Iíñòèòóò ÿäåðíèõ äîñëiäæåíü ÍÀÍ Óêðà¨íè Ìiíiñòåðñòâî îñâiòè i íàóêè Óêðà¨íè Õàðêiâñüêèé Íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåíi Â.Í. Êàðàçiíà

Êâàëiôiêàöiéíà íàóêîâà ïðàöÿ íà ïðàâàõ ðóêîïèñó

Òèõèé Àíòîí Âîëîäèìèðîâè÷

ÓÄÊ SQQFW
Äèñåðòàöiÿ

Õâèëüîâi ïðîöåñè òà òðàíñïîðò íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó êâàçèiçîäèíàìi÷íèõ ñòåëàðàòîðàõ

HIFHRFHV " ôiçèêà ïëàçìè

Ïîäà¹òüñÿ íà çäîáóòòÿ íàóêîâîãî ñòóïåíÿ êàíäèäàòà ôiçèêî-ìàòåìàòè÷íèõ íàóê. Äèñåðòàöiÿ ìiñòèòü ðåçóëüòàòè âëàñíèõ äîñëiäæåíü. Âèêîðèñòàííÿ iäåé, ðåçóëüòàòiâ i òåêñòiâ iíøèõ àâòîðiâ ìàþòü ïîñèëàííÿ íà âiäïîâiäíå äæåðåëî. À. Â. Òèõèé

Íàóêîâèé êåðiâíèêX

Êîëåñíè÷åíêî ßðîñëàâ Iâàíîâè÷D

äîêòîð ôiçèêîEìàòåìàòè÷íèõ íàóêD ïðîôåñîð

Êè¨â " PHIV

2

ÀÍÎÒÀÖIß

Òèõèé À. Â.

Õâèëüîâi ïðîöåñè òà òðàíñïîðò íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó êâàE

çèiçîäèíàìi÷íèõ ñòåëàðàòîðàõF " Êâàëiôiêàöiéíà íàóêîâà ïðàöÿ íà ïðàâàõ ðóêîïèñóF Äèñåðòàöiÿ íà çäîáóòòÿ íàóêîâîãî ñòóïåíÿ êàíäèäàòà ôiçèêîEìàòåìàE òè÷íèõ íàóê çà ñïåöiàëüíiñòþ HIFHRFHV ¾ôiçèêà ïëàçìè¿F " síñòèòóò ÿäåðE íèõ äîñëiäæåíü ÍÀÍ Óêðà¨íèY Õàðêiâñüêèé Íàöiîíàëüíèé óíiâåðñèòåò iìåE íi ÂFÍF ÊàðàçiíàD ÕàðêiâD PHIVF Ó äèñåðòàöi¨ ïðåäñòàâëåíî ðåçóëüòàòè òåîðåòè÷íèõ äîñëiäæåíü äèôóE çiéíîãî òðàíïîðòó íàäòåïëîâèõ iîíiâ òà çáóäæåííÿ i çãàñàííÿ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä ó ñòåëàðàòîðàõF Ðîçâèíåíó òåîðiþ çàñòîñîâàíî äî ïîÿñíåíE íÿ åêñïåðèìåíòàëüíèõ äàíèõD îòðèìàíèõ íà ñòåëàðàòîðàõ ‡endelstein UE ˆ @Íiìå÷÷èíàA òà vrh @ßïîíiÿAD à òàêîæ äëÿ ïðîãíîçíèõ îá÷èñëåíü äëÿ ðåàêòîðàEñòàëàðàòîðà reli—s @Íiìå÷÷èíàAF Âïåðøå ïîêàçàíî ìîæëèâiñòü çáóäæåííÿ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä ãðàE äi¹íòîì òåìïåðàòóðè iîíiâ â íåîñåñèìåòðè÷íèõ ñèñòåìàõF Ðîçâèíåíî òåîE ðiþD ç ÿêî¨ âèïëèâà¹D ùî äåñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ ïðîñòîðîâî¨ íåîäíîðiäíîE ñòi îñíîâíî¨ ïëàçìè ç ìàêñâåëîâèì ðîçïîäiëîì øâèäêîñòåé íà àëüôâåíîE âi âëàñíi ìîäè â òîðî¨äàëüíèõ ñèñòåìàõ ìîæå ïåðåáîðîòè ¨õ çãàñàííÿ ÷åE ðåç ìåõàíiçì ËàíäàóF ßêùî ïðè öüîìó iíøi ìåõàíiçìè çãàñàííÿ ¹ ñëàáêèE ìèD çáóäæóâàòèìåòüñÿ àëüôâåíîâà íåñòiéêiñòüF Îòðèìàíî íåîáõiäíó óìîE âó äåñòàáiëiçàöi¨ ìîäè òà ïîêàçàíîD ùî äåñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ çðîñò๠ç ðîñòîì âiäíîøåííÿ ðåçîíàíñíî¨ øâèäêîñòi äî òåïëîâî¨D êîëè öå âiäíîøåíE íÿ áiëüøå îäèíèöiF ÏîêàçàíîD ùî çà ïåâíèõ óìîâ çáóäæóâàíi ãðàäi¹íòîì òåìïåðàòóðè iîíiâ íåñòiéêîñòi ìîæóòü ïðèâîäèòè äî äîöåíòðîâîãî ïðîñòîE

3

ðîâîãî êàíàëþâàííÿ åíåðãi¨ ! ïîòóæíiñòüD ïîãëèíóòà ìîäîþ ó íåñòiéêié îáëàñòiD íàãðiâ๠ïëàçìó â ñòiéêié îáëàñòiD ðîçòàøîâàíié ïðè ìåíøèõ ðàE äióñàõF ÒåìïåðàòóðíîEãðàäi¹íòíà íåñòiéêiñòü ìîæå âïëèâàòè íà ðîáî÷i ïîE êàçíèêè ïëàçìè ó ‡endelstein UEˆD à òàêîæ ìîæå âiäiãðàâàòè ðîëü â iíE øèõ ñòåëàðàòîðàõD çîêðåìà ó vrhD „tEssD rEID …EQwF Çîêðåìà ïîêàçàíîD ùî îïèñàíèé ìåõàíiçì ìîæå ïðèâîäèòè äî çáóäæåííÿ àëüôâåíîâî¨ ìîäè ç ÷àñòîòîþ ω ∼ 200 êÃö íà ‡endelstein UEˆ ÷åðåç ðåçîíàíñ íà ãâèíòîE âié ôóð9¹Eãàðìîíiöi ðiâíîâàæíîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿ ç ìîäîâèìè ÷èñëàìè

µ = ν = 1D ÿêå ñóïðîâîäæóâàòèìåòüñÿ äîöåíòðîâèì ïðîñòîðîâèì êàíàE
ëþâàííÿì åíåðãi¨ iîíiâF Çáóäæåííÿ òàêî¨ ìîäè ìîæå ïîÿñíèòè òðèâàëi âèE ñîêî÷àñòîòíi îñöèëÿöi¨D ùî ñïîñòåðiãàëèñÿ â åêñïåðèìåíòi ‘‡indis™h et —lFD €l—sm— €hysF gontrolF pusionF SW @PHIUA IHSHHP“F Âèÿâëåíî âëàñòèâîñòi ïåðåíåñåííÿ åíåðãi¨ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿ âëàE ñíèìè àëüôâåíîâèìè ìîäàìèF ÏîêàçàíîD ùî äåñòàáiëiçàöiÿ âëàñíèõ ìîä ó ïëàçìi îáìåæåíîãî îá9¹ìó ñóïðîâîäæó¹òüñÿ ãåíåðàöi¹þ ðàäiàëüíîãî ïîòîE êó åíåðãi¨D ÿêèé ìîæå áóòè ñïðÿìîâàíèé íå ëèøå âiä öåíòðó äî ïåðèôåði¨D àëå i ç ïåðèôåði¨ äî öåíòðó ïëàçìèF Ïîïåðå÷íèé ïîòiê âèíèê๠âíàñëiäîê ïîðóøåííÿ áàëàíñó ìiæ äîöåíòðîâèì òà âiäöåíòðîâèì ïîòîêàìè åíåðãi¨D ïîâ9ÿçàíèìè iç áiæó÷èìè õâèëÿìèD ç ÿêèõ ñêëàäà¹òüñÿ ìîäàF Ïîòiê åíåðãi¨ ìîæíà ðîçäiëèòè íà äâi ÷àñòèíèD îäíà ç ÿêèõ ïîñòà÷๠åíåðãiþD ùî ïåðåõîE äèòü ó çðîñòàííÿ àìïëiòóäè ìîäè â îáëàñòÿõD äå ìîäà çáóäæó¹òüñÿ ñëàáêî àáî âçàãàëi íå çáóäæó¹òüñÿD à iíøà íàãðiâ๠ïëàçìó â îáëàñòÿõD äå äîìiE íó¹ çãàñàííÿD i âiäïîâiä๠çà ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿF ÇíàéäåíîD ùî ãóñòèE íà ïîòîêó åíåðãi¨ ñèëüíî çàëåæèòü âiä òåìïåðàòóðè iîíiâX íàïðèêëàäD äëÿ ïîâ9ÿçàíî¨ ç åëiïòè÷íiñòþ àëüôâåíîâî¨ âëàñíî¨ ìîäè @ieiA ó ‡endelstein UEˆ ïðè íåçìiííié àìïëiòóäi ìîäè çáiëüøåííÿ òåìïåðàòóðè iîíiâ ó öåíòði ïëàçìè ç 2 êå äî 10 êå âèêëèê๠çáiëüøåííÿ ïîòîêó åíåðãi¨ ÷åðåç ïîâåðõE íþ ìàêñèìàëüíîãî iíêðåìåíòó íåñòiéêîñòi ìàéæå íà äâà ïîðÿäêèF Ðîçâèíåíî òåîðiþ ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ íàäòåïëîâèõ iîíiâ òà çàïðîïîíîE

4

âàíî ìåòîä ïîñëàáëåííÿ ¨¨ íåãàòèâíîãî âïëèâó â îïòèìiçîâàíèõ ñòåëàðàòîE ðàõF ÏîêàçàíîD ùî ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîê ó ñòåëàðàòîE ðàõ òèïó ‡endelstein ¹ ó êiëüêà ðàçiâ ñèëüíiøîþD íiæ ïåðåäáà÷àëîñÿ ðàíiøå ‘feidler et —lFD €hysF €l—sm—s V @PHHIA PUQI“D çàâäÿêè ñòâîðþâàíié ìàãíiòíèì ïîëåì àñèìåòði¨ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ÷àñòèíêàìè iç ïðîòèëåæíèìè çíàêàìè ïîçäîâæíüî¨ øâèäêîñòiF Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîñëàáëåííÿ íåãàE òèâíîãî âïëèâó ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ íà óòðèìàííÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâ øëÿE õîì çàìèêàííÿ ñåïàðàòðèñ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè òà ëîêàëüíî çàõîïëåE íèìè îðáiòàìè âñåðåäèíi ïëàçìèX ÿêùî äëÿ ÷àñòèíêè ç ïåâíèì ïiò÷Eêóòîì äðåéôîâi îðáiòè òà ñåïàðàòðèñà çàìêíåíi âñåðåäèíi ïëàçìèD òàêà ÷àñòèíE êà íå âòðà÷àòèìåòüñÿ ç ïëàçìè çà ÷àñ ïîðÿäêó ÷àñó ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨F ÏîêàçàíîD ùî äëÿ ñòåëàðàòîðiâ òèïó ‡endelstein äiàìàãíåòèçì ïëàçìè äîE ïîìàã๠çàìêíóòè ñåïàðàòðèñèF Çàïðîïîíîâàíî âèêîðèñòîâóâàòè çàìêíåíE íÿ ñåïàðàòðèñ âñåðåäèíi ïëàçìè ó ÿêîñòi äîäàòêîâîãî øâèäêîãî êðèòåðiþ îïòèìiçàöi¨ ñòåëàðàòîðíèõ êîíôiãóðàöiéF Âèÿâëåíî âàæëèâó ðîëü åëåêòðè÷íãî ïîëÿ äëÿ óòðèìàííÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó ñòåëàðàòîðàõF ÇíàéäåíîD ùî ïðèñóòíiñòü âiä9¹ìíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ñïðèÿ¹ óòðèìàííþ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ iîíiâF sîíè óòðèìóþòüñÿ åëåE êòðè÷íèì ïîëåìD ÿêùî ¨õ åíåðãiÿ íå ïåðåâèùó¹ ïåâíî¨ âåëè÷èíèF ÅëåêòðèE ÷íå ïîëåD ëîêàëiçîâàíå ó êiëüöi @òîáòî ó ïåâíîìó iíòåðâàëi çà ðàäióñîìA ìîE æå âiäiãðàâàòè ðîëü òðàíñïîðòíîãî áàð9¹ðà äëÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâF Äîäàòí¹ åëåêòðè÷íå ïîëå ïîãiðøó¹ óòðèìàííÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ iîíiâD êðiì âèE ïàäêó äóæå âåëèêèõ çíà÷åíü íàïðóæåíîñòi ïîëÿ âiäíîñíî åíåðãi¨ ÷àñòèíîêF Øêiäëèâèé âïëèâ äîäàòíüîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ¹ îñîáëèâî ñèëüíèìD êîëè ÷àñòîòà âèêëèêàíîãî íèì æîðñòêîãî îáåðòàííÿ ïëàçìè áëèçüêà äî ïåâíèõ ðåçîíàíñíèõ çíà÷åíüF Çàïðîïîíîâàíî âèêîðèñòàííÿ äîäàòíüîãî ðàäiàëüíîE ãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ iç âiäïîâiäíî ïiäiáðàíèì ïðîôiëåì äëÿ âèäàëåííÿ ãåëi¹âîãî ïîïåëó ó ðåàêòîði reli—sF Äëÿ öüîãî ìîæóòü ïiäáèðàòèñÿ âiäïîE âiäíi ðåæèìè íàãðiâàííÿ ïëàçìèF Òàêîæ ïîêàçàíîD ùî âiä9¹ìíå ðàäiàëüíå

5

åëåêòðè÷íå ïîëå äîïîìàã๠çàìêíóòè ñåïàðàòðèñè ïåðåõiäíèõ íàäòåïëîâèõ iîíiâD ùî çìåíøó¹ ¨õ âòðàòè âiä ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨D à ëîêàëiçîâàíi ïîòåíE öiàëüíi áàð9¹ðè ïîëiïøóþòü ôîðìó ñåïàðàòðèñD êîëè îáëàñòü âiä9¹ìíîãî ïîëÿ ëåæèòü âñåðåäèíi îáëàñòi äîäàòíüîãî ïîëÿF Âïåðøå âèÿâëåíî ñèëüíèé ñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ íà àëüôâåíîâi ìîäè ó ñòåëàðàòîðàõ ìåõàíiçìó çãàñàííÿ ËàíäàóD ÿêå âiäiãð๠âàæëèâó ðîëü çàâE äÿêè iñíóâàííþ ó ãâèíòîâèõ ïðèñòðîÿõ íåîñåñèìåòðè÷íèõ ðåçîíàíñiâF Ïðè íèçüêîìó òèñêó ïëàçìèD çãàñàííÿ Ëàíäàó ì๠ñèëüíèé ñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ íà àëüôâåíîâi âëàñíi ìîäèD ïîâ9ÿçàíèõ iç òîðî¨äàëüíiñòþ @„eiA òà íà içîE ìîííi ìîäè ó ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆF Ïðè âèñîêîìó òèñêó ïëàçìèD ïðèòàìàííîìó ðåàêòîðó reli—sD çãàñàííÿ Ëàíäàó íà iîíàõ ìîæå äîìiíóâàòè íå ëèøå äëÿ „eiD à é äëÿ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîäD ïîâ9ÿçàíèõ iç ãâèíòîE âèìè òà äçåðêàëüíèìè ãàðìîíiêàìè ìàãíiòíîãî ïîëÿ @rei òà wei ìîäAF
Êëþ÷îâi ñëîâà

X ñòåëàðàòîðD íàäòåïëîâi iîíèD ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿD àëüE

ôâåíîâi âëàñíi ìîäèD íåñòiéêîñòi ïëàçìèF

Tykhyy A. V. Wave processes and transport of suprathermal ions in quasiisodynamic stellarators. –– Qualification scientific work in the form of manuscript. Thesis for candidate degree in physical and mathematical sciences, speciality 01.04.08 “Plasma physics”. –– Institute for Nuclear Research; Vasyl Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2018. This dissertation consists of the results of theorerical investigation of diffusional transport of suprathermal ions and of the destabilization and damping of Alfv´ en eigenmodes in stellarators. The developed theory is applied to experimental data from the stellarators Wendelstein 7-X (Germany) and LHD (Japan), and is also used to derive predictions for the Helias reactor (Germany). It is demonstrated for the first time that Alfv´ en eigenmodes can be destabilized by ion temperature gradient in non-axisymmetrical systems. From the

6

developed theory it follows that the destabilizing influence of spatial inhomogeneity of bulk plasma with a Maxwellian velocity distribution on Alfv´ en eigenmodes in toroidal systems can overcome their damping via the Landau mechanism. If other damping mechanisms are weak, Alfv´ en modes may be destabilized. A necessary condition of mode destabilization is derived. It is shown that the destabilizing influence grows with the increase of the resonance velocity relative to the thermal velocity, when the former is larger than the latter. It is shown that in certain conditions instabilities driven by an ion temperature gradient may lead to inward spatial channeling of energy – energy absorbed by the mode in the unstable region heats plasma in the damped region located at smaller radii. Temperature gradient-driven instability may influence plasma parameters in Wendelstein 7-X, and can play a role in other stellarators, such as LHD, TJ-II, H-1, U-3M. In particular, it is shown that this mechanism may lead to the destabilization of an Alfv´ en eigenmode with frequency ω ∼ 200 kHz in Wendelstein 7-X through a resonance with the helical harmonic of the equilibrium magnetic field with mode numbers µ = ν = 1, accompanied by inward spatial channeling of ion energy. The destabilization of such a mode may explain long-lasting highfrequency oscillations which have been observed experimentally [Windisch et al., Plasma Phys. Control. Fusion. 59 (2017) 105002]. The properties of energy transfer across the magnetic field by Alfv´ en eigenmodes are elucidated. It is shown that destabilization of eigenmodes in a limited plasma is accompanied by the generation of a radial energy flux, which can be directed not only towards plasma periphery, but also from the periphery to the center of the plasma. The transverse flux appears due to a loss of balance between the inward and outward energy fluxes associated with the traveling waves that compose the mode. The energy flux may be split in two parts, one of which supplies the energy that is converted into growing mode amplitude and is more important in regions where the mode

