МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ I НАУКИ УКРАЇНИ Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна Факультет радіофізики, біомедичної електроніки та комп’ютерних систем Кафедра теоретичної радіофізики ЗАТВЕРДЖУЮ В.о. завідувача кафедри Хардіков В.В. ініціали, прізвище підпис “____” ____________20___ року Кваліфікаційна робота магістра на тему: АНТЕНА НА ОСНОВІ ГРАФЕНА ДЛЯ ГЕНЕРАЦІЇ ХВИЛЬ, ЩО ПЕРЕНОСЯТЬ ОРБІТАЛЬНИЙ КУТОВИЙ МОМЕНТ Виконав: студент ІІ курсу магістратури, групи РР-61 спеціальності 105 Прикладна фізика та наноматеріали, освітньо-професійна програма «Радіофізика і електроніка» Олег ДЕМ’ЯНИК Керівник кандидат фізико‐математичних наук, доцент Вячеслав ХАРДІКОВ 2023 рік 2 РЕФЕРАТ Дем’яник О. Ю. Антена на основі графена для генерації хвиль, що переносять орбітальний кутовий момент. Дипломна робота. Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 2023. 55 с., 26 рис., 59 джерел. ОРБІТАЛЬНИЙ КУТОВИЙ МОМЕНТ, МІКРОСМУЖКОВІ ТА ДІЕЛЕКТРИЧНІ РЕЗОНАТОРНІ АНТЕНИ, МЕТАМАТЕРІАЛИ, НВЧ, ГРАФЕН. Об’єкт дослідження: орбітальний кутовий момент, що генерується в НВЧ області. Предмет дослідження: механізми генерації орбітального кутового моменту за допомогою мікросмужкових антенних пристроїв. Мета роботи: вивчення механізмів генерації орбітального кутового моменту за допомогою мікросмужкових антенних пристроїв. Методи дослідження: Метод скінченних елементів. Результати дослідження: Відтворено фазові та амплітудні розподіли електричного поля мікросмужкової резонаторної антени, що генерує орбітальний кутовий момент, доведено шляхом моделювання існування вихору різних топологічних порядків на одній резонансній частоті. Отримані результати можуть використовуватися в системах зв’язку та радіолокації. Також вивчення взаємодії вихрових хвиль із різними середовищами та об’єктами, дасть змогу розробити алгоритми для систем зв’язку та виявлення об’єктів. 3 ABSTRACT Demianyk Oleh. Graphene-based antenna for generating waves carrying orbital angular momentum. Magister diplom. V.N. Karazin Kharkiv National University, 2023. 55 p., 26 fig., 59 sources. ORBITAL ANGULAR MOMENTUM, MICROStrip AND DIELECTRIC RESONATOR ANTENNAS, METAMATERIALS, UHF, GRAPHENE. Object of research is orbital angular momentum generated in the microwave band. Research subjects are mechanisms of orbital angular momentum generation using microstrip antenna devices. The purpose of the work is study of the mechanisms of orbital angular momentum generation using microstrip antenna devices. Research methods is finite element method. Research results are following: • The phase and amplitude distributions of the electric field of the microstrip resonator antenna generating the orbital angular momentum were reproduced, and the existence of a vortex of different topological orders at the same resonant frequency was proven by modeling. • The obtained results can be used in communication and radar systems. Also, studying the interaction of vortex waves with various environments and objects will make it possible to develop algorithms for communication systems and object detection. 4 ЗМІСТ ПЕРЕЛІК СКОРОЧЕНЬ ТА УМОВНИХ ПОЗНАК ............................................... 5 ВСТУП ...................................................................................................................... 6 1. МІКРОСМУЖКОВА КІЛЬЦЕВА РЕЗОНАТОРНА АНТЕНА ..................... 8 1.1. Орбітальний кутовий момент (OКM) .................................................... 8 1.2. Теоретичне формулювання .................................................................. 10 1.3. Конструктивні особливості та геометрія мікросмужкового кільцевого резонатора ..................................................................................................... 13 1.4. Моделювання проєкту та отримання експериментальних результатів .................................................................................................... 15 1.5. Висновки до розділу ............................................................................. 21 2. ПОВЕРХНЕВІ ПЛАЗМОН-ПОЛЯРИТОНИ ТА ДИСПЕРСІЯ НА ДВОВИМІРНИХ МАТЕРІАЛАХ (ГРАФЕН)....................................................... 23 2.1. Фізика графену ..................................................................................... 23 2.2. Поверхневі плазмон-поляритони ......................................................... 28 2.3. Дисперсія поверхневих плазмон-поляритонів .................................... 29 2.4. Довжина поширення та глибина проникнення ................................... 35 2.5. Способи збудження ППП ..................................................................... 36 2.5.1. Призмове введення ..................................................................... 36 2.5.2. Граткове введення ...................................................................... 37 2.6. Висновки до розділу ............................................................................. 38 3. МІКРОСМУЖКОВА КІЛЬЦЕВА РЕЗОНАТОРНА АНТЕНА НА ОСНОВІ ДВОВИМІРНОГО МАТЕРІАЛУ (ГРАФЕН) ....................................................... 40 3.1. Актуальність і новизна мікросмужкових антен, що працюють в ТГц діапазоні ........................................................................................................ 40 3.2. Моделювання антени на основі графену ............................................ 41 3.3. Висновки до розділу ............................................................................. 45 ВИСНОВКИ ........................................................................................................... 48 ЛІТЕРАТУРА ......................................................................................................... 50 5 ПЕРЕЛІК СКОРОЧЕНЬ ТА УМОВНИХ ПОЗНАК ОКМ орбітальний кутовий момент РЧ радіочастотний діапазон НВЧ надвисокочастотний діапазон ППП поверхневий плазмон-поляритон 6 ВСТУП З теорії Максвелла добре відомо, що електромагнітні хвилі несуть як лінійний, так і кутовий момент. Орбітальний кутовий момент (ОКМ) – це компонент кутового моменту, що визначає просторовий розподіл поля [1]. У радіочастотній (РЧ) та надвисокочастотній (НВЧ) областях, застосування хвиль з OКM вперше було запропоновано для покращення продуктивності систем бездротового зв’язку, де OКM можна використовувати для збільшення пропускної здатності каналу та зменшення перехресних перешкод [2-5]. Очікується, що технології, які базуються на використанні ОКМ хвиль, увійдуть у стандарти комунікаційних систем шостого покоління (6G) [6]. Сьогодні використання вихрових хвиль у системах зв’язку і радіолокаційних системах знаходиться на ранній стадії впровадження. Тому так важливо розробити математичні методи та засоби моделювання, робочі зразки та методики їх тестування, апаратне та програмне забезпечення для систем на основі OКM. Існуючі оптичні лазерні системи можуть забезпечувати схеми для керування променями OКM, такі як комбінування, розщеплення, колімація, концентрація та детектування. У РЧ та НВЧ областях важко здійснювати такі маніпуляції з OКM хвилями, оскільки відповідні антенні систем є менш ефективними за лазерні системі. Тому для застосунків у РЧ та НВЧ областях, для забезпечення оптимальної продуктивності всієї системи, дуже важливим є правильний вибір методу генерації хвиль з OКM та їх мультиплексування/демультиплексування. На даний момент у РЧ та НВЧ областях запропоновано різні конструкції антен для генерації хвиль з OКM [7-13], що включають також мікросмужкові та діелектричні резонаторні антени [14-18] та метаматеріали [19]. У бездротових системах зв'язку зазвичай використовуються мікросмужкові резонаторні антени (патч-антени). Зручність цих антен полягає в їх простоті виготовлення, низькій вартості, компактному розмірі та низьких втратах на випромінювання. Через 7 невеликі розміри та вузьку смугу пропускання окремі патч-елементи часто проектуються у великі скануючі масиви, що робить такі антени дуже ефективними. Порівняно з резонаторами, що мають простішу геометрію (наприклад, прямокутні або еліптичні ділянки), антени на основі мікросмужкових кільцевих резонаторів більш привабливі при реалізації складних систем. Такі резонатори в поєднанні з іншими елементами можуть бути частиною компактної багатодіапазонної антенної системи з фіксованим розміром апертури. Проте всі ці методи мають як переваги, так і недоліки, які значно звужують спектр їхніх практичних застосувань. Це все вказує на довгий шлях до досягнення впровадження систем зв’язку із застосуванням хвиль із OКM. Метою цієї роботи було повторення та підтвердження результатів [20] з проєктування конструкції антени для генерації кількох променів, що несуть OКM з різними топологічними станами на одній частоті. Запропонований генератор ОКМ заснований на компактному наборі мікросмужкових кільцевих резонаторів. Для теоретичних розрахунків та моделювання антени, що випромінює OКM були використані: програмний пакет для моделювання електродинамічних структур COMSOL Multiphysics, а також програмне середовище MATLAB для математичних та теоретичних розрахунків амплітудних та фазових розподілів полів при генерації ОКМ. Отримані результати доводять, що запропоновану антену можна використовувати як компактний і недорогий генератор багатьох променів з різними станами OКM. Наступним етапом було масштабування отриманого дизайну в ТГц спектральний діапазон шляхом заміни металічних елементів такими, що вироблені з графену. Результатом цього стало розроблення антени на основі графену для генерації хвиль, що