Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна Факультет математики і інформатики Кафедра прикладної математики Кваліфікаційна робота Бакалавра на тему «Дослідження впливу граничних умов на стаціонарну лінійну теплопровідність у плоскій стінці» Виконав: студент групи МП41 Ⅳ курсу спеціальність 113 – прикладна математика освітньо- професійна програма «Прикладна математика» Токар К.О. Науковий керівник: доктор техн. наук, професор кафедри прикладної математики Ромашов Ю.В. Рецензент: доктор техн. наук, професор, завідувач кафедри комп’ютерно-інтегрованих технологій, автоматизації та робототехніки Харківського національного університету радіоелектроніки Невлюдов І.Ш. Харкiв — 2024 рiк 2 Змiст Анотацiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Вступ та постанова задачі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Математична постанова задачі теплопровідності . . . . . . 6 1.1. Рівняння теплопровідності . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Граничні умови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Формулювання задачі для узагальненого виду стаціонарної теплопровідності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Метод вирішення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Сітка кінцевої різниці . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Обчислення рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Дискретна форма запису рівнянь та граничних умов . . . . . 14 3. Вплив граничних умов на теплопровідність . . . . . . . . . 17 3.1. Гранична умова першого роду . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2. Гранична умова першого та другого роду . . . . . . . . . . 17 3.3. Гранична умова першого та третього роду . . . . . . . . . . 18 3.4. Гранична умова другого та третього роду . . . . . . . . . . 18 4. Програма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Висновки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Список використаних джерел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Додатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Анотація Токар К.О. Дослідження впливу граничних умов на стаціонарну лінійну теплопровідність у плоскій стінці. У роботі розглядається стаціонарна задача теплопровідності в плоскій стінці, знаходження теплового поля та теплового потоку. Розглядаємо задачу з граничними умовами першого, другого та/або третього роду. Tokar K.O. Study of the influence of boundary conditions on stationary linear thermal conductivity in a flat wall. The paper considers the stationary problem of thermal conductivity in a flat wall, finding the thermal field and heat flow. We consider a problem with boundary conditions of the first, second and/or third kind. 4 Вступ та постановка задачі Актуальність данної теми: Математична постановка задач теплопровідності є важливою для