7

is weakly driven or not driven at all, and the other part which heats the plasma in regions where damping dominates. This second part is responsible for spatial channeling. It is found that energy flux density strongly depends on ion temperature: for instance, for an ellipticity-induced EAE mode in Wendelstein 7-X with a fixed amplitude, an increase of ion temperature in plasma center from 2 keV to 10 keV leads to an almost two order of magnitude increase of energy flux through the surface of maximum instability drive. A theory of stochastic diffusion of suprathermal ions is developed and a method of mitigation of its harmful influence in optimized stellarators is proposed. It is shown that stochastic diffusion of transitioning particles in Wendelstein-type stellarators is several times stronger than previously predicted [Beidler et al., Phys. Plasmas 8 (2001) 2731], due to the asymmetry between locally passing particles with opposite signs of parallel velocity created by the magnetic field. A method of mitigation of the harmful influence of stochastic diffusion on the confinement of suprathermal ions via the closure of separatrices between locally trapped and locally passing particles inside the plasma volume is proposed: if both the drift orbits for particles with a certain pitch angle and the separatrix are closed inside the plasma, such particles will not be lost from the plasma on the stochastic diffusion timescale. It is shown that in Wendelstein-type stellarators plasma diamagnetism helps to close the separatrices. The closure of the separatrices inside the plasma is proposed as an additional fast criterion in stellarator configuration optimization. The importance of radial electric fields for suprathermal ion confinement in stellarators is elucidated. It is found that the presence of negative electric field improves the confinement of locally trapped ions, if their energy does not exceed a certain value. An electric field localized in a ring (i.e. between certain radii) can function as a transport barrier for suprathermal ions, Positive electric field degrades the confinement of locally trapped ions, unless the magnitude of the field is very large relative to ion energy. The harmful effects

8

of positive electric field is especially strong if the frequency of rigid plasma rotation corresponding to the field is close to certain resonance values. A method of using positive radial electric fields is proposed to remove helium ash in a Helias reactor. Appropriate plasma heating regimes may be selected to implement this suggestion. It is also shown that a negative radial electric field helps to close the separatrices of transitioning suprathermal ions, which reduces their losses from stochastic diffusion, and that localized potential barriers improve the shape of the separatrices if the negative field region lies closer to the center than the positive field region. It is shown for the first time that the Landau damping mechanism exerts strong stabilizing influence on Alfv´ en modes in stellarators due to the existence of non-axisymmetric resonances specific to helical devices. When plasma pressure is low, Landau damping strongly stabilizes TAE modes and isomon modes in Wendelstein 7-X. At higher plasma pressures projected for the Helias reactor, Landau damping on bulk ions may dominate not only for TAE modes, but also for helicity- and mirror-induced Alfv´ en eigenmodes. Key words : stellarator, suprathermal ions, stochastic diffusion, Alfv´ en eigenmodes, plasma instabilities.
Íàóêîâi ïðàöi, â ÿêèõ îïóáëiêîâàíî îñíîâíi íàóêîâi ðåçóëüòàòè äèñåðòàöi¨.

IF Tykhyy A., Yakovenko Y. V. Invariants of fast ion motion in stellara-

tors // Ukrainian Journal of Physics. –– 2006. –– Vol. 51, no. 11-12. –– P. 1077–1082. 2. Effects of the radial electric field on the confinement of trapped fast ions in the Wendelstein 7-X and Helias reactor / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, AV Tykhyy et al. // Physics of Plasmas. –– 2006. –– Vol. 13, no. 7. –– P. 072504.

9

3. Mitigation of stochastic diffusion losses in optimized stellarators / AV Tykhyy, Ya I Kolesnichenko, Yu V Yakovenko et al. // Plasma Physics and Controlled Fusion. –– 2007. –– Vol. 49, no. 6. –– P. 703. 4. Kolesnichenko Y. I., Tykhyy A. V. Landau damping of Alfv´ enic modes in stellarators // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2018. –– Vol. 60. –– P. 125004. 5. Kolesnichenko Y. I., Tykhyy A. V. Temperature gradient driven Alfv´ en instability producing inward energy flux in stellarators // Physics Letters A. –– 2018. –– Vol. 382, no. 37. –– P. 2689–2692. 6. Kolesnichenko Y. I., Tykhyy A. V. Radial energy flux during destabilized Alfv´ en eigenmodes // Physics of Plasmas. –– 2018. –– Vol. 25. –– P. 102507. 7. „ykhyy eF Ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ åíåðãiéíèõ éîíiâ ó ñòåëàðàòîðàõ òèE
ïó ‡endelstein GG …kr—ini—n tourn—l of €hysi™sF " PHIVF " ÒF TQD  TF " ÑF RWS!SHSF
Íàóêîâi ïðàöi, ÿêi çàñâiä÷óþòü àïðîáàöiþ ðåçóëüòàòiâ äèñåðòàöi¨.

VF Novel physics involved in interpretation of Alfv´ enic activity accompa-

nied by thermal crashes in W7-AS / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, A Weller et al. // 15th International Stellarator Workshop. –– 2005. 9. Analysis and interpretation of observations of Alfv´ enic activity in Wendelstein 7-AS / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, A Weller et al. // 32nd EPS Plasma Physics Conference combined with the 8th International Workshop on Fast Ignition of Fusion Targets / European Physical Society. –– 2005. 10. Confinement of fast ions in the presence of the radial electric field in Wendelstein-line stellarators / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, AV Tykhyy et al. // 13th International Congress on Plasma Physics. –– 2006.

10

11. Yakovenko Y. V., Tykhyy A., Werner A. Mitigation of stochastic diffusion losses in optimized stellarators // 13th International Congress on Plasma Physics. –– 2006. 12. Effect of the radial electric field on the confinement of fast ions in optimized stellarators / VV Lutsenko, Ya I Kolesnichenko, A Weller et al. // 10th IAEA Technical Meeting on Energetic Particles in Magnetic Confinement Systems. –– 2007. 13. Tykhyy A. Stochastic diffusion of energetic ions in Wendestein-type configurations // 11th IAEA Technical Meeting on Energetic Particles in Magnetic Confinement Systems. –– 2009. 14. Tykhyy A. Stochastic diffusion of energetic ions in Wendelstein-type stellarators // 15th IAEA Technical Meeting on Energetic Particles in Magnetic Confinement Systems. –– 2017. 15. Tykhyy A. V. Generation of inward energy flux by Alfv´ en eigenmodes // International Conference-School on Plasma Physics and Controlled Fusion. –– Kharkiv, 2018.

11

ÇÌIÑÒ

Âñòóï

14 Áåççiòêíåíí¹âèé òðàíñïîðò íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó ñòåëàðàòîðàõ 21

Ðîçäië IF

IFIF Àäiàáàòè÷íi iíâàðiàíòè ó àêñiàëüíîEíåñèìåòðè÷íîìó ìàãíiE òíîìó ïîëi F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFIF Âñòóï F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFPF Ìîäåëü ìàãíiòíîãî ïîëÿ F F F F F F F F F F F F F F F F F IFIFQF síâàðiàíòè ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê F F F F F F F F F F F F F IFIFRF síâàðiàíòè çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê F F F F F F F F F F F F IFIFSF ×àñîâà åâîëþöiÿ êóòîâèõ çìiííèõ F F F F F F F F F F F IFIFTF Îáãîâîðåííÿ òà âèñíîâêè F F F F F F F F F F F F F F F F IFPF Ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ ïåðåõiäíèõ iîíiâ F F F F F F F F F F F F F IFPFIF Âñòóï F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFPF Ñêîðî÷åíèé ëàãðàíæiàí âåäó÷îãî öåíòðó F F F F F F F IFPFQF Ôàçîâèé ïîðòðåò ðóõó çàõîïëåíèõ iîíiâ F F F F F F F F IFPFRF Ïåðåòâîðåííÿ îðáiò ïåðåõiäíèõ iîíiâ F F F F F F F F F F IFPFSF Ïåðåõiä ÷åðåç ñåïàðàòðèñó ó íåëiíiéíîìó ìàÿòíèêó F IFPFTF Êîåôiöi¹íò äèôóçi¨ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFPFUF gòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ ó ðåàêòîðiEñòåëàðàòîði reli—s F IFPFVF Ïiäñóìêè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Ðîçäië PF
Âïëèâ ðàäiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íà íàäòåïëîâi iîíè 56

PI PI PR PU PV QI QP QQ QQ QS QT QW RP RW SR SS

PFIF Ïîêðàùåííÿ óòðèìàííÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ iîíiâ

F F F F F

ST ST

PFIFIF Âñòóï F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

12

PFIFPF ÁàóíñEóñåðåäíåíi ðiâíÿííÿ òà ¨õ àíàëiç F F F F F F F F F PFIFRF Âèäàëåííÿ ïîïåëó äîäàòíiì åëåêòðè÷íèì ïîëåì ó ðåàêE òîðiEñòåëàðàòîði reli—s F F F F F F F F F F F F F F F F F F PFIFSF Âèñíîâêè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PFPF Çìåíøåííÿ äèôóçiéíèõ âòðàò ïåðåõiäíèõ iîíiâ F F F F F F F F PFPFIF Âñòóï F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PFPFPF Ñåïàðàòðèñè ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîê çà âiäñóòíîñòi òà íàÿâíîñòi ðàäiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ F F F F F F F PFPFQF Çàìêíåííÿ ñåïàðàòðèñ ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîê F F F F F F PFPFRF Çìåíøåííÿ îáëàñòi äèôóçiéíèõ âòðàò ó ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆ F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F PFPFSF Âèñíîâêè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Ðîçäië QF
Åôåêòè íåîñåñèìåòðè÷íèõ ðåçîíàíñiâ âçà¹ìîäi¨ ÷àñòèíêà-õâèëÿ ó ñòåëàðàòîðàõ

SV

PFIFQF Îðáiòè íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆ TH TW UH UP UP UP UR UW VP

84

QFIF Çãàñàííÿ Ëàíäàó àëüôâåíîâèõ ìîä F F F F F F F F F F F F F F F QFIFIF Âñòóï F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QFIFPF Àíàëiç ðåçîíàíñiâ ìiæ àëüôâåíîâèìè ìîäàìè òà ïðîE ëiòíèìè ÷àñòèíêàìè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QFIFQF Âèâåäåííÿ âèðàçiâ äëÿ iíêðåìåíòóGäåêðåìåíòó ìîäè F QFIFRF Äåêðåìåíòè çãàñàííÿ ó ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆD

VR VR VT WQ

ðåàêòîðiEñòåëàðàòîði reli—s òà ñòåëàðàòîði vrh F F F IHR QFIFSF Ïiäñóìêè òà âèñíîâêè F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIQ QFPF Çáóäæåííÿ òåìïåðàòóðíîEãðàäi¹íòíî¨ àëüôâåíîâî¨ íåñòiéêîE ñòi ïëàçìè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIS QFPFIF Âñòóï F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IIS QFPFPF Äåñòàáiëiçàöiÿ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä ãðàäi¹íòîì òåìïåðàòóðè åëåêòðîíiâ òà iîíiâ F F F F F F F F F F F F IIU

13

QFPFQF Çàñòîñóâàííÿ òåîði¨ äî åêñïåðèìåíòó ç âèñîêî÷àñòîE òíèìè êîëèâàííÿìè íà ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆ F IPI QFPFRF Âèñíîâêè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPS QFQF Ïåðåíåñåííÿ åíåðãi¨ ÌÃÄEìîäàìè ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿ F IPU QFQFIF Âñòóï F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IPU QFQFPF Âèâåäåííÿ òà àíàëiç îñíîâíèõ ðiâíÿíü F F F F F F F F F IPW QFQFQF Çàëåæíiñòü ïîòîêó åíåðãi¨ âiä õàðàêòåðèñòèê íåñòiéE êîñòi ïëàçìè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQR QFQFRF Âèñíîâêè F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IQW
Âèñíîâêè Ñïèñîê âèêîðèñòàíèõ äæåðåë 142 147

Äîäàòîê ÀF

Ñïèñîê ïóáëiêàöié çäîáóâà÷à çà òåìîþ äèñåðòàöi¨ òà âiäîìîñòi ïðî àïðîáàöiþ ðåçóëüòàòiâ äèñåðòàöi¨ 157

ÀFIF Ñïèñîê ïóáëiêàöié çäîáóâà÷à çà òåìîþ äèñåðòàöi¨ F F F F F F ISU ÀFPF Âiäîìîñòi ïðî àïðîáàöiþ ðåçóëüòàòiâ äèñåðòàöi¨ F F F F F F F ISW

14

ÂÑÒÓÏ

Îá ðóíòóâàííÿ âèáîðó òåìè äîñëiäæåííÿ.

Îñòàííi ðîêè ïîçíàE

÷èëèñÿ ïðîãðåñîì íà øëÿõó äî êîìåðöiéíîãî çàñòîñóâàííÿ òåðìîÿäåðíî¨ åíåðãi¨F Ó PHIS ðîöi ó Íiìå÷÷èíi áóëî çàâåðøåíî ñïîðóäæåííÿ ñòåëàðàòîðà ‡endelstein UEˆ ! íàéáiëüøîãî ó ñâiòi îïòèìiçîâàíîãî ñòåëàðàòîðàF ‘I“ Ó Ôðàíöi¨ òðèâ๠áóäiâíèöòâî s„i‚D ìiæíàðîäíîãî ðåàêòîðà òèïó òîêàE ìàêF Êiëüêîìà ðîêàìè ðàíiøå áóëî ïðîéäåíî êëþ÷îâi ðóáåæi íà øëÿõó äî ìåòè òåðìîÿäåðíèõ äîñëiäæåíüF ÇîêðåìàD íà òîêàìàêàõ ti„ @™ÑAD „p„‚ @ÑØÀAD t„ETH… @ßïîíiÿA áóëî äîñÿãíóòî òåìïåðàòóðó ïëàçìè ïîíàä IHH ìiëüéîíiâ ãðàäóñiâD íåîáõiäíó äëÿ êîìåðöiéíîãî çàñòîñóâàííÿ òåðìîÿäåðíî¨ åíåðãi¨D òà ïðîâåäåíî åêñïåðèìåíòè çi ñïðàâæíiì òåðìîÿäåðíèì ïàëèâîì ! ñóìiøøþ äåéòåðiþ òà òðèòiþ @ti„D „p„‚AF ‘P“ Çðîñò๠ðîëü ìiæíàðîäíî¨ ñïiâïðàöi ó òåðìîÿäåðíèõ äîñëiäæåííÿõF ÍàE ðàçi çóñèëëÿ òåðìîÿäåðíèõ ëàáîðàòîðié ™Ñ îá9¹äíàíi â ðàìêàõ ÊîíñîðöiE óìó i…‚yfusionD äî ÿêîãî Óêðà¨íà íåùîäàâíî äîëó÷èëàñü àñîöiéîâàíèì ÷ëåíîìF Îïóáëiêîâàíà ™âðîïåéñüêà äîðîæíÿ êàðòà äî òåðìîÿäåðíî¨ åëåE êòðîåíåðãi¨D çãiäíî ç ÿêîþ òåðìîÿäåðíi åëåêòðîñòàíöi¨ ìàþòü çàïðàöþâàòè íà ïî÷àòêó äðóãî¨ ïîëîâèíè öüîãî ñòîëiòòÿF Ïåðåõiä äî òåðìîÿäåðíî¨ åïîõè äàñòü çìîãó çàáåçïå÷èòè ëþäñòâî ïðàE êòè÷íî íåâè÷åðïíèì äæåðåëîì åíåðãi¨ ç ìiíiìàëüíèì âïëèâîì íà äîâêiëëÿF Ç íàáëèæåííÿì öi¹¨ åïîõèD ïðîáëåìà öiíè âèðîáëåíî¨ åíåðãi¨ ñò๠äåäàëi âàæëèâiøîþF ×åðåç öå ñòàþòü àêòóàëüíèìè äîñëiäæåííÿD ñïðÿìîâàíi íà îïòèìiçàöiþ ðåàêòîðà òà ïîëiïøåííÿ éîãî õàðàêòåðèñòèêF Ñó÷àñíèé ñòàí òåðìîÿäåðíèõ äîñëiäæåíü õàðàêòåðèçó¹òüñÿ ïðîâåäåíE íÿì øèðîêîãî ôðîíòó ðîáiò íà òåðìîÿäåðíèõ ïðèñòðîÿõ ðiçíèõ òèïiâF ÇîêðåE ìàD êðiì òîêàìàêiâD ùî ëèøàþòüñÿ ëiäåðàìè ç áàãàòüîõ äîñÿãíóòèõ ïàðàE

15

ìåòðiâD çíà÷íîãî ïðîãðåñó äîñÿãíóòî íà ñòåëàðàòîðàõ òà ñôåðè÷íèõ òîðàõ @îñòàííi ¹ ðåêîðäñìåíàìè ç äîñÿãíóòîãî ïàðàìåòðà β @β ! âiäíîøåííÿ òèñêó ïëàçìè äî òèñêó ìàãíiòíîãî ïîëÿAAF Îñòàííiì ÷àñîì ó òåðìîÿäåðíèõ äîñëiäæåííÿõ óñå áiëüøà óâàãà ïðèE äiëÿ¹òüñÿ ñòåëàðàòîðàì " ïðèñòðîÿì äëÿ ìàãíiòíîãî óòðèìàííÿ ïëàçìèD ÿêiD ïîäiáíî äî òîêàìàêiâD ìàþòü òîðî¨äàëüíó òîïîëîãiþ ìàãíiòíîãî ïîëÿD àëåD íà âiäìiíó âiä îñòàííiõD ìàþòü ñêëàäíó ãâèíòîâó ôîðìóF Îñíîâíîþ ïåðâàãîþ ñòåëàðàòîðiâ ïåðåä òîêàìàêàìè ¹ òåD ùî â íèõ ïîòðiáíà òîïîE ëîãiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ óòâîðþ¹òüñÿ áåç ó÷àñòi ïîçäîâæíüîãî åëåêòðè÷íîãî ñòðóìó ïëàçìèF ÖåD ç îäíîãî áîêóD ïîëåãøó¹ ñòâîðåííÿ ðåàêòîðàD ùî ïðàE öþ¹ íåïåðåðâíîD à ç iíøîãî áîêóD ä๠çìîãó ïîäîëàòè íåñòiéêîñòiD ïîâ9ÿçàíi ç ïîçäîâæíiì ñòðóìîì ïëàçìèD âêëþ÷íî ç äóæå íåáåçïå÷íîþ íåñòiéêiñòþ çðèâóF  óñiõ íàçâàíèõ ñèñòåìàõ ïëàçìà ìiñòèòü íàäòåïëîâi iîíèD ùî óòâîðþE þòüñÿ âíàñëiäîê iíæåêöi¨ íåéòðàëüíèõ àòîìiâD ïðèñêîðåííÿ ïðè Â× íàãðàE âàííi ïëàçìèD à òàêîæ âíàñëiäîê òåðìîÿäåðíèõ ðåàêöiéF Ïîâåäiíêà íàäòåE ïëîâèõ iîíiâ ñóòò¹âî âïëèâ๠íà õàðàêòåðèñòèêè ïëàçìè â óñiõ áåç âèíÿòêó òåðìîÿäåðíèõ ïðèñòðîÿõY áiëüøå òîãîD ïîãàíå óòðèìàííÿ ïðîäóêòiâ òåðìîE ÿäåðíî¨ ðåàêöi¨ E àëüôà ÷àñòèíîê ó òðàäèöiéíèõ ñòåëàðàòîðàõ óíåìîæëèâE ëþ¹ ¨õ âèêîðèñòàííÿ ÿê òåðìîÿäåðíèõ ðåàêòîðiâD ùî ñòèìóëþâàëî ðîçâèE òîê íîâiòíiõ êîíöåïöié ñòåëàðàòîðíèõ ñèñòåì @îïòèìiçîâàíi ñòåëàðàòîðèD ñòåëàðàòîðè ç êâàçiãâèíòîâîþ ñèìåòði¹þD ñòåëàðàòîðè ç êâàçiîñüîâîþ ñèE ìåòði¹þ i òFïFAF Òîìó âèâ÷åííþ ôiçè÷íèõ ïðîöåñiâ ó ïëàçìi ç íàäòåïëîâèìè iîíàìè ïðèäiëÿ¹òüñÿ âåëèêà óâàãà ÿê òåîðåòèêiâD òàê i åêñïåðèìåíòàòîðiâ ó áàãàòüîõ ëàáîðàòîðiÿõ ñâiòóF
Çâ'ÿçîê ðîáîòè ç íàóêîâèìè ïðîãðàìàìè, ïëàíàìè, òåìàìè, ãðàíòàìè.

