Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В.Н. Каразiна Факультет математики i iнформатики Кафедра прикладної математики Квалiфiкацiйна робота освiтньо-квалiфiкацiйний рiвень: магiстр на тему «Неявнi лiнiйнi рiзницевi рiвняння над деякими скiнченними комутативними кiльцями» Виконав: студент групи М162 VI курсу (другий магiстерський рiвень), спецiальностi 111 “Математика” освiтньо-професiйної програми “Математика” Генералов М.В. Керiвник: доктор фiз.-мат. наук, доцент кафедри прикладної математики Пiвень О.Л. Рецензент: доктор фiз.-мат. наук, доцент, провiдний науковий спiвробiтник вiддiлу матема- тичної фiзики ФТIНТ iм. Б.I. Вєркiна НАН України Нессонов М.I. Харкiв — 2023 рiк Анотацiї Генералов М.В. Неявнi лiнiйнi рiзницевi рiвняння над деякими скiнченними комутативними кiльцями. Наведено класифiкацiю кiлець порядку p2. Дослiджено неявне лiнiйне рiзницеве рiвняння над деякими скiнченним комутативнми кiльцями. Для цього рiвняння отримано теореми iснування та єдиностi розв’язку i одержа- но загальний розв’язок. Також записано приклади, що iлюструють роботу доведених теореми. Heneralov M.V. Implicit linear difference equations over some finite commutative rings. The classification of p2-order rings is given. Investigated the implicit linear difference equations over some finite commutative rings. We obtained the theorems of existence and uniqueness of the solution for this equation and got the formulas of the general solution. We give the examples, which show the work of the proved theorems. 2 Змiст Анотацiї 2 Вступ 5 1. Загальна iнформацiя про кiльця 7 1.1. Означення. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Властивностi та приклади скiнченних кiлець. . . . . . . . . . 9 1.3. Опис кiлець порядку p2, де p просте. . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Представлення кiльця за допомогою адитивних гене- раторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Кiльце з єдиним адитивним генератором . . . . . . . 11 1.3.3. Пряма сума полiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4. Поле Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.5. Спецiальне кiльце . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Розв’язнiсть неявних лiнiйних рiзницевих рiвнянь над де- якими скiнченними комутативними кiльцями 16 2.1. Постановка задачi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Розв’язнiсть лiнiйного рiзницевого рiвняння над полем . . . 16 2.3. Розв’язнiсть лiнiйного рiзницевого рiвняння над прямою су- мою скiнченних полiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Розв’язнiсть неявного лiнiйного рiзницевого рiвняння над спецiальним кiльцем порядку 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Висновки 25 3 4 Список використаних джерел 26 Вступ Теорiя лiнiйних рiзницевих рiвнянь є важливим роздiлом математики, котрий має широкий спектр застосувань (див., наприклад, [1–4]). У 80–90-х роки XX столiття в роботах [4–6] було розвинено теорiю неявних лiнiйних рiзницевих рiвнянь у векторних просторах. На вiдмiну вiд класичної теорiї, у новiй теорiї необоротнi оператори грають важливу роль. У зв’язку з цим цiкавою виявилась проблема дослiдження неявного лiнiйного рiзницевого рiвняння з коефiцiентами iз довiльного комутативного кiльця. До сього- днi неявнi рiзницевi рiвняння над областями цiлiсностi дослiджено у [7], i бiльш детально над кiльцем цiлих чисел у [8–10]. У [11] такi рiвняння до- слiджувались у рiзних класах топологiчних векторних просторiв. У данiй квалiфiкацiйнiй роботi такi рiвняння дослiджуються над деякими скiнчен- ними комутативними кiльцями. У роздiлi 1 розглядаються необхiднi в цiй роботi означення загальної теорiї кiлець (пiдроздiл 1.1) та деякi властивостi i приклади скiнченних кiлець (пiдроздiл 1.2), пiсля чого в пiдроздiлi 1.3 наводиться класифiка- цiя всiх комутативних кiлець порядку p2 з одиницею, що є результатом статтi [12, с. 250]. Виявляється, що iснує 4 таких кiльця: кiльце з єдиним адитивним генератором R1, пряма сума полiв R2, поле Галуа R3 i кiльце спецiального вигляду R4 (див. п. 1.3.5). Наведено альтернативнi зображен- ня цих кiлець у виглядi факторкiлець, а для спецiального кiльця i матричне зображення. Для натурального числа m позначимо через Zm кiльце лишкiв за мо- дулем m. Для простого числа p i елементу s ∈ Zp визначимо R′(s) = Zp[t]/(t 2 − s). 