]′ та ( ∑∞ n=0BnT (n))′ = ∑∞ n=0 BnT (n+1). Доведення. Розглянемо довiльний полiном p ∈ F [x] та використавши лiнiйнiсть ко- полiномiв маємо: ( ∑∞ n=0 BnT (n), p) = ∑∞ n=0(BnT (n), p) = ∑∞ n=0Bn(T (n), p) = = ∑∞ n=0Bn(−1)n(T, p(n)). Виявиться, що ця сума буде стабiльною пiсля певного n, оскiльки усi члени ряду стають нульовими для k > n0, де k = deg p. Тепер покажемо, що ( ∑∞ n=0BnT (n))′ = ∑∞ n=0 BnT (n+1). Для будь-якого p ∈ F [x], (( ∑∞ n=0BnT (n))′, p) = (−1)( ∑∞ n=0BnT (n), p′) = =(−1) ∑∞ n=0Bn(T (n), p′) = ∑∞ n=0Bn(−1)(T (n), p′) = ∑∞ n=0 Bn(T (n+1), p) = = ( ∑∞ n=0 BnT (n+1), p). Теорема 1.3. Ми зауважуємо, що для будь-якого кополнiнома T ∈ F [x]′ T = ∞∑ n=0 (−1)n(T, xn) δ(n) n! . (1.2.) Доведення. З Теореми 1.2, ряд справа виразу (1.2.) збiгається в F [x]′ та ( ∞∑ n=0 (−1)n(T, xn) δ(n) n! , xk) = (−1)k(T, xk)( δ(k) k! , xk) = (T, xk), k = 0, 1, 2, . . . Приклад 1.7. [2]. Припустимо, що F = R i a ∈ R, де a > 0. Покажемо, що в просторi кополiномiв сума ряду ∑∞ n=0(−1)nanδ(n) - це наступний регулярний 8 кополiном, та ∞∑ n=0 (−1)nanδ(n)(x) =  1 a e−x/a, x > 0 0, x < 0 Доведення. Для цього ми зауважуємо, що ∫ ∞ 0 e− x axkdx = k!ak+1, k = 0, 1, 2, . . . Нехай p ∈ R[x] та p(x) = m∑ k=0 p(k)(0) k! xk. Якщо f(x) =  1 a e−x/a, x > 0, 0, x < 0, , тодi (f, p) = 1 a ∫ ∞ 0 e− x a p(x)dx = 1 a m∑ k=0 p(k)(0) k! ∫ ∞ 0 e− x axkdx = m∑ k=0 akp(k)(0) = m∑ k=0 (−1)kak ( δ(k), p ) = ( ∞∑ k=0 (−1)kakδ(k), p ) Позначимо тепер за F [x]′[[t]] простiр формальних рядiв зi змiнною t з коефiцiєн- тами з простору F [x]′. Означення 1.5. Для ряду u(t, x) ∈ F [x]′[[t]], u(t, x) = ∑∞ n=0 un(x)t n, де кое- фiцiєнти un(x) є кополiномами, ми вводимо частковi похiднi наступним чином: ∂u ∂t = ∞∑ n=1 nun(x)t n−1, ∂u ∂x = ∞∑ n=0 u′ n(x)t n . Введемо поняття зсуву кополiнома. Для будь-якого h ∈ F та p ∈ F [x] ми визначимо полiном p(x + h) ∈ F [x] за допомогою формули Тейлора: p(x+ h) = ∑m n=0 p(n)(x) n! hn, де m = deg p. Означення 1.6. Для T ∈ F [x]′ ми вводимо кополiном T (x+h) за допомогою виразу (T (x+h), p) = (T, p(x−h)). Очевидно, що операцiї зсуву та диференцiювання 9 комутують: (T (x+ h))′ = T ′(x+ h). Ми наємо, що p(x− h) = ∑m n=0 p(n)(x) n! (−h)n = ∑m n=0 p(n)(x) n! (−1)nhn. (T (x + h), p) = (T, p(x − h)) = (T, ∑m n=0 p(n)(x) n! (−1)nhn) = ∑m n=0(−1)n hn n! (T, p(n)) =∑m n=0(−1)n hn n! (−1)n(T (n), p) = ∑m n=0( T (n)hn n! , p). Тобто, (T (x + h), p) = ∑m n=0( T (n)hn n! , p). Це