різних досліджень, пов'язаних з передачею тепла.. Застосування аналітичних методів дослідження дозволяє отримувати аналітичні розв'язки для спрощених випадків, що сприяє кращому розумінню фізичних процесів та перевірці чисельних методів. Ця тема має широкі застосування, включаючи проектування теплообмінних пристроїв, розрахунок температурного режиму в електроніці, моделювання геотермальних систем, вивчення теплопередачі в матеріалах та структурах, а також розрахунок температурного поля в атмосфері. Зрозуміння та математична постановка задач теплопровідності є важливими для багатьох наукових і технологічних досліджень, спрямованих на вирішення проблем, пов'язаних з передачею тепла. Диференціальне рівняння теплопровідності дає залежність між температурою, часом та координатами елементарного об'єму. Рисунок 0.1 - Вплив потоків теплоти на тіло див. [2], розділ 2.3 На рисунку 0.1 ми бачимо, як тепловий потік взаємодіє з тілом, в нашому випадку це прямокутний паралелепіпед. Для теплового потоку 𝑞𝑥, якщо 𝑞𝑥 > 𝑞𝑥+∆𝑞𝑥, то прямокутний паралелепіпед буде нагріватися. [1] В такому випадку 5 𝑞𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑞𝑥+𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑐𝜌 𝜕𝑇 𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. (0.1) За допомогою ряда Тейлора ми можемо розкласти 𝑞𝑥+𝑑𝑥 та обмежити двома першими членами ряда, то: 𝑞𝑥+𝑑𝑥 ≈ 𝑞𝑥 + 𝜕𝑞𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥 Якщо ми скористаємось рівнянням (0.1) отримаємо наступне: − 𝜕𝑞𝑥 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑐𝜌 𝜕𝑇 𝜕𝜏 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Із закону теплопровідності Фур'є: 𝑞𝑥 = −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑥 , (0.2) де 𝜆 – коефіцієнт теплопровідності [3] Тепер скористуємось рівнянням теплопровідності (0.2) та отримаємо 𝑐𝜌 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝜆 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 (0.3) Ми будемо вирішувати задачі за допомогою стаціонарної теплопровідності, бо це полегшить нам вирішення не лінійних задач: 𝑇 = 𝑇(𝑥), q = q(x) 𝜕𝑞𝑥 𝜕𝑥 = 0, 𝑞𝑥 = −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑥 Та отримаємо систему { 𝑐𝜌 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = − 𝜕𝑞𝑥 𝜕𝑥 𝑞𝑥 = −𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑥 (0.4) 6 1 розділ Математична постановка задачі теплопровідності 1.1 Рівняння теплопровідності Припустимо, що задані значення в вузлах. Ми зможемо за допомогою лінійної інтерполяції знайти приблизні значення між цих вузлів. Але проблема стоїть в тому, що, якщо мені треба порахувати похідну цієї формули, то отримаємо некоректну операцію, бо малі відхилення в вузлах приведуть до значних відхилень. Рисунок 1.1 – Відхилення в вузлах Ми кажемо, що 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0, а тепер, ми знайшли наближене – позначено помаранчевим кольором на графіку (рисунок 1.1), позначим як �̃�(𝑡), та в нас �̃�(𝑡) ≈ 𝑥(𝑡). |�̃�(𝑡) − 𝑥(𝑡)| < 𝜀 Тепер розглядаємо 𝑑�̃� 𝑑𝑡 . 