ÄîñëiäæåííÿD ùî ââiéøëè äî äèñåðòàöiéíî¨ ðîáîòèD âèêîíóE

âàëèñÿ â ðàìêàõ òåì Íàöiîíàëüíî¨ Àêàäåìi¨ íàóê Óêðà¨íè  HIHR…HHQVVP

16

Íåñòiéêîñòi ïëàçìè òà òðàíñïîðò iîíiâ âèñîêèõ åíåðãié ó ñòåëàðàòîðàõD ñôåðè÷íèõ òîðàõ òà òîêàìàêàõ @PHHREPHHT ððFAD  HIHT…HIIRIR ÊîëåêòèâE íi ÿâèùà òà òðàíñïîðòíi ïðîöåñè â ïëàçìi òîðî¨äàëüíèõ ñèñòåì @PHHUEPHII ððFA òà  HIIT…HHPWPQ Áàãàòî÷àñòèíêîâi ïðîöåñè â òåðìîÿäåðíèõ ñèñòåE ìàõ @PHIUEPHPI ððFAD ïàðòíåðñüêîãî ïðîåêòó ÓÍÒÖD síñòèòóòó ôiçèêè ïëàE çìè Ìàêñà Ïëàíêà @Íiìå÷÷èíàA òà síñòèòóòó ÿäåðíèõ äîñëiäæåíü ÍÀÍ Óêðà¨íè  €EHQRd Âèñîêîåíåðãåòè÷íi iîíè â òîðî¨äàëüíèõ òåðìîÿäåðíèõ ïðèñòðîÿõD ñïiëüíîãî ïðîåêòó ÓÍÒÖ òà ÍÀÍ Óêðà¨íè  TQWP Çáiëüøåííÿ ïîòóæíîñòi òåðìîÿäåðíîãî ðåàêòîðà íåðiâíîâàæíèìè ïðîöåñàìè ó ïëàçìi @PHIUEPHIV ððFAD ïðîåêòó ßâèùàD ïîâ9ÿçàíi ç åíåðãiéíèìè éîíàìèD ó òîE êàìàêàõ òà ñòåëàðàòîðàõ Öiëüîâî¨ êîìïëåêñíî¨ ïðîãðàìè Ïåðñïåêòèâíi äîñëiäæåííÿ ç ôiçèêè ïëàçìèD êåðîâàíîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçó òà ïëàE çìîâèõ òåõíîëîãié ÍÀÍ Óêðà¨íè @PHIUEPHIW ððFA òà ïðîåêòó ç àëüôâåíîE âèõ ìîä â ñòåëàðàòîðàõ â ðàìêàõ ïàêåòó ðîáiò ƒP @ƒtell—r—tor yptimiz—tionX „heoryD hevelopmentD wodelling —nd ingineeringA êîíñîðöióìó i…‚yfusion @PHIUEPHIV ððFAF
Ìåòà i çàâäàííÿ äîñëiäæåííÿ.

Ìåòîþ äèñåðòàöiéíî¨ ðîáîòè ¹ ç9ÿñóE

âàííÿ îñîáëèâîñòåé òðàíñïîðòó íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó ñòåëàðàòîðàõD çîêðåE ìà â îïòèìiçîâàíèõ @êâàçèiçîäèíàìi÷íèõA ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelsteinD îòðèìàííÿ óìîâ çáóäæåííÿ òà çãàñàííÿ àëüôâåíîâèõ íåñòiéêîñòåé ó ïëàçìi òàêèõ ñòåëàðàòîðiâD à òàêîæ äîñëiäæåííÿ ïîâ9ÿçàíîãî ç öèìè íåñòiéêîñòÿE ìè ïåðåíåñåííÿ åíåðãi¨ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿF Îá9¹êò äîñëiäæåííÿ ! ïëàçìà ç íàäòåïëîâèì iîíàìè â îïòèìiçîâàíèõ ñòåëàðàòîðàõF Ïðåäìåò äîñëiäæåííÿ ! ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâ òà àëüE ôâåíîâi âëàñíi ìîäèF
Ìåòîäè äîñëiäæåííÿ.

Ó äèñåðòàöi¨ çàñòîñîâóþòüñÿ âiäîìi àíàëiòèE

÷íi òà ÷èñëîâi ìåòîäèX ëàãðàíæåâèé òà ãàìiëüòîíîâèé ôîðìàëiçìè êëàñèE

17

÷íî¨ ìåõàíiêè äëÿ àíàëiçó ðóõó çàðÿäæåíèõ ÷àñòèíîê ó íåîñåñèìåòðè÷íèõ ìàãíiòíèõ ïîëÿõY ðåçóëüòàòè òåîði¨ ñïåöiàëüíèõ ôóíêöié äëÿ çíàõîäæåííÿ àäiàáàòè÷íèõ iíâàðiàíòiâ iîíiâY ôóð9¹Eàíàëiç äëÿ äîñëiäæåííÿ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ êîëèâàíüY ìåòîäè ÐóíãåEÊóòòà ÷åòâåðòîãîEï9ÿòîãî ïîðÿäêó òî÷íîE ñòi äëÿ ÷èñëîâîãî iíòåãðóâàííÿ áàóíñEóñåðåäíåíèõ îðáiò iîíiâD äëÿ îá÷èñëåE ííÿ iíêðåìåíòiâGäåêðåìåíòiâ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä òà ïîòîêiâ åíåðãi¨D ùî ïåðåíîñÿòüñÿ ìîäàìè ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿF
Íàóêîâà íîâèçíà îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâ.

F

IF Âïåðøå ïîêàçàíî ìîæëèâiñòü çáóäæåííÿ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä ãðàäi¹íòîì òåìïåðàòóðè iîíiâ â íåîñåñèìåòðè÷íèõ ñèñòåìàõF PF Çàïðîïîíîâàíî iíòåðïðåòàöiþ åêñïåðèìåíòó íà ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆD â ÿêîìó ñïîñòåðiãàëèñÿ äîâãîòðèâàëi âèñîêî÷àñòîòíi êîëèâàííÿF QF Âïåðøå ïîêàçàíîD ùî âåëè÷èíàD íàïðÿìîê òà ðàäiàëüíèé ðîçïîäië ïîòîêó åíåðãi¨D ùî ïåðåíîñèòüñÿ çáóäæåíèìè ìîäàìèD çàëåæèòü âiä iíêðåE ìåíòó íåñòiéêîñòi i âçà¹ìíîãî ðîçòàøóâàííÿ îáëàñòåéD äå ìîäà çáóäæó¹òüñÿ òà çãàñà¹F RF Âïåðøå îá÷èñëåíî êîåôiöi¹íòè ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ ïåðåõiäíèõ ÷àE ñòèíîê ó îïòèìiçîâàíèõ ñòåëàðàòîðàõ ç âèêîðèñòàííÿì ðåàëiñòè÷íî¨ ãåîìåE òði¨ ôàçîâîãî ïðîñòîðó ÷àñòèíîêF SF Âïåðøå âèÿâëåíî êëþ÷îâó ðîëü ìåõàíiçìó çãàñàííÿ Ëàíäàó ó ñòàáiE ëiçàöi¨ òîðî¨äàëüíèõ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä òà içîìîííèõ ìîä ó ñòåëàE ðàòîðàõF
Ïðàêòè÷íå çíà÷åííÿ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâ.

ÏðàöiD íà îñíîâi

ÿêèõ íàïèñàíà äèñåðòàöiÿD âêëþ÷àþòü ÿê òåîðåòè÷íi äîñëiäæåííÿF òàê i çàñòîñóâàííÿ ðîçâèíåíî¨ òåîði¨ äî êîíêðåòíèõ òåðìîÿäåðíèõ ñèñòåì ! ñòåE ëàðàòîðà ‡endelstein UEˆD ðåàêòîðàEñòåëàðàòîðà reli—s òà ãâèíòîâîãî ïðèE ñòðîþ vrh @ßïîíiÿAF Íèæ÷å ïîäàíî ïåðåëiê ðåçóëüòàòiâD ùî ìàþòü ïðàE êòè÷íå çíà÷åííÿF

18

Ïîáóäîâàíà òåîðiÿ çáóäæåííÿ àëüôâåíîâèõ íåñòiéêîñòåé ïëàçìè ãðàäiE ¹íòîì iîííî¨ òåìïåðàòóðè çíàéøëà çàñòîñóâàííÿ äëÿ iíòåðïðåòàöi¨ îäíîãî ç ïåðøèõ åêñïåðèìåíòiâ íà ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆF ÏîêàçàíîD ùî ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîê ó ñòåëàðàòîE ðàõ òèïó ‡endelstein òà ðåàêòîðiEñòåëàðàòîði reli—s ¹ ó êiëüêà ðàçiâ ñèëüE íiøîþD íiæ ïåðåäáà÷àëîñÿ ðàíiøåD çàâäÿêè ñòâîðþâàíié ìàãíiòíèì ïîëåì àñèìåòði¨ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ÷àñòèíêàìè iç ïðîòèëåæíèìè çíàêàìè ïîçäîâæíüî¨ øâèäêîñòiF Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîñëàáëåííÿ íåãàòèâíîãî âïëèâó ñòîõàñòè÷íî¨ äèE ôóçi¨ íà óòðèìàííÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâ øëÿõîì çàìèêàííÿ ñåïàðàòðèñ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè òà ëîêàëüíî çàõîïëåíèìè îðáiòàìè âñåðåäèíi ïëàçìèF Ïîêàçàíî ìîæëèâiñòü âèêîðèñòàííÿ âiä9¹ìíîãî ðàäiàëüíîãî åëåêòðè÷íîE ãî ïîëÿ äëÿ ïîëiïøåííÿ óòðèìàííÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ íàäòåïëîâèõ iîE íiâF ÐåçóëüòàòèD îòðèìàíi â äèñåðòàöi¨D ìîæóòü áóòå âèêîðèñòàíi â äîñëiE äæåííÿõD ùî ïðîâîäÿòüñÿ ó ÍÖ Õàðêiâñüêèé ôiçèêîEòåõíi÷íèé iíñòèòóò ÍÀÍ Óêðà¨íèD síñòèòóòi ÿäåðíèõ äîñëiäæåíü ÍÀÍ Óêðà¨íèD síñòèòóòi òåE îðåòè÷íî¨ ôiçèêè iìF ÌFÌF Áîãîëþáîâà ÍÀÍ Óêðà¨íèD Õàðêiâñüêîìó íàE öiîíàëüíîìó óíiâåðñèòåòi iìF ÂF ÍF ÊàðàçiíàF Âîíè òàêîæ ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàíèìè ó síñòèòóòi ôiçèêè ïëàçìè Ìàêñà Ïëàíêà @Íiìå÷÷èíàA òà Íàöiîíàëüíîìó iíñòèòóòi òåðìîÿäåðíèõ äîñëiäæåíü @ßïîíiÿAF
Îñîáèñòèé âíåñîê çäîáóâà÷à.

×àñòèíó ðîáiòD ïîêëàäåíèõ â îñíîâó

äèñåðòàöi¨D âèêîíàíî â ñïiâàâòîðñòâiF Êîíêðåòíèé îñîáèñòèé âíåñîê çäîE áóâà÷à ¹ òàêèìF Ðîáîòà ‘Q“ âèêîíàíà çäîáóâà÷åì îäíîîñiáíîF  ðîáîòi ‘R“ çäîáóâà÷åì âèêîíàíî âñi âèêëàäêè i âèâåäåííÿ àäiàáàòè÷íèõ iíâàðiàíòiâ ïðîëiòíèõ i çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîêD à òàêîæ íàïèñàíà ÷àñòèíà òåêñòóF  ðîáîE òi ‘S“ çäîáóâà÷åâi íàëåæàòü âèâåäåííÿ óñåðåäíåíèõ ðiâíÿíü ðóõó ÷àñòèíîêD ÷èñëîâi ðîçðàõóíêè ëiíié ðiâíÿ ïîçäîâæíüîãî àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòó òà

19

âïëèâó åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íà îðáiòè ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîêF  ðîE áîòi ‘T“ çäîáóâà÷åâi íàëåæèòü iäåÿ òà îöiíêè ïîëiïøåííÿ óòðèìàííÿ ïåðåE õiäíèõ ÷àñòèíîê çà ðàõóíîê çàìêíåííÿ ñåïàðàòðèñè âñåðåäèíi ïëàçìèF  ðîáîòàõ ‘UD VD W“ çäîáóâà÷åâi íàëåæèòü ñòâîðåííÿ ÷èñëîâèõ êîäiâ òà âèêîíàE ííÿ âñiõ ÷èñëîâèõ ðîçðàõóíêiâ iíêðåìåíòiâGäåêðåìåíòiâ òà ïîòîêiâ åíåðãi¨ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿD à òàêîæ ó÷àñòü ó âèâåäåííi ðiâíÿíü òà íàïèñàííi òåêñòóF
Àïðîáàöiÿ ìàòåðiàëiâ äèñåðòàöi¨.

Ðåçóëüòàòè äèñåðòàöi¨ äîïîâiäE

àëèñÿ íà ISEié Ìiæíàðîäíié ñòåëàðàòîðíié êîíôåðåíöi¨ @ÌàäðèäD sñïàíiÿD PHHSAD QPEié Êîíôåðåíöi¨ ™ÔÒ ç ôiçèêè ïëàçìè @ÒàðàãîíàD sñïàíiÿD PHHSAD IQEìó Ìiæíàðîäíîìó êîíãðåñi ç ôiçèêè ïëàçìè @Êè¨âD PHHTAD IHEié @Êëîñòåð ÇåîíD Íiìå÷÷èíàD PHHUAD IIEié @Êè¨âD PHHWA òà ISEié @ÏðèíñòîíD ÑØÀD PHIUA Òåõíi÷íèõ êîíôåðåíöiÿõ ÌÀÃÀÒÅ ç åíåðãiéíèõ ÷àñòèíîê ó ñèñòåìàõ ìàE ãíiòíîãî óòðèìàííÿD Ìiæíàðîäíié êîíôåðåíöi¨ òà øêîëi ç ôiçèêè ïëàçìè òà êåðîâàíîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçó @ÕàðêiâD PHIVAD à òàêîæ íà ùîði÷íèõ íàóêîâèõ êîíôåðåíöiÿõ sßÄ ó PHHTD PHHUD PHIU òà PHIV ððF
Ïóáëiêàöi¨.

Êðiì II ïóáëiêàöié â òåçàõ íàâåäåíèõ âèùå êîíôåðåíöiéD

êîíãðåñiâ òà íàðàäD ðåçóëüòàòè äèñåðòàöi¨ îïóáëiêîâàíi ó U ñòàòòÿõ ó ôàõîE âèõ æóðíàëàõD ùî âiäïîâiäàþòü ïåðåëiêàì ÂÀÊ òà âêëþ÷åíi â íàóêîìåòðèE ÷íi áàçè ƒ™opus i ‡e˜ of ƒ™ien™eF Íàâåäåíi ïóáëiêàöi¨ ïîâíî âiäîáðàæàþòü çìiñò äèñåðòàöi¨F
Ñòðóêòóðà òà îáñÿã äèñåðòàöi¨.

Äèñåðòàöiÿ ñêëàäà¹òüñÿ çi âñòóïóD

òðüîõ ðîçäiëiâD âèñíîâêiâ òà ñïèñêó ëiòåðàòóðèF Ïîâíèé îáñÿã äèñåðòàöi¨ ñêëàä๠ISW ñòîðiíîê i IU ðèñóíêiâD ðîçìiùåíèõ íà öèõ ñòîðiíêàõF Ñïèñîê âèêîðèñòàíèõ ëiòåðàòóðíèõ äæåðåë íàëi÷ó¹ WP íàéìåíóâàííÿ íà IH ñòîðiíE êàõF
Ïîäÿêè.

