1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені В. Н. КАРАЗІНА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ    В 3‐х частинах  Частина 2. Криві та поверхні другого порядку          Навчально‐методичний посібник   для самостійної роботи та практичних занять      Харків – 2023 2 УДК 514.12(075.8) А 64 Рецензенти: К. В. Максименко-Шейко – доктор технічних наук, професор, заступник директора з наукової роботи Інституту проблем машинобудування імені А. М. Підгорного НАН України; М. Г. Кокодій – доктор фізико-математичних наук, професор кафедри інформаційних технологій в фізико-енергетичних системах ННІ комп’ютерної фізики та енергетики Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна. Затверджено до друку рішенням Науково-методичної ради Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна (протокол № 3 від 19 грудня 2023 року) А 64 Аналітична геометрія. В 3-х частинах. Частина 2. Криві та поверхні другого порядку : навчально-методичний посібник для самостійної роботи та практич- них занять / уклад. Т. Г. Віхтинська, К. Е. Нємченко. – Харків : ХНУ імені В. Н. Каразіна, 2023. – 40 с. Навчально-методичний посібник для самостійної роботи та практичних занять призначено для ознайомлення з основами аналітичної геометрії в її застосуваннях у задачах фізики. Основна увага приділена набуттю студентами навичок розв’язання задач і, зокрема, формулюванню фізичних задач мовою математики. Цей посібник є складовою частиною загального навчально-методичного комплексу з ана- літичної геометрії і містить задачі для проведення практичних занять за темою «Криві та поверхні другого порядку». Посібник розрахований на студентів фізичних спеціальностей університетів, зокрема студентів першого курсу науково-навчального інституту комп’ютерної фізики та енергетики Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна. УДК 514.12(075.8) © Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 2023 © Віхтинська Т. Г., Нємченко К. Е., уклад., 2023 © Дончик І. М., макет обкладинки, 2023 3 Зміст  Довідковий матеріал. Геометрія визначень __________________________ 4 Порівняльний аналіз характеристик кривих другого порядку ____________ 7 Таблиця елементарних властивостей еліпса __________________________ 8 Таблиця елементарних властивостей гіперболи _______________________ 11 Таблиця елементарних властивостей сполученої гіперболи _____________ 13 Таблиця елементарних властивостей параболи ________________________ 15 Загальне рівняння кривої другого порядку ___________________________ 16 Класифікація і алгоритм визначення виду кривої другого порядку за допомогою інваріантів ___________________________ 17 Поверхні другого порядку _________________________________________ 18 Дев'ять циліндрів, що відповідають дев'ятьом лініям другого порядку ____ 19 Практичне заняття № 1. Визначення ліній. Канонічне рівняння ________ 20 Практичне заняття № 2. Визначення ліній. Канонічна система координат _____________________________________ 22 Практичне заняття № 3. Директриси, асимптоти та дотичні ___________ 24 Практичне заняття № 4. Криві другого порядку. Загальні задачі ________ 26 Практичне заняття № 5. Визначення кривих другого порядку як геометричного місця точок ________________________________________ 28 Практичне заняття № 6. Загальні задачі. Директриси, асимптоти та дотичні _______________________________________________________ 30 Практичне заняття № 7. Полярні рівняння кривих другого порядку _____ 33 Практичне заняття № 8. Теорія інваріантів _________________________ 35 Практичне заняття № 9. Поверхні другого порядку __________________ 36 Додатки ________________________________________________________ 37 Додаток 1. Типова контрольна робота _______________________________ 37 Додаток 2. Типове завдання для самостійної роботи __________________ 38 Додаток 3. Типові задачі для індивідуальної роботи ___________________ 39 4 Довідковий матеріал. Геометрія визначень  1. Еліпс – це геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох фіксованих точок є величина стала, більша за відстань між фокусами, і дорівнює 2а. Рис. 1. Основні параметри еліпса 2. Гіпербола – це геометричне місце точок площини, для кожної з яких модуль різниці відстаней від фокусів є сталою величиною, меншою за віддаль між фокусами, і дорівнює 2а. Рис. 2. Основні параметри гіперболи 5 3. Парабола – це геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки (фокуса) і заданої прямої (директриси). Рис. 3. Основні параметри параболи Теорема про визначення еліпса, параболи й гіперболи за допомогою директриси й ексцентриситету. Множина точок, для кожної з яких відношення відстані до заданої точки (фокуса) до відстані до заданої прямої (директриси) є сталою величиною і дорівнює ексцентриситету, являє собою а) еліпс, якщо 1e ; б) параболу, якщо 1e ; в) гіперболу, якщо 1e . Окремому випадку 0e відповідає окружність, 2e – рівнобічна гіпербола. Рис. 4. До визначення еліпса через директрису й ексцентриситет 6 Рис. 5. До визначення гіперболи через директрису й ексцентриситет 7 Порівняльний аналіз характеристик кривих другого порядку  