С.Н. Зиненко

Векторный и тензорный анализ
Элементы дифференциальной геометрии и их приложения к механике
(теория к задачам)

2014

1. Естественный трехгранник кривой Теория
1о Трехгранник кривой. На параметрическое уравнение гладкой кривой   L  r  r ( t ), 0  t  T





  где производная r ( t )  0 - непрерывна, можно смотреть, как на уравнение движения   материальной точки с плавно меняющейся скоростью v  r ( t ) , не останавливаясь   ни на мгновение v  0 . К моменту времени t точка проходит расстояние

l  l (t ) 


0

t

   r ( s ) ds    v  r  

 v  v  r    


0

t

v ( s ) ds

  Среди всех возможных параметризаций r  r ( t ) кривой (по одной и той же траектории

можно двигаться с различной по величине скоростью v  ? ) наиболее удобна для выяснения ее геометрических особенностей естественная параметризация, когда роль  параметра играет длина дуги l  l ( t )  t ( двигаясь с единичной скоростью v  v ( t )  1 )

Теорема Для того,   1) чтобы параметризация r  r ( t ) была естественной   1) чтобы r ( t )  1 В отличие от произвольной параметризации
  r  r(t )    r   r ( t )    r   r ( t )

...

в случае естественной примем обозначения
  r   (l) 

. .   r   (l)




.. ..   r   (l)


...

Следствие Пусть
  1) параметризация r   ( l ) - естественная
..  1)  ( l )   ( l )



 1


. 



 . 



 ,

. 

 0

.. 

1

.   Замечание. При движении по кривой с единичной по величине скоростью v   ( l )   ..   ускорение w   ( l ) ортогонально скорости w  v , т.е. в любой момент времени
t  l движение материальной точки по кривой напоминает движение по окружности   с постоянной по величине скоростью с центростремительным ускорение w  v   В любой точке кривой r 0   ( l 0 )

можно построить естественный трехгранник, ребра и грани которого задаются направлениями
.   - 



.. 



ν










. 

-



..   


. ..    -     ,   

ν

. ..      ,  

2

Замечание. Разложению в ряд Тейлора при .    1  1  ( l 0  l )   ( l 0 )  1! ( l 0 ) l  2!

достаточно ..  1  ( l 0 ) l 2  3!

малых смещениях ...   ( l 0 ) l 3  ...

l

можно придать следующую физическую интерпретацию - в нулевом приближении материальная точка покоится     ( l 0  l )   ( l 0 )  r0

 - в первом приближении точка движется прямолинейно и равномерно по касательной  .      1   ( l 0  l )   ( l 0 )  1! ( l 0 ) l  r0   l

- во втором приближении точка движется по плоской кривой (параболе) . ..        1  d 1  ( l 0  l )   ( l 0 )  1! ( l0) l  1  ( l 0 ) l 2  r0   l  1 l 2 ..  2! 2d  . ..       , т.е. в соприкасающейся плоскости, лежащей в плоскости векторов    , что в свою очередь (во втором приближении) совпадает с движением по   так называемой соприкасающейся окружности с центром  r 0  d  и радиусом d         r   r 0  d   d   sin l  cos l   r 0   l  1 l 2 2d d d    Далее. В случае произвольной параметризации r  r ( t )   ( l ( t ) ) имеем . . ..      r     l , r     l     l  2   откуда вытекает, что векторы r , r  всегда лежат в соприкасающейся плоскости, так что последовательность построения естественного трехгранника кривой в произвольной ситуации может быть следующая I    -   r   r  касательная и  нормальная плоскость    -     r , r      бинормаль и  соприкасающаяся плоскость       r   -     r , r    , r     главная нормаль и      r , r   спрямляемая плоскость   Замечание. Из представления векторов r , r  , в частности, вытекает, что скорость .     v  r     l     v  v  l     всегда направлена по касательной v   к траектории, а ускорение . ..    2      w  r     l     l  2    v    v  w    w  d может быть разложено на две составляющие (касательную и нормальную) Последнее позволяет представить движение точки в любой момент t как сложение двух  - прямолинейное (но неравномерное) по касательной  с изменяющейся по величине     скоростью v  v  v   0 и тангенциальным ускорением w   ll   w    w    v 