Àâòîð ùèðî âäÿ÷íèé íàóêîâîìó êåðiâíèêîâi ! ïðîôåñîðóD

äîêòîðó ôiçèêîEìàòåìàòè÷íèõ íàóê ßFsF Êîëåñíè÷åíêó ! çà âñåái÷íó ïiäE

20

òðèìêó òà ïîâñÿê÷àñíó óâàãó äî ðîáîòèF Àâòîð òàêîæ ùèðî äÿêó¹ ñïiâàâE òîðàìD ç ÿêèìè áóëî âèêîíàíî ÷àñòèíó ðîáiòD ùî ââiéøëè äî äèñåðòàöi¨D îñîáëèâî äîêòîðàì ôiçèêîEìàòåìàòè÷íèõ íàóê ÂFÂF Ëóöåíêó òà ÞFÂF ßêîE âåíêóD òà ñïiâðîáiòíèêàì âiääiëó òåîði¨ ÿäåðíîãî ñèíòåçó síñòèòóòó ÿäåðíèõ äîñëiäæåíü @Êè¨âA çà êîðèñíi äèñêóñi¨F

21

ÐÎÇÄsË I
ÁÅÇÇIÒÊÍÅÍ͙ÂÈÉ ÒÐÀÍÑÏÎÐÒ ÍÀÄÒÅÏËÎÂÈÕ IÎÍIÂ Ó ÑÒÅËÀÐÀÒÎÐÀÕ

1.1. Àäiàáàòè÷íi iíâàðiàíòè ó àêñiàëüíî-íåñèìåòðè÷íîìó ìàãíiòíîìó ïîëi

1.1.1. Âñòóï.

Îäíi¹þ ç íàéâàæëèâiøèõ çàäà÷ äëÿ ñòâîðåííÿ ðåàêòîðE

íèõ ñèñòåì íà áàçi ñòåëàðàòîðiâ ¹ àíàëiç ðóõó øâèäêèõ @íàäòåïëîâèõA iîíiâ ó ïðèñòðî¨ òà çàáåçïå÷åííÿ ïîòðiáíèõ âëàñòèâîñòåé öüîãî ðóõóF Øâèäêi iîíè óòâîðþþòüñÿ â òåðìîÿäåðíèõ ïðèñòðîÿõ ïðè íàãðiâàííi ïëàçìè iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ òà âèñîêî÷àñòîòíèìè ïîëÿìèD à òàêîæ ¹ ïðîäóêòàìè òåðìîÿäåðíèõ ðåàêöiéF Ïàðàìåòðè ïëàçìè ó íàéáiëüøèõ ñó÷àñíèõ ñòåëàE ðàòîðàõ @à òàêîæ ó ìàéáóòíiõ ðåàêòîðàõA ¹ òàêèìèD ùî ïðè ðîçãëÿäi ðóõó øâèäêèõ iîíiâ ó áàãàòüîõ âèïàäêàõ ìîæíà íåõòóâàòè çiòêíåííÿìè é ââàæàE òè éîãî ãàìiëüòîíîâèìF ÏðîòåD ÷åðåç ñêëàäíó ãåîìåòðiþ ñòåëàðàòîðà ðóõ çàðÿäæåíèõ ÷àñòèíîê ó òàêîìó ïðèñòðî¨ ¹ äóæå ñêëàäíèì iD âçàãàëi êàæóE ÷èD íå iíòåãðó¹òüñÿF Åôåêòèâíèì ñïîñîáîì àíàëiçó ãàìiëüòîíîâèõ ñèñòåì ¹ çàñòîñóâàííÿ àäiE àáàòè÷íèõ iíâàðiàíòiâF ßê äîáðå âiäîìî ‘IH“D iñíóâàííÿ àäiàáàòè÷íîãî iíâàE ðiàíòó ñèñòåìè ïîâ9ÿçàíå ç íàáëèæåíîþ ïåðiîäè÷íiñòþ ¨¨ ðóõóD ÿêà ìîæå iíòåðïðåòóâàòèñÿ ÿê íàÿâíiñòü ó ñèñòåìi íàáëèæåíî¨ ñèìåòði¨F ÇîêðåìàD ðóõ ÷àñòèíîêD çàõîïëåíèõ ó ëîêàëüíèõ ìiíiìóìàõ ìàãíiòíîãî ïîëÿ ñòåëàðàòîðà @ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîêA îïèñó¹òüñÿ äîáðå âiäîìèì ïîçäîâæíiì àäiàáàòè÷íèì iíâàðiàíòîì

I =

1 2π

ds M v ,

@IFIA

22

äå ds " åëåìåíò äîâæèíèD M " ìàñà ÷àñòèèíêèD v " ¨¨ ïîçäîâæíÿ øâèäE êiñòüD à iíòåãðàë áåðåòüñÿ âçäîâæ ñèëîâî¨ ëiíi¨ ïîìiæ òî÷êàìè âiäáèòòÿ ÷àñòèíêè @öåé iíâàðiàíò áóëî âïåðøå çàïðîïîíîâàíî íå ó çâ9ÿçêó çi ñòåëàE ðàòîðíèìè äîñëiäæåííÿìèD äèâF ‘II“AF ÎòæåD íàáëèæåíèì öèêëîì ðóõó ñèE ñòåìè ó öüîìó âèïàäêó ¹ ðóõ ÷àñòèíêè âçäîâæ ñèëîâî¨ ëiíi¨ ïîìiæ òî÷êàìè âiäáèòòÿ @áàóíñEðóõAD à óìîâîþ çàñòîñîâíîñòi öüîãî iíâàðiàíòó ¹ ìàëiñòü âiäõèëåííÿ ÷àñòèíêè âiä ñèëîâî¨ ëiíi¨ çà îäèí áàóíñEïåðiîäD ùî íàêëàä๠ïåâíå îáìåæåííÿ íà åíåðãiþ ÷àñòèíêèF síøèé àäiàáàòè÷íèé iíâàðiàíò ðóõó ÷àñòèíîê ó ñòåëàðàòîðàõD ÿêèé ¹ ïðèäàòíèì òàêîæ äëÿ ëîêàëüíî ïðîëiE òíèõ ÷àñòèíîê @òîáòîD ÷àñòèíîêD ùî ìàþòü äîñòàòíüî âåëèêó ïîçäîâæíþ øâèäêiñòüD ùîá ïðîõîäèòè ëîêàëüíi ìàêñèìóìè ìàãíiòíîãî ïîëÿ íà ïåâíié äiëüíèöi òðàåêòîði¨A áóëî çàïðîïîíîâàíî ⠑IP“X

I∗ =

1 2π

dϕ M v

Bϕ e −σ ψp , B cN

@IFPA

äå e " çàðÿä ÷àñòèíêèD ϕ " òîðî¨äàëüíà êîîðäèíàòàD B " ìàãíiòíà iíäóE êöiÿD Bϕ " ¨¨ òîðî¨äàëüíà êîâàðiàíòíà êîìïîíåíòàD N " êiëüêiñòü ïåðiîäiâ ñòåëàðàòîðàD ψp " ïîëî¨äàëüíèé ìàãíiòíèé ïîòiêD σ = sgn(v ) äëÿ ïðîE ëiòíèõ ÷àñòèíîê òà σ = 0 " äëÿ çàõîïëåíèõF Íàáëèæåíèì öèêëîì ðóõóD âçäîâæ ÿêîãî âèêîíó¹òüñÿ iíòåãðóâàííÿ â iíâàðiàíòi @IFPAD ¹ âiäðiçîê ëiíi¨

ϑ = ™onst @äå ϑ " ïîëî¨äàëüíà êîîðäèíàòàA íà ìàãíiòíié ïîâåðõíiY äîâæèE
íà öüîãî âiäðiçêó ñêëàä๠îäèí ïåðiîä ïðèñòðîþ äëÿ ïðîëiòíî¨ ÷àñòèíêè òà âiäñòàíü ìiæ òî÷êàìè âiäáèòòÿ " äëÿ çàõîïëåíî¨F Öå îçíà÷à¹D ùîD íà äîäàòîê äî ìàëîñòi äðåéôîâîãî âiäõèëåííÿ âiä ñèëîâî¨ ëiíi¨D óìîâîþ çàE ñòîñîâíîñòi iíâàðiàíòà @IFPA ¹ ìàëiñòü âiäõèëåííÿ ÷àñòèíêè ïî ϑ íà îäíîìó ïåðiîäi ñòåëàðàòîðàD çâiäêè âèïëèâà¹D ùî ι/N ðåòâîðåííÿF Ìåòîþ öüîãî ïiäðîçäiëó ¹ îòðèìàííÿ iíøèõ iíâàðiàíòiâ äðåéôîâîãî ðóE õó çàðÿäæåíèõ ÷àñòèíîê ó ñòåëàðàòîðiF Íà âiäìiíó âiä iíâàðiàíòiâ @IFIA òà @IFPAD ïðè âèâåäåííi íîâèõ iíâàðiàíòiâ ó ÿêîñòi íàáëèæåííîãî öèêëó áåðåE

1D äå ι " îáåðòàëüíå ïåE

23

òüñÿ äâîâèìiðíèé ìíîãîâèä ó ôàçîâîìó ïðîñòîði " äðåéôîâà ïîâåðõíÿD íà ÿêié ëåæàòü òðàåêòîði¨ ðóõó ÷àñòèíêè ó ñïðîùåíîìó ñèìåòðè÷íîìó ìàãíiE òíîìó ïîëiF Ïiñëÿ öüîãî ðiçíèöÿ ìiæ ñïðàâæíiì òà ñïðîùåíèì ìàãíiòíèìè ïîëÿìè ðîçãëÿäà¹òüñÿ ÿê çáóðåííÿD i çíàõîäÿòüñÿ ïîïðàâêè äî êîîðäèíàòD ÿêi âiäíîâëþþòü ñèìåòðiþ ñèñòåìè ó çáóðåíîìó ïîëiF Òàêèì ÷èíîì áóäå îòðèìàíî iíâàðiàíòè ðóõóD ùî ïîâ9ÿçàíi ç öi¹þ ñèìåòði¹þF ×èííèêèD ùî ìîæóòü ïîðóøóâàòè àäiàáàòè÷íiñòü ðóõó òà îáìåæóâàòè çàñòîñîâíiñòü öèõ iíâàðiàíòiâD áóäóòü îáãîâîðåíi íèæ÷åF Ïåðåâàãîþ íîâèõ iíâàðiàíòiâ ¹ âiäñóE òíiñòü çãàäàíèõ îáìåæåíü íà åíåðãiþ ÷àñòèíîê òà ιF Äî òîãî æD íà âiäìiíó âiä iíâàðiàíòiâ @IFIA òà @IFPAD ÿêi õàðàêòåðèçóþòü áàóíñEóñåðåäíåíèé ðóõ ÷àñòèíîêD íîâi iíâàðiàíòè âðàõîâóþòü òàêîæ äðåéôîâèé ðóõ ÷àñòèíêè â ìåæàõ îäíîãî áàóíñEêîëèâàííÿF Îñòàíí¹ ¹ âàæëèâèìD çîêðåìàD äëÿ àíàëiçó çáóäæåííÿ ÷àñòèíêàìè àëüôâåíîâèõ íåñòiéêîñòåéF Äëÿ îá÷èñëåíü áóäå âèêîðèñòàíî âàðiàíò ãàìiëüòîíîâî¨ òåîði¨ çáóðåíüD âèêëàäåíèì Ëèòëäæîíîì ó ‘IQD IR“F Ëèòëäæîí ôîðìàëüíî îïèñó¹ ãàìiëüE òîíîâó ñèñòåìó çà äîïîìîãîþ ëiíiéíîãî ïî ïîõiäíèì ëàãðàíæiàíà ó ôàçîE âîìó ïðîñòîðiD â ÿêîìó óçàãàëüíåíi êîîðäèíàòè òà iìïóëüñè ââàæàþòüñÿ íåçàëåæíèìè çìiííèìè i âàðiþþòüñÿ îêðåìîF Ïðè öüîìó ðiâíÿííÿ ÅéëåðàE Ëàãðàíæà äëÿ öüîãî ëàãðàíæiàíà äàþòü ðiâíÿííÿ ÃàìiëüòîíàF Ïåðåâàãà òàêîãî ïiäõîäó ïîëÿã๠ó òîìóD ùî âií ä๠çìîãó ïðàöþâàòè â íåêàíîíi÷íèõ çìiííèõF Öå äóæå çðó÷íî â äàíîìó âèïàäêóD îñêiëüêè çáóðåííÿ ìàãíiòíîE ãî ïîëÿ çìiíþ¹ ñèìïëåêòè÷íó ñòðóêòóðó ôàçîâîãî ïðîñòîðóD òîáòî êàíîE íi÷íi çìiííi çáóðåíî¨ ñèñòåìèD âçàãàëi êàæó÷èD íå ¹ êàíîíi÷íèìè çìiííèìè íåçáóðåíî¨ é íàâïàêèF Íàñëiäóþ÷è Àðíîëüäà ‘IS“ òà Ëèòëäæîíà ‘IR“D äëÿ îá÷èñëåíü áóäå âèêîðèñòàíî äèôåðåíöiàëüíîEãåîìåòðè÷íèé ôîðìàëiçìD àëå îñíîâíi ðåçóëüòàòè áóäóòü ïðåäñòàâëåíi â êîîðäèíàòíié ôîðìiF Ó öüîìó ïiäðîçäiëi ðîçãëÿä îáìåæó¹òüñÿ äâîìà âèïàäêàìèX ÷àñòèíîêD ùî â ñâî¹ìó ðóñi çàâæäè çàëèøàþòüñÿ ïðîëiòíèìèD òà ÷àñòèíîêD ùî çàâæäè çàëèøàþòüñÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèìè @äèâFD íàïðèêëàäD îáãîâîðåííÿ òèïiâ

24

îðáiò ÷àñòèíîê ó ñòåëàðàòîði â ðîáîòi ‘IT“AF Ïåðåõiäíi ÷àñòèíêèD òîáòî ÷àE ñòèíêèD ùî ïåðåõîäÿòü ç ëîêàëüíî ïðîëiòíîãî ñòàíó äî ëîêàëüíî çàõîïëåE íîãî é íàâïàêèD òóò íå ðîçãëÿäàþòüñÿF Ñòðóêòóðà ïiäðîçäiëó ¹ òàêîþF Ó ïóíêòi IFIFP ââîäèòüñÿ ìîäåëüD ùî âèE êîðèñòóâó¹òüñÿ â ðîáîòi äëÿ îïèñó ìàãíiòíîãî ïîëÿ ñòåëàðàòîðà òà äðåéôîE âîãî ðóõó çàðÿäæåíî¨ ÷àñòèíêèF Ðóõ ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê âèâ÷à¹òüñÿ ó ïóíE êòi IFIFQD ðóõ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ " ó ïóíêòi IFIFRF Ó ïóíêòi IFIFS íàâåäåíî ãðîìiçäêi âèðàçè äëÿ êóòîâîãî ðóõó ÷àñòèíêèD ÿêi ìîæóòü áóòè êîðèñíèìè äëÿ îá÷èñëåííÿ ðåçîíàíñiâ ÷àñòèíîê iç õâèëÿìèF Ïóíêò IFIFT ìiñòèòü îáãîE âîðåííÿ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâD âêëþ÷àþ÷è îáìåæåííÿ íà ¨õ çàñòîñîâíiñòü òà ïîðiâíÿííÿ ç ïîïåðåäíiìèF
1.1.2. Ìîäåëü ìàãíiòíîãî ïîëÿ.

Íàäàëi ïðèïóñêàòèìåòüñÿD ùî êîíE

ôiãóðàöiÿ ì๠âêëàäåíi ìàãíiòíi ïîâåðõíiF Öå äîçâîëÿ¹ âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ îïèñó ðóõó ÷àñòèíêè òàê çâàíi áóçåðîâi @ìàãíiòíiA êîîðäèíàòè (X ψ ,

X ϑ , X ϕ ) = (ψ, ϑ, ϕ)D äå ψ " ìiòêà ìàãíiòíî¨ ïîâåðõíi @òîðî¨äàëüíèé ìàãíiE
òíèé ïîòiêD îõîïëåíèé ïîâåðõíåþD ïîäiëåíèé íà 2π AD à ϑ òà ϕ " âiäïîâiäE íî ïîëî¨äàëüíà òà òîðî¨äàëüíà êóòîâi çìiííi ‘IU“F Êóòîâi çìiííi âèáèðàþE òüñÿ òàêèì ÷èíîìD ùîá ñèëîâi ëiíi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ áóëè ïðÿìèìè @òîáòî

dϑ/dϕ = ι(ψ )AD à iíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ ìàëà âèãëÿä
B

1 ι(ψ ) = √ eϕ + √ eϑ = Bψ (ψ, ϑ, ϕ)∇ψ + Bϑ (ψ )∇ϑ + Bϕ (ψ )∇ϕ, g g
ei D

@IFQA

äå g " âèçíà÷íèê ìåòðè÷íîãî òåíçîðàD íèæíi iíäåêñè ïîçíà÷àþòü âiäïîâiäíi êîâàðiàíòíi êîìïîíåíòèD à

i = ψ, ϑ, ϕD " êîâàðiàíòíi áàçîâi âåêòîðèF Ó

áóçåðîâèõ êîîðäèíàòàõ âåêòîðíèé ïîòåíöiàë ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi

Aψ = 0, Aϑ = ψ,
ψ

@IFRA

Aϕ = −ψp = −

ιdψ.
0

25

Ñëiä çàçíà÷èòèD ùî õî÷à âèêîðèñòàííÿ áóçåðîâèõ êîîðäèíàò ïåðåäáà÷๠iñíóâàííÿ âêëàäåíèõ ìàãíiòíèõ ïîâåðõîíüD ó äiéñíîñòi àñèìåòðiÿ ìàãíiòíîE ãî ïîëÿ ïðèâîäèòü äî ðîçïàäó ÷àñòèíè ðàöiîíàëüíèõ ïîâåðõîíü @ïîâåðõîíü ç ðàöiîíàëüíèì ιA i óòâîðåííÿ ìàãíiòíèõ îñòðîâiâF Àëå îñêiëüêè äëÿ äîñòàE òíüî äîáðîãî óòðèìàííÿ ïëàçìè øèðèíà çîí ðîçïàäó ïîâèííà áóòè ìàëîþD çàñòîñóâàííÿ áóçåðîâèõ êîîðäèíàò äëÿ ïðàêòè÷íî âàæëèâèõ êîíôiãóðàöié ¹ äîñòàòíüî îáãðóíòîâàíèìF ÏðèïóùåííÿD ùî öèêëîòðîííà ÷àñòîòà íàáàãàòî áiëüøà çà âñi iíøi õàE ðàêòåðíi ÷àñòîòè â ñèñòåìiD äîçâîëÿ¹ ñêîðèñòàòèñÿ íàáëèæåííÿì âåäó÷îãî öåíòðóF Äëÿ âèáðàíîãî êîìáiíîâàíîãî ãàìiëüòîíîâîEëàãðàíæåâîãî ôîðìàëiE çìó íàéêðàùå ïiäõîäèòü âàðiàíò òåîði¨ âåäó÷îãî öåíòðóD âèêëàäåíèé ó ‘IQ“D áî â íüîìó â êîæíîìó ïîðÿäêó òåîði¨ çáóðåíü ñèñòåìà ¹ ãàìiëüòîíîâîþD à äèE íàìi÷íi çìiííi çàäîâîëüíÿþòü ñïiââiäíîøåííÿì íà çðàçîê µ = M v⊥ 2 /(2B ) ïîðÿäêó çà äðåéôàìè çàäà¹òüñÿ ðiâíÿííÿì ó âñiõ ïîðÿäêàõ ïî çáóðåííþF Ëàãðàíæiàí âåäó÷îãî öåíòðó @Lgc A äî ïåðøîãî