Парабола Еліпс Гіпербола 1. Визначення MDFM  aMFMF 221  aMFMF 221  2. Канонічне рівняння pxy 22  1 2 2 2 2  b y a x , ba  1 2 2 2 2  b y a x 3. Фокуси       0, 2 p F  0,1 cF ,  0,2 cF  222 bac  222 bac  4. Фокальний параметр p abp 2 5. Ексцентриситет 1e ace  2 2 2 1 a b e  , 1e 2 2 2 1 a b e  , 1e 6. Відстань від фокуса до директриси p e p FD  e p DFDF  2211 7. Відстань від початку координат до директриси 2 p OD  e a ODOD  21 8. Основний прямокутник – ax  , by  Рис. 6. Лінії другого порядку в полярній системі відліку при різних значеннях ексцентриситету і при постійній відстані від фокуса до директриси 8 Таблиця елементарних властивостей еліпса  Канонічне рівняння еліпса 1 2 2 2 2  b y a x , ba  0 Вершини еліпса А1(a;0) , А2 (-a;0) – вершини еліпса на осі Оx B1 (0;-b), B2 (0;b ) – вершини еліпса на осі Oy Велика і мала осі еліпса a – велика піввісь; 2 a – велика вісь; b – мала піввісь; 2b – мала вісь Велика піввісь та, на якій знаходяться фокуси! Основний прямокутник ax  , by  Відстань від центра еліпса до фокуса 222 bac  с = 22 ba  Координати фокусів F1(c;0), F2 (-c;0) Відстань між фокусами (фокальна відстань) F1F2=2c Фокальна властивість еліпса Еліпс – множина точок, сума відстаней яких від фокусів є стала і більша за відстань між фокусами carr 222,1  Фокуси знаходяться всередині еліпса Ексцентриситет a c  , 1 Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані від центра еліпса до великої осі Директриси  a x  Директриси еліпса паралельні осі Oy (паралельні малій осі), симетричні відносно осі Oy і знаходяться поза еліпсом на відстані  a від центра еліпса (точки О(0;0) для канонічного еліпса) Фокальні радіуси xar 2,1 , arr 221  Фокальний параметр a b p 2  Фокально-директоріальна властивість еліпса 1 2 2 1 1   d r d r Відстань від фокуса до відповідної директриси e p DFDF  2211 9 Відстань від початку координат до відповідної директриси e a ODOD  21 Відстань d1 і d2 точки М0(x0,y0 ) еліпса до директриси 01 x a d   , 02 x a d   Оптична властивість еліпса Якщо помістити в один з фокусів еліпса точкове джерело світла, то всі промені після відбиття від еліпса зійдуться в іншому його фокусі Спряжені діаметри kxy  x ka b y 2 2  Зв'язок між кутовими коефіцієнтами спряжених діаметрів 2 2 a b kk  Параметричне рівняння еліпса      tby tax sin cos  2,0t Рівняння еліпса у полярній системі координат   cos1  p , 1 Канонічне рівняння кола 222 Ryx  Параметричне рівняння кола      tay tax sin cos  2,0t Рівняння еліпса, який повернений на 90 градусів (переорієнтування осей) 1 2 2 2 2  b y a x , ab  0 Вершини еліпса А1(a;0), А2 (-a;0) – вершини еліпса на осі Оx B1 (0;-b), B2 (0;b) – вершини еліпса на осі Oy Велика і мала осі еліпса a – мала піввісь; 2 a – мала вісь; b – велика піввісь; 2b – велика вісь Основний прямокутник ax  , by  Відстань від центра еліпса до фокуса 222 abc  22 abс  Координати фокусів F1(0;c) , F2 (0;-c) Ексцентриситет b c  1 Директриси  b y  Директриси еліпса паралельні осі Оx (паралельні малій осі), симетричні відносно осі Оx і знаходяться поза еліпсом на відстані  b від центра еліпса (точки О(0;0) для канонічного еліпса) 10 Фокальна властивість еліпса Еліпс – множина точок, сума відстаней яких від фокусів є стала і більша за відстань між фокусами cbrr 222,1  Відстань від початку координат до відповідної директриси e b ODOD  21 Фокальні радіуси ybr 2,1 Фокальний параметр b a p 2  Відстань d1 і d2 точки М0(x0,y0) еліпса від директриси 01 y a d   02 y a d   11 Таблиця елементарних властивостей гіперболи  Канонічне рівняння гіперболи 1 2 2 2 2  b y a x , ba, 0 Вершини гіперболи А1(a;0) , А2 (-a;0) – вершини еліпса на осі Оx Дійсна та уявна осі гіперболи a – дійсна піввісь; 2 a – дійсна вісь; b – уявна піввісь; 2b – уявна вісь Основний прямокутник ax  , by  Асимптоти гіперболи a b y  Відстань від центра гіперболи до фокуса 222 bac  с = 22 ba  Координати фокусів F1(c;0) , F2 (-c;0) Відстань між фокусами (фокальна відстань) F1F2=2c 2с>2a Фокальна властивість гіперболи Гіпербола – множина точок, модуль різниці відстаней яких від фокусів є сталою і меншою за відстань між фокусами carr 2221  або carr 221,2  Ексцентриситет a c  , 1 Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані від центра гіперболи до дійсної осі Директриси  a x  Директриси гіперболи паралельні осі Oy (паралельні уявній осі), симетричні відносно осі Oy і знаходяться між вершинами на відстані  a від центра гіперболи (точки О(0;0) для канонічної гіперболи) Фокальні радіуси axr 2,1 Права гілка axr  2 , axr  1 Ліва гілка axr  2 axr  1 12 Фокальний параметр a b p 2  Фокально-директоріальна властивість гіперболи 1 2 2 1 1   d r d r Відстань від фокуса до відповідної директриси e p DFDF  2211 Відстань від початку координат до відповідної директриси e a ODOD  21 Відстань d1 і d2 точки М0(x0,y0) еліпса до директриси 0 01  a xd  , 0 02  a xd  Оптична властивість гіперболи Якщо помістити в один з фокусів гіперболи точкове джерело світла, то кожний промінь після відбиття від гіперболи начебто виходить з іншого фокуса Спряжені (сполучені) діаметри kxy  x ka b ky 2 2  Зв'язок між кутовими коефіцієнтами спряжених діаметрів 