Ëåêöèè ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ñåìåñòð I ßìïîëüñêèé À.Ë. 20072008 2 Îãëàâëåíèå 1 Ãåîìåòðèÿ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé 1.1 Âåêòîðû è îïåðàöèè íàä íèìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Íàïðàâëåííûå îòðåçêè. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåêòîðû . . . . . . . . . . 1.1.2 Îïåðàöèè íàä ãåîìåòðè÷åñêèìè âåêòîðàìè . . . . . . . . . . . . . Ëèíåéíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Êîîðäèíàòû âåêòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ôîðìóëà äåëåíèÿ îòðåçêîâ â äàííîì îòíîøåíèè . . . . . . . . . . 1.3.3 Óðàâíåíèå ïðÿìîé â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ . . . . . . . . . 1.4.2 Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Ìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå . . . . . . . . . . 1.4.5 Íåêîòîðûå çàäà÷è, ðåøàåìûå ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ Îðèåíòàöèÿ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Ïðåîáðàçîâàíèå áàçèñîâ è êîîðäèíàò . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Îðèåíòàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ îðèåíòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ . . . . . . . . . 1.6.2 Íåêîòîðûå ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Íåêîòîðûå ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ Ýëåìåíòû ìíîãîìåðíîé àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 Óðàâíåíèå k − ìåðíîé ïëîñêîñòè â An . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Ïîäïðîñòðàíñòâà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå . . . . . . . . . . . . . 1.7.3 Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé â An . . . . . . . . . . . 1.7.4 Ïðàêòè÷åñêèé ñïîñîá âûÿñíåíèÿ âçàèìíîãî ðàçìåùåíèÿ ïëîñêîñòåé â An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 5 6 7 10 12 13 14 14 16 20 26 26 27 28 30 32 37 37 38 40 42 42 44 46 46 47 48 48 49 53 58 5 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 4 ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ 1.7.5 Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè â E n . . . . . . . . . . . . . . Âûïóêëûå ìíîæåñòâà â An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ìíîæåñòâ 1.8.2 Âûïóêëàÿ îáîëî÷êà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Çàäà÷à ëèíåéíé îïòèìèçàöèè . . . . . . . . . . . . . . . Äâèæåíèÿ. Êëàññèôèêàöèÿ äâèæåíèé . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ . . . . . . 1.9.2 Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå äâèæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . 1.9.3 Êëàññèôèêàöèÿ äâèæåíèé íà ïëîñêîñòè . . . . . . . . . 1.9.4 Êëàññèôèêàöèÿ äâèæåíèé â ïðîñòðàíñòâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 67 67 68 72 73 73 74 76 81 1.8 1.9 Ãëàâà 1 Ãåîìåòðèÿ ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé 1.1 Âåêòîðû è îïåðàöèè íàä íèìè 1.1.1 Íàïðàâëåííûå îòðåçêè. Ãåîìåòðè÷åñêèå âåêòîðû Ïîñòðîåíèå êóðñà àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ìû íà÷íåì ñ ïðîñòûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ íàáëþäåíèé è êîíñòðóêöèé, ìîòèâèðîâàííûõ âî ìíîãîì íàøèì ÷óâñòâåííûì âîñïðèÿòèåì îêðóæàþùåãî ìèðà, åñòåñòâåííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîðì. Êàê è âî âðåìåíà Åâêëèäà, ê íåîïðåäåëÿåìûì, àïðèîðè ÿñíûì ãåîìåòðè÷åñêèì îáúåêòàì ìû îòíîñèì òî÷êè, ïðÿìûå è ïëîñêîñòè, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû â îêðóæàþùåì íàñ ïðîñòðàíñòâå. Òî÷êè áóäåì îáîçíà÷àòü çàãëàâíûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà. Èç àêñèîìàòèêè Åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè ïëîñêîñòè è ïðîñòðàíñòâà ( íàïðèìåð, àêñèîì ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè À.Â.Ïîãîðåëîâà) íàì èçâåñòíî, ÷òî âñÿêèå äâå íåñîâïàäàþùèå òî÷êè A è B íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿþò åäèíñòâåííóþ ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ ýòè òî÷êè, èëè, âûðàæàÿñü ãåîìåòðè÷åñêèì ÿçûêîì, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êè A è B . ×àñòü ïðÿìîé, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó òî÷êàìè A è B íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì ïðÿìîé ñ êîíöåâûìè òî÷êàìè A è B .  îïðåäåëåíèè îòðåçêà íå âàæåí ïîðÿäîê, â êîòîðîì ìû ïåðå÷èñëÿåì êîíöåâûå òî÷êè îòðåçêà. Èíòóèòèâíî ÿñíî, îäíàêî, ÷òî ïîðÿäîê ïåðå÷èñëåíèÿ òî÷åê îòðåçêà ìîæåò èìåòü çíà÷åíèå. Ýòî èíòóèòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå áàçèðóåòñÿ, íåñîìíåííî, íà íàøåì îïûòå òå÷åíèÿ âðåìåíè. Äëÿ íàñ ïî æèçíè âàæíî, êàêîå èç äâóõ ñîáûòèé ïðîèçîøëî ðàíüøå.  ãåîìåòðèè òàêîå ÷óâñòâåííîå îùóùåíèå îòðàæàåòñÿ â ïîíÿòèè íàïðàâëåííîãî îòðåçêà è ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé äëÿ îäíîãî èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé â ãåîìåòðèè  ïîíÿòèÿ îðèåíòàöèè. Íàïðàâëåííûì îòðåçêîì íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà òî÷åê (A, B ). Òî÷êà A íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíîé òî÷êîé, èëè íà÷àëîì, íàïðàâëåííîãî îòðåçêà, à òî÷êà B - åãî êîíöåâîé òî÷êîé, èëè êîíöîì íàïðàâëåííîãî − − → îòðåçêà. Íàïðàâëåííûé îòðåçîê îáîçíà÷àþò AB . Äâà íàïðàâëåííûõ îòðåçêà íàçûâàþòñÿ êîëëèíåàðíûìè, åñëè ðàñïîëîæåíû íà îäíîé èëè íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ. Ïóñòü l  ïðÿìàÿ, O ∈ l. Òî÷êà O ðàçáèâàåò l íà äâå ïîëóïðÿìûå. Çàôèêñèðóåì òî÷êó A íà ïðÿìîé, îòëè÷íóþ îò òî÷êè O. Ëó÷åì ñ íà÷àëîì â òî÷êå O íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèå âñåõ îòðåçêîâ, êîòîðûå ñîäåðæàò òî÷êó A è èìåþò îáùèé êîíåö â òî÷êå O. Î÷åâèäíî, ÷òî íàïðàâëåííûé îòðåçîê − → − → OA îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ëó÷, êîòîðûé ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç ray (OA). 5 6 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ − − → − − → Ïóñòü AB, CD êîëëèíåàðíûå íàïðàâëåííûå îòðåçêè, ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé − − → − − → ïðÿìîé l. Ýòè îòðåçêè íàçûâàþòñÿ ñîíàïðàâëåííûìè (îáîçíà÷åíèå AB CD), åñëè − − → − − → − − → ray (AB ) ⊃ ray (CD), èëè íàîáîðîò.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, íàïðàâëåííûå îòðåçêè AB è − − → − − → − − → CD íàçûâàþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè (AB ↑↓ CD). Èç àêñèîì ïëàíèìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî ïðÿìàÿ ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà äâå ïîëóïëîñêîñòè. − − → − − → Ïóñòü AB, CD êîëëèíåàðíûå íàïðàâëåííûå îòðåçêè, íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé. Îíè íàçûâàþòñÿ ñîíàïðàâëåííûìè, åñëè òî÷êè B è D ëåæàò â îäíîé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè, åñëè òî÷êè B è D ëåæàò â ðàçëè÷íûõ ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AC − − → Äëèíîé íàïðàâëåííîãî îòðåçêà AB íàçûâàåòñÿ äëèíà ñîîòâåòñòâóþùåãî îòðåçêà − − → − − → [A, B ]. Äëèíà íàïðàâëåííîãî îòðåçêà AB îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç |AB |. Äâà íàïðàâëåííûõ îòðåçêà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îíè ñîíàïðàâëåíû è èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó. Ãåîìåòðè÷åñêèì âåêòîðîì íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ ðàâíûõ ìåæäó ñîáîé íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ. Êàæäûé èç òàêèõ íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâèòåëåì âåêòîðà. Âåêòîðû, â îòëè÷èå îò íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ, áóäåì îáîçíà÷àòü ñòðî÷íûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà ñî ñòðåëêîé. Íàïðèìåð, a, b, c, . . . . Êàæäûé íàïðàâëåííûé îòðåçîê îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò âåêòîð è êàæäûé âåêòîð èìååò ñâîåãî ïðåäñòàâèòåëÿ ñ íà÷àëîì â ëþáîé òî÷êå ïëîñêîñòè èëè ïðîñòðàíñòâà. Âûðàæåíèå:"Çàäàòü ïðåäñòàâèòåëü âåêòîðà â äàííîé òî÷êå "ýêâèâàëåíòíî âûðàæåíèþ "Îòëîæèòü âåêòîð îò äàííîé òî÷êè ". ×òîáû íå óòÿæåëÿòü òåðìèíîëîãèþ, â äàëüíåéøåì âåêòîð è íàïðàâëåííûé îòðåçîê ðàçëè÷àòü íå áóäåì â òîì ñìûñëå, ÷òî ãîâîðÿ î âåêòîðå êàæäûé ðàç áóäåì âûáèðàòü åãî ïðåäñòàâèòåëü, îòëîæåííûé îò íóæíîé òî÷êè. 1.1.2 Îïåðàöèè íàä ãåîìåòðè÷åñêèìè âåêòîðàìè Ñëîæåíèå âåêòîðîâ Îïðåäåëåíèå 1.1.1 Ïóñòü a, b çàäàííûå âåêòîðû. Ñóììîé a + b âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ âåêòîð, íà÷àëî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì âåêòîðà a, à êîíåö  ñ êîíöîì âåêòîðà b, ïðè óñëîâèè, ÷òî âåêòîð b îòëîæåí îò êîíöà âåêòîðà a. Î÷åâèäíûìè ñâîéñòâàìè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, âûòåêàþùèìè èç îïðåäåëåíèÿ èõ ñóììû, ÿâëÿþòñÿ • Êîììóòàòèâíîñòü a + b = b + a • Àññîöèàòèâíîñòü (a + b) + c = a + (b + c). Äîïîëíèì ìíîæåñòâî ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ "îòðåçêîì", íà÷àëî è êîíåö êîòîðîãî ñîâïàäàþò. Ðàçóìååòñÿ, äëèíà òàêîãî îòðåçêà ðàâíà 0, à íàïðàâëåíèå íå îïðåäåëåíî. Îïðåäåëèì íóëåâîé âåêòîð, êàê "âåêòîð", ïðåäñòàâëåííûé â êàæäîé òî÷êå íóëåâûì íàïðàâëåííûì îòðåçêîì. Îáîçíà÷àòü íóëåâîé âåêòîð áóäåì 0. Âåêòîð b íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì âåêòîðó a, åñëè a + b = 0. Òàêîé âåêòîð áóäåì îáîçíà÷àòü −a. ßñíî, ÷òî | − a| = |a|. 1.2. ËÈÍÅÉÍÎÅ ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ. 7 Ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà íà âåêòîð Ïóñòü a  âåêòîð, λ  âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Ïðîèçâåäåíèåì ÷èñëà λ íà âåêòîð a íàçûâàåòñÿ âåêòîð b, îïðåäåëÿåìûé ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:   |b| = |λ||a|;      b a, åñëèλ > 0;   b ↑↓ a, åñëèλ < 0;     0, åñëè λ = 0. Äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî óïîòðåáëÿåòñÿ îáîçíà÷åíèå λ a. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè a = 0, òî λ a = 0 äëÿ ëþáîãî λ. Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñëà íà âåêòîð ñîãëàñîâàíî ñ îïðåäåëåíèåì ñóììû âåêòîðîâ â òîì ñìûñëå, ÷òî na = a + · · · + a, n äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ∈ N Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ ÷èñëà íà âåêòîð. Åñëè a − âåêòîð, λ, µ ∈ R, òî 1. λ(µa) = (λµ)a; 2. (λ + µ)a = λa + µa; 3. λ(a + b) = λa + µa; 4. 1a = a. 1.2 Ëèíåéíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ìíîæåñòâî L ýëåìåíòîâ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû íàçûâàåòñÿ âåùåñòâåííûì ëèíåéíûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè: 1. Êàæäûì äâóì ýëåìåíòàì a, b ∈ L ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíò a + b, íàçûâàåìûé ñóììîé ýëåìåíòîâ a è b. 2. äëÿ êàæäîãî a ∈ L è äëÿ êàæäîãî âåùåñòâåííîãî λ ñîïîñòàâëåí ýëåìåíò λ a ∈ L, íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì ÷èñëà λ íà ýëåìåíò a. Ýòè îïåðàöèè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì àêñèîìàì: 1. a + b = b + a (êîììóòàòèâíîñòü); (àññîöèàòèâíîñòü); 2. (a + b) + c = a + (b + c) 3. ñóùåñòâóåò 0 ∈ L òàêîé, ÷òî äëÿ êàæäîãî a ∈ L âûïîëíåíî ðàâåíñòâî a + 0 = a; 4. äëÿ êàæäîãî a ∈ L ñóùåñòâóåò −a ∈ L òàêîé, ÷òî a + (−a) = 0; 8 5. λ(µa) = (λµ)a; 6. (λ + µ)a = λa + µa; 7. λ(a + b) = λa + λb; 8. 1a = a. ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ λ, µ è ëþáûõ a, b ∈ L. Ýëåìåíòû ëèíåéíîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà ïðèíÿòî íàçûâàòü âåêòîðàìè. Ïðèìåðû ëèíåéíûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ. 1. Ìíîæåñòâî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ ñ îïðåäåëåííûìè âûøå îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî. 2. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè, íå ïðåâûøàþùåé n ∈ N , ñ îáû÷íûìè îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî. an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0, ak ∈ R. Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåíè ðàâíîé n íå îáðàçóåò ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà (äîêàæèòå). 3. X  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, L  ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà X . Îïðåäåëèì îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî íà ìíîæåñòâå L ñëåäóþùèìè åñòåñòâåííûìè ïðàâèëàìè: (f + g )(x) = f (x) + g (x), (kf )(x) = kf (x) â êàæäîé òî÷êå x ∈ X . . 4. Âåêòîð-ñòðîêè. Ïóñòü L = {(a1 , a2 , . . . , an )| ai ∈ R}  ìíîæåñòâî íàáîðîâ èç n âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ýëåìåíòîì ýòîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿþòñÿ ñòðîêè, âèäà a = (a1 , a2 , . . . , an ). Îïðåäåëèì íà L îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî ñëåäóþùèì îáðàçîì: (a) Åñëè a = (a1 , a2 , . . . , an ), b = (b1 , b2 , . . . , bn ), òî a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ); (b) Åñëè a = (a1 , a2 , . . . , an ), λ ∈ R, òî λa = (λa1 , λa2 , . . . , λan ).. Ïóñòü L  ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, (a1 , . . . , an ) ∈ L. Ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a1 , . . . , an íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an . 1.2. ËÈÍÅÉÍÎÅ ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ. 9 Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì. Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ íåòðèâèàëüíîé, åñëè õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ýòîé êîìáèíàöèè íå ðàâåí íóëþ. Ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ a1 , . . . , an ( èëè, â äðóãîé òåðìèíîëîãèè, ñèñòåìà ) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè íå ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýòèõ âåêòîðîâ, ðàâíîé 0.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ýòà ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìîé. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðîñòûõ óòâåðæäåíèé î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ñèñòåì âåêòîðîâ. Ïðåäëîæåíèå 1.2.1 Åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ {a1 , . . . , an } ñîäåðæèò íóëåâîé âåêòîð, òî ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðâûé âåêòîð  íóëåâîé. Ñîñòàâèì ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ, âèäà λ1 a1 + 0a2 + · · · + 0an , λ1 = 0. ßñíî, ÷òî ýòà ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äàåò íóëåâîé âåêòîð, íî íå ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, {a1 , . . . , an }  ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà. Ïðåäëîæåíèå 1.2.2 Ñèñòåìà âåêòîðîâ {a1 , . . . , an } ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäèí èç âåêòîðîâ ñèñòåìû ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñèñòåìà {a1 , . . . , an } ëèíåéíî çàâèñèìà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an = 0, ïðè÷åì õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ îòëè÷åí îò íóëÿ. Ïåðåíóìåðîâàâ, åñëè íóæíî, âåêòîðû, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî λ1 = 0. Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íà 1/λ1 . Ïîëó÷èì λn λ2 an = 0, a1 + a2 + · · · + λ1 λ1 à ñëåäîâàòåëüíî a1 = µ2 a2 + · · · + µn an , ãäå µ2 = − λ2 λn , . . . , µn = − . λ1 λ1 Îáðàòíî, ïóñòü íåêîòîðûé âåêòîð ñèñòåìû {a1 , . . . , an } ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îñòàëüíûå. Ïåðåíóìåðîâàâ, åñëè íóæíî, âåêòîðû, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî âåêòîð a1 : a1 = µ2 a2 + · · · + µn an . Íî òîãäà ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ a1 − µ2 a2 − · · · − µn an = 0 íå òðèâèàëüíàÿ, ÷òî îçíà÷àåò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü âñåé ñèñòåìû. 10 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ 1.2.1 Áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Îïðåäåëåíèå 1.2.1 Ïóñòü L ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñèñòåìà âåêòîðîâ {a1 , . . . , an } ∈ L íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L, åñëè: • Ñèñòåìà {a1 , . . . , an } ëèíåéíî íåçàâèñèìà; • äëÿ êàæäîãî b ∈ L ñèñòåìà âåêòîðîâ {a1 , . . . , an , b} ëèíåéíî çàâèñèìà. Êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ áàçèñà íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç dim L. Çàìå÷àíèå. Èç âòîðîãî óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ëþáîé b ∈ L ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ {a1 , . . . , an }, òî åñòü b = λ1 a1 + · · · + λn an . Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû. Ïðåäëîæåíèå 1.2.3 Ìíîæåñòâî êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî dim L = 1 à áàçèñ â L ñîñòàâëÿåò ëþáîé íåíóëåâîé âåêòîð èç L. {a}, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî âåêòîðà, ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü λa = 0. Òîãäà |λ||a| = 0. Íî a = 0, çíà÷èò |a| = 0, è ñëåäîâàòåëüíî λ = 0. Òàêèì îáðàçîì, íå ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè äàííîé ñèñòåìû, ðàâíîé íóëåâîìó âåêòîðó, ÷òî îçíà÷àåò ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñèñòåìû. Ïóñòü b ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, êîëëèíåàðíûé a. Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ: a) Âåêòîðû a è b ñîíàïðàâëåíû. b Ïóñòü |b| = b, |a| = a. Ðàññìîòðèì c = a a. Òîãäà c a è òàê êàê a b , b òî c b. Ïîñêîëüêó |c| = a |a| = b , òî c = b êàê âåêòîðû, èìåþùèå b îäèíàêîâóþ äëèíó è íàïðàâëåíèå. Òàêèì îáðàçîì, b = a a, òî åñòü âåêòîð b ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîð a. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a ïðîèçâîëüíûé íåíóëåâîé âåêòîð. Ñèñòåìà âåêòîðîâ á) Âåêòîðû a è b ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíû. b Àíàëîãè÷íî ï. à), ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî b = − a a. Òàêèì îáðàçîì, áàçèñ ïðîñòðàíñòâà êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ ñîñòàâëÿåò ïðîèçâîëüíûé âåêòîð {a} = 0 è ðàçìåðíîñòü dim L = 1. Âåêòîðû a1 , . . . , an íàçûâàþòñÿ êîìïëàíàðíûìè, åñëè ïðåäñòàâëÿþùèå èõ íàïðàâëåííûå îòðåçêè ðàñïîëîæåíû â îäíîé èëè ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ. 1.2. ËÈÍÅÉÍÎÅ ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ. 11 Ïðåäëîæåíèå 1.2.4 Ìíîæåñòâî êîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî dim L = 2, à áàçèñ â L ñîñòàâëÿåò ëþáàÿ ïàðà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âåêòîðû a è b êîìïëàíàðíû. Îòëîæèì èõ îò − → − − → îáùåãî íà÷àëà O. Ïóñòü OA è OB íàïðàâëåííûå îòðåçêè, ïðåäñòàâëÿþùèå âåêòîðû − → − − → a è b. Íàïðàâëåííûå îòðåçêè OA è OB îïðåäåëÿþò ïëîñêîñòü. Ïî ïðàâèëó ñëîæå− → − − → íèÿ íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ, ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ λOA + µOB ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüþ ïàðàëëåëîãðàììà, ëåæàùåãî, î÷åâèäíî, â ýòîé æå ïëîñêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð λa + µb êîìïëàíàðåí âåêòîðàì a è b è, òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî êîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü a1 è , a2 íåêîëëèíåàðíûå âåêòîðû, òîãäà ñèñòåìà {a1 , a2 } ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü λ1 a1 + λ2 a2 = 0. λ2 Åñëè êîìáèíàöèÿ íåòðèâèàëüíà, ñêàæåì λ1 = 0 òî, a1 = − λ a2 , à ñëåäîâàòåëüíî, 1 âåêòîðû a1 è a2 êîëëèíåàðíû. Ïðîòèâîðå÷èå. Ïóñòü b ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, êîìïëàíàðíûé a1 è a2 . Îòëîæèì âåêòîðû a1 , a2 è b − − → − − → − − → îò îáùåãî íà÷àëà O è ïóñòü OA1 , OA2 è OB ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðàâëåííûå îòðåçêè. ×åðåç òî÷êó B ïðîâåäåì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îòðåçêàì OA1 è OA2 . Ïóñòü B1 è B2 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ ñ ïðÿìûìè îòðåçêîâ OA1 è OA2 . Òîãäà, î÷åâèäíî, − − → − − → − − → − − → − − → OB = OB1 + OB2 = λ OA1 + µ OA2 äëÿ íåêîòîðûõ λ è µ. Ïåðåõîäÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì âåêòîðàì, ïîëó÷àåì b = λ1 a1 + λ2 a2 . Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà {a1 , a2 } îáðàçóåò áàçèñ ðàññìàòðèâàåìîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà è dim L = 2. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íåòðóäíî ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ. Ïðåäëîæåíèå 1.2.5 Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî dim L = 3, à áàçèñ â L ñîñòàâëÿþò ëþáûå òðè íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðà. Âàæíûìè ñëåäñòâèÿìè äîêàçàííûõ óòâåðæäåíèé ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå êðèòåðèè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè, äîêàçàòåëüñòâà êîòîðûõ îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ. Ïðåäëîæåíèå 1.2.6 Äâà ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðà êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè çàâèñèìû. ëèíåéíî çàâèñèìû. Ïðåäëîæåíèå 1.2.7 Òðè âåêòîðà êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè Áîëåå ôîðìàëüíûå ðàññìîòðåíèÿ íåîáõîäèìû ïðè ðàññìîòðåíèè íèæåñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ. Óïðàæíåíèå 1.2.1 Ïóñòü L ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñòðîê äëèíû n. Äîêàçàòü, ÷òî ðàçìåðíîñòü dim L = n, à áàçèñ â L ñîñòàâëÿþò âåêòîðû e1 = {1, 0, . . . , 0}, e2 = {0, 1, . . . , 0}, . . . , en = {0, 0, . . . , 1}. 12 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ 1.2.2 Êîîðäèíàòû âåêòîðà Ïóñòü L ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, a1 , . . . , an áàçèñ â íåì. Ïóñòü b ∈ L ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Òîãäà b = b1 a1 + b2 a2 + · · · + bn an , ãäå bi ∈ R (i = 1, . . . , n). Íàáîð ÷èñåë {b1 , . . . , bn } íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà b îòíîñèòåëüíî áàçèñà a1 , . . . , an . èìíî îäíîçíà÷íûì. Óïðàæíåíèå 1.2.2 Äîêàæèòå, ÷òî ñîîòâåòñòâèå b → {b1 , . . . , bn } ÿâëÿåòñÿ âçà- Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ÷èñåë {b1 , . . . , bn } â âûøåïðèâåäåííîì ðàçëîæåíèè áóäåì íàçûâàòü êîîðäèíàòíûì ïðåäñòàâëåíèåì âåêòîðà b ( â çàäàííîì áàçèñå ) è çàïèñûâàòü b = {b1 , . . . , bn }. Çàôèêñèðóåì áàçèñ a1 , . . . , an . Ïóñòü b è c äâà ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðà â L. Òîãäà îòíîñèòåëüíî âûáðàííîãî áàçèñà âåêòîðû a è b ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè: b = {b1 , . . . , bn }, c = {c1 , . . . , cn }. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî: a) b + c = {b1 + c1 , . . . , bn + cn }; á) λb = {λb1 , . . . , λbn }. Äåéñòâèòåëüíî, çàïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíî b = b1 a1 + · · · + bn an , c = c1 a1 + · · · + cn an , b + c = b1 a1 + · · · + bn an + c1 a1 + · · · + cn an = (b1 + c1 )a1 + · · · + (bn + cn )an , à çíà÷èò, b + c → {b1 + c1 , . . . , bn + cn }, òî åñòü b + c = {b1 + c1 , . . . , bn + cn }. Àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿ è ï. á). èõ êîîðäèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû. Ïðåäëîæåíèå 1.2.8 Äâà âåêòîðà b è c êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü b = {b1 , . . . , bn }, c = {c1 , . . . , cn } êîîðäèíàòíûå ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîðîâ b è c è ïóñòü ýòè âåêòîðû êîëëèíåàðíû. Òîãäà îíè ëèíåéíî çàâèñèìû , ò.