Lgc =

e ˙ − E + M c µΘ ˙ + Mv A·X c e B

B

˙, ·X

@IFSA

äå X = (X ψ , X ϑ , X ϕ )Y êiíåòè÷íà åíåðãiÿ E D ìàãíiòíèé ìîìåíò µ òà ãiðîôàçà " ïîçäîâæíÿ øâèäêiñòüY M òà e " ìàñà òà çàðÿä ÷àñòèíêèF Îñòàííié ÷ëåí ó öüîìó âèðàçi âiäïîâiä๠çà äðåéôè ïåðøîãî ïîðÿäêóF Âèðàç @IFSA ì๠ïðîñòó ôîðìóD àëå âæèâ๠íåêàíîíi÷íi êîîðäèíàòè i íåE çðó÷íèé äëÿ çàñòîñóâàííÿ çâè÷àéíèõ ìåòîäiâ ãàìiëüòîíîâî¨ ìåõàíiêèF ÒîE ìó â öüîìó òà íàñòóïíîìó ïiäðîçäiëàõD ñëiäóþ÷è Ëèòëäæîíó ‘IR“D çàñòîE ñîâóâàòèìåòüñÿ ôîðìàëiçìD ó ÿêîìó çðó÷íî ïðàöþâàòè ç íåêàíîíi÷íèìè êîîðäèíàòàìèD à ñàìå ôîðìàëiçì (2n + 1)Eâèìiðíîãî ðîçøèðåíîãî ôàçîâîE ãî ïðîñòîðó @äèâFD íàïðFD ‘IS“D ÷F WAF Ó öüîìó ôîðìàëiçìi ìåõàíi÷íà ñèñòåE ìà îïèñó¹òüñÿ äèôåðåíöiéíîþ IEôîðìîþ γ D ÿêà äi¹ íà ðîçøèðåíîìó ôàE çîâîìó ïðîñòîðiF Öÿ ôîðìà íàçèâà¹òüñÿ ôóíäàìåíòàëüíîþ IEôîðìîþ àáî

Θ ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê êîîðäèíàòè ó ôàçîâîìó ïðîñòîðiY v = ± (2/M )(E − µB )

26

iíòåãðàëüíèì iíâàðiàíòîì ÏóàíêàðåEÊàðòàíàF Òðàåêòîði¨ ÷àñòèíîê ìîæíà çíàéòèD âàðiþþ÷è

γ D àáîD ùî òå æ ñàìåD îá÷èëèâøè ëiíi¨ âèõîðó γ D òîáE

òî iíòåãðàëüíi êðèâi íóëüîâîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ Z çîâíiøíüî¨ ïîõiäíî¨ dγ D ÿêå çàäîâîëüíÿ¹ dγ (Z ) = 0F Ó êàíîíi÷íèõ êîîðäèíàòàõ (p, q, t)D γ íàáóâ๠ñòàíäàðòíîãî âèäó γ = p · dq − H (p, q, t)dtD äå H ! ãàìiëüòîíiàí ñèñòåìèD à íóëüîâå âåêòîðíå ïîëå Z çâîäèòüñÿ äî ðiâíÿíü ÃàìiëüòîíàF Îäíi¹þ ç ïåE íåêàíîíi÷íèìèD à ÷àñ íå ¹D âçàãàëi êàæó÷èD âèäiëåíîþ çìiííîþF Ó âèïàäêó ðóõó âåäó÷îãî öåíòðóD ðîçøèðåíèé ôàçîâèé ïðîñòið ! öå ðåâàã öüîãî ïiäõîäó ¹ òåD ùî êîîðäèíàòè ó ôàçîâîìó ïðîñòîði ìîæóòü áóòè

(X, µ, Θ, E , t)D à ôóíäàìåíòàëüíà IEôîðìà γ ≡ Lgc dt = Mv Mc e A · dX − E dt + µdΘ + c e B
B

· dX.

@IFTA

Ìàþ÷è íà óâàçi çàñòîñóâàííÿ òåîði¨ çáóðåíüD B áóäå ðîçäiëåíî íà äâi ÷àñòèíèX ÷àñòèíó B0 D ùî ì๠ïåâíó ñèìåòðiþ ó áóçåðîâèõ êîîðäèíàòàõ i ðîãëÿäàòèìåòüñÿ ÿê íåçáóðåíå ïîëåD òà çáóðåííÿ B = B − B0 F Ïðè öüîE ìó ââàæàòèìåòüñÿD ùî ÷ëåí ëàãðàíæåâî¨ ôîðìè @IFTAD ÿêèé ìiñòèòü Bψ D ¹ ìàëèì i ìîæå òåæ ðîçãëÿäàòèñÿ ÿê çáóðåííÿF Òîäi ôîðìà @IFTA ðîçêëàäàE ¹òüñÿ íà ÷àñòèíóD ùî îïèñó¹ iíòåãðîâíó ñèñòåìóD òà ÷àñòèíóD ùî ïîðóøó¹ ñèìåòðiþ @çáóðåííÿAF Çâàæàþ÷è íà ðiçíèé õàðàêòåð ðóõó ïðîëiòíèõ òà çàE õîïëåíèõ ÷àñòèíîêD â öèõ äâîõ âèïàäêàõ òàêå ðîçáèòòÿ ñëiä âèêîíóâàòè ïîEðiçíîìóF Îñêiëüêè íàäàëi ïîâíà âåëè÷èíà B íå çíàäîáèòüñÿD iíäåêñ 0 îïóñêàE òèìåòüñÿD à â v D ωB i òFïF ïiä B ðîçóìiòèìåòüñÿ íåçáóðåíà ÷àñòèíà B0 F Íàäàëi ââàæàòèìåòüñÿD ùî çàäîâiëüíÿþòüñÿ íåðiâíîñòi

∆ dι ι dψ

1;

∆ dB B dψ

1;

Bψ ∆

Bϑ , Bϕ ,

@IFUA

äå ∆ " õàðàêòåðíà çìiíà ψ íà îðáiòi ÷àñòèíêèF ÇîêðåìàD â îïòèìiçîâàE íèõ ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelsteinD äå øèð ìàãíiòíîãî ïîëÿ ¹ äóæå ìàëèìD

27

(ψa /ι)dι/dψ

1 @ψa " ψ íà ãðàíèöi ïëàçìèAD öi ñïiââiäíîøåííÿ âèêîíóþE

òüñÿ íàâiòü äëÿ äóæå øèðîêèõ îðáiò @∆ ∼ ψa AF
1.1.3. Iíâàðiàíòè ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê.

Ó öüîìó ïóíêòi ðîçãëÿäàE

òèìóòüñÿ ïðîëiòíi ÷àñòèíêèF Äëÿ íèõ æîäíà ç ãàðìîíiê íå ¹ äîñòàòíüî âåE ëèêîþD ùîá ïðèâåñòè äî îáìåæåííÿ ðóõóD òîìó âñi ãàðìîíiêèD ùî çàëåæàòü

¯ D äå B ¯ " âiä êóòîâèõ çìiííèõD ðîçãëÿäàòèìóòüñÿ ÿê çáóðåííÿF Òîäi B = B
ñåðåäíÿ âåëè÷èíà ìàãíiòíîãî ïîëÿ íà îñiF Âèäiëÿþ÷è ç ïîâíîãî ëàãðàíæiE àíó @IFTA ÷àñòèíó íóëüîâîãî ïîðÿäêó çà çáóðåííÿì ìàãíiòíîãî ïîëÿD

Mv Mc e µdΘ + (Bϑ dX ϑ + Bϕ dX ϕ ), γ = (X ψ dX ϑ − I dX ϕ ) − E dt + c e B
äå I ≡
ψ 0

ιdψ F
Mv B

Ëåãêî ïîáà÷èòèD ùî öåé ëàãðàíæiàí âæå ïðèâåäåíèé äî çìiííèõ äiÿEêóòD

ψ ïðè÷îìó äiÿìè ¹ e cX +

ϑD ϕ òà ΘF Íàäàëi åâîëþöiÿ ãiðîôàçè íå çíàäîáèòüñÿD òîìó ìîæíà ââàæàòè
ìàãíiòíèé ìîìåíò òàêîþ æ çàäàíîþ âåëè÷èíîþD ÿê i E F Ïîçíà÷èâøè äi¨ ÷åðåç Iϑ òà Iϕ D ëàãðàíæiàí íàáóäå âèãëÿäó

Bϑ D − e cI +

Mv B

Bϕ òà µD à ñïðÿæåíèìè êóòàìè "

γ = Iϑ dX ϑ + Iϕ dX ϕ − E dt
ðåíîãî ëàãðàíæiàíà γ òà çáóðåííÿ

@IFVA

Ïîòðiáíî çíàéòè òàêå ïåðåòâîðåííÿ êîîðäèíàòD ÿêå ïðèâåëî á ñóìó íåçáóE

γ=

Mv B

Bψ dX ψ −

B 2E − µB (Bϑ dX ϑ + Bϕ dX ϕ ) B 2E − 2µB

@IFWA

äî âèãëÿäóD ÿêèé áè ñõîäèâñÿ ç íåçáóðåíèì ëàãðàíæiàíîìF ßê âêàçàíî ⠑IR“D âåêòîðíå ïîëå ðiâíÿííÿ
HD

ùî ¹ ãåíåðàòîðîì òàêîãî ïåðåòâîðåííÿD ìîæíà çíàéòè ç

γ = γ + γ + dγ (H) − dS,
òåîði¨ çáóðåíüAF

@IFIHA

äå S " íåâiäîìèé ñêàëÿð @àíàëîã òâiðíî¨ ôóíêöi¨ êàíîíi÷íî¨ ãàìiëüòîíîâî¨

28

Øóêàþ÷è ïîòðiáíå ïåðåòâîðåííÿD ìîæíà îáìåæèòèñü ïåðåòâîðåííÿìèD ÿêi ñòîñóâàòèìóòüñÿ ëèøå ïðîñòîðîâèõ êîîðäèíàòF Öå îäðàçó äàñòü îðáiòè ÷àñòèíîê ó çáóðåíîìó ïîëiX âèïðàâëåíi íà çáóðåííÿ êîîðäèíàòíi ôóíêöi¨ ó ôàçîâîìó ïðîñòîði çíàõîäÿòüñÿ ç ðiâíÿííÿ

X1i = Xi + H(Xi ).

@IFIIA

÷åðåç íåçáóðåíi êîîðäèíàòèF Òîìó ó çáóðåíîìó ïîëi çàìiñòü iíòåãðàëà ðóõó

˜ = ψ + H ψ F Ïðîñòèé ðîçðàõóíîê ä๠ψ iíòåãðàëîì áóäå ôóíêöiÿ ψ ˜ = ψ + v 2E − µB ψ ωB 2E − 2µB Bmn mBϕ + nBϑ imϑ−inϕ e . B mι − n
@IFIPA

m,n

Ïîïðàâêè äî êóòiâD H ϕ òà H ϑ D òàêîæ ìîæíà çíàéòè ç @IFIHAF Îñêiëüêè êàE íîíi÷íi êóòè ëiíiéíî çìiíþþòüñÿ ç ÷àñîì ïðè ðóñi ÷àñòèíêèD öi ïîïðàâêè äàþòü çìîãó îïèñàòè ÷àñîâó çìiíó áóçåðîâèõ êóòiâ i ¹ âàæëèâèìè äëÿ âèE çíà÷åííÿ ðåçîíàíñiâ ÷àñòèíêè ç õâèëÿìèF Îñêiëüêè îòðèìàíi âèðàçè äëÿ

H ϕ òà H ϑ ¹ äîñèòü ãðîìiçäêèìèD âîíè íàâåäåíi îêðåìî â ïóíêòi IFIFSF
1.1.4. Iíâàðiàíòè çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê.

Íåõàé òåïåð ÷àñòèíêà çàE

n0 ϕ)F Öþ ãàðìîíiêó íå ìîæíà ââàæàòè çáóðåííÿìD áî âîíà âèçíà÷๠ñòðóE

õîïëåíà â ìàãíiòíié ÿìi íà ïåâíié ãàðìîíiöi ìàãíiòíîãî ïîëÿ B∗ = Bm0 n0 cos(m0 ϑ−

êòóðó ôàçîâîãî ïðîñòîðóF Çðó÷íî âíåñòè ¨¨ äî îñíîâíîãî ïîëÿ òà ââåñòè íîâi

¯ + B∗ ¹ êóòè ϑ1 = m0 ϑ − n0 ϕ òà ϕ1 = n0 ϑ + m0 ϕF Çàâäÿêè öié çàìiíi B = B
ôóíêöi¹þ ëèøå ϑ1 F Ðiâíÿííÿ @IFTA òåïåð çàïèøåòüñÿ ó âèãëÿäi

γ = +

Mv e Aϑ1 + Bϑ1 dX ϑ1 + c B Mv e Aϕ1 + Bϕ1 dX ϕ1 − E dt, c B

@IFIQA

çâiäêè îäðàçó ìîæíà âèïèñàòè äiþ

Mv e I2 = Aϕ + Bϕ c B

@IFIRA

29

@iíäåêñ 1 ïðè êóòàõ ϑ òà ϕ íàäàëi îïóñêàòèìåòüñÿAF Ïîäàëüøå àíàëiòè÷íå ïðîñóâàííÿ ìîæëèâå çàâäÿêè ðîçâèíåííþ

I2

Mv e e Aϕ |ψ=ψb + Aϕ (ψ − ψb ) + Bϕ , c c B

@IFISA

äå ψb ! êîîðäèíàòà òî÷êè ïîâîðîòó ÷àñòèíêèD ùî âèçíà÷à¹òüñÿ óìîâîþ v =

0F Öå ðîçâèíåííÿ â ñòåëàðàòîðàõ ç ìàëèì øèðîì ñïðàâåäëèâå íàâiòü äëÿ
çà êóòîìX äîñèòü âåëèêèõ ψ − ψb ∼ ψ F Äiÿ I1 çíàõîäèòüñÿ çâè÷àéíèì iíòåãðóâàííÿì

I1 ≈

Bϑ Aϕ − Bϕ Aϑ 2π

M v dϑ . B Aϕ

@IFITA

Íåõòóþ÷è çàëåæíiñòþ B âiä êóòà â çíàìåííèêóD ìîæíà îòðèìàòè

I1 ≈
äå v
2

Bϑ Aϕ − Bϕ Aϑ M v max 8 2π B Aϕ

E

− (1 − κ2 )K ,

@IFIUA

(sin2 (ϑ/2) − κ2 )/(1 − κ2 )D K òà E " ïîâíi åëiïòè÷íi iíòåãðàëè ¯ + µBm n − E )/(2µBm n )F âiäïîâiäíî ïåðøîãî òà äðóãîãî ðîäóD κ2 = (µB 0 0 0 0 =v
max 2

Ñïðÿæåíó êóòîâó çìiííó ξ1 ìîæíà çíàéòè ç

κ−1 sin

ϑ 2K = sn ξ1 2 π
max cn ξ D

= sn ξ,

@IFIVA

à øâèäêiñòü ÷àñòèíêè " ç v = v

äå sn òà cn " âiäïîâiäíî åëiïòè÷íi

ñèíóñ òà êîñèíóñF Äëÿ äi¨ I2 ñïðÿæåíèì êóòîì ξ2 ¹ êóò ϕ ç ïåðiîäè÷íîþ äîáàâêîþ χD ÿêà âèçíà÷à¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿ

∂χ 2κK Aϑ = cn ξ. ∂ξ1 π Aϕ

@IFIWA

Ïåðåõîäÿ÷è äî çáóðåíîãî ïîëÿ i ðîçêëàäàþ÷è çáóðåííÿ γ íà êîìïîíåíòè çà IEôîðìàìè êîîðäèíàò " γ1 = Fi dX i D ïiäñòàâëÿþ÷è â @IFIHA i ïðèðiâíþE

30

þ÷è êîåôiöi¹íòèD ìîæíà îòðèìàòè ñèñòåìó

∂S ∂t ∂S ∂E ∂S ∂ψb ∂S ∂ξ1 ∂S ∂ξ2

= −µ = = = =

∂B ψb ∂B ξ1 H + H ∂ψb ∂ξ1 ∂I1 −H ξ1 ∂E dI ∂I1 2 −H ξ2 − H ξ1 dψb ∂ψb ∂I1 H ψb + Fξ1 ∂ψb dI2 H ψb + Fξ2 . ∂ψb

@IFPHA

Ïiñëÿ ôóð9¹Eïåðåòâîðåííÿ çà êàíîíi÷íèìè êóòàìè ξ1 òà ξ2 i âèêëþ÷åííÿ S iç @IFPHA H ψb çàïèøåòüñÿ ó âèãëÿäi

H ψb (mn) = −

mFξ2 (mn) − nFξ1 (mn)
dI2 ∂I1 m dψ − n ∂ψ b b

,

@IFPIA

äå (m, n) " íîìåðè ôóð9¹Eãàðìîíiê çà êàíîíi÷íèìè êóòàìè ξ1 òà ξ2 âiäïîE âiäíîD à ïîòðiáíi êîìïîíåíòè çáóðåííÿ Fi " ó âèãëÿäi

Fξ1 = − Fξ2

M v max B2 M v max = − B2

∂ϕ ∂ϑ + Bϕ ∂ξ1 ∂ξ1 ∂ϑ ∂ϕ Bϑ + Bϕ ∂ξ2 ∂ξ2 Bϑ

B cnξ B cnξ.
@IFPPA

Äëÿ ñèëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê @κ âèãëÿäó

1A ìîæíà ïðèâåñòè @IFPIA äî

H ψb =

ωb v max Bµn exp(imξ1 − inξ2 ) × ωB Aϕ µ,m,n B
2

m2 Bϕ Jm − nκ(2Bϑ − ι1 Bϕ )( m x Jm − Jm ) × , x(mωb − nωp )

@IFPQA

äå ι1 = Aϑ /Aϕ D x = κ(2µ + ι1 n)D ôóíêöiÿ Áåñåëÿ mEãî ïîðÿäêó Jm òà ¨¨ ïîõiäíà Jm áåðóòüñÿ âiä àðãóìåíòà xD à

mξ1 − nξ2 ≈ m arcsin(ϑ/2κ) − n(ϕ + ι1 ϑ/2).