5 6 В пiдроздiлi 1.3 доведено ряд наступних iзоморфностей: R′(s) ≃  спецiальному кiльцю R4, p = 2 або s = 0, R2 (прямiй сумi полiв), p > 2 i s це квадратичний лишок, полю з p2 елементiв R3, p > 2 i s це квадратичний нелишок. Нехай A,B, Fn (n ∈ Z+ = {0, 1, 2, . . .}) є заданими елементами скiнчен- ного комутативного кiльця R з одиницею. У роздiлi 2 дослiджується неявне лiнiйне рiзницеве рiвняння BXn+1 = AXn + Fn, n ∈ Z+ (0.1) над кiльцем R. Рiвняння (0.1) називається неявним, якщо B не є оборотним елементом кiльця R [7]. Сформульовано i доведено критерiї розв’язностi рiвняння (0.1) над прямою сумою полiв (теорема 2.2) та над спецiальним кiльцем порядку 4, тобто кiльцем R4 для випадку p = 2 (теорема 2.4). Разом iз критерiями отримано формулу загального розв’язку вiдповiдних рiвнянь у випадку iснування розв’язку. Розглянуто приклади, що iлюстру- ють роботу доведених теорем (див. приклади 2.3 i 2.5). Рiвняння (0.1) над кiльцем лишкiв Zm для довiльного натурального m ≥ 2 дослiджувалось в [13]. Результати цiєї роботи оприлюднено також на мiжнародних наукових конференцiях [14–16]. Роздiл 1 Загальна iнформацiя про кiльця 1.1. Означення. Надамо означення кiльця i сумiжних понять (комутативне кiльце, обор- тний елемент кiльця, одиниця кiльця, i поле) [17–19]. Означення 1.1. Нехай R це множина. Ця множина називається кiль- цем, якщо заданi бiнарнi операцiї ‘+’ (названу додаванням) i ‘·’ (множен- ня), +, · : R → R тодi i тiльки тодi, коли справедливi наступнi аксiоми: 1. (R,+) — є абелева група. Тобто: (i) Iснує нейтральний елемент (нуль) 0 = 0R: 0R + x = x + 0R = x, ∀x ∈ R. (ii) Операцiя додавання є асоцiативною i комутативною, тобто (a + b) + c = a+ (b+ c) i a+ b = b+ a, ∀a, b, c ∈ R. (iii) ∀x ∈ R ∃y = (−x) ∈ R (протилежний) такий, що x+ y = y + x = 0. 2. (R, ·) це напiвгрупа, тобто (a · b)c = a(b · c) для всiх a, b, c ∈ R. 3. Дистрибутивнiсть: (a+ b)c = ac+ bc, a(b+ c) = ab+ ac, ∀a, b, c ∈ R. Позначення операцiї множення часто упускають, тобто ab i a ·b, де a, b ∈ R, значать одне. Означення 1.2. Кiльце R комутативне, якщо ab = ba, ∀a, b ∈ R. 7 8 Означення 1.3. Елемент x ∈ R називають оборотним (invertible), якщо iснує обернений до нього y = x−1 ∈ R такий, що xy = yx = 1. Означення 1.4. Кiльце R х одиницею, якщо iснує 1 = 1R ∈ R (одини- ця): 1R · x = x, ∀x ∈ R. Означення 1.5. Кiльце R це поле тодi i тiльки тодi, коли R мiстить одиницю, R ̸= 0 i будь-який ненульовий елемент кiльця R є оборотним. Далi розглядаємо тiльки комутативнi кiльця з одиницею, 1R ̸= 0. Означення 1.6. Елемент x ∈ R називають дiльником нуля, якщо в кiльцi R iснує елемент y ̸= 0 такий, що xy = 0. Означення 1.7. Кiльце R називають скiнченним якщо R скiнченне як множина. Число елементiв такого кiльця називатимемо порядком кiльця R. Теорiї скiнченних кiлець присвячено монографiї [17,20], а теорiї скiнчен- них полiв — монографiю [21]. Означення 1.8. Нехай R це кiльце. Iдеал I кiльця R це пiдкiльце кiльця R таке, що IR ⊆ I. Якщо I = aR для деякого a ∈ R, то I називають головним iдеалом кiльця R i позначають I = (a). Означення 1.9. Елемент x кiльця R називають нiльпотентним, якщо xn = 0 для деякого натурального n. Iндекс нiльпотентностi елемента x — це найменше натуральне число n, що задовольняє цiй умовi. Означення 1.10. Нехай R — кiльце. Характеристика кiльця R — це char R = min {n ∈ N : n · 1R = 0}, де nx = x+ . . .