виконується для будь якого полiнома. Тодi T (x+ h) = ∑m n=0 T (n)hn n! . У F [x]′[[t]] ми розглядаємо транспортне рiвняння: ∂u(t, x) ∂t = a ∂u(t, x) ∂x , u(0, x) = u0(x), яке має єдиний розв’язок, i цей розв’язок має вигляд: u(t, x) = ∑∞ n=0 a n u (n) 0 (x) n! tn. 10 Роздiл 2 Множення кополiномiв Означення 2.1. Нехай T ∈ F [x]′. Перетворенням Кошi кополiнома T будемо називати наступний формальний ряд Лорана: C(T )(z) = ∞∑ n=0 (T, xn) zn+1 (2.1) . Лема 2.1. З означення перетворення Кошi можемо зробити висновок, що C(T1+ T2) = C(T1) + C(T2). Доведення. C(T1 + T2)(z) = ∑∞ n=0 (T1+T2,xn) zn+1 , використавши лiнiйнiсть кополiномiв, маємо: ∑∞ n=0 (T1,xn)+(T2,xn) zn+1 = ∑∞ n=0 (T1,xn) zn+1 + (T2,xn) zn+1 = ∑∞ n=0 (T1,xn) zn+1 + ∑∞ n=0 (T2,xn) zn+1 = C(T1)+ C(T2). Лема 2.2. Для α ∈ F C(αT ) = αC(T ). Доведення. C(αT ) = ∑∞ n=0 (αT,xn) zn+1 = ∑∞ n=0 α(T,xn) zn+1 = α ∑∞ n=0 (T,xn) zn+1 = αC(T ). Приклад 2.1. Покажемо, що C(δ)(z) = 1 z . (δ, p) = p(0), тому для n=0 (δ, 1) = p(0) = 1, а для n ≥ 1 маємо: (δ, xn) = 0n = 0. Тому C(δ)(z) = 1 z . Очевидно, що кополiном T повнiстю визначається своїм перетворенням Кошi. Крiм того, перетворення Кошi природно пов’язане з операцiєю диференцiювання. Теорема 2.1. Якщо T ∈ F [x]′, тодi C(T ′) = C(T )′. 11 Доведення. C(T ′)(z) = ∑∞ n=0 (T ′,xn) zn+1 = ∑∞ n=0(−1) (T,(x n)′) zn+1 = ∑∞ n=1(−1) (T,nx n−1) zn+1∑∞ n=1(−1)n(T,x n−1) zn+1 = [n = k + 1] = ∑∞ k=0 −(k+1)(T,xk) zk+2 = ∑∞ k=0( (T,xk) zk+1 )′z = ( ∑∞ k=0 (T,xk) zk+1 )′z = C(T )′. Оскiльки формальнi ряди Лорана виду (2.1) можна перемножувати, то це дає можливiсть перемножувати i кополiноми. Означення 2.2. Нехай T1, T2 ∈ F [x]′. Добутком кополiномiв T1 i T2 будемо називати такий кополiном T , що C(T ) = C(T1)C(T2). Приклад 2.2. Покажемо, що δ2 = −δ′. Розглянемо δ2 = δ · δ. Використаємо результат з Прикладу 2.1. та визначення до- бутку кополiномiв, отримаємо наступне: C(δ) ·C(δ) = 1 z · 1 z = 1 z2 = (−1 z )′ = (C(−δ))′ = [Теорема 2.1.] = C(−δ′). Отже, δ2 = −δ′. Наслiдок 2.1. δ(n) = (−1)nn!δn+1 або δn+1 = (−1)nδ(n) n! . Доведення. Будемо доводити за iндукцiєю. Для n = 1 уже перевiрено: Приклад 2.2. δ′ = −δ2. Перевiримо n=2. δ′′ = (−δ2)′ = −2δδ′ = −2δ(−δ2) = 2δ3 = (−1)22!δ2+1. (n− 1) → n Отже, нам вiдомо δ(n−1) = (−1)n−1(n− 1)!δn. Тепер розглянемо δ(n) = δ(n−1)′ = ((−1)n−1(n − 1)!δn)′ = (−1)n−1(n − 1)!(δn)′ = (−1)n−1(n− 1)!nδn−1δ′ = (−1)nn!δn−1(−δ2) = (−1)nn!