31

Êîðèñòóþ÷èñü ðiâíÿííÿì @IFISAD ùîá âèðàçèòè ψb ÷åðåç ψ D ìîæíà îòðèE ìàòèD ùî iíòåãðàëàìè ðóõó ó çáóðåíîìó âèïàäêó áóäóòü E D µ òà

ψb = ψb + H ψb = ψ +

v Bϕ + H ψb . ωB 0 A ϕ

@IFPRA

Ïîïðàâêè äî êóòiâD H ϑ òà H ϕ D âèçíà÷àþòüñÿ ç òi¹¨ æ ñèñòåìè @IFPHA i íàâåE äåíi â íàñòóïíîìó ïóíêòiF
1.1.5. ×àñîâà åâîëþöiÿ êóòîâèõ çìiííèõ.

Äëÿ ïðîëiòíèõ ÷àñòèE

íîê ïîïðàâêè äî êóòîâèõ çìiííèõ äàþòüñÿ âèðàçàìè

ˆ ∂Iϕ ∂S ϑ ˆ H = −ωϑ +J ∂E ∂E ˆ ˆ ϕ = −ωϕ ∂ S − J ∂Iϑ H ∂E ∂E
äå ωϑ = J
∂Iϕ ∂ψ

ˆ v ∂S Bψ − ∂ψ ωB ˆ v ∂S − Bψ ∂ψ ωB ,

@IFPSA @IFPTA

ϑ òà ωϕ = −J ∂I ∂ψ " ÷àñòîòè ðóõóD

ˆ ˆ = i v 2E − µB B ωϑ Bϑ − ωϕ Bϕ , S ωB 2E − 2µB B mωϑ − nωϕ J −1 =
Äëÿ çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê

∂Iϕ ∂Iϑ ∂Iϑ ∂Iϕ − . ∂ψ ∂ E ∂ψ ∂ E
−1

H

ξ1

∂I1 = − ∂E −

Q

ˆ ˆ F ξ2 − inS
−1

H

ξ2

dI2 = − dψb

∂ 2 I1 ∂ψb ∂ E

ˆ ˆ ∂F ∂F ξ1 dI2 ξ2 ∂I1 − − ∂ E dψb ∂ E ∂ψb
@IFPUA

ˆ ∂F ξ1 dI2 Q − ∂ψb dψb

ˆ ∂F ∂ 2 I1 ξ2 ∂I1 ˆ ˆ − − Fξ2 − inS 2 + ∂ψb ∂ψb ∂ ψb d2 I2 ∂I1 ξ1 ˆ ˆ + F − im S + H , ξ1 d2 ψb ∂ψb

@IFPVA

32

äå

dI2 ∂I1 ˆ=Q F ˆ ˆ S −F ξ1 ξ2 dψb ∂ψb Q=m ∂I1 dI2 −n . dψb ∂ψb

,

1.1.6. Îáãîâîðåííÿ òà âèñíîâêè.

Îòðèìàíi iíâàðiàíòèD @IFIPA òà

@IFPRAD äàþòü çìîãó çíàéòè îðáiòó âåäó÷îãî öåíòðó ÷àñòèíêè çà âiäñóòíîñòi çiòêíåíüF Òîìó ¨õ ìîæíà çàñòîñîâóâàòè äëÿ àíàëiçó ìèòò¹âèõ âòðàò øâèäE êèõ iîíiâ @ïðîäóêòiâ òåðìîÿäåðíèõ ðåàêöié àáî ïîïóëÿöié íàäòåïëîâèõ iîE íiâD ùî óòâîðþþòüñÿ ïðè íàãðiâàííi ïëàçìèAD òîáòî âòðàò çà õàðàêòåðíi ÷àñè îðáiòàëüíîãî ðóõóD êîëè çiòêíåííÿ çàçâè÷àé íå âiäiãðàþòü ñóòò¹âî¨ ðîëi äëÿ òàêèõ iîíiâF Êðiì òîãîD öi iíâàðiàíòè ¹ ïðèðîäíèìè çìiííèìè äëÿ çàïèñó äðåéôîâîãî êiíåòè÷íîãî ðiâíÿííÿD êîëè âèâ÷à¹òüñÿ ïîâåäiíêà øâèäêèõ iîíiâ ç óðàõóâàííÿì çiòêíåíü íà äîâøèõ iíòåðâàëàõ ÷àñóF ÏðîòåD iñíóþòü ùå äåÿêi îáìåæåííÿ íà çàñòîñîâíiñòü iíâàðiàíòiâ @IFIPA òà @IFPRAD ÿêi ¹ íàñëiäêîì çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó çáóðåíü ïðè ¨õ îòðèìàííiF ÏîEïåðøåD öi iíâàðiàíòè íå ïðàöþþòü ïîáëèçó ðåçîíàíñíèõ äðåéôîâèõ ïîâåðõîíüD òîáòî äðåéôîâèõ ïîâåðõîíüD íà ÿêèõ âiäíîøåííÿ ÷àñòîò ðóõó ÷àñòèíêè â ïîëî¨äàëüíîìó òà òîðî¨äàëüíîìó íàïðÿìêàõ ¹ ðàöiîíàëüíèì ÷èE ñëîìF Öå âiäîáðàæàþòü ðåçîíàíñíi çíàìåííèêè â ðiâíÿííÿõ @IFIPA òà @IFPRAD ÿêi áiëÿ ðåçîíàíñíèõ ïîâåðõîíü ïðÿìóþòü äî íóëÿF ßê çàçíà÷àëîñÿ ðàíiE øåD áiëÿ òàêèõ ïîâåðõîíü çáóðåííÿ çìiíþ¹ òîïîëîãiþ ôàçîâîãî ïðîñòîðóD óòâîðþþ÷è ìàãíiòíi îñòðîâè òà çîíè ñòîõàñòè÷íîãî ðóõóF ÏîEäðóãåD ìîæíà î÷iêóâàòèD ùî îòðèìàíi âèðàçè ïåðåñòàþòü ïðàöþâàòè ïðè íàáëèæåííi äî îáëàñòi ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîêD äå äåÿêi ç ãàðìîíiêD ùî ðîçãëÿäàëèñÿ â íàøèõ îá÷èñëåííÿõ ÿê çáóðåííÿD ïî÷èíàþòü âïëèâàòè íà òîïîëîãiþ îðáiòèF ÇîêðåìàD iíâàðiàíò @IFPRA äëÿ çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê íåìîE æëèâî çàñòîñîâóâàòè â òîìó ïðèñòðî¨ @àáî â òié çîíi ïðèñòðîþAD äå íåì๠äîìiíóâàííÿ îäíi¹¨ ç ôóð9¹Eãàðìîíiê ìàãíiòíîãî ïîëÿ íàä ðåøòîþ ãàðìîíiêD

33

îñêiëüêè òîäi ìàéæå âñi çàõîïëåíi ÷àñòèíêè ¹ ïåðåõiäíèìèF Öiêàâî òàêîæ ïîðiâíÿòè îòðèìàíi iíâàðiàíòè @IFIPA òà @IFPRA ç âiäîìèìè ðàíiøå iíâàðiàíòàìè @IFPA òà @IFIAF Ìîæíà ïîêàçàòèD ùî äîäàíêè ç n = 0 â ðiâíÿííi @IFIPA òà l = 0 â ðiâíÿííi @IFPQA @òîáòîD äîäàíêèD ùî îïèñóþòü ðóõD íåçàëåæíèé âiä áàóíñEôàçèA íàáëèæåíî âiäïîâiäàþòü ðiâíÿííÿì @IFPA òà @IFIAD âiäïîâiäíîF Ç ðiâíÿííÿ @IFIPA âèäíîD ùî öi äîäàíêè òèïîâî äîìiíóþòü ¹ êðàòíèì äî N D à ι òèïîâî íå ïåðåâèùó¹ îäèíèöþD çíàìåííèêè äîäàíêiâ ç n = 0 â öüîìó âèïàäêó ¹ çàâæäè âåëèêèìèF ÍàâïàêèD â êîìïàêòíèõ ïðèE ñòðîÿõ @ç ìàëèì N A âíåñîê äîäàíêiâ ç n = 0 ìîæå áóòè çíà÷íèìF ÎòæåD â òàêèõ ïðèñòðîÿõ íîâi iíâàðiàíòè äàþòü çìîãó âèçíà÷èòè ðóõ ÷àñòèíîê çi çíà÷íî áiëüøîþ òî÷íiñòþF Ç iíøîãî áîêóD ïåðåâàãîþ àäiàáàòè÷íèõ iíâàE ðiàíòiâ @IFPA òà @IFIA ¹ òåD ùî âîíè ¹ ÷èííèìèD âiäïîâiäíîD â öiëié îáëàñòi ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê òà â öiëié îáëàñòi ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àE ñòèíîêD âêëþ÷íî ç ëîêàëüíî ïðîëiòíèì òà ëîêàëüíî çàõîïëåíèì ñòàíàìè ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîêF
1.2. Ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ ïåðåõiäíèõ iîíiâ

ó ïðèñòðîÿõ ç âåëèêîþ êiëüêiñòþ ïåðiîäiâD N = 5 − 10F ÄiéñíîD îñêiëüêè n

1.2.1. Âñòóï.

ÂiäîìîD ùî âiäñóòíiñòü îñüîâî¨ ñèìåòði¨ ó ñòåëàðàòîðàõ

ïðèâîäèòü äî iñíóâàííÿ ðiçíîìàíiòíèõ òèïiâ îðáiò ÷àñòèíîê @äèâF íàïðF ‘QP“AF ßê ïðàâèëîD âàðiàöiÿ iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ B âçäîâæ ìàãíiòíî¨ ñèëîâî¨ ëiíi¨ ì๠äâà õàðàêòåðíèõ ìàñøòàáè ïî ïîëî¨äàëüíîìó êóòó ϕX

∆ϕ ∼ 2π/N D äå N ! ÷èñëî ïåðiîäiâ ìàãíiòíîãî ïîëÿD òîáòî ÷èñëî çàõîäiâ ∆ϕ ∼ 2π/ιD äå ι ! îáåðòàëüíå ïåðåòâîðåííÿD ïîâ9ÿçàíèé iç òîðî¨äàëüíiE
ñòþ òà ç âïëèâîì ãâèíòîâèõ ãàðìîíiê B AF Âíàñëiäîê òàêî¨ ñòðóêòóðè ïîëÿD ÷àñòèíêè ç ìàëèìè ìàãíiòíèìè ìîìåíòàìè ïîâîäÿòüñÿ ÿê ïðîëiòíiD òîáòî íå çìiíþþòü íàïðÿìêó ðóõó âçäîâæ ñèëîâèõ ëiíiéF Ïåâíèé âiäñîòîê ÷àE

ñòåëàðàòîðàD âèçíà÷๠ðîçìið ëîêàëüíèõ ìàãíiòíèõ ÿìD òà áiëüøèé ìàñøòàá

34

ñòèíîê iç âåëèêèìè ìàãíiòíèìè ìîìåíòàìè çàëèøàòèìóòüñÿ çàõîïëåíèìè ó ëîêàëüíi ìàãíiòíi ÿìèF ×àñòèíêè ç ïðîìiæíèìè çíà÷åííÿìè ìàãíiòíîãî ìîìåíòó ïåðåõîäÿòü iç ëîêàëüíî çàõîïëåíîãî ñòàíó äî ëîêàëüíî ïðîëiòíîE ãîD ó ÿêîìó êîëè âîíè íå óòðèìóþòüñÿ ëîêàëüíèìè ìàãíiòíèìè ÿìàìèD àëå çàëèøàþòüñÿ çàõîïëåíèìè òîðî¨äàëüíîþ íåîäíîðiäíiñòþ B F ×èñëîâå ìîäåëþâàííÿ òåðìîÿäåðíîãî ðåàêòîðà íà îñíîâi ñòàíäàðòíî¨ êîíöåïöi¨ ñòåëàðàòîðà ‘UU“ ïîêàçàëîD ùî áiëüøiñòü çàõîïëåíèõ íàäòåïëîE âèõ iîíiâ âòðà÷àþòüñÿ ç ïëàçìè çà ÷àñ ïîðÿäêó áàóíñE÷àñóD ÿêèé íàáàãàòî ìåíøèé çà ÷àñ òåðìàëiçàöi¨F Öå ïðèâîäèëî á äî âòðàòè çíà÷íî¨ ÷àñòêè òåðE ìîÿäåðíèõ αE÷àñòèíîê i ñòàíîâèëî á ñåðéîçíó ïåðåøêîäó äëÿ ñòâîðåííÿ ïðàêòè÷íî ïðèäàòíîãî ðåàêòîðàF  îïòèìiçîâàíèõ ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelstein ìèòò¹âèì âòðàòàì íàäE òåïëîâèõ éîíiâ ç ñóïåðáàíàíîâèõ îðáiò çàïîáiãàþòüD ìîäèôiêóþ÷è ìàãíiòíó êîíôiãóðàöiþ âèñîêèì β @âiäíîøåííÿ òèñêó ïëàçìè äî òèñêó ìàãíiòíîãî ïîëÿA ó òàêèé ñïîñiáD ùîá êîíòóðè ïîçäîâæíüîãî àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíE òà ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîêD J =

v dlD çàìèêàëèñÿ âñåðåäèíi ïëàE

çìè ‘IVD IW“F Òèì íå ìåíøåD ìàãíiòíèé äðåéô ïðèçâîäèòü äî ïåðåòâîðåííÿ äåÿêèõ iç öèõ ÷àñòèíîê íà ëîêàëüíî ïðîëiòíi i íàâïàêèD òîáòî äî óòâîðåíE íÿ êëàñó ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîêF Ïåðåòâîðåííÿ îðáiò âiäáóâà¹òüñÿ òîäiD êîëè ÷àñòèíêè ïåðåòèíàþòü ñåïàðàòðèñó ìiæ ëîêàëüíî çàõîïëåíèì òà ëîêàëüE íî ïðîëiòíèìè ñòàíàìèF Ïåðåòèí ñåïàðàòðèñè ñóïðîâîäæó¹òüñÿ õàîòè÷íèì ñòðèáêîì J D ùî ïðèâîäèòü äî áåççiòêíåíí¹âî¨ ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨F ÊîåôiE öi¹íò ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ òåðìîÿäåðíèõ αE÷àñòèíîê ó ðåàêòîði reli—s ‘PH“ ! ñòåëàðàòîði òèïó ‡endelstein ! áóëî îá÷èñëåíî â ðîáîòi ‘PI“F Çà âèñíîâE êîì ‘PI“D áåççiòêíåíí¹âà ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ ¹ âàæëèâèì ìåõàíiçìîì âòðàò íàäòåïëîâèõ éîíiâ â îïòèìiçîâàíèõ ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelsteinF ÇîêðåE ìàD ó ðîçãëÿíóòîìó ðåàêòîði âîíà ïðèâîäèòü äî âòðàòè çíà÷íî¨ ÷àñòêè αE ÷àñòèíîê íà ñòiíêó äî òîãîD ÿê âîíè ïåðåäàäóòü ñâîþ åíåðãiþ îñíîâíié ïëàçìi ÷åðåç êóëîíîâi çiòêíåííÿF Öåé âèñíîâîê óçãîäæóâàâñÿ ç ðåçóëüòàE

35

òàìè ÷èñëîâîãî ìîäåëþâàííÿ îðáiò ÷àñòèíîêF Ïðîòå â òåîðåòè÷íié ÷àñòèíi ðîáîòè ‘PI“ áóëî âæèòî âèðàç äëÿ íåàäiàáàòè÷íîãî ñòðèáêà J äëÿ ÷àñòèíêè ó ãàðìîíi÷íîìó åëåêòîðñòàòè÷íîìó ïîòåíöiàëiD ùî ïîâiëüíî çìiíþ¹òüñÿ ç ÷àñîì ‘PPD PQD PR“F Çàñòîñîâíiñòü öüîãî âèðàçó äî ïîâåäiíêè ïåðåõiäíèõ ÷àE ñòèíîê ó ñòåëàðàòîðíèõ ìàãíiòíèõ êîíôiãóðàöiÿõ íå äîâîäèëàñÿ i íå îáãîE âîðþâàëàñÿD ùî i ìîòèâóâàëî ðîçãëÿíóòè òåîðiþ ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ â îïòèìiçîâàíèõ ñòåëàðàòîðàõ ó äàíié ðîáîòiF Íà âiäìiíó âiä ‘PI“ âèðàç äëÿ ñòðèáêiâ J âèâîäèòüñÿ ó ñòåëàðàòîðíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi çà ìåòîäîì ðîE áîòè ‘PR“D âðàõîâóþ÷è àñèìåòðiþ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ÷àñòèíêàìè ç ïðîòèëåæíèìè çíàêàìè v D âèêëèêàíó íàÿâíiñòþ ìàãíiòíîãî ïîëÿF Ðåøòà ïiäðîçäiëó ñêëàäà¹òüñÿ ç òàêèõ ÷àñòèíX ó ïóíêòi IFPFP ââîäèòüñÿ ñêîðî÷åíèé ëàãðàíæiàí ðóõó âåäó÷îãî öåíòðó â ôàçîâîìó ïðîñòîðiF Ó ïóíE êòi IFPFQ âií çàñòîñîâó¹òüñÿ äî ìàãíiòíî¨ êîíôiãóðàöi¨ ñòåëàðàòîðiâ òèïó ‡endelsteinF Ó ïóíêòi IFPFR ðîçãëÿäàþòüñÿ ïåðåõîäè ìiæ ëîêàëüíî çàõîïëåE íèìè òà ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ñòàíàìè òà âèâîäèòüñÿ âèðàç äëÿ iìîâiðíiñòi òàêîãî ïåðåõîäóF Ó ïóíêòi IFPFT ç âèêîðèñòàííÿì âèâåäåíèõ ó ïóíêòi IFPFS âèðàçiâ äëÿ íåàäiàáàòè÷íî¨ çìiíè J ïðè ïåðåõîäi ÷åðåç ñåïàðàòðèñó îòðèE ìó¹òüñÿ âèðàç äëÿ êîåôiöi¹íòà ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨D i ïîðiâíþ¹òüñÿ iç âèE ðàçîìD âèâåäåíèì ⠑PI“F Ó ïóíêòi IFPFU íàâåäåíî îöiíêè êîåôiöi¹íòà ñòîõàE ñòè÷íî¨ äèôóçi¨ äëÿ ðåàêòîðà reli—sF Ó ïóíêòi IFPFV íàâåäåíî ïiäñóìêè òà êîðîòêå îáãîâîðåííÿ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâF
1.2.2. Ñêîðî÷åíèé ëàãðàíæiàí âåäó÷îãî öåíòðó.