несуть ОКМ. 8 1. МІКРОСМУЖКОВА КІЛЬЦЕВА РЕЗОНАТОРНА АНТЕНА Загальновідомо, що електромагнітна (EM) хвиля, що несе орбітальний кутовий момент (OКM), має гвинтову фазову структуру 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗, де l — топологічний заряд стану OКM, а φ — поперечний азимутальний кут. Теоретично OКM має нескінченну кількість станів, і кожен стан є ортогональним один одному [34-35], що демонструє великий потенціал для розширення можливостей системи зв’язку. OКM хвилі досліджували переважно в оптичному режимі. Останнім часом застосування OКM у радіочастотній області поступово стало важливою темою. Існує кілька способів генерації радіочастотних хвиль OКM, серед яких поширеним підходом є використання антенних решіток із послідовним фазовим зсувом [36 - 46]. Для випромінювання радіохвиль OКM використовують мікросмужкову антену з круговою поляризацією. Крім того, було продемонстровано, що кругові щілинні антени біжучої хвилі також генерують хвилі OКM, а ще ультратонка спіральна фазова пластина, спіральна параболічна антена, циліндрична діелектрична резонаторна антена, і рупорна лінзова антена також вважаються важливими засобами генерації радіохвилі OКM. 1.1 Орбітальний кутовий момент (OКM) Орбітальний кутовий момент світла (ОКМ) — складова моменту імпульсу світлового променя, яка залежить від просторового розподілу поля, а не від поляризації. Промінь світла несе лінійний момент імпульсу 𝑷𝑷, і, отже, йому також можна приписати кутовий момент 𝑳𝑳 = 𝒓𝒓 × 𝑷𝑷 [59]. Найпростішим прикладом світлового променя, що несе OКM, є промінь із фазою в поперечній площині 𝜑𝜑(𝑟𝑟,𝜑𝜑) = 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖 де 𝜙𝜙 — кутова координата, а 𝑙𝑙 може бути будь-яким цілим значенням, додатним або від’ємним. Як показано на 9 Рис. 1.1, такі пучки мають гвинтові фазові фронти з кількістю переплетених спіралей і напрямленістю залежно від величини і знака 𝑙𝑙 відповідно. Відразу видно, що поперечне до цих фазових фронтів електромагнітне поле має осьові складові. Вектор Пойнтінга, який весь час паралельний нормалі до поверхні цих фазових фронтів, має азимутальний компонент навколо променя і, отже, момент імпульсу вздовж осі променя[58]. Рис. 1.1 - Гвинтові фазові фронти для (а) 𝑙𝑙 = 0, (b) 𝑙𝑙 = 1, (c) 𝑙𝑙 = 2, (d) 𝑙𝑙 = 3. На Рис. 1.2 перший стовпець – оптичний розподіл фази в поперечному перерізі пучка. Другий стовпець — розподіл інтенсивності світла в поперечному перерізі променя (з темним ядром вихру в центрі). Гвинтові моди характеризуються цілим числом 𝑚𝑚, позитивним або негативним. Якщо 𝑚𝑚 = 0, мода не є гвинтовою, а хвильові фронти являють собою кілька роз’єднаних поверхонь, наприклад, послідовність паралельних площин (від чого й назва «плоска хвиля»). Якщо 𝑚𝑚 = ±1, напрямок визначається знаком 𝑚𝑚, хвильовий фронт має форму однієї гвинтової поверхні з довжиною кроку, що дорівнює довжині хвилі. Якщо |𝑚𝑚| ≥ 2, хвильовий фронт складається з |𝑚𝑚| різних, але переплетених спіралей, довжина кроку кожної 10 поверхні спіралі дорівнює |𝑚𝑚|𝜆𝜆 і напрямок заданий знаком. Ціле число 𝑚𝑚 також є так званим «топологічним зарядом» оптичного вихору[59]. Рис. 1.2 - Перший стовпець – оптичний розподіл фази в поперечному перерізі пучка. Другий стовпець — розподіл інтенсивності світла в поперечному перерізі променя. 1.2 Теоретичне формулювання В цьому розділі буде показано етапи відтворення результатів, що були описані в [20], для підтвердження результатів були отримані фазові діаграми та профілі амплітуди антени, які підтверджують, що антена може генерувати хвилі OКM різного порядку та спіральності. Отримані результати свідчать про можливість використання запропонованої антени як малогабаритного та недорогого випромінювача, здатного працювати в режимі OКM на кількох несучих частотах. Розглянемо антену, що складається з мікросмужкового кільцевого ідеально провідного резонатора з шириною 𝑤𝑤, розміщеного у верхній площині діелектричної підкладки із заземленою площиною (ЗП) на нижній стороні (Рис. 1.3). Середній радіус резонатора становить 𝑅𝑅 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)/2, де 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏 радіуси внутрішнього і зовнішнього країв кільця відповідно. Підкладка має товщину ℎ і виготовлена з матеріалу з відносною діелектричною проникністю 𝜀𝜀𝑟𝑟. У зв’язку з азимутальною симетрією досліджуваної антени ми використовуємо 11 циліндричну полярну систему координат (𝜌𝜌,𝜑𝜑, 𝑧𝑧), припускаючи, що вісь симетрії антени збігається з віссю 𝑧𝑧 системи координат. Для оптично тонкої підкладки (ℎ ≪ 𝜆𝜆, де 𝜆𝜆 – довжина хвилі всередині підкладки) можна повністю знехтувати змінами поля вздовж осі 𝑧𝑧, що відповідає прояву мод 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚 на кільці. (тут 𝐸𝐸𝜌𝜌 = 𝐸𝐸𝑗𝑗 = 𝐸𝐸𝑧𝑧 = 0, а 𝑚𝑚 і 𝑛𝑛 – індекси азимутальної та радіальної мод відповідно). Рис. 1.3 - Схематичне зображення мікросмужкової кільцевої резонаторної антени в декартовій (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) , та полярній (𝜌𝜌,𝜑𝜑, 𝑧𝑧) , системах координат, де 𝑟𝑟 – відстань від початку системи координат до точки спостереження 𝑃𝑃 і кут 𝜃𝜃 вимірюється від осі 𝑧𝑧, 𝑤𝑤 – ширина мікросмужки. 𝑅𝑅 - середній радіус 𝑎𝑎 і 𝑏𝑏 радіуси внутрішнього і зовнішнього країв кільця. Підкладка має товщину ℎ і виготовлена з матеріалу з відносною діелектричною проникністю 𝜀𝜀𝑟𝑟. Розв’язок рівнянь Максвелла для мод 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚 можна записати так: 𝐸𝐸𝑧𝑧 = 𝐸𝐸0[𝐽𝐽𝑚𝑚(𝑘𝑘𝜌𝜌)𝑌𝑌𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑎𝑎) − 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑎𝑎)𝑌𝑌𝑚𝑚(𝑘𝑘𝜌𝜌)]cos (𝑚𝑚𝜑𝜑), (1.1) 𝐻𝐻𝜌𝜌 = 𝑗𝑗 𝜔𝜔𝜔𝜔𝜌𝜌 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑧𝑧 𝜕𝜕𝑗𝑗 , 𝐻𝐻𝑗𝑗 = − 𝑗𝑗 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝜕𝜕𝐸𝐸𝑧𝑧 𝜕𝜕𝜌𝜌 , (1.2) де 𝐸𝐸0 – початкова амплітуда, 𝑘𝑘 = √𝜀𝜀𝑟𝑟𝑘𝑘0 – хвильове число в підкладці, 𝐽𝐽𝑚𝑚(∗) і 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (∗) – це функція Бесселя першого роду та її похідна за аргументом функції, а 𝑌𝑌𝑚𝑚(∗) і 𝑌𝑌𝑚𝑚′ (∗) є функція Бесселя другого роду та її похідна відповідно. Поверхневий струм на поверхні металічного кільця становить: 12 𝐼𝐼𝑠𝑠��⃗ = − 𝑧𝑧 × 𝐻𝐻��⃗ = − 𝜑𝜑�𝐻𝐻𝜌𝜌 + 𝜌𝜌�𝐻𝐻𝑗𝑗. (1.3) Радіальна складова поверхневого струму 𝐼𝐼𝑠𝑠 повинна обертатися в нуль уздовж країв 𝐼𝐼𝑠𝑠(𝜌𝜌 = 𝑏𝑏) = 𝐻𝐻𝑗𝑗(𝜌𝜌 = 𝑏𝑏) = 0. Таким чином, характеристичне рівняння для резонансних мод 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚, що випливає з граничних умов, є: 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑏𝑏)𝑌𝑌𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑎𝑎) − 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑎𝑎)𝑌𝑌𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑏𝑏) = 0. (1.4) У наближенні нульового порядку резонансна частота 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚 отримується встановленням: 𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎 = 𝜈𝜈𝑚𝑚𝑚𝑚, (1.5) де 𝜈𝜈𝑚𝑚𝑚𝑚 корінь трансцендентного рівняння 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝜈𝜈𝑚𝑚𝑚𝑚)𝑌𝑌𝑚𝑚′ (𝜈𝜈𝑚𝑚𝑚𝑚𝑏𝑏/𝑎𝑎) − 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝜈𝜈𝑚𝑚𝑚𝑚𝑏𝑏/𝑎𝑎)𝑌𝑌𝑚𝑚′ (𝜈𝜈𝑚𝑚𝑚𝑚). Тому рівняння (1.5) можна використовувати для визначення відповідного радіуса круглого кільцевого резонатора для вибраної резонансної (робочої) частоти 𝑓𝑓𝑟𝑟. Аналітичні співвідношення для полів випромінювання мікросмужкової кільцевої резонаторної антени отримано з підходу магнітного струму наступним чином (розгляд опущений тут і може бути знайдений в іншому місці [21]): 𝐸𝐸𝜃𝜃(𝜑𝜑, 𝜃𝜃) = 𝜁𝜁 �𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘0𝑎𝑎 sin 𝜃𝜃 ) − 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎 ) 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑏𝑏 ) 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘0𝑏𝑏 sin 𝜃𝜃 ) � cos (𝑚𝑚𝜑𝜑), (1.6) 𝐸𝐸𝑗𝑗(𝜑𝜑, 𝜃𝜃) = −𝑚𝑚 𝜁𝜁 �𝐽𝐽𝑚𝑚(𝑘𝑘0𝑎𝑎 sin 𝜃𝜃 ) 𝑘𝑘0𝑎𝑎 sin 𝜃𝜃 − 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎 ) 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑏𝑏 ) 𝐽𝐽𝑚𝑚′ (𝑘𝑘0𝑏𝑏 sin𝜃𝜃) 𝑘𝑘0𝑏𝑏 sin𝜃𝜃 � sin(𝑚𝑚𝜑𝜑)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 (1.7) де 𝜁𝜁 = 𝑗𝑗𝑚𝑚 2𝐸𝐸0 𝜋𝜋𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑘𝑘0𝑟𝑟 𝑟𝑟 𝑘𝑘0𝑤𝑤 (1.8) і 𝑟𝑟 – відстань від початку системи координат до точки спостереження 𝑃𝑃, як показано на Рис. 1.1 При отриманні рівнянь (1.6) і (1.7) наявність заземленої площини враховується з використанням теорії зображення, яка подвоює еквівалентну щільність магнітного струму. Вплив підкладки на випромінювані поля можна врахувати за допомогою коригувальних коефіцієнтів 𝐹𝐹𝐸𝐸(𝜃𝜃) і 𝐹𝐹𝐻𝐻(𝜃𝜃) як для E-площини (при 𝜑𝜑 = 0° ) так і 13 для H-площини (при 𝜑𝜑 = 90° ) шаблонів , відповідно. Ці фактори: 𝐹𝐹𝐸𝐸(𝜃𝜃) = ξ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 ξ−jεr𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃cot (𝑘𝑘0𝑤𝑤ξ) , 𝐹𝐹𝐻𝐻(𝜃𝜃) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜃𝜃−jεrcot (𝑘𝑘0𝑤𝑤ξ) (1.9) де ξ = �εr − sin2 𝜃𝜃. Загальне електричне поле, що випромінюється мікросмужковою кільцевою резонаторною антеною з подвійним збудженням може бути отримано таким чином [22]: � 𝐸𝐸𝜃𝜃(𝜑𝜑,𝜃𝜃) = 𝐸𝐸𝜃𝜃 (1)(𝜑𝜑, 𝜃𝜃) + 𝑗𝑗𝐸𝐸𝜃𝜃 (2)(𝜓𝜓,𝜃𝜃) 𝐸𝐸𝑗𝑗(𝜑𝜑, 𝜃𝜃) = 𝐸𝐸𝑗𝑗 (1)(𝜑𝜑, 𝜃𝜃) + 𝑗𝑗𝐸𝐸𝑗𝑗 (2)(𝜓𝜓, 𝜃𝜃) (1.10) де 𝜓𝜓 = 𝜑𝜑 + 𝑎𝑎 , верхні індекси (1) і (2) позначають два коаксіальні зонди з кутовою відстанню 𝛼𝛼 між ними та з їхніми індивідуальними полями, заданими рівняннями (1.6) і (1.7). Компонент 𝐸𝐸𝑧𝑧 повного випромінюваного електричного поля в декартових координатах можна отримати з рівняння (10) виконання стандартних перетворень координат [23]: 𝐸𝐸𝑧𝑧(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝐸𝐸𝜌𝜌(𝜑𝜑, 𝜃𝜃) cos(𝜃𝜃) − 𝐸𝐸𝜃𝜃(𝜑𝜑,𝜃𝜃) sin(𝜃𝜃). (1.11) Зокрема, у площині 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 (при 𝜃𝜃 = 90°) маємо 𝐸𝐸𝑧𝑧(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −𝐸𝐸𝜃𝜃(𝜑𝜑, 𝜃𝜃). 