+ x︸ ︷︷ ︸ n доданкiв . Якщо такого n ∈ N не iснує, то char R = 0. 9 Означення 1.11. Нехай R — кiльце, i I це його iдеал. Тодi множина R/I елементiв x + I, де x ∈ R, називається факторкiльцем, якщо на нiй уведенi операцiї (+, ·) наступним чином: • (a+ I) + (b+ I) = (a+ b) + I, • (a+ I)(b+ I) = ab+ I. Означення 1.12. Iзоморфiзм кiлець R i Q — це така бiєкцiя φ : R → Q, що зберiгає операцiї кiльця, тобто виконанi для всiх елементiв r1, r2 кiльця R виконанi рiвностi • φ(r1 + r2) = φ(r1) + φ(r2), • φ(r1r2) = φ(r1)φ(r2). Якщо iзоморфiзм кiлець R i Q iснує, то кажуть, що кiльця R i Q iзоморфнi ; позначатемемо це R ≃ Q. Означення 1.13. Якщо R1, . . . , Rn — кiльця, то кажемо, що R є прямою сумою цих кiлець i позначаємо R = r⊕ i=1 Ri, якщо R = R1×. . .×Rn i операцiї (+, ·) уведенi покоординатно. Множина R iз так визначеними операцiями є кiльцем. 1.2. Властивностi та приклади скiнченних кiлець. Далi розглядаємо скiнченнi комутативнi кiльця з одиницею. Твердження 1.1. Характеристика скiнченного кiльця є додатною [20, с. 1]. Теорема 1.14. Нехай кiльце R скiнченне. Тодi будь-який необоротний елемент кiльця R це дiльник нуля 0 [22, с. 20]. 10 Наведемо рiзноманiтнi приклади скiнченних кiлець. Приклад 1.15. Кiльце класiв лишкiв Zm = Z /mZ . Його елементи це класи, зазвичай позначаються як [n]m або [n] (якщо m зрозумiло): вони дорiвнюють n+mZ (вiдповiдно). Приклад 1.16. Кiльця R (m) k = Zpk[t]/(t m), де p фiксоване просте. Приклад 1.17. Поля Fq, де q ступiнь простого [17, с. 82, с. 92]. Справе- дливе наступне представлення: Fpn = Zp[t] /(f) , де f незвiдний многочлен ступенi n зi старшим коєфiцiентом 1. Приклад 1.18. Факторкiльце Z[t]/(10, t2). Наступна теорема описує комутативнi кiльця з одиницею простого по- рядку. Теорема 1.19 ( [12, с. 249]). Будь-яке скiнченне кiльце з простого числа елементiв є полем. Наступна теорема дає повну класифiкацiю скiнченних комутативних кi- лець порядку m, що дорiвнює добутку попарно рiзних простих чисел. Теорема 1.20 ( [12, с. 250]). Нехай R — комутативне кiльце з одиницею порядку m, де m дорiвнює добутку p1 . . . pk попарно рiзних простих чисел. Тодi R ≃ Zp1 ⊕ . . .⊕ Zpk . 1.3. Опис кiлець порядку p2, де p просте. 1.3.1. Представлення кiльця за допомогою адитив- них генераторiв Елементи кiльця Zp для спрощення викладок позначатимемо так само, як їх представникiв. 11 Уведемо до розгляду представлення кiльця. Нехай R є довiльне кiльце (можливо, некомутативне або без одиницi). Адитивним порядком елемента x ∈ R називається найменше натуральне n, при якому nx = 0. Нехай g1, . . . , gk — адитивнi генератори кiльця R (тобто α1g1 + . . . + αkgk ̸= 0, якщо серед цiлих чисел α1, . . . , αk є принаймнi одне ненульове, i {α1g1 + . . .+ αkgk : α1, . . . , αk ∈ Z} = R), цiлi числа m1, . . . ,mk — їх ади- тивнi порядки вiдповiдно, множення задається рiвностями gigj = k∑ t=1 ctijgt, де ctij цiлi, i, j = 1, k [12, с. 248], [23]. Позначаємо це наступним чином: R ≃ 〈 g1, . . . , gk;migi = 0 при i = 1, . . . , k, gigj = k∑ t=1 ctijgt 〉 . Наприклад Z2 ⊕ Z2 ≃ 〈 a, b; 2a = 2b = 0, a2 = a, b2 = b, ab = ba = 0 〉 . У [12, с. 250] наведено класифiкацiю всiх кiлець порядку p2 (включно некомутативнi або без одиницi) за допомогою такого представлення i пока- зано, що всього таких кiлець 11 з точнiстю до iзоморфiзму. Перелiчимо тi з них, якi є комутативними та мають одиницю. Уведемо позначення R′(s) = Zp[t]/(t 2 − s). Кiльце R′(s) має рiвно p2 елементiв. 