ßê i ó ïîïåðåE

äíüîìó ïiäðîçäiëiD ðóõ âåäó÷îãî öåíòðó ÷àñòèíêè ó ìàãíiòíîìó ïîëi îïèñóE âàòèìåòüñÿ çà äîïîìîãîþ ôóíäàìåíòàëüíî¨ IEôîðìè @IFTAX

γgc = Lgc dt =

mv e A− B . dX + µdΘ − E dt. c B

γgc íå çàëåæèòü âiä Θ òà tD òîìó ìàãíiòíèé ìîìåíò òà åíåðãiÿ ÷àñòèíêè
¹ iíòåãðàëàìè ðóõóD à Θ ¹ öèêëi÷íîþ çìiííîþF Îñêiëüêè äëÿ îïèñó ñòîõàE

36

ñòè÷íî¨ äèôóçi¨ ãiðîôàçà ÷àñòèíêè íåâàæëèâàD ìîæíà âiääiëèòè ñïðÿæåíó ïàðó µ, Θ i ðîçãëÿíóòè çàìiñòü γgc IEôîðìó

γgc =

mv e A− B . dX − E dt c B

@IFPWA

ùî äi¹ íà ñêîðî÷åíîìó ôàçîâîìó ïðîñòîði (X, E , t)D ââàæàþ÷è òåïåð µ êîíE ñòàíòîþF @Áiëüø ôîðìàëüíîD ëåãêî ïîêàçàòè @ ‘IS“D ÷F WD Ÿ RSÁA ùî ïðîåêöi¨ ëiíiÿìè âèõîðó γgc FA Ùîá ìàòè çìîãó îá÷èñëèòè ñòðèáêè àäiàáàòè÷íèõ iíâàðiàíòiâ ïðè ïåðåE õîäàõ ÷åðåç ñåïàðàòðèñó òà âiäïîâiäíi çìiùåííÿ â ðàäiàëüíîìó íàïðÿìêóD äîñòàòíüî çíàòè ôîðìó òðàåêòîðié ÷àñòèíîê ó ïðîñòîðiF Òîìó ìîæíà ñêîE ðîòèòè ôàçîâèé ïðîñòið ùå ðàçD ðîçãëÿäàþ÷è ÷àñ t ÿê öèêëi÷íó çìiííó i âiääiëÿþ÷è ñïðÿæåíó ïàðó E , t ó òîé ñàìèé ñïîñiáD ÿê i µ, ΘF Òðàåêòîði¨ ÷àñòèíîê ìîæíà îòðèìàòè ó ïàðàìåòðè÷íîìó âèäi iç IEôîðìà ëiíié âèõîðó γgc ïðè çàäàíîìó ñòàëîìó µ íà ãiïåðïîâåðõíþ Θ = const ¹

γgc =

mv e A− B . dX, c B

@IFQHA

ÿêà äi¹ íà òðèâèìiðíîìó ñêîðî÷åíîìó ôàçîâîìó ïðîñòîðiD ùî ñêëàäà¹òüñÿ ç ñàìîãî ëèøå XD ïðè÷îìó i E D i µ òåïåð ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê êîíñòàíòèF
1.2.3. Ôàçîâèé ïîðòðåò ðóõó çàõîïëåíèõ iîíiâ.

Ó öüîìó ïiäðîçE

äiëi ðîçãëÿ¹òüñÿ òèïîâà äëÿ ñòåëàðàòîðiâ ëiíi¨ ‡endelstein ìàãíiòíà êîíôiE ãóðàöiÿD ó ÿêié äçåðêàëüíà òà ãâèíòîâà ãàðìîíiêè äîìiíóþòü ó B D à ÷èñëî çàõîäiâ ñòåëàðàòîðà N âåëèêå @ι/N

1AF Âiäïîâiäíî âèðàç äëÿ B â áóçåE

ðîâèõ êîîðäèíàòàõ @äèâF ïiäðîçäië IFIFPA ì๠âèãëÿä

B ¯ =1+ B
äå
hD m

0

−

t cos ϑ

+

m cos N ϕ

−

h cos(N ϕ

− ϑ),

@IFQIA

òà

t

! âiäïîâiäíî àìïëiòóäè ãâèíòîâî¨D äçåðêàëüíî¨ òà òîðî¨äàëüíî¨
0

ãàðìîíiêD à òàê çâàíà äiàìàãíiòíà ãàðìîíiêà

îïèñó¹ ìîäèôiêàöiþ âàêóE

óìíî¨ ìàãíiòíî¨ êîíôiãóðàöi¨ çà ðàõóíîê âïëèâó ñêií÷åííîãî òèñêó ïëàçìèF

37

Öi àìïëiòóäèD ÿê i äî

0D

¹ o(1) ôóíêöiÿìè ψ F Òîäi ðiâíÿííÿ @IFQHA çâîäèòüñÿ

e e @IFQPA γgc = (ψdϑ − ψp dϕ) − mv Rdϕ = ψdϑ − pϕ dϕ, c c äå pϕ = (e/c)ψp + mv RF ÔîðìàëüíîD IEôîðìà @IFQPA îïèñó¹ îäíîâèìiðíó
ãàìiëüòîíîâó ñèñòåìó iç çàëåæíèì âiä ÷àñó ãàìiëüòîíiàíîìD äå ϑD ϕ òà ψ D âiäïîâiäíîD ãðàþòü ðîëü ÷àñóD êîîðäèíàòè òà åíåðãi¨D à pϕ ¹ êàíîíi÷íèì ìîìåíòîìD ñïðÿæåíèì äî ϕF Îñêiëüêè N

1D çàëåæíiñòü ϕ âiä ϑ ðîçãëÿE

äàòèìåòüñÿ ÿê çáóðåííÿF Ç ôiçè÷íî¨ òî÷êè çîðóD ðîçãëÿäà¹òüñÿ ðóõ ÷àñòèE íîê ó ëîêàëüíèõ ìàãíiòíèõ ÿìàõD ïîâ9ÿçàíèõ iç äçåðêàëüíîþ òà ãâèíòîâîþ ãàðìîíiêàìè B F Ïåðiîä öèõ ãàðìîíiê ì๠ïîðÿäîê 2π/N D òîäi ÿê ïåðiîä òîE ðî¨äàëüíî¨ ãàðìîíiêè ! 2π/ιF Äëÿ çðó÷íîñòi ÷àñòî êîìáiíóþòü äçåðêàëüíó òà ãâèíòîâó ãàðìîíiêè B ‘PI“X

B ¯ =1+ B
äå
hm

0

−

t cos ϑ

+

hm cos N (ϕ

− χ)

@IFQQA

òà χ ! ôóíêöi¨ ψ òà ϑF Òîäi äëÿ pϕ ìîæíà îòðèìàòè

e ¯l R pϕ = − ψp ∓ mωB ρ c
âåëèêèé ðàäióñ ïëàçìèD à

hm (κ

2

− cos2 N (ϕ − χ)/2),

@IFQRA

¯ (mc)D ρ äå ωB = eB/ ¯l ! ëàðìîðîâèé ðàäióñ ÷àñòèíêè íà ìàãíiòíié îñiD R !

κ2 =

α−( 0−

t cos ϑ

2

−

hm )

,

hm

@IFQSA

ùî îïèñó¹òüñÿ @IFQPAD âèÿâëÿ¹òüñÿ ïîäiáíîþ äî íåëiíiéíîãî ìàÿòíèêàF ÒðàE åêòîði¨ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê âiäïîâiäàþòü ëiáðàöi¨D à òðàåêòîði¨ ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê ! îáåðòàííþ ìàÿòíèêàF Ôàçîâèé ïîðòðåò öi¹¨ ñèñòåìè @ÐèñF IFIA ! öå ôàçîâèé ïîðòðåò íåëiíiéíîE ãî ìàÿòíèêàD çñóíóòèé íà e c ψp /N F Çìiííà äi¨ ó öié ñèñòåìi ! öå ñòàíäàðòíèé àäiàáàòè÷íèé iíâàðiàíò J F Äëÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîêD κ2 < 1 i

¯ − 1 ! ïiò÷Eêóòîâèé ïàðàìåòðF Ïiñëÿ öèõ ñïðîùåíü ñèñòåìàD äå α = E /µB

38

0 + pϕ t

−e c ψp − 0 ϕ
ÐèñF IFIF Ôàçîâèé ïîðòðåò çñóíóòîãî íåëiíiéíîãî ìàÿòíèêà @IFQPAF @CA òà @EAEëîêàëüíî ïðîëiòíi ñòàíè çàéìàþòü îáëàñòi ôàçîâîãî ïðîñòîðóD âiäïîâiäE íîD íàä âåðõíüîþ òà ïiä íèæíüîþ ãiëêîþ ñåïàðàòðèñèF Îáëàñòi ôàçîâîãî ïðîñòîðóD ùî âõîäÿòü äî S+ i S− D ïîçíà÷åíî ïîõèëîþ øòðèõîâêîþF S+ òà

π

S− ìàþòü ïðîòèëåæíèé çíàêD áî êîíòóðèD ùî îáìåæóþòü öi îáëàñòiD îáõîE
äÿòüñÿ ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìêàõF iñíó¹ îäíà ãiëêà

It =
äå

1 2π

pϕ dϕ = Is f (κ),

@IFQTA

√ 4 mωB ρ ¯l R hm , πN f (κ) = E (κ) − (1 − κ2 )K (κ)D K òà E ! ïîâíi åëiïòè÷íi iíòåãðàëè ïåðøîãî òà Is =
äðóãîãî ðîäóD âiäïîâiäíîF Äëÿ ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîêD iíòåãðóâàííÿ âèêîíó¹òüñÿ ïî âñüîìó ïåðiîäó 2π/N i àäiàáàòè÷íèé iíâàðiàíò ì๠äâi ãiëêè

I± = ∓

e ψp 1 + Is f (κ), cN 2

@IFQUA

äå f (κ) ! òà æ ñàìà ôóíêöiÿD ùî i ó @IFQTAD àëå ç κ2 > 1Y ñòàíäàðòíèì ïåðåE òâîðåííÿì ¨¨ ìîæíà çâåñòè äî âèäó f (κ) = κE (κ−1 )F @IFQTA òà @IFQUA ñïiâïàE äàþòü iç ðåçóëüòàòàìè ‘PI“F ÁàóíñEóñåðåäíåíi òðàåêòîði¨ ÷àñòèíîê âiäïîâiäE àþòü êîíòóðàì ñòàëîãî Ii ó ïëîùèíi (ψ, ϑ) @ÐèñF IFPAF síäåêñ i ì๠çíà÷åííÿ

39

+ ÷è − äëÿ äâîõ çíàêiâ v ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê òà t äëÿ ëîêàëüíî
çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîêF

1.0 0.5 0.0 −0.5 −1.0 −1.0 −0.5 0.0 X 0.5 1.0

ÐèñF IFPF Êîíòóðè ñòàëîãî J äëÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ @êðàïêàìèA òà ëîE êàëüíî ïðîëiòíèõ @ïóíêòèðîìA ÷àñòèíîê ç α = 0.2F Ñóöiëüíîþ ëiíi¹þ ïîE çíà÷åíà ñåïàðàòðèñà κ2 = 1F Êîíòóð κ2 = 1 ó öié ïëîùèíi ¹ ñåïàðàòðèñîþ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèE ìè òà ëîêàëüíî çàõîïëåíèìè ÷àñòèíêàìè ç äàíèì ïiò÷EêóòîìF Ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ âèíèê๠âíàñëiäîê íàêîïè÷åííÿ ñòðèáêiâD ùî Ii çàçí๠ïðè ïåðåE õîäi áàóíñEóñåðåäíåíî¨ òðàåêòîði¨ ÷àñòèíêè ÷åðåç ñåïàðàòðèñóD äå àäiàáàòèE ÷íiñòü Ii ïîðóøó¹òüñÿF
1.2.4. Ïåðåòâîðåííÿ îðáiò ïåðåõiäíèõ iîíiâ.

Y

Ó ìàãíiòíèõ êîíôiE

ãóðàöiÿõ ‡endelsteinEUˆD ó âñüîìó äiàïàçîíi ïiò÷Eêóòîâîãî ïàðàìåòðà αD äå iñíóþòü ïåðåõiäíi îðáiòèD ¹ äâi òî÷êè ïåðåõîäóD ðîçòàøîâàíi ñèìåòðè÷íî âiäE íîñíî ïëîùèíè ϑ = 0F @Öå ñò๠íåâiðíèìD êîëè
m

>

h

i îäíî÷àñíî

0

< tD

àëå öÿ óìîâà íå âèêîíó¹òüñÿ íi â îäíié iç êîíôiãóðàöiéD íàâåäåíèõ ó ‘PS“FA Âèäè òà iìîâiðíîñòi ïåðåõîäiâD ùî âiäáóâàþòüñÿ ó ñèñòåìiD âèçíà÷àþòüñÿ âiäíîñíèìè çìiíàìè ôàçîâîãî îá9¹ìóD çàíÿòîãî êîæíèì iç ñòàíiâF

40

Ôàçîâèé îá9¹ìD çàíÿòèé ëîêàëüíî çàõîïëåíèìè ÷àñòèíêàìè ! öå ïëîùà âñåðåäèíi ñåïàðàòðèñèX

St (ϑ) = It |κ2 =1 = Is . 2π Òóò i äàëiD ÿêùî íå âêàçàíî iíøåD âñi âåëè÷èíè i ïîõiäíi îá÷èñëþþòüñÿ ïðè κ2 = 1F Ôàçîâi îá9¹ìèD çàíÿòi ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ñòàíàìèD ¹ íåîáìåæåíèE
ìèD áî |v | ìîæå íàáóâàòè äîâiëüíî âåëèêèõ çíà÷åíüF Ïðîòå äëÿ îá÷èñëåíE íÿ ñòðèáêiâ âàæëèâà íå àáñîëþòíà âåëè÷èíàD à çìiíà öèõ ôàçîâèõ îá9¹ìiâD âèêëèêàíà çìiùåííÿì ïîëîæåííÿ ñåïàðàòðèñè ç ÷àñîì ϑF ßêùîD íàñëiäóE þ÷è ‘PR“D ïîçíà÷èòè ÷åðåç S± ïëîùi ìiæ âiäïîâiäíîþ ãiëêîþ ñåïàðàòðèñè òà âiññþ ϕD òàêD ùî St = S+ + S− X

e ψp 1 S± (ϑ) = I± |κ2 =1 = ∓ + Is . 2π cN 2 Çìiíè ôàçîâîãî îá9¹ìó äàþòüñÿ âèðàçàìè dSi ∂Si ∂Si ∂κ2 Θi = = − dϑ ∂ϑ ∂ψ ∂ϑ =
äå âèêîðèñòàíî ïîçíà÷åííÿ

∂κ2 ∂ψ

−1

=
@IFQVA

∂κ2 ∂ψ

−1

κ2 , Si ,

∂F ∂G ∂F ∂G − . ∂ψ ∂ϑ ∂ϑ ∂ψ Âàðòî âiäçíà÷èòèD ùî ôàçîâèé îá9¹ìD çàéíÿòèé âiäïîâiäíèì ñòàíîìD çìåíE {F, G} ≡
øó¹òüñÿD êîëè Θ± > 0F Äëÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê

Θt = 2π

∂κ2 ∂ψ

−1 −1

κ2 , Is =

∂κ2 Is Is δ 2 2 κ , = = hm 2 δ sin ϑ, ∂ψ 42 2 hm hm 1 äå r ! áåçðîçìiðíà ïñåâäîEðàäiàëüíà êîîðäèíàòàD âèçíà÷åíà ç ðiâíÿííÿ ψ = ¯ 2 r2 /2D a ! ìàëèé ðàäióñ ïëàçìèD à Ba δ = δ1 =
h m( 0 0

− −

t cos ϑ) t cos ϑ,

−

t

2 hm

/2

+

hm

41

äå ïîõiäíi ïî r ïîçíà÷åíi øòðèõîìF Äëÿ ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîêD

Θ± = 2π

∂κ2 ∂ψ

−1

κ2 , ∓

e ψp cN

+

1 2 κ , Is 2

=

1 Θt e ι dψ ± 2 2π c N dϑ

.
κ2 =1

Çðó÷íî ââåñòè ïñåâäîEiìîâiðíiñòü ïåðåõîäó

˜= P

2Θt ¯l R 2 ρ = √ Θ+ − Θ− πιr a2

δ
hm ( h m

+

t hm )

.