δn+1. Для добутку кополiномiв також є правильним звичайна формула Лейбниця. Теорема 2.2. Нехай T1, T2 ∈ F [x]′. Тодi (T1T2) ′ = T ′ 1T2 + T1T ′ 2. Доведення. C((T1T2) ′) = [Теорема 2.1.] = (C(T1T2)) ′ = (C(T1)C(T2)) ′ = C(T1) ′C(T2) + C(T1)C(T2) ′ = [Теорема 2.1.] = C(T ′ 1)C(T2)+C(T1)C(T ′ 2) = [Лема 2.1.] = (T ′ 1T2+T1T ′ 2), отже маємо:C((T1T2) ′) = (T ′ 1T2 + T1T ′ 2), тому (T1T2) ′ = T ′ 1T2 + T1T ′ 2. Нехай P ∈ F [y], P (0) = 0, тобто P (y) = a1y+ a2y 2 + ...+ amy m, де ai ∈ F , m ∈ N. Наслiдок 2.2. Нехай T ∈ F [x]′ та P (T ) = a1T + a2T 2 + . . . + amT m. Тодi P (T ) ∈ F [x]′ та (P (T ))′ = P ′(T )T ′ = a1T ′ + 2a2TT ′ + . . .+mamT m−1T ′. 12 Доведення. Оскiльки вже задано множення кополiномiв, то для того щоб довести P (T ) ∈ F [x]′ достатньо показати, що сума лiнiйних функцiоналiв є лiнiйний фун- кцiонал. Нехай L1 та L2 – лiнiйнi функцiонали на векторному просторi F [x], a та b - довiльнi скаляри. Треба довести, що функцiонал aL1 + bL2 також є лiнiйним. 1. Аддитивнiсть: (aL1+bL2, x+y) = a(L1, x+y)+b(L2, x+y) = a(L1, x)+a(L1, y)+ b(L2, x) + b(L2, y) = (a(L1, x) + b(L2, x)) + (a(L1, y) + b(L2, y)) = ((aL1, x) + (bL2, x)) + ((aL1, y) + (bL2, y)) = (aL1 + bL2, x) + (aL1 + bL2, y) Отже, властивiсть аддитивностi виконується. 2. Однорiднiсть: (aL1 + bL2, cx) = a(L1, cx) + b(L2, cx) = ac(L1, x) + bc(L2, x) = ac(L1, x) + bc(L2, x) = (acL1 + bcL2, x) Отже, властивiсть однорiдностi також викону- ється. Оскiльки aL1 + bL2 задовольняє обидвi лiнiйнi властивостi, вiн також є лiнiйним функцiоналом, тому P (T ) ∈ F [x]′. Тепер треба довести наступне твердження: (P (T ))′ = P ′(T )T ′. З огляду на лiнiйнiсть похiдної, достатньо довести, що (Tm)′ = mTm−1T ′. Будемо доводити за iндукцiєю: m = 2, (T 2)′ = (T · T ) = [Теорема 2.2.] = T ′T + TT ′ = 2T · T ′ = 2TT ′ Iндукцiйний перехiд: m− 1 → m. Вiдомо (Tm−1)′ = (m− 1)Tm−2T ′. Розглянемо: (Tm)′ = (Tm−1 · T )′ = [Теорема 2.2.] = (Tm−1)′T +Tm−1T = (m−1)Tm−2T ′T +Tm−1T ′ = (m−1)Tm−1T ′+Tm−1T ′ = mTm−1T ′. 13 Роздiл 3 Деякi нелiнiйнi еволюцiйнi рiвняння з частинними похiдними у кiльцi F [x]′[[t]] Пiсля того як у роздiлi 2 була введена операцiя множення кополiномiв, ми можемо розглядати векторний простiр F [x]′, як комутативне кiльце. 