å. b = λc. 1.3. ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ Ïåðåõîäÿ ê êîîðäèíàòíûì ïðåäñòàâëåíèÿì, èìååì: 13 {b1 , . . . , bn } = λ{c1 , . . . , cn } ⇒ {b1 , . . . , bn } = {λc1 , . . . , λcn }. È ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû âåêòîðà îòíîñèòåëüíî äàííîãî áàçèñà îïðåäåëåíû åäèíñòâåííûì îáðàçîì, òî b1 = λc1 , . . . , bn = λcn . Ïðåäëîæåíèå 1.2.9 Òðè âåêòîðà b, c, p êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîîðäèíàòû îäíîãî èç íèõ ëèíåéíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû îñòàëüíûõ. ëèíåéíî çàâèñèìû, à çíà÷èò äëÿ îäíîãî èç íèõ, ñêàæåì b, ìîæíî çàïèñàòü Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü âåêòîðû b, c, p êîìïëàíàðíû. Òîãäà îíè b = λc + µp. Ïåðåõîäÿ ê êîîðäèíàòàì, ïîëó÷èì {b1 , . . . , bn } = {λc1 + µp1 , . . . , λcn + µpn }. È ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû âåêòîðà îòíîñèòåëüíî äàííîãî áàçèñà îïðåäåëåíû åäèíñòâåííûì îáðàçîì, òî  1  b = λc1 + µp1 , ... ... ...  n b = λcn + µpn . 1.3 Àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî Ïóñòü A ìíîæåñòâî ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû. L ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, dim L = n. Îïðåäåëåíèå 1.3.1 Ïàðà A = (A, L) íàçûâàåòñÿ àôôèííûì ïðîñòðàíñòâîì, åñëè ñóùåñòâóåò (çàäàíî) îòîáðàæåíèå ϕ : A×A → L, ñòàâÿùåå â ñîîòâåòñòâèå òî÷êàì − − − − → M1 , M2 ∈ A åäèíñòâåííûé âåêòîð â L, îáîçíà÷àåìûé êàê M1 M2 , ïðè÷åì 1. Äëÿ ëþáîé òî÷êè M1 ∈ A è ëþáîãî âåêòîðà a ∈ L ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ − − − − → òî÷êà M2 ∈ A òàêàÿ, ÷òî M1 M2 = a, 2. äëÿ ëþáûõ M1 , M2 , M3 ∈ A èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî: − − − − → − − − − → − − − − → M1 M2 + M2 M3 = M1 M3 . Ïðèìåðû. 1. Ïëîñêîñòü êàê àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî. Ïóñòü A ïëîñêîñòü, L  ìíîæåñòâî âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè. Çàäàäèì îòîáðàæåíèå ϕ : A×A → L, ñîïîñòàâëÿÿ ïàðå òî÷åê − − − − → (M1 , M2 ) íàïðàâëåííûé îòðåçîê M1 M2 . Òîãäà ïàðà A = (A, L) îáðàçóåò àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî, íàçûâàåìîå àôôèííîé ïëîñêîñòüþ. 14 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ n 2. Rn êàê àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî. Ðàññìîòðèì òî÷å÷íîå ìíîæåñòâî A = Ròî÷ = n (x1 , . . . , xn ) è ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L = Râåêò = {x1 , . . . , xn }. Çàäàäèì îòîán n ðàæåíèå ϕ : Ròî÷ × Ròî÷ → Rn äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëó (1) ϕ(M1 , M2 ) = {x1 − x1 , . . . , x(2) n − xn }, (2) (1) ãäå M1 = (x1 , . . . , xn ), M2 = (x1 , . . . , xn ). Òîãäà ïàðà n n n Ràô = (Ròî÷ , Râåêò ) (1) (1) (2) (2) ÿâëÿåòñÿ àôôèííûì ïðîñòðàíñòâîì. 1.3.1 Àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò Ïóñòü An = (A, L) àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî. Çàôèêñèðóåì òî÷êó O ∈ A è ïðîèçâîëü− − → íûé áàçèñ e1 , . . . , en ∈ L. Ïóñòü M ∈ A  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Òîãäà âåêòîð OM − − → íàçûâàåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì òî÷êà M . Ðàçëîæèì OM îòíîñèòåëüíî âûáðàííîãî áàçèñà: − − → OM = x1 e1 + · · · + xn en . Íàáîð ÷èñåë (x1 , . . . , xn ) íàçûâàåòñÿ àôôèííûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè M (îòíîñèòåëüíî áàçèñà e1 , . . . , en ), à ïîñòðîåííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ àôôèííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò. n Ïðåäëîæåíèå 1.3.1 Ïóñòü M1 , M2 äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè An . Ïóñòü (x1 (1) , . . . , x(1) ) n  àôôèííûå êîîðäèíàòû òî÷êè M1 , (x1 (2) , . . . , x(2) )  àôôèííûå êîîðäèíàòû òî÷êè − − − − → M2 . Òîãäà âåêòîð M1 M2 èìååò êîîðäèíàòû 1 n n {x1 (2) − x(1) , . . . , x(2) − x(1) }. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîñòîòû, ðàññìîòðèì ñëó÷àé n = 2. Èìååì, 2 rM1 = x1 (1) e1 + x(1) e2 , 2 rM2 = x1 (2) e1 + x(2) e2 . − − − − → 2 1 2 M1 M2 = rM2 − rM1 = x1 (2) e1 + x(2) e2 − x(1) e1 − x(1) e2 = 1 2 2 = (x1 (2) − x(1) )e1 + (x(2) − x(1) )e2 , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 1.3.2 Ôîðìóëà äåëåíèÿ îòðåçêîâ â äàííîì îòíîøåíèè Ïóñòü A3 (ãåîìåòðè÷åñêîå) àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî, M1 , M2 ∈ A. Áóäåì ãîâîðèòü, λ1 ÷òî òî÷êà M äåëèò îòðåçîê [M1 , M2 ] â îòíîøåíèè λ , åñëè 2 − − − → λ1 − − − → M1 M = M M2 . λ2 1.3. ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ Ïîëîæèì k = λ1 λ2 15 è ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå óñëîâèå â âèäå − − − → − − − → M1 M = k M M2 , k ∈ [0; +∞). Íàéäåì êîîðäèíàòû òî÷êè M , åñëè èçâåñòíû êîîðäèíàòû òî÷åê M1 è M2 . Ïóñòü O e1 e2 e3  àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïóñòü M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ). Òîãäà − − − → − − − → M1 M = r − r1 , M M2 = r2 − r, λ1 λ2 (r2 − r ), λ1 1 r(1 + λ λ2 ) = λ2 r2 + r1 , r2 +λ2 r1 . r = λ1λ 1 +λ2 r − r1 = Èòàê, ðàäèóñ-âåêòîð èñêîìîé òî÷êè çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: r= λ1 r2 + λ2 r1 . λ1 + λ2 Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì è íå çàâèñèò îò ðàçìåðíîñòè àôôèííîãî ïðîñòðàíñòâà. ×òîáû âûïèñàòü ðåçóëüòàò â êîîðäèíàòíîé ôîðìå, ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîëîæèì r = {x, y, z }  ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M . Òîãäà {x, y, z } = λ2 λ1 {x2 , y2 , z2 } + {x1 , y1 , z1 }. λ1 + λ2 λ1 + λ2  x=     y=     z= λ1 x2 +λ2 x1 λ1 +λ2 , λ1 y2 +λ2 y1 λ1 +λ2 , λ1 z2 +λ2 z1 λ1 +λ2 . Îòêóäà íåìåäëåííî íàõîäèì: òî÷êà M äåëèò îòðåçîê [M1 , M2 ] â îòíîøåíèè k â îáîáùåííîì ñìûñëå, åñëè âûïîë− − − → − − − → íÿåòñÿ ðàâåíñòâî M1 M = k M2 M , ãäå k ∈ R. Ñêàæåì, ÷òî òî÷êà M äåëèò îòðåçîê [M1 , M2 ] âíóòðåííèì îáðàçîì, åñëè k ∈ [0, +∞), è âíåøíèì, åñëè k < 0. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè 1. −∞ < k < −1, òî òî÷êà M íàõîäèòñÿ çà òî÷êîé M2 . 2. −1 < k < 0, òî òî÷êà M íàõîäèòñÿ çà òî÷êîé M1 . 3. 0 ≤ k < +∞, òî òî÷êà M íàõîäèòñÿ âíóòðè [M1 , M2 ] Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî k rM = kr2 + r1 , k+1 k ∈ R (k = −1). Óïðàæíåíèå 1.3.1 ( Îáîáùåííàÿ çàäà÷à è äåëåíèå îòðåçêà) Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî 16 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ 1.3.3 Óðàâíåíèå ïðÿìîé â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå Ïàðàìåòðè÷åñêîå âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé Ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêóþ àôôèííóþ ïëîñêîñòü. Ââåäåì àôôèííóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïóñòü l  ïðÿìàÿ è M0  òî÷êà íà ïðÿìîé l. Ïóñòü çàäàí âåêòîð a, ïàðàëëåëüíûé ïðÿìîé l. Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà l. Ïóñòü r0 è r ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê M0 è M ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà r − r0 a. Çíà÷èò, äëÿ êàæäîé òî÷êè M ∈ l ñóùåñòâóåò ïàðàìåòð t òàêîé, ÷òî r − r0 = t a. Îòêóäà r = r0 + ta. Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé íà àôôèííîé ïëîñêîñòè. Òîò ôàêò, ÷òî ðàññóæäåíèÿ âåëèñü îòíîñèòåëüíî ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè î÷åâèäíî íå ñóùåñòâåíåí. Àáñîëþòíî àíàëîãè÷íî ìû ìîãëè ðàññóæäàòü î ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. Åñòåñòâåííî îáîáùèòü ðàññìîòðåíèÿ è íàçûâàòü ýòî óðàâíåíèå âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé â îáùåì àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå. Âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé íå çàâèñèò îò ðàçìåðíîñòè. Ïàðàìåòðè÷åñêîå êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé Ïóñòü Oe1 e2  àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, M0 (x0 , y0 ) íà÷àëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé, M (x, y ) ∈ A2 ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé, a  íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé ñ êîîðäèíàòàìè: a = {ax , ay }. Òîãäà {x, y } = {x0 , y0 } + t{ax , ay }. Îòêóäà ïîëó÷àåì ïàðàìåòðè÷åñêîå êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè: x = x0 + ax t y = y0 + ay t. Ïàðàìåòðè÷åñêîå êîîðäèíàòíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå âûïèñûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî:   x = x0 + ax t, y = y0 + ay t,  z = z0 + az t. ßñíî, ÷òî â àôôèííîì n− ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðè÷åñêîå êîîðäèíàòíîå n óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (x1 0 , . . . , x0 ) â íàïðàâëåíèè âåêòîðà a = {a1 , . . . , an }, áóäåò èìåòü âèä:  1 1 x = x0  0 + a t,   2 2 2 x = y0 + a t,  ...   n n + an t, x = z0 1.3. ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ 17 Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå çàäàííûå òî÷êè Êàê èçâåñòíî, ÷åðåç äâå çàäàííûå òî÷êè ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ. Íàïèøåì åå óðàâíåíèÿ. Ïóñòü M0 (x0 , y0 , z0 ) è M1 (x1 , y1 , z1 ) çàäàííûå òî÷êè, r0 è r1 ñîîòâåòñòâóþùèå ðàäèóñ-âåêòîðû.  êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà èñêîìîé ïðÿìîé ìîæíî − − − − → âçÿòü âåêòîð a = M0 M1 = r1 − r0 ñ êîîðäèíàòàìè a = {x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 }. Òîãäà âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðèìåò âèä r = r0 + (r1 − r0 )t = (1 − t)r0 + tr1 .  êîîðäèíàòíîì âûðàæåíèè (äëÿ ïðÿìîé â A3 ) ïîëó÷èì:    x = x0 + (x1 − x0 )t,  x = x0 (1 − t) + x1 t, y = y0 + (y1 − y0 )t, èëè y = y0 (1 − t) + y1 t,   z = z0 + (z1 − z0 )t. z = z0 (1 − t) + z1 t. Êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé Óðàâíåíèå ïðÿìîé â An ìîæíî âûïèñàòü â ôîðìå, íå ñîäåðæàùåé ïàðàìåòð â ÿâíîì âèäå. Ðàññìîòðèì â íà÷àëå n = 2. Çàïèøåì ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå x − x0 = a1 t y − y0 = a2 t è èñêëþ÷èì ïàðàìåòð t.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè: y − y0 x − x0 = (= t) 1 a a2 Ïðè ýòîì áóäåì ðàññìàòðèâàòü äðîáè êàê îòíîøåíèÿ è ïîëüçîâàòüñÿ ñîãëàøåíèåì: åñëè a1 = 0, òîãäà x − x0 = 0, à åñëè a2 = 0, è a1 = 0, òî y − y0 = 0. Ïðè n = 3 êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé âûïèñûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî: x − x0 y − y0 z − z0 = = . a1 a2 a3 Îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà àôôèííîé ïëîñêîñòè A2 Çàïèøåì êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà àôôèííîé ïëîñêîñòè y − y0 x − x0 = a1 a2 è ðàñêðîåì ïðîïîðöèþ â âèäå: a2 (x − x0 ) − a1 (y − y0 ) = 0. Ïîëîæèì A = a2 , B = −a1 . Òîãäà óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè çàïèøåòñÿ â âèäå A(x − x0 ) + B (y − y0 ) = 0 18 èëè ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Ax + By + C = 0, ãäå C = −(Ax0 + By0 ). Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé íà àôôèííîé ïëîñêîñòè. Êîýôôèöèåíòàì A è B â êàíîíè÷åñêîì óðàâíåíèè ìîæíî ïðèäàòü îïðåäåëåííûé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë. Äëÿ ýòîãî ââåäåì ïîíÿòèå âåðõíåé è íèæíåé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî äàííîé ïðÿìîé. À èìåííî, ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F (x, y ) = Ax + By + C. Òîãäà òî÷êè ïðÿìîé óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ F (x, y ) = 0. Âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòüþ îòíîñèòåëüíî çàäàííîé ïðÿìîé íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî π+ = {(x, y ) ∈ A2 | F (x, y ) > 0}, à íèæíåé ïîëóïëîñêîñòüþ ïîäìíîæåñòâî π− = {(x, y ) ∈ A2 | F (x, y ) < 0}. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð àôôèííîé íîðìàëè N = {A, B }. Ïðåäëîæåíèå 1.3.2 Âåêòîð àôôèííîé íîðìàëè N = {A, B } íàïðàâëåí â âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé Ax + By + C = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü òî÷êà M0 (x0 , y0 ) ëåæèò íà äàííîé ïðÿìîé. Îòëîæèì îò òî÷êè M0 âåêòîð N . Îáîçíà÷èì ÷åðåç M1 (x1 , y1 ) åãî êîíöåâóþ òî÷êó. Òîãäà x1 = x0 + A, y1 = y0 + B. Âû÷èñëèì F (x1 , y1 ): A(x0 + A) + B (y0 + B ) + C = Ax0 + By0 + C +A2 + B 2 > 0, =0 ÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõ íà A2 Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè âñåãäà ìîæåò áûòü çàäàíà ñâîèì îáùèì óðàâíåíèåì (ðàâíî êàê è êàíîíè÷åñêèì èëè ïàðàìåòðè÷åñêèì).  ñâÿçè ñ ýòèì, çàäà÷ó î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè äâóõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè ìîæíî ðåøàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì íàèáîëåå óäîáíûõ óðàâíåíèé. Äëÿ äàííîé çàäà÷è èñïîëüçóåì èìåííî îáùèå óðàâíåíèÿ. Òåîðåìà 1.3.1 Ïóñòü l1 , l2 äâå ïðÿìûå íà ïëîñêîñòè çàäàííûå óðàâíåíèÿìè: l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0, l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0. Ïðÿìûå l1 è l2 1.3. ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ 19 A A1 a) íå èìåþò íè îäíîé îáùåé òî÷êè, åñëè á) èìåþò îäíó îáùóþ òî÷êó, åñëè â) ñîâïàäàþò, åñëè A A1 A A1 = B B1 = C C1 ; = B B1 ; = B B1 = C C1 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû èëè ñîâïàäàþò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîîðäèíàòû íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ïðîïîðöèîíàëüíû. Åñëè N1 = {A1 , B1 } è N2 = {A2 , B2 } âåêòîðû àôôèííûõ íîðìàëåé äàííûõ ïðÿìûõ, òî èõ íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ëåãêî íàõîäÿòñÿ: a1 = {B1 , −A1 }, a2 = {B2 , −A2 }. Êîëëèíåàðíîñòü íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ, òàêèì îáðàçîì, ýêâèâàëåíòíà êîëëèíåàðíîñòè àôôèííûõ íîðìàëåé: A1 B1 = , A2 B2 îòêóäà A1 = µA2 , B1 = µB2 . Îáùàÿ òî÷êà äâóõ äàííûõ ïðÿìûõ ìîæåò áûòü íàéäåíà êàê ðåøåíèå ñèñòåìû A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0. Åñëè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, òî ïîëó÷èì µA2 x0 + µB2 y0 + C1 = 0, A2 x0 + B2 y0 + C2 = 0. Óìíîæèì âòîðóþ ñòðîêó íà µ è âû÷òåì îäíó ñòðîêó èç äðóãîé. Òîãäà èìååì , ÷òî B1 C1 1 µC2 − C1 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî åñëè A A2 = B2 = C2 = µ, òî ïðÿìûå ñîâïàäàþò. À åñëè A1 B1 C1 A2 = B2 = C2 , òî ïðÿìûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê (ïàðàëëåëüíû è íå ñîâïàäàþò). A1 1 Åñëè ïðÿìûå íå ïàðàëëåëüíû, òî åñòü A =B B2 , òî ñèñòåìà óðàâíåíèé 2 A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C2 = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, íàéòè êîòîðîå ìîæíî òàê. Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà A2 , à âòîðîå íà A1 , è âû÷òåì îäíî èç äðóãîãî. Ïîëó÷èì (A2 B1 − A1 B2 )y + (A2 C1 − A1 C2 ) = 0, îòêóäà íàõîäèì, y0 = − Àíàëîãè÷íî, (A2 C1 − A1 C2 ) . A2 B1 − A1 B2 (B2 C1 − B1 C2 ) . B2 A1 − A2 B1 x0 = − Óïðàæíåíèå 1.3.2 Ïóñòü ïðÿìûå l1 è l2 çàäàíû âåêòîðíûìè ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè: l1 : r = r1 + at, l2 : ρ = r2 + bt. Äîêàçàòü, ÷òî 20 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ à) l1 ∩ l2 = {åäèíñòâåííàÿ òî÷êà} òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a ∦ b á) l1 l2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a b b (r1 − r2 ); (r1 − r2 ). â) l1 ≡ l2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a óðàâíåíèÿìè: Óïðàæíåíèå 1.3.3 Ïóñòü ïðÿìûå l1 è l2 çàäàíû âåêòîðíûìè ïàðàìåòðè÷åñêèìè l1 : r = r0 + at, l2 : Ax + By + C = 0, ãäå r0 = {x0 , y0 } è a = {ax , ay }. Äîêàçàòü, ÷òî à) l1 ∩ l2 = {åäèíñòâåííàÿ òî÷êà} òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Aax + Bay = 0; á) l1 l2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Aax + Bay = 0 è Ax0 + By0 + C = 0; â) l1 ≡ l2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Aax + Bay = 0 è Ax0 + By0 + C = 0. 1.3.4 Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â A3 Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå äàíà òî÷êà M0 è äâà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðà a, b. Îáîçíà÷èì ÷åðåç r0 ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M0 . Òî÷êà M ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç − − − → òî÷êó M0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû M0 M , a è b êîìïëàíàðíû. À òàê êàê a è b íå êîëëèíåàðíû, à çíà÷èò îáðàçóþò áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå êîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ, − − − → − − − → òî M0 M = ua + v b. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç r ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M , òî M0 M = r − r0 è ìû ïîëó÷àåì âåêòîðíîå ðàâåíñòâî r − r0 = ua + v b. Óðàâíåíèå r = r0 + ua + v b íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè â A3 . Òî÷êà M0 íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíîé òî÷êîé ïëîñêîñòè, à âåêòîðû a, b íàçûâàþòñÿ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè ïëîñêîñòè. Åñëè íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû è íà÷àëüíàÿ òî÷êà çàäàíû êîîðäèíàòàìè a = {ax , ay , az }, b = {bx , by , bz }, r0 = {x0 , y0 , z0 }, òî êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ïëîñêîñòè, îòâå÷àþùåé ðàäèóñó-âåêòîðó r = {x, y, z }, ìîæíî ëåãêî íàéòè, ðàñïèñûâàÿ ïî-êîîðäèíàòíî âåêòîðíîå óðàâíåíèå. À èìåííî, {x, y, z } = {x0 , y0 , z0 } + u {ax , ay , az } + v {bx , by , bz }. Îòñþäà ïîëó÷àåì ïàðàìåòðè÷åñêèå êîîðäèíàòíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè:   x = x0 + uax + vbx , y = y0 + uay + vby ,  z = z0 + uaz + vbz . Ìàòðèöåé ðàçìåðà 2 × 2 íàçûâàåòñÿ òàáëèöà, ñîñòîÿùàÿ èõ äâóõ ñòðîê è äâóõ ñòîëáöîâ. Íàïðèìåð, 2 1 M= . 3 −5 1.3. ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ 21 Ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâîé, åñëè åå ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà. Îïðåäåëèòåëåì a b ÷èñëîâîé ìàòðèöû M = íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ad − cb. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû c d îáîçíà÷àåòñÿ det(M ) èëè "ïðÿìûìè ñêîáêàìè" âèäà |M |. Íàïðèìåð, det a b c d = a b c d = ad − cb. a b ðàâåí 0 òîãäà è òîëüêî òîc d ãäà, êîãäà åå ñòðîêè (ñòîëáöû) ïðîïîðöèîíàëüíû, òî åñòü a = λc, b = λd. a b Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè det = 0, òî ad − cb = 0, òî åñòü c d Ïðåäëîæåíèå 1.3.3 Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû a b = = λ, c d ãäå λ  êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Âîçâðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ ïëîñêîñòè, ââåäåì â ðàññìîòðåíèå òðè îïðåäåëèòåëÿ ∆x = ay az by bz , ∆y = ax az bx bz , ∆z = ax ay bx by , ñîñòàâëåííûõ èç êîîðäèíàò âåêòîðîâ a è b. ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∆x = ∆y = ∆z = 0. à ðàâåíñòâî ∆x = 0 âëå÷åò ïðîïîðöèþ ay by Ïðåäëîæåíèå 1.3.4 Äâà âåêòîðà a = {ax , ay , az } è b = {bx , by , bz } êîëëèíåàðíû òîÄîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ðàâåíñòâî ∆z = 0 âëå÷åò ïðîïîðöèþ y = by , az = bz , à çíà÷èò âñå êîîðäèíàòû âåêòîðîâ ax bx a a è b ïðîïîðöèîíàëüíû. Ïî ïðèçíàêó êîëëèíåàðíîñòè, âåêòîðû a è b êîëëèíåàðíû. Îáðàòíîå î÷åâèäíî. Ïðåäëîæåíèå 1.3.5 Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó ñ ðàäèóñîì-âåêòîðîì r0 = {x0 , y0 , z0 }, â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ a = {ax , ay , az } è b = {bx , by , bz } ( a ∦ b) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0, ãäå A = ∆x , B = −∆y , C = ∆z . Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè   x = x0 + uax + vbx , y = y0 + uay + vby ,  z = z0 + uaz + vbz . 2 2 Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê a ∦ b, òî ∆2 x + ∆y + ∆z = 0. Ïîëîæèì, ÷òî ∆z = 0. 22 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ è ðàçðåøèì ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ u è v â âèäå u= 1 ∆z x − x0 bx y − y0 by , v= 1 ∆z ax x − x0 a y y − y0 . Ïîäñòàâèì ýòî ðåøåíèå â òðåòüå óðàâíåíèå. Ïîëó÷èì z − z0 = az 1 ∆z x − x0 bx y − y0 by + bz 1 ∆z ax x − x 0 ay y − y0 . Ïåðåïèøåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå â âèäå ∆z (z − z0 ) = az è äàëåå x − x0 bx y − y0 by + bz ax x − x0 a y y − y0 ∆z (z − z0 ) = az by (x − x0 ) − bx (y − y0 ) + bz ax (y − y0 ) − ay (x − x0 ) .  ïðàâîé ÷àñòè ñîáåðåì êîýôôèöèåíòû ïðè x − x0 è y − y0 . Ïîëó÷èì ∆z (z − z0 ) = (az by − bz ay )(x − x0 ) − (az bx − bz ax )(y − y0 ). −∆x ∆y ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Îáðàòíî, ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî òî÷åê ïðîñòðàíñòâà, êîîðäèíàòû êîòðûõ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0 (A2 + B 2 + C 2 = 0). Ïîêàæåì, ÷òî ýòî åñòü ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M (x0 , y0 , z0 ). Ñàìà òî÷êà î÷åâèäíî ïðèíàäëåæèò ýòîìó ìíîæåñòâó. Ïîëîæèì, íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ÷òî C = 0. Òîãäà âñå ðåøåíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ èìåþò âèä z = z0 − A B (x − x0 ) − (y − y0 ), C C A ïðè÷åì x è y ïðîèçâîëüíû. Ïîëîæèì x − x0 = u, y − y0 = v è îáîçíà÷èì − C = p, B − C = q . Òîãäà ìíîæåñòâî ðåøåíèé ïåðåïèøåòñÿ â âèäå   x = x0 + u, y = y0 + v, ,  z = z0 + pu + qv ÷òî ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ïëîñêîñòü ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè a = {1, 0, p} è b = {0, 1, q }. 1.3. ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ 23 Îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â âèäå A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0 ìîæíî ïðåïèñàòü êàê Ax + by + Cz + D = 0, ïîëîæèâ D = −(Ax0 + By0 + Cz0 ). Îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè â A3 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà Ax + By + Cz + D = 0. Âåêòîð N = {A, B, C } íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì àôôèííîé íîðìàëè äàííîé ïëîñêîñòè. Åãî ãåîìåòðè÷åñêîå ñâîéñòâî àíàëîãè÷íî ãåîìåòðè÷åñêîìó ñâîéñòâó àôôèííîé íîðìàëè ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. À èìåííî, ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ F (x, y, z ) = Ax + By + Cz + D. Òîãäà òî÷êàì ïëîñêîñòè îòâå÷àþò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ F (x, y, z ) = 0. Âåðõíèì (ñîîòâåòñòâåííî, íèæíèì ) ïîëóïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî çàäàííîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê â A3 , êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó F (x, y, z ) > 0 ( ñîîòâåòñòâåííî F (x, y, z ) < 0) Óïðàæíåíèå 1.3.4 Ïóñòü π : Ax + By + Cz + D = 0 ïëîñêîñòü â A3 . Ïîêàæèòå, ÷òî • Òî÷êè M1 (x1 , y1 , z1 ) è M2 (x2 , y2 , z2 ) ïðèíàäëåæàò îäíîìó ïîëóïðîñòðàíñòâó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F (x1 , y1 , z1 ) è F (x2 , y2 , z2 ) èìåþò îäèí è òîò æå çíàê. • âåêòîð N = {A, B, C } íàïðàâëåí â âåðõíåå ïîëóïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè π . Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå Ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå A3 ïðÿìóþ l è ïëîñêîñòü π . Çàäàäèì ïðÿìóþ ïàðàìåòðè÷åñêè, à ïëîñêîñòü  îáùèì óðàâíåíèåì. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì. Ïðåäëîæåíèå 1.3.6 Ïóñòü ïðÿìàÿ l è ïëîñêîñòü π çàäàíû óðàâíåíèÿìè   x = x0 + ax t y = y0 + a y t , l:  z = z0 + az t π : Ax + By + Cz + D = 0. Òîãäà à) l ∩ π = {åäèíñòâåííàÿ òî÷êà} òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Aax + Bay + Caz = 0; á) l π òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Aax +Bay +Caz = 0 è Ax0 +By0 +Cy0 +D = 0; â) l ⊂ π òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Aax +Bay +Caz = 0 è Ax0 +By0 +Cz0 +D = 0. 24 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì èñêàòü ìíîæåñòâî îáùèõ òî÷åê ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Åñëè îíè èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî äëÿ òî÷åê ïðÿìîé íàéäåòñÿ òàêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà t = t0 , ÷òî òî÷êà (x0 + ax t0 , x0 + ay t0 , z0 + az t0 ) áóäåò ëåæàòü íà ïëîñêîñòè, à çíà÷èò óäîâëåòâîðÿòü åå óðàâíåíèþ. Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó A(x0 + ax t0 ) + B (y0 + ay t0 ) + C (z0 + az t0 ) + D = 0 è ïðèâåäåì ïîäîáíûå îòíîñèòåëüíî t0 (Aax + Bay + Caz )t0 + Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Åñëè Aax + Bay + Caz = 0, òî íóæíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ñóùåñòâóåò, ïðè÷åì åäèíñòâåííîå, ÷òî è äîêàçûâàåò à). Åñëè Aax + Bay + Caz = 0, íî Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 òî íóæíîãî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà íå ñóùåñòâóåò, à çíà÷èò îáùåé òî÷êè ó ïðÿìîé è ïëîñêîñòè íåò, ÷òî äîêàçûâàåò á). Åñëè Aax + Bay + Caz = 0 è Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà òî÷êà ïðÿìîé óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ïëîñêîñòè, ÷òî äîêàçûâàåò â). Óïðàæíåíèå 1.3.5 Ïóñòü ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü çàäàíû ïàðàìåòðè÷åñêè â âèäå l : r = r0 + pt è π : r = r1 + au + bv . Äîêàçàòü, ÷òî à) l ∩ π = {åäèíñòâåííàÿ òî÷êà} òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû p, a, b íå êîìïëàíàðíû; á) l π òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû p, a, b êîìïëàíàðíû, íî âåêòîðû r1 − r0 , a, b íå êîìïëàíàðíû; â) l ⊂ π l π òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îáà âåêòîðà p è r1 − r0 êîìïëàíàðíû âåêòîðàì a è b. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå. Îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé â A3 . Ðàññìîòðèì âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé à òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, çàäàííûõ ñâîèìè îáùèìè óðàâíåíèÿìè. Ïðåäëîæåíèå 1.3.7 Ïóñòü ïëîñêîñòè π1 è π2 çàäàíû óðàâíåíèÿìè π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Ðàññìîòðèì âåêòðû N1 = {A1 , B1 , C1 }, N2 = {A2 , B2 , C2 }, Q1 = {A1 , B1 , C1 , D1 }, Q2 = {A2 , B2 , C2 , D2 }. Òîãäà à) π1 ∩ π2 = {ïðÿìàÿ} òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà N1 ∦ N2 ; á) π1 π2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà N1 N2 , íî Q1 ∦ Q2 Q2 . â) π1 = π2 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Q1 1.3. ÀÔÔÈÍÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ 25 Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì èñêàòü ìíîæåñòâî îáùèõ òî÷åê çàäàííûõ ïëîñêîñòåé. Îíî îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. Îáîçíà÷èì ∆x = B1 C1 B2 C2 , ∆y = A1 C1 A2 C2 , ∆z = A1 B1 A2 B2 . 2 2 Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà ∆2 x + ∆y + ∆z = 0. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ∆z = 0. Ïåðåïèøåì ñèñòåìó â âèäå A1 x + B1 y = −C1 z − D1 A2 x + B2 y = −C2 z − D2 è ðàçðåøèì åå îòíîñèòåëüíî x è y . Ðåøåíèå èìååò âèä x=− 1 ∆z C1 z + D1 B1 C2 z + D2 B2 , y=− 1 ∆z A1 C1 z + D1 A2 C2 z + D2 . Ðàñêðûâàÿ îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷èì x=− 1 (−∆x z + ∆z D1 B1 ), D2 B2 y=− 1 (∆y z + ∆z A1 D1 ) A2 D2 ÷òî äàåò óðàâíåíèå ïðÿìîé, åñëè ïîëîæèòü z = t. Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå 2 2 ∆2 x + ∆y + ∆z = 0 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ N1 ∦ N2 . 2 2 Ïóñòü òåïåðü ∆2 N2 è, ñëåäîâàòåëüíî, èìåþò ìåñòî x + ∆y + ∆z = 0. Òîãäà N1 ðàâåíñòâà A2 = λA1 , B2 = λB1 , C2 = λC1 . è ñèñòåìà ïðèìåò âèä A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 λA1 x + λB1 y + λC1 z + D2 = 0. Óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà λ è âû÷òåì âòîðîå. Ïîëó÷èì λD1 − D2 = 0. Åñëè ýòî ðàâåíñòâî ïðîòèâîðå÷èâî, òî ñèñòåìà íå ñîâìåñòíà è ïëîñêîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê.  ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, Q1 ∦ Q2 . Åñëè æå ðàâåíñòâî âûïîëíåíî, òî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé îòëè÷àþòñÿ íåêîòîðûì ìíîæèòåëåì, à çíà÷èò îíè ñîâïàäàþò.  ýòîì ñëó÷àå, Q1 Q2 . Îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé â òðåõìåðíîì àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 ñ óñëîâèåì N1 = {A1 , B1 , C1 } ∦ N2 = {A2 , B2 , C2 }. 26 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ 1.4 Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî 1.4.1 Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ Ïóñòü äàíû äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà a è b. Îòëîæèì èõ îò îäíîé òî÷êè O è ïðåäñòàâèì − − → − − → èõ íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè OM è ON , à èìåííî, − − → − − → a = OM , b = ON . − − → − − → Äâà ëó÷à ray (OM ) è ray (ON ) îïðåäåëÿþò äâà óãëà, ìåíüøèé èç êîòîðûõ íàçîâåì óãëîì ìåæäó âåêòîðàìè a è b. Îáîçíà÷èì ýòîò óãîë êàê a b). Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå äëèí ýòèõ âåêòîðîâ íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà a íà âåêòîð b áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì óãëîâûìè ñêîáêàìè ·, · . Òî åñòü ïî îïðåäåëåíèþ, a, b = |a||b| cos ϕ, ãäå ϕ = a b. Âûâåäåì îñíîâíûå ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ. 1. Ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü: a, a = |a|2 ≥ 0, ïðè÷åì a, a = 0 ⇔ a = 0. 2. Ñèììåòðè÷íîñòü: a, b = b, a . 3. Ëèíåéíîñòü: λa, b = λ a, b . 4. Äèñòðèáóòèâíîñòü ïî ñëîæåíèþ: a, b + c = a, b + a, c . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïåðâûõ äâóõ ñâîéñòâ òðèâèàëüíî. Äåéñòâèòåëüíî, - óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a è a ðàâåí 0, à çíà÷èò a, a = |a|2 ≥ 0. Ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî òîëüêî äëÿ a = 0. - ïî îïðåäåëåíèþ, óãîë ìåæäó âåêòîðàìè è èõ äëèíû íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêà, â êîòîðîì ìû áóäåì áðàòü âåêòîðû äëÿ ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ. Ïðîâåðèì ëèíåéíîñòü. Åñëè λ = 0, òî ïðîâåðêà î÷åâèäíà. Ïóñòü λ = 0. Îáîçíà÷èì ϕ = a b. Òîãäà ϕ, λ > 0, (λa) b = π − ϕ, λ < 0. Åñëè λ > 0 òî èìååì: λa, b = |λa| |b| cos ϕ = |λ| |a| |b| cos ϕ = λ a, b . Åñëè λ < 0 òî λa, b = |λa| |b| cos (π − ϕ) = −λ |a| |b|(− cos ϕ) = λ a, b . Äëÿ ïðîâåðêè äèñòðèáóòèâíîñòè, ââåäåì ïîíÿòèå ïðîåêöèè âåêòîðà íà îñü. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ea åäèíè÷íûé âåêòîð, ñîíàïðàâëåííûé ñ a, íàçûâàåìûé îðòîì âåêòîðà a. Î÷åâèäíî, a ea = . |a| 1.4. ÅÂÊËÈÄÎÂÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ 27 Âåêòîð ea îïðåäåëÿåò îñü (ò.å. ïðÿìóþ ñ âûáðàííûì íà íåé íàïðàâëåíèåì). Áóäåì îáîçíà÷àòü îñü âåêòîðà a ÷åðåç la . Îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà b íà îñü la íàçûâàåòñÿ âåêòîð − → Ï la b = |b| cos(a b) ea = b, ea ea . Ïóñòü a, b, c ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà âåê− → → − òîðû Ï la b è Ï la c êîëëèíåàðíû è ðàâåíñòâî − → → − − → Ï la b + Ï la c = Ï la (b + c) ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì ñëîæåíèÿ íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ. Äàëåå èìååì: − → − → Ï la c = c, ea ea , Ï la b = b, ea ea , à çíà÷èò Ñ äðóãîé ñòîðîíû, − → − → Ï la b + Ï la c = b, ea + c, ea ea . − → Ï la (b + c) = b + c, ea ea . Âîñïîëüçîâàâøèñü âåêòîðíûì ðàâåíñòâîì äëÿ ïðîåêöèé, èìååì: b, ea + c, ea Îòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî ea = b + c, ea ea . b, a a a + c, = b + c, . |a| |a| |a| 1 Ïî ñâîéñòâó ëèíåéíîñòè, ìíîæèòåëü |a | èç êàæäîãî ñëàãàåìîãî ìîæíî âûíåñòè è ñîêðàòèòü íà íåãî.  ðåçóëüòàòå, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó b, a + c, a = b + c, a . 1.4.2 Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â An Ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ ìîæíî àêñèîìàòèçèðîâàòü è ââåñòè ïîíÿòèå ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ â ïðîèçâîëüíîì àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An . Ïóñòü L  ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, àññîöèèðîâàííîå ñ An . Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â L íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå , : L × L → R, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: • a, a = |a|2 ≥ 0, ïðè÷åì a, a = 0 ⇔ a = 0. • a, b = b, a . 28 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ • λa, b = λ a, b . • a, b + c = a, b + a, c . Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, íà êîòîðîì çàäàíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì. Ñîîòâåòñòâåííî, àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî, àññîöèèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì, íàçûâàåòñÿ àôôèííûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì èëè ïðîñòî åâêëèäîâûì. Îáîçíà÷àòü åâêëèäîâî n- ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî áóäåì ÷åðåç En. Äëèíîé (ìîäóëåì) âåêòîðà â E n íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà |a| = a, a . Ïóñòü a, b ∈ E n äâà âåêòîðà â E n . Êîñèíóñîì óãëà ìåæäó âåêòîðàìè a è b íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ âåëè÷èíà: a, b . cos(a b) = |a| |b| Óïðàæíåíèå 1.4.1 Ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ, à èìåííî, ÷òî a, b |a||b| ≤ 1. 1.4.3 Ìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Ðàññìîòðèì, âíà÷àëå, ñëó÷àé n = 2. Îáîçíà÷èì ÷åðåç e1 è e2 âåêòîðû áàçèñà ïëîñêîñòè. Ïóñòü a è b ïðîèçâîëüíûå äâà âåêòîðà ïëîñêîñòè. Ðàçëîæèì èõ ïî áàçèñó a = a1 e1 + a2 e2 , b = b1 e1 + b2 e2 . Òîãäà, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ, ìîæíî çàïèñàòü: a, b = e1 , e1 a1 b1 + e1 , e2 (a1 b2 + a2 b1 ) + e2 , e2 a2 b2 . Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: g11 = e1 , e1 , g12 = e1 , e2 , g22 = e2 , e2 . Òîãäà âûðàæåíèå äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåïèøåòñÿ â âèäå a, b = g11 a1 b1 + g12 (a1 b2 + a2 b1 ) + g22 a2 b2 . Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêîé ôîðìîé åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè. Îáðàçóåì ìàòðèöó g= g11 g12 g12 g22 . Ìàòðèöà g íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ìåòðè÷åñêîé ôîðìû åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè. Îáðàòíî, ìàòðèöà ìåòðè÷åñêîé ôîðìû îïðåäåëÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. Çàäàäèì, íàïðèìåð, 3 2 g= . 2 5 1.4. ÅÂÊËÈÄÎÂÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ Ïóñòü a = {a1 , a2 } è b = {b1 , b2 }. Òîãäà 29 a, b = 3a1 b1 + 2(a1 b2 + a2 b1 ) + 5a2 b2 . Åñëè çàäàòü âåêòîðû êîíêðåòíî, ñêàæåì, a = {1, −2}, b = {3, 1}, òî a, b = 3 · 1 · 3 + 2(1 · 1 + (−2) · 3) + 5 · (−2) · 1 = −11, |a| = |b| = a, a = 3 · 12 + 2(1 · (−2) + (−2) · 1) + 5 · (−2)2 = √ b, b = 3 · 32 + 2 · (3 · 1 + 1 · 3) + 5 · 12 = 44. √ 15, Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ìû âûáðàëè íà ïëîñêîñòè áàçèñ òàêîé , ÷òî √ √ |e1 | = 3, |e2 | = 5, e1 , e2 = 2. Çàìåòèì, ÷òî ìåòðè÷åñêóþ ôîðìó ïëîñêîñòè ìîæíî çàïèñàòü â áåñêîîðäèíàòíîì âèäå, èñïîëüçóÿ ìàòðè÷íûå îïåðàöèè. Äëÿ ýòîãî, ñôîðìèðóåì èç êîîðäèíàò âåêòîðîâ ñòîëáöû a1 b1 a= , b = . a2 b2 Ïîèçâåäåíèå ìàòðèöû íà âåêòîð îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó "ñòðîêà íà ñòîëáåö", òî åñòü g11 g12 a1 g11 · a1 + g12 · a2 · = . g21 g22 a2 g21 · a1 + g22 · a2 Îïðåäåëèì òðàíñïîíèðîâàííûé ñòîëáåö at êàê ñòðîêó , âèäà at = a1 , a2 è îïðåäåëèì ïðîèçâåäåíèå ñòðîêè íà ñòîëáåö ïðàâèëîì at · b = a1 , a2 · b1 b2 = a1 · b1 + a2 · b2 . Òîãäà äëÿ ìåòðè÷åñêîé ôîðìû áóäåì èìåòü a, b = at · g · b, ãäå ( )t îçíà÷àåò òðàíñïîíèðîâàíèå.  îáùåì ñëó÷àå èìååò ìåñòî ïîëíàÿ àíàëîãèÿ. Ïóñòü {e1 , . . . , en } áàçèñ â E n . Ðàçëîæèì ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû a è b ïî âûáðàííîìó áàçèñó a = a1 e1 + · · · + an en , b = b1 e1 + · · · + bn en . Îáðàçóåì ñèììåòðè÷íóþ ìàòðèöó G ñ êîìïîíåíòàìè gik = ei , ek . Òîãäà n a, b = i,k=1 gik ai bk = at · g · b, 30 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ   1  a1 b    ··· , b = ··· . ãäå a = n a bn Áàçèñ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E n íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, åñëè |ei | = 1, ei , ek = 0 (i = k, i, k = 1, n).  Ìàòðèöà ìåòðè÷åñêîé ôîðìû E n îòíîñèòåëüíî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà èìååò âèä:   1 0 0 ... 0  0 1 0 ... 0     . .  . . .. . . . g= . . . . .   . .   0 0 ... 1 0  0 0 ... 0 1  ÷àñòíîñòè, ïðè n = 2 èìååì g= 1 0 0 1 . Òîãäà äëÿ âåêòîðîâ, çàäàííûõ ñâîèìè êîîðäèíàòàìè a = {a1 , a2 }, b = {b1 , b2 }, îòíîñèòåëüíî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, èìååì a, b = a1 b1 + a2 b2 , |a| = (a1 )2 + (a2 )2 . Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî íà ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå âñåãäà ìîæíî âûáðàòü îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.  äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî èíîå, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé áàçèñ îðòîíîðìèðîâàííûé. Åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò èñïîëüçóåò âûáðàí îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, òî òàêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé. 1.4.4 Ïðÿìûå è ïëîñêîñòè â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Íàëè÷èå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîçâîëÿåò èçâëå÷ü äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ èç óðàâíåíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Ïóñòü l  ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè. Çàïèøåì åå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå r = r0 + ta Âåêòîð N , ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïðÿìîé l, íàçûâàåòñÿ åå âåêòîðîì íîðìàëè. Ïóñòü Nx , Ny  êîîðäèíàòû âåêòîðà N îòíîñèòåëüíî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà. Òàê êàê a ëåæèò íà ïðÿìîé, òî N , a = 0, à çíà÷èò äëÿ âñåõ t N , r − r0 = 0. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè. Ïåðåõîäÿ ê êîîðäèíàòàì, èìååì Nx (x − x0 ) + Ny (y − y0 ) = 0 1.4. ÅÂÊËÈÄÎÂÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ èëè 31 Nx x + Ny y − (Nx x0 + Ny y0 ) = 0. Îáîçíà÷èì A = Nx , B = Ny , −D = Nx x0 + Ny y0 . Òîãäà óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðèìåò âèä Ax + By + D = 0 Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ, òî êîýôôèöèåíòû A è B îáùåãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàì âåêòîðà íîðìàëè ïðÿìîé. Àíàëîãè÷íî ñâîéñòâó àôôèííîé íîðìàëè, âåêòîð N íàïðàâëåí â âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l. Ïóñòü π  ïëîñêîñòü â E 3 . Çàïèøåì åå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå r = r0 + ua + v b. Åñëè âåêòîð N ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè , òî (N ïåðïåíäèêóëÿðåí ëþáîé ïðÿìîé, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, N ⊥ (r − r0 )) äëÿ âñåõ u, v . Óðàâíåíèå N , r − r0 = 0 íàçûâåòñÿ âåêòîðíûì îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Åñëè â äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò N = {Nx , Ny , Nz }, r − r0 = {x − x0 , y − y0 , z − z0 }, òî óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â êîîðäèíàòàõ çàïèøåòñÿ â âèäå Nx (x − x0 ) + Ny (y − y0 ) + Nz (z − z0 ) = 0 èëè Ax + By + Cz + D = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ, òî êîýôôèöèåíòû A, B , C îáùåãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàì âåêòîðà íîðìàëè ïëîñêîñòè. Àíàëîãè÷íî ñâîéñòâó àôôèííîé íîðìàëè, âåêòîð N íàïðàâëåí â âåðõíåå ïîëóïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè π . Ïóñòü òåïåðü π  ãèïåðïëîñêîñòè â E n . Åå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä r = r0 + a1 t1 + · · · + an−1 tn−1 . Âåêòîðîì íîðìàëè ãèïåðïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ âåêòîð N , òàêîé , ÷òî N ⊥ ai , i = 1 . . . n − 1, òî åñòü N , ai = 0 (i = 1 . . . n − 1). Òîãäà äëÿ òî÷åê ãèïåðïëîñêîñòè â E n èìååì óðàâíåíèå r − r0 , N = 0, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì îáùèì óðàâíåíèåì ãèïåðïëîñêîñòè â E n . Ïóñòü x1 , . . . , xn  äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â E n . Åñëè N = {A1 , . . . , An }, òî â êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè ïåðåïèøåòñÿ â âèäå A1 x1 + · · · + An xn + D = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ, òî êîýôôèöèåíòû A1 , . . . , An îáùåãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàì âåêòîðà íîðìàëè ãèïåðïëîñêîñòè. 32 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Àíàëîãè÷íî ñâîéñòâó àôôèííîé íîðìàëè, âåêòîð N íàïðàâëåí â âåðõíåå ïîëóïðîñòðàíñòâî îòíîñèòåëüíî ãèïåðïëîñêîñòè π .  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâåì ìîæíî ïðèäàòü ÿñíûé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë è ñâîáîäíîìó ÷ëåíó â óðàâíåíèè ãèïåðïëîñêîñòè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî D = − r0 , N . Åñëè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ãèïåðïëîñêîñòè n = N /|N |, òî âåëè÷èíà h0 = − r0 , n ÷èñëåííî áóäåò ðàâíà ðàññòîÿíèþ îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ãèïåðïëîñêîñòè. Ïîëîæèòåëüíîñòü (îòðèöàòåëüíîñòü) h0 îçíà÷àåò, ÷òî íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ â íèæíåì (âåðõíåì) ïîëóïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíî äàííîé ãèïåðïëîñêîñòè. Âåëè÷èíà h0 íàçûâàåòñÿ îòêëîíåíèåì íà÷àëà êîîðäèíàò îò ãèïåðïëîñêîñòè è, òàêèì îáðàçîì, D = h0 |N |. 1.4.5 Íåêîòîðûå çàäà÷è, ðåøàåìûå ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ãèïåðïëîñêîñòè â E n Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà n = 2. Òîãäà ãèïåðïëîñêîñòüþ â E 2 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ l: r = r0 + at. Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà íà ïëîñêîñòè E 2 . rM = {xM , yM }. Ïóñòü n  åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ïðÿìîé. Òîãäà − → Ïðn (rM − r0 ) = hn, ãäå h  êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Âåëè÷èíà h íàçûâàåòñÿ îòêëîíåíèåì òî÷êà M îò ïðÿìîé l. Ðàññòîÿíèåì îò òî÷êà M äî ïðÿìîé l íàçûâàåòñÿ äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè M íà ïðÿìóþ. Î÷åâèäíî, ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé ðàâíî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå îòêëîíåíèÿ d = |h|. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî − → Ïðn (rM − r0 ) = rM − r0 , n n. Ñëåäîâàòåëüíî, h = rM − r0 , n . Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ïðÿìîé l èìååò âèä: r − r0 , n = 0. Çíà÷èò, îòêëîíåíèå h  ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè ðàäèóñ-âåêòîðà òî÷êà M â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðè óñëîâèè åäèíè÷íîñòè âåêòîðà íîðìàëè. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, èìåþùåé åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé (èëè óðàâíåíèåì ïðÿìîé â íîðìàëüíîé ôîðìå ). Âû÷èñëèì îòêëîíåíèå h â êîîðäèíàòàõ. Åñëè ïðÿìàÿ l çàäàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì Ax + By + C = 0, òî íîðìèðîâàííîå óðàâíåíèå èìååò âèä: Ax + By + C √ = 0. A2 + B 2 1.4. ÅÂÊËÈÄÎÂÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ Òîãäà îòêëîíåíèå 33 AxM + ByM + C √ . A2 + B 2 Åñëè h > 0, òî òî÷êà M íàõîäèòñÿ â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l. Åñëè h < 0, òî â íèæíåé. Äëÿ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êà M äî ïðÿìîé l ïîëó÷àåì ôîðìóëó h= d = |h| = |AxM + ByM + C | √ . A2 + B 2 Ðàññìîòðèì ñëó÷àé n = 3. Ãèïåðïëîñêîñòü â E 3 ýòî ïëîñêîñòü â îáû÷íîì ñìûñå. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè èìååò âèä: r − r0 , N = 0. Ïîëîæèì n = N . ßñíî, ÷òî n åäè|N | íè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ïëîñêîñòè. Ïóñòü M  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà â ïðîñòðàíñòâå − → E 3 , ðàäèóñ-âåêòîð êîòîðîé rM = {xM , yM , zM }. Òîãäà Ïðn (rM − r0 ) = hn. Âåëè÷èíà h íàçûâàåòñÿ îòêëîíåíèåì òî÷êè M îò çàäàííîé ïëîñêîñòè. Ðàññòîÿíèåì îò òî÷êà M äî ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè M íà ïëîñêîñòü. Î÷åâèäíî, ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé ðàâíî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå îòêëîíåíèÿ d = |h|. Ïîñêîëüêó h = rM − r0 , n , òî â âåêòîðíîé ôîðìå ôîðìóëà ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè áóäåò èìåòü âèä d = |h| = | rM − r0 , n .| Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, èìåþùåé åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè. Åñëè ïëîñêîñòü π çàäàíà îáùèì óðàâíåíèåì Ax + By + √+By +Cz +D = 0. ÒîCz + D = 0, òî íîðìèðîâàííîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè èìååò âèä Ax A2 +B 2 +C 2 ãäà îòêëîíåíèå òî÷êà M îò ïëîñêîñòè π ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ïîäñòàíîâêè êîîðäèíàò òî÷êà N â ëåâóþ ÷àñòü íîðìèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, h= AxM + ByM + CzM + D √ A2 + B 2 + C 2 Äëÿ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êà M äî ïëîñêîñòè π ïîëó÷àåì d= |AxM + ByM + CzM + D| √ . A2 + B 2 + C 2  îáùåì ñëó÷àå óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 â E n èìååò âèä π n−1 : r − r0 , N = 0. Åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè n = N . |N | n Ïóñòü rM = {x1 M , . . . , xM }  ðàäèóñ-âåêòîð ïðî- èçâîëüíîé òî÷êà M â E n . Îòêëîíåíèåì òî÷êà M îò ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè êîîðäèíàò òî÷êà M â íîðìèðîâàííîå óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè: h = rM − r0 , n . 