1.3 Конструктивні особливості та геометрія мікросмужкового кільцевого резонатора Базуючись на описаному в [20] принципі генерування мікросмужковим кільцевим резонатором променя, що несе OКM, мета даної частини проєкта полягає в моделюванні антени, що одночасно генерує кілька променів з різними топологічними станами на одній частоті, в середовищі COMSOL. Відповідно до [20] для характеристики антени та дослідження її характеристик було вибрано мікрохвильову частину спектру (1 − 10 ГГц). Також, було відтворено конструкцію антени, яка може одночасно генерувати чотири промені з різними топологічними станами на одній резонансній частоті 𝑓𝑓𝑟𝑟 (Рис. 1.4). На першому 14 етапі фіксується резонансна частота 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 4.0 ГГц і аналітично визначаються всі геометричні параметри антени. На другому етапі, чисельно та експериментально характеризується антена на вибраній резонансній частоті. Рис. 1.4 - Топологія антени, виконаної у вигляді мікросмужкових концентричних кільцевих резонаторів. Ескіз антени, виконаної у вигляді 𝑁𝑁 = 4 мікросмужкових концентричних круглих кільцевих резонаторів, Позиції коаксіальних зондів (CP) позначені точками. Тут робоча частота 𝑓𝑓𝑟𝑟 становить 4 ГГц, а геометричні параметри антени: 𝐴𝐴 = 43 мм, 𝑅𝑅1 = 8,71 мм, 𝑅𝑅2 = 17,42 мм, 𝑅𝑅3 = 26,13 мм, 𝑅𝑅4 = 34,84 мм. Ширина смужок на верхній стороні та відстань між металізацією на нижній стороні антени становлять 𝑤𝑤 = 2,16 мм і 𝑤𝑤𝑔𝑔 = 0,4 мм відповідно. Така ширина смужок забезпечує характерний повний опір 𝑍𝑍𝑤𝑤 = 50 Ом мікросмужкової лінії. Підкладка виготовлена з пластини «Rogers RT/duroid 5880» з відносною діелектричною проникністю 𝜀𝜀 = 2,2 і товщиною ℎ = 0.787 мм. Ескіз прототипу антени представлені на Рис. 1.4. Антена складається з набору мікросмужкових кільцевих резонаторів, що мають однакову ширину і різні середні радіуси. На нижній стороні підкладки нанесено кілька кілець, які розділені концентричними проміжками. Це зроблено для того, щоб при збудженні, наприклад, першого кільця інші три не впливали на його результуюче поле. Таким чином, окремі кільцеподібні резонатори стають 15 електрично ізольованими один від одного завдяки цим кільцевим проміжками на площині заземлення. Для живлення кожного з кільцевих резонаторів антени використовується схема з двома коаксіальними зондами. Ці зонди є внутрішніми контактами роз’ємів SMA, які припаюються до металізації кільця, коли вони проходять через підкладку. Для отримання рівних амплітуд і різниць фаз на двох коаксіальних пробниках розроблений дільник потужності 3 дБ. Практична реалізація цього дільника потужності представлена на Рис. 1.5. Рис. 1.5 - Дільник потужності. 1.4 Моделювання проєкту та отримання експериментальних результатів Оскільки геометричні параметри антени задовольняють наступним умовам: ℎ ≪ 2𝑅𝑅𝑚𝑚, то поля в окремому кільцевому резонаторі можна розглядати в одномодовому наближенні, коли резонатор працює на певному режимі 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚1 ( тобто моди вищого порядку з n > 1 виключаються з розгляду). Щоб перевірити застосовність цього наближення, на Рис. 1.6 показано аналітично отримані (за допомогою MATLAB), та на Рис. 1.7 чисельно змодельовані (COMSOL) результати для електричних полів мод TM11, TM21, TM31 і TM41, що виникають на одній частоті в резонаторах з різними радіусами. 16 Можна побачити, що картини електричного поля, отримані аналітично та чисельно, добре збігаються, що підтверджує правильність використаної одномодової апроксимації. В роботі [24] було показано, що хвилі ОКМ можна генерувати на основі кругових біжучих хвиль. Зокрема, такі хвилі може генерувати мікросмужкова кільцеподібна резонаторна антена, що працює в режимі 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚 [25]. Вона випромінює кругло поляризовану хвилю, коли дві взаємно ортогональні вироджені моди 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚 з відносним зсувом фази 𝜋𝜋/2 збуджуються на кільці. У схемі два коаксіальні зонди [26] зонди збуджуються з однаковою амплітудою та відносним зсувом фази 𝜋𝜋/2, для збудження двох взаємно ортогональних мод 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚1 на кільцевому резонаторі [27, 28, 29]. Рис. 1.6 - Аналітичні (верхній ряд) та змодельовані (нижній ряд) моделі електричного поля (𝐸𝐸𝑧𝑧-компонент) для режиму (a) TM11, (b) TM21, (c) TM31 і (d) TM41 мікросмужкових кільцевих резонаторів резонансна частота 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 4,0 ГГц. Коли збуджуються дві взаємно ортогональні моди 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚1, поверхневий струм на кільці створює кругову електромагнітну хвилю, яка може переносити ОКМ. Правильну кутову відстань 𝛼𝛼𝑚𝑚 між двома коаксіальними зондами, розташованими на кільці, можна визначити з наступної умови [26]: один коаксіальний зонд завжди розташований у зоні нульового поля іншого зонда, 17 таким чином спричиняючи незначний взаємний зв’язок між зондами. Цей інтервал індивідуальний для кожного режиму роботи, де виконується умова 𝛼𝛼𝑚𝑚 = 𝜋𝜋 2𝑚𝑚 . Крім того, якщо 𝑚𝑚 є непарним числом, можна встановити той самий кут 𝛼𝛼𝑚𝑚 = 𝜋𝜋 2 . Правильність визначених положень коаксіальних зондів, придатних для генерації ОКМ, можна перевірити, розглянувши моделювання для режимів кількох окремих кільцевих резонаторів, представлених на Рис. 1.4. У цьому моделюванні ми зафіксували такі ж кутові відстані між відповідними коаксіальними зондами, як і автори статті [20], а саме: 𝛼𝛼1 = 𝛼𝛼3 = 𝜋𝜋 2 , 𝛼𝛼2 = 𝜋𝜋 4 , 𝛼𝛼4 = 𝜋𝜋 8 . На Рис. 1.6 та Рис. 1.7 можна побачити результати аналітичного аналізу для кількох мод OКM електромагнітного поля, що випромінюється антеною. Ці дані представлені у вигляді миттєвої фази та амплітуди 𝐄𝐄, розподіли електричного поля, зображені в площині 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 вибраної системи координат. Ці дані зібрані в результаті аналітичних і чисельних розрахунків. Можна бачити, що існує узгодженість між результатами аналітичної моделі та чисельного моделювання. Варто сказати, що існує два альтернативних методу класифікації режимів OКM. Різниця полягає в тому, що розрахунок варіацій фази для режимів OКM може бути здійснений з урахуванням поперечної (𝐸𝐸𝑥𝑥𝑥𝑥 ) [30,31] або поздовжньої (𝐸𝐸𝑧𝑧) [27, 28] складової електричне поле (з Рис. 1.7 можна легко побачити, що для цих двох класифікацій порядок мод буде відрізнятися на одиницю відповідно до кількості варіацій фази для компонентів 𝐸𝐸𝑥𝑥𝑥𝑥, і 𝐸𝐸𝑧𝑧). Оскільки в авторів статті є можливість використовувати експериментальну установку, вони мають можливість вимірювати як фазу, так і амплітуду компонента 𝐸𝐸𝑧𝑧 електричного поля, і з цієї інформації ми можемо знати, що виконується класифікація мод OКM, припускаючи, що індекс азимутальної моди 𝑚𝑚 дорівнює абсолютному значенню топологічного номер заряду |𝑙𝑙| відповідного стану OAM. Таким чином, з моди 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚1 кільцевого резонатора виходить промінь, що несе ОАМ з топологічним станом 𝑙𝑙 = ±𝑚𝑚. 18 Рис. 1.7 - Аналітичні та числові дані фазового розподілу електричного поля випромінюваних хвиль OКM з різними числами топологічного заряду : (a) 𝑙𝑙 = 1(𝑚𝑚 = 1), (b) 𝑙𝑙 = 2(𝑚𝑚 = 2), (c) 𝑙𝑙 = −3(𝑚𝑚 = 3), (d) 𝑙𝑙 = 4(𝑚𝑚 = 4), для антени, що працює на фіксованій частоті 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 4 ГГц. 19 Рис. 1.8 - Аналітичні та числові дані амплітудного розподілу електричного поля випромінюваних хвиль OКM з різними числами топологічного заряду : (a) 𝑙𝑙 = 1(𝑚𝑚 = 1), (b) 𝑙𝑙 = 2(𝑚𝑚 = 2), (c) 𝑙𝑙 = −3(𝑚𝑚 = 3), (d) 𝑙𝑙 = 4(𝑚𝑚 = 4), для антени, що працює на фіксованій частоті 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 4 ГГц. Отримані результати показують, що для мод, що випромінюються, центр вихору точно вирівняний уздовж напрямку поширення електромагнітної хвилі 20 (напрямок +𝑧𝑧), де розподіл амплітуди в площині спостереження є порожнистим. Площа порожнистої області для мод OКM (вихрове ядро) збільшується зі збільшенням числа топологічного заряду, що є добре відомою особливістю вихрових пучків [51]. Двовимірні діаграми електричного поля доповнюються тривимірними діаграмами випромінювання в дальньому полі та їх поперечними перерізами, нанесеними на E-площину та H-площину, як показано на Рис. 1.9. Рис. 1.9 - Діаграми спрямованості дальнього поля (верхній ряд) та їх перерізи (нижній ряд) в E-площині для випромінюваних хвиль OКM з числами топологічного заряду, (a) 𝑙𝑙 = 1(𝑚𝑚 = 1), (b) 𝑙𝑙 = 2(𝑚𝑚 = 2), (c) 𝑙𝑙 = −3(𝑚𝑚 = 3), (d) 𝑙𝑙 = 4(𝑚𝑚 = 4), для антени, що працює на фіксованій частоті 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 4 ГГц. У представлених візерунках є деякі особливості. Для режиму OКM з 𝑙𝑙 = 1 максимум випромінювання точно збігається з напрямком осі +𝑧𝑧 [Рис. 1.9 (a)], тоді як западина на осі пучка не існує. Це означає, що поле не має властивостей OКM, що узгоджується з результатами, опублікованими раніше [15]. 