3.1 Квазiлiнiйне рiвняння ∂u ∂t = P (u) . Теорема 3.1. Нехай P ∈ F [y], P (0) = 0 та u0 ∈ F [x]′. Тодi задача Кошi  ∂u ∂t = P (u) u0(0, x) = u0 (3.1.) у кiльцi F [x]′[[t]] має єдиний розв’язок. Доведення. Нехай P (y) = a1y + a2y 2 + . . . + amy m. Будемо шукати розв’язок задачi (3.1.) у виглядi u(t, x) = u0 + u1t + u2t 2 + u3t 3 + . . . з невiдомими коефiцiєнтами u1, u2, . . . ∈ F [x]′. Пiдставимо u(t, x) = u0 + u1t+ u2t 2 + u3t 3 . . . в (3.1.): ∂u ∂t = u1 + 2u2t+ 3u3t 2 + 4u4t 3 . . .; P (u) = a1(u0 + u1t+ u2t 2 + u3t 3 + . . .) + a2(u0 + u1t+ u2t 2 + u3t 3 + . . .)2 14 + a3(u0 + u1t+ u2t 2 + u3t 3 + . . .)3 + . . .+ am(u0 + u1t+ u2t 2 + u3t 3 + . . .)m. Маємо:  u1 = a1u0 + a2u 2 0 + a3u 3 0 + . . . = P0(u0), де P0 = P 2u2 = a1u1 + 2a2u0u1 + 3a3u 2 0u1 + 4a4u 3 0u1 . . . = P1(u0, u1) 3u3 = a1u2 + a2(u 2 1 + 2u0u2) + a3(3u 2 0u2 + 3u0u 2 1) = P2(u0, u1, u2) . . . nun = Pn−1(u0, u1, u2, . . . , un−1) . . . . u1 = a1u0 + a2u 2 0 + a3u 3 0 + . . . = P0(u0), де P0 = P 2u2 = a1u1 + 2a2u0u1 + 3a3u 2 0u1 + 4a4u 3 0u1 . . . = P1(u0, P0(u0)) = P̄1(u0) 3u3 = a1u2 + a2(u 2 1 + 2u0u2) + a3(3u 2 0u2 + 3u0u 2 1) = P2(u0, P0(u0), P̄1(u0) 2 ) = P̄2(u0) . . . 4u4 = P3(u0, P0(u0), P̄1(u0) 2 , P̄2(u0) 3 ) = P̄3(u0) nun = Pn−1(u0, P0(u0), P̄1(u0) 2 , P̄2(u0) 3 , . . . , P̄n−2 n−1 (u0)) = P̄n−1(u0) . . . . Оскiльки розв’язок знаходиться однозначно, тодi єдинiсть доведена. Приклад 3.1. Розглянемо лiнiйне рiвняння, як частковий випадок нелiнiй- ного рiвняння ∂u ∂t = u та u(0, x) = u0. Будемо шукати розв’язок задачi Кошi у виглядi u(t, x) = u0+u1t+u2t 2+u3t 3+. . . з коефiцiєнтами u1, u2, . . . ∈ F [x]′. Пiдставимо у рiвняння. u1+2u2t+3u3t 2+4u4t 3+. . . = u0 + u1t+ u2t 2 + u3t 3 + . . .. Маємо:  u0 = u1 u1 = 2u2 u2 = 3u3 u3 = 4u4 . . . um−1 = mum . . . =  u1 = u0 u2 = u1 2 = u0 2 = u0 2! u3 = u2 3 = u0 2·3 = u0 3! u4 = u3 4 = u0 2·3·4 = u0 4! . . . um = um−1 m = u0 m! um+1 = um m+1 = u0 (m+1)! . . . . Тобто u(t, x) = u0 + u0t+ u0 2! t2 + u0 3! t3 + u0 4! t4 + . . .+ u0 m! tm + . . . = ∑∞ n=0 u0 n! tn = etu0. 15 Приклад 3.2. ∂u(t,x) ∂t = u2(x, t) та u(0, x) = u0. Будемо шукати розв’язок задачi у виглядi u(t, x) = u0 + u1t + u2t 2 + u3t 3 + . . . =∑∞ n=0 unt n. ∂u ∂t = u1 + 2u2t+ 3u3t 2 + 4u4t 3 + . . . = ∑∞ n=1 nunt n−1. u2(t, x) = (u0+u1t+u2t 2+u3t 3+. . .)2 = ( ∑∞ n=0 unt n)2 = ∑∞ n=0 u 2 nt 2n+ ∑∞ 0≤k 0 i u0 = δ. Покажемо, що в просторi R[x]′ для кожного t > 0 сума ряду має вигляд ∑∞ n=0 b n δ(2n)(x) n! tn = 1√ 4πbt e− x2 4bt . Для цього спочатку заува- жимо, що 1√ 4πbt ∫∞ −∞ xke− x2 4btdx =  (2n)! n! bntn, якщо k = 2n, 0, якщо k = 2n+ 1. Отже, ( ∞∑ n=0 bn δ(2n)(x) n! tn, xk) = ∞∑ n=0 