1.3.2. Кiльце з єдиним адитивним генератором R1 = 〈 a; p2a = 0, a2 = a 〉 Це кiльце iзоморфне Zp2 [12, с. 250]. Кiльце R1 не iзоморфне нi одному кiльцю R′(s) при жодному p. 12 1.3.3. Пряма сума полiв R2 = 〈 a, b; pa = pb = 0, a2 = a, b2 = b, ab = ba = 0 〉 ≃ Zp + Zp (1.1) Означення 1.21. Елемент s ∈ Zp називатимемо квадратичним лишком за модулем p [24, с. 68], якщо s = j2 (мовою чисел, s ≡ j2 (mod p)) при деякому ненульовому j. Число a називають квадратичним нелишком за модулем p, якщо s ̸≡ j2 (mod p) при жодному j ∈ Zp. Теорема 1.22. Нехай s є квадратичним лишком за модулем p > 2. Тодi R′(s) ≃ R2. Доведення. Для довiльного елементу x = α + t β ∈ R′(s) маємо x2 = α2 + sβ2 + t 2αβ. Нехай x2 = x i x ̸= 0. Тодi в Zp виконанi рiвностi: α2 + sβ2 = α, 2αβ = β. (1.2) Якщо β = 0, то з системи (1.2) випливає, що α2 = α. Враховуючи, що α ̸= 0, маємо x = 1. Нехай β ̸= 0. Тодi з другого рiвняння системи (1.2) одержується рiвнiсть α = 2−1 = p+ 1 2 (число p непарне). Домножуючи перше рiвняння системи (1.2) на 4, отримуємо еквiвален- тне рiвняння 4sβ2 = 4(α− α2). (1.3) Виконаємо алгебраїчнi перетворення: 4(α− α2) = 4 ( p+ 1 2 − p2 + 2p+ 1 4 ) = 2− 1 = 1. 13 Користуючись цiєю рiвнiстю, маємо, що розв’язком рiвняння (1.3) є β = ± 1 2r , де s = r2. Вiдповiдно, x1,2 = p+ 1 2 ± 1 2b t є розв’язками рiвняння x2 = x у R′(s). Виконаємо обчислення: x1x2 = α2−sβ2 = 4−1 ( p2 + 2p+ 1− 1 ) = 0. По- кажемо, що x1 i x2 є адитивними генераторами кiльця R4. Для довiльного елементу γ + t δ кiльця Zp знайдемо такi λ, µ ∈ Zp, що λ · (α + t β) + µ · (α − t β) = γ + t δ. Прирiвнюючи коєфiцiєнти при однакових степенях t, отримаємо систему лiнiйних рiвнянь над Zp вiдносно λ, µ, яку запишемо у матричному виглядi: M λ µ  = γ δ  , де M = α β α −β  . (1.4) Визначник матрицi M дорiвнює −2αβ ̸= 0, тому, за теоремою I.7 a [25], матриця M є оборотною. Iз рiвностi (1.4) випливає, щоλ µ  = (−2αβ)−1 −β −β −α α γ δ  . Отже, x1 i x2 справдi є адитивними генераторами кiльця R′(s). Зазначимо, що порядки адитивних генераторiв елементiв x1, x2 дорiвнюють p. Тому кiльце R′(s) має представлення R2, тобто R′(s) ≃ R2. 1.3.4. Поле Галуа R3 =  〈 a, b; pa = pb = 0, a2 = a, b2 = ja, ab = b, ba = b 〉 , j квадратичний нелишок у Zp, p ̸= 2,〈 a, b; 2a = 2b = 0, a2 = a, b2 = a+ b, ab = b, ba = b 〉 , p = 2 14 Це кiльце — поле. Зазвичай його називають поле Галуа порядку p2, або поле з p2 елементiв, i позначають Fp2. Загальновiдомо: для кожного про- стого p iснує єдине, з точнiстю до iзоморфiзму, поле порядку p2 [21]. Поле R3 iзоморфне такому факторкiльцю: Zp[t]/(f), де полiном f = t2+ at+ b незвiдний над кiльцем Zp[t] [22, задача 4.17]. При p > 2 у якостi f можна обрати t2−r, де r це квадратичний нелишок за модулем p — тодi R3 ≃ R′(r). Зокрема, якщо p ≡ 3 (mod 4), то обрання −1 ≡ p− 1 як квадратичного нелишку дає представлення Fp2 ≃ R′(−1) = Zp[t]/(t 2 + 1) [22, задача 4.35]. 1.3.5. Спецiальне кiльце R4 = 〈 a, b; pa = pb = 0, a2 = 0, b2 = b, ab = a, ba = a 〉 Оскiльки ba = b i bb = b, то bx = x для всiх x ∈ R4, отже b = 1R4 . Для спрощення позначень далi писатимемо, що елементи кiльця R′(0) мають вигляд αt + β (α, β ∈ Zp), враховуючи, що t2 = 0. Покажемо, що R′(0) = Zp[t]/ (t 2) ≃ R4. Для цього розглянемо лiнiйну функцiю φ, що ста- вить у вiдповiднiсть генераторам a, b представлення R4 наступнi елементи: φ(a) = [t], φ(b) = 1. Тодi φ є iзоморфiзмом, бо a2 = 0, b — одиниця. Вiрною є iзоморфнiсть R4 ≃ R′(s), коли p = 2 [22, задача 4.16]. Тепер покажемо, що R4 ≃ S1 =  α β 0 α  | α, β ∈ Zp . Одиниця 1S1 в S1 має вигляд 1 0 0 1 . Визначимо адитивну функцiю φ : R4 → S1 умовами φ(b) = 1S1 i φ(a) =0 1 0 0  = s1. Вочевидь, 1S1 i s1 є адитивними генераторами кiльця S1, 15 φ(b)2 = φ(b), φ(a)2 = 0 i φ(a)φ(b) = φ(a). Отже, φ є iзоморфiзмом кiлець R4 i S1, а R4 є зображенням кiльця S1, тобто R4 ≃ S1. Далi спецiальним кiльцем називатимемо кiльце R′(0) i саме його позна- чатимемо R4. Визначимо оборотнi та нiльпотентнi елементи цього кiльця. Якщо елемент кiльця R′(0) має вигляд e = a + bt, де a, b це елементи кiльця Zp, то елемент e оборотний, коли a ̸= 0, i ep = 0, якщо a = 0. Зокрема, будь-який необоротний елемент кiльця R′(0) є нiльпотентним. Роздiл 2 Розв’язнiсть неявних лiнiйних рiзницевих рiвнянь над деякими скiнченними комутативними кiльцями 2.1. Постановка задачi. Через Z+ позначатимемо множину {0, 1, 2, . . .