𝑑�̃� 𝑑𝑡 ≠ 0, | 𝑑�̃� 𝑑𝑡 | ≫ 𝜀 В такому випадку в нас похідна може бути, як додатною, так і від’ємною, а десь може йти на нескінченність. �̂�(𝑡) – лінійна інтерполяція, на (рисунок 1.1) позначено синім кольором. 7 Тепер розглянемо такий графік (рисунок 1.2), де зеленим кольором позначені значення 𝜆 з одного довідника, а синім – з іншого. Помаранчевим кольором позначено те, як воно є насправді. Рисунок 1.2 – Розбіжність значень 𝜆 В різних підручниках при одному 𝑇 можуть бути різні 𝜆, але вони будуть приблизно однакові. А тепер, якщо нам потрібно буде взяти похідну 𝑑𝜆 𝑑𝑇 , то вона може змінитись суттєво. Також, причина по якій не варто робити сплайн-інтерполяцію це можливість того, що моя залежність не обов’язково має безперервні похідні. Тепер виведемо ще одне рівняння 𝑑𝑞 𝑑𝑥 = 0, 𝑞 = −𝜆 𝑑𝑇 𝑑𝑥 Підставимо 𝑞 в 𝑑𝑞 𝑑𝑥 = 0, отримаємо 𝑑 𝑑𝑥 (−𝜆 𝑑𝑇 𝑑𝑥 ) = 0 𝑑𝜆 𝑑𝑥 𝑑𝑇 𝑑𝑥 + 𝜆 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2 = 0 Тепер скористаємось рівнянням 𝑑𝜆 𝑑𝑥 = 𝑑𝜆 𝑑𝑇 ∗ 𝑑𝑇 𝑑𝑥 𝜆 𝑑2𝑇 𝑑𝑥2 + 𝑑𝜆 𝑑𝑇 ( 𝑑𝑇 𝑑𝑥 )2 = 0 (1.1) І тут в нам виходить не лінійне рівняння, де немає точних даних о 𝜆(𝑡). Саме тому ми будемо вирішувати систему (0.4), а не рівняння (1.1). 8 1.2 Граничі умови Випадок 1: Гранична умова першого роду визначає температуру на границі області. T(a) = Ta , T(b) = Tb, де Ta, Tb − відомі. Це означає, що температура на границі задана і є постійною. Такі умови використовуються, коли температура поверхні тіла відома і підтримується на постійному рівні. [5] Випадок 2: Гранична умова другого роду визначає тепловий потік на границі області. T(a) = Ta , qx(b) = qb, де Ta, qb − відомі. Це означає, що відомий тепловий потік через границю. Такі умови використовуються, коли заданий тепловий потік на поверхні тіла. [5] Випадок 3: Гранична умова третього роду є комбінацією граничних умов першого та другого роду і визначає теплопередачу на границі області. qx(a) = αa(Ta − T(a)) qx(b) = αb(T(b) − Tb) { αaT(a) + qx(a) = αaTa αbT(b) + qx(b) = αbTb Це означає, що тепловий потік через границю залежить від різниці температур між поверхнею та навколишнім середовищем. αa, αb в нас це коефіцієнт теплопередачі, а Ta, Tb це температура середовища. [5] 9 1.3 Формулювання задачі для узагальненого виду стаціонарної теплопровідності. Задача теплопровідності у плоскій стінці є однією з класичних задач теорії теплопровідності, яка описує розподіл температури в матеріалі залежно від часу та просторових координат. Розглянемо детальну постановку задачі, включаючи необхідні рівняння та граничні умови. Рисунок 1.3 – Плоска стінка Розглянемо плоску стінку (рисунок 1.3), розташовану вздовж осі 𝑥 від 𝑎 до 𝑏. Температура в будь-якій точці стінки в