bn( δ(2n) n! , xk)tn =  (2n)! n! bntn, якщо k = 2n, 0, якщо k = 2n+ 1. Отже, дiйсно ∑∞ n=0 b n δ(2n)(x) n! tn = 1√ 4πbt e− x2 4bt . Тепер пiдставимо нашi початковi умови: u(t, x) = ∑∞ n=0 a 2n δ(2n)(x) n! tn. в цьому випадку у нас b = a2, тому u(t, x) = 1√ 4πa2t e− x2 4a2t . Приклад 3.7. Розглянемо задачу Кошi для рiвняння Бюргерса: ∂u ∂t = ∂2u ∂x2 + u∂u ∂x u(0, x) = 4δ(x) . Нехай u(t, x) = u0(x) + u1(x)t+ u2(x)t 2 + . . . = ∑∞ n=0 un(x)t n. ∂u ∂t = u1 + 2u2t+ 3u3t 2 + 4u4t 3 + 5u5t 4 + . . . = ∑∞ n=1 nunt n−1. 23 ∂2u ∂x2 + u∂u ∂x = u′′ 0 + u′′ 1t+ u′′ 2t 2 + u′′ 3t 3 + u′′ 4t 4 + . . .+ (u0 + u1t+ u2t 2 + u3t 3 + u4t 4 + . . .)(u′ 0 + u′ 1t+ u′ 2t 2 + u′ 3t 3 + u′ 4t 4 + . . .). Прирiвняємо коефiцiєнти при t з вiдповiдним степенем: u1 = u′′ 0 + u0u ′ 0 2u2 = u′′ 1 + u0u ′ 1 + u′ 0u1 = u′′ 1 + (u0u1) ′ 3u3 = u′′ 2 + u0u ′ 2 + u′ 0u2 + u1u ′ 1 = u′′ 2 + u1u ′ 1 + (u0u2) ′ 4u4 = u′′ 3 + u0u ′ 3 + u′ 0u3 + u′ 1u2 + u1u ′ 2 = u′′ 3 + (u0u3 + u1u2) ′ . . . (2k)u2k = u′′ 2k−1 + ∑2k−1 i,j=0 uiu ′ j = u′′ 2k−1 + ( ∑2k−1 0=i np : (T n, p) = 0. Правильнiсть цiєї умови буде випливати з наступної леми. Лема 4.1. Нехай T1, T2, . . . , Tn, Tn+1, Tn+2 ∈ F (x)′. Тодi (T1T2 · · ·Tn+1·Tn+2, x n) = 0. Доведення леми: C(T1T2 · · ·Tn+1 · Tn+2)(z) = C(T1)(z)C(T2)(z) · · ·C(Tn+1)(z)C(Tn+2)(z). Ми отрима- ли формальний ряд Лорана, що починається з доданку an+2 zn+2 . Тому (T1T2 · · ·Tn+1 · Tn+2, xj) = 0 для всiх j ≤ n. Продовжуємо доведення теореми: Нехай p ∈ F i deg p = k. Беремо np = k+ 1. Якщо тепер n > np, тодi n ≥ k+ 2. Тому (T n, xk) = (T k+2 · T n−(k+2), xk) = (T k+1(TT n−(k+2)), xk) = 0, згiдно з лемою. Приклад 4.1. Нехай тепер F = R, a > 0 i u0 = δ. Знайдемо суму ряду ∑∞ n=0 a 2n (2n)! n! δ2n+1tn. Оскiльки δ2n+1 = δ(2n) (2n)! (див. Наслiдок 2.1.), то ∑∞ n=0 a 2n (2n)! n! δ2n+1tn = ∑∞ n=0 a 2n (2n)! n! δ(2n) (2n)! tn = ∑∞ n=0 a 2n 1 n! δ(2n)tn = ∑∞ n=0(a 2)n δ(2n) n! tn. З Прикладу 3.6. маємо суму ряду: ∑∞ n=0(a 2)n δ(2n)(x) n! tn = 1√ 4πa2t e− x2 4a2t . Тому ∑∞ n=0 a 2n (2n)! n! δ2n+1tn = 1√ 4πa2t e− x2 4a2t . 26 Розглянемо тепер квазiлiнiйне рiвняння виду ∂u ∂t = g(u), де g ∈ F [[y]] i g(0) = 0. Теорема 4.2. Задача Кошi виду:  ∂u ∂t = g(u) u(0, x) = u0(x) має єдиний розв’язок. Доведення. Нехай g(y) = ∑∞ k=1 gky k, де gn ∈ F . u будемо шукати розв’язок у виглядi∑∞ n=0 un(x)t n. Пiдставимо у нашу задачу.