2 2 a b kk  Параметричні рівняння гіперболи      shtby chtax Rt  Рівняння гіперболи у полярній системі координат   cos1  p , 1 13 Таблиця елементарних властивостей   сполученої гіперболи  Канонічне рівняння гіперболи 1 2 2 2 2  b y a x , ba, 0 Вершини гіперболи B1(0;b) , B2 (0;b) – вершини еліпса на осі Оy Дійсна та уявна осі гіперболи a – уявна піввісь; 2 a – уявна вісь; b – дійсна піввісь; 2b – дійсна вісь Основний прямокутник ax  , by  Асимптоти гіперболи a b y  Відстань від центра гіперболи до фокуса 222 bac  с = 22 ba  Координати фокусів F1(0;c) , F2 (0;-c) Відстань між фокусами (фокальна відстань) F1F2=2c 2с>2a Фокальна властивість гіперболи Гіпербола – множина точок, модуль різниці відстаней яких від фокусів є сталою і меншою за відстань між фокусами cbrr 2221  або cbrr 221,2  Ексцентриситет b c  , 1 Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані від центра гіперболи до дійсної осі Директриси  b y  Директриси гіперболи паралельні осі Ox (паралельні уявній осі), симетричні відносно осі Ox і знаходяться між вершинами на відстані  b від центра гіперболи (точки О(0;0) для канонічної гіперболи) Фокальні радіуси bxr 2,1 Фокальний параметр b a p 2  14 Фокально-директоріальна властивість гіперболи 1 2 2 1 1   d r d r Відстань від фокуса до відповідної директриси e p DFDF  2211 Відстань від початку координат до відповідної директриси e b ODOD  21 Відстань d1 і d2 точки М0(x0,y0) еліпса до директриси 0 01  b yd  , 0 02  b yd  15 Таблиця елементарних властивостей параболи    Канонічне рівняння параболи pxy 22  , 0p Вершини гіперболи О(0;0) – вершини параболи в початку координат Координати фокуса       0, 2 p F Фокально-директоріальна властивість параболи Парабола – множина точок, які рівновіддалені від фокуса і директриси dr  Ексцентриситет d r  , 1 Директриси 2 p x  Фокальний радіус 2 p xr  Фокальний параметр p Відстань від фокуса до директриси p e p FD  Відстань від початку координат до директриси 2 p OD  Відстань d точки М0(x0,y0) параболи до директриси 20 p xd  Оптична властивість параболи Якщо помістити у фокус параболи точкове джерело світла, то всі промені, відбиті від параболи, спрямовуються паралельно фокальній осі параболи Спряжені (сполучені) діаметри k p y  Рівняння параболи у полярній системі координат   cos1  p 16 Загальне рівняння кривої другого порядку  1. Канонічні рівняння кривих другого порядку Канонічне рівняння еліпса 1 2 2 2 2  b y a x , Канонічне рівняння гіперболи 1 2 2 2 2  b y a x , Канонічне рівняння параболи pxy 22  . 2. Загальне рівняння кривої другого порядку 0222 332313 2 2212 2 11  ayaxayaxyaxa . 3. Інваріанти кривих другого порядку Перший інваріант – шпур (Sp), трек (Tr) або слід матриці       2212 1211 aa aa : 2211 2212 1211 2212 1211 1 aa aa aa Tr aa aa SpI              . Другий інваріант – малий, або другий визначник 12122211 2212 1211 2212 1211 2 det aaaa aa aa aa aa I        . Третій інваріант – великий, або третій визначник ija aaa aaa aaa I det 332313 232212 131211 3  , де 2,1, ji ,3. Напівінваріант К є інваріантом при поворотах, а для кривих, у яких другий і третій інваріанти дорівнюють нулю, є інваріантом і при паралельних перенесеннях. 3323 2322 3313 1311 aa aa aa aa K  . 17 Класифікація і алгоритм визначення виду кривої  другого порядку за допомогою інваріантів  ?2 I 02 I Нецентральні криві 02 I Центральні криві 02 I Еліптичні криві 02 I Гіперболічні криві 02 I Параболічні криві 013 II Еліпс 013 II Уявний еліпс 03 I Гіпербола 03 I Парабола 03 I – Криві, які не розпадаються 03 I Пара уявних прямих, які перетинаються (точка) 03 I Пара дійсних прямих, які перетинаються 0K Пара паралельних прямих 0K Пара прямих, які збігаються 0K Пара уявних паралельних прямих 03 I – Криві, які розпадаються ?K ?3 I 18 Поверхні другого порядку  Дійсний еліпсоїд 1 2 2 2 2 2 2  c z b y a x Уявний еліпсоїд 1 2 2 2 2 2 2  c z b y a x Гіперболоїд з однією порожниною 1 2 2 2 2 2 2  c z b y a x Гіперболоїд з двома порожнинами 1 2 2 2 2 2 2  c z b y a x Еліптичний параболоїд z b y a x 2 2 2 2 2  Гіперболічний параболоїд z b y a x 2 2 2 2 2  Реальний конус 0 2 2 2 2 2 2  c z b y a x Уявний конус (точка) 0 2 2 2 2 2 2  c z b y a x 19 Дев'ять циліндрів,   що відповідають дев'ятьом лініям другого порядку  Еліптичний циліндр 1 2 2 2 2  b y a x Пряма лінія (дві уявні площини, які перетинаються) 0 2 2 2 2  b y a x Уявний еліптичний циліндр 1 2 2 2 2  b y a x Гіперболічний циліндр 1 2 2 2 2  b y a x Дві площини, які перетинаються 0 2 2 2 2  b y a x Параболічний циліндр pxy 22  Дві паралельні площини 22 hy  Дві площини, які збігаються 02 y Дві уявні паралельні площини 22 hy  20 Практичне заняття № 1  Визначення ліній. Канонічне рівняння  Задача 1.01. Знайти велику піввісь, малу піввісь, координати фокусів та вершин даних еліпсів і зобразити їх на рисунку: а) 19/16/ 22  yx ; б) 116/9/ 22  yx ; в) 2564936 22  yx ; г) 122  yx . Задача 1.02. Знайти дійсну піввісь, уявну піввісь, координати фокусів та вершин даних гіпербол і зобразити їх на рисунку: а) 19/16/ 22  yx ; б) 14/9/ 22  yx ; в) 100254 22  yx ; г) 2564936 22  yx ; д) 6416 22  yx ; є) 6394 22  yx ; е) 100425 22  yx ; ж) 122  yx ; з) 19 22  yx . Задача 1.03. Визначити величину параметра, координати фокуса наступних парабол і зобразити їх на рисунку а) xy 82  ; б) yx 82  ; в) xy 62  ; г) yx 62  . Задача 1.04. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) він є вписаний у прямокутник зі сторонами 4 та 9; 2) його велика піввісь дорівнює 4, а мала вісь – 2; 3) його осі дорівнюють 10 та 6; 4) велика вісь дорівнює 12, а відстань між фокусами – 6. Задача 1.05. Скласти канонічне рівняння гіперболи у канонічний системі, якщо: 1) основним прямокутником є прямокутник зі сторонами 4 та 9; 2) її дійсна піввісь дорівнює 4, а уявна вісь – 2. Задача 1.06. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) її осі дорівнюють 10 та 6; 2) дійсна вісь дорівнює 12, а відстань між фокусами – 6. Задача 1.07. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в по- чатку координат, якщо вона розміщена симетрично відносно осі 1) Ox і має фокус F(-5, 0); 3) Oy , а відстань від вершини до фокуса дорівнює 5. 21 Завдання для самостійної роботи № 1  Визначення ліній. Канонічне рівняння  Задача 1.08. Знайти велику піввісь, малу піввісь, координати фокусів та вершин даних еліпсів і зобразити їх на рисунку: а) 6416 22  yx ; б) 6416 22  yx ; в) 3694 22  yx ; г) 100425 22  yx . Задача 1.09. Знайти дійсну піввісь, уявну піввісь, координати фокусів та вершин даних гіпербол і зобразити їх на рисунку: а) 324936 22  yx ; б) 14/9/ 22  yx ; в) 3694 22  yx ; г) 100425 22  yx ; д) 19/16/ 22  yx ; е) 80165 22  yx ; ж) 369 22  yx ; з) 422  yx . Задача 1.010. Визначити величину параметра, координати фокуса наступних парабол і зобразити їх на рисунку: а) хy 102  ; б) yx 22  ; в) хy 102  ; г) yx 22  . Задача 1.011. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) він є вписаний у прямокутник зі сторонами 25 та 16; 2) його велика вісь дорівнює 10, а мала піввісь – 1; 3) його осі дорівнюють 12 та 8; 4) мала вісь дорівнює 8, а відстань між фокусами – 10. Задача 1.012. Скласти канонічне рівняння гіперболи у канонічний системі, якщо: 1) основним прямокутником є прямокутник зі сторонами 25 та 16; 2) її дійсна вісь дорівнює 10, а уявна піввісь – 1. Задача 1.013. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) її осі дорівнюють 12 та 8; 2) уявна вісь дорівнює 8, а відстань між фокусами – 10. ача 1.014. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в по- чатку координат, якщо вона розміщена симетрично відносно осі 1) Oy і має фокус F(0, 3); 2) Ох, а відстань від вершини до фокуса дорівнює 5. 22 Практичне заняття № 2  Визначення ліній. Канонічна система координат    Задача 2.1. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку координат, якщо вона розміщена симетрично відносно осі Ox і проходить через точку М(9, 6). Задача 2.2. Скласти рівняння параболи, якщо вона проходить крізь дві точки (0, 0) і (2, -4) та симетричної відносно осі Oy . Задача 2.3. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) мала вісь дорівнює 4 і точка М(–1, 1) належить еліпсу; 2) велика вісь дорівнює 12, точка М(1, 2) належить еліпсу; 3) точки М(5, 2) і М(4, 1) належать еліпсу; 4) відстань між фокусами дорівнює 8 і точка М( 15 , 1) належить еліпсу. Задача 2.4. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку координат, якщо вона розміщена симетрично відносно осі Ox і директрисою є пряма 5x . 23 Завдання для самостійної роботи № 2  Визначення ліній. Канонічна система координат  Задача 2.5. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку координат, якщо вона розміщена симетрично відносно осі Oy і проходить через точку М(10, 20). Задача 2.6. Скласти рівняння параболи, якщо вона проходить крізь дві точки (0, 0) і (1, -3) та симетричної відносно осі Ox . Задача 2.7. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) уявна вісь дорівнює 4 і точка М(–1, 1) належить гіперболі; 2) дійсна вісь дорівнює 12, точка М(1, 2) належить гіперболі; 3) точки М(5, 2) і М(4, 1) належать гіперболі; 4) відстань між фокусами дорівнює 8 і точка М( 15 , 1) належить гіперболі. Задача 2.8. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку координат, якщо вона розміщена симетрично відносно осі Oy і директрисою є пряма 1y . 24 Практичне заняття № 3  Директриси, асимптоти та дотичні  Задача 3.1. Знайти ексцентриситет та рівняння директрис наступних еліпсів і зобразити їх на рисунку: а) 225259 22  yx ; б) 225925 22  yx . Задача 3.2. Знайти ексцентриситет, рівняння асимптот і директрис даних гіпербол та зобразити їх на рисунку: а) 324936 22  yx ; б) 14/9/ 22  yx ; в) 3694 22  yx ; г) 100425 22  yx ; д) 19/16/ 22  yx ; е) 80165 22  yx ; ж) 369 22  yx ; з) 422  yx . Задача 3.3. Знайти довжину фокальних радіусів точки М для кожного з цих еліпсів: а) 225259 22  yx М ( 52, 5 3  ); б) 225925 22  yx М ( 3, 5 12 ); в) 80165 22  yx М ( 2 15 ,2  ); г) 80516 22  yx М ( 2 11 , 8 265  ). Задача 3.4. Знайти довжину фокальних радіусів точки М для кожної з цих гіпербол: а) 144916 22  yx М( 34,6 ); б) 144916 22  yx М( 12,26 ). Задача 3.5. Записати рівняння директриси наступних парабол і знайти довжину фокального радіуса точки М для кожної з цих парабол: а) хy 122  М(4, 34 ); б) xy 122  М( 4, 34 ); в) уx 122  М(6 2 ,6); г) yx 62  М ( 6 2 , 6). Задача 3.6. Скласти рівняння дотичної до кривої в точці, якщо а) 25)3()2( 22  yx , А(-5; 7); б) 1 412 22  yx А(3; 1); в) 1 56 22  yx , А(6;-5); г) xy 62  , А(3/2; -3); д) yx 42  , А(-4; -4). 