ν

ν



ν

ν

ν

ν

ν

ν

-

равномерное (но криволинейное) по окружности радиуса d с постоянной по величине 2     скоростью v  v и центростремительным ускорением w     w   w   v d
3

ν

2о Тензор угловой скорости. Движение точки O по кривой с сопровождающим ее естественным трехгранником можно рассматривать как частный случай подвижной  системы координат   с движущимся началом отсчета O( t ) ( r 0 ( t ) ) и вращающимся базисом  i ( t ), j ( t ), k ( t )  . В свою очередь задание движения координатного триэдра   O i j k ( t ) равносильно заданию движения твердого тела (расстояния между точками тела сохраняются), с которым жестко связана движущаяся система координат Радиус-векторы произвольной точки A твердого тела в неподвижной и подвижной   системах координат обозначим через R ( t ) и r ( t ) . Очевидно,        R ( t )  r0 ( t )  r ( t )  r0 ( t )   i ( t ) x  j ( t ) y  k ( t ) z  где координаты x, y, z  const (условие неподвижности точки A относительно движущейся системы координат). Следовательно, скорость точки A разлагается на две составляющие            ( t )  r ( t )  r 0  ( t )   i ( t ) x  j( t ) y  k ( t ) z   v п ( t )  v в ( t ) v ( t )  R( t )  r0 Различают два частных случая движения a) поступательное          ( t )  v 0 ( t )  v п ( t )  v ( t )  r0 i , j , k  const  A R  b) вращательное (вокруг неподвижной точки O ) k          r0 r 0  const  v ( t )  i ( t ) x  j( t ) y  k ( t ) z  v в ( t ) r  j Тройка векторов-производных O       i  j k    i полностью определяющая вращение, образует тензор угловой скорости.    Составив из столбцов-координат векторов  i , j, k   матрицу, найдем компоненты    тензора  в ортонормированном базисе  i , j , k            x   j, k    i , i   j, i   k , i    0   z  y                   ,   k  i , i                , , ,  0   i j k j j j k j            z x y                     z   i  , j    i , k   j, k   k , k        y x 0  \\ \\ \\    k  i  j Для выяснения физического смысла компонент тензора  построим вектор     Тогда   i x  j  y  k z     v в  i  x  j y  k  z   i      x   j k    y z

 r  



 d

 r  0  z  y   x    y z   z y     z 0  x   y     z x   x z          y  x 0   z    x y   y x           i j k   v  d v d       в  в      x  y z   , , r d            v         в  vв    d   d x y z Следовательно, твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, в любой момент    времени вращается вокруг мгновенной оси вращения e  с угловой скоростью      называется вектором угловой скорости твердого тела. Вектор
4

v в (r )    , r  

 

 

В общем случае, движение твердого тела поступательно-вращательное       v vп  vв v0    , r   Теорема      - не зависит от выбора базиса  i , j , k    Действительно, если  1 и  2 угловые скорости, построенные по двум разным базисам,   то линейная скорость v произвольной точки с радиус-вектором r равна               v v0     1  2    1, r   v0     2, r     1   2, r    0 r Теорема 

  Действительно, если  1 и  2 угловые скорости, построенные по двум разным началам    O 1 и O 2 , движущихся со скоростями v 1 и v 2 , то линейная скорость v произвольной   точки, имеющей относительно O 1 и O 2 радиус-векторы r1 и r2 , равна        v  v1     1 , r1   v2 v // //                      v v2        2 , r2    v1     1 , r1       1   2 , r2     2 , r2    v1     1, r1  r2 

 - не зависит от выбора точки

O, к

которой

отнесено

вращение



      1   2 , r2    0

  r2



1 2





Таким образом, можно говорить о семействе параллельных осей вращения. Среди них в любой момент времени имеется единственная, точки которой смещаются вдоль нее ( в частности, покоятся ), называемая мгновенной осью вращения.
Теорема Произвольное движение твердого тела – винтовое, т.е. в любой момент времени точки твердого тела движутся по винтовым линиям, вращаясь вокруг мгновенной оси вращения и смещаясь вдоль нее.
мгновенная ось

