Векторные операции в криволинейных координатах
1о Криволинейные координаты    Пусть r  r (  ) осуществляет взаимно однозначное, непрерывно-дифференцируемое отображение некоторой области  на область V с ненулевым якобианом,
 еw Lw H w w

 x ( u , v, w )      r  r (  )  r ( u , v, w )   y ( u , v, w )   z ( u , v, w )   
w v

z
 еv H v  v H u  u Lv
u

y
x

Lu

 еu

x u x v x w               y det r   ru , rv , rw   yu yv w  0   z z z u v w

так что положение точки с декартовыми координатами ( x, y, z ) можно однозначно определять тройкой чисел ( u, v, w ) , называемых криволинейными координатами
Линии изменения одной из координат при фиксированных двух других       L u  r  r ( u, v 0 , w 0 ) , L v  r  r ( u 0 , v, w 0 ) , Lw  r  r (u 0,v0, w )













называются координатными линиями. Векторы     , rv , rw  ru являются направляющими векторами касательных к координатным линиям. Поверхности изменения каких-либо двух координат при фиксированной третьей       S u v  r  r ( u, v, w 0 )  S w 0 , S v w  r  r ( u 0 , v, w)  S u 0 , S wu  r  r ( u, v 0 , w)  S v 0













называются координатными поверхностями. Векторы        , rv    , rw      , ru  ru   rw   ,  rv ,  являются нормальными векторами координатных поверхностей. Требование ненулевого якобиана означает, что тройка векторов     , rv , rw    ru  некомпланарная и образует в каждой точке r 0 свой локальный базис. Криволинейные координаты ( u, v, w ) называются ортогональными, если базис ортогональный      rv   rw  ru
1

Замечание. В случае декартовых ортогональных координат ( x, y, z ) - координатные линии и поверхности, очевидно, представляют собой ортогональные прямые и плоскости.    Ортогональный базис  i , j , k  нормирован и один и тот же для всех точек. В общем случае криволинейных координат векторы базиса не нормированы. Их длины      , H v  rv  , H w  rw H u  ru называются коэффициентами Ламэ, геометрический смысл которых - коэффициенты растяжения (искажения) в данной точке длин декартовых координатных линий пространства Ouvw при их преобразовании в координатные кривые пространства Oxyz В случае ортогональных криволинейных координат, произведения        , rv    , rw    , ru       Hv H w ,  rw   H w H u  ru   Hu Hv ,  rv 
- коэффициенты растяжения площадей координатных плоскостей, а произведение    , rv , rw    H u  H v  H w  ru - коэффициент растяжения объема в данной точке пространства Ouvw при его отображении в пространство Oxyz . Очевидно, векторы       , ,  е u  1 ru е v  1 rv е w  1 rw Hu Hv Hw образуют в каждой точке ортонормированный базис. Будем считать, что тройка    базисных векторов  е u , е v , е w  ориентирована так же, как и ортонормированный базис пространства Oxyz , так что          еu , еv    еw,  еv , еw    еu ,
     еw, еu    еv

2о Градиент     Для нахождения grad f ( r ) в ортонормированном базисе  е u , е v , е w  надо найти координаты        grad f ( r ) , е u  ,  grad f ( r ) , е v  ,  grad f ( r ) , е w  Имеем
   grad f ( r0 ) , е u



  u  (r0 ) fе

   f ( r0  еu  t )  f ( r0 )  lim  t  t 0  u  1 t  Hu 

   1    t  r   1  t  ru    u,  u  е u   t  Hu ru Hu

     u )  f ( r 0 ) f ( r 0  ru  1 lim  Hu  u  0 u        u  r (u 0 , v0 , w0 )  ru (u 0 , v0 , w0 )  u  r (u 0   u, v0 , w0 )   r 0  ru      f ( r ( u 0   u, v0 , w0 ))  f ( r ( u 0 , v0 , w0 ))  lim  1 u f ( r 0 ) Hu  u  0 u Hu
1

Итак,
   grad f  еu  1 u f  еv  1 v f  еw  1  f Hu Hv Hw w

2

3о Ротор   Для нахождения rot F ( r ) в ортонормированном базисе

 еu , еv , еw 
  







надо найти

координаты

 rot F ( r ) , е u  ,

 



 rot F ( r ) , е v  ,

 



 rot F ( r ) , е w 
 еw

Воспользуемся инвариантным определением ротора

 rot F ( r0 ) , е w  

 



   F(r ),
lim S L  r0
L

 

 dL 

SL

 u0 , v0  v, w0   u0 , v0 , w0 
S L ( w0 )

Lv  u0 

В числителе

 
L

   F ( r ) , dL  

 u0  u, v0 , w0 
L


 u0  u, v0  v, w0 



L u  v0 





L v  u0   u 





L u  v0   v 





L v  u0 



Lu  v0 

u0   u



u0





    F , ru
u v0 w0

v0   v

du 

v0





    F , rv

u0

dv 
u0  u v w0

u0   u





    F , ru

v0

du 
u v0  v w0

v0   v



 F , rv 

 

dv 
u0 v w0

v0   v



v0

 

    F , rv


u0  u   v w0



    F , rv



u0   u

dv



u0   v w0

u0

   F , ru   




u v0  v   w0

   F , ru

 


u v0   w0

du 

v0   v



v0



 u



    F , rv

u0   u

 u dv
1   v w0





u0



 v

   F , ru

u

 

 v du 
1   w0

     u  F , rv

1 2
w0

     u  v  v  F , ru

v u 
2 1
w0



 u

 F , rv 

 