25 Завдання для самостійної роботи № 3  Директриси, асимптоти та дотичні  Задача 3.7. Знайти ексцентриситет та рівняння директрис наступних еліпсів і зобразити їх на рисунку: а) 6416 22  yx ; б) 6416 22  yx ; в) 3694 22  yx ; г) 100425 22  yx . Задача 3.8. Знайти ексцентриситет, рівняння асимптот і директрис даних гіпербол та зобразити їх на рисунку: а) 324936 22  yx ; б) 14/9/ 22  yx ; в) 3694 22  yx ; г) 100425 22  yx ; д) 19/16/ 22  yx ; е) 80165 22  yx ; ж) 369 22  yx ; з) 422  yx . Задача 3.9. Знайти довжину фокальних радіусів точки М для кожного з цих еліпсів: а) 2564936 22  yx ; М(0, 16/7); б) 6416 22  yx ; М(-1, 16/63 ); в) 3694 22  yx ; М(2, 9/20 ); г) 100254 22  yx ; М( 4/75 , –1). ча 3.10. Знайти довжину фокальних радіусів точки М для кожної з цих гіпербол: а) 80165 22  yx ; М( 15,8  ); б) 80165 22  yx ; М ( 5,8  ). Задача 3.11. Записати рівняння директриси наступних парабол і зобразити їх на рисунку. Знайти довжину фокального радіуса точки М для кожної з цих парабол; а) xy 82  М(8, -8); б) xy 82  М(-8, 8); в) yx 82  М(12, 18); г) yx 82  М(-12,-18); д) xy 62  М( 62,4  ); е) xy 62  М( 32,2 ); ж) yx 62  М( 23 ,3); з) yx 62  М(6, -6). Задача 3.12. Скласти рівняння дотичної до кривої в точці, якщо а) 1 1236 22  yx , А(3; -3); б) 1 1636 22  yx А(-15/2; 3); в) 1 42 22  yx А(4; 6); г) 522  yx , А(-1; 2); д) xy 102  А(-2/5; 2); е) yx 122  А(6; 3). 26 Практичне  заняття № 4  Криві другого порядку. Загальні задачі  Задача 4.1. Знайти малу піввісь, ексцентриситет, рівняння директриси канонічного еліпса і зобразити їх на рисунку, якщо а = 5, с= 3. Задача 4.2. Знайти велику піввісь, ексцентриситет, рівняння директриси канонічного еліпса і зобразити їх на рисунку, якщо b = 4, с= 3. Задача 4.3. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) відстань між фокусами дорівнює 8, а ексцентриситет – 3/5; 2) велика вісь дорівнює 14, а ексцентриситет – 4/5; 3) мала вісь дорівнює 24, а ексцентриситет – 5/14; 4) ексцентриситет дорівнює 3/4, а велика піввісь дорівнює 5. Задача 4.4. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) велика вісь дорівнює 8, а відстань між директрисами – 16; 2) мала вісь дорівнює 6, а відстань між директрисами – 14; 3) відстань між директрисами дорівнює 6, а ексцентриситет – 1/2; 4) відстань між директрисами дорівнює 8, а відстань між фокусами – 4. Задача 4.5. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) ексцентриситет дорівнює 1,5 і точка М(–2, 5) належить гіперболі; 2) точка М(5, 2) належить гіперболі і відстань від неї до правого фокуса дорівнює 3; 3) відстань між директрисами дорівнює 4 і точка М(3, –1) належить гіперболі; 4) відстань між фокусами дорівнює 8, а ексцентриситет дорівнює 2. Задача 4.6. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку координат, якщо вона розміщена симетрично відносно осі а) Ox і директрисою є пряма 2x ; б) Oy і директрисою є пряма 0y . 27 Завдання для самостійної роботи № 4  Криві другого порядку. Загальні задачі  Задача 4.7. Знайти малу піввісь, ексцентриситет, наступних еліпсів і зобразити їх на рисунку, якщо а = 5, с = 4. Задача 4.8. Знайти велику піввісь, ексцентриситет, рівняння директриси канонічного еліпса і зобразити їх на рисунку, якщо b = 3, с= 4. Задача 4.9. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) ексцентриситет дорівнює 3/4 і точка М(–2, 5/3) належить еліпсу; 2) точка М(5, 2) належить еліпсу і відстань від неї до правого фокуса дорівнює 3; 3) відстань між директрисами дорівнює 12 і точка М(3, -1) належить еліпсу. Задача 4.10. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) велика вісь дорівнює 4, а відстань між директрисами – 8; 2) мала вісь дорівнює 3, а відстань між директрисами – 6; 3) відстань між директрисами дорівнює 10, а ексцентриситет – 1/4; 4) відстань між директрисами дорівнює 20, а відстань між фокусами – 10. Задача 4.11. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться на осі абсцис, а центр у початку координат, якщо: 1) відстань між фокусами дорівнює 8, а ексцентриситет – 4; 2) дійсна вісь дорівнює 14, а ексцентриситет – 2; 3) уявна вісь дорівнює 24, а ексцентриситет – 3; 4) дійсна вісь дорівнює 8, а відстань між директрисами – 6; 5) уявна вісь дорівнює 6, а відстань між директрисами – 14; 6) відстань між директрисами дорівнює 6, а ексцентриситет – 2; 7) відстань між директрисами дорівнює 2, а відстань між фокусами – 4. Задача 4.12. Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в початку координат, якщо вона розміщена симетрично відносно осі д) Ox і директрисою є пряма 5x ; е) Oy і директрисою є пряма 1y . 