21 Рис. 1.10 - Спіральна структура променя при одночасному збудженні кількох резонаторів. Також видно, що при одночасному збудженні кількох резонаторів [Рис. 1.8] спіральна структура променя зберігається, що може бути використано для реалізації мультиплексного стану. Зокрема, моди ОКM з різними топологічними зарядовими числами 𝑙𝑙 є взаємно ортогональними, що дозволяє їх мультиплексувати разом і передавати вздовж однієї просторової осі, а потім демультиплексувати. Таким чином, шляхом одночасного збудження кількох резонаторів дана антена може генерувати кілька режимів OКM з різними станами 𝑙𝑙 на одній несучій частоті 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 4 ГГц. 1.5 Висновки до розділу Було повторено результати авторів статті [20] де розглядалась мікрохвильова антена на основі компактного набору мікросмужкових кільцевих резонаторів, що несе промінь з ОКМ. Отримано аналітичне рішення для випромінюваного поля однієї резонаторної антени за допомогою моделі резонатора та підходу магнітного струму. Для перевірки теоретичного опису виконано чисельне моделювання для генератора OКM фактичного розміру за допомогою програмного пакету для моделювання електродинамічних структур COMSOL Multiphysics. Показано виміряні фазові діаграми та амплітудні 22 профілі антени, які підтверджують, що антена може генерувати хвилі OКM з різним порядком і спіральністю. Результати свідчать про можливість використання запропонованої антени як малогабаритного та недорогого генератора, здатного працювати в режимі OКM на кількох несучих частотах. В наступних розділах буде показано, що шляхом подальшої модифікації конструкції можна реалізувати антену виготовлену з нових 2D матеріалів, таких як графен, для роботи в терагерцовому (ТГц) діапазоні для генерування композитних променів OКM. 23 2 ПОВЕРХНЕВІ ПЛАЗМОН-ПОЛЯРИТОНИ ТА ДИСПЕРСІЯ НА ДВОВИМІРНИХ МАТЕРІАЛАХ (ГРАФЕН) Ми вибрали моделювання антени на основі графену тому що він у ТГц діапазоні забезпечує розповсюдження поверхневого плазмону з низькими втратами, що призводить до менших втрат, ніж металеві ТГц антени і тому для того щоб описувати роботу антени на основі компактного набору мікросмужкових кільцевих резонаторів, що виготовлена з графену необхідно спочатку надати необхідні відомості щодо його фізики та таких понять як поверхневий плазмонний поляритон (ППП) та дисперсія ППП, так як графен може підтримувати ППП, бо він з високою провідністю поводиться як метали. 2.1. Фізика графену Графен – двовимірний матеріал, одна з алотропних форм вуглецю, моноатомний шар атомів вуглецю із гексагональною структурою. Він викликав величезний інтерес у дослідженнях і застосуванні з моменту його експериментального відкриття близько двох десятиліть тому. Серед найбiльш вражаючих властивостей графену можна, насамперед, вiдзначити те, що вiн наймiцнiший серед вiдомих кристалiчних речовин, його теплопровiднiсть на порядок вища за теплопровiднiсть мiдi, а електрони у графенi бiльш чутливi до прикладеного електричного поля нiж у всiх вiдомих напiвпровiдниках. Причому – i це теж вельми важливо – його електроннi властивостi мають глибокi аналогiї з фiзикою елементарних частинок i квантовою теорiєю поля. Серед різноманітних застосувань перспективною сферою є електрооптичні пристрої на основі графену, такі як фотодетектори, фотодіоди та метаматеріали [54]. 24 З теоретичного погляду, одношарова стiльникова структура графена, робить його “прабатьком” майже усiх сполук, що базуються на вуглецi i мають хiмiчнi зв’язки, близькi до sp2 (Рис. 2.1): графiт – це фактично стос великої кiлькостi шарiв графену; вуглецевi нанотрубки є утв реннями зi згорнутого у рулони рiзного дiаметру одного чи декiлькох шарiв графену; фулерени – нiщо iнше, нiж нанорозмiрнi сфероподiбнi молекули, поверхня яких також фактично складається з графенових площин. Усi цi алотропнi форми вуглецю були винайденi i непогано вивченi набагато ранiше за графен, але теоретичне розумiння бiльшостi їх електричних, магнiтних та механiчних властивостей базується на розумiннi вiдповiдних властивостей графену, який як суто теоретичний об’єкт дослiджувався набагато ранiше свого фактичного створення[54]. Рис. 2.1- Графен, графiт, вуглецева нанотрубка, фулерен [54]. Переважна бiльшiсть унiкальних властивостей графену виникає з поведiнки в ньому електронiв. У цьому випадку їх рух в стiльниковiй гратцi 25 призводить до того, що в кристалi виникає двi зони 𝜋𝜋 i 𝜋𝜋′ – валентна зона i зона провiдностi, вiдповiдно (Рис. 2.2). Рис. 2.2 - Зонна структура графену та формування конусу Дiрака. Показанi напрями хвильового вектору 𝑘𝑘 в площинi, та положення рiвня Фермi 𝜀𝜀𝐹𝐹 в точках 𝐾𝐾 перетину, або змикання. Цi зони заповнюються вiльними 𝜋𝜋-електронами, якi у вiдповiдностi до принципу Паулi, повиннi вiдрiзнятися величиною хвильового вектора i двома значеннями проекцiї спiну. Оскiльки кiлькiсть станiв у кожнiй зонi дорiвнює кiлькостi електронiв, валентна зона виявляється заповненою повнiстю, в той час як зона провiдностi залишається пустою. Рiвень Фермi 𝜀𝜀𝐹𝐹, як видно з Рис. 2.2, розташовується в точках 𝐾𝐾, що отримали назву дiракiвських. Закон дисперсiї 𝜀𝜀(𝑘𝑘) в околi цих точок у графенi виявляється лiнiйним: 𝜀𝜀(𝑘𝑘) = ±ℎ𝑣𝑣𝑓𝑓|𝑘𝑘|, де нахил дiракiвських конусiв задається швидкiстю Фермi 𝑣𝑣𝑓𝑓 ℎ = ℎ 2𝜋𝜋 , де ℎ – стала Планка). Далі потрібно зробити опис графену у моделi на гратцi. Вершини стiльникової структури не утворюють гратку Браве (Гратками або системою трансляцій Браве називається набір елементарних трансляцій або трансляційна група, якими можуть бути отримані всі нескінченні кристалічні гратки. Усі кристалічні структури описуються 14 гратками Браве, кількість яких 26 обмежується симетрією), але така структура може бути описана у термiнах двох трикутних пiдграток Браве, A та B . Елементарна комiрка мiстить два атоми типiв A i B. Показанi вектори 𝑎𝑎1 = 𝑎𝑎 �1 2 , √3 2 � ,𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎 �1 2 ,− √3 2 � (2.1) є примiтивними трансляцiями, де постiйна гратки 𝑎𝑎 = |𝑎𝑎1| = |𝑎𝑎2| = √3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 де 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 є вiдстанню мiж найближчими атомами вуглецю. Вiдповiднi вектори оберненої гратки 𝑏𝑏1 = 2𝜋𝜋 𝑎𝑎 (1, 1 √3 ) та 𝑏𝑏2 = 2𝜋𝜋 𝑎𝑎 (1,− 1 √3 ) показанi на Рис. 2.3 (b) разом зi звичайною та розширеною зонами Брiллюена. Вектори оберненої гратки задовольняють умовi 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑏𝑏𝑗𝑗 = 2𝜋𝜋𝛿𝛿𝑖𝑖𝑗𝑗. Безумовно, розгляд зонної структури графена у рамках розширеної зони Брiллюена дає такi ж самi результати як i розгляд за допомогою гексакональної зони, але першою набагато зручнiше користуватися, оскiльки важливi K точки розташованi не по краях, а всерединi зони. Рис. 2.3 - (a) Гексагональна гратка графену сконструйована як суперпозицiя двох трикутних граток A i B, з базисними векторами 𝑎𝑎12 для гратки A i векторами 𝛿𝛿𝑖𝑖 з 𝑖𝑖 = 1,2,3, що з’єднують A з B. (b) Зелений гексагон – це зона Брiллюена та рожевий ромб – це розширена зона Брiллюена для стiльникової гратки. 𝑏𝑏1 i 𝑏𝑏2 – це вектори оберненої гратки. Також варто додати, що електричні заряди у графені поводяться як релятивістські частки з нульовою ефективною масою. Ці частинки, відомі як безмасові ферміони Дірака, описуються рівнянням Дірака. Зона провідності та 27 валентна зона графену змикаються, але не в центрі зони Брілюена, а в особливих точках на її краях. Цих точок шість, вони попарно еквівалентні, їх називають точками Дірака. Як наслідок, зони непараболічні, ефективна маса носіїв заряду дорівнює нулю. Наближене квантове рівняння руху, що описує електронні збудження в графені, має форму, схожу на релятивістське рівняння Дірака. Закон дисперсії поблизу точок Дірака задається рівнянням: 𝐸𝐸 = 𝑣𝑣𝐹𝐹�𝑘𝑘𝑥𝑥2 + 𝑘𝑘𝑥𝑥2 (2.2) де 𝑣𝑣𝐹𝐹 - швидкість Фермі, 𝑘𝑘 — модуль хвильового вектора у двовимірному просторі з компонентами 𝑘𝑘𝑥𝑥 , 𝑘𝑘𝑥𝑥, відрахованого від K або K' точок Дірака. Такого роду спектр має фотон, тому кажуть, що квазічастинки (електрони та дірки, енергія для яких виражається формулою (13) у графені мають нульову ефективну масу. Швидкість Фермі грає роль «ефективної» швидкості світла. Так як електрони і дірки - ферміони, то вони повинні описуватися рівнянням Дірака, але з нульовою масою частинок та античасток (аналогічно рівнянням для безмасових нейтрино). Далі, для того щоб описати явище провідності в графені, якому сприяють як електронні внутрішньозонні, так і міжзонні переходи використовується формула Кубо: 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑎𝑎 + 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝜎𝜎 (2.3) Для внутрішньозонних переходів: 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑎𝑎 = −𝑗𝑗2𝑒𝑒2𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 𝜋𝜋ℎ�𝜔𝜔−𝑗𝑗𝜏𝜏� (ln �2 cosh � 𝐸𝐸𝑓𝑓 2𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 ��) (2.4) Для міжзонних переходів: 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒𝑟𝑟 = 𝑒𝑒2 4ℎ (𝐻𝐻 �𝜔𝜔 2 � − 𝑗𝑗4𝜔𝜔 𝜋𝜋 �∫ 𝐻𝐻(𝛺𝛺)−𝐻𝐻�𝜔𝜔2� 𝜔𝜔2−4𝛺𝛺2 𝑖𝑖𝑚𝑚𝑓𝑓 0 𝑑𝑑𝑑𝑑�) (2.5) де 𝑘𝑘𝐵𝐵– стала Больцмана, ℎ – приведена стала Планка, 𝑒𝑒 – заряд електрона, 𝑇𝑇 – температура, 28 𝐸𝐸𝑓𝑓– енергія Фермі, 𝜏𝜏 – час релаксації, 𝜔𝜔 – кутова частота. Функція задана: H(𝑑𝑑) = sinh� ℎ𝛺𝛺𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 � cosh� ℎ𝛺𝛺𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 �+cosh� 𝐸𝐸𝑓𝑓 𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 � (2.6) Використовуючи формули (2.3-2.6) можна побудувати графіки провідності для моношару графену (Рис. 2.4). Рис. 2.4 - Графіки провідності для моношару графену. 2.2 Поверхневі плазмон-поляритони Електромагнітні хвилі, що поширюються, можуть існувати в різних формах, таких як плоскі хвилі, сферичні хвилі, пучки Гауса. Крім того, існує тип електромагнітної хвилі, що поширюється по дотичній до поверхні і експоненціально спадає в перпендикулярному напрямку. Його довжина хвилі часто менша порівняно з довжиною хвилі вільного простору на тій же частоті. 