момент часу 𝑡 позначається як T(𝑥, 𝑡). Необхідно знайти розподіл температури T(𝑥, 𝑡) у стінці, враховуючи диференціальне рівняння теплопровідності та граничні умови. [4] У випадку не стаціонарної задачі, де є залежність від часу, використовується рівняння теплопровідності з часом: 𝑐𝜌 𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝜆 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 Але я буду розглядати стаціонарну задачу, у випадку стаціонарної задачі, такої, де температурне поле не змінюється з часом, рівняння теплопровідності виглядає таким чином: 10 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 = 0 11 2 Розділ Метод вирішення 2.1 Сітка кінцевої різниці Рисунок 1.4 – Залежність температури та теплового потоку від координати Область [𝑎, 𝑏] поділена на n + 1 рівномірний відрізок довжиною ∆x ∆x = 𝑏 − 𝑎 𝑛 + 1 , де 𝑛 − число внутрішніх вузлів сітки, 𝑛 ≥ 1 Координати вузлів сітки визначаються як: 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘∆𝑥, 𝑘 = 0,1,2,… , 𝑛, 𝑛 + 1 Tk = 𝑇(xk), qx,k = qx(xk), 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛, 𝑛 + 1 { ∂qx ∂x = 0 qx + λ ∂T ∂x = 0 ∆x − крок сітки xk − вузли сітки 12 Tk = 𝑇(xk) − вузлові значення температури qx,k = qx(xk) − вузлові значення теплового потоку 𝜕qx,k 𝜕x = qx,k+1−qx,k−1 2∆𝑥 ; 𝜕𝑇𝑘 𝜕x = 𝑇𝑘+1−𝑇𝑘−1 2∆𝑥 , 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑛 { qx,k+1 − qx,k−1 2∆𝑥 = 0 qx + λ 𝑇𝑘+1 − 𝑇𝑘−1 2∆𝑥 = 0 (1) ⇒ { qx,k+1 − qx,k−1 = 0 𝑇𝑘+1 − 𝑇𝑘−1 + qx 2∆𝑥 λ = 0 , 𝑘 = 1,2,3,… , 𝑛 [6] 2.2 Обчислення рівнянь. Виразимо 𝜕𝑇𝑘 𝜕𝑥 через температури 𝑇𝑘, 𝑇𝑘±1, 𝑇𝑘±2 з коефіцієнтами 𝑎, 𝑏, 𝑐. 𝜕𝑇𝑘 𝜕𝑥 = 𝑎𝑇𝑘 + 𝑏𝑇𝑘±1 + 𝑐𝑇𝑘±2 Розкладемо 𝑇𝑘±1 та 𝑇𝑘±2 в ряд Тейлора 𝑇𝑘±1 = 𝑇𝑘 ± 𝑇𝑘′∆𝑥 + 1 2 𝑇𝑘′′∆𝑥 2 ± 1 6 𝑇𝑘′′′∆𝑥 3 +⋯ 𝑇𝑘±2 = 𝑇𝑘 ± 2 ∗ 𝑇𝑘′∆𝑥 + 4 ∗ 1 2 𝑇𝑘′′∆𝑥 2 ± 8 ∗ 1 6 𝑇𝑘′′′∆𝑥 3 +⋯ Підставимо розклад 𝑇𝑘±1 та 𝑇𝑘±2 у диференціальне рівняння 𝜕𝑇𝑘 𝜕𝑥 = 𝑎𝑇𝑘 + 𝑏 (𝑇𝑘 ± 𝑇𝑘′∆𝑥 + 1 2 𝑇𝑘′′∆𝑥 2 ± 1 6 𝑇𝑘′′′∆𝑥 3 +⋯) + + 𝑐 (𝑇𝑘 ± 2 ∗ 𝑇𝑘′∆𝑥 + 4 ∗ 1 2 𝑇𝑘′′∆𝑥 2 ± 8 ∗ 1 6 𝑇𝑘′′′∆𝑥 3 +⋯) Об'єднуємо всі терміни, зводимо подібні та спрощуємо вираз, отримаємо: (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑇𝑘 ± (𝑏 + 2𝑐)𝑇𝑘′∆𝑥 + 1 2 (𝑏 + 4𝑐)𝑇𝑘′′∆𝑥 2 ± 1 6 (𝑏 + 8𝑐)𝑇𝑘′′′∆𝑥 3 +⋯ 13 Вирішуємо систему рівнянь для знаходження значень коефіцієнтів 𝑎, 𝑏 та 𝑐. { 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 𝑏 + 2𝑐 = ± 1 ∆𝑥 𝑏 + 4𝑐 = 0 ⇒ { 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 𝑏 + 2𝑐 = ± 1 ∆𝑥 𝑏 = −4𝑐 ⇒ { 𝑎 − 4𝑐 + 𝑐 = 0 −4𝑐 + 2𝑐 = ± 1 ∆𝑥 𝑏 = −4𝑐 ⇒ ⇒ { 𝑎 = 3с 𝑐 = ∓ 1 2∆𝑥 𝑏 = −4𝑐 ⇒ { 𝑎 = ∓ 3 2∆𝑥 𝑏 = ± 2 ∆𝑥 𝑐 = ∓ 1 2∆𝑥 Отримані данні підставимо в рівняння, там отримаємо: 𝑑𝑇𝑘 𝑑𝑥 = −3𝑇𝑘 + 4𝑇𝑘+1 − 𝑇𝑘+2 2∆𝑥 𝑑𝑇𝑘 𝑑𝑥 = 3𝑇𝑘 − 4𝑇𝑘−1 + 𝑇𝑘−2 2∆𝑥 Рівняння балансу теплових потоків для внутрішніх вузлів. −qx,k−1 + qx,k+1 = 0, 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑛 Рівняння для вузла при 𝑘 = 0, крайова умова. −3𝑇0 + 4𝑇1 − 𝑇2 + qx,0 2∆𝑥 λ = 0 Рівняння для усіх внутрішніх вузлів сітки при 𝑘 = 1,2… 𝑛. − 𝑇𝑘−1 + 𝑇𝑘+1 + qx,𝑘 2∆𝑥 λ = 0 Ще одне рівняння для вузла при 𝑘 = 𝑛 + 1, крайова умова. 