28 Практичне заняття № 5  Визначення кривих як геометричного місця точок  Задача 5.1. Скласти рівняння геометричного місця точок, сума відстаней від яких до точок F1 і F 2 є величина стала і дорівнює 2а, якщо 1) F 1 (0, 0) і F 2 (6, 0), а = 5; 2) F 1 (0, 20) і F 2 (0, 0), а = 13; 3) F 1 (1, -1) і F 2 (-1, 1), а = 2. Знайти ексцентриситет кривої другого порядку. Задача 5.2. Скласти рівняння геометричного місця точок, модуль різниці відстані від яких до заданих точок F1 і F2 є величина стала і дорівнює 2а: 1) F1(2, 0), F2(2, –10), а = 4; 2) F1(0, 6), F2(0, –20), а = 12; 3) F1(0, 0), F2(2, 6), а = 3. Знайти ексцентриситет кривої другого порядку. Задача 5.3. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки F(1, 0) і прямої 02  yx . Задача 5.4. Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстані від яких до точки F до відстані до прямої γ є величина стала та дорівнює: 1) F(–6, 1), γ: 025 x , e = 5/3; 2) F(2, 2), γ: 5y – 1= 0, e = 5/4; 3) F(1, 1), γ: x + y = 0, e = 2; 4) F (2, 4), γ: 0203 y , е = 3/5. Задача 5.5. Скласти рівняння еліпса, якщо: а) велика вісь дорівнює 26, а фокусами є точки F1 (-10, 0) і F 2 (14, 0); б) ексцентриситет еліпса дорівнює 2/2 , а фокусами є точки F1 (-2, 3/2) і F 2 (2, 3/2); в) фокусами є точки F1 (5, 1) і F 2 (-1, 1), а пряма 3 31x однією з директрис; г) точка F (-6, 2) є одним з фокусів, а точка А(2; 2) – кінцем великої осі, ексцентриситет дорівнює 2/3; д) осі еліпса паралельні координатним осям, точки А(4; 0) та В(0; 4) належать еліпсу, а точка В знаходиться на відстані 2/3 від одного з фокусів та на відстані 6 від відповідної директриси. 29 Завдання для самостійної роботи № 5  Визначення кривих як геометричного місця точок  Задача 5.6. Скласти рівняння геометричного місця точок, модуль різниці відстані від яких до заданих точок F1 і F2 є величина стала і дорівнює 2а: 1) F1(0, 0), F2(10, 0), а = 3; 2) F1(15, –3), F2(–5, –3), а = 6; 3) F1(1, 1), F2(–1, –1), а = 1; 4) F1(–1, 2), F2(1, –2), а = 2; 5) F1(1, 0), F2(–1, 2), а = 1. Задача 5.7. Скласти рівняння геометричного місця точок, сума відстаней від яких до точок F1 і F 2 є величина стала і дорівнює 2а, якщо 1) F 1 (6,1) і F 2 (-10, 1), а = 10; 2) F 1 (2, 1) і F 2 (2, -7), а = 5; 3) F 1 (1,0) і F 2 (3, 2), а = 2; 4) F 1 (0, 0) і F 2 (2, -6), а = 4. Задача 5.8. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки F і прямої, якщо F(-2, 2), 02 y . Задача 5.9. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від точки F і прямої, якщо F(1, 2), 01 х . Задача 5.10. Скласти рівняння геометричного місця точок, відношення відстані від яких до точки F до відстані до прямої γ є величина стала та дорівнює: 1) F(2, 2), γ: 5 y – 1= 0, e = 5/4; 2) F (2, 1), γ: 054 x , e = 4/5; 3) F(2, –2), γ: x – y – 1= 0, e = 2; 4) F(1, 0), γ: x + 2y – 1= 0, e = 5/2. Задача 5.11. Скласти рівняння еліпса, якщо а) мала вісь дорівнює 2, а фокусами є точки F1 (-1, -1) і F 2 (1, 1); б) відстань між директрисами дорівнює 12 2 , а фокусами є точки F1 (1, 3) і F 2 (3,1); в) ексцентриситет еліпса дорівнює 2/3, а фокус F (2, 1) і рівняння відповідної директриси 05 x ; г) точка F (–2, 2) є одним з фокусів, а точка А(0; 2) – кінцем великої осі, ексцентриситет дорівнює 1/3; д) осі еліпса паралельні координатним осям, точки А(2; 0) та В(0; 2) належать еліпсу, а точка В знаходиться на відстані 2/1 від одного з фокусів та на відстані 8 від відповідної директриси. 30 Практичне заняття № 6  Загальні задачі. Директриси, асимптоти та дотичні    Задача 6.1. Скласти рівняння еліпса, якщо задано: а) ексцентриситет еліпса дорівнює 1/2, а фокус F (-4, 1) і рівняння відповідної директриси 03 y ; б) фокус F (-1, -4) і рівняння відповідної директриси 2x , а також відомо, що точка М(-3,-5) належить еліпсу; в) ексцентриситет еліпса дорівнює 2/2 , точка М(3,-1) є кінцем малої осі, а також відомо, що фокуси лежать на прямій 06 y . Задача 6.2. Скласти рівняння гіперболи, якщо 1) дійсна вісь дорівнює 24, а фокусами є точки F1(–10, 2) і F2(16, 2); 2) уявна вісь дорівнює 2, а фокусами є точки F1(–1–1) і F2(1, 1); 3) ексцентриситет дорівнює 5/4, а фокусами є точки F1(–1, 2) і F2(1, –8); 4) точки F1(3, –2) і F2(5, –2) є фокусами, а пряма 2x = 7 – однією з директрис; 5) відстань між директрисами дорівнює 18/5, а фокусами є точки F1(3, 4) і F2(–3, –6), точки F1(4, –4) і F2(–2, 2) є фокусами, а асимптоти перетинаються під прямим кутом; 7) точки F1(3, –2) і F2(5, –2) є фокусами, а пряма 2x = 7 – однією з директрис; 8) точка F (1, 3) є одним з фокусів, точка A(–4, 3) – вершиною, а ексцентриситет дорівнює 3/2; 9) точка F (0, 0) є одним з фокусів, а прямі x ± y + 2 = 0 – асимптотами. Задача 6.3. Скласти рівняння параболи, якщо 1) точка F(4, 3) є фокусом, а пряма y = -5 – директрисою; 2) точка F(0, 1) є фокусом, парабола симетрична відносно осі Оу і дотикається до осі Ох. Задача 6.6. Дано рівняння дотичної 093  yx до параболи pxy 22  . Скласти рівняння параболи. 31 Задача 6.7. Написати рівняння дотичної до еліпса 1 916 22  yx , які паралельні до прямої 01 yx . Задача 6.8. Гіпербола, осі якої співпадають з осями координат, дотикається до прямої 02  yx у точці  2,4M . Скласти рівняння цієї гіперболи. Задача 6.9. Еліпс, фокуси якого знаходяться в точках (–3, 0), (3, 0), дотикається до прямої 05  yx . Скласти рівняння цього еліпса. Задача 6.10. Знайти відстань від параболи xy 642  до прямої 04634  yx . 