29 Існування цього типу хвиль було виявлено на межі розділу метал-діелектрик і має назву поверхневий плазмонний поляритон (ППП). 2.3 Дисперсія поверхневих плазмон-поляритонів По-перше, припустимо загалом гармонічну залежність електричного поля від часу: 𝑬𝑬 = 𝑬𝑬0𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝒌𝒌𝒓𝒓 (2.7) Потім нам потрібно визначити геометрію поширення. Для простоти ми припускаємо одновимірну задачу. Хвилі поширюються вздовж напрямку x декартової системи координат. Система має наступний вигляд: верхній напівпростір є діелектричним непоглинаючим середовищем (z > 0) з додатною реальною діелектричною проникністю 𝜀𝜀1 напівпростір є провідним напівпростором (z < 0), що описується за допомогою діелектричної функції 𝜀𝜀2. У нашому випадку для поверхневої електромагнітної хвилі площина z = 0 збігається з межею розділу середовищ. Описана система показана на Рис. 2.5. Рис. 2.5 - Геометрія для поширення SPP на одній межі між металом і діелектриком. Хвильовий вектор матиме такий вигляд: 𝒌𝒌 = (𝑘𝑘𝑥𝑥, 0, 𝑘𝑘𝑧𝑧). (2.8) 30 Наступним кроком є запис системи рівнянь Максвелла для векторів електричного та магнітного полів: ∇𝑬𝑬 = −1 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑩𝑩 𝑑𝑑𝑖𝑖 , ∇𝑯𝑯 = 1 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑫𝑫 𝑑𝑑𝑖𝑖 (2.9) Потім запишемо матеріальні рівняння для лінійного ізотропного середовища та запишемо рівняння Максвелла з урахуванням цих рівнянь: 𝐃𝐃 = 𝜀𝜀𝜀𝜀0𝐄𝐄 (2.10.a) 𝐁𝐁 = 𝜇𝜇𝜇𝜇0𝐇𝐇 (2.10.б) Рівняння для електричного і магнітного полів приймуть вигляд: ∇𝑬𝑬 = −𝜔𝜔𝜔𝜔0 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑯𝑯 𝑑𝑑𝑖𝑖 , ∇𝑯𝑯 = 𝜀𝜀𝜀𝜀0 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑬𝑬 𝑑𝑑𝑖𝑖 (2.11) Позбувшись залежності від часу, запишемо: 𝑬𝑬 = −𝑖𝑖𝒌𝒌0𝜇𝜇𝜇𝜇0𝑯𝑯 (2.12.а) 𝑯𝑯 = −𝑖𝑖𝒌𝒌0𝜀𝜀𝜀𝜀0𝑫𝑫 (2.12.б) Далі, знаючи вираз для ∇𝑬𝑬 та ∇𝑯𝑯 запишемо компоненти векторів електричного і магнітного полів та отримаємо шість скалярних рівнянь: � 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑧𝑧𝐻𝐻𝑥𝑥 = 𝑖𝑖𝑘𝑘0𝜀𝜀𝐸𝐸𝑥𝑥 −𝑖𝑖𝑘𝑘𝑥𝑥𝐻𝐻𝑥𝑥 = 𝑖𝑖𝑘𝑘0𝜀𝜀𝐸𝐸𝑧𝑧 −𝑖𝑖𝑘𝑘𝑥𝑥𝐸𝐸𝑧𝑧 − 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑧𝑧𝐸𝐸𝑥𝑥 = −𝑖𝑖𝑘𝑘0𝜇𝜇𝐻𝐻𝑥𝑥 (2.13.а) � −𝑖𝑖𝑘𝑘𝑧𝑧𝐸𝐸𝑥𝑥 = 𝑖𝑖𝑘𝑘0𝜇𝜇𝐻𝐻𝑥𝑥 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑥𝑥𝐸𝐸𝑥𝑥 = 𝑖𝑖𝑘𝑘0𝜇𝜇𝐻𝐻𝑧𝑧 −𝑖𝑖𝑘𝑘𝑥𝑥𝐻𝐻𝑧𝑧 − 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑧𝑧𝐻𝐻𝑥𝑥 = −𝑖𝑖𝑘𝑘0𝜀𝜀𝐸𝐸𝑥𝑥 (2.13.б) Загалом електромагнітні хвилі, що поширюються, можна розділити на TM (2.13.а) або TE (2.13.б) поляризацію залежно від того, перпендикулярно електричне чи магнітне поле до площини поширення. Розглянемо випадок TM– поляризації. Далі запишемо умову для електричного та магнітного полів на межі розділу між двома середовищами. Ми шукаємо рішення, які описують хвилі, що поширюються вздовж межі розділу двох середовищ і експоненційно 31 затухають при віддаленні від межі розділу. Таким чином, компонента 𝑘𝑘𝑧𝑧 повинна бути уявною і мати протилежний знак: 𝑘𝑘𝑧𝑧 = −𝑖𝑖𝑖𝑖. Запишемо граничні умови для векторів електричного та магнітного полів: ⎩ ⎨ ⎧ 𝐸𝐸1(𝑖𝑖𝑖𝑖1, 0,−𝑘𝑘𝑧𝑧)𝐴𝐴1 𝐻𝐻1(0, 𝑘𝑘0𝜀𝜀1, 0)𝐴𝐴1 𝐸𝐸2(−𝑖𝑖𝑖𝑖2, 0,−𝑘𝑘𝑧𝑧)𝐴𝐴2 𝐻𝐻2(0, 𝑘𝑘0𝜀𝜀2, 0)𝐴𝐴2 (2.14) де 𝐴𝐴12 – деякі комплексні амплітуди. Далі запишемо: � 𝐻𝐻𝑥𝑥1 = 𝐻𝐻𝑥𝑥2: 𝜀𝜀1𝐴𝐴1 = 𝜀𝜀2𝐴𝐴2 𝐸𝐸𝑥𝑥1 = 𝐸𝐸𝑥𝑥2: 𝑖𝑖1𝐴𝐴1 = −𝑖𝑖2𝐴𝐴2 (2.15) Тоді з умови неперервності тангенціальної складової електричного та магнітного полів на межі розділу середовищ запишемо: 𝜅𝜅1 𝜀𝜀1 = −𝜅𝜅2 𝜀𝜀2 (2.16) Порівнюючи 𝑘𝑘𝑧𝑧 = −𝑖𝑖𝑖𝑖 із співвідношенням (2.16), можна безпосередньо побачити, що це виконується, лише якщо діелектричні проникності двох матеріалів мають протилежний знак (тобто 𝜀𝜀1 = −𝜀𝜀2). Таким чином, поверхневі плазмони дійсно можуть існувати лише на межі розділу між металом (ε < 0) і діелектричним середовищем (ε > 0). Загалом, виходить система, яка складається з електромагнітної хвилі, що розповсюджується в діелектричному середовищі та коливальної електронної плазми в металі, де обидві моди мають експоненційно затухаючий характер (Рис. 2.6). Через такий складений характер поверхневі плазмони також називаються поверхневими плазмон-поляритони. Тепер нам потрібно написати рівняння для хвильових векторів у поперечному напрямку до межі середовища: 𝑖𝑖12 = �(𝑘𝑘𝑥𝑥2 − 𝜀𝜀12𝑘𝑘02) (2.17) Комбінуючи рівняння (2.16) і рівняння (2.17) ми приходимо до одного з центральних результатів у цьому розділі: співвідношення дисперсії ППП, що поширюється на межі розділу між двома півпросторами: 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 𝑘𝑘0� 𝜀𝜀1𝜀𝜀2 𝜀𝜀1+𝜀𝜀2 (2.18) 32 Рис. 2.6 - Поле, яке експоненційно спадає на два півпростору. Розглянемо умови, за яких спостерігаються локалізовані поверхневі хвилі. Нам потрібно знайти хвилі, що поширюються. Це означає, що компонента хвильового вектора вздовж межі між середовищами має бути дійсною. Це означає, що радикальний вираз у рівнянні (2.18) має бути більше нуля. Нам також потрібно отримати хвилі, локалізовані поблизу границі. Для цього нормальні компоненти хвильових векторів до поверхні повинні бути уявними: � 𝜀𝜀1𝜀𝜀2 < 0 𝜀𝜀1 + 𝜀𝜀2 < 0 (2.19) І тоді ми можемо побачити це співвідношення (2.18) на графіку на Рис. 2.7. Наведений вище графік дисперсії показує дисперсію ППП у ідеальних металах. Цей графік корисний для отримання уявлення про характеристики ППП. Найголовніше, це показує, що дисперсійна крива ППП завжди лежить праворуч від світлової лінії. Наслідком цього є те, що довжина хвилі ППП завжди менша, ніж світло вільного простору. Крім того, невідповідність між хвильовим вектором вільного простору-світла та хвильовим вектором ППП означає, що ми не можемо збуджувати ППП просто шляхом освітлення металевої поверхні, потрібен якийсь зовнішній механізм для узгодження хвильового вектора. Збудження ППП часто здійснюється за допомогою повного 33 внутрішнього відбиття від призми, дифракції на ґратці, розсіювання розсіювача або проходження через пучок електронів. Ціль використання цих методів полягає в тому, щоб задати електромагнітне поле таким чином, щоб його хвильовий вектор відповідав хвильовому вектору ППП на тій самій частоті. Рис. 2.7 - Дисперсійна крива для поверхневих плазмон-поляритонів. При низькому k поверхнева плазмонна крива (червона) наближається до фотонної кривої (синя). Також варто додати випадок з реальними металами: розглянемо випадок срібної тонкої плівки, покритої шаром діелектрика. Результати було відтворено за допомогою програмного пакету для моделювання електродинамічних структур COMSOL Multiphysics, та програмного пакету MATLAB (Рис. 2.8). Наступним етапом буде розгляд поширення ППП на графеновій плівці. Виявляється, матеріали, такі як графен, також можуть підтримувати ППП. Адже графен з високою провідністю поводиться як метали. Основна відмінність полягає в тому, що благородні метали зазвичай мають плазмову частоту у видимому або ультрафіолетовому режимі, що означає, що метали 34 підтримують ППП в оптичній області. Графен, з іншого боку, підтримує ППП в інфрачервоному режимі, що робить його унікальним і вигідним матеріалом для певних застосувань (метаматеріали). Ще одна приваблива властивість графену полягає в тому, що його провідність можна змінити шляхом хімічного легування або електричного налаштування. Це відкриває можливість налаштування ППП, чого неможливо досягти у звичайних металах. Рис. 2.8 - Дисперсійна крива поверхневих плазмон-поляритонів для срібла. Змодельоване поширення ППП для срібла. Стрілки вказують напрям і напруженість електричного поля. За допомогою навчальної моделі «Simulation SPP Propagation and Dispersion» яка була взята з сайту COMSOL Multiphysics [33] ми можемо досліджувати ППП у графені, нанесеному на підкладку SiO2. Графік нижче показує дисперсійну криву з графеновою енергією Фермі, встановленою на 0,2еВ. Порівняно з дисперсією SPP у металах, ми бачимо, що світлова лінія тут дуже крута — вона майже вирівнюється з віссю y. Це пояснюється тим, що хвильовий вектор SPP набагато більший, ніж хвильовий вектор фотона у вільному просторі. Іншими словами, довжина хвилі ППП набагато менша. При поширенні ППП на частоті 29 ТГц (енергія Фермі 0,2еВ) довжина хвилі вільного простору становить близько 10 м, тоді як довжина хвилі SPP менше 100 нм — досягається чудове стиснення довжини хвилі. Однак треба зазначити, що коефіцієнт добротності в цьому випадку не дуже високий — ППП повністю розпадається після поширення лише на кілька сотень нанометрів. Більш 35 високого коефіцієнта добротності можна досягти, покращивши якість кристалів графену або охолодивши його до кріогенних температур. 2.4 Довжина поширення та глибина проникнення Коли ППП поширюється вздовж поверхні, він втрачає енергію через поглинання в металі. Інтенсивність поверхневого плазмону спадає з квадратом електричного поля, тому на відстані 𝑥𝑥 інтенсивність зменшилась у раз −2𝑘𝑘𝑥𝑥′′𝑥𝑥. Довжина розповсюдження визначається як відстань, на якій інтенсивність SPP зменшується з коефіцієнтом 1/𝑒𝑒. Ця умова виконується на довжині: 𝐿𝐿 = 1 2𝑘𝑘𝑥𝑥′′ (2.20) Рис. 2.9 - Дисперсійні криві для графенових ППП з енергією Фермі 0,2 еВ. Поширення графенового ППП на частоті 29 ТГц. Енергія Фермі графену становить 0,2 еВ. На низьких частотах глибина проникнення ППП в метал зазвичай апроксимується за допомогою формули глибини проникнення (skin depth). Глибину проникнення в металі та діелектричному середовищі можна виразити як: 𝑑𝑑 = 1 2𝜅𝜅 (2.21) 36 де 𝑖𝑖12 = �(𝑘𝑘𝑥𝑥2 − 𝜀𝜀12𝑘𝑘02) . 2.5 Способи збудження ППП Як показано в підрозділі (2.3), дисперсійна крива ППП лежить повністю нижче, фотонної кривої, так що 𝑘𝑘𝑥𝑥 > 𝑘𝑘. Пряме збудження ППП за допомогою світлових променів, таким чином, неможливо, якщо не використовуються спеціальні методи досягнення фазового узгодження. Про них ітиметься в цьому підрозділі. З Рис. 2.6 видно, що на одній частоті хвильовий вектор фотона в площині межі двох середовищ не може дорівнювати хвильовому вектору поверхневого плазмон-поляритона, тому закон збереження енергії-імпульсу не дозволяє фотону перетворитися на плазмон і навпаки. 