Тези доповідей студентської наукової конференції

Уравнение Гамильтона – Якоби в курсе классической механики
Могильная М.М., Шаломаева Т.М. Научные руководители: к.ф.-м.н., доц. Езерская Е.В., к.ф.-м.н., доц. Майзелис З.А. Кафедра теоретической физики имени академика И.М.Лифшица
Тема «Уравнение Гамильтона–Якоби» важна для понимания фундаментальных основ классической механики и в то же время является важным «мостом» для перехода к квантовой механике. Нами подготовлены методические указания «Уравнение Гамильтона–Якоби в курсе классической механики» для самостоятельной работы студентов физических специальностей, изучающих классическую механику. В начале пособия приводятся необходимые справочные сведения о канонических уравнениях, о полной производной по времени от функции динамических переменных, скобках Пуассона, рассматривается функция действия, как функция координат и времени на верхнем пределе интегрирования, вводится понятие канонических преобразований. Далее рассматривается уравнение Гамильтона–Якоби, и доказывается теорема Якоби. Приводятся необходимые для нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона–Якоби сведения из теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрено разделение переменных сначала в общем виде, затем в частном случае движения частицы во внешнем поле в различных координатах. Даны подробные решения задач о движении свободной частицы, частицы в однородном внешнем поле, задачи о движении точки на конусе в однородном поле тяжести, задачи о сферическом маятнике, задачи Кеплера, движении в поле U =− α + β z (эффект Штарка), движении в поле
r

электрического диполя. Особое внимание уделено одномерному движению. Предлагаются решения задачи о математическом маятнике, о движении в одномерных полях, для которых известно точное решение квантовомеханического уравнения Шредингера, таких как потенциал Морзе
U ( x )=U 0 1−e

(

−

x 2 a

)

,

потенциальная яма Пешля – Теллера
U ( x )=

U0 ch2

( xa )

и др. Некоторые задачи сопровождаются подробными решениями, а остальные можно использовать для самостоятельной работы студентов, а также в качестве зачетных заданий или при проведении контрольных работ.

7