34 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Ðàññòîÿíèå îò òî÷êà M äî ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 îïðåäåëèì êàê d = |h|. Òàêèì îáðàçîì, d = | rM − r0 , n |. Çàäàäèì ïëîñêîñòü â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ π n−1 : A1 x1 + · · · + An xn + D = 0. Òîãäà n A1 x1 M + · · · + An xM , 2 A2 1 + · · · + An n |A1 x1 M + · · · + An xM | d= 2 A2 1 + · · · + An h= Íàõîæäåíèå òî÷êè, ñèììåòðè÷íîé äàííîé îòíîñèòåëüíî ãèïåðïëîñêîñòè â En Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé n = 2. Çàäàäèì ïðÿìóþ l : rM − r0 , N = 0, íàéäåì åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè n = N |N | è çàäàäèì òî÷êó rM = {xM , yM }. Òîãäà − → Ïðn (rM − r0 ) = hn è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñèììåòðè÷íîé òî÷êè íàéäåì rM = rM − 2hn. ×òîáû çàïèñàòü ðåçóëüòàò â êîîðäèíàòàõ, çàäàäèì l : Ax + By + C = 0, Ðàñêðûâàÿ âåêòîðíîå ðàâåíñòâî rM = {xM , yM }. {xM , yM } = {xM , yM } − 2 ïîëó÷èì AxM + byM + C {A, B }, A2 + B 2  AxM + byM + C   ,  xM = xM − 2A A2 + B 2  Ax + by + C   yM = yM − 2B M 2 M2 . A +B Ðàññìîòðåíèå ñëó÷àåâ n ≥ 3 ïðèíöèïèàëüíî íå îòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåíèé íà ïëîñêîñòè, òàê êàê óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè ñíîâà çàäàåòñÿ êàê π : r − r0 , N = 0 è ðåçóëüòàò â âåêòîðíîé ôîðìå áóäåò èìåòü òîò æå âèä: rM = rM − 2hn. Óïðàæíåíèå 1.4.2 Çàïèøèòå âûâåäåííóþ ôîðìóëó â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ. 1.4. ÅÂÊËÈÄÎÂÎ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ 35 Íàõîæäåíèå óãëà ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè â E n Íà÷íåì ðàññìîòðåíèå ñ n = 2. Óãëîì ìåæäó ïðÿìûìè l1 è l2 íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ìåíüøèé èç îáðàçîâàííûõ èìè óãëîâ. Äëÿ ïàðàëëåëüíûõ èëè ñîâïàäàþùèõ ïðÿìûõ óãîë ïðèíèìàåòñÿ ðàâíûì 0. Åñëè ïðÿìûå çàäàíû ïàðàìåòðè÷åñêè l1 : r = r1 + a1 t, òî, î÷åâèäíî, l2 : r = r2 + a2 τ , , | a1 , a2 | . |a1 ||a2 | cos(l1 l2 ) = | cos(a1 a2 )| =  ñëó÷àå n = 3 äâå ïðÿìûå l1 è l2 ëèáî ïåðåñåêàþòñÿ, ëèáî ïàðàëëåëüíû (ñîâïàäàþò), ëèáî ÿâëÿþòñÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ. Ïåðåñåêàþùèåñÿ èëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå âñåãäà ðàñïîëàãàþòñÿ â îäíîé ïëîñêîñòè è óãîë ìåæäó íèìè ïðåäåëÿåòñÿ êàê äëÿ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. Åñëè æå ïðÿìûå ñêðåùèâàþòñÿ, òî óãëîì ìåæäó l1 è l2 íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó l1 è ïðÿìîé l2 òàêîé, ÷òî l1 ∩ l2 = ∅ è l2 l2 . Ðàññìîòðèì ýòîò ñëó÷àé. Ïóñòü l1 : r = r1 + a1 t, l2 : r = r2 + a2 τ , . Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü π : r = r1 + a1 u + a2 v. Òîãäà π ⊃ l1 è π ⊃ l2 l2 . Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ u = t, v = 0, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïðÿìîé l1 , à ïîëàãàÿ u = 0, v = τ , ïîëó÷èì ïðÿìóþ l2 : r = r1 + a2 τ ,, êîòðàÿ ëåæèò â ïëðñêîñòè π è ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé l2 . Ñëåäîâàòåëüíî, cos(l1 l2 ) = cos(l1 l2 ) = | cos(a1 a2 )| =  îáùåì ñëó÷àå äëÿ äâóõ ïðÿìûõ | a1 , a2 | . |a1 ||a2 | l1 : r = r1 + a1 t, l2 : r = r2 + a2 τ , ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü π ⊂ E n , çàäàííóþ óðàâíåíèåì r = r1 + a1 u + a2 v. Êàê è â ñëó÷àå n = 3, π ⊃ l1 , è, ñëåäîâàòåëüíî, π ⊃ l2 l2 | a1 , a2 | . |a1 ||a2 | cos(l1 l2 ) = | cos(a1 a2 )| = Óïðàæíåíèå 1.4.3 Çàïèñàòü â êîîðäèíàòàõ âûðàæåíèå äëÿ cos ϕ. 36 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Íàõîæäåíèå óãëà ìåæäó ïðÿìîé è ãèïåðïëîñêîñòüþ â E n Ïðè n = 3 ðåøåíèå çàäà÷è î÷åâèäíî. Óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ýòîé ïðÿìîé è åå îðòîãîäàëüíîé ïðîåêöèåé íà ïëîñêîñòü. Çàäàäèì ïðÿìóþ ïàðàìåòðè÷åñêè l : r = r0 + ta, à ïëîñêîñòü ñâîèì îáùèì óðàâíåíèåì π : r − r1 , N = 0. Òîãäà sin(l π ) = | cos(N a)| è, ñëåäîâàòåëüíî, sin(l π ) = | N, a | |N ||a| . Ïðè n > 3 îïðåäåëèì ñèíóñ óãëà ìåæäó ïðÿìîé è ãèïåðïëîñêîñòüþ òîëüêî ÷òî ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé. Íàõîæäåíèå óãëà ìåæäó äâóìÿ ãèïåðïëîñêîñòÿìè â E n  ñëó÷àå n = 3, óãëîì ìåæäó ïëîñêîñòÿìè íàçûâàåòñÿ ìåíüøèé èç äâóõ äâóãðàííûõ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè ïëîñêîñòÿìè. Ìåðîé äâóãðàííîãî óãëà ñëóæèò óãîë ìåæäó ïðÿìûìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ðåáðó äâóãðàííîãî óãëà. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòîò óãîë ðàâåí óãëó ìåæäó ïðÿìûìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè çàäàííûì ïëîñêîñòÿì. Çàäàäèì äâå ïëîñêîñòè îáùèìè óðàâíåíèÿìè π1 : r − r1 , N1 = 0, π2 : r − r2 , N2 = 0. Òàê êàê N1 ⊥ π1 è N2 ⊥ π2 , òî cos(π1 π2 ) =  êîîðäèíàòàõ: | N1 , N2 | |N1 ||N2 | cos(π1 π2 ) = |A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 | A2 1 2 + C2 + B1 1 2 2 A2 2 + B2 + C2 . Ïóñò â E n çàäàíû äâå ãèïåðïëîñêîñòè n−1 π1 : r − r1 , N1 = 0, n−1 π2 : r − r2 , N2 = 0. Òîãäà â êà÷åñòâå êîñèíóñà óãëà ìåæäó íèìè ïðèíèìàåòñÿ n−1 n−1 cos(π1 π2 )= | N1 , N2 | |N1 ||N2 | . 1.5. ÎÐÈÅÍÒÀÖÈß Â ËÈÍÅÉÍÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ 37 1.5 Îðèåíòàöèÿ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå 1.5.1 Ïðåîáðàçîâàíèå áàçèñîâ è êîîðäèíàò Ðàññìîòðèì îáû÷íóþ ïëîñêîñòü. Ïóñòü e1 , e2 áàçèñ â E 2 . Ïóñòü f1 , f2  äâà ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðà â E 2 . Ðàçëîæèì âåêòîðû f1 , f2 ïî áàçèñó e1 , e2 . 2 f1 = c1 1 e1 + c1 e2 , 1 f2 = c2 e1 + c2 2 e2 . (1.1) Ñôîðìèðóåì èç êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöó C= 1 c1 1 c2 2 c1 c2 2 . (1.2) êî òîãäà, êîãäà det C = 0. Ïðåäëîæåíèå 1.5.1 Âåêòîðû f1 , f2 îáðàçóþò íîâûé áàçèñ ïëîñêîñòè òîãäà è òîëü- Äîêàçàòåëüñòâî. Ñòîëáöû ìàòðèöû (1.2) ñîñòàâëåíû èç êîîðäèíàò âåêòîðîâ f1 , f2 è ïîýòîìó ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü èëè íåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ f1 , f2 ýêâèâàëåíòíà ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè èëè íåçàâèñèìîñòè ñòîëáöîâ ìàòðèöû (1.2). Ïîñëåäíåå óñëîâèå ýêâèâàëåíòíî âûðîæäåííîñòè èëè íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû (1.2) ñîîòâåòñòâåííî. Ôîðìóëû (1.1) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñîâ èëè ôîðìóëàìè ïåðåõîäà (îò áàçèñà {e1 , e2 } ê áàçèñó {f1 , f2 }), à íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà (1.2) íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñîâ. Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ìîãóò áûòü çàïèñàíû â áåñêîîðäèíàòíîé, èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ðàçìåðíîñòè, ôîðìå. Äëÿ ýòîãî ñôîðìèðóåì äâå ìàòðèöû-ñòðîêè, ýëåìåíòàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû áàçèñîâ, à èìåííî e = (e1 , e2 ), f = (f1 , f2 ). Òîãäà f = eC Äåéñòâèòåëüíî, (f1 , f2 ) = (e1 , e2 ) òî åñòü 1 c1 1 c2 2 c1 c2 2 1 1 2 = (c1 1 e1 + c2 e2 , c2 e1 + c2 e2 ), 2 f1 = c1 1 e1 + c1 e2 , 2 f2 = c1 2 e1 + c2 e2 . Íàéäåì çàâèñèìîñòü ìåæäó êîîðäèíàòàìè âåêòîðà â äâóõ áàçèñàõ e è f . Çàïèøåì ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà X îòíîñèòåëüíî äâóõ áàçèñîâ. Ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû áóäåì ïîìå÷àòü áóêâàìè e è f . Ïîëó÷èì 2 X = x1 e e1 + xe e2 2 X = x1 f f1 + xf f2 . Ïîòðåáóåì âûïîëíåíèå åñòåñòâåííîãî ðàâåíñòâà 2 1 2 x1 e e1 + xe e2 = xf f1 + xf f2 . 38 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (1.1), ïðîäîëæèì 2 1 2 1 1 2 2 1 2 x1 e e1 + xe e2 = xf f1 + xf f2 = xf (c1 e1 + c1 e2 ) + xf (c2 e1 + c2 e2 ) = 1 1 2 1 1 2 2 (c1 1 xf + c2 xf )e1 + (c2 xf + c2 xf )e2 . Îòñþäà çàêëþ÷àåì 1 1 1 2 x1 e = c1 xf + c2 xf , 2 1 2 2 x2 e = c1 xf + c2 xf . (1.3) Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò âåêòîðîâ ïðè ïðåîáðàçîâàíèè áàçèñîâ (1.1). Ýòè ôîðìóëû òàê æå ìîãóò áûòü âûïèñàíû â èíâàðèàíòíîé îò ðàçìåðíîñòè ôîðìå. Äëÿ ýòîãî ñôîðìèðóåì èç êîîðäèíàò âåêòîðà X â áàçèñàõ e è f ìàòðèöû ñòîëáöû Xe = x1 e x2 e Xf = x1 f x2 f Òîãäà ôîðìóëû (1.3) ïåðåïèøóòñÿ â âèäå ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà Xe = CXf Ìàòðè÷íûé âèä ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò ìîæåò áûòü ëåãêî èçâëå÷åí èç ìàòðè÷íîãî âèäà ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñîâ åñëè çàìåòèòü, ÷òî ðàçëîæåíèå 2 X = x1 e e1 + xe e2 ýêâèâàëåíòíî ìàòðè÷íîìó ðàâåíñòâó X = eXe . Äåéñòâèòåëüíî, 2 x1 e e1 + xe e2 = (e1 , e2 ) x1 e x2 e Òîãäà èìååì, eXe = f Xf = (eC )Xf = e(CXf ) è, ñòàëî áûòü, Xe = CXf Î÷åâèäíî, â ìàòðè÷íîé ôîðìå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñîâ è êîîïðäèíàò íå çàâèñèò îò ðàçìåðíîñòè è ïðèìåíèìû â ïðîñðàíñòâàõ ëþáîé ðàçìåðíîñòè n. 1.5.2 Îðèåíòàöèÿ Íàçîâåì áàçèñû e è f îðèåíòèðîâàííûìè îäèíàêîâî, åñëè ìàòðèöà ïåðåõîäà e −→ f èìååò ïîëîæèòåëüíûé îïðåäåëèòåëü det C > 0. Îòíîøåíèå îäèíàêîâîé îðèåíòèðîâàííîñòè ÿâëÿåòñÿ áèíàðíûì îòíîøåíèåì íà ìíîæíñòâå âñåõ áàçèñîâ. Íàïîìíèì, ÷òî áèíàðíîå îòíîøåíèå ∼ íà çàäàííîì ìíîæíñòâå íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè åñëè ∼ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì: 1. a ∼ a äëÿ êàæäîãî a ∈ X (ðåôëåêñèâíîñòü); C 1.5. ÎÐÈÅÍÒÀÖÈß Â ËÈÍÅÉÍÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ 2. Åñëè a ∼ b, òî b ∼ a (ñèììåòðè÷íîñòü); 3. Åñëè a ∼ b è b ∼ c, òî a ∼ c (òðàíçèòèâíîñòü). 39 Çàäàíèå íà ìíîæåñòâå îòíîøåíèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè îïðåäåëÿåò ðàçáèåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà íà íåïóñòûå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà (êëàññû) ýêâèâàëåíòíûõ ìåæäó ñîáîþ ýëåìåíòîâ. Ïðåäëîæåíèå 1.5.2 Îòíîøåíèå îäèíàêîâîé îðèåíòèðîâàííîñòè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå âñåõ áàçèñîâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. e ∼ e. Äåéñòâèòåëüíî, e −→ f , ãäå  1  0 E=  ... 0 2. Åñëè e ∼ f òî f ∼ e. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü e −→ f . Òàê êàê det C > 0, òî ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà C −1 . Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì C C 0 1 ... 0 ... ... ... ...  0 0   ...  1 f = eC C −1 ⇒ f C −1 = (eC )C −1 = e(CC −1 ) = e 1 det C ⇒ e = f C −1 Çíà÷èò f −→ e, ïðè÷åì det C −1 = 3. Åñëè e ∼ f è f ∼ g, òî e ∼ g. C > 0, ÷òî îçíà÷àåò f ∼ e. 1 Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü e −→ f (det C1 > 0) è f ∼ g (det C2 > 0). Òîãäà f = eC1 , g = f C2 = (eC1 )C2 = e(C1 C2 ). 1 2 Òàêèì îáðàçîì, e −→ g è òàê êàê det (C1 C2 ) = det C1 det C2 > 0, òî e ∼ g. C C Òàêèì îáðàçîì, âñå áàçèñû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ðàçáèâàþòñÿ íà äâà êëàññà ýêâèâàëåíòíûõ áàçèñîâ. Âíóòðè êàæäîãî êëàññà ïåðåõîä îò áàçèñà ê áàçèñó îñóùåñòâëÿþòñÿ ìàòðèöåé ñ ïîëîæèòåëüíûì îïðåäåëèòåëåì. Áàçèñû èç ðàçíûõ êëàññîâ ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ìàòðèöåé ñ îòðèöàòåëüíûì îïðåäåëèòåëåì. Çàäàòü îðèåíòàöèþ çíà÷èò âûáðàòü áàçèñû èç îïðåäåëåííîãî êëàññà. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì, åñëè â íåì âûáðàíà îðèåíòàöèÿ. Ýòà âûáðàííàÿ îðèåíòàöèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé, à ïðîòèâîïîëîæíàÿ - îòðèöàòåëüíîé. Íàïðèìåð, ïðè n = 1, ïóñòü e è f äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà íà ïðÿìîé. Òîãäà, î÷åâèäíî, f = λe, ãäå λ = 0.  ýòîì ñëó÷àå ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñîâ ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà C = (λ). Êëàññ îðèåíòàöèè âåêòîðà e ñîñòàâëÿþò âåêòîðû, ñîíàïðàâëåííûå ñ e, à äðóãîé êëàññ îðèåíòàöèè ñîñòàâëÿþò âåêòîðû, ïðîòèâîíàïðàâëåííûå ñ e. 40 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Îòíîøåíèå îäèíàêîâîé îðèåíòèðóåìîñòè áàçèñîâ (ñëåäîâàòåëüíî, è ïîíÿòèå îðèåíòàöèè) ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü e è f  äâà áàçèñà. Áàçèñ e íàçûâàåòñÿ äåôîðìèðóåìûì â áàçèñ f , åñëè ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî âåêòîðîâ a1 (t), a2 (t), . . . , an (t) òàêèõ, ÷òî ak (t)  íåïðåðûâíûå ôóíêöèè ïàðàìåòðà t ∈ [0, 1] è • ai (0) = ei , ai (1) = fi . • a1 (t), . . . , an (t) ëèíåéíî íåçàâèñèìû äëÿ êàæäîãî t ∈ [0, 1]. Ñïðàâåäëèâî òîãäà, êîãäà e è f äåôîðìèðóåìû äðóã â äðóãà. Ïðåäëîæåíèå 1.5.3 Äâà áàçèñà e è f îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî òîãäà è òîëüêî 1.5.3 Íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ îðèåíòàöèè Îðèåíòèðîâàííàÿ äëèíà âåêòîðà íà ïðÿìîé Ïóñòü e  åäèíè÷íûé âåêòîð ïðÿìîé, çàäàþùèé îðèåíòàöèþ, a  ïðîèçâîëüíûé âåêòîð íà ïðÿìîé. Òîãäà a = λe. Âåëè÷èíà λ íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííîé äëèíîé âåêòîðà a. Î÷åâèäíî, λ = ±|a|. Îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà. Áèâåêòîðû Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà âåêòîðàõ a è b. Åñëè ϕ  óãîë ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè, òî ïëîùàäü ïîñòðîåííîãî ïàðàëëåëîãðàììà âû÷èñëÿåòñÿ ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå S = |a||b| sin ϕ.     b    a E      S = |a||b| sin ϕ Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìóëå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà ìæíî ïðèäàòü âûðàæåíèå, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà, à èìåííî, S 2 = |a|2 |b|2 − a, b . Äåéñòâèòåëüíî, 2 S 2 = |a|2 |b|2 sin2 ϕ = |a|2 |b|2 (1 − cos2 ϕ) = |a|2 |b|2 − |a|2 |b|2 cos2 ϕ = |a|2 |b|2 − a, b . 2 Çàìå÷àíèå. Ïîëó÷åííîé ôîðìóëå ìîæíî ïðèäàòü âèä S2 = a, a b, a a, b b, b . Ìàòðèöà ïîä îïðåäåëèòåëåì íàçûâåòñÿ ìàòðèöåé Ãðàìà ïàðû âåêòðîâ a è b. 1.5. ÎÐÈÅÍÒÀÖÈß Â ËÈÍÅÉÍÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ 41 a2 e2 , Çàôèêñèðóåì íà ïëîñêîñòè îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ e1 , e2 . Òîãäà a = a1 e1 + b = b1 e1 + b2 e2 è |a|2 = (a1 )2 + (a2 )2 , a, b Ñëåäîâàòåëüíî, 2 |b|2 = (b1 )2 + (b2 )2 = (a1 b1 + a2 b2 )2 = (a1 b1 )2 + 2a1 a2 b1 b2 + (a2 b2 )2 . S 2 = (a1 b2 − a2 b1 )2 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âåêòîðû a è b îáðàçóþò (íåâûðîæäåííûé) ïàðàëëåëîãðàìì, ïîýòîìó ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè è îáðàçóþò äðóãîé áàçèñ ïëîñêîñòè. Ìàòðèöà C= a1 b1 a2 b2 ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò áàçèñà e1 , e2 ê áàçèñó a, b. Î÷åâèäíî òåïåðü, ÷òî S = |detC |. Îïðåäåëèì îðèåíòèðîâàííóþ ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ôîðìóëîé Sor = det C . Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî Sor = S, åñëè áàçèñ a, b îðèåíòèðîâàí ïîëîæèòåëüíî (det C > 0), −S, åñëè áàçèñ a, b îðèåíòèðîâàí îòðèöàòåëüíî (det C < 0) Ñ îðèåíòèðîâàííîé ïëîùàäüþ ïàðàëëåëîãðàììà ñâÿçàíî ïîíÿòè áèâåêòîðà, îáîáùàþùåå ïîíÿòèå âåêòîðà. Íàïîìíèì, ÷òî ìû íàçûâåì âåêòîðîì ñîâîêóïíîñòü ðàâíûõ ìåæäó ñîáîé íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ. Äâà íàïðàâëåííûõ îòðåçêà ðàâíû, åñëè: • èìåþò ðàâíûå äëèíû; • ðàñïîëîæåíû íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ • îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíû (ñîíàïðàâëåíû); Âåêòîð - ýòî, îáðàçíî ãîâîðÿ, ñâîáîäíî "ïëàâàþùèé"â ïðîñòðàíñòâå êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ðàâíûõ íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ. Áèâåêòîð - ýòî êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè êóñî÷êîâ ïëîñêîñòè, èìåþùèõ îäèíàêîâóþ ïëîùàäü è îäèíàêîâóþ îðèåíòàöèþ. Òàêèå êóñî÷êè áóäåì ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ïàðàëëåëîãðàììîâ, ïîñòîðîåííûõ íà óïîðÿäî÷åíûõ ïàðàõ âåêòîðîâ. Áóäåì ñ÷èòàòü äâå óïîðÿäî÷åííûõ ïàðû âåêòîðîâ ðàâíûìè, åñëè ïîñòðîåííûå íà íèõ ïàðàëëåëîãðàììû • èìåþò îäèíàêîâóþ ïëîùàäü; • ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ; • îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíû. Áèâåêòîðîì íàçûâàåòñÿ - êëàññ ýêâèâàëåíòíûõ ïàð âåêòîðîâ. 42 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Îðèåíòèðîâàííûé óãîë ìåæäó ïðÿìûìè íà ïëîñêîñòè Ïóñòü l1 è l2 äâå ïðÿìûå íà îðèåíòèðîâàííîé ïëîñêîñòè. Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü íå ïðîñòî óãîë ìåæäó ïðÿìûìè l1 è l2 , íî è óãîë îò ïðÿìîé l1 ê ïðÿìîé l2 . Îïðåäåëåíèå 1.5.1 Óãëîì îò ïðÿìîé l1 ê ïðÿìîé l2 (îðèåíòèðîâàííûì óãëîì ìåæäó ïðÿìûìè) íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé ïàðîé íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ïðÿìûõ l1 è l2 . Ïóñòü ϕ óãîë ìåæäó l1 è l2 , à ϕor  îðèåíòèðîâàííûé óãîë ìåæäó íèìè. Òîãäà cos ϕor = a1 , a2 |a1 ||a2 | ïðè óñëîâèè, ÷òî ïàðà íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ a1 , a2 ýòèõ ïðÿìûõ îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åñëè ϕ  óãîë ìåæäó âåêòîðàìè a1 è a2 , òî ϕor = ϕ åñëè ïàðà a1 , a2 îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî, π − ϕ, åñëè ïàðà a1 , a2 îðèåíòèðîâàíà îòðèöàòåëüíî. 1.6 Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå 1.6.1 Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íûì ïðîèçâåäåíèåì a è b, åñëè 1) 2) 3) c ⊥ a, c ⊥ b; Îïðåäåëåíèå 1.6.1 Ïóñòü a, b  äâà âåêòîðà â E 3 . Âåêòîð c íàçûâàåòñÿ âåêòîð- Äëèíà âåêòîðà c ÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, îáðàçîâàííîãî âåêòîðàìè a è b, òî åñòü |c| = |a||b| sin (a b); òðîéêà âåêòîðîâ a, b, c ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàíà. Çàìå÷àíèå.  îïðåäåëåíèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âåêòîðû a è b íå êîëëèíåàðíû. Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ åñòåñòâåííî ïîëàãàòü c = 0. Ïðåäëîæåíèå 1.6.1 Ïóñòü âåêòîðû a = {ax , ay , az } è b = {bx , by , bz } çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè â íåêîòîðîì (ïðîèçâîëüíîì) îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå. Òîãäà âåêòîð ax ay a a ay az . ,− x z , c= bx by bx bz by bz ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü c = {cx , cy , cz }. Òîãäà èç ïåðâîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò: cx ax + cy ay + cz az = 0 . cx bx + cy by + cz bz = 0 1.6. ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅ Îáîçíà÷èì 43 ∆x = ay az by bz , ∆y = ax az bx bz , ∆z = ax ay bx by . Ïîñêîëüêó a ∦ b, òî õîòÿ áû îäèí èç âûïèñàííûõ îïðåäåëèòåëåé íå ðàâåí íóëþ. Ïóñòü, íàïðèìåð, ∆z = 0. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé cx ax + cy ay = −cz az cx bx + cy by = −cz bz Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì Êðàìåðà: cx = Ïîëîæèì cz ∆z −az cz ay −bz cz by ∆z ∆x = cz , ∆z cy = ax −az cz bx −bz cz ∆z = cz −∆x . ∆z = λ. Òîãäà ìû ìîæåì çàïèñàòü cx = λ∆x , cy = −λ∆y , cz = λ∆z Èíà÷å ãîâîðÿ, óñëîâèþ c ⊥ a, b óäîâëåòâîðÿåò âåêòîð c = λ{∆x , −∆y , ∆z }. Çàìåòèì, ÷òî äëèíà è íàïðàâëåíèå íàéäåííîãî âåêòîðà íå îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî. Èñïîëüçóåì âòîðîå ñâîéñòâî èç îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ïîêàæåì, ÷òî |λ| = 1. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî åñëè a = {ax , ay , az } è b = {bx , by , bz }, òî äëÿ ïëîùàäè îáðàçîâàííîãî èìè ïàðàëëåëîãðàììà ñïðàâåäëèâî âûðàæåíèå S= Äåéñòâèòåëüíî, 2 2 ∆2 x + ∆y + ∆z . S 2 = |a|2 |b|2 sin2 (a b) = |a|2 |b|2 (1 − cos2 (a b)) = |a|2 |b|2 − |a|2 |b|2 cos2 (a b) = |a|2 |b|2 − a, b 2 = 2 2 2 2 2 2 (a2 x + ay + az )(bx + by + bz ) − (ax bx + ay by + az bz ) = (ay bz − az by )2 + (ax bz − az bx )2 + (ax by − ay bx )2 = 2 2 ∆2 x + ∆y + ∆z . Òàêèì îáðàçîì óñëîâèå |c| = S âëå÷åò |λ| = 1. 44 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Ïîêàæåì, ÷òî èç òðåòüå ñâîéñòâà îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî λ = 1. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì îðèåíòàöèþ òðîéêè âåêòîðîâ a, vecb, c ïðè λ = 1 è ïîêàæåì, ÷òî îíà ïîëîæèòåëüíà. Äåéñòâèòåëüíî, ax ay az bx by bz ∆x −∆y ∆z Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. = ∆x −∆y ∆z ax ay az bx by bz 2 2 = ∆2 x + ∆y + ∆z > 0. Çàìå÷àíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âåêòîðû a è b êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∆x = ∆y = ∆z = 0. Ïîýòîìó, åñëè a b, òî ïîëàãàåì c = 0. [a, b ]. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà a íà âåêòîð b áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Ïðåäëîæåíèå 1.6.2 Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. [a, b] = −[b, a]  àíòèêîììóòàòèâíîñòü; 2. [a + b, d] = [a, d] + [b, d]  äèñòðèáóòèâíîñòü ïî ñëîæåíèþ; 3. [λa, b] = λ[a, b]  ëèíåéíîñòü. äåëèòåëåé ∆x , ∆y è ∆z , ÷òî ïðèâîäèò ê ñìåíå èõ çíàêà. Àíàëîãè÷íî âûâîäÿòñÿ è îñòàëüíûå ñâîéñòâà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåñòàíîâêà ñîìíîæèòåëåé âåäåò ê ïåðåñòàíîâêå ñòðî÷åê îïðå- 1.6.2 Íåêîòîðûå ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ Ïðèçíàê êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ Äâà âåêòîðà êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó, òî åñòü a Ýòî ñâîéñòâî îòìå÷àëîñü âûøå. b ⇔ [a, b] = 0. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå Ïóñòü l : r = r0 + at  ïðÿìàÿ â ïðîñòðàíñòâå. Íàéäåì ðàññòîÿíèå îò òî÷êà M1 ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì r1 äî ïðÿìîé l. Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëîãðàìì, ïîñòðîåííûé íà âåêòîðàõ r1 − r0 è a. Èñêîìîå ðàññòîÿíèå ðàâíî âûñîòå d ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà S = |a| d. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, S = [r1 − r0 , a] . Ñëåäîâàòåëüíî, d= [r1 − r0 , a] . |a| 1.6. ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅ 45 Îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ Ïóñòü l1 : r = r1 + a1 t è l2 : r = r2 + a2 τ , äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå â ïðîñòðàíñòâå. Ðàññìîòðèì äâå ïëîñêîñòè π1 : r = r1 + a1 u + a2 v, π2 : r = r2 + a1 u + a2 v. Î÷åâèäíî, ÷òî π1 ⊃ l1 , π2 ⊃ l2 è π1 π2 . Ïîëîæèì N = [a1 , a2 ]. Òîãäà N ⊥ π1 è N ⊥ π2 . Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü π3 : r = r1 + a1 u + N v . Òîãäà π3 ⊃ l1 . Äåéñòâèòåëüíî, ïîëîæèâ u = t, v = 0 â óðàâíåíèè ïëîñêîñòè π3 , ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïðÿìîé l1 . Ïðè ýòîì π3 ⊥ π1 , π3 ⊥ π1 , òàê êàê π3 ⊃ l3 : r = r1 + N v , à l3 ⊥ π1 , π2 . Àíàëîãè÷íî, ðàññìîòðåâ ïëîñêîñòü π4 : r = r2 + a2 u + N v , ïîëó÷èì π4 ⊃ l2 , π4 ⊥ π1 , π4 ⊥ π2 . Ïðÿìàÿ l = π3 ∩ π4 èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1. l ∩ l1 = ∅, òàê êàê l ⊂ π3 , l1 = π3 ∩ π1 , π3 ⊥π1 ; 2. l ∩ l2 = ∅, òàê êàê l ⊂ π4 , l2 = π4 ∩ π2 , π4 ⊥π2 ; 3. l⊥l1 , l⊥l2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðìàÿ l è åñòü èñêîìûé îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð. Âûïèøåì åãî óðàâíåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòåé â âèäå: π3 : r − r1 , a1 , N π4 : r − r2 , a2 , N Òîãäà óðàâíåíèå ïðÿìîé l: = 0, = 0. r − r1 , a1 , N r − r2 , a2 , N =0 , ãäå N = [a1 , a2 ]. =0 Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè Ïóñòü l1 è l2  ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå. l1 : r = r1 + a1 t, l2 : r = r2 + a2 τ , . Òî÷êà M1 ñ ðàäèóñ-âåêòîðîì r1 ïðèíàäëåæèò π1 . Çàïèøåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè π2 â âèäå: π2 : r − r2 , a1 , a2 = 0. Òîãäà dl1 ,l2 = | r1 − r2 , [a1 , a2 ] | . |[a1 , a2 ]| Ñëåäñòâèå 1.6.1 Ïóñòü l1 : r = r1 + a1 t, l2 : r = r2 + a2 τ , , a1 ∦ a2 äâå íåïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Òîãäà l1 ∩ l2 = ∅ ⇔ r1 − r2 , [a1 , a2 ] = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ïðèâåäåííîå óñëîâèå îçíà÷àåò ðàâåíñòâî íóëþ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè. 46 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ 1.6.3 Äâîéíîå âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå Ïóñòü a, b, c  òðè ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðà â E 3 , çàäàííûå îòíîñèòåëüíî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà. Òîãäà ïðîèçâåäåíèå a, b, c íàçûâàåòñÿ äâîéíûì âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì. Ïðåäëîæåíèå 1.6.3 Äëÿ ëþáûõ òðåõ âåêòîðîâ â E 3 a, b, c = b a, c − c a, b . ïðàâèì âäîëü c, îñü Oy âîçüìåì â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ b è c, îñü Ox íàïðàâèì ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé ïëîñêîñòè. Òîãäà îòíîñèòåëüíî âûáîðàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò a = {a1 , a2 , a3 }, b = {0, b2 , b3 }, c = {0, 0, c3 } è ìû íàõîäèì Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò ñëåäóþùèì îáðàçîì: îñü Oz íà- b, c = a, b, c = b2 b3 0 c3 ,− 0 b3 0 c3 ,− , 0 b2 0 0 , = {b2 c3 , 0, 0}, a1 a2 b2 c3 0 = a2 a3 0 0 a1 a3 b2 c3 0 0, a3 b2 c3 , −a2 b2 c3 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, b a, c = {0, a3 b2 c3 , a3 b3 c3 }, c a, b = {0, 0, a2 b2 c3 + a3 b3 c3 }, à çíà÷èò b a, c − c a, b = {0, a3 b2 c3 , −a2 b2 c3 }. Ñðàâíèâàÿ âû÷èñëåíèÿ, ïîëó÷àåì òðåáóåìûé ðåçóëüòàò. Óïðàæíåíèå 1.6.1 Äîêàæèòå, ÷òî 1. 2. a, b , c = b a, c − a b, c . b ⊥ a, b ⊥ c, a c. a, b , c = a, b, c ⇔ 1.6.4 Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ Ïóñòü a, b, c  òðè âåêòîðà â E 3 . Òîãäà ïðîèçâåäåíèå a, b, c ïðîèçâåäåíèåì òðåõ âåêòîðîâ. íàçûâàåòñÿ ñìåøàííûì çàäàíû ñâîèìè êîîðäèíàòàìè â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå. Òîãäà a, b, c = ax ay az bx by bz cx cy cz . Ïðåäëîæåíèå 1.6.4 Ïóñòü âåêòîðû a = {ax , ay , az }, b = {bx , by , bz } è c = {cx , cy , cz } 1.6. ÂÅÊÒÎÐÍÎÅ ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅ 47 Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, b, c = è by bz cy cz ,− bx bz cx cz , bx by cx cy a, b, c ax = − ay bx bz cx cz + az bx by cx cy = ax ay az bx by bz cx cy cz . by bz cy cz Ðàññòàíîâêà ñêîáîê âíóòðè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íå ñóùåñòâåííà. Èìååòñÿ â âèäó ñëåäóþùåå ñâîéñòâî: a, b, c = a, b , c .  ñâÿçè ñ ýòèì, äëÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ óïîòðåáëÿåòñÿ óïðîùåííîå îáîçíà÷åíèå: a, b, c ∼ (a, b, c). Óïðàæíåíèå 1.6.2 Äîêàæèòå, ÷òî 1. a, b, c = a, b , c ; (a1 + a2 , b, c) = (a1 , b, c) + (a2 , b, c); 2. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî ïî êàæäîìó èç ñîìíîæèòåëåé. Íàïðèìåð, 3. Ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ â ñìåøàííîì ïðîèçâåäåíèè çíàê ïðîèçâåäåíèÿ ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Íàïðèìåð, (a, b, c) = −(b, a, c). 1.6.5 Íåêîòîðûå ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ Ïðèçíàê êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ Òðè âåêòîðà a, b, c êîìïëàíàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (a, b, c) = 0. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè çàäàííûå òî÷êè Ïóñòü â ïðîñòðâíñòâå çàäàíû òðè òî÷êè ñ ðàäèóñàìè-âåêòîðàìè r1 = {x1 , y1 , z1 }, r2 = {x2 , y2 , z2 }, r3 = {x3 , y3 , z3 }. Òî÷êà ñ ïåðåìåííûì ðàäèóñîì-âåêòîðîì r = {x, y, z } ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííûå òî÷êè, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîìïëàíàðíû âåêòîðû r − r1 , r2 − r1 è r3 − r1 , òî åñòü (r − r1 , r2 − r1 , r3 − r1 ) = 0.  êîîðäèíàòíîì âûðàæåíèè ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî x − x1 x2 − x1 x3 − x1 y − y1 y2 − y1 y3 − y1 z − z1 z2 − z1 z3 − z1 = 0. Ðàñêðûâ îïðåäåëèòåëü, ïîëó÷èì óðàâíåíèå èñêîìîé ïëîñêîñòè. 48 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Îðèåíòèðîâàííûé îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà. Òðèâåêòîðû Ïóñòü âåêòîðû a, b, c íå êîìïëàíàðíû, ò.å. (a, b, c) = 0. Òîãäà |(a, b, c)| ðàâåí îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîìó íà ñîîòâåòñòâóþùèõ íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ. Äåéñòâèòåëüíî, âåêòîð N = [a, b] ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì íîðìàëè ê ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ − → ïàðàëëåëåïèïåäà. Âåëè÷èíà h = |P rN c| ðàâíà åãî âûñîòå. Âû÷èñëèì åå: c, N | c, [a, b] | − → |(a, b, c)| h = |P rN c| = = . = Sîñí |N | |[a, b]| Òàê êàê Sîñí h = V  îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà, òî î÷åâèäíî V = |(a, b, c)|. Îðèåíòèðîâàííûì îáúåìîì Vor òðîéêè âåêòîðîâ a, b, c íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà Vor = (a, b, c). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî Vop = V, åñëè òðîéêà a, b, c îðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî); −V, åñëè òðîéêà a, b, c îðèåíòèðîâàíà îòðèöàòåëüíî. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå îðèåíòèðîâàííîãî îáúåìà, íà ìíîæåñòâå âñåõ òðîåê âåêòîðîâ ìîæíî ââåñòè îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè, à èìåííî, äâå òðîéêè íàçîâåì ýêââèâàëåíòíûìè, åñëè îíè èìåþò ðàâíûå îðèåíòèðîâàííûå îáúåìû. Êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè òàêîãî ðîäà íàçûâàþòñÿ òðèâåêòîðàìè. Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, òðèâåêòîðû  ýòî êóñî÷êè ïðîñòðàíñòâà ñ îäèíàêîâûìè îáúåìàìè è îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûå. ßñíî, ÷òî öåïî÷êà: âåêòîðû → áèâåêòîðû → òðèâåêòîðû ìîæåò áûòü åñòåñòâåííî ïðîäîëæåíà ïî ðàçìåðíîñòè. Ñîîòâåòñòâóþùåå îáîáùåíèå íîñèò íàçâàíèå ïîëèâåêòîðû, îäíàêî çäåñü ìû íå áóäåì êàñàòüñÿ ýòîãî îáîáùåíèÿ. 1.7 Ýëåìåíòû ìíîãîìåðíîé àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè 1.7.1 Óðàâíåíèå k − ìåðíîé ïëîñêîñòè â An Ïóñòü â An çàôèêñèðîâàíà òî÷êà M0 ðàäèóñ-âåêòîð êîòîðîé r0 . È ïóñòü çàäàíû k ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ {a1 , . . . , ak }. Àôôèííîé k − ìåðíîé ïëîñêîñòüþ π k â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê â An , ðàäèóñ-âåêòîð êîòîðûõ (â çàäàííîé àôôèííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì r = r0 + t1 a1 + t2 a2 + · · · + tk ak . Òî÷êà M0 íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíîé òî÷êîé ïëîñêîñòè π k , à ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Lk ñ áàçèñîì {a1 , . . . , ak } íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùèì ïðîñòðàíñòâîì ïëîñêîñòè π k . Åñëè k = 1 òî 1-ìåðíàÿ àôôèííôÿ ïëîñêîñòü íàçûâàåòñÿ àôôèííîé ïðÿìîé â An . Åñëè k = n − 1, òî òàêàÿ ïëîñêîñòü íàçûâååòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â An . Òàê, íàïðèìåð, π 2 : r = r0 + t1 a1 + t2 a2 ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â A3 , à π 1 : r = r0 + t1 a1 ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â A2 . ßñíî, ÷òî π 1 ÿâëÿåòñÿ â òî æå âðåìÿ è àôôèííîé ïðÿìîé. 1.7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ 49 Óïðàæíåíèå 1.7.1 Ïîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè â àôôèííîì ïðîñòðàíñòâå An ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå π n−1 : A1 x1 + A2 x2 + · · · + An xn + D. Âåêòîð N = {A1 , . . . , An } íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì àôôèííîé íîðìàëè ãèïåðïëîñêîñòè π n−1 . n Óïðàæíåíèå 1.7.2 Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïðÿìîé â An ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé (x1 0 , . . . , x0 ) è íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a = a1 , . . . , an ìîæíî âûïèñàòü åå êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå â âèäå: x2 − x2 xn − xn x1 − x1 0 0 0 = = · · · = . a1 a2 an Óïðàæíåíèå 1.7.3 Ïóñòü n−1 1 1 2 1 n 1 π1 : A1 1 x + A2 x + · · · + An x + D , n−1 1 2 2 2 n 2 π2 : A2 1 x + A2 x + · · · + An x + D äâå ãèïåðïëîñêîñòè â An . 1 2 2 Ïóñòü N1 = {A1 1 , . . . , An } è N2 = {A1 , . . . , An } èõ àôôèííûå íîðìàëè. Îáðàçóåì 1 1 1 1 2 âåêòîðû Q1 = {A1 , . . . , An , D } è Q2 = {A1 , . . . , A1 n , D }. Ïîêàæèòå, ÷òî n−1 n−1 ∩ π2 = π n−2 , åñëè N1 ∦ N2 ; • π1 • π1 π2 , åñëè N1 N2 è Q1 ∦ Q2 ; Q2 . • π1 = π2 åñëè Q1 1.7.2 Ïîäïðîñòðàíñòâà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ˜ ⊂ Ln íàçûâàåòñÿ Ïóñòü Ln  âåùåñòâåííîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîäìíîæåñòâî L n (ëèíåéíûì) ïîäïðîñòðàíñòâîì â L , åñëè λx + µy ∈ L äëÿ ëþáûõ x, y ∈ L è ëþáûõ âåùåñòâåííûõ λ, µ. Âàæíåéøèì äëÿ íàñ ïðèìåðîì ëèíåéíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà â Ln ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñèñòåìû âåêòîðîâ. êîé Lin(a1 , . . . , ak ) äàííîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî âåêòîðîâ â Ln âèäà k Îïðåäåëåíèå 1.7.1 Ïóñòü {a1 , . . . , ak }  ñèñòåìà âåêòîðîâ â Ln . Ëèíåéíîé îáîëî÷ui ai i=1 ui ∈ R. Èíûìè ñëîâàìè, ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà  ýòî ìíîæåñòâî âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé çàäàííîé ñèñòåìû âåêòðîâ. ëî÷êó äàííîé ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ë.ê.(a1 , . . . , ak ) ýòî âåêòîð m, âèäà k Çàìå÷àíèå. Ñëåäóåò õîðîøî ðàçëè÷àòü ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ è ëèíåéíóþ îáî- m= i=1 ui ai = u1 a1 + · · · + uk ak , 50 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ ãäå u1 , . . . , uk  ôèêñèðîâàíû. Î÷åâèäíî, ë.ê.(a1 , . . . , ak ) ∈ Lin(a1 , . . . , ak ). Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì äâà âåêòîðà a1 , a2 . Òîãäà Lin(a1 , a2 ) = {ua1 + va2 | u, v ∈ R}. Ðàññìîòðèì âåêòîð m = 3a1 + 5a2 . Âåêòîð m = ë.ê.(a1 , a2 ) ñ êîýôôèöèåíòàìè 3 è 5. ßñíî, ÷òî m ∈ Lin(a1 , a2 ) ïðè u = 3, v = 5. Ïðåäëîæåíèå 1.7.1 Lin(a1 , . . . , ak )  ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â Ln . Åãî ðàçìåðíîñòü dim Lin(a1 , . . . , ak ) ≤ k . Ïðè ýòîì dim Lin(a1 , . . . , ak ) = k òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû a1 , . . . , ak ëèíåéíî íåçàâèñèìû, à çíà÷èò a1 , . . . , ak  îäèí èç áàçèñîâ Lk = Lin(a1 , . . . , ak ). Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü x, y ∈ Lin(a1 , . . . , ak ). Òîãäà k k k x= i=1 x ai , i y= i=1 y ai , i λx + µy = i=1 (λxi + µy i )ai ∈ Lin(a1 , . . . , ak ), à çíà÷èò Lin(a1 , . . . , ak )  ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â Ln . Ðàçëîæèì âåêòðû a1 , . . . , ak ) ïî íåêîòîðîìó áàçèñó Ln . Òîãäà n a1 = {a1 1 , . . . , a1 }, ... n ak = {a1 k , . . . , ak }. Ëèíåéíûì îïåðàöèÿì íàä âåêòîðàìè a1 , . . . , ak ñîîòâåòñòâóþò ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ñòðîêàìè k × n ìàòðèöû  1  a1 . . . an 1  .  . . A= . . .  n a1 k . . . ak Ðàíãîì ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî åå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê (ñòîëáöîâ). Ðàíã ìàòðèöû ðàâåí ìàêñèìàëüíîìó ðàçìåðó åå íåíóëåâîãî ìèíîðà. Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî rg A ≤ min(k, n) = k . Åñëè æå rg A = k , òî âñå ñòðîêè ìàòðèöû A, à âìåñòå ñ íèìè è âåêòîðû a1 , . . . , ak , ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Íî òîãäà a1 , . . . , ak  îäèí èç áàçèñîâ Lk = Lin(a1 , . . . , ak ). Ñóììà ïîäïðîñòðàíñòâ. Ïðÿìàÿ ñóììà Îïðåäåëåíèå 1.7.2 Ïóñòü Lk è Ll  äâà ïîäïðîñòðàíñòâà â Ln . Ñóììîé Lk + Ll ïîäïðîñòðàíñòâ Lk è Ll íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âåêòîðîâ â Ln âèäà x+y x ∈ Lk , y ∈ Ll . Ïðåäëîæåíèå 1.7.2 Lk + Ll  ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â Ln . 1.7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ 51 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a1 , . . . , ak  áàçèñ Lk , b1 , . . . , bl  áàçèñ Ll . Òîãäà Lk = Lin(a1 , . . . , ak ), Ll = Lin(b1 , . . . , bl ). Ñëåäîâàòåëüíî, Lk + Ll = Lin(a1 , . . . , ak ; b1 , . . . , bl ). Î÷åâèäíî, ÷òî dim(Lk + Ll ) ≤ k + l. Åñëè dim(Lk + Ll ) = k + l, òî ñóììà íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé è îáîçíà÷àåòñÿ Lk ⊕ Ll . ßñíî, ÷òî åñëè ñóììà ïðÿìàÿ, òî âåêòîðû a1 , . . . , ak ; b1 , . . . , bl îáðàçóþò áàçèñ â Lk ⊕ Ll . Åñëè Lk ⊕ Ll  ïðÿìàÿ ñóììà, òî äëÿ êàæäîãî z ∈ Lk ⊕ Ll ðàçëîæåíèå z = x + y | x ∈ k L , y ∈ Lk åäèíñòâåííî (òî åñòü x è y îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû). Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü a1 , . . . , ak  áàçèñ Lk , b1 , . . . , bl  áàçèñ Ll . Ïóñòü z ∈ Lk ⊕ Ll . Òîãäà k l z= i=1 xi ai + j =1 x∈Lk xj bj . y ∈Ll Äëÿ äàííîãî z êîîðäèíàòû xi , y j îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî â ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, à çíà÷èò îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû è âåêòîðû x ∈ Lk è y ∈ Ll Óïðàæíåíèå 1.7.4 Äîêàçàòü îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, òî åñòü åñëè â ñóììå äëÿ êàæäîãî z ∈ Lk + Ll ðàçëîæåíèå z = x + y | x ∈ Lk , y ∈ Lk åäèíñòâåííî , òî ñóììà Lk + Ll  ïðÿìàÿ. Ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâ åì Lk ∩ Ll ïîäïðîñòðàíñòâ Lk è Ll íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî {x ∈ Ln | x ∈ Lk , x ∈ Ll }. Îïðåäåëåíèå 1.7.3 Ïóñòü Lk è Ll  ëèíåéíûå ïîäïðîñòðàíñòâà â Ln . Ïåðåñå÷åíè- Ïðåäëîæåíèå 1.7.3 Lk ∩ Ll  ïîäïðîñòðàíñòâî â Ln . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x, y ∈ Lk ∩ Ll . Òàê êàê Lk è Ll  ïîäïðîñòðàíñòâà, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå èìïëèêàöèè: x, y ∈ Lk ⇒ λx + µy ∈ Lk x, y ∈ Ll ⇒ λx + µy ∈ Ll ⇒ λx + µy ∈ Lk ∩ Ll . Ôîðìóëà Ãðàññìàíà Ïðåäëîæåíèå 1.7.4 Ïóñòü Lk è Ll  ïîäïðîñòðàíñòâà â Ln . Òîãäà dim(Lk + Ll ) = dim Lk + dim Ll − dim(Lk ∩ Ll ) Åñëè ïîëîæèòü m = dim(Lk ∩ Ll ), òî ôîðìóëà Ãðàñìàíà âûïèøåòñÿ áîëåå ëàêîíè÷íî: dim(Lk + Ll ) = k + l − m. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû Ãðàññìàíà íàì ïîòðåáóåòñÿ ëåììà, èñïîëüçóåìàÿ è â íåêîòîðûõ äàëüíåéøèõ óòâåðæäåíèÿõ. 52 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ k ). Òîãäà åå ìîæíî äîïîëíèòü äî áàçèñà Lk , òî åñòü íàéäóòñÿ òàêèå âåêòîðû am+1 , . . . , ak , ÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ q1 , . . . , qm ; am+1 , . . . , ak Ëåììà 1.7.1 Ïóñòü q1 , . . . , qm  ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ â Lk (m < îáðàçóåò áàçèñ Lk . êà Lin{q1 , . . . , qm } ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â Lk . Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç Lm . Åñëè Lm = Lk , òî ñóùåñòâóåò x ∈ Lk òàêîé, ÷òî x ∈ / Lm , òî åñòü x ∈ / Lin(q1 , . . . , qm ). Ñëåäîâàòåëüíî, q1 , . . . , qm , x  ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Ïîëîæèì am+1 = x. Òîãäà Lin(q1 , . . . , qm , am+1 ) = Lm+1 ⊆ Lk . Åñëè Lm+1 = Lk , ïðîäîëæèì ïðîöåññ.  ðåçóëüòàòå ïîñòðîèì èñ÷åðïûâàþùóþ öåïî÷êó ïîäïðîñòðàíñòâ Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü q1 , . . . , qm  ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Òîãäà ëèíåéíàÿ îáîëî÷- Lm ⊂ Lm+1 ⊂ . . . ⊂ Lk . Íà ïîñëåäíåì øàãå ïîëó÷èì Lk = Lin(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak ).  áàçèñ Lm . Äîïîëíèì åãî äî áàçèñîâ â Lk è Ll : Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû Ãðàññìàíà. Îáîçíà÷èì Lm = Lk ∩Ll . Ïóñòü q1 , . . . , qm Lk : q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , Ll : q1 , . . . , qm , bm+1 , . . . , bl . Ïîêàæåì, ÷òî q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl  áàçèñ Lk + Ll . Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ïðîâåðèòü, ÷òî à) ëþáîé âåêòîð èç Lk + Ll ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl ; á) âåêòîðû q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl ëèíåéíî íå çàâèñèìû. Ïóñòü z ∈ Lk + Ll . Òîãäà z = x + y , ãäå x ∈ Lk , y ∈ Ll . Òàê êàê q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak áàçèñ â Lk , òî x = ë.ê.(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak ). Àíàëîãè÷íî, Ñëåäîâàòåëüíî, y = ë.ê.(q1 , . . . , qm , am+1 , bm+1 ). z = x + y = ë.ê.(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl ). Ïóñòü ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ë.ê.(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl ) = 0. Ðàçîáúåì åå íà äâå ÷àñòè: ë.ê.(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak ) + ë.ê.(bm+1 , . . . , bl ) = 0. 1.7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ 53 Çàìåòèì, ÷òî ë.ê.(bm+1 , . . . , bl ) íåòðèâèàëüíà, òàê êàê åñëè áû îíà áûëà òðèâèàëüíîé, òî ë.ê.(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak ) áûëà áû íåòðèâèàëüíîé è ðàâíîé 0, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak  áàçèñ Lk . Ïîëîæèì w = ë.ê.(bm+1 , . . . , bl ). Òîãäà ñ îäíîé ñòîðîíû, w ∈ Ll êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ áàçèñà Ll . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ë.ê(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak ) = −w, à çíà÷èò w ∈ Lk êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ áàçèñà Lk . Ñëåäîâàòåëüíî, w ∈ Lk ∩ Ll . Íî âåêòîðû q1 , . . . , qm îáðàçóþò áàçèñ Lk ∩ Ll . Ñëåäîâàòåëüíî, w = ë.ê.(q1 , . . . , qm ), ïðè÷åì ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà íåòðèâèàëüíàÿ, òàê êàê w = 0. Òàêèì îáðàçîì, èìååì äâå íåòðèâèàëüíûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèè, âûðàæàþùèå âåêòîð w: w = ë.ê.(bm+1 , . . . , bl ) w = ë.ê.(q1 , . . . , qm ) Ñëåäîâàòåëüíî, ë.ê.(q1 , . . . , qm ) = ë.ê.(bm+1 , . . . , bl ). Ìû ïîëó÷èëè íåòðèâèàëüíóþ ë.ê.(q1 , . . . , qm , bm+1 , . . . , bl ) = 0, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê q1 , . . . , qm , bm+1 , . . . , bl  áàçèñ Ll . 1.7.3 Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïëîñêîñòåé â An Ïóñòü k π k : r = r1 + i=1 ti ai  k -ìåðíàÿ ïëîñêîñòü â An . Òî÷êà M1 ñ ðàäèóñîì-âåêòîðîì r1 íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíîé òî÷êîé ïëîñêîñòè π k . Âåêòîðû a1 , . . . , ak  ëèíåéíî íåçàâèñèìû, à t1 , . . . , tk  ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèå ïëîñêîñòè π k ìîæíî çàïèñàòü â âèäå π k : r = r1 + Lin(a1 , . . . , ak ) èëè åùå êîðî÷å π k : r = r1 + Lk , ãäå Lk = Lin(a1 , . . . , ak ) íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïëîñêîñòè π k . 54 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Ïàðàëëåëüíîñòü ïëîñêîñòåé à An Ïóñòü π k : r = r1 + Lk , π l : r = r2 + Ll  äâå ïëîñêîñòè â An , ïðè÷åì k ≤ l. Ïëîñêîñòè π k è π l íàçûâàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè (π k π l ), åñëè Lk ⊆ Ll . Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé â An îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì. Òåîðåìà 1.7.1 . Ïóñòü π k : r = r1 + Lk , π l : r = r2 + Ll , (k ≤ l) äâå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè à An . Ïîëîæèì w = r2 − r1 . Òîãäà • åñëè w ∈ / Ll , òî π k ∩ π l = ∅; • åñëè w ∈ Ll , òî π k ⊆ π l . a1 , . . . , ak äî áàçèñà â Ll : a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl . Òîãäà Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a1 , . . . , ak  áàçèñ Lk . Ïîñêîëüêó Lk ⊆ Ll , äîïîëíèì π k : r = r1 + Lin(a1 , . . . , ak ), π l : r = r2 + Lin(a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl ). Ïóñòü w = r2 − r1 ∈ / Ll , íî ïðåäïîëîæèì, ÷òî π k ∩ π l = ∅. Ïóñòü M ∈ π k ∩ π l . Òîãäà rM = r1 + ë.ê.(a1 , . . . , ak ) rM = r2 + ë.ê.(a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl ). Âû÷èòàÿ, íàõîäèì: 0 = −w + ë.ê.(a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl ), òî åñòü w = ë.ê.(a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl ) ∈ Ll . Ïðîòèâîðå÷èå. Ïóñòü w ∈ Ll . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî r2 − r1 = ë.ê.(a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl ). Òîãäà r2 = r1 + ë.ê.(a1 , . . . , ak ) + ë.ê.(bk+1 , . . . , bl ). Ñëåäîâàòåëüíî, π k : r = r1 + Lin(a1 , . . . , ak ), π l : r = r1 + ë.ê.(a1 , . . . , ak ) + Lin(a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl ). Ïîëîæèì r0 = r1 + ë.ê.(a1 , . . . , ak ).  óðàâíåíèè π k âûäåëèì íàéäåííóþ ë.ê.(a1 , . . . , ak ) èç ëèíåéíîé îáîëî÷êè Lin(a1 , . . . , ak ). Ïîëó÷èì π k : r = r1 + ë.ê.(a1 , . . . , ak ) +Lin(a1 , . . . , ak ), π l : r = r1 + ë.ê.(a1 , . . . , ak ) +Lin(a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bl ). r0 r0 1.7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ Òàêèì îáðàçîì, 55 π k : r = r0 + Lin(a1 , . . . , ak ), π l : r = r0 + Lin(a1 , . . . , ak ) + Lin(bk+1 , . . . , bl ). Òåïåðü î÷åâèäíî, ÷òî π k ⊂ π l , òàê êàê π k ìîæíî ïîëó÷èòü èç óðàâíåíèÿ π l , âçÿâ íóëåâóþ Lin(bk+1 , . . . , bl ). Ïîñíèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû äëÿ ñëó÷àÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. π 1 : r = r1 + at, π 2 : r = r2 + ua + v b, w = r2 − r1 . Ïóñòü w ∈ Lin(a, b). Íàïðèìåð, ïóñòü w = 2a + 3b. Òîãäà r2 = r1 + 2a + 3b è èìååì π 1 : r = r1 + at, π 2 : r = r1 + 2a + 3b + ua + v b = r1 + 2a + ua + (v + 3)b = r1 + 2a + ua + µb Âûäåëèì â óðàâíåíèè "ïëîñêîñòè" π 1 ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ r1 + 2a: π 1 : r = r1 + a(t + 2 − 2) = r1 + 2a + a(t − 2) = r1 + 2a + au. Ïîëàãàÿ r0 = r1 + 2a, ïîëó÷àåì π 1 : r = r0 + au, π 2 : r = r0 + ua + µb. Î÷åâèäíî, ÷òî π 1 ⊂ π 2 . Äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü µ = 0. Ñêðåùèâàþùèåñÿ ïëîñêîñòè â An Äâå ïëîñêîñòè π k è π l â An íàçûâàþòñÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ, åñëè îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ è íå ïàðàëëåëüíû. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ íåïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé â An îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì. Òåîðåìà 1.7.2 Ïóñòü π k : r = r1 + Lk , π l : r = r2 + Ll Lm = Lk ∩ Ll , (k ≤ l) äâå íåïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè â An . Ïîëîæèì w = r2 − r1 , Ls = L k + L l . Òîãäà / Ls , òî ïëîñêîñòè ñêðåùèâàþòñÿ; • åñëè w ∈ • åñëè w ∈ Ls , òî π k ∩ π l = π m (ò.å. ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïëîñêîñòè ðàçìåðíîñòè m). 56 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ s Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè π k ∦ π l , òî ñóùåñòâóþò ïëîñêîñòè ps 1 è p2 òàêèå, ÷òî ps 1 l s ⊃ π k , ps ps 2 ⊃ π , p1 2. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü q1 , . . . , qm  áàçèñ Lm . Äîïîëíèì q1 , . . . , qm äî áàçèñîâ â Lk è Ll : Lk : q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , Ll : q1 , . . . , qm , bm+1 , . . . , bl . Òîãäà q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl  áàçèñ â Ls . Ðàññìîòðèì äâå ïëîñêîñòè: s ps 1 : r = r1 + Lin(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl ) = r1 + L , s ps 2 : r = r2 + Lin(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl ) = r2 + L . s k Î÷åâèäíî, ÷òî ps ps 1 2 (íàïðàâëÿþùèå ïðîñòðàíñòâà ñîâïàäàþò). Ïðè ýòîì p1 ⊃ π . Äåéñòâèòåëüíî, ps 1 : r = r1 + Lin(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak ) + Lin(bm+1 , . . . , bl ). è π k çàäàåòñÿ êàê Lin(bm+1 , . . . , bl ) = 0. l Àíàëîãè÷íî ps 2 ⊃π . s s k l Ïóñòü w ∈ / Ls . Òîãäà ps ps 1 2 è p1 ∩ p2 = ∅. Ñëåäîâàòåëüíî, π ∩ π = ∅. s Ïóñòü w ∈ L . Òîãäà w = r2 − r1 = ë.ê.(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl ), òî åñòü r2 = r1 + ë.ê.(am+1 , . . . , ak ) + ë.ê.(q1 , . . . , qm , bm+1 , . . . , bl ) Òåïåðü óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé ìîæíî âûïèñàòü ñ îáùåé íà÷àëüíîé òî÷êîé r0 = r1 + ë.ê.(am+1 , . . . , ak ). À èìåííî π l : r = r1 + ë.ê.(am+1 , . . . , ak ) + Lin(q1 , . . . , qm , bm+1 , . . . , bl ), π k : r = r1 + Lin(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak ) = r1 + ë.ê.(am+1 , . . . , ak ) + Lin(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak ). È áîëåå òîãî, íàïðàâëÿþùèå ïðîñòðàíñòâà ýòèõ ïëîñêîñòåé ðàùåïëÿþòñÿ â âèäå π l : r = r0 + Lin(q1 , . . . , qm ) + Lin(bm+1 , . . . , bl ), π k : r = r0 + Lin(q1 , . . . , qm ) + Lin(am+1 , . . . , ak ). Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü π m = r0 + Lin(q1 , . . . , qm ). ßñíî, ÷òî π k ⊃ π m è π l ⊃ π m , òî åñòü π k ∩ π l ⊃ π m . Ïîêàæåì, ÷òî π k ∩ π l ⊂ π m . Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü M ∈ π k ∩ π l . Òîãäà rM = r0 + ë.ê.(q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak ) = r0 + Q1 + A, rM = r0 + ë.ê.(q1 , . . . , qm , bm+1 , . . . , bl ) = r0 + Q2 + B, 1.7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ ãäå îáîçíà÷åíî, ñîîòâåòñòâåííî, 57 Q1 = ë.ê.(q1 , . . . , qm ), A = ë.ê.(am+1 , . . . , ak ) â ïåðâîì âûðàæåíèè rM , Q2 = ë.ê.(q1 , . . . , qm ), B = ë.ê.(bm+1 , . . . , bl ) âî âòîðîì âûðàæåíèè rM . Âû÷èòàÿ, ïîëó÷èì 0 = Q1 − Q2 + A − B = ë.ê.(q1 , . . . , qm )+ ë.ê.(am+1 , . . . , ak ) − ë.ê.(bm+1 , . . . , bl ). Èç ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ q1 , . . . , qm , am+1 , . . . , ak , bm+1 , . . . , bl ñëåäóåò, ÷òî Q1 = Q2 , A = B = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, rM = r0 + ë.ê.(q1 , . . . , qm ) ∈ π m , ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. ×àñòè÷íàÿ ïàðàëëåëüíîñòü ïëîñêîñòåé â An Ïóñòü π k è π l  äâå ïëîñêîñòè â An . Ïëîñêîñòü π k ïàðàëëåëüíà ïîðÿäêà m ïëîñêîñòè π l (îáîçíà÷èì ýòî ÷åðåç π l m π l ), åñëè èõ íàïðàâëÿþùèå ïðîñòðàíñòâà Lk è Ll èìåþò ïåðåñå÷åíèå ðàçìåðíîñòè m. Ðàâåíñòâî m = min(k, l) ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèè ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé, â òî âðåìÿ êàê m = 0 îçíà÷àåò îòñóòñòâèå ïàðàëëåëüíûõ íàïðàâëåíèé è â ýòîì ñëó÷àå ïëîñêîñòè åñòåñòâåííî íàçûâàòü âïîëíå íåïàðàëëàëüíûìè. Åñëè ïðè ýòîì π k è π l èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî åñòü π k ∩ π l = ∅, òî π k è π l íàçûâàþòñÿ ïåðåñåêàþùèìèñÿ òðàíñâåðñàëüíî. Ïðåäëîæåíèå 1.7.5 Ïóñòü π k è π l  äâå m−ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè. Òîãäà π k ñîäåðæèò (k − m) ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïëîñêîñòåé, ïàðàëëåëüíûõ π l . π k ñîäåðæèò (l − m) ïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïëîñêîñòåé, ïàðàëëåëüíûõ π k . π l è π k ìîãóò áûòü çàäàíû ñîîòâåòñòâåííî: Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü q1 , . . . , qm  áàçèñ ïåðåñå÷åíèÿ Lk ∩ Ll . Òîãäà π k : r = r1 + Lin(q1 , . . . , qm ) + Lin(am+1 , . . . , ak ), π l : r = r2 + Lin(q1 , . . . , qm ) + Lin(bm+1 , . . . , bl ). Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü π k . Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ am+1 , . . . , ak , k−m íàïðèìåð, t1 ak . Òîãäà â π k "âûðåçàåòñÿ"ïëîñêîñòü, çàäàâàåìàÿ óðàâ0 am+1 + · · · + t0 íåíèåì k−m r = r1 + t1 ak +Lin(q1 , . . . , qm ). 0 am+1 + · · · + t0 r0 Åå íàïðàâëÿþùåå ïðîñòðàíñòâî Lm ëåæèò â Ll , à ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà Ll . Åå íà÷àëüíàÿ òî÷êà r0 îïðåäåëÿåòñÿ (k − m) íåçàâèñèìûìè ïàðàìåòðàìè k −m t1 . 0 , . . . , t0 58 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ 1.7.4 Ïðàêòè÷åñêèé ñïîñîá âûÿñíåíèÿ âçàèìíîãî ðàçìåùåíèÿ ïëîñêîñòåé â An Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå Ax = b,  1   x  .   ãäå A  ìàòðèöà ðàçìåðîì m × n, x =  . .   ñòîëáåö íåèçâåñòíûõ, b =  xn ñòîëáåö ïðàâûõ ÷àñòåé. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîðû  ñòîëáöà ìàòðèöû A:  1   1   1  a1 a2 an  .     . . . a1 =  . .  , a2 =  . .  , . . . , an =  . .  m m a1 a2 am n Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé Ax = b ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:  b1  . . .  bn x1 a1 + · · · + xn an = b. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé äàåò îòâåò íà âîïðîñ, ïðèíàäëåæèò ëè âåêòîð b ëèíåéíîé îáîëî÷êå çàäàííûõ âåêòîðîâ a1 , . . . , an )?  ÷àñòíîñòè, åñëè b = 0, òî ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå äàåò îòâåò íà âîïðîñ, ÿâëÿþòñÿ ëè âåêòîðû a1 , . . . , an ) ëèíåéíî çàâèñèìûìè? Ïîñòðîåíèå áàçèñà ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâ Ïóñòü ïîäïðîñòðàíñòâà Lk è Ll çàäàíû ñâîèìè áàçèñàìè: Lk = Lin(a1 , . . . , an ), Ll = Lin(b1 , . . . , bn ). Âîçüìåì {a1 , . . . , an }. Ïðåäïîëîæèì,÷òî íàéäåòñÿ bj1 ∈ / Lin(a1 , . . . , an ). Òîãäà Lin(a1 , . . . , an , bj1 ) ⊆ Lk + Ll . Åñëè Lin(a1 , . . . , an , bj1 ) = Lk + Ll , òî ïîèùåì bj2 ∈ / Lin(a1 , . . . , an , bj1 ) è ðàññìîòðèì Lin(a1 , . . . , an , bj1 , bj2 ) ⊂ Lk + Ll è ò.ä. Ïðîöåññ, î÷åâèäíî, êîíå÷åí è çàêàí÷èâàåòñÿ íàõîæäåíèåì áàçèñà ñóììû ïðîñòðàíñòâ. Êîëè÷åñòâî âåêòîðîâ ïîñòðîåííîãî áàçèñà äàñò ðàçìåðíîñòü ñóììû. Îïèñàííûé ïðîöåññ ðåàëèçóåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü  1   1   1  a1 a2 ak  .     . , . a1 =  . .  .  , a2 =  . .  , . . . , ak =  . am 1 an 2 an k 1.7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ 59  1    1  bl b2 b1 1      . .  . b1 =  . .  , . . . , bl =  . .  .  , b2 =  . n n b b bn 1 2 l   âåêòîðû áàçèñîâ Lk è Ll ñîîòâåòñòâåííî. Ñôîðìèðóåì ñòëáöîâ) ìàòðèöû  1   1 a1 . . . a1 b1 . . . k  .   . . . . . . . . A= . . . , B =  . . . n n n a1 . . . ak b1 . . . èç èõ êîîðäèíàò (êàê èç  b1 l  . . . , bn l Íàïîìíèì, ÷òî ðàíã ìàòðèöû ðàâåí ìàêñèìàëüíîìó ÷èñëó ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû, à ýòî ÷èñëî ðàâíî, â ñâîþ î÷åðåäü, èàêñèìàëüíîìó ðàçìåðó ìèíîðà ìàòðèöû, îòëè÷íîìó îò íóëÿ. ßñíî, ÷òî rg (A) = k . Ñîñòàâèì ìàòðèöó  1  a1 . . . a1 b1 . . . b1 1 k l (A|B ) =  . . . . . . . . . ... ... ...  n n a1 . . . ak bn . . . bn 1 l Ïîñëåäîâàòåëüíîå äîáàâëåíèå ê ñòîëáöàì ìàòðèöû A ñòîëáöîâ ìàòðèöû B , óâåëè÷èâàþùèõ íà êàæäîì øàãå ðàíã ìàòðèöû (A|B ) äàåò â êîíå÷íîì èòîãå ìàêñèìàëüíóþ ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó âåêòîðîâ â ñóììå ïðîñòðàíñòâ Ll + Ll . Òàêèì îáðàçîì, s = dim(Lk + Ll ) = rg (A|B ), à áàçèñ ñóììû îáðàçóþò ñòîëáöû, êîòîðûå îòâå÷àþò áàçèñíîìó ìèíîðó ìàòðèöû (A|B ). Ïîñòðîåíèå áàçèñà ïåðåñå÷åíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâ Ïóñòü {a1 , . . . , ak ; bj1 , . . . , bjs−k } áàçèñ Lk + Ll . Ïåðåíóìåðóåì âåêòîðû òàê, ÷òîáû áàçèñ Lk + Ll ïðèíÿë âèä: {a1 , . . . , ak ; b1 , . . . , bs−k } Òîãäà {a1 , . . . , ak }  áàçèñ Lk , b1 , . . . , bs−k , bs−k+1 . . . , bl }  áàçèñ Ll . ßñíî, ÷òî bs−k+1 , . . . , bl ∈ Lin(a1 , . . . , ak ; b1 , . . . , bs−k ). Íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè êàê ðåøåíèÿ l + k − s := m ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Òîãäà ïîëó÷èì: bs−k+1 = ... ... bl = ë.ê.(a1 , . . . , ak ; b1 , . . . , bs−k ), ... ë.ê.(a1 , . . . , ak ; b1 , . . . , bl−1 ). Ðàçîáúåì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ òàê: bs−k+1 − ë.ê.(b1 , . . . , bs−k ) ... bl − ë.ê.(b1 , . . . , bl−1 ) = ... = ë.ê.(a1 , . . . , ak ), ... ë.ê.(a1 , . . . , ak ) 60 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ è çàìåòèì, ÷òî ëåâûå ÷àñòè ðàâåíñòâ ëåæàò â Ll êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ áàçèñà Ll , à ïðàâûå ÷àñòè ëåæàò â Lk ïî àíàëîãè÷íîé ïðè÷èíå. Ïîýòîìó âåêòîðû q1 := bs−k+1 − ë.ê.(b1 , . . . , bs−k ) = ë.ê.(a1 , . . . , ak ), ... ... ... qm := bl − ë.ê.(b1 , . . . , bl−1 ) = ë.ê.(a1 , . . . , ak ) ëåæàò â Lk ∩ Ll . Ïîêàæåì, ÷òî q1 , . . . , qm  ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Äåéñòâèòåëüíî, m λ qi = i=1 i λi bs−k+i + ë.ê.(b1 , . . . , bk−s ) = 0 è ñëåäîâàòåëüíî λi = 0, òàê êàê b1 , . . . , bl  áàçèñ Ll . Òàêèì îáðàçîì, q1 , . . . , qm  ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ëåæàò â ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðâíñòâ è èõ êîëè÷åñòâî ðàâíî ðàçìåðíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ. Ïîýòîìó íàéäåííûå âåêòîðû îáðàçóþò èñêîìûé áàçèñ. Îïèñàííûé ïðîöåññ ðåàëèçóåòñÿ àëãåáðàè÷åñêè ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñîñòàâèì ìàòðèöó a1 1 (A|B ) =  . . . an 1  ... ... ... a1 k ... an k b1 1 ... bn 1 ... ... ... b1 s−k ... bn s−k b1 s−k+1 . . . ... ... n bs−k+1 . . .  b1 l ...  bn l ïåðâûå s ñòîëáöîâ êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ âåêòîðàìè áàçèñà ñóììû. Äëÿ êàæäîãî ïîñëåäóþùåãî ñòîëáöà íàéäåì ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ýòèì ñòîëáöîì â êà÷åñòâå ñòîëáöà ïðàâûõ ÷àñòåé. Åñëè äëÿ ñòîëáöà ñ íîìåðîì s − k + i íàáîð ÷èñåë s−k k 1 λ1 åñòü ðåøåíèå, à èìåííî, i , . . . , λi ; µi , . . . , µi s−k k 1 bs−k+1 = λ1 1 a1 + · · · + λ1 ak + µ1 b1 + · · · + µ1 bs−k , òî èëè, ýêâèâàëåíòíî, s−k qi = bs−k+i − µ1 bs−k i b1 − · · · − µi k qi = λ1 i a1 + · · · + λi ak . Âûÿñíåíèå âçàèìíîãî ðàçìåùåíèÿ ïëîñêîñòåé Ïóñòü π k : r = r1 + Lin(a1 , . . . , ak ) = r1 + Lk , π l : r = r2 + Lin(b1 , . . . , bl ) = r2 + Ll . Íàéäåì áàçèñû Lk + Ll è Lk ∩ Ll . Ïóñòü ýòî áóäóò âåêòîðû a1 , . . . , ak ; b1 , . . . , bs−k è q1 , . . . , qm . Âåêòîð w := r2 − r1 ïðèíàäëåæèò Lk + Ll òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò ðåøåíèå ñèñòåìà:  1  1 1 a1 . . . a1 w1 k b1 . . . bs−k  . . . . . . ... .  . . ... . . . ... . n n n n wn a ... a b ... b 1 k 1 s−k 1.7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ Ïóñòü ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå, òî åñòü 61 w = λ1 a1 + · · · + λk ak + µ1 b1 + · · · + µs−k bs−k , òîãäà îáùàÿ òî÷êà ïëîñêîñòåé íàõîäèòñÿ êàê r0 = r1 + λ1 a1 + · · · + λk ak è óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ïåðåñå÷åíèÿ ïðèìåò âèä π m : r = r0 + Lin(q1 , . . . , qm ) = r0 + Lm . Åñëè æå ñòñòåìà ðåøåíèé íå èìååò, òî ïëîñêîñòè ñêðåøèâàþòñÿ ñ íàïðàâëåíèåì ÷àñòè÷íîé ïàðàëëåëüíîñòè Lm Ïðîèëëþñòðèðóåì âûøåèçëîæåííîå íà ïðèìåðå. Ïóñòü çàäàíû äâå äâóìåðíûå ïëîñêîñòè π1 : r = r1 + Lin(a1 , a2 ), π2 : r = r2 + Lin(b1 , b2 ), ãäå         1 2 1 1  2   1   2   1         r1 =   1  , r2 =  2  ; a1 =  0  , a2 =  1  ; 1 1 1 0     1 1  0   3     b1 =   1  , b2 =  0  . 0 1   1  −1   Íàéäåì âåêòîð w = r2 − r1 =   1  è ñîñòàâèì ìàòðèöó (A|B |w). Ýòî ïîçâîëèò íàì 0 îäíîâðåìåííî íàéòè áàçèñ ñóììû, ïåðåñå÷åíèÿ íàïðàâëÿþùèõ ïîäïðîñòðàíñòâ, à òàê æå óñòàíîâèòü ðàñïîëîæåíèå âåêòîðà w.     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   2 1 −3  −2 1 −1  0 3  ∼  ∼  0 −1   0 1  0 1 1  1 0 1  1 0 −1 −1 0 0 −1 0 1   0   1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   0 −1 −3  −2 1 −3  −2 1 .  ∼  0 −1     0 0 −2  −1 1 0 0 −2 −1 1 0 0 0 0 0 2 1 −1 0 0 2 Ñëåäîâàòåëüíî, áàçèñ ñóììû ñîñòàâëÿþò âåêòîðû a1 , a2 , b1 è âåêòîð w ∈ L2 1 + L2 . 2 2 Òàêèì îáðàçîì, L1 ∩ L2 = ∅. Íàéäåì áàçèñ ïåðåñå÷åíèÿ. Äëÿ ýòîãî íàõîäèì ðåøåíèå ñèñòåìû  1  λ + λ2 + µ1 = 1, −λ2 − 2µ1 = 1,  −µ1 = 1. 62 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ  2  3   Íàì, îäíàêî, äîñòàòî÷íî íàéòè ëèøü µ1 = −1, òàê êàê q1 = b2 − µ1 b1 =   1 . Âåêòîð 1 2 2 q1 íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïåðåñå÷åíèÿ L1 ∩ L2 . Íàéäåì îáùóþ òî÷êó çàäàííûõ ïëîñêîñòåé. Äëÿ ýòîãî ðåøèì ñèñòåìó óðàâíåíèé   1  λ + λ2 + µ1 = 1, −λ2 − 2µ1 = −3, .  −µ1 = −2. Åå ðåøåíèå µ1 = 2, λ2 = −1, λ1 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,  0  1   r0 = r1 + λ1 a1 + λ2 a2 =   0 . 1 Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèì óðàâíåíèå ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ:  π1 ∩ π2 : r = r0 + tq1 èëè â êîðäèíàòàõ  1 x    2 x 3 x    4 x = 0 + 2t, = 1 + 3t, = 0 + t, = 1 + t. 1.7.5 Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè â E n Íàïîìíèì, ÷òî åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ àôôèííîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì â àññîöèèðîâàííîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Îïðåäåëåíèå 1.7.4 Óãëîì ìåæäó äâóìÿ ïëîñêîñòÿìè â E n π k : r = r1 + Lk , π l : r = r2 + Ll íàçûâåòñÿ óãîë ìåæäó èõ íàïðàâëÿþùèìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè Lk è Ll . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëà ìåæäó ïîäïðîñòðàíñòâàìè íàì ïîòðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ðàññìîòðåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ åñòåñòâåííûìè îáîáùåíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíñòðóêöèé ïðè n = 2, 3. ×èòàòåëþ ðåêîìåíäóåòñÿ "äåðæàòü â óìå"ìàëîìåðíûå êàðòèíêè. 1.7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ 63 Îðòîãîíàëèçàöèÿ áàçèñà â E n òîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. Ïðåäëîæåíèå 1.7.6 Åñëè E n  åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, òî â E n ñóùåñòâóåò îð- Äîêàçàòåëüñòâî. Íà÷íåì ñ ãåîìåòðè÷åñêè ÿñíîãî ïîñòîðîåíèÿ îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà â E 3 . Ïóñòü a1 , a2 , a3 íåêîòîðûé áàçèñ â E 3 . Ïîëîæèì e1 = Ðàññìîòðèì âåêòîð a1 . |a1 | b2 = a2 − a2 , e1 e1 . Âåêòîð b2 = 0 òàê êàê âåêòðû a1 è a2 ëèíåéíî íå çàâèñèìû è, êðîìå òîãî, b2 ⊥ e1 . Ïîëîæèì e2 = Ðàññìîòðèì âåêòîð b2 |b2 | . b3 = a3 − a3 , e1 e1 − a3 , e2 e2 . Âåêòîð b3 = 0 òàê êàê âåêòðû a1 , a2 è a3 ëèíåéíî íå çàâèñèìû è, êðîìå òîãî, b3 ⊥ e2 , b3 ⊥ e2 . Ïîëîæèì e3 = b3 |b3 | . Òîãäà e1 , e2 , e3 ñîñòàâÿò èñêîìûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ. Îáùèé ñëó÷àé ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷åí ðàññìîòðåííîìó. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a1 , . . . , an  êàêîé-íèáóäü áàçèñ â E n . Òîãäà "çàïóñòèì"ïðîöåññ: e1 = b2 = a2 − a2 , e1 e1 , b3 = a3 − a3 , e1 e1 − a3 , e2 e2 , ... ... ... ... ... ... bn = an − n− 1 i=1 a1 |a1 | , b2 , |b2 | b3 , |b3 | e2 = e3 = en = ... bn . |bn | an , ei ei Ýòîò ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ïðîöåññîì îðòîãîíàëèçàöèè Ãðàìà-Øìèäòà. 64 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Óãîë ìåæäó âåêòîðîì è ïîïðîñòðàíñòâîì Äâà ïîäïðîñòðàíñòâà Lk è Ll â E n íàçûâàþòñÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè, åñëè äëÿ êàæäîãî X ∈ Lk , äëÿ êàæäîãî Y ∈ Ll èìååì X, Y = 0. ×òîáû óêàçàòü íà îðòîãîíàëüíîñòü ïîäïðîñòðàíñòâ ìû ïèøåì Lk ⊥ Ll . Ïóñòü E n = Lk ⊕ Ln−k , ãäå Ln−k ⊥ Lk . Òîãäà Ln−k íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì Lk è îáîçíà÷àåòñÿ êàê (Lk )⊥ . Äëÿ äàííîãî ïîäïðîñòðàíñòâà åãî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå âñåãäà ñóùåñòâóåò. Ñïðàâåäëèâî Ïðåäëîæåíèå 1.7.7 Åñëè Lk  ïîäïðîñòðàíñòâî â E n , òî ñóùåñòâóåò ïîäïðîñòðàíñòâî Ln−k òàêîå, ÷òî E n = Lk ⊕ Ln−k , ïðè÷åì Lk ⊥ Ln−k . Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü a1 , . . . , ak  áàçèñ â Lk . Äîïîëíèì a1 , . . . , ak Lk Ln−k äî áàçèñà â E n : a1 , . . . , ak , bk+1 , . . . , bn . Î÷åâèäíî, ÷òî E n = Lk ⊕Ln−k . Âûïîëíèì îðòîãîíàëèçàöèþ áàçèñà Lk . Ïóñòü e1 , . . . , ek  îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ Lk . Ðàññìîòðèì âåêòîð c1 = bk+1 − bk+1 , e1 e1 − · · · − bk+1 , ek ek . Òîãäà c1 ⊥ e1 , . . . , ek è c1 ∈ / Lk . Ñëåäîâàòåëüíî, f1 = |f1 | = 1, f1 ⊥ e1 , . . . , ek . c1 |c1 | îáëàäàåò ñâîéñòâàìè: Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ, ïîëó÷èì áàçèñ â E n : e1 , . . . , ek ; f1 , . . . , fn−k , ïðè÷åì Lin(f1 , . . . , fn−k ) = (Lk )⊥ . Ïóñòü Y  ïðîèçâîëüíûé âåêòîð è ïóñòü e1 , . . . , ek , f1 , . . . , fn−k  îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â E n òàêîé, ÷òî e1 , . . . , ek  áàçèñ Lk , f1 , . . . , fn−k  áàçèñ (Lk )⊥ . Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà Y = Y 1 e1 + · · · + Y k ek + Y k+1 f1 + · · · + Y n fn−k âåêòîð YLk = Y 1 e1 + · · · + Y k ek íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé Y íà Lk . Îïðåäåëåíèå 1.7.5 Óãëîì ìåæäó âåêòîðîì è ïîäïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó âåêòîðîì è åãî îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé íà ïîäïðîñòðàíñòâî. Òàêèì îáðàçîì, |Y k | cos(Y Lk ) = L . |Y |  ÷àñòíîñòè, óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ â E n íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ïðÿìîé è íàïðàâëÿþùèì ïîäïðîñòðàíñòâîì ïëîñêîñòè. 1.7. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÍÎÃÎÌÅÐÍÎÉ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈ 65 Óãîë ìåæäó òðàíñâåðñàëüíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè â E n Ïóñòü Ll è Lk  äâà ïîäïðîñòðàíñòâà, ïðè÷åì Lk ∩ Ll = 0.  ýòîì ñëó÷àå ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîäïðîñòðàíñòâà Lk è Ll òðàíñâåðñàëüíû. Îïðåäåëåíèå 1.7.6 Óãëîì ìåæäó òðàíñâåðñàëüíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè Ll è Lk íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèé óãîë ϕ ìåæäó âåêòîðîì Y ∈ Ll è YLk , êîãäà Y ïðîáåãàåò âñå ïðîñòðàíñòâî Ll : |Y k | cos ϕ = max L . Y ∈ Ll |Y | Ïðåäëîæåíèå 1.7.8 Óãîë ìåæäó äâóìÿ òðàíñâåðñàëüíûìè ïîäïîðñòðàíñòâàìè ñóùåñòâóåò. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü Lk è Ll  òðàíñâåðñàëüíû, òî åñòü Lk ∩ Ll = 0 Ïóñòü e1 , . . . , ek  îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ Lk , f1 , . . . , fl  îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ Ll . Äîïîëíèì áàçèñ e1 , . . . , ek äî áàçèñà E n òàê, ÷òî e1 , . . . , ek , g1 , . . . , gn−k ñîñòàâÿò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ E n . i 2 Ïóñòü Y = Y 1 f1 + · · · + Y l fl  ïðîèçâîëüíûé âåêòîð â Ll . Òîãäà |Y |2 = l i=1 (Y ) . ˜ 1 e1 + Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàçëîæèì Y ïî áàçèñó e1 , . . . , ek , g1 , . . . , gn−k . Òîãäà Y = Y k k +1 n 1 k ˜ ek + Y ˜ ˜ gn−k è ÷àñòü ðàçëîæåíèÿ Y ˜ e1 + · · · + Y ˜ ek îïðåäåëèò ··· + Y g1 + · · · + Y k îðòîãîíàëüíóþ ïðîåêöèþ Y íà L . Íàéäåì êîîðäèíàòû ýòîé ÷àñòè ðàçëîæåíèÿ. ˜ 1 = Y , e1 = Y ... ... ... ... ˜ k = Y , ek = Y l i i=1 Y fi , e1 = ... , l i i=1 Y fi , ek = l i i=1 Y l i i=1 Y fi , e1 fi , ek . Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ pik = fi , ej âû÷èñëåíèé çàïèøóòñÿ â âèäå l (i = 1, . . . , l ; j = 1, . . . , k ), òî ðåçóëüòàòû l ˜1 = Y i=1 pi1 Y , i ..., ˜k = Y i=1 pik Y i Òåïåðü ëåãêî íàõîäèì k k l 2 |YLk | = j =1 2 (Y ) = j =1 i=1 ˜j 2 pij Y i . Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ, âûðàæåíèå äëÿ |YLk |2 ïðèìåò âèä êâàäðàòè÷íîé ôîðìû k |YLk |2 = s,j =1 qjs Y j Y s .  = max  |Y |=1 j,s=1 Òîãäà cos2 (Lk Ll ) = max Y k j s j,s=1 qjs Y Y k i 2 i=1 (Y ) k  qjs Y j Y s  . 66 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ k j s j,s=1 qjs Y Y Êàê èçâåñòíî, ëîêàëüíûå ýêñòðåìóìû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Q(Y , Y ) = ïðè óñëîâèè |Y | = 1 ðàâíû ñîáñòâåííûì ÷èñëàì ìàòðèöû ýòîé ôîðìû, òî åñòü êîðíÿì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ det(Q − λE ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, cos(Lk Ll ) = λmax , ãäå λmax  ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû Q. 2 Âû÷èñëèì, ê ïðèìåðó, óãîë ìåæäó ïëîñêîñòüþ L2 1 = Lin(e1 , e2 ) è L2 = Lin(f1 , f2 ), ãäå e1 = 1, 0, 0, 0 , f1 = 1 2 1 2 1, 1, 1, 1 , e2 = 0, 1, 0, 0 , f2 = Ðàññìîòðèì Y = Y 1 f1 + Y 2 f2 . Òîãäà ÏðL1 Y = 1, −1, 1, −1 . Y , e1 e1 + Y , e2 e2 = Y 1 f1 , e1 + Y 2 f2 , e1 e1 + Y 1 f1 , e2 + Y 2 f2 , e2 )e2 = 1 1 1 1 +Y2· e1 + Y 1 · − Y 2 · e2 = 2 2 2 2 1 1 1 Y + Y 2 e1 + Y 1 − Y 2 e2 2 2 Y1· Îòñþäà |ÏðL1 Y |2 = Òàêèì îáðàçîì, 1 Y1+Y2 4 2 + Y1−Y2 2 = 1 (Y 1 )2 + (Y 2 )2 . 2 1 =√ . 2 cos(L2 1 L2 2) = 1 √ 2 (Y 1 )2 + (Y 2 )2 (Y 1 )2 + (Y 2 )2 Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë ìåæäó äàííûìè ïëîñêîñòÿìè ðàâåí π/4. Óãîë ìåæäó íåòðàíñâåðñàëüíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè â E n Ïóñòü Lk è Ll  äâà ïîäïðîñòðàíñòâà òàêèå, ÷òî Lk ∩ Ll = Lm . Lk−m , ãäå Lm ⊥ Lk−m . Ïîäïðîñòðàíñòâî Lk−m íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì Lm â Lk . Ïðåäëîæåíèå 1.7.9 Ïóñòü Lm ⊂ Lk . Òîãäà èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå Lk = Lm ⊕ Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü q1 , . . . , qm  áàçèñ Lm . Íà÷èíàÿ ñ âåêòîðà q1 è äîáàâëÿÿ âåêòîðû q2 , . . . , qm , ïîñòðîèì îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ Lm : p1 , . . . , pm . Íà m + 1-ì øàãå ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè ìû ïîëó÷èì âåêòîð pm+1 , îðòîãîíàëüíûé 1.8. ÂÛÏÓÊËÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ  AN 67 âñåì âåêòîðàì p1 , . . . , pm , à çíà÷èò è âñåìó ïîäïðîñòðàíñòâó Lm . Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ, ïðèäåì ê áàçèñó â Lk {p1 , . . . , pm , pm+1 , . . . , pk }, Lm Lk − m ïðè÷åì Lm ⊥ Lk−m . Ñëåäñòâèå 1.7.1 Ïóñòü Lk è Ll  äâà ïîäïðîñòðàíñòâà â Ln è ïóñòü Lm = Lk ∩ Ll . Òîãäà Lk = Lm ⊕Lk−m Ll = Lm ⊕Ll−m , ãäå Lk−m è Ll−m  îðòîãîíàëüíûå äîïîëíåíèÿ Lm â Lk è Ll ñîîòâåòñòâåííî. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî â ïîëó÷åííûõ ðàçëîæåíèÿõ ïîäïðîñòðàíñòâà Lk−m è Ll−m òðàíñâåíðñàëüíû. Ïîýòîèó ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå âûãëÿäèò åñòåñòâåííî. Îïðåäåëåíèå 1.7.7 Óãëîì ìåæäó äâóìÿ íåòðàíñâåðñàëüíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè Lk è Ll íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó îðòîãîíàëüíûìè äîïîëíåíèÿìè ïîäïðîñòðàíñòâà Lk ∩ Ll = Lm â Lk è Ll ñîîòâåòñòâåííî. 