2.5.1 Призмове введення Ця схема введення, також відома як ослаблене повне внутрішнє відбивання, передбачає зв’язок ППП з миттєвим електромагнітним полем, яке утворюється при повному внутрішньому відбиванні світлового променя на поверхні в оптично щільному середовищі. Можливі дві різні геометрії для зв’язку призм (Рис. 2.10). Рис. 2.10 - (а) конфігурація Кречмана, (б) конфігурація Отто. 37 У конфігурації Кречмана металева плівка наносится поверх скляної призми. Плівка освітлюється через діелектричну призму під кутом падіння, більшим за кут повного внутрішнього відбивання. Хвильовий вектор світла збільшується в оптично щільному середовищі. При певному куті 𝜃𝜃 падіння, де поверхнева компонента хвильового вектора фотона в призмі збігається з хвильовим вектором ППП на поверхні повітря-метал, відбувається резонансне тунелювання світла через металеву плівку: 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 𝜔𝜔 𝑐𝑐 �𝜀𝜀𝑝𝑝𝑟𝑟𝑖𝑖𝑠𝑠𝑚𝑚sin (𝜃𝜃) (2.22) За цих резонансних умов спостерігається різкий мінімум у відбивній здатності від межі розділу призми. Для товстих металевих плівок (або поверхонь об’ємного металу) ППП може збуджуватися в конфігурації Отто. Тут, призма, де відбувається повне внутрішнє відбивання, розташована близько до поверхні металу, так що тунелювання фотонів відбувається через повітряний проміжок між призмою та поверхнею. Умови резонансу аналогічні умовам у конфігурації Кречмана. 2.5.2 Граткове введення Неузгодженість у хвильовому векторі фотонів, що падають, і 𝑘𝑘𝑥𝑥 також можна подолати за допомогою ефектів дифракції на решітці на металевій поверхні. Для одновимірної решітки з постійною гратки 𝑎𝑎 фазове узгодження виконується, коли виконується умова: 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 𝜔𝜔 𝑐𝑐 sin(𝜃𝜃) ± 𝑛𝑛𝑛𝑛 (2.23) де 𝑛𝑛 = 2𝜋𝜋 𝑎𝑎 є зворотним вектором решітки і n = 1, 2, 3, .... Як і у випадку призми, збудження ППП виявляється як мінімум у відбитому світлі. 38 Рис. 2.11 - Дифракція на решітці на металевій поверхні. 2.6 Висновки до розділу В цьому розділі ми коротко описали фізичні властивості графену з погляду зонної теорії, визначили співвідношення Кубо, що використовується для опису явища провідності в графені, якому сприяють як електронні внутрішньозонні, так і міжзонні переходи. Потім з’ясували, шо існує тип електромагнітної хвилі, що поширюється по дотичній до поверхні і експоненціально спадає в перпендикулярному напрямку і його довжина хвилі часто менша порівняно з довжиною хвилі вільного простору на тій же частоті. Існування цього типу хвиль було виявлено на межі розділу метал-діелектрик і має назву поверхневий плазмонний поляритон (ППП). Далі використовуючи рівняння Максвела знайшли умови для поширення ППП на межі розділу метал- діелектрик. Існування ППП можливо тільки за умови, що дійсна частина діелектричної проникності металу є від’ємна. Також довели, що дисперсійна крива ППП завжди лежить праворуч від світлової лінії. Наслідком цього є те, що довжина хвилі ППП завжди менша, ніж світло вільного простору. Невідповідність між хвильовим вектором вільного простору-світла та хвильовим вектором ППП означає, що ми не можемо збуджувати ППП просто шляхом освітлення металевої поверхні. Збудження ППП часто здійснюється за 39 допомогою повного внутрішнього відбиття від призми (конфігурація Кречмана, конфігурація Отто), дифракції на ґратці, розсіювання розсіювача або проходження через пучок електронів. Далі додали випадок з реальними металами: випадок срібної тонкої плівки, покритої шаром діелектрика. Результати було відтворено за допомогою програмного пакету для моделювання електродинамічних структур COMSOL Multiphysics, та програмного пакету MATLAB. Наступним етапом був розгляд поширення ППП на графеновій плівці. За допомогою навчальної моделі «Simulation SPP Propagation and Dispersion» яка була взята з сайту COMSOL Multiphysics [33] ми дослідили ППП у графені, нанесеному на підкладку SiO2. 40 МІКРОСМУЖКОВА КІЛЬЦЕВА РЕЗОНАТОРНА АНТЕНА НА ОСНОВІ ДВОВИМІРНОГО МАТЕРІАЛУ (ГРАФЕН) 3.1 Актуальність і новизна мікросмужкових антен, що працюють в ТГц діапазоні Оптичні наноантени, що працюють у терагерцовому діапазоні, на інфрачервоних та оптичних частотах, відіграють важливу роль у галузі фотоніки та плазмоніки, оскільки ці антени вважаються найкращими інструментами для контролю, маніпуляції та поширенні світла, а також взаємодії світла з електронами. Можливості наноантен мають широкий спектр застосувань, включаючи високошвидкісний зв’язок із високою швидкістю передачі даних у наномережах, біосенсування хімічних речовин, терагерцеве детектування, оптоелектронні пристрої[57]. Терагерцовий діапазон вимагає мініатюризації комунікаційних пристроїв для підвищення швидкості зв’язку. Одним із ключових компонентів системи зв’язку є антена. Пряме зменшення масштабу цих антен призводить до кількох проблем, таких як зниження мобільності, втрати на ТГц частоті. На цій частоті коливання викликані поверхневими плазмонними поляритонами. Плазмонні/- нано/-оптичні антени підтримують передачу коливань ППП для забезпечення зв’язку в ТГц діапазоні. Наноантени переважно розроблені з використанням благородних металів, таких як золото та срібло. Але ці металеві наноструктури резонують на дуже високих частотах із високими втратами. Інша проблема полягає в тому, що ці структури пов'язані зі складним механізмом налаштування резонансної частоти. Щоб пом’якшити ці обмеження, було використано графен завдяки його оптичним властивостям [56]. Графен має дуже хороші оптичні властивості, що робить його придатним для плазмонних застосувань. Однією з них є регульована оптична провідність. Поверхнева провідність графену є кінцевою і прямо пропорційна його 41 хімічному потенціалу. Математично провідність моделюється за допомогою формалізму Кубо [55], який включає між- та внутрішньозонну провідність графену. Від'ємна уявна частина провідності впливає на від'ємну реальну діелектричну проникність графену. Отже, графен підтримує плазмонні коливання на ТГц частоті. Резонансна частота в основному залежить від його провідності. Визначною перевагою є його регульована провідність, що робить графен популярним у плазмонних застосуваннях. Завдяки цій властивості графен також використовується в золотих і срібних наноантенах для налаштування резонансу. Графен-метал-гібридні структури набувають популярності, оскільки впровадження графенової антени не так просто через її дуже малу товщину. Резонанс графенової наноантени падає в інфрачервоному (ІЧ) та видимому діапазоні частот [56]. Графен демонструє локалізацію хвиль та може підтримувати поширення ППП з прийнятними втратами. Він також демонструє можливість налаштування за допомогою легування певними хімічними речовинами та електричним/магнітниим зміщенням. Унікальні властивості графену вже використовуються в наноантенах, таких як рефлекторні антени, антени з реконфігурацією [57]. 3.2 Моделювання антени на основі графену Після розгляду фізики графену та дисперсії двовимірних матеріалів ми можемо перейти до поступового моделювання антени на основі графену. Першим кроком буде перехід від двовимірної задачі знаходження розподілу електричного поля на графеновій плівці до тривимірної. Для початку перейдемо з гігагерцового діапазону в терагерцовий і оберемо резонансну частоту 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 39 ТГц. Далі в пакеті COMSOL було пораховано розподілу електричного поля на графеновій плівці для таких параметрів: температура Т = 300 К, ширина та 42 довжина графену 𝑙𝑙,𝑑𝑑 = 0.6 нм, товщина графенового шару 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑓𝑓𝑓𝑓 = 0.345 нм, та енергія Фермі графену 𝐸𝐸𝐹𝐹 = 0,2 еВ. В якості підкладки було вибрано діелктричний матеріал SiO2, його розміри, відповідно, 𝑙𝑙 = 0.6 нм, ℎ = 0.3 нм (𝑙𝑙 –ширина, ℎ −висота). Наступним кроком було зменшення графенової плівки з прямокутної до стрічки. Цей перехід в геометрії зроблений для того, щоб плавно перейти з 2-D моделі графенової плівки до тривимірної моделі із стрічкою, яку потім потрібно перетворити на кільце, що вже й буде нашим резонатором. Параметри моделі залишаються ті ж самі, змінюється тільки ширина плівки: 𝑑𝑑 = 0.2 нм. На малюнку (Рис. 3.1) нижче можна побачити геометрію структури та графіки поширення графенового ППП. Далі ми змінили ширину плівки до 𝑑𝑑 = 0.05 нм і додали ще один зонд для того щоб приблизити умови до умов отримання біжучих хвиль, які може генерувати мікросмужкова кільцеподібна резонаторна антена, описаних в першому розділі. У схемі так само два зонди збуджуються з однаковою амплітудою та відносним зсувом фази 𝜋𝜋/2, для збудження двох взаємно ортогональних мод 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚1. Також при умові, коли два зонди працюють в фазі, ми отримуємо підсилення хвилі, якщо ж в протифазі, то - послаблення. Це можна бачити на Рис. 3.2. Отже, виходячи з цих міркувань, ми можемо наступним етапом перейти до моделювання кільцеподібної резонаторної антени просто згорнувши нашу стрічку в кільце. Далі покажемо результати моделювання графенової смужки, яка випромінює таким же чином, як і диполь Герца. Розміри смужки 𝑑𝑑 = 0.05. Далі базуючись на принципах побудови мікросмужкового кільцевого резонатора описаного в першому розділі було змодельовано модель в COMSOL для дослідження розподілу амплітуди електричного поля та фазового розподілу. Ескіз резонатора, виконаного у вигляді 1 мікросмужкового концентричного круглого кільця. Позиції коаксіальних зондів (CP) розташовуються з так як розташовувалися на антені з першого розділу. Тут робоча частота 𝑓𝑓𝑟𝑟 становить 39 ТГц, а геометричні параметри антени: 𝑅𝑅 = 0.05 мм, 𝑑𝑑 = 0.345 нм - товщина графенового шару. 43 Рис. 3.1 - Геометрія структури та графік поширення графенового ППП. Рис. 3.2 - Геометрія структури та графік поширення графенового ППП, коли два зонди працюють в фазі (зліва), та в протифазі (справа). 