3𝑇𝑛+1 − 4𝑇𝑛 + 𝑇𝑛−1 + qx,𝑛+1 2∆𝑥 λ = 0 14 На даний момент ми маємо 2n+2 рівняння та 2n+4 невідомі, тому нам треба знайти ще 2 рівняння, ці рівняння візьмемо з граничних умов. 2.3 Дискретна форма запису рівнянь та граничних умов Вектор T містить температури в вузлах сітки, вектор q містить теплові потоки в вузлах сікти. T = (T0 , T1, T2, … , Tn , Tn+1) T q = (qx0 , qx1 , qx2 , … , qxn , qxn+1) T ( −3 4 −1 0 0 … 0 0 0 −1 0 1 0 0 … 0 0 0 1 −1 0 1 0 … 0 0 0……………………….………………………. 0 0 0 0 0 … −1 0 1 0 0 0 0 0 … 0 3 −4 1 ) ( T0 T1 T2… Tn−1 Tn Tn+1) + ( 2∆x λ 0 0 0 0 … 0 0 0 0 2∆x λ 0 0 0 … 0 0 0 0 0 2∆x λ 0 0 … 0 0 0 ……………………….………………………. 0 0 0 0 0 … 0 2∆x λ 0 0 0 0 0 0 … 0 0 2∆x λ ) ( qx,0 qx,1 qx,2 … qx,n−1 qx,n qx,n+1) = ( 0 0 0… 0 0 0 ) (2.1) D T 2∆x λ q 0 Тепер запишемо рівняння (2.1) у вигляді: DT + 2∆x λ 𝑞 = 0 Виразимо звідси q. 𝑞 = − λ 2∆x DT Гранична умова, 𝑘 = 0: 𝐴𝑎𝑇0 + 𝐵𝑎𝑞𝑥,0 = 𝐶𝑎 𝑘 = 1,2,3, … , n: qx,k+1 − qx,k−1 = 0 Гранична умова, 𝑘 = 𝑛 + 1: 𝐴𝑏𝑇𝑛+1 + 𝐵𝑏𝑞𝑥,𝑛+1 = 𝐶𝑏 15 ( 𝐴𝑎0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0……………………….………………………. 0 0 0 0 0 …0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 𝐴𝑏 ) ( 𝑇0 𝑇1 𝑇2… 𝑇𝑛−1 𝑇𝑛 𝑇𝑛+1) +( 𝐵𝑎0 0 0 0 … 0 0 0 −1 0 1 0 0 … 0 0 0 0 −1 0 1 0 … 0 0 0……………………….………………………. 0 0 0 0 0 … 1 0 1 0 0 0 0 0 … 0 0 𝐵𝑏 ) ( 𝑞𝑥,0 𝑞𝑥,1 𝑞𝑥,2 … 𝑞𝑥,𝑛−1 𝑞𝑥,𝑛 𝑞𝑥,𝑛+1) = ( 𝐶𝑎 0 0… 0 0 𝐶𝑏 ) Матричне представлення: 𝐵𝑇 + 𝐶𝑞 = 𝑓 Вираз для q: 𝑞 = − λ 2∆𝑥 𝐷𝑇 Матричне представлення з виразом для q: 𝐵𝑇 + 𝐶 (− λ 2∆𝑥 𝐷𝑇) = 𝑓 Перетворення рівняння: (𝐵 − λ 2∆𝑥 𝐶𝐷)𝑇 = 𝑓 Скорочена формула: 𝐴𝑇 = 𝑓 Визначення матриці 𝐴: 𝐴 = 𝐵 − λ 2∆𝑥 𝐶𝐷 Розв’язок для 𝑇: 𝑇 = 𝐴−1𝑓 Знайшли вектор T, тепер знаємо все що нам необхідно, щоб знайти 𝑞, підставляємо в рівняння і знаходимо. 16 𝑞 = − λ 2∆x DT 17 3 Розділ Вплив граничних умов на теплопровідність 3.1 Гранична умова 1го роду Граничні умови 1-го роду передбачають, що температури на кінцях стінки фіксовані: T(a) = Ta , T(b) = Tb Візьмемо такі значення: для 𝑓 таке, що Ta = Ca = 100, Tb = Cb = 200, для матриці 𝐵 значення 𝐴a та 𝐴b дорівнюють 1, в матриці С: 𝐵a = 𝐵b = 0. Також λ = 1, 𝑎 = 1, 𝑏 = 2. Вектор 𝑇 = ( 100.00000 120.833344 150.00000 154.166672 200.00000 ) 𝑞 = ( −83.3335 −125.0000 −83.33331 −125.0000 −83.33325 ) 3.2 Гранична умова 1го та 2го роду Граничні умови 1-го та 2-го роду включають фіксовану температуру на одному кінці та фіксований тепловий потік на іншому: T(a) = Ta , qx(b) = qb Візьмемо такі значення: для 𝑓 таке, що Ta = Ca = 100, Cb = qb ∗ ∆𝑥 λ = 100 ∗ 0.2 1 = 20, для матриці 𝐵 значення 𝐴a = 1 та 𝐴b = 0, в матриці С: 𝐵a = 0, 𝐵b = 1. Також λ = 1, 𝑎 = 1, 𝑏 = 2. Вектор 𝑇 = ( 100.00000 105.00000 111.99998 112.99998 123.99995 ) 𝑞 = ( −20.0001 −29.99994 −19.99994 −29.99994 −19.99994 ) 18 3.3 Гранична умова 1го та 3го роду Граничні умови 1-го та 3-го роду включають фіксовану температуру на одному кінці та змішану умову на іншому: T(a) = Ta , αb𝑇(𝑏) + qx(b) = αbTb Візьмемо такі значення: для 𝑓 таке, що Ta = Ca = 100, Cb = αb ∗ Tb = 2 ∗ 200 = 400, для матриці 𝐵 значення 𝐴a = 1 та 𝐴b = αb = 2, в матриці С: 𝐵a = 0, 𝐵b = 1. Також λ = 1, 𝑎 = 1, 𝑏 = 2. Вектор 𝑇 = ( 100.00000 114.70588 135.29410 138.23528 170.58821 ) 𝑞 = ( −58.82361 −88.23523 −58.82349 −88.23529 −58.82349 ) 3.4 Гранична умова 2го та 3го роду Граничні умови 2-го та 3-го роду включають фіксований тепловий потік на одному кінці та змішану умову на іншому: T(a) = qa, αb𝑇(𝑏) + qx(b) = αbTb Візьмемо такі значення: для 𝑓 таке, що Ca = qa ∗ ∆𝑥 λ = 50 ∗ 0.2 1 = 10, Cb = αb ∗ Tb = 2 ∗ 200 = 400, для матриці 𝐵 значення 𝐴a = 0 та 𝐴b = αb = 2, в матриці С: 𝐵a = 1, 𝐵b = 1. Також λ = 1, 𝑎 = 1, 𝑏 = 2. Вектор 𝑇 = ( 183.00002 185.50002 189.00000 189.50002 195.00000 ) 𝑞 = ( −10.00000 −14.99997 −10.00000 −15.00000 −9.999878 ) 19 4 Розділ Програма У додатку представлена програма на fortran 90 яка приймає від користувача значення n, λ, a, b, а також коефіцієнти граничних умов 𝐴𝑎, 𝐴𝑏 , 𝐵𝑎 , 𝐵𝑏 , 𝐶𝑎, 𝐶𝑏. Після роботи вона виводить два вектори: T та f. Гранична умова для кожного боку стінки може бути своя. 20 Висновки В роботі розглядалася задача теплопровідності в плоскій стінці. Ми зрозуміли, чому випадок з стаціонарною задачею краще ніж з нестаціонарною, це поліпшить обчислювання в нелінійних задачах, а також результати будуть більш точними, бо мені не потрібна похідна коефіцієнта теплопровідності. Також, за допомогою fortran 90 я зміг написати програму, що допоможе знайти температуру та тепловий потік в вузлах стінки, для цього необхідно знати граничні умови на краях цієї стінки, це може бути як гранична умова першого роду, так і другого, так і третього. 21 Список використаних джерел 1. Vedat S. Arpaci. Conduction Heat Transfer. Addison-Wesley Publishing Company, 1966 - 550 стор. 2. Bergman, Theodore L. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, 2011 – 1070 стор. 3. Hahn, David W., and M. Necati Özisik. Heat conduction. John Wiley & Sons, 2012 – 734 стор. 4. Tritt, Terry M., ed. Thermal conductivity: theory, properties, and applications. Springer Science & Business Media, 2005 – 290 стор. 5. Практикум з тепломасообміну. Стаціонарна теплопровідність без внутрішніх джерел теплоти [Електронний ресурс] : навчальний посібник для студентів спеціальності 144 «Теплоенергетика», освітнього ступеня «бакалавр» / КПІ ім. Ігоря Сікорського ; уклад.: І. Е. Фуртат, Н. О. Притула. – Електронні текстові дані (1 файл: 1,8 Мбайт). – Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2021 – 53 стор. 6. Bejan, Adrian. Convection heat transfer. John Wiley & Sons, 2013 – 685 стор. 22 Додаток 23 24 Бакалавра