1.8 Âûïóêëûå ìíîæåñòâà â An 1.8.1 Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà âûïóêëûõ ìíîæåñòâ Ìíîæåñòâî M ⊂ An íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê A1 , A2 ⊂ M îòðåçîê [A1 , A2 ] ⊂ M . ëåíèþ. Çàìå÷àíèå.Îäíîòî÷å÷íîå è ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàþòñÿ âûïóêëûìè ïî îïðåäå- Ïóñòü A1 , A2  òî÷êè ñ ðàäèóñ-âåêòîðàìè r1 è r2 ñîîòâåòñòâåííî. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè A1 è A2 èìååò âèä r = r1 + t(r2 − r1 ), −∞ < t < ∞. Çàìåòèì, ÷òî r(0) = r1 , r(1) = r2 . Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êè îòðåçêà [A1 , A2 ] çàäàþòñÿ êàê r = r1 + t(r2 − r1 ), 0 ≤ t ≤ 1. Ïåðåïèøåì ýòî â âèäå r = (1 − t)r1 + tr2 , 0 ≤ t ≤ 1. è ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: λ1 = 1 − t, λ2 = t. Òîãäà òî÷êè îòðåçêà [A1 , A2 ] ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå âûïóêëîé êîìáèíàöèè èëè âûïóêëîé îáîëî÷êè ñâîèõ êîíöåâûõ òî÷åê: r = λ1 r1 + λ2 r2 , M1 M2 âûïóêëîå ìíîæåñòâî. λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1. Ïðåäëîæåíèå 1.8.1 Åñëè M2 , M2 ∈ An âûïóêëûå ìíîæåñòâà, òî èõ ïåðåñå÷åíèå 68 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî A1 , A2 ∈ M1 M2 . Òîãäà A1 , A2 ∈ M1 è A1 , A2 ∈ M2 . Íî òîãäà èç âûïóêëîñòè, [A1 , A2 ] ∈ M1 è [A1 , A2 ] ∈ M2 . Îòêóäà [A1 , A2 ] ∈ M1 M2 . æåñòâ åñòü âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Óïðàæíåíèå 1.8.1 Äîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáîé ñîâîêóïíîñòè âûïóêëûõ ìíîÎ÷åâèäíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îáúåäèíåíèå âûïóêëûõ ìíîæåñòâ íå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì. Ïðåäëîæåíèå 1.8.2 Ïîëóïëîñêîñòü  âûïóêëîå ìíîæåñòâî. ëîæèì F (x, y ) = Ax + By + C . Òîãäà äëÿ òî÷åê π+ èìååì F (x, y ) > 0. Ðàññìîòðèì [A1 , A2 ] : r = λ1 r1 + λ2 r2 , ãäå λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1. Äëÿ êàæäîé òî÷êè A ∈ [A1 , A2 ] âûïîëíåíî ñëåäóþùåå: Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîëóïëîñêîñòü π+ = (x, y ) | Ax + By + C > 0 . Ïî- xA = λ1 x1 + λ2 x2 , yA = λ1 y1 + λ2 y2 . Ïóñòü A1 , A2 ∈ π+ . Ñëåäîâàòåëüíî F (x1 , y1 ) > 0 è F (x2 , y2 ) > 0. Òîãäà A(λ1 x1 + λ2 x2 ) + B (λ1 y1 + λ2 y2 ) + C = λ1 (Ax1 + By1 ) + λ2 (Ax2 + By2 ) + C (λ1 + λ2 ) = λ1 (Ax1 + By1 + C ) + λ2 (Ax2 + By2 + C ) = λ1 F (x1 , y1 ) + λ2 F (x2 , y2 ) > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âñåõ A ∈ [A1 , A2 ] âûïîëíåíî F (xA , yA ) > 0 è çíà÷èò [A1 , A2 ] ⊂ π+ Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ è îáùåå óòâåðæäêåíèå. Ïðåäëîæåíèå 1.8.3 Àôôèííîå ïîëóïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì ìíîæåñòâîì. Ñëåäñòâèå 1.8.1 Âûïóêëûìè ìíîæåñòâàìè ÿâëÿþòñÿ: • Óãîë, êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïîëóïëîñêîñòåé; • Òåëåñíûé òðåóãîëüíèê, êàê ïåðåñå÷åíèå òðåõ ïîëóïëîñêîñòåé; • Âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, êàê ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîëóïëîñêîñòåé; • Âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê,êàê ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîëóïðîñòðàíñòâ. 1.8.2 Âûïóêëàÿ îáîëî÷êà Âûïóêëîé îáîëî÷êîé ìíîæåñòâà M íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèå âñåõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõ ìíîæåñòâî M . Îáîçíà÷åíèå: conv (M ). Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî òàêîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî, êîòîðîå ëåæèò â ëþáîì âûïóêëîì ìíîæåñòâå, ñîäåðæàùåì M . Ïóñòü M  âûïóêëîå ìíîæåñòâî A  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Êîíóñîì ñ âåðøèíîé â òî÷êà A è îñíîâàíèåì M íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèå âñåõ îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþøèõ òî÷êà A ñ òî÷êàìè ìíîæåñòâà M . CA (M ) = [A, B ]. B ∈M 1.8. ÂÛÏÓÊËÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ  AN 69 Ïðåäëîæåíèå 1.8.4 Åñëè M  âûïóêëîå ìíîæåñòâî è A  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, òî conv (M, A) = CA (M ). Äîêàçàòåëüñòâî. CA (M ) ⊂ conv (M, A), òàê êàê M ⊂ conv (M, A) ⇒ A ⊂ conv (M, A) [A, B ] = CA (M ) ⊂ conv (M, A). B ∈M Ïîêàæåì, ÷òî CA (M ) ⊃ conv (M, A)). Äëÿ ýòîãî ïîêàæåì, ÷òî CA (M )  âûïóêëîå ìíîæåñòâî . Ïóñòü A1 , A2 ∈ CA (M ). Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå m1 , m2 ∈ M , ÷òî A1 ∈ [A, m1 ] ⊂ CA (M ), A2 ∈ [A, m2 ] ⊂ CA (M ). Ïîñêîëüêó M  âûïóêëîå ìíîæåñòâî, òî [m1 , m2 ] ⊂ M , à ñëåäîâàòåëüíî òåëåñíûé m1 Am2 ⊂ CA (M ), à âìåñòå ñ íèì è [A1 , A2 ] ⊂ CA (M ). Âûïóêëàÿ îáîëî÷êà êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê ëåãêî ìîæåò áûòü çàäàíà àíàëèòè÷åñêè. Òåîðåìà 1.8.1 Ïóñòü M = {A1 , A2 , . . . , An } êîíå÷íûé íàáîð òî÷åê. Òîãäà , conv (M )  ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê, ðàäèóñ-âåêòîð êîòîðûõ èìååò âèä: n n r= i=1 λi ri , λi ≥ 0 (i = 1, . . . , n), i=1 λi = 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè n = 2 èìååì: M = {A1 , A2 }, conv (M ) = [A1 , A2 ], à äëÿ òî÷åê îòðåçêà ìû óæå èìåëè âûðàæåíèå âèäà r = λ1 r1 + λ2 r2 , λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ n − 1 òî÷åê âåðíî: n−1 k conv (A1 , . . . , An−1 ) : r = i=1 νi ri , i=1 νi = 1, νi ≥ 0 (i = 1, . . . , n − 1). Ïîêàæåì, ÷òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå âåðíî è äëÿ ìíîæåñòâà èç n òî÷åê. Âûäåëèì M = conv (A1 , . . . , An−1 ) è äîáàâèì ê M òî÷êó An . Òîãäà conv (M, An ) = CAn (M ) = A∈M [An , A]. Ðàäèóñ-âåêòîð ëþáîé òî÷êè êîíóñà çàïìøåòñÿ â âèäå r = µ1 rn + µ2 rA = µ1 rn + µ2 (ν1 r1 + · · · + νn−1 rn−1 ) = λ1 r1 + · · · + λn−1 rn−1 + λn rn 70 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ è ìû ïîëîæèëè λi = µ2 νi (i = 1, . . . , n − 1), λn = ν1 . n ãäå µ1 + µ2 = 1, µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0, Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî λi ≥ 0 (i = 1, . . . , n) è i=1 λi = µ2 (ν1 + · · · + νn−1 ) +µ1 = 1. =1 Âûïóêëàÿ îáîëî÷êà êîãå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê èìååò îïðåäåëåííûé ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë. Äëÿ åãî ôîðìóëèðîâêè, äîêàæåì, âíà÷àëå, m1 , . . . , m2 . Ïóñòü òî÷êàì Ai ñîîòâåòñòâóþò ðàäèóñ-âåêòîðàì ri . Òîãäà ðàäèóñâåêòîð rc öåíòðà òÿæåñòè ñèñòåìû òî÷åê èìååò òàêîé âèä: rc = m1 r1 + · · · + mn rn . m1 + · · · + mn Ïðåäëîæåíèå 1.8.5 Ïóñòü A1 , . . . , An òî÷êè â Rn , â êîòîðûõ ñîñðåäîòî÷åíû ìàññû Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.  ñëó÷àå, êîãäà n = 2 èìååì ñëåäóþùåå: A1 , m1 r C r A2 , m2 A1 C m2 = . Ïîýòîìó m1 CA2 r Ñîãëàñíî çàêîíàì ìåõàíèêè, m1 (rc − r1 ) = m2 (r2 − rc ) îòêóäà ëåãêî íàõîäèì rc = m1 r1 + m2 r2 . m1 + m2 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôîðìóëà âåðíà äëÿ ñèñòåìû èç k òî÷åê, òî åñòü rc(k) = m1 r1 + . . . + mk rk . m1 + . . . + mk Ðàññìîòðèì ñèñòåèó èç k + 1 òî÷êè. Ïóñòü rc(k) ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ ñèñòåìû èç k òî÷åê. Òîãäà öåíòð ìàññ ñèñòåìû èç k + 1 òî÷êè èùåòñÿ êàê öåíòð ìàññ òî÷åê C (k ) è Ak+1 , à èìåííî, M rc(k) + mk+1 rk+1 rc(k+1) = , M + mk+1 ãäå M = m1 + · · · + mk . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ rc(k) , ïîëó÷èì rc(k+1) = m1 r1 + . . . + mk rk + mk+1 rk+1 . m1 + . . . + mk + mk+1 1.8. ÂÛÏÓÊËÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ  AN 71 Ñëåäñòâèå 1.8.2 Ïóñòü {Ai } íàáîð òî÷åê, êîòîðûì cîîòâåòñòâóþò ðàäèóñ-âåêòîðû ri (i = 1, . . . , n). Òîãäà n n conv (A1 , . . . , An ) : r = i=1 λi ri , i=1 λi = 1, λi ≥ 0 ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì öåíòðîâ ìàññ m1 , . . . , mn , íàõîäÿùèõñÿ â òî÷êàõ A1 , . . . , An , ïðè óñëîâèè, ÷òî m1 + . . . + mn = 1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â âûðàæåíèè âûïóêëîé îáîëî÷êè êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê íå âñå òî÷êè ÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííûìè. Òàê, íàïðèìêð, äëÿ òðåõ òî÷åê, ëåæàùèõ íà îäíîé ïðÿìîé, èõ âûïóêëîé îáîëî÷êîé áóäåò îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå êðàéíèå òî÷êè. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ñðåäíÿÿ òî÷êà íå ñóùåñòâåííà äëÿ îïèñàíèÿ èõ âûïóêëîé îáîëî÷êè. Êàêèå æå òî÷êè ñóùåñòâåííû? Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ íàì ïîòðåáóåòñÿ íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ ïîíÿòèé. Òî÷êà m íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé äëÿ ìíîæåñòâà M , åñëè êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå m öåëèêîì ëåæàùèé â ìíîæåñòâå M . Òî÷êà m íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé äëÿ ìíîæåñòâà M , åñëè ëþáîé êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå m ïåðåñåêàåòñÿ êàê ñ ìíîæåñòâîì M òàê è ñ åãî äîïîëíåíèåì. Ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ òî÷åê M íàçûâàêòñÿ ãðàíèöåM è îáîçíà÷àåòñÿ ∂M . Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè âñå åãî òî÷êè âíóòðåííèå è çàìêíóòûì, åñëè ìíîæåñòâî M ñîäåðæèò ñâîþ ãðàíèöó. Ñóùåñòâóþò íå îòêðûòûå è íå çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Îïðåäåëåíèå 1.8.1 Òî÷êà m ∈ M íàçûâàåòñÿ ýêñòðåìàëüíîé (óãëîâîé) òî÷êîé çàìêíóòîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà M , åñëè ìíîæåñòâî M \ {m} òàêæå âûïóêëî. Íàïðèìåð, ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè âûïóêëîãî ìíîãîóãîëüíèêà  ýòî åãî âåðøèíû. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Êðåéíà-Ìèëüìàíà. M = conv (ext(M )), ãäå ext(M ) ìíîæåñòâî ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê. Òåîðåìà 1.8.2 Åñëè M çàìêíóòîå, îãðàíè÷åííîå è âûïóêëîå ìíîæåñòâî â An , òî Ñëåäñòâèå 1.8.3 Âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê (ìíîãîãðàííèê) ñîâïàäàåò ñ âûïóêëîé îáîëî÷êîé ñâîèõ âåðøèí. Ïîëó÷åííîå ñëåäñòâèå ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì äëÿ ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ. óãîëüíèê â An ñ íàáîðîì âåðøèí Ai Ïðåäëîæåíèå 1.8.6 Ïóñòü f ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ íà An è M  âûïóêëûé ìíîãîN . i=1 Òîãäà max f |M = max f (Ai ), i=1,...,N min f |M = min f (Ai ). i=1,...,N Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ f íà An íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé, åñëè f (λr1 + µr2 ) = λf (r1 ) + µf (r2 ), 72 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê ñ ðàäèóñàìè-âåêòîðàìè r1 , r2 . Ïóñòü M  çàìêíóòûé, âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê. Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè m ∈ M èìååì rm = N Ai . Âîñïîëüçóåìñÿ ëèíåéíîñòüþ ôóíêöèè f . Òîãäà N N i=1 λi ri , λi ≥ 0, N i=1 λi = 1. Ðàäèóñ-âåêòîðè ri ñîîòâåòñòâóþò âåðøèíàì f (rm ) = i=1 N λi f (ri ) ≤ max f (ri ) i i=1 N λi = max f (ri ). f (rm ) = i=1 λi f (ri ) ≥ min f (ri ) i i=1 λi = min f (ri ). 1.8.3 Çàäà÷à ëèíåéíé îïòèìèçàöèè Çàäà÷à ëèíåéíîé îïòèìèçàöèè ñîñòîèò â îòûñêàíèè ìàêñèìêìè èëè ìèíèìóìà ëèíåéíîé ôóíêöèè íà âûïóêëîì ìíîãîóãîëüíèêå (ìíîãîãðàííèêå). Ïî ñóùåñòâå, åå ðåøåíèå áûëî ïðåäñòàâëåíî â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ êîíêðåòíóþ çàäà÷ó, â êîòîðîé ñðàáàòûâåò ðàçâèòàÿ íàìè òåõíèêà. Çàäà÷à íà ñìåøèâàíèå.  äíåâíîì ðàöèîíå ïèòàíèÿ äîëæíû ïðèñóòñòâîâàòü âèòàìèíû òèïà A ≥ 6 åäèíèö, òèïà B ≥ 8 åäèíèö è òèïà C ≥ 13 åäèíèö.  íàëè÷èè èìååòñÿ äâà òèïà ïðîäóêòîâ ðàçíîãî êà÷åñòâà: • Ïåðâûé òèï ïðîäóêòà ñîäåðæèò: A  2 åäèíèöû, B  2 åäèíèöû, C  4 åäèíèöû; • Âòîðîé òèï ñîäåðæèò: A  3 åäèíèöû, B  2 åäèíèöû, C  1 åäèíèöà. Öåíà ïåðâîãî òèïà  3 ãðèâíû çà ãðàìì, âòîðîãî  2 ãðèâíû. Ñêîëüêî è êàêèõ ïðîäóêòîâ ñëåäóåò óïîòðåáèòü, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ðàöèîí è èìåòü íàèìåíüøèå çàòðàòû. Ðåøåíèå.Ôîðìàëèçóåì çàäà÷ó. Ïóñòü x  êîëè÷åñòâî ãðàììîâ ïðîäóêòà ïåðâîãî òèïà, y  êîëè÷åñòâî ãðàììîâ ïðîäóêòà âòîðîãî òèïà â ðàöèîíå. Òàêîé ðàöèîí ñîäåðæèò x(2A + 2B + 4C ) + y (3A + 2B + C ) = A(2x + 3y ) + B (2x + 2y ) + C (4x + y ) åäèíèö ñîîòâåòñòâóþùèõ âèòàìèíîâ. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ âèòàìèíàìè â íóæíîì êîëè÷åñòâå íóæíî ïîòðåáîâàòü óñëîâèÿ:  2x + 3y ≥ 6;      2x + 2y ≥ 8; 4x + y ≥ 13;   x ≥ 0;    y ≥ 0. Ïîäñ÷èòàåì çàòðàòû: L(x, y ) = 3x + 2y . Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî íàéòè ìèíèìóì ëèíåéíîé ôóíêöèè L(x, y ) ïðè çàäàííûõ óñëîâèÿõ òèïà íåðàâåíñòâà, òî åñòü íà âûïóêëîì ìíîæåñòâå. Çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïåðåáîðîì çíà÷åíèé ôóíêöèè â óãëîâûõ òî÷êàõ:   L(0, 13) = 26; L(4, 0) = 12;  L(3, 1) = 11. Îïòèìàëüíûé ïëàí: x = 3, y = 1. 1.9. ÄÂÈÆÅÍÈß. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÄÂÈÆÅÍÈÉ 73 1.9 Äâèæåíèÿ. Êëàññèôèêàöèÿ äâèæåíèé 1.9.1 Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ Îïðåäåëåíèå 1.9.1 Îòîáðàæåíèå F : E n −→ E n åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ, íàçûâàåòñÿ äâèæåíèåì, åñëè äëÿ âñåõ A1 , A2 ∈ E n âûïîëíåíî ñëåäóþùåå: |F (A1 )F (A2 )| = |A1 A2 |. Ïî îïðåäåëåíèþ, äâèæåíèå ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè òî÷êàìè.  äîïîëíåíèå, ñïðàâåäëèâî Ïðåäëîæåíèå 1.9.1 Ïðè äâèæåíèè ñîõðàíÿþòñÿ óãëû ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè îòðåçêàìè . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ∠BAC = ϕ. Ïðè äâèæåíèè A ïåðåõîäèò â A , B ïåðåõîäèò â B , C ïåðåõîäèò â C . Èç îïðåäåëåíèÿ äâèæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî |AB | = |A B |, Ñëåäîâàòåëüíî |AC | = |A C |, |BC | = |B C |. ABC = A B C è ∠B A C = ∠BAC = ϕ. Ïðåäëîæåíèå 1.9.2 Ïðè äâèæåíèè ïðÿìàÿ ïåðåõîäèò â ïðÿìóþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü lïðÿìàÿ. Ðàññìîòðèì îòðåçîê [A, B ] ∈ l. Ïóñòü C ∈ [A, B ], òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ äâèæåíèÿ: F (A) = F (A ), F (B ) = F (B ), F (C ) = F (C ). Òîãäà C ∈ [A , B ]. Äåéñòâèòåëüíî, äîïóñòèì C ∈ / [A , B ], òîãäà òî÷êè A , B , C îáðàçóþò òðåóãîëüíèê A B C . Ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà èìååì: |A B | < |A C | + |C B |. Èç îïðåäåëåíèÿ äâèæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî |A B | = |AB |, òîãäà |A C | + |C B | = |AC | + |CB | = |AB |. Ïðîòèâîðå÷èå, ñëåäîâàòåëüíî C ∈ [A B ]. Ïðåäëîæåíèå 1.9.3 Ïðè äâèæåíèè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåõîäÿò â ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Äîêàçàòåëüñòâî. Äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì, òàê êàê íåñîâïàäàþùèå òî÷êè ïåðåõîäÿò â íåñîâïàäàþùèå ââèäó ñîõðàíåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè. Ïóñòü F  äâèæåíèå. Òîãäà F ïîðîæäàåò îòîáðàæåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà E n â ñåáÿ, äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëó − − − − − − − → − − → AB −→ F (A)F (B ) 74 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ − − → − − → äëÿ ëþáîãî íàïðàâëåííîãî îòðåçêà AB . Ïóñòü a âåêòîð è AB êàêîé-íèáóäü íàïðàâëåííûé îòðåçîê åãî ïðåäñòàâëÿþùèé. Ïîëîæèì F (a) ðàâíûì âåêòîðó, ïðåäñòàâëåííîìó − − − − − − − → íàïðàâëåííûì îòðåçêîì F (A)F (B ). Ïðåäëîæåíèå 1.9.4 Äâèæåíèè ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ, òî åñòü F (a), F (b) = a, b . Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç ñîõðàíåíèÿ äëèí îòðåçêîâ è óãëîâ ìåæäó íèìè. Ïóñòü F1 è F2 äâèæåíèÿ. Îïðåäåëèì èõ êîìïîçèöèþ êàê (F2 ◦ F1 )(A) = F2 (F1 (A)). def Ïðåäëîæåíèå 1.9.5 Îòíîñèòåëüíî âçÿòèÿ êîìïîçèöèè, ìíîæåñòâî äâèæåíèé îáðàçóåò ãðóïïó åäèíèöåé êîòîðîé ñëóæèò òîæäåñòâåíîå äâèæåíèå. 1.9.2 Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå äâèæåíèÿ Îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû è îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû Îïðåäåëåíèå 1.9.2 Ìàòðèöà C íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè CC t = C t C = E. Îïðåäåëèòåëü îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû | det C | = 1. Åñëè det C = 1, òî ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííî îðòîãîíàëüíîé, åñëè æå det C = −1 ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ íåñîáñòâåííî îðòîãîíàëüíîé. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî îòíîñèòåëüíî ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ îðòîãîíàëüíûå n × n ìàòðèöû îáðàçóþò ãðóïïó O(n), åäèíèöåé êîòîðîé ñëóæèò åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà E . Ñîáñòâåííî îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû îáðàçóþò ïîäãðóïïó SO(n) ⊂ O(n). Ìåæäó îðòîãîíàëüíûìè ìàòðèöàìè è îðòîíîðìèðîâàííûìè áàçèñàìè â E n èìååòñÿ òåñíàÿ ñâÿçü. îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â íåì. Ñèñòåìà âåêòîðîâ f = (f1 , . . . , fn ) îáðàçóåò äðóãîé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â E n òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòðèöà C ïðåîáðàçîâàíèÿ f = eC ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé. Ñîáñòâåííî îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñîõðàíÿåò îðèåíòàöèþ, íåñîáñòâåííî îðòîãîíàëüíàÿ åå îáðàùàåò. Ïðåäëîæåíèå 1.9.6 Ïóñòü E n  åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî è ïóñòü e = (e1 , . . . , en ) Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì, âíà÷àëå, n = 2. Ïóñòü e = (e1 , e2 )  îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â E 2 , òî åñòü e1 , e2 = 0, |e1 | = |e2 | = 1. È ïóñòü (f ) = (f1 , f2 )  ïðîèçâîëüíûé íàáîð âåêòîðîâ. Ðàçëîæèì åãî ïî áàçèñó e. 2 f1 = c1 1 e1 + c1 e2 , 2 f2 = c1 2 e1 + c2 e2 . 1.9. ÄÂÈÆÅÍÈß. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÄÂÈÆÅÍÈÉ 75 Ñôîðìèðóåì ìàòðèöó C , ñòîëáöû êîòîðîé ñîñòàâëåíû èç êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâóþùèõ âåêòîðîâ ñèñòåìû f : 1 c1 1 c2 C= . 2 c2 1 c2 Òîãäà ðàçëîæåíèå ñèñòåìû f ïî áàçèñó e çàïèøåòñÿ èíâàðèàíòíî: f = eC. Ñìñòåìà âåêòîðîâ f îáðàçóåò íîâûé áàçèñ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà det C = 0. Ýòîò áàçèñ áóäåò îðèåíòèðîâàííûì ïîëîæèòåëüíî, åñëè det C > 0 è îòðèöàòåëüíî, åñëè det C < 0. Ýòîò áàçèñ áóäåò îðòîíîðìèðîâàííûì, åñëè 2 2 2 f1 , f1 = |f1 |2 = (c1 1 ) + (c1 ) = 1, 2 2 2 f2 , f2 = |f2 |2 = (c1 2 ) + (c2 ) = 1, 1 2 2 f1 , f2 = c1 1 c2 + c1 c2 = 0. Ýòè óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû ìàòðè÷íîìó ðàâåíñòâó CC t = E . Äåéñòâèòåëüíî, 1 c1 1 c2 2 c2 1 c2 2 c1 1 c1 2 c1 2 c2 = 2 2 2 c1 c1 + c2 c2 (c1 1 ) + (c1 ) 1 2 1 2 1 + c2 c2 1 )2 + (c2 )2 c1 c ( c 2 1 2 1 2 2 = 1 0 0 1 . Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ îáùåãî ñëó÷àÿ äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî â ðàçëîæåíèè f = eC. ñòîëáöû ìàòðèöû C ñôîðìèðîâàíû èç êîîðäèíàò âåêòîðîâ ñèñòåìû f îòíîñèòåëüíî áàçèñà e, à ìàòðèöà CC t ñîñòîèò èç ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé fi , fk . Ñëåäîâàòåëüíî, îðòîãîíàëüíîñòü ìàòðèöû C è îðòîíîðìèðîâàííîñòü ñèñòåìû f ýêâèâàëåíòíû. Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå äâèæåíèÿ Ëåììà 1.9.1 Ïóñòü F : E n −→ E n  äâèæåíèå è ïóñòü (O, e1 , . . . , en ) ïðîèçâîëüíàÿ (ôèêñèðîâàííàÿ) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â E n . Åñëè (x1 , . . . , xn )  êîîðäèíà˜ = F (M ) òû ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M ∈ E n , òî êîîðäèíàòû (˜ x1 , . . . , x ˜n ) òî÷êè M îòíîñèòåëüíî òîé æå ñèñòåìû êîîðäèíàò èìåþò âèä: ˜ = CX + b, X ˜ âåêòîð-ñòîëáöû èç ñîîòâåòñòâóþùèõ êîîðäèíàò, C  îðòîãîíàëüíàÿ ãäå X è X ˜ = F (O). ìàòðèöà, à b  âåêòîð-ñòîëáåö ñîñòàâëåííûé èç êîîðäèíàò òî÷êè O ˜ = F (O), fi = F (ei ). Òîãäà (O, ˜ f1 , . . . , fn )  íîâàÿ ñèñòåìà êîðäèíàò. Îáîçíà÷èì O äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, òàê êàê èç ñîõðàíåíèÿ äëèí è óãëîâ ñëåäóåò, ÷òî âåêòðû fi îáðàçóþò íîâûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ E n . − − → Ïóñòü OM = x1 e1 + . . . + xn en  ðàäèóñ-âåêòîð ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M . Î÷åâèäíî, − − → ÷òî xi = OM , ei . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F äâèæåíèå, (O, e1 , . . . , en )  ôèêñèðîâàííàÿ äåêàðòîâà 76 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ − − → ˜M ˜ = y 1 f1 + . . . + y n fn  ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M ˜ = F (M ) â íîâîé ñèñòåìå Ïóñòü O − − → ˜M ˜ , fi . Íî äâèæåíèå ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. êîîðäèíàò. Òîãäà y i = O Ñëåäîâàòåëüíî, − − → − → − − → ˜ , fi = F (− ˜M yi = O OM ), F (ei ) = OM , ei = xi . − − → ˜ =x ˜ â èñõîäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, Ïóñòü OM ˜1 e1 + · · · + x ˜n en  ðàäèóñ âåêòîð òî÷êè M − − → ˜ = b1 e1 + . . . + bn en . Èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå âåêòîðíîå ðàâåíñòâî: OO − − → − − → − − → ˜ = OO ˜+O ˜M ˜. OM Ïåðåïèøåì åãî â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Äëÿ ýòîãî ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð-ñòîëáöû  1   1   1  x x ˜ b  .     . .  ˜ X= . . , X =  . . , b =  . .  xn x ˜n bn è ñòðîêè e = (e1 , . . . , en ), Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü f = (f1 , . . . , fn ). − − → ˜ = eX, ˜ OM − − → ˜ = e b, OO − − → ˜M ˜ = fX O è âûïèñàííîå âûøå âåêòîðíîå ðàâåíñòâî ïåðåïèøåòñÿ â âèäå ˜ = eb + f X. eX Òàê êàê e è f  îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû, òî f = eC , ãäå C  îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðîäîëæàÿ, èìååì ˜ = eC X + e b = e(CX + b). eX  ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, ˜ = CX + b. X ÷åñêîì çàäàíèè det C = +1 è íåñîáñòâåííûì, åñëè det C = −1. Îïðåäåëåíèå 1.9.3 Äâèæåíèå â E n íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì, åñëè â åãî àíàëèòè- 1.9.3 Êëàññèôèêàöèÿ äâèæåíèé íà ïëîñêîñòè Ñïåöèàëüíûå âèäû äâèæåíèé íà ïëîñêîñòè → • Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ. 1.9. ÄÂÈÆÅÍÈß. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÄÂÈÆÅÍÈÉ 77 Îïðåäåëåíèå 1.9.4 Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ äâèæåíèå, àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå êîòîðîãî èìååò âèä x ˜ = x + b1 , y ˜ = y + b2 .  ìàòðè÷íîé ôîðìå ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ çàïèøåòñÿ êàê x ˜ y ˜ = 1 0 0 1 x y + b1 b2 . Ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååò âèä C= 1 0 0 1 . Òàê êàê det C = 1, òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äâèæåíèåì. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íå èìååò íåïîäâèæíûõ òî÷åê. → • Ïîâîðîò. Îïðåäåëåíèå 1.9.5 Ïîâîðîòîì (âðàùåíèåì) íàçûâàåòñÿ äâèæåíèå íà ïëîñêîñòè, èìåþùåå åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó, íàçûâàåìóþ öåíòðîì âðàùåíèÿ. Ïðåäëîæåíèå 1.9.7  ñèñòåìå êîîðäèíàò, îòíåñåííîé ê íåïîäâèæíîé òî÷êå, àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå ïîâîðîòà èìååò âèä x ˜ y ˜ = cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ x y . Ïàðàìåòð ϕ íàçûâàåòñÿ óãëîì ïîâîðîòà. âðàùåíèÿ). Äëÿ ëþáîé òî÷êè M íà ïëîñêîñòè, |OM | = |OF (M ). Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êè M è F (M ) íàõîäÿòñÿ íà äóãå îäíîé îêðóæíîñòè. Êàæäàÿ òî÷êà ýòîé îêðóæíîñòè ïåðåõîäèò â òî÷êó ýòîé æå îêðóæíîñòè ñ ñîõîðàíåíèåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå åñòü ïîâîðîò íà íåêîòîðûé óãîë ϕ âñåõ îêðóæíîñòåé ñ öåíòðîì â òî÷êå O. Ïîìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êó O, è ïóñòü (e1 , e2 ) îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â òî÷êå O. Âûïîëíèì ïîâîðîò F íà óãîë ϕ. Ïîëîæèì f1 = F (e1 ), f2 = F (e2 ). Òîãäà Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F - ïîâîðîò. Ïóñòü O = F (O)  íåïîäâèæíàÿ òî÷êà (öåíòð f1 = cos ϕ e1 + sin ϕ e2 , f2 = − sin ϕ e1 + cos ϕ e2 . Ñëåäîâàòåëüíî, àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå ïîâîðîòà èìååò âèä x ˜ y ˜ = cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ x y . Òàê êàê det C = 1, òî ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äâèæåíèåì. → • Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ. 78 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Îïðåäåëåíèå 1.9.6 Íåòîæäåñòâåííîå äâèæåíèå, îñòàâëÿþùå íåïîäâèæíîé ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îñåâîé ñèììåòðèåé. Ïðåäëîæåíèå 1.9.8  ñèñòåìå êîîðäèíàò, îñü Ox êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ íåïîäâèæíîé ïðÿìîé, àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå îñåâîé ñèììåòðèè èìååò âèä x ˜ = x, y ˜ = −y èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå x ˜ y ˜ = 1 0 0 −1 x y Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü l íåïîäâèæíàÿ ïðÿìàÿ äâèæåíèÿ F . Íàïðàâèì îñü Ox âäîëü ïðÿìîé l, à îñü Oy  ïåðïåíäèêóëÿðíî l. Çàïèøåì îáùèé âèä äâèæåíèÿ 1 1 x ˜ = c1 1 x + c2 y + b , 2 2 y ˜ = c2 1 x + c2 y + b è ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíî îñòàâëÿëî íåïîäâèæíîé ïðÿìóþ l, ñîâïàäàþùóþ â íàøåé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ îñüþ Ox. Òîãäà òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (x,0) ïðè äâèæåíèè F ïåðåõîäèò â òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (x,0). Ñëåäîâàòåëüíî ðàâåíñòâà 1 x = c1 1x + b , 2 0 = c1 x + b2 . äîëæíû âûâîëíÿòüñÿ òîæäåñòâåííî ïî x. Îòñþäà íàõîäèì 2 b1 = b2 = 0 c1 1 = 1, c1 = 0. Òîãäà C= 1 c1 2 0 c2 2 . 2 Òàê êàê ìàòðèöà C  îðòîãîíàëüíà, òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî ðàâåíñòâî 1c1 2 +0c2 = 0. 1 2 2 Çíà÷èò c2 = 0. Òàê êàê | det C | = 1, òî |c2 | = 1. Åñëè c2 = 1, òî ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì. Ñëåäîâàòåëüíî c2 2 = −1, ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê det C = −1, òî îñåâàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûì äâèæåíèåì. → • Ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ. Îïðåäåëåíèå 1.9.7 Ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ îñåâîé ñèììåòðèè è ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âäîëü îñè ñèììåòðèè. Ïðåäëîæåíèå 1.9.9  ñèñòåìå êîîðäèíàò, îñü Ox êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ íåïîäâèæíîé ïðÿìîé, àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèè èìååò âèä x ˜ = x + b1 , y ˜ = −y èëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå x ˜ y ˜ = 1 0 0 −1 x y + b1 0 1.9. ÄÂÈÆÅÍÈß. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÄÂÈÆÅÍÈÉ 79 Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Tb ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íà âåêòîð b, à ÷åðåç Sl  îñåâóþ ñèììåòðèþ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l. Òîãäà ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ F = Tb ◦ Sl . Âûáåðåì äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, îãîâîðåííóþ â óñëîâèè. Ïóñòü (x, y ) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè. Òîãäà l (x, y ) −→ (x, −y ) à çàòåì S b (x, −y ) −→ (x + b1 , −y ). T Ñëåäîâàòåëüíî, b l (x, y ) −→ (x + b1 , −y ). T ◦S ßñíî, ÷òî ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ åñòü äâèæåíèå íåñîáñòâåííîå. Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ  ÷àñòíûé ñëó÷àé ñêîëüçÿùåé. Êëàññèôèêàöèÿ äâèæåíèé íà ïëîñêîñòè Îïèñàííûìè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå äâèæåíèÿìè èñ÷íðïûâàþòñÿ âñå äâèæåíèÿ íà ïëîñêîñòè. Òåîðåìà 1.9.1 (Øàëü) Ëþáîå ñîáñòâåííîå äâèæåíèå íà ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèáî ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì, ëèáî ïîâîðîòîì. Ëþáîå íåñîáñòâåííîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé. Òàê êàê ˜ = CX + b åãî àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F äâèæåíèå è X C= 1 c1 1 c2 2 c1 c2 2 îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, òî 2 2 2 (c1 1 ) + (c1 ) = 1 2 2 2 (c1 2 ) + (c2 ) = 1 1 2 2 c1 1 c2 + c1 c2 = 0. 2 1 Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïàðàìåòðû ϕ è ψ , ïîëàãàÿ c1 1 = cos ϕ, c1 = sin ϕ è c2 = 2 cos ψ, c2 = sin ψ . Òîãäà ìàòðèöà C ïðèìåò âèä: C= cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ . 1 2 2 Íî òàê êàê c1 1 c2 + c1 c2 = cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ = 0, òî cos(ϕ − ψ ) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî π π ëèáî ψ = ϕ + 2 , ëèáî ψ = ϕ + 32 . π Åñëè ψ = ϕ + 2 , òî ìàòðèöà C ïðèíèìàåò âèä C= è îòâå÷àåò ñîáñòâåííîìó äâèæåíèþ. π Åñëè æå ψ = ϕ + 32 , òî cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ . C= cos ϕ sin ϕ sin ϕ − cos ϕ 80 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ è äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûì. → • Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñîáñòâåííîãî äâèæåíèåÿ, òî åñòü äâèæåíèÿ ñ àíàëèòè÷åñêèì çàäàíèåì x ˜ cos ϕ − sin ϕ x b1 = + . y ˜ sin ϕ cos ϕ y b2 Åñëè ϕ = 0, òî x ˜ y ˜ = 1 0 0 1 x y + b1 b2 . è äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïåðåíîñîì âèäà x ˜ = x + b1 , y ˜ = y + b2 . Ïóñòü ϕ = 0. Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà ó äâèæåíèÿ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà, à çíà÷èò äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì. Óñëîâèå, ÷òî òî÷êà M0 (x0 , y0 ) îñòàåòñÿ íà ìåñòå îçíà÷àåò, ÷òî x0 y0 èëè = cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ x0 y0 + b1 b2 , x0 = cos ϕ x0 − sin ϕ y0 + b1 , y0 = sin ϕ x0 + cos ϕ y0 + b2 . Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëó÷èì: (1 − cos ϕ) x0 + sin ϕ y0 = b1 , − sin ϕ x0 + (1 − cos ϕ) y0 = b2 . Îïðèäåëèòåëü ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé 1 − cos ϕ sin ϕ − sin ϕ 1 − cos ϕ = 2 sin2 − sin ϕ 2 cos ϕ 2 ϕ 2 ϕ 2 sin ϕ 2 cos 2 2 sin2 ϕ 4 sin 2 2 ϕ 2 = sin ϕ 2 cos ϕ 2 sin ϕ 2 − cos ϕ 2 = 4 sin2 ϕ = 0, 2 òàê êàê 0 < ϕ < 2π . Ïîýòîìó íåïîäâèæíàÿ òî÷êà M0 ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà. → • Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà F  íåñîáñòâåííîå äâèæåíèå.Òîãäà åãî àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå åñòü x ˜ y ˜ = cos ϕ sin ϕ sin ϕ − cos ϕ x y + b1 b2 . −1 ◦ F = Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ Ta íà âåêòîð a, ÷òî Ta Sl , ãäå Sl ñèììåòðèÿ, îñü êîòîðîé ïàðàëëåëüíà âåêòîðó a. Òîãäà, î÷åâèäíî, F = Ta ◦ Sl −1 ◦ F åñòü ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ. Ïîêàæåì, ÷òî Ta ìîæíî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû Ta 1.9. ÄÂÈÆÅÍÈß. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÄÂÈÆÅÍÈÉ 81 −1 åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ íà îñòàâëÿëî íà ìåñòå íåêîòîðóþ ïðÿìóþ. Òàê êàê Ta − 1 âåêòîð −a, òî àíàëèòè÷åñêè êîìïîçèöèÿ Ta ◦ F çàïèøåòñÿ â âèäå x ˜ y ˜ = cos ϕ sin ϕ sin ϕ − cos ϕ x y + b1 b2 − a1 a2 . Ïîèùåì íåïîäâèæíûå òî÷êè ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, òî åñòü ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâ x cos ϕ sin ϕ x b1 − a1 = + y sin ϕ − cos ϕ y b2 − a2 èëè, óïðîùàÿ, x(1 − cos ϕ) − y sin ϕ = b1 − a1 , −x sin ϕ + (1 + cos ϕ)y = b2 − a2 , Îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû ∆ = 1 − (cos ϕ)2 − (sin ϕ)2 ≡ 0. Ïîäáêðåì ïàðàìåòðû a1 , a2 òàê, ÷òîáû íåïîäâèæíûå òî÷êè îáðàçîâûâàëè ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ âåêòîðó a. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà  1 1   1 − cos ϕ = − sin ϕ = b − a , (óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ) − sin ϕ 1 + cos ϕ b2 − a2   (1 − cos ϕ)a1 − sin ϕa2 = 0 (óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè). Ïîëîæèì λ = 1−cos ϕ − sin ϕ . Òîãäà ñèñòåìà ïåðåïèøåòñÿ â âèäå b1 − a1 = λ(b2 − a2 ), λa1 + a2 = 0 èëè a1 − λa2 = b1 − λb2 , λa1 + a2 = 0. Îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû ∆ = 1 + λ2 . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ äàííûõ b1 è b2 ðåøåíèå âñåãäà ñóùåñòâóåò, ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî. 1.9.4 Êëàññèôèêàöèÿ äâèæåíèé â ïðîñòðàíñòâå ˜ = CX + b ìîæíî ðàññìàòðèâàòü Àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå äâèæåíèÿ F îáùåãî âèäà X ˜ = CX, à èìåííî, êàê êîìïîçèöèþ ïàðàëëåëüíîãî ïàðåíîñà Tb è äâèæåíèÿ F0 âèäà X F = Tb ◦ F0 . Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ñòðóêòóðó äâèæåíèÿ F0 . Îïèñèíèå äâèæåíèé áåç ñìåùåíèÿ ˜ = Ïðåäëîæåíèå 1.9.10 Ïóñòü F0 äâèæåíèå, àíàëèòè÷åñêîå çàäàíèå êîòîðîãî X CX. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïðÿìîóãîëüíàÿ äåêàðòîâà ñèñòåìå êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî 82 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ êîòîðîé äâèæåíèå F0 çàäàåòñÿ ìàòðèöåé C âèäà:   cos ϕ − sin ϕ 0 cos ϕ 0  äëÿ ñîáñòâåííîãî äâèæåíèÿ C =  sin ϕ 0 0 1  cos ϕ − sin ϕ 0 cos ϕ 0   äëÿ íåñîáñòâåííîãî äâèæåíèÿ C =  sin ϕ 0 0 −1  (1.4) (1.5) õîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò (òî÷êè ýòîé ïðÿìîé íåîáÿçàòåëüíî îñòàþòñÿ íà ìåñòå). Ïóñòü Oxyz  èñõîäíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ l, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Åñëè òî÷êè ïðÿìîé l ïðè äâèæåíèè ïåðåõîäÿò â òî÷êè íà ýòîé æå ïðÿìîé, òî Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî äâèæåíèå F0 îñòàâëÿåò èíâàðèàíòíîé ïðÿìóþ, ïðî- − − → − − → F0 (OM ) = λOM , ÷òî â àíàëèòè÷åñêîé çàïèñè îçíà÷àåò CX = λX  x1 äëÿ ëþáîé òî÷êè íà ïðÿìîé ñ êîîðäèíàòàìè X =  x2 . Ïåðåïèñûâàÿ ýòî óñëîâèå x3 â âèäå (∗) (C − λE )X = 0,  ïîëó÷àåì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, êîòîðàÿ èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà det(C − λE ) = 0, òî åñòü c1 c1 c1 1−λ 2 3 2 2 c1 c2 − λ c2 3 c3 c3 c3 1 2 3−λ = 0. Ìíîãî÷ëåí χ(λ) = det(C − λE ) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ìàòðèöû C . Íåíóëåâîé âåêòîð X , óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèþ (∗) íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû C . Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà íàçûâàþòñÿ ñîáòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû C .  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå óðàâíåíèå det(C − λE ) = 0 ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì òðåòüåãî ïîðÿäêà. Òàêîå óðàâíåíèå âñåãäà èìååò âåùåñòâåííûé êîðåíü λ0 , à ñèñòåìà (C − λ0 E )X = 0 èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå X0 . Çíà÷èò, ïðÿìàÿ ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò â íàïðàâëåíèè ñîáñòâåííîãî âåêòîðà X0 ïîä äåéñòâèåì äâèæåíèÿ F0 ïåðåõîäèò â ñåáÿ. Òàê êàê F0  äâèæåíèå, òî CX0 , CX0 = X0 , X0 = |X0 |2 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû 2 2 CX0 , CX0 = λ0 X0 , λ0 X0 = λ2 X0 , X0 = λ2 0 |X0 | . Ñëåäîâàòåëüíî λ0 = 1, îòêóäà λ0 = ±1. 1.9. ÄÂÈÆÅÍÈß. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÄÂÈÆÅÍÈÉ 83 Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû îñü Oz áûëà íàïðàâëåíà âäîëü èíâàðèàíòíîé ïðÿìîé, à ïëîñêîñòü (xy ) çàäàäèì ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó e3 . Òàê êàê Ce3 = ±e3 , òî  1 1 1     c1 c2 c3 0 0 2 2  0  =   c2 0 . 1 c2 c3 3 3 3 c1 c2 c3 1 ±1 Ñëåäîâàòåëüíî c1 3 = 0, c2 3 = 0, c3 3 = ±1.  1 c1  c2 C= 1 c3 1 Òîãäà  c1 0 2 c2 0 . 2 3 c2 ±1 3 Íî C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ñëåäîâàòåëüíî c3 1 = c2 = 0. Òîãäà  1 1  c1 c2 0 2 0 , C =  c2 1 c2 0 0 ±1 1 c1 1 c2  îðòîãîíàëüíàÿ 2 × 2 ìàòðèöà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåêîòîðîìó äâèæåíèî 2 c2 1 c2 â âûáðàííîé íàìè ïëîñêëñòè Oxy . Âûáîðîì ñèñòåìû êîîðäèíàò â ýòîé ïëîñêîñòè, ìàòðèöà äâèæåíèÿ ïðèâîäèòñÿ ê èçâåñòíûì óæå ôîðìâì. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì 4 âîçìîæíûõ âàðèàíòà:     cos ϕ − sin ϕ 0 cos ϕ − sin ϕ 0 cos ϕ 0  , (b) C =  sin ϕ cos ϕ 0  (a) C =  sin ϕ 0 0 1 0 0 −1     cos ϕ sin ϕ 0 cos ϕ sin ϕ 0 0 . (c) C =  sin ϕ − cos ϕ 0  , (d) C =  sin ϕ − cos ϕ 0 0 1 0 0 −1 è Ðàññìîòðèì ñëó÷àé (a). Òîãäà det C = +1, äâèæåíèå ñîáñòâåííîå è ïðè ïðåîáðàçîâàíèè      x ˜ cos ϕ − sin ϕ 0 x  y     ˜ sin ϕ cos ϕ 0 y  = z ˜ 0 0 1 z êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = z0 ïåðåõîäèò â ñåáÿ, â òî âðåìÿ êàê â ñàìîé ïëîñêîñòè z = z0 òî÷êè èñïûòûâàþò ïîâîðîò íà óãîë ϕ âîêðóã òî÷êè (0, 0, z0 ). Çíà÷èò, ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå åñòü ïîâîðîò âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé (b). Çäåñü det C = −1 è äâèæåíèå áóäåò íåñîáñòâåííûì. Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó C â âèäå      cos ϕ − sin ϕ 0 1 0 0 cos ϕ − sin ϕ 0  sin ϕ cos ϕ 0  . cos ϕ 0  =  0 1 0   sin ϕ 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 Òåïåðü î÷åâèäíî, ÷òî F0 = S ◦ Rl , ãäå S  ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íåïîäâèæíîé ïðÿìîé l, à Rl  ïîâîðîò íà óãîë ϕ âîêðóã ýòîé ïðÿìîé. Òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ çåðêàëüíûì ïîâîðîòîì âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. 84 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ Ðàññìîòðèì ñëó÷àé (c). Çäåñü det C = −1 è ìû ñíîâà èìååì äåëî ñ íåñîáñòâåííûì äâèæåíèåì. Ýòî äâèæåíèå ñíîâà ïåðåâîäèò êàæäóþ ïëîñêîñòü z = z0 âñåáÿ, íî íà êàæäîé òàêîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûì äâèæåíèåì, òî åñòü ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé. Îäíàêî òî÷êà (0, 0, 0) î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé. Ñëåäîâàòåëüíî â êàæäîé ïëîñêîñòè z = z0 äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ îñåâîé ñèììåòðèåé. Ïðèìåì îäíó èç ýòèõ ïðÿìûõ çà îñü Ox íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Òîãäà â òàêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìàòðèöà, çàäàþùàÿ ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå, ïðèìåò âèä   1 0 0  0 −1 0  . 0 0 1 Íî ýòî â òî÷íîñòè çåðêàëüíûé ïîâîðîò íà óãîë ϕ = 0 âîêðóã íîâîé îñè Oy . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé (d). Çäåñü det C = +1, äâèæåíèå ñîáñòâåííîå. Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü z = 0. Ýòó ïëîñêîñòü äâèæåíèå ïåðåâîäèò â ñåáÿ è äåéñòâóåò íà ýòîé ïëîñêîñòè êàê íåñîáñòâåííîå äâèæåíèå, òî åñòü êàê ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ. Îäíàêî òî÷êà (0, 0, 0) î÷åâèäíî ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé. Ñëåäîâàòåëüíî â ïëîñêîñòè z = 0 äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ îñåâîé ñèììåòðèåé. Ïðèìåì ýòó îñü â êà÷åñòâå íîâîé îñè Ox.  òàêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìàòðèöà, çàäàþùàÿ äâèæåíèå, ïðèìåò âèä   1 0 0  0 −1 0  0 0 −1 è ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïîâîðîòà íà óãîë ϕ = π âîêðóã íîâîé îñè Ox. Îïèñàíèå äâèæåíèé îáùåãî âèäà Ðàññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé. Êàê óæå îòìå÷àëîñü â íà÷àëå ïàðàãðàôà, îáùåå äâèæåíèå åñòü êîìïîçèöèÿ äâèæåíèé F0 è ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. Âûäåëèì ÷àñòíûå ñëó÷àè òàêèõ êîìïîçèöèé. 1. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ. x ˜ = x + b1 , y ˜ = y + b2 , z ˜ = z + b3 .  1 0 0 ˜ =  0 1 0 . X 0 0 1 Ýòî ñîáñòâåíîå äâèæåíèå ñ ìàòðèöåé  2. Âèíòîâîå äâèæåíèå  êîìïîçèöèÿ ïîâîðîòà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè è ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà â íàïðàâëåíèè ýòîé îñè.  ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñ íåïîäâèæíîé ïðÿìîé â êà÷íåñòâå îñè Oz ýòî äâèæåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå        0 x cos ϕ − sin ϕ 0 x ˜  y cos ϕ 0   y  +  0  . ˜  =  sin ϕ b3 z 0 0 1 z ˜ 1.9. ÄÂÈÆÅÍÈß. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÄÂÈÆÅÍÈÉ 85 Âèíòîâîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì. Çàìåòèì, ÷òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì (ϕ = 0) âèíòîâîãî äâèæåíèÿ. 3. Ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ  êîìïîçèöèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè è ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âäîëü ïëîñêîñòè ñèììåòðèè. Åñëè ïëîñêîñòü Oxy ñèñòåìû êîîðäèíàò ðàñïîëîæèòü â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè, à îñü Oz íàïðàâèòü ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåé, òî ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå       1  x ˜ 1 0 0 x b  y ˜ = 0 1 0   y  +  b2  . z ˜ 0 0 −1 z 0 Ñêîëüçÿùàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûì äâèæåíèåì. 4. Çåðêàëüíûé ïîâîðîò  êîìïîçèöèÿ âðàùåíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè è ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè âðàùåíèÿ.  ñèñòåìå êîîðäèíàò, â êîòîðîé îñü Oz íàïðàâëåíà ïî îñè âðàùåíèÿ, à ïëîñêîñòü Oxy ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè, çåðêàëüíûé ïîâîðîò çàïèøåòñÿ â âèäå      x ˜ cos ϕ − sin ϕ 0 x  y ˜  =  sin ϕ cos ϕ 0  y . z ˜ 0 0 −1 z Çåðêàëüíûé ïîâîðîò ÿâëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûì äâèæåíèåì. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáîå äâèæåíèå â ïðîñòðàíñòâå ñâîäèòñÿ ê îäíîìó èç ïåðå÷èñëåííûõ òèïîâ.  äîêàçàòåëüñòâå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ ïðîñòàÿ ëåììà. Ëåììà 1.9.2 Ëþáîé ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ T ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå T = S1 ◦ S2 , ãäå S1 è S2  ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ ïëîñêîñòåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèþ ïåðåíîñà. íîñ T . Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåêòîðó a. Ïóñòü Oxyz  äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ îñüþ Oz a. ˜ . ßñíî, ÷òî M ˜ òàê Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M íà îñè Oz è ïóñòü T (M ) = M æå ëåæèò íà îñè Oz . Ðàññìîòðèì òî÷êó A íà îñè Oz , íàõîäÿùóþñÿ íà ðàññòîÿíèè a 2 ˜ . Îáîçíà÷èì ÷åðåç SA è SM ñèììåòðèè îò òî÷êè M , ïðè÷åì M ëåæèò ìåæäó A è M îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè Oz è ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè A è ˜ = (SA ◦ SM )(M ), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. M ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà , î÷åâèäíî, M Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a  âåêòîð ñ äëèíîé a = |a|, çàäàþùèé ïàðàëëåëüíûé ïåðå- Òåîðåìà 1.9.2 (Øàëü) Ëþáîå ñîáñòâåííîå äâèæåíèå â ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ âèíòîâûì. Ëþáîå íåñîáñòâåííîå äâèæåíèå â ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ëèáî ñêîëüçÿùåé ñèììåòðèåé, ëèáî çåðêàëüíûì ïîâîðîòîì. 86 ÃËÀÂÀ 1. ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÐßÌÛÕ È ÏËÎÑÊÎÑÒÅÉ ñèñòåìû êîîðäèíàò ìàòðèöà C èìååò âèä:     cos ϕ − sin ϕ 0 cos ϕ − sin ϕ 0 cos ϕ 0  èëè (b) C =  sin ϕ cos ϕ 0 . (a) C =  sin ϕ 0 0 1 0 0 −1 ˜ = CX + b äâèæåíèå. Òîãäà îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü X Ðàññìîòðèì ñëó÷àé (a). Åñëè ϕ = 0 òî ðàññìàòðèâàåìîå äâèæåíèå åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ è äîêàçûâàòü íå÷åãî. Ïóñòü ϕ = 0. Òîãäà ìàòðèöå C ñîîòâåòñòâóåò ïîâîðîò íà óãîë ϕ âîêðóã îñè Oz . Îáîçíà÷èì åãî Ω è äëÿ óäîáñòâà ññûëîê ïåðåîáîçíà÷èì è ñàìó ìàòðèöó C → Ω. ˜ = ΩX îñü Oz ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé. Ïðåäñòàâèì âåêòîð ñìåÏðè äâèæåíèè X ùåíèÿ b â âèäå b = a + c, ãäå âåêòîð c ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè xOy , à âåêòîð a ïàðàëëåëåí îñè Oz . Òîãäà a = (a1 , a2 , 0), c = (0, 0, c3 ) è Tb = Tc ◦ Ta . ˜ = ΩX + b. Òîãäà Çàïèøåì íàøå äâèæåíèå F â âèäå X F = Tb ◦ Ω = Tc ◦ Ta ◦ Ω = Tc ◦ Ω . Ïîêàæåì, ÷òî Ω  ïîâîðîò îêîëî íåêîòîðîé ïðÿìîé l, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè Oxy . Äåéñòâèòåëüíî,  ΩX  =  cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1     x y z     +    a1 a2 0     =   x cos ϕ − y sin ϕ + a1 x sin ϕ + y cos ϕ + a2 z   .  Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = z0 ïåðåõîäèò â ñåáÿ, à â êàæäîé òàêîé ïëîñêîñòè åñòü íåïîäâèæíàÿ òî÷êà. Òàê êàê åå êîîðäèíàòû íå çàâèñÿò îò âûáîðà z0 , òî âñå òàêèå òî÷êè ëåæàò íà íåêîòîðîé ïðÿìîé l, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè xOy . Ñëåäîâàòåëüíî, Ω  ïîâîðîò îêîëî ïðÿìîé l. Íî òîãäà F = Tc ◦ Ω  âèíòîâîå äâèæåíèå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé (b). Ïóñòü S  ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè xOy . Îíà çàäàåòñÿ ìàòðèöåé âèäà   1 0 0 0 . S= 0 1 0 0 −1 Ñëåäîâàòåëüíî, âðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå   cos ϕ − sin ϕ 0 cos ϕ 0  C = S Ω =  sin ϕ 0 0 −1 è ìû ìîæåì àíàëèòè÷åñêè çàäàòü íàøå äâèæåíèå â âèäå ˜ = S ΩX + b, X à ñàìî äâèæåíèå ïðåäñòàâèòü êàê êîìïîçèöèþ F = Tb ◦ S ◦ Ω. 1.9. ÄÂÈÆÅÍÈß. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÄÂÈÆÅÍÈÉ 87 Âåêòîð ñìåùåíèÿ b ðàçëîæèì â âèäå: b = a+c, ãäå a ⊥ Oz, c Oz . Òîãäà Tb = Ta ◦Tc . Ïî ëåììå Tc = S1 ◦ S2 , ãäå S1 è S2 ñèììåòðèè îòíîèòåëüíî ïëîñêîñòåé, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ îñè Oz . Ñëåäîâàòåëüíî, F = Ta ◦ S1 ◦ S2 ◦ S ◦ Ω. ßñíî, ÷òî S1 ◦ S2 ◦ S åñòü ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè Oz (êàæäàÿ èç ñèììåòðèé ÿâëÿåòñÿ òàêîé). Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç S . Òàê êàê a ⊥ Oz , òî ëåãêî âèäåòü, ÷òî Ta ◦ S = S ◦ Ta è ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó F = S ◦ Ta ◦ Ω. Åñëè ϕ = 0, òî Ω åñòü òîæäåñòâåííîå äâèæåíèå è òîãäà F = Ta ◦ S , òî åñòü ñêîëüçÿùóþ ñèììåòðèþ. Åñëè æå ϕ = 0, òî êàê è â ñëó÷àå (à) êîìïîçèöèÿ Ta ◦ Ω = Ω åñòü ïîâîðîò âîêðóã îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè Oxy , à ñëåäîâàòåëüíî F = S ◦ Ω  çåðêàëüíûé ïîâîðîò.