44 Рис. 3.3 - Геометрія структури та графік поширення графенового ППП, коли два зонди працюють в фазі (зліва), та в протифазі (справа). Рис. 3.4 - Геометрія мікросмужкового кільцевого резонатора. В роботі [24] було показано, що хвилі ОКМ можна генерувати на основі кругових біжучих хвиль. Зокрема, такі хвилі може генерувати мікросмужкова кільцеподібна резонаторна антена, що працює в режимі 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚 [25]. Вона випромінює кругло поляризовану хвилю, коли дві взаємно ортогональні вироджені моди 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚 з відносним зсувом фази 𝜋𝜋/2 збуджуються на кільці. У схемі два коаксіальні зонди [26] зонди збуджуються з однаковою амплітудою та відносним зсувом фази 𝜋𝜋/2, для збудження двох взаємно ортогональних мод 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚1 на кільцевому резонаторі [27, 28, 29]. Коли збуджуються дві взаємно ортогональні моди 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑚𝑚1, поверхневий струм на кільці створює кругову електромагнітну хвилю, яка може переносити ОКМ. Правильну кутову відстань 𝛼𝛼𝑚𝑚 між двома коаксіальними зондами, 45 розташованими на кільці, можна визначити з наступної умови [26]: один коаксіальний зонд завжди розташований у зоні нульового поля іншого зонда, таким чином спричиняючи незначний взаємний зв’язок між зондами. Цей інтервал індивідуальний для кожного режиму роботи, де виконується умова 𝛼𝛼𝑚𝑚 = 𝜋𝜋 2𝑚𝑚 . Крім того, якщо 𝑚𝑚 є непарним числом, можна встановити той самий кут 𝛼𝛼𝑚𝑚 = 𝜋𝜋 2 . Далі в результаті аналітичного аналізу для кількох мод OКM електромагнітного поля, що випромінюється антеною ми повинні спостерігати у вигляді миттєвої фази та амплітуди 𝐄𝐄, розподіли електричного поля, зображені в площині 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 вибраної системи координат. Але на даний момент через виявлену складність в моделювання резонатора яка полягає в тому, що при не великих розмірах кільця (частота 15 ТГц) ми можемо спостерігати вихор так як постійна розповсюдження в цьому випадку не має суттєвого впливу на розповсюдження хвилі по кільці, але при збільшенні розміру до потрібного нам на робочій частоті 𝑓𝑓𝑟𝑟 = 39 ТГц постійна розповсюдження вже суттєво впливає на розповсюдження хвилі. В цьому і полягає складність отримання результату, бо на данному етапі ми поки що не розробили метод для розрахунку постійної розповсюдження. 3.3 Висновки до розділу В цьому розділі ми розповіли, що оптичні наноантени, що працюють у терагерцовому діапазоні, на інфрачервоних та оптичних частотах, відіграють важливу роль у галузі фотоніки та плазмоніки, оскільки ці антени вважаються найкращими інструментами для контролю, маніпуляції та поширенні світла, а також взаємодії світла з електронами. Терагерцовий діапазон вимагає мініатюризації комунікаційних пристроїв для підвищення швидкості зв’язку. Пряме зменшення масштабу антен призводить до кількох проблем, таких як 46 зниження мобільності, втрати на ТГц частоті. Наноантени переважно розроблені з використанням благородних металів, але ці металеві наноструктури резонують на дуже високих частотах із високими втратами. Щоб пом’якшити ці обмеження, було використано графен бо він має дуже хороші Рис. 3.5 - змодельована модель електричного поля (𝐸𝐸𝑧𝑧-компонент). Діаграма спрямованості дальнього поля (верхній ряд) та її переріз (нижній ряд) в E- площині для випромінюваних хвиль OКM. оптичні властивості, що робить його придатним для плазмонних застосувань. Однією з них є регульована оптична провідність. Графен підтримує плазмонні коливання на ТГц частоті. Резонансна частота в основному залежить від його провідності. Визначною перевагою є його регульована провідність, що робить графен популярним у плазмонних застосуваннях. Після розгляду фізики графену та дисперсії двовимірних матеріалів ми перейшли до поступового моделювання антени на основі графену. Першим кроком був перехід від 47 двовимірної задачі знаходження розподілу електричного поля на графеновій плівці до тривимірної. Далі в пакеті COMSOL було пораховано розподілу електричного поля на графеновій плівці. Далі ми змінили ширину плівки до 𝑑𝑑 = 0.05 нм і додали ще один зонд для того щоб приблизити умови до умов отримання біжучих хвиль, які може генерувати мікросмужкова кільцеподібна резонаторна антена, описаних в першому розділі. Далі показали результати моделювання графенової смужки, яка випромінює таким же чином, як і диполь Герца. Далі базуючись на принципах побудови мікросмужкового кільцевого резонатора описаного в першому розділі було змодельовано модель в COMSOL для дослідження розподілу амплітуди електричного поля та фазового розподілу. 48 ВИСНОВКИ Було повторено результати статті де розглядалась мікрохвильова антена на основі компактного набору мікросмужкових кільцевих резонаторів, що несе промінь з ОКМ. Отримано аналітичне рішення для випромінюваного поля однієї резонаторної антени за допомогою моделі резонатора та підходу магнітного струму. Для перевірки теоретичного опису виконано чисельне моделювання для генератора OКM фактичного розміру за допомогою програмного пакету для моделювання електродинамічних структур COMSOL Multiphysics. Коротко описали фізичні властивості графену з погляду зонної теорії, визначили співвідношення Кубо, що використовується для опису явища провідності в графені, якому сприяють як електронні внутрішньозонні, так і міжзонні переходи. Потім з’ясували, шо існує тип електромагнітної хвилі, що поширюється по дотичній до поверхні і експоненціально спадає в перпендикулярному напрямку і його довжина хвилі часто менша порівняно з довжиною хвилі вільного простору на тій же частоті. Існування цього типу хвиль було виявлено на межі розділу метал-діелектрик і має назву поверхневий плазмонний поляритон (ППП). Далі використовуючи рівняння Максвела знайшли умови для поширення ППП на межі розділу метал-діелектрик. Збудження ППП часто здійснюється за допомогою повного внутрішнього відбиття від призми (конфігурація Кречмана, конфігурація Отто), дифракції на ґратці, розсіювання розсіювача або проходження через пучок електронів. Наступним етапом був розгляд поширення ППП на графеновій плівці. За допомогою навчальної моделі «Simulation SPP Propagation and Dispersion» яка була взята з сайту COMSOL Multiphysics [33] ми дослідили ППП у графені, нанесеному на підкладку SiO2. Розповіли, що оптичні наноантени, що працюють у терагерцовому діапазоні, на інфрачервоних та оптичних частотах, відіграють важливу роль у галузі фотоніки та плазмоніки. Терагерцовий діапазон вимагає мініатюризації комунікаційних пристроїв для підвищення швидкості зв’язку. Пряме зменшення масштабу антен призводить до кількох 49 проблем, таких як зниження мобільності, втрати на ТГц частоті. Щоб пом’якшити ці обмеження, було використано графен бо він має дуже хороші оптичні властивості, що робить його придатним для плазмонних застосувань. Однією з них є регульована оптична провідність. Графен підтримує плазмонні коливання на ТГц частоті. Резонансна частота в основному залежить від його провідності. Після розгляду фізики графену та дисперсії двовимірних матеріалів ми перейшли до поступового моделювання антени на основі графену. Першим кроком був перехід від двовимірної задачі знаходження розподілу електричного поля на графеновій плівці до тривимірної. Далі в пакеті COMSOL було пораховано розподілу електричного поля на графеновій плівці. Далі показали результати моделювання графенової смужки, яка випромінює таким же чином, як і диполь Герца. Далі базуючись на принципах побудови мікросмужкового кільцевого резонатора описаного в першому розділі було змодельовано модель в COMSOL для дослідження розподілу амплітуди електричного поля та фазового розподілу. 50 ЛІТЕРАТУРА 1. Allen, L.; Barnett, S. M.; Padgett, M. J. Optical Angular Momentum, CRC Press, 2003. 2. Mohammadi, S.M.; Daldorff, L.K.S.; Bergman, J.E.S.; Karlsson, R.L.; Thide, B.; Forozesh, K.; Carozzi, T.D.; Isham, B. Orbital angular momentum in radio - A system study. IEEE Trans. Antennas Propag., 2010, 58, 565-572. 3. Tamburini, F.; Mari, E.; Sponselli, A.; Thide, B.; Bianchini, A.; Romanato, F. “Encoding many channels on the same frequency through radio vorticity: First experimental test,” New J. Phys., 2012, 14, 033001. 4. Yan, Y.; Xie, G.D.; Lavery, M.P.J.; Huang, H.; Ahmed, N.; Bao, C.J.; Ren, Y.X.; Cao, Y.W.; Li, L.; Zhao, Z.; et al. “High-capacity millimeter-wave communications with orbital angular momentum multiplexing,” Nat. Commun., 2014, 5, 4876. 5. Hui, X.N.; Zheng, S.L.; Chen, Y.L.; Hu, Y.P.; Jin, X.F.; Chi, H.; Zhang, X.M. “Multiplexed millimeter wave communication with dual orbital angular momentum (OAM) mode antennas,” Sci. Rep., 2015, 5, 10148. 6. Noor, S.K.; Yasin, M.N.M.; Ismail, A.M.; Osman, M.N.; Soh, P.J.; Ramli, N.; Rambe, A.H., “A review of orbital angular momentum vortex waves for the next generation wireless communications,” IEEE Access, 2022, 10, 89465- 89484. 