1 2
w0

     v  F , ru


2 1
w0

u v

3

В знаменателе
SL 




   , rv     ru  du dv 

u0  u

u0



v0  v

v0



H u H v dvdu  H u H v

u v
3 3
w0

 Поскольку при S L  r 0 , т.е.  u ,  v  0 , промежуточные точки

 1 ,  2 , w 0  ,  2 ,  1 , w 0  ,  3 ,  3 , w 0 
то



u 0 , v 0 , w0 

     F, r  F, r      u  v            v u v 1  F, r  F, r        rot F ( r0 ), е w   lim   u    v u v Hu Hv  u Hu Hv  u  v S L  r0









    Обозначим координаты векторного поля F в базисе  е u , е v , е w  через Pu , Qv , Rw

    F  Pu  е u  Qv  е v  Rw  е w    Pu   F , е u   1 Hu   ,  F , ru         , Qv   F , е v   1  F , rv Hv       Rw   F , е w   1  F , rw Hw

Воспользовавшись круговой диаграммой, получим

 rot F , е u   rot F , е v 
   rot F , е w так что  

 

  

1

Hv H w
1

 v  H w Rw   w  H v Qv    w  Hu Pu  
 u

H w Hu
1

 u  H w Rw 
 v



 еw w Rw
u
u  P еu



Hu Hv

 H v Qv 

 H u Pu  

Qv  еv v

 rot F 

  H u е u  v  H w Rw Hu Hv H w
1







  w  H v Qv

 
  u  H w Rw

  H v е v   w  H u Pu



 
 v  H u Pu

  H w е w   u  H v Qv или
 Hu еu  rot F 
1





 Hv еv
 v

 H w еw
 w

Hu Hv H w



 u

H u Pu

H v Qv

H w Rw

4

4о Дивергенция      Для нахождения div F ( r ) в базисе  е u , е v , е w  Воспользуемся инвариантным определением дивергенции   div F ( r 0 )  lim VS r 0 В числителе
S

 еw

   F ( r ) , dS 
VS
VS

 



Suv  w0  w 

 u0 , v0  v, w0 
Suv  w0  S

 u0 , v0 , w0 

  
S

   F ( r ) , dS   



  

Sv w  u0 

Sv w  u0  u 

  


 u0  u, v0 , w0 

 u0  u, v0  v, w0 

  



S wu  v0 

  v  v  S wu 0

  


  



Su v  w0 

  w  w  Su v 0

  


  ...    ...   



u0   u v0   v

u0

 
v0



     , rv   du dv  F (r ) , ru
u v w0

u0   u v0   v

u0

 
v0

 F (r ) ,

 

   , rv   du dv  ru
u v w0  w

  ...    ...  

u0   u v0   v

u0

       F (r ) , ru , rv 
v0





 F (r ) ,

 

   , rv   ru

 du dv 
u v w0  

u v w0  w 

  ...    ...  

u0   u v0   v

u0

 
v0

     F (r  , rv  ) , ru w





 w du dv 
3 



u v

  ...    ...  

     F (r  , rv  ) , ru w





u v w
3 3 3

5

В знаменателе
VS 






    , rv , rw  ru



u0  u v0  v w0  w

du dvdw 

u0

  
v0

H u H v H w dwdvdu  H u H v H w  u  v  w
4 4 4

w0

 Поскольку при VS  r 0 , т.е.  u ,  v ,  w  0 , промежуточные точки

  1 ,  1 ,  1  ,   2 ,  2 ,  2  ,   3 , 3 ,  3  ,   4 ,  4 ,  4 
то
  div F ( r 0 )  lim VS  r 0 
1



u 0 , v 0 , w0 

 ...  ...  w  F ( r ) ,
 



  , rv  u v w ru



Hu Hv H w  u  v  w , rv    ...   w  F , ru 



...  Hu H v H w 

             , rv     F ,   , rv   , ru ,  , еv   Hu Hv  F , еw    F r  F е H H     u u v u      \\ \\  Rw еw 

...  ...    w  H u H v Rw   Hu H v H w
1

Воспользовавшись круговой диаграммой, окончательно получаем

 div F 

1  P H H  Hu Hv H w  u u v w





 v  H u Qv H w



  w  H u H v Rw



 еw w Rw

5о Лапласиан Из вида дивергенции с учетом градиента, имеем
 f  div grad f 
1   1  f  Hv  H w H u H v H w  u Hu  u

u

u  P еu

Qv  еv v







 v  H u  1 v f  H w Hv





1    w  Hu  Hv  Hw  w f



так что
1  Hv H w  f  Hu  u Hu Hv H w  u

f 





H H  v  w u v f Hv
6



Hu H v    w  Hw  w f



6о Сферические координаты

 er
r cos  sin     r  r  r ,  ,     r sin  sin    r cos    

r




Hr  1, H  r , H  r sin 

r sin  

 e

r 
r
 e

  1   grad f  еr  r f  е  r f  е  1  f  r sin 

 еr  rot F 
1

r е
 



r sin  е
 



r sin 
2



 r

Pr

r Q r sin  R

 div F 

r

2

 P r   r r sin  1

2

sin 



 



 Q r sin  

    R r





f 

r

2

 r   r sin  1

2

sin  r f



 



 sin   f 

  

 f 1 sin  





7

7о Цилиндрические координаты

 ez

r cos     r  r  r ,  , z    r sin    z    

z r  r
 er
z


Hr  1, H  r , Hz  1

r

 e

    1  f  е grad f  еr  r f  е  r z  z f 

 еr  1 rot F  r 
 r

r е
 



 еz
 z

Pr

r Q

Rz

 1 div F  r

 r  Pr r     Q   z  r Rz  

1 f  r

 r  r r f     r1  f   z  r z f  
8