}. Нехай A,B, Fn (n ∈ Z+) — заданi елементи комутативного кiльця R з одиницею. Розглянемо лiнiйне рiзницеве рiвняння першого порядку BXn+1 = AXn + Fn, n ∈ Z+, (2.1) над кiльцем R. Рiвняння (2.1) називається неявним, якщо B є необоротним елементом кiльця R [7]. 2.2. Розв’язнiсть лiнiйного рiзницевого рiв- няння над полем Наступна допомiжна лема встановлює достатнi умови розв’язностi рiв- няння (2.1) над полем. Лема 2.1. Нехай R — це поле. Справедливi наступнi твердження. 1. (i) Якщо B ̸= 0, то загальний розв’язок рiвняння (2.1) визначено 16 17 наступним чином: Xn = B−nAnX0 + n−1∑ s=0 B−s−1AsFn−s−1, n ∈ N = {1, 2, . . .} , (2.2) де X0 ∈ R довiльне. (ii) Якщо B = 0 i A ̸= 0, то єдиний розв’язок рiвняння (2.1) визначено формулою Xn = −A−1Fn, n ∈ Z+. (2.3) 2. Якщо B = A = 0 i Fn = 0 при всiх n ∈ Z+, то будь-яка послiдовнiсть {Xn}∞n=0 є розв’язком рiвняння (2.1). 3. Якщо B = A = 0 i Fn ̸= 0 при деякому n ∈ Z+, то рiвняння (2.1) не має розв’язкiв. Доведення. Доведемо твердження 1 (i): якщо B ̸= 0, то рiвняння (2.1) є явним. Рiвняння (2.1) є єквiвалентним рiвнянню Xn+1 = B−1AXn +B−1Fn, n ∈ Z+. Загальний розв’язок цього рiвняння, за [3, с. 4], визначається форму- лою (2.2). Доведемо твердження 1 (ii): якщо B = 0 i A ̸= 0, рiвняння (2.1) має вигляд AXn+Fn = 0, n ∈ Z+. Оскiльки A є оборотним елементом кiльця R, то єдиний розв’язок рiвняння (2.1) визначено формулою (2.3). Твердження 2 i 3 є очевидними. 18 2.3. Розв’язнiсть лiнiйного рiзницевого рiв- няння над прямою сумою скiнченних полiв Позначимо I = {1, 2, . . . , r}, де число r натуральне. Розглянемо кiльце R = ⊕ i∈I Ki, де Ki — це поле для кожного i ∈ I. Уведемо A = (A1, A2, . . . , Ar), B = (B1, B2, . . . , Br), Fn = (F1,n, F2,n, . . . , Fr,n) — елементи кiльця R. Позначимо IB = {i ∈ I : Bi = 0}, IA = {i ∈ I : Ai = 0}, IF = {i ∈ I : Fi,n = 0 при всiх n ∈ N}. Очевидно: I = (I \ IB) ⊔ (IB \ IA) ⊔ (IA ∩ IB), об’єднання множин тут диз’юнктне. Наступна теорема є критерiєм розв’язностi рiвняння (2.1) над кiльцем R. Теорема 2.2. Нехай кiльце R скiнченне й R = ⊕ i∈I Ki, де Ki це поле для кожного i ∈ I. Справедливi наступнi твердження. 1. Рiвняння (2.1) має скiнченне число розв’язкiв тодi i тiльки тодi, коли IA ∩ IB = ∅. При цьому рiвняння (2.1) має m =  ∏ i∈I\IB card (Ki), IB ̸= I, 1, IB = I розв’язкiв i загальний розв’язок цього рiвняння має вигляд Xn = (X1,n, . . . , Xr,n), n ∈ Z+, Xi,n =  B−n i An i Xi,0 + n−1∑ s=0 B−s−1 i As iFi,n−s−1, i ∈ I \ IB, −A−1 i Fi,n, i ∈ IB, (2.4) 19 де Xi,0 — довiльний елемент поля Ki при кожному i ∈ I \ IB. Зокрема, рiвняння має єдиний розв’язок тодi i тiльки тодi, коли B = 0 i IA = ∅. 2. Рiвняння (2.1) має нескiнченне число розв’язкiв тодi i тiльки тодi, коли ∅ ̸= IA∩IB ⊂ IF . При цьому загальний розв’язок цього рiвняння має вигляд Xn = (X1,n, . . . , Xr,n), n ∈ Z+, Xi,n =  B−n i An i Xi,0 + n−1∑ s=0 B−s−1 i As iFi,n−s−1, i ∈ I \ IB, −A−1 i Fi,n, i ∈ IB \ IA, довiльний елемент поля Ki, i ∈ IA ∩ IB, де Xi,0 — довiльний елемент поля Ki при кожному i ∈ I \ IB. 3. Рiвняння (2.1) не має розв’язкiв тодi i тiльки тодi, коли (IA ∩ IB) \ IF ̸= ∅. Доведення. Рiвняння (2.1) еквiвалентне системi рiвнянь B1X1,n+1 = A1X1,n + F1,n, n ∈ Z+, B2X2,n+1 = A2X2,n + F2,n, n ∈ Z+, ... BrXr,n+1 = ArXr,n + Fr,n, n ∈ Z+, де i ∈ I. Для кожного i ∈ I рiвняння BiXi,n+1 = AiXi,n + Fi,n, n ∈ Z+, (2.5) розглядається над полем Ki. Достатнi твердження цiєї теореми є загалом вичерпними i їх твердження не перетинаються, тому достатньо довести їх. 20 Доводимо достатнiсть в першому твердженнi теореми. Нехай IA ∩ IB = ∅. Тодi для будь-якого i ∈ I або Bi ̸= 0, або Bi = 0 i Ai ̸= 0. Тодi за першим твердженням леми 2.1 загальний розв’язок рiвняння (2.5) визна- чено рiвнiстю (2.2) у випадку Bi ̸= 0 або рiвнiстю (2.3) у випадку Bi = 0 i Ai ̸= 0. В обох випадках рiвняння (2.1) має скiнченну кiлькiсть розв’язкiв. Звiдси випливає формула (2.4). Доводимо достатнiсть в другому твердженнi теореми. Якщо i /∈ IA ∩ IB, то, як i ранiше, за першим твердженням леми 2.1, загальний розв’язок рiвняння (2.5) визначено рiвнiстю (2.2) у випадку Bi ̸= 0 або рiвнiстю (2.3) у випадку Bi = 0 i Ai ̸= 0. Нехай тепер i ∈ IA∩IB. Тодi Fi,n = 0,∀n ∈ Z+, то, за твердженням 2 леми 2.1, будь-яка послiдовнiсть {Xi,n}∞n=0 є розв’язком вiдповiдного рiвняння (2.5). Тодi за умови ∅ ̸= IA ∩ IB ⊂ IF рiвняння (2.1) має нескiнченно багато розв’язкiв. Доводимо достатнiсть в третьому твердженнi теореми. Нехай iснує i ∈ IA∩IB таке, що i /∈ IF . Тодi за твердженням 3 леми 2.1 вiдповiдне рiвняння (2.5) не має розв’язкiв. Тому не має розв’язкiв i рiвняння (2.1). Теорему доведено. Розглянемо приклад застосування цiєї теореми до розв’язання неявного рiвняння (2.1) над скiнченною прямою сумою скiнченних полiв. Приклад 2.3. Розглянемо рiвняння (B1, 0, 0)Xn+1 = (1, A2, 0)Xn + Fn, n ∈ Z+ (2.6) над кiльцем R = K1⊕K2⊕K3, де K1, K2, K3 є скiнченними полями i B1 ̸= 0 є елементом поля K1, A2 ̸= 0 є елементом поля K2, Fn = (F1,n, F2,n, F3,n) (n ∈ Z+). Визначимо: B = (B1, 0, 0), A = (1, A2, 0), IB = {2, 3}, IA = {3}. Якщо F3,n ̸= 0 при деякому n, то, за третiм твердженням теореми 2.2, 21 рiвняння (2.6) не має розв’язкiв. Нехай F3,n = 0 при всiх n ∈ Z+. Тодi, за твердженням 2 теореми 2.2, iснує нескiнченно багато розв’язкiв рiвняння (2.6). Загальний розв’язок Xn = (X1,n, X2,n, X3,n) (n ∈ Z+) рiвняння (2.6) визначається наступною форму- лою:  X1,n = B−n 1 X1,0 + n−1∑ s=0 B−s−1 1 F1,n−s−1, X2,n = −A−1 2 F2,n, X3,n = довiльний елемент поля K3, де X1,0 — довiльний елемент поля K1. 2.4. Розв’язнiсть неявного лiнiйного рiзни- цевого рiвняння над спецiальним кiль- цем порядку 4 У кiльцi R = Z2[t]/(t 2) (кiльце R4 iз п. 1.3.5 для p = 2) розглянемо елементи A = A0 + t A1, B = B0 + t B1, Fn = F0,n + t F1,n (n ∈ Z+), де A0, B0, F0,n, A1, B1, F1,n (n ∈ Z+) — елементи кiльця Z2. Наступна теорема є критерiєм розв’язностi неявного лiнiйного рiзницевого рiвняння (2.1) над кiльцем R. Теорема 2.4. Нехай B ̸= 0. Справедливi наступнi твердження. 1. Рiвняння (2.1) має скiнченно багато розв’язкiв тодi i тiльки тодi, коли або A0 ̸= 0, або B0 ̸= 0. При цьому рiвняння (2.1) має N =  4, B0 ̸= 0, 1, B0 = 0 22 розв’язкiв i загальний розв’язок цього рiвняння має вигляд Xn =  B−nAnX0 + n−1∑ s=0 B−s−1AsFn−s−1, B0 ̸= 0, −A−1Fn −BA−2Fn+1, B0 = 0, де X0 — довiльний елемент кiльця R, якщо B0 ̸= 0. Зокрема, рiвняння (2.1) має єдиний розв’язок тодi i тiльки тодi, коли B0 = 0 i A0 ̸= 0. 2. Рiвняння (2.1) має нескiнченно багато розв’язкiв тодi i тiльки тодi, коли A0 = B0 = 0, F0,n = 0 при всiх n ∈ Z+. Загальний розв’язок цього рiвняння визначено рiвнiстю Xn = X0,n+tX1,n (n ∈ Z+), послiдовнiсть елементiв X1,n довiльна у Z2, i {X0,n}∞n=0 визначено умовою X0,n = B−n 1 An 1X0,0 + n−1∑ s=0 B−s−1 1 As 1F0,n−s−1, n ∈ N, (2.7) де X0,0 — довiльний елемент множини Z2. 3. Рiвняння (2.1) не має розв’язкiв тодi i тiлькi тодi, коли A0 = B0 = 0 i F0,n ̸= 0 при деякому n ∈ Z+. Доведення. Якщо B0 ̸= 0, то рiвняння (2.1) має єдиний розв’язок, ви- значений формулою (2.2), оскiльки елемент B оборотний (див. 1.3.5). Якщо B0 = 0 i A0 ̸= 0, то (2.1) можна переписати у виглядi Xn = BA−1Xn+1 − A−1Fn, n ∈ Z+. Скориставшись рiвнiстю двiчi i рiвнiстю B2 = 0, отримаємо: Xn = −A−1Fn −BA−2Fn+1, n ∈ Z+. (2.8) Пiдставляючи (2.8) у рiвняння (2.1) i враховуючи, що B2 = 0, переко- 23 наємось, що послiдовнiсть (2.8) є розв’язком рiвняння (2.1): BXn+1 = −B(A−1Fn+1 +BA−2Fn+2) = −BA−1Fn+1 −B2A−2Fn+2 = = A(−A−1Fn −BA−2Fn+1) + Fn = AXn + Fn. Довели достатнiсть твердження 1. Нехай B0 = A0 = 0. Доведемо достатностi останнiх двох тверджень. Для цього