∑∞ n=1 nunt n−1 = g( ∑∞ n=0 un(x)t n) = ∑∞ k=1 gk(( ∑∞ n=0 un(x)t n))k. Отримаємо систему: u1 = g1u0 + g2u 2 0 + g3u 3 0 + . . . = ∑∞ k=1 gku k 0 2u2 = g1u1 + g22u0u1 + g33u 2 0u1 + g44u 3 0u1 + . . . = ∑∞ k=1 gkku k−1 0 u1 = u1 ∑∞ k=1 gkku k−1 0 3u3 = g1u2 + g2(u 2 1 + 2u0u2) + g3(3u 2 0u2 + 3u0u 2 1) + g4(4u 3 0u2 + 6u2 0u 2 1) + g5(5u 4 0u2 + 10u3 0u 2 1) + . . . 4u4 = g1u3 + g2(2u0u3 + 2u1u2) + g3(3u 2 0u3 + 6u0u1u2 + u3 1) + g4(4u 3 0u3 + 12u2 0u1u2 + 4u0u 3 1) + . . . 5u5 = g1u4 + g2(2u0u4 + 2u1u3 + u2 2) + g3(3u 2 0u4 + 6u0u1u3 + 3u0u 2 2 + 3u2 1u2) + . . . . . . nun = g1un−1 + ∑∞ k=2 gkPk(u1, u2, . . . , un−1) . . . З системи видно, що кожний наступний кополiном визначається попереднiми, а кополiном u0 нам вiдомий з початкових умов, тому кополiном u1 визначено. Оскiльки розв’язок будується однозначно, тому розв’язок єдиний. 27 Бiблiоґрафiя [1] S.L. Gefter, A.L. Piven’, Linear Partial Differential Equations in Module of Formal Generalized Functions over Commutative Ring, J. Math. Sci., 257, № 5, 579–596 (2021). https://doi.org/10.1007/s10958-021-05505-0 [2] S.L. Gefter, T.E. Stulova, Fundamental Solution of the Simplest Implicit Linear Differential Equation in a Vector Space, J. Math. Sci., 207, № 2, 166–175 (2015). [3] Vladimirov V.S. . Equations Mathematical Physics. MARCEL DEKKER, INC., New York, 1971, p 518 [4] L. Hörmander ее„ The Analysis of Linear Partial Differential Operators II, Springer- Verlag, Berlin (1983). Berlin (1983). [5] J.F. Colombeau, Multiplication of distributions. A tool in mathematics, numerical engineering and theoretical physics, Springer-Verlag, Berlin (1992). [6] P. Antosik, J. Mikusinski, and R. Sikorski, Theory of distributions. The sequential approach, Elsevier Science Publ. Co., Amsterdam; PWN, Warsaw (1973). [7] S. Gefter, A. Piven’, Partial differential equations in the module of copolynomials in several variables over a commutative ring // Book of abstracts of the 6-th Internati- onal Conference “Differential Equations and control Theory”, October 11–13, 2023, P. 15–16. [8] A.D. Polyanin, V.F. Zaitsev Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Second Edition, Taylor & Francys Group (2012). 28 Анотації Вступ Попередні відомості Множення кополіномів Деякі нелінійні еволюційні рівняння з частинними похідними у кільці F[x]'[[t]] Квазілінійне рівняння ut=P(u) Нелінійне рівняння першого порядку Нелінійне рівняння m-го порядку Формальний степенний ряд від кополінома Список використаних джерел