7. Xu, J.; Guo, Y.; Yang, P.; Zhang, R.; Zhai, X.; Huang, S.; Bi, K. “Recent progress on RF orbital angular momentum antennas,” J. Electromagn. Waves Appl., 2020, 34, 275-300. 8. [Schemmel, P.; Pisano, G.; Maffei, B. “Modular spiral phase plate design for orbital angular momentum generation at millimetre wavelengths,” Opt. Express, 2014, 22, 14712-14726. 9. Wei, W.; Mahdjoubi, K.; Brousseau, C.; et al. “Horn antennas for generating radio waves bearing orbital angular momentum by using spiral phase plate,” IET Microw. Antennas Propag., 2016, 10,1420-1427. 51 10. Hui, X.; Zheng, S.; Hu, Y.; et al. “Ultralow reflectivity spiral phase plate for generation of millimeterwave OAM beam,” IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett., 2015, 14, 966-969. 11. Bai, X.; Liang, X.; He, C.; et al. “Design of a horn lens antenna for OAM generation.” IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett., 2015, 14, 2081-2082. 12. Mari, E.; Spinello, F.; Oldoni, M.; et al. “Near-field experimental verification of separation of OAM channels,” IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett., 2015, 14, 556-558. 13. Byun, W.; Kim, K.; Kim, B.; et al. “Multiplexed Cassegrain reflector antenna for simultaneous generation of three orbital angular momentum (OAM) modes,” Sci. Rep., 2016, 6, 27339. 14. Barbuto, M.; Trotta, F.; Bilotti, F.; et al. “Circular polarized patch antenna generating orbital angular momentum,” Prog. Electromagn. Res., 2014, 148, 23-30. 15. Mao, F.; Li, T.; Shao, Y.; et al. “Orbital angular momentum radiation from circular patches,” Prog. Electromagn. Res., 2016, 61, 13-18. 16. Zhang, Z.; Xiao, S.; Li, Y.; et al. “A circularly polarized multimode patch antenna for the generation of multiple orbital angular-momentum-modes,” IEEE Antennas Wirel Propag Lett., 2017, 16, 521-524. 17. [27]. Pan, Y.; Zheng, S.; Zheng, J.; et al. “Generation of orbital angular momentum radio waves based on dielectric resonator antenna,” IEEE Antennas Wirel. Propag. Lett., 2017, 16, 385-388. 18. Liang, J.; Zhang, S.; “Orbital angular momentum (OAM) generation by cylinder dielectric resonator antenna for future wireless communications,” IEEE Access, 2016, 4, 9570-9574. 19. Zhang, K.; Wang, Y.; Yuan, Y.; Burokur, S. N. “A review of orbital angular momentum vortex beams. 20. He, Z.; Wang, Y.; Wang, X.; Kupriianov, A.; Tuz, V.; Fesenko, V. “Multi- band orbital angular momentum mode-division multiplexing by a compact set 52 of microstrip ring-shaped resonator antenna,” Opt. Express, 2022, 30, 46209- 46226. 21. R. Garg, P. Bhartia, I. J. Bahl, and A. Ittipiboon, Microstrip Antenna Design Handbook (Artech house, Boston, 2001). 22. J. Huang, “Circularly polarized conical patterns from circular microstrip antennas,” IEEE Trans. Antennas Propag. 32, 991–994 (1984). 23. G. A. Korn and T. M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review (McGraw-Hill Book Company, 1968), 2nd ed. 24. S. Zheng, X. Hui, X. Jin, H. Chi, and X. Zhang, “Transmission characteristics of a twisted radio wave based on circular traveling-wave antenna,” IEEE Trans. Antennas Propag. 63, 1530–1536 (2015). 25. Q. Zhan, “Cylindrical vector beams: from mathematical concepts to applications,” Adv. Opt. Photonics 1, 1–57 (2009). 26. J. Huang, “Circularly polarized conical patterns from circular microstrip antennas,” IEEE Trans. Antennas Propag. 32, 991–994 (1984). 27. F. Mao, T. Li, Y. Shao, J. Yang, and M. Huang, “Orbital angular momentum radiation from circular patches,” Prog. In Electromagn. Res. Lett. 61, 13–18 (2016). 28. F.-C. Mao, M. Huang, C.-F. Yang, T.-H. Li, J.-L. Zhang, and S.-Y. Chen, “Orbital angular momentum generation using circular ring resonators in radio frequency,” Chin. Phys. Lett. 35, 020701 (2018). 29. S. Wang, Q. Zeng, and T. A. Denidni, “Double-OAM-mode generation by octagonal microstrip ring antenna,” in 2020 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation and North American Radio Science Meeting, (Montreal, 2020), pp. 191–192. 30. J. Ren and K. W. Leung, “Generation of microwave orbital angular momentum states using hemispherical dielectric resonator antenna,” Appl. Phys. Lett. 112, 131103 (2018). 53 31. M. Barbuto, F. Trotta, F. Bilotti, and A. Toscano, “Circular polarized patch antenna generating orbital angular momentum,” Prog. In Electromagn. Res. 148, 23–30 (2014). 32. https://www.comsol.com/blogs/modeling-surface-plasmon-polaritons-in- comsol/ 33. https://www.comsol.com/model/simulating-spp-propagation-and-dispersion- 110221 34. C. Kai, P. Huang, F. Shen, H. Zhou, and Z. Guo, “Orbital angular momentum shift keying based optical communication system,” IEEE Photon. J., vol. 9, no. 2, Apr. 2017, Art. no. 7902510. 35. M. Padgett and L. Allen, “Light with a twist in its tail,” Contemp. Phys., vol. 41, no. 5, pp. 275–285, Sep. 2000. 36. A. Tennant and B. Allen, “Generation of OAM radio waves using circular time-switched array antenna,” Electron. Lett., vol. 48, no. 21, pp. 1365–1366, Oct. 2012. 37. B. Liu, Y. Cui, and R. Li, “A broadband dual-polarized dual-OAM- mode antenna array for OAM communication,” IEEE Antennas Wireless Propag. Lett., vol. 16, pp. 744–747, 2017. 38. Z.-G. Guo and G.-M. Yang, “Radial uniform circular antenna array for dual- mode OAM communication,” IEEE Antennas Wireless Propag. Lett., vol. 16, pp. 404–407, 2017. 39. H. Li, L. Kang, F. Wei, Y.-M. Cai, and Y.-Z. Yin, “A low-profile dual- polarized microstrip antenna array for dual-mode OAM applications,” IEEE Antennas Wireless Propag. Lett., vol. 16, pp. 3022–3025, 2017. 40. Y.-M. Zhang and J.-L. Li, “Comments on ‘Radial uniform circular antenna array for dual-mode OAM communication,”’ IEEE Antennas Wireless Propag. Lett., vol. 17, pp. 719–721, 2018 41. Q. Bai, A. Tennant, and B. Allen, “Experimental circular phased array for generating OAM radio beams,” Electron. Lett., vol. 50, no. 20, pp. 1414–1415, 2014. https://www.comsol.com/blogs/modeling-surface-plasmon-polaritons-in-comsol/ https://www.comsol.com/blogs/modeling-surface-plasmon-polaritons-in-comsol/ https://www.comsol.com/model/simulating-spp-propagation-and-dispersion-110221 https://www.comsol.com/model/simulating-spp-propagation-and-dispersion-110221 54 42. Y. Yao, X. Liang, W. Zhu, J. Geng, and R. Jin, “Phase mode analysis of radio beams carrying orbital angular momentum,” IEEE Antennas Wireless Propag. Lett., vol. 16, pp. 1127–1130, 2016. 43. K. Liu et al., “Generation of OAM beams using phased array in the microwave band,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 64, no. 9, pp. 3850– 3857, Sep. 2016. 44. T. Yuan, Y. Cheng, H. Wang, and Y. Qin, “Mode characteristics of vortical radio wave generated by circular phased array: Theoretical and experimental results,” IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 65, no. 2, pp. 688–695, Feb. 2017. 45. Z. Zhang, S. Xiao, Y. Li, and B.-Z. Wang, “A circularly polarized multimode patch antenna for the generation of multiple orbital angular momentum modes,” IEEE Antennas Wireless Propag. Lett., vol. 16, pp. 521–524, 2017. 46. J. J. Chen, Q. N. Lu, F. F. Dong, J. J. Yang, and M. Huang, “Wireless OAM transmission system based on elliptical microstrip patch antenna,” Opt. Express, vol. 24, no. 11, pp. 11531–11538, May 2016. 47. C. B. Shi, Y. B. Li, W. Wu, R. Y. Wu, and T. J. Cui, “An ultrathin spiral phase plate for generation of OAM radio waves,” in Proc. Prog. Electromagn. Res. Symp., Aug. 2016, pp. 3740–3743. 48. F. Spinello et al., “High-order vortex beams generation in the radiofrequency domain,” IEEE Antennas Wireless Propag. Lett., vol. 15, pp. 889–892, 2016. 49. W.-Y. Huang, J.-L. Li, H.-Z. Wang, J.-P. Wang, and S.-S. Gao, “Vortex electromagnetic waves generated by using a laddered spiral phase plate and a microstrip antenna,” Electromagnetics, vol. 36, no. 2, pp. 102–110, Feb. 2016. 50. J. Liang and S. Zhang, “Orbital angular momentum (OAM) generation by cylinder dielectric resonator antenna for future wireless communica- tions,” IEEE Access, vol. 4, pp. 9570–9574, 2016. 51. J. Ren and K. W. Leung, “Generation of microwave orbital angular momentum states using hemispherical dielectric resonator antenna,” Appl. Phys. Lett., vol. 112, no. 13, Mar. 2018, Art. no. 131103. 55 52. X. Bai et al., “Design of a horn lens antenna for OAM generation,” in Proc. IEEE Int. Symp. Antennas Propag., Usnc/Ursi Nat. Radio Sci. Meeting, Jul. 2015, pp. 2081–2082 53. W. Wei, K. Mahdjoubi, C. Brousseau, and O. Emile, “Horn antennas for generating radio waves bearing orbital angular momentum by using spiral phase plate,” IET Microw. Antennas Propag., vol. 10, no. 13, pp. 1420–1427, 2016. 54. Основи фiзики графену. Навчальний посiбник. – Київ, 2013.– 118 с. 55. A. Andryieuski and A. V. Lavrinenko, “Graphene metamaterials based tunable terahertz absorber: effective surface conductivity approach,” Opt. Express, 21, 9144-9155, 2013. 56. https://doi.org/10.1007/s42452-022-04986-1. 57. Zaka Ullah , Gunawan Witjaksono, Illani Nawi , Nelson Tansu, Muhammad Irfan Khattak and Muhammad Junaid, “A Review on the Development of Tunable Graphene Nanoantennas for Terahertz Optoelectronic and Plasmonic Applications”, Sensors 2020, 20, 1401. 58. Alison M. Yao and Miles J. Padgett, «Orbital angular momentum: origins, behavior and applications», Advances in Optics and Photonics 3, 161–204 (2011) doi:10.1364/AOP.3.000161 1943-8206/11/020161-44 59. https://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_angular_momentum_of_light. https://doi.org/10.1007/s42452-022-04986-1 https://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_angular_momentum_of_light