Разложим скорость произвольно выбранного в теле начала координат на составляющие        v0 v  v , v   ll  , v   Полагая
 r   , v     2 
1

 









так что
  v      , r   

v0

 r0



v




v п v 0
 r





v v п vв v
 








 

приходим к прямой ll 
      , r  r  0

v



v в  v 

точки которой скользят вдоль нее

v  vп  vв  v0    , r    v v     , r   v










 





 




5

2. Кривизна и кручение кривой Теория
1о Кривизной кривой L в точке P0 называется

k   lim

P  P0

  l

 где    - угол поворота единичного вектора касательной  при переходе от точки P0 к точке P ,  а  l - длина дуги P P
0

Радиусом кривизны называется d  k 
Теорема (о кривизне)
  ..    r , r    k     3 r 

1

P0

0
 



l

P





Теорема (геометрический смысл кривизны) Для того, 1) чтобы кривая L была отрезком прямой  1) чтобы кривизна k   0





2о Кручением кривой L в точке P0 называется

k   lim

 где   - угол поворота единичного вектора бинормали 

P  P0

  l

при переходе от точки P0 к точке P ,  а  l - длина дуги P P
0

Радиусом кручения называется d   k 
Теорема (о кручении)

1

 


  

0



k

 , 

. 



 , 
2

.. ...  

Ik I

   r ,



  r , r   2  6 k  r 

P0

l

Теорема (геометрический смысл кручения) Для того, 1) чтобы кривая L была плоской  1) чтобы кручение k   0 6

P

3о Формулы Френе Теорема . . .          k ,        0 k 0        . .  .               , ,   k   k      k   k       k 0 k            . .  .             k        0  k 0     ,    Следствие .    1)   k  - касательная  вращается вокруг мгновенного положения  бинормали  (в соприкасающейся плоскости) с угловой скоростью k   0 .    2)    k  - бинормаль  вращается вокруг мгновенного положения  0 касательной  (в нормальной плоскости) с угловой скоростью k  

ν

(если k   0 , то кривая напоминает “правый винт”, если k   0 , то “левый винт”) 3) естественный трехгранник, ввинчиваясь вдоль кривой правым (левым) винтом,  вращается как твердое тело с мгновенной угловой скоростью  , величина которой  2 2     k2 называется полной кривизной кривой в точке P k k  

ν

ν

ν

ν

ν
,

ν

ν

ν

7

3. Центр инерции

Теория
m1  r1

Центром инерции (центром масс) системы материальных  0 точек с радиус-векторами rk и массами mk называется точка   1 r0  m m   mk  rk m k ,
k k

в

 r0
 rn

m

 rk

mk

которой удобно сосредоточить всю массу m  В случае “сплошного” тела V с плотностью  ( r )   точки r имеют “массу” dm   ( r )dV , так что
 1 r0  m

mn


V

  r  ( r )dV ,

m


V

 ( r )dV



Соответственно, в случае материальной поверхности S или кривой L , получим  1 r0  m


S

  r  ( r )dS , m 


S

 ( r )dS



 1 r0  m


L

  r  ( r )dL,

m


L

 ( r )dL



8

4. Тензор инерции

Теория
1о Твердое тело рассматривается как система материальных точек с радиус-векторами       v k под действием сил Fk rk и массами mk , движущихся со скоростями rk Согласно 2 ему закону Ньютона     mk v   F G k k внеш  Силы Fk разложим на внутренние и внешние      Gk Fk   Fk i  G k Fk 1    где Fk i - сила, с которой на точку rk действует ri Согласно 3 му закону Ньютона     Fk i   Fi k ll  rk  ri 
i k

 r0

m

 rk

 Fk n

mk

vk



так что равнодействующая и суммарный момент внутренних сил равны нулю      F    Fk i   Fk i  F i k  0 внут
k ik





 N

внут




k ik

  r   k , Fk i  

      rk , Fk i      ri , F i k      rk  ri , Fk i  0









Таким   образом, внутренние силы, удерживая точки на неизменном расстоянии rk  ri  const k i , не влияют на движение твердого тела как целого.