зауважимо, що рiвняння (2.1) еквiвалентне системi рiвняньB0X0,n+1 = A0X0,n + F0,n, n ∈ Z+, B0X1,n+1 +B1X0,n+1 = A0X1,n + F1,n + A1X0,n, n ∈ Z+ над Z2. Цю систему можна переписати наступним чином:F0,n = 0 при всiх n, B1X0,n+1 = A1X0,n + F1,n, n ∈ Z+. (2.9) Тому для розв’язностi рiвняння (2.1) повинна бути виконана умова F0,n = 0 при всiх n. Якщо цю умову не виконано, то рiвняння (2.1) не має розв’язкiв, тобто доведено достатнiсть твердження 3 теореми. Нехай далi F0,n = 0 при всiх n. Оскiльки B ̸= 0 i B0 = 0, то B1 ̸= 0. Отже, елемент B−1 1 iснує. За твердженням 1 (i) леми 2.1, розв’язок другого рiвняння системи (2.9) визначається рiвнiстю (2.7), де X0,0 — довiльний елемент поля Z2. Якщо {X1,n}∞n=0 — довiльна послiдовнiсть елементiв поля Z2, то ({X0,n}∞n=0 , {X1,n}∞n=0) є загальним розв’язком системи (2.9). Отже, загальний розв’язок рiвняння (2.1) має вигляд Xn = X0,n + tX1,n (n ∈ Z+), де {X0,n}∞n=0 визначається формулою (2.7), а {X1,n}∞n=0 довiльна послiдовнiсть елементiв поля Z2. Ми довели достатнiсть кожного з тверджень теореми. Оскiльки достатнi 24 умови всiх трьох тверджень теореми вичерпують всi можливостi i попарно не перетинаються, то доведення критерiю завершено. Наведемо приклад застосування теореми 2.4. Приклад 2.5. Нехай a0 ∈ Z2. Розглянемо рiвняння tXn+1 = (a0 + t)Xn + Fn, n ∈ Z+, (2.10) над кiльцем R. Визначимо елементи: A = a0 + t, B = t. Якщо a0 ̸= 0, тобто A = 1 + t, то елемент A оборотнiй, i A−1 = 1 + t. За твердженням 1 теореми 2.4, iснує єдиний розв’язок рiвняння (2.10). Вiн визначається наступним чином: Xn = −A−1Fn − A−2BFn+1 = (1 + t)Fn + tFn+1. Нехай a0 = 0 i F0,n = 0 при всiх n ∈ Z+, то за другим твердженням теореми, iснує нескiнченно багато розв’язкiв рiвняння (2.1). При цьому за- гальний розв’язок має вигляд Xn = X0,n +X1,n t, де {X1,n}∞n=0 це довiльна послiдовнiсть елементiв поля Z2, X0,0 ∈ Z2 довiльне, а X0,n визначається формулою X0,n = B−n 1 An 1X0,0 + n−1∑ s=0 B−s−1 1 As 1F0,n−s−1 = X0,0 + n−1∑ s=0 F0,n−s−1, n ∈ N. Якщо, a0 = 0 i f0,n ̸= 0 для деякого n ∈ Z+, то, за третiм твердженням теореми 2.4, рiвняння (2.1) не має розв’язкiв. Висновки Наведено огляд результатiв роботи [12] щодо класифiкацiї кiлець по- рядку p2, де p — просте число. Записано рiзнi представлення цих кiлець у виглядi факторкiлець, а для спецiального кiльця R”(0) також матричне представлення. Сформульовано i доведено критерiї розв’язностi рiвняння (2.1) над пря- мою сумою полiв та над спецiальним кiльцем R′(0). Разом iз критерiя- ми наведено формулу загального розв’язку вiдповiдних рiвнянь у випадку iснування розв’язку. Розглянуто приклади, що iлюструють роботу доведе- них теорем. 25 Список використаних джерел [1] A. Halanay, D. Wexler, Teoria Calitativa A Sistemelor Cu Impulsuri, Academiei Republicii Socialiste Romania, Bucuresti, 1968. [2] W.G. Kelley, A.C. Peterson, Difference Equation: An Introduction with Applications. 2nd ed., Academic Press, 2001. [3] S. Elaydi, Introduction to difference equations, Springer-Verlag, New York, 2005. [4] S.L. Campbell, Singular system of differential equations I San Fransisco, London, Mellbourne:Pitman Publishing, Research Notes in Mathematics, Vol. 40, 1980. [5] M. Benabdallakh, A.G. Rutkas, A.A. Solovev, Application of Asymptotic Expansions to the Investigation of an Infinite System of Equations AXn+1 + BXn = fn in a Banach Space, J. Soviet Math., 48 (1990), Iss. 2, P. 124–130. [6] M.F. Bondarenko, A.G. Rutkas, On a class of implicit difference equati- ons, Dopovidi NANU of Uktaine (1998), No. 7, P. 11–15. [7] S. Gefter, A. Goncharuk, A. Piven, Implicit Linear First Order Di- fference Equations Over Commutative Rings. In: Elaydi, S., Kulenovic, M.R.S., Kalabusic, S. (eds) Advances in Discrete Dynamical Systems, Di- fference Equations and Applications. ICDEA 2021. Springer Proceedings in Mathematics& Statistics, vol 416, Springer, 2023, P. 199–216. 