32 Завдання для самостійної роботи № 6  Загальні задачі. Директриси, асимптоти та дотичні  Задача 6.11. Скласти рівняння еліпса, якщо задано: а) ексцентриситет еліпса дорівнює 1/2, а фокус F (3, 0) і рівняння відповідної директриси 01 yx ; б) фокус F (1, 0) і рівняння відповідної директриси 0102  yx , а також відомо, що точка М(2,-1) належить еліпсу. Задача 6.12. Скласти рівняння гіперболи, якщо задано ексцентриситет 13/12, фокус F(–1, 1) і рівняння відповідної директриси 13y +12= 0. Задача 6.13. Скласти рівняння гіперболи, якщо задано: 1) ексцентриситет 5/4, фокус F(0, 1) і рівняння відповідної директриси 5x +9y = 0; 2) ексцентриситет 13/12, фокус F(–1, 1) і рівняння відповідної асимптоти 13y +12= 0; 3) ексцентриситет 5 , фокус F(2, –3) і рівняння відповідної асимптоти 3x – y + 3= 0; 4) фокус F(–2, –3), рівняння відповідної директриси x + 1= 0 та точка A(–2, –3), що належить гіперболі; 5) фокус F(–2, 2), рівняння відповідної директриси 2x – y – 1= 0 та точка A(1, –2), що належить гіперболі. Задача 6.14. Скласти рівняння параболи, якщо: 1) точка F(7, 2) є фокусом, а пряма x = 5 – директрисою; 2) вісь параболи паралельна осі Оу, фокус лежить на осі Ох, парабола про- ходить через початок координат і відсікає на осі Ох відрізок довжини 6. Задача 6.15. Скласти рівняння гіперболи, якщо рівняння її асимптот 2/xy  і рівняння однієї з її дотичних 0865  yx . Задача 6.16. Задано рівняння дотичної 093  yx до параболи pxy 22  . Скласти рівняння параболи. Задача 6.17. Написати рівняння дотичних до еліпса 1 916 22  yx , які паралельні прямій 01 yx . Задача 6.18. Гіпербола, осі якої співпадають з осями координат, дотикається до прямої 02  yx в точці  2,4M . Скласти рівняння цієї гіперболи. 33 Практичне заняття № 7  Полярні рівняння кривих другого порядку  Задача 7.1. Скласти полярне рівняння еліпса 1 925 22  yx , вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрямом осі абсцис, а полюс знаходиться: 1) у лівому фокусі еліпса; 2) у правому фокусі еліпса. Задача 7.2. Скласти полярне рівняння кожної гілки гіперболи 1 916 22  yx , вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрямом осі абсцис, а полюс знаходиться: 1) у лівому фокусі гіперболи; 2) у правому фокусі гіперболи. Задача 7.3. Скласти полярне рівняння параболи, вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрямом осі абсцис, а полюс знаходиться у фокусі параболи, якщо її рівняння має вигляд xy 42  . Задача 7.4. Визначити, які лінії задані наступними рівняннями. Якщо крива є еліпсом або гіперболою, знайти її півосі, якщо параболою – знайти її параметр: а)   cos53 16   ; б)   cos54 27   . 34 Завдання для самостійної роботи № 7  Полярні рівняння кривих другого порядку  Задача 7.5. Скласти полярне рівняння еліпса 1 25169 22  yx , вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрямом осі абсцис, а полюс знаходиться: 1) у лівому фокусі еліпса; 2) у правому фокусі еліпса. Задача 7.6. Скласти полярне рівняння кожної гілки гіперболи 1 25144 22  yx , вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрямом осі абсцис, а полюс знаходиться: 1) у лівому фокусі гіперболи; 2) у правому фокусі гіперболи. Задача 7.7. Скласти полярне рівняння параболи xy 102  , вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрямом осі абсцис, а полюс знаходиться у фокусі параболи. Задача 7.8. Визначити, які лінії задані наступними рівняннями. Якщо крива є еліпсом або гіперболою, знайти її півосі, якщо параболою – знайти її параметр: а)   cos1 1   ; б)   cos35 16   ; в)   cos45 18   ; г)   cos54 36   . 35 Практичне заняття № 8  Теорія інваріантів      Задача 8.1. Визначити, який геометричний образ визначають рівняння та знайти центр кривих, якщо є: 1) 0805632845 22  yxyxyx , 2) 0191222125 2  yxxyx , 3) 02  yxxy , 4) 02245 22  yxyxyx , 5) 02329124 22  yxyxyx , 6) 02816649 22  yxyxyx , 7) 0196893025 22  xyxyx , 8) 0256102 22  yxyxyx , 9) 013668 2  yxxyx , 10) 051289124 22  yxyxyx , 11) 01163064240225 22  yxyxyx , 12) 04552 22  yxyxyx , 13) 013142565 22  yxyxyx , 14) 022882 22  yxyxyx . Завдання для самостійної роботи № 8  Теорія інваріантів  Задача 8.2. 1) 0419816249 22  yxyxyx , 2) 022  yxyxyx , 3) 073444 22  yxyxyx , 4) 0256102 22  yxyxyx , 5) 014610125 22  yxyxyx , 6) 01718188348 22  yxyxyx , 7) 011122668 2  yxxyx , 8) 049124 22  xyxyx , 9) 010261252 22  yxyxyx , 10) 043644 22  yxyxyx , 11) 0186542 22  yxyxyx , 12) 05812412 22  yxyxyx , 13) 047511023016249 22  yxyxyx , 14) 025523 22  yxyxyx , 15) 01630209124 22  yxyxyx , 16) 03106565 22  yxyxyx , 17) 0192212512 2  yxyxy , 18) 074344 22  yxyxyx , 19) 0522815164 22  yxyxyx , 20) 01581644 22  yxyxyx . 