9

2о Поступательное движение твердого тела однозначно описывается линейной скоростью центра масс, с которой совпадают линейные скорости остальных точек     v k  v 0  r0 и характеризуется - импульсом (количеством движения)     P   mk v k   mk v 0  m v 0
k k

- кинетической энергией   T 1 m v ,v  1 2  k k k  2
k

 mk  v 0 , v 0  
k





1m 2

 v0 , v0 

 1 2

 P , v0 



Имеют место Теорема (законы сохранения поступательного движения)      Gk  0 - равнодействующая внешних сил равна нулю 1) G внеш
 1)  P      T  



k

 mk v k   Fk   G k
k k k







  G 

внеш

 0  

, v 0    P , v 0   0  mk  v k, v k     mk v k
k k







   P  const   T  const 

Следствие При свободном движении твердого тела его центр инерции прямолинейно и равномерно           0  P   m v 0  v 0  const  r  r0  v 0 t движется

3о Вращательное движение твердого тела однозначно описывается угловой скоростью, через которую выражаются линейные скорости всех точек    vk     , rk   и характеризуется - моментом импульса (кинетическим моментом)       L   mk   rk , v k     mk   rk ,    , rk   
k k

- кинетической энергией   1 T 1 m v  k k,vk   2  2
k

     1  mk     , rk  ,    , rk     2  L,  
k



Имеют место Теорема (законы сохранения вращательного движения)     rk , Gk     0 - суммарный момент внешних сил равен нулю 1) N   внеш  1)    
 0 /     /       , v k    L mk  0  rk   rk , v      rk , Fk      rk , Gk  N k внеш k k k         ,  , v k   mk  v k T  mk  v k   , rk      L,    0
k





   L  const   T  const 

k

k

Для выяснения характера свободного вращения твердого тела введем в рассмотрение 10

3о Тензор инерции   Зависимость кинетического момента L от угловой скорости   L

 mk   rk ,    , rk      mk    rk , rk   rk   , rk    ?  
        
k k



- линейна. Тем самым, задается линейный оператор
J   rk ,    mk 
k



 , rk   

    mk    rk , rk   rk 
k

  , rk



получивший название тензора инерции. Тогда    L  J     T  1 J ,  2     P  Mv     T  1 Mv ,v  2      L  N внеш      T    L, 



 1 2



  L, 





Сравнивая! с динамическими характеристиками поступательного движения     P   G внеш     T    P , v



 1 2



  P, v 



видно, что тензор инерции J при вращении играет роль аналогичную массе тела M  m I (мера инертности) при поступательном движении. Впитывая в себя геометрию распределения масс, тензор инерции J характеризует инертные свойства тела при его вращении, когда нас интересует не просто масса, а и ее удаление от точки вращения. Замечание. Тензор инерции J зависит от выбора неподвижной точки вращения в твердом  теле и потому говорят о тензоре инерции твердого тела в данной точке J  J( r ) 4о Фиксируя некоторый ортонормированный базис

 i , j, k ,

  

найдем компоненты

тензора инерции, на которые удобно смотреть, как на координаты J в выбранном базисе

 L    x L   Ly     Lz  

 mk 
k

 x   xk     x2  y2  z2   y   x   y   z y k z k k k   y k  k x k    z    zk    x      J y     z  

 

 yk2  zk2  xk yk  xk zk   2 2   mk    yk xk zk  xk  yk zk  k 2 2    zk xk  zk yk xk  yk   так что

 J xx J xy J xz   yk2  zk2  xk yk  xk zk     2 2 J  J yx J yy J yz    mk   yk xk zk  xk  yk zk  k 2 2    J zx J zy J zz     zk xk  zk yk xk  yk  



J  J*

11

   Полагая   e   , построим момент инерции тела относительно оси вращения e 2         2    Je  2 Je , e    mk    T1  e , rk  ,   e , rk      mk   e, d k     mk d k 2 Je  k k k   где d k  d k - расстояние от точки rk до оси вращения (стр. 5).