26 27 [8] V.A. Gerasimov, S.L. Gefter, A.B. Goncharuk, Application of the p-adic Topology on Z to the Problem of Finding Solutions in Integers of an Implicit Linear Difference Equation, J. Math. Sci., 235 (2018), No. 3. P. 256–261. [9] V.V. Martseniuk, S.L. Gefter and A.L. Piven, Uniqueness criterion and Cramers rule for implicit higher order linear difference equations over Z, Progress on Difference Equations and Discrete Dynamical Systems (eds. S. Baigent, M. Bohner, S. Elaydi), Vol. 341, Springer, 2020, P. 311–325. [10] S.L. Gefter, A.L. Piven’, Implicit Linear Nonhomogeneous Difference Equation over Z with a Random Right-Hand Side, J. Math. Physics, Analysis, Geometry, 18 (2022), No.1, P. 105–117. [11] S.L. Gefter, A.L. Piven, Implicit Linear Nonhomogeneous Difference Equation in Banach and Locally Convex Spaces, J. Math. Physics, Analysis, Geometry, 15 (2019), No. 3, P. 336–353. [12] B. Fine. Classification of Finite Rings of Order p2. Mathematics Magazine, 66 (1993), No. 4. P. 248–252. [13] M. V. Heneralov and A. L. Piven’, Implicit Linear Difference Equation over Residue Class Rings, 2023. // http://arxiv.org/abs/2301.13704. [14] M. V. Heneralov, A. L. Piven’, Implicit difference equations over some residue class rings // International Conference of Young Mathematicians, June 3–5, 2021, Kyiv, Ukraine, abstracts, 2021. P. 24. [15] M.V. Heneralov, A.L. Piven’, Implicit linear difference equations over fi- nite commutative rings// International conference in complex and functi- onal analysis dedicated to the memory of Bohdan Vynnytskyi, Drohobjch, 2021, P. 20–21. http://arxiv.org/abs/2301.13704 28 [16] M. Heneralov, A. Piven’, Implicit difference equations over residue class rings // ICDEA 2022, 27th International Conference on Difference Equati- ons and Applications, 18–22 July 2022, Paris-Saclay, France, P. 92. [17] G. Bini, F. Flamini. Finite commutative rings and their applications / Gilberto Bini, Flaminio Flamini, Springer Science+Business Media, LLC. 2002. [18] D. S. Dummit, R. M. Foote. Abstract Algebra. Third edition. John, Wiley & Sons, Inc., 2004. [19] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra — Addison Wesley publishing Company, Reading, Massachusets, 1969. [20] B. R. Macdonald. Finite Commutative Rings with Identity, New York, M. Dekker, Inc., 1974. [21] R. Lidl, H. Niedderraiter. Finite fields. Cambridge University Press. 1996. [22] Н.С. Головащук, Є.А. Кочубiнська, С.А. Овсiєнко. Збiрник задач з те- орiї кiлець (базовий курс). Навчальний посiбник для студентiв меха- нiко – математичного факультету. — Київ: Видавничо–полiграфiчний центр “Київський унiверситет”, 2013. [23] P. Karimi Beiranvand, R. Beyranvand, and M. Gholami. Classification of Finite Rings of Order p6 by Generators and Relations. Hindawi Publishing Corporation Journal of Mathematics Volume 2013, Article ID 467905, 8 pages // http://dx.doi.org/10.1155/2013/467905. [24] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1990. [25] B. R. McDonald. Bernard McDonald Linear Algebra Over Commutative Rings, M. Dekker. Inc., 1984. http://dx.doi.org/10.1155/2013/467905 Анотації Вступ Загальна інформація про кільця Означення. Властивності та приклади скінченних кілець. Опис кiлець порядку p2, де p просте. Представлення кільця за допомогою адитивних генераторів Кільце з єдиним адитивним генератором Пряма сума полів Поле Галуа Спеціальне кільце Розв'язність неявних лінійних різницевих рівнянь над деякими скінченними комутативними кільцями Постановка задачі. Розв'язність лінійного різницевого рівняння над полем Розв'язність лінійного різницевого рівняння над прямою сумою скінченних полів Розв'язність неявного лінійного різницевого рівняння над спеціальним кільцем порядку 4 Висновки Список використаних джерел