36 Практичне заняття № 9  Поверхні другого порядку  Задача 9.1. За допомогою паралельного перенесення осей координат визначити координати центра і знайти радіус кожної з наступних сфер: 1) 06412222  zyxzyx ; 2) 08222  xzyx ; 3) 01246186222  zyxzyx ; 4) 04222  zzyx . Задача 9.2. За допомогою паралельного перенесення осей координат визначити, яку поверхню задає кожне з наступних рівнянь: 1) 0368694 222  zyxzyx ; 2) 01412101833 222  zyxzyx ; 3) 0122 222  zzyxyx ; 4) 0146333 222  yxzyx ; 5) 01462 2  yzz . Завдання для самостійної роботи № 9  Поверхні другого порядку  Задача 9.3. За допомогою паралельного перенесення осей координат визначити координати центра і знайти радіус кожної з наступних сфер: 1) 022642222  zyxzyx ; 2) 076222  zzyx ; 3) 02222432222  zxzyx ; 4) 08222  yzyx . Задача 9.4. За допомогою паралельного перенесення осей координат визначити, яку поверхню задає кожне з наступних рівнянь: 1) 04412324 222  zxzyx ; 2) 011306566 22  zyxzy ; 3) 014633 22  yxyx ; 4) 03446333 222  zyxzyx ; 5) 03644 22  xyyx ; 6) 03642  xyx . 37 Додатки      Додаток 1 Типова контрольна робота Задача 1. Скласти рівняння параболи, якщо вісь параболи паралельна осі Оу, фокус лежить на осі Ох, парабола проходить через початок координат і відсікає на осі Ох відрізок довжини 8. Задача 2. Скласти канонічне рівняння параболи, якщо довжина хорди, яка проходить через фокус під кутом 4/ до осі параболи, дорівнює 18. Задача 3. Скласти рівняння параболи, якщо: 1) точка F(7, 2) є фокусом, а пряма 05 х ; 2) точка F(4, 3) є фокусом, а пряма 1y ; 3) точка F(2, -1) є фокусом, а пряма 1 yх ; 4) точка F(0, 1) є фокусом, парабола симетрична відносно осі Оу і дотикається до осі Ох. Задача 4. Скласти рівняння еліпса, якщо ексцентриситет еліпса дорівнює 1/2, а фокус F (-4, 1) і рівняння відповідної директриси 03 y . Задача 5. Скласти рівняння гіперболи, якщо ексцентриситет гіперболи дорівнює 5/4, а фокусами є точки F1(1, 2) і F2(1, –8). Задача 6. Скласти рівняння гіперболи, якщо точки F1(3, –2) і F2(5, –2) є фокусами, а пряма 2x = 7 – однією з директрис. 38 Додаток 2 Типове завдання для самостійної роботи Задача 1. Скласти полярне рівняння еліпса, вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрямом осі абсцис, а полюс знаходиться: 1) у лівому фокусі еліпса; 2) у правому фокусі еліпса; якщо а) 1 81225 22  yx ; б) 1 144400 22  yx . Задача 2. Скласти полярне рівняння кожної гілки гіперболи, вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрямом осі абсцис, а полюс знаходиться: 1) у лівому фокусі; 2) у правому фокусі гіперболи, якщо а) 1 6436 22  yx ; б) 1 49576 22  yx . Задача 3. Скласти полярне рівняння параболи, вважаючи, що напрям полярної осі збігається з додатним напрямом осі абсцис, а полюс знаходиться у фокусі параболи, якщо а) xy 52  ; б) xy 102  . Задача 4. Визначити, які лінії задані наступними рівняннями. Якщо крива є еліпсом або гіперболою, знайти її півосі, якщо параболою – знайти її параметр: а)   cos45 18   ; б) 4cos5 36     ; в)   cos1 4   ; г)   cos1213 50   ; д)   cos22 3   ; е)   cos1715 64   . 39 Додаток 3 Типові задачі для індивідуальної роботи Задача 1. 1) Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо осі дорівнюють 2 і 8. 2) Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо дійсна вісь дорівнює 6, а відстань між фокусами – 8. 3) Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відстань між фокусом і директрисою дорівнює 4. 4) Скласти рівняння кола з центром (0,2), до якого належить точка (2,3). 5) Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо осі дорівнюють 12 і 8. 6) Скласти рівняння спряженої гіперболи в канонічній системі координат, якщо дійсна вісь дорівнює 4, а відстань між фокусами – 12. 7) Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відстань між фокусом і директрисою дорівнює 1. 8) Скласти рівняння кола з центром (3,1), до якого належить точка (-1,1). Задача 2. 1) Знайти велику, малу півосі, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння директрис еліпса 1164 22  yx і зобразити його на рисунку. 2) Знайти дійсну, уявну півосі, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння директрис гіперболи 19 22  yx і зобразити її на рисунку. 3) Визначити величину параметра, координати фокуса, ексцентриситет, рівняння директриси параболи 082  xy і зобразити її на рисунку. Задача 3. За допомогою паралельного перенесення системи координат визначити тип лінії другого порядку та знайти півосі (або параметр), координати фокусів, вершин, ексцентриситет, рівняння директрис: 1) 01422  yxx ; 2) 0641642 22  yyxx ; 3) 0422  yyx ; 4) 04822  xyx . Задача 4. Скласти рівняння геометричного місця точок, для яких відношення відстані до точки F до відстані до прямої  є сталою величиною і дорівнює  , якщо: 1) F(–2, 2),  : x – 2 = 0, 5/3 ; 2) F(–2, 2),  : x – 2 = 0, 1 ; 3) F(–2, 2),  : x – 2 = 0, 5/3 ; 4) F(–2, 2),  : x – 2 = 0, 3/5 . Задача 5. За допомогою теорії інваріантів визначити тип лінії 025523 22  yxyxyx . 40 Навчальне видання Віхтинська Тетяна Геннадіївна Нємченко Костянтин Едуардович АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ    В 3‐х частинах  Частина 2. Криві та поверхні другого порядку            Навчально‐методичний посібник   для самостійної роботи та практичних занять  Коректор О. В. Анцибора Комп’ютерне верстання Н. О. Ваніна Макет обкладинки І. М. Дончик Формат 60x84/16. Ум. друк. арк. 3,21. Наклад 50 пр. Зам. № 216/23. Видавець і виготовлювач Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 61022, м. Харків, майдан Свободи, 4. Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 3367 від 13.01.09 Видавництво ХНУ імені В. Н. Каразіна