Момент инерции характеризует распределение масс вокруг выделенной оси и дает представление о том, насколько далеко масса тела удалена от оси вращения Следовательно, диагональные компоненты J x x , J y y , J z z - это моменты инерции тела относительно осей координат Ox, Oy, Oz . Внедиагональные центробежными компоненты J xy  J yx , J yz  J zy , J zx  J xz называются моментами тела относительно соответствующей пары осей  Замечание. В случае “сплошного” тела V с плотностью  ( r ) ( поверхности S , кривой L )     каждая точка r имеет “массу” dm   ( r )dV    ( r )dS ,   ( r )dL  , так что

J 


V

     r,    ,r    ( r )dV






S

     r,    ,r    ( r )dS , 


L

     r,    ,r    ( r )dL 

В частности,
  Je

 de  x, y, z    x, y, z  dx dy dz
2 V

J xx  J xy  

  y
V

2


V

2 dO x x y   x, y, z  dx dy dz  J yx ,

\\

 z 2    x, y, z  dx dy dz ,

J yy  ... , J xz  J zx  ... ,

J zz  ... J yz  J zy  ...

5о Оператор инерции J – симметричный (более того, положительный)        J  1 ,  2     1 , J  2  ,  J  ,    2T  0  так что существует ортонормированный базис из собственных векторов  ek
  J ek   k e k

  k  1, 2,3



 Направления  ek  получили названия главных осей инерции. Соответствующие собственные значения  k  J k – это моменты инерции относительно главных осей инерции (главные моменты).

 k   J ek , ek   J k  0





6о С тензором инерции J удобно связать так называемый эллипсоид инерции тела в точке вращения    J ,    1 позволяющий геометрически представить (“увидеть” ?! ) тензор, и имеющий в системе    координат из главных осей  e 1 , e2 , e3  канонический вид
2 2 J1  12  J 2  2  J3  3 1



 12
1


2

2 2

1


2

2 3

1

 1
2

J1

J2

J3

Следовательно, главные оси эллипсоида инерции одновременно и главные оси инерции Jk . тела, а их длины обратно пропорциональны
12

Замечание. Если тело вытянуто вдоль некоторой оси, то момент инерции относительно этой оси мал (малы расстояния d k от точек до оси), так что эллипсоид инерции тоже вытянут вдоль этой оси. Следовательно, эллипсоид инерции, жестко связанный с твердым телом в данной точке, повторяет некоторые его основные черты. В частности, если имеется проходящая через неподвижную точку O ось симметрии, при повороте вокруг которой тело совмещается с собой, то и эллипсоид должен совместиться, что возможно, если это одна из его осей, т.е. главная ось инерции. Более того, поскольку трехосный эллипсоид может совместиться с собой лишь при повороте на угол  , то при меньших углах это возможно только в случае эллипсоида вращения

  7о Если суммарный момент внешних сил N  0 , например, на тело действует только внеш     сила реакции связи G k 0  0 , приложенная к точке вращения rk 0  0 , удерживая ее в
неподвижном состоянии, то кинетический момент и кинетическая энергия сохраняются
   L  J   const ,

    1 L,  T1 J  ,        const 2 2

Геометрическое истолкование полученным законам сохранения дал французский ученый XIX века Пуансо.

Теорема
В отсутствии внешних активных сил твердое тело вращается вокруг неподвижной точки так, что эллипсоид инерции

 J  ,    2T
(геометрический центр которого совпадает с неподвижной точкой вращения) катится без скольжения по неподвижной плоскости    L,    2T


 



 L

Следствие

  Стационарное вращение вокруг неподвижной оси   const возможно только в случае, если это одна из главных осей инерции.

В частности,

Следствие
Свободное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси возможно лишь вокруг одной из центральных главных осей инерции (проходящих через центр масс тела) 13