×èñëîâi îöiíêè ïîêàçóþòüD ùî äëÿ òåðìîÿäåðíèõ αE÷àñòèíîê ó ðåàêòîði

˜ äîäàòíÿ i ìåíøà çà 0.1 ó âñüîìó îá9¹ìi ïëàçìèD i ùå ìåíøà äëÿ reli—s P
íàäòåïëîâèõ éîíiâ íåéòðàëüíî¨ iíæåêöi¨ ó ‡endelsteinEUˆF ÂiäïîâiäíîD çìiE íè ôàçîâîãî îá9¹ìó ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê çàâæäè ìàþòü ïðîòèëåE æíèé çíàê i áëèçüêi çà àáñîëþòíèì çíà÷åííÿìX

˜ Θ+ (Θ+ − Θ− ) /2 + Θt /2 1−P = O(1), = =− ˜ Θ− (Θ− − Θ+ ) /2 + Θt /2 1+P ˜ )F à ôàçîâèé ïîòiê ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê ¹ O(P
Çíàêè ó @IFQUA áóëè âèçíà÷åíi òàêèì ÷èíîìD ùî Θ+ > 0 ó âåðõíié òîE ÷öi ïåðåõîäó @0 < ϑ < π AF Îñêiëüêè ó öié òî÷öi ôàçîâèé îá9¹ìD çàéíÿE òèé @CAEëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ÷àñòèíêàìèD çìåíøó¹òüñÿD à îá9¹ìD çàéíÿE òèé ëîêàëüíî çàõîïëåíèìè ÷àñòèíêàìè ! çáiëüøó¹òüñÿD @CAEëîêàëüíî ïðîE ëiòíi ÷àñòèíêè ïåðåòâîðþâàòèìóòüñÿ íà ëîêàëüíî çàõîïëåíi iç iìîâiðíiñòþ òóò âií îòðèìàíèé â äåùî iíøèé ñïîñiáAF Ðåøòà @CAEëîêàëüíî ïðîëiòíèõ

˜ /(1 − P ˜ /2) ≈ P ˜ @öåé ðåçóëüòàò ñïiâïàä๠iç @PSA ó ‘PI“D õî÷à P = Θt /Θ+ = P

÷àñòèíîê çìiíþþòü íàïðÿìîê äðåéôó i ïåðåòâîðþþòüñÿ íà @EAEëîêàëüíî ïðîëiòíiF Ó íèæíié òî÷öi ïåðåõîäóD çíàêè Θi çìiíþþòüñÿ íà ïðîòèëåæíiX ôàçîâèé îá9¹ìD çàéíÿòèé ëîêàëüíî çàõîïëåíèìè ÷àñòèíêàìèD çìåíøó¹òüñÿF ÂiäïîâiäíîD âîíè âèïàäàþòü iç ëîêàëüíèõ ìàãíiòíèõ ÿì ç iìîâiðíiñòþ 1 òà ñòàþòü ëîêàëüíî ïðîëiòíèìèD òîäi ÿê @EAEëîêàëüíî ïðîëiòíi ÷àñòèíêè ñòàþòü @CAEëîêàëüíî ïðîëiòíèìè i äðåéôóþòü íàçàä äî âåðõíüî¨ òî÷êè ïåE ðåõîäóF

42

1.2.5. Ïåðåõiä ÷åðåç ñåïàðàòðèñó ó íåëiíiéíîìó ìàÿòíèêó.

Ó

öüîìó ïóíêòi ìåòîäîìD íàâåäåíèì ó ‘PR“D áóäå âèâåäåíî âèðàçè äëÿ çìiE íè àäiàáàòè÷íèõ iíâàðiàíòiâ ïðè ïîâiëüíîìó ïåðåõîäi ÷åðåç ñåïàðàòðèñó ó ãàìiëüòîíîâié ñèñòåìiD ôàçîâèé ïîðòðåò ÿêî¨ çîáðàæåíî íà ÐèñF IFID ãàìiëüE òîíiàí ÿêî¨ H (p, q, εt) ïîâiëüíî çàëåæèòü âiä ÷àñóF Äëÿ çðó÷íîñòiD ãàìiëüE òîíiàí H (p, q, εt) ïîêëàäåíî ðiâíèì íóëþ íà ñåïàðàòðèñi òà âiä9¹ìíèì ó çàE õîïëåíié îáëàñòiD ÿê â çâè÷àéíîìó íåëiíiéíîìó ìàÿòíèêóF Íåõàé Θ+ Θ− < 0 iD áåç âòðàòè çàãàëüíîñòiD Θ+ > 0F @Âèïàäîê Θ+ Θ− > 0 ó ñòåëàðàòîðàõ òèE ïó ‡endelstein íå ðåàëiçó¹òüñÿFA Òîäi ìiæ òðüîìà ñòàíàìè âiäáóâàòèìóòüñÿ òàêi ïåðåõîäèX

  (+) → (−) (a) Θt < 0 :  (t) → (−) (b)   (+) → (−) (c) Θt > 0 :  (+) → (t) (d)

Ðiçíèöÿ ìiæ ïåðåõîäàìè @—A òà @™A ïîëÿã๠ó òîìóD ùî ó âèïàäêó @—A âñi @CAE ïðîëiòíi òðàåêòîði¨ ïåðåòâîðþþòüñÿ íà @EAEïðîëiòíiD à ó âèïàäêó @™A äåÿêi @CAEïðîëiòíi òðàåêòîði¨ ñòàþòü çàõîïëåíèìèF Íåõàé ai D bi òà Si ! âåäó÷i êîåôiöi¹íòè ðîçâèíåííÿ àäiàáàòè÷íèõ iíâàðiE àíòiâ Ii áiëÿ ñåïàðàòðèñèX

2πIi =

pdq = Si − ai h ln |h| + (bi + ai )h + O(h2 ln |h|),

@IFQWA

äå h ! åíåðãiÿ ñèñòåìè íà òðàåêòîði¨F ÂiäïîâiäíîD

∂Ii ∂H dt = −2π = −Θi + O(h ln |h|). ∂t H =h ∂t

@IFRHA

Ïåðiîä ðóõó ÷àñòèíêè ïî òðàåêòîði¨ áiëÿ ñåïàðàòðèñè äà¹òüñÿ âèðàçîì

Ti = 2π

∂h ∂Ii

−1

= bi − ai ln |h| + O(h ln |h|).

43

˙ = 0D àäiàáàòè÷íi iíâàðiàíòè íå áóäóòü êîíñòàíòàìè i çàçíàâàòèE ßêùî H
ìóòü âiäõèëåíü ïîðÿäêó O(ε) âiä ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ íà ïåðiîäiF ‘PR“ âèE êîðèñòîâó¹ äîäàòêîâî óñåðåäíåíi àäiàáàòè÷íi iíâàðiàíòè Ji = Ii + ui D äå

1 ui = 2π

Ti 0

Ti ∂H −t dt, 2 ∂t

ÿêi âiäõèëÿþòüñÿ âiä ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ íà ïåðiîäi ëèøà íà âåëè÷èíó ïîE ðÿäêó O(ε2 )F Ïîâåäiíêà ïîïðàâîê ui áiëÿ ñåïàðàòðèñè çàëåæèòü âiä òîãîD ñêiëüêè ðàçiâ çà ïåðiîä òðàåêòîðiÿ íàáëèæà¹òüñÿ äî ãiïåðáîëi÷íèõ òî÷îêF Ó âèïàäêóD ùî ðîçãëÿäà¹òüñÿ ó öié ðîáîòiD ÿê i ó ðîçãëÿíóòîìó ⠑PR“D ïðîE ëiòíi òðàåêòîði¨ íàáëèæàþòüñÿ äî ¹äèíî¨ ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êè îäèí ðàç çà ïåðiîäD i 2πu± = d± + O( h ln |h|) çi ñòàëèìè d± D à äëÿ çàõîïëåíèõ òðàåêòîE

√

ðiéD ùî íàáëèæàþòüñÿ äî íå¨ äâi÷i çà ïåðiîäD 2πut = (T+ Θ− − T− Θ+ )/2 +

√ dt + O( h ln |h|) ç dt = d+ + d− F Ó ïîäàëüøîìó îöiíêè âiäêèíóòèõ ÷ëåíiâD
àíàëîãi÷íi ‘PR“D îïóñêàòèìóòüñÿF
1.2.5.1. Ïåðåõiä (a).

Ïîêè ñèñòåìà çíàõîäèòüñÿ äàëåêî âiä ñåïàðàE

òðèñèD I+ = I+∞ òà J+ = J+∞ ìàéæå íå çìiíþþòüñÿF ×àñ ïñåâäîïåðåòèE ÿêèé çíàäîáèâñÿ á òðàåêòîði¨D ùîá ïåðåòíóòè ñåïàðàòðèñóD ÿêáè àäiàáàE âèçíà÷èòè ïñåâäîEêiíöåâå çíà÷åííÿ J− ïiñëÿ ïåðåõîäóX 2πJ−∗ = S− (τ∗ )F

íó ‘PT“ τ∗ âèçíà÷à¹òüñÿ ÿê êîðiíü ðiâíÿííÿ S+ (τ∗ ) = 2πJ+∞ F Öå òîé ÷àñD

òè÷íèé iíâàðiàíò ëèøàâñÿ íåçìiííèì äî ñàìîãî ïåðåòèíóF Òàêîæ ìîæíà Ç ðiâíÿííÿ @IFRHA âèäíîD ùî ç êîæíèì ïåðiîäîì åíåðãiÿ ñèñòåìè çìåíøóE

¹òüñÿ íà Θ+ X hn = h0 + nΘ+ D äå ïîñëiäîâíi òî÷êè ìàêñèìàëüíîãî íàáëèæåE ííÿ òðàåêòîði¨ äî ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êè íóìåðóþòüñÿ ïî÷èíàþ÷è ç îñòàííüîE ãî íàáëèæåííÿ ïåðåä ïåðåòèíîìF Ìîìåíòè ÷àñóD ùî âiäïîâiäàþòü öèì ìîE ìåíòàì ìàêñèìàëüíîãî íàáëèæåííÿD áóäóòü âiäíîñèòèñÿ ÿê τ+|n−1 = τ+|n +
1 2

ñêëàäà¹òüñÿ iç ïîâiëüíîãî âiääàëåííÿ âiä ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êèD êîëè åíåðE ãiÿ ñèñòåìè áëèçüêà äî hn D òà ïîâiëüíîãî íàáëèæåííÿ äî íå¨D êîëè åíåðãiÿ

(T+ (hn ) + T+ (hn−1 ))D áî êîæåí iíòåðâàë ìiæ ïîñëiäîâíèìè íàáëèæåííÿìè

44

ñèñòåìè áëèçüêà äî hn−1 Y â ïåðiîäi ðóõó Ti (h) äîìiíó¹ ÷àñD ïîòðiáíèé òðàE

åêòîði¨D ùîá ïðîéòè ïîâç ãiïåðáîëi÷íó òî÷êó ïðè ìàéæå ñòàëîìó çíà÷åííi åíåðãi¨ hF Çà âèçíà÷åííÿì îñòàííüîãî ïåðåä ïåðåòèíîì ñåïàðàòðèñè ìàêñèE ìàëüíîãî íàáëèæåííÿD 0 < h0 < Θ+ F Íåõàé ξ+ = h0 /Θ+ ! áåçðîçìiðíèé ïàE

ðàìåòð ïåðåõîäóF Êîëè òðàåêòîðiÿ ïåðåòèí๠ñåïàðàòðèñó i ïîòðàïëÿ¹ â @EAE îáëàñòüD âîíà ñïåðøó ¹ áëèçüêîþ äî ãiëêè ñåïàðàòðèñèD ùî âiääiëÿ¹ @CAE âiä @tAEîáëàñòiD ïîòiì íàáëèæà¹òüñÿ äî ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êè i âiäõîäèòü âiä íå¨ âçäîâæ ãiëêè ñåïàðàòðèñèD ùî âiääiëÿ¹ @tAE òà @EAEîáëàñòiF ÂiäïîâiäíîD åíåðE ãiÿ ñèñòåìè áiëÿ ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êè â òîé ìîìåíòD êîëè òðàåêòîðiÿ íàáëèE æà¹òüñÿ äî íå¨ âñåðåäèíi @tAEîáëàñòiD áóäå ðiâíîþ g∗ = h0 − Θ+ D à ïðè íàáëèE æåííi äî ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êè â @EAEîáëàñòi ! g0 = g∗ − Θ− = h0 − Θt F g0 áóäå ïåðåòèíó â @EAEîáëàñòi ξ− = −g0 /Θ− ïîâ9ÿçàíèé ç ξ+ î÷åâèäíèì ñïiââiäíîøåE

äîäàòíiì @ÿê éîìó i ñëiä áóòè â @EAEïðîëiòíîìó ñòàíiAD áî Θt < 0F Ïàðàìåòð

ííÿì Θ+ (1−ξ+ ) = −Θ− (1−ξ− )F Ñëiä çàçíà÷èòèD ùîD õî÷à 0 < ξ+ < 1D öåD âçàE ãàëi êàæó÷èD íåñïðàâåäëèâî äëÿ ξ− X ÷àñòèíó ôàçîâîãî ïîòîêó â @EAEîáëàñòü Äîäàþ÷è âíåñêè â ÷àñD ïîòðiáíèé òðàåêòîði¨D ùîá äiñòàòèñÿ âiä h0 äî g0 D i ïðèãàäóþ÷èD ùî ó @tAEñòàíi òðàåêòîðiÿ íàáëèæà¹òüñÿ äî ãiïåðáîëi÷íî¨ òîE
1 1 ÷êè äâi÷i çà ïåðiîäD ìîæíà îòðèìàòè τ−|0 = τ+|0 + 1 2 T+ (h0 )+ 2 Tt (g∗ )+ 2 T− (g0 )F

ñêëàäàþòü òðàåêòîði¨D ùî ïåðåõîäÿòü äî íå¨ âëàñíå iç çàõîïëåíîãî ñòàíóF

Ìiæ íàñòóïíèìè ìîìåíòàìè ìàêñèìàëüíîãî íàáëèæåííÿ äî ãiïåðáîëi÷íî¨

òî÷êè òðàåêòîði¨D ÿêà òåïåð âiääàëÿ¹òüñÿ âiä ñåïàðàòðèñèD åíåðãiÿ ñèñòåìè çáiëüøóâàòèìåòüñÿ íà Θ− çà ïåðiîäX gn = g0 − nΘ− F Àíàëîãi÷íi ìiðêóâàííÿ ïîêàçóþòüD ùî ÷àñè öèõ ïîñëiäîâíèõ ìîìåíòiâ ìàêñèìàëüíîãî íàáëèæåíE íÿ äî ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êè â @EAEîáëàñòi áóäóòü ïîâ9ÿçàíi ñïiââiäíîøåííÿì

τ−|n = τ−|n−1 + 1 2 (T− (gn−1 ) + T− (gn ))F Ïiäñòàâëÿþ÷è íàáëèæåíi âèðàçè äëÿ
ñóìèD ëåãêî îòðèìàòèD ùî

Ti òà Ii áiëÿ ñåïàðàòðèñè òà ïåðåòâîðþþ÷è ðåêóðåíòíi ñïiââiäíîøåííÿ íà

1 ξ+ + n Γ(ξ+ + n) τ+|0 ≈ τ+|n + n(b+ − a+ ln Θ+ ) − a+ ln − a+ ln 2 ξ+ Γ(ξ+ )

45

à çãiäíî @IFQWAD

2π (J+0 − J+n ) ≈ Θ+ (τ+|0 − τ+|n ) − (a+ + b+ )nΘ+ − a+ (h0 ln h0 − hn ln hn ).
Çìiíó J+ ïðè íàáëèæåííi äî ñåïàðàòðèñè âiä âiääàëåíî¨ âiä îñòàííüî¨ òî÷êè çn

1 ìîæíà çíàéòè çà äîïîìîãîþ ðîçâèíåííÿ Ñòiðëiíãà äëÿ ΓEôóíêöi¨
2π x x x e

n → ∞X 2π (J+0 − J+∞ ) ≈ −a+ Θ+ ξ+ ln ξ+ − ξ+ + ln √

Γ(x) ≈

òàìD äå ¨¨ àðãóìåíò ìiñòèòü nD òà ïåðåõîäÿ÷è äî ãðàíèöi

2π . ξ+ Γ(ξ+ )

√

@IFRIA

Ñëiä çàçíà÷èòèD ùî íàñïðàâäi íàáëèæåííÿ äî ñåïàðàòðèñè íå çàéì๠íåE ñêií÷åííîãî ÷àñóD àëå ïîõèáêà íàáëèæåííÿ Ñòiðëiíãà ìåíøà çà 5% âæå ïðè

x = 2F
Íàáëèæåííÿ äî ñåïàðàòðèñè òà âiääàëåííÿ âiä íå¨ ó âèïàäêó ïåðåõîäó

(+) → (−) ¹ ñèìåòðè÷íèìèD òîìó @IFRIA ç çàìiíîþ iíäåêñiâ + íà − ñïðàâåE
äëèâå äëÿ J−∞ D çíà÷åííÿ J− â ïiçíiøèé ìîìåíò ÷àñóD êîëè òðàåêòîðiÿ âæå âiääàëèëàñÿ âiä ñåïàðàòðèñèX

2π (J−∞ − J−0 ) ≈ −a− Θ− ξ− ln ξ− − ξ− + ln √

2π . ξ− Γ(ξ− )

√

@IFRPA

Òåïåð ïîòðiáíî çøèòè íàáëèæåííÿ äî ñåïàðàòðèñè òà âiääàëåííÿ âiä íå¨F Òî÷íèé ÷àñ ïåðåõîäó τ±|0 íåâiäîìèéD àëå ìîæíà îá÷èñëèòè ðiçíèöþ τ−|0 −τ+|0 i âèðàçèòè τ−|0 ÷åðåç îñòàòî÷íå çíà÷åííÿD ÿêîãî íàáóâ๠J− ïiñëÿ âiääàëåíE âiäîìó òî÷êó âiäëiêóD íåçàëåæíó âiä ξi D i âèêëþ÷àþ÷è τ±|0 iç íàáëèæåíèõ

íÿ òðàåêòîði¨ âiä ñåïàðàòðèñèF Âèêîðèñòîâóþ÷è ÷àñ ïñåâäîEïåðåõîäó τ∗ ÿê ðiâíÿíü

S+ (τ+|0 ) ≈ S+ (τ∗ ) + Θ+ (τ+|0 − τ∗ ) S− (τ−|0 ) ≈ S− (τ∗ ) + Θ− (τ−|0 − τ∗ ),
ìîæíà îòðèìàòè

S− (τ−|0 ) − S− (τ∗ ) ≈ Θ− (τ−|0 − τ+|0 ) +

Θ− S+ (τ+|0 ) − S+ (τ∗ ) . Θ+

@IFRQA

46

Ôàçîâi îá9¹ìè Si (τi|0 ) ìîæíà âèðàçèòè iç Ji0 òà ðîçâèíåíü Ii òà ui áiëÿ ñåE ïàðàòðèñèF Ó ñâîþ ÷åðãóD Ji0 ñïiââiäíîñÿòüñÿ ç Ji∞ ÷åðåç @IFRIA òà @IFRPAD çðåøòîþ ç9¹äíóþ÷è ñòàí ñèñòåìè äî íàáëèæåííÿ òà ïiñëÿ âiääàëåííÿ âiä ñåïàðàòðèñèF Ïî¹äíóþ÷è öi ìiðêóâàííÿ iç âèçíà÷åííÿì J−∗ D ìîæíà îòðèE

ìàòè

2πδJ+→− = 2π (J−∞ − J−∗ ) = 2π (J−∞ − J−0 ) + +(2πJ−0 − S− (τ−|0 )) + Θ− (τ−|0 − τ+|0 ) − Θ− Θ− 2π (J+0 − J+∞ ). − (2πJ+0 − S+ (τ+|0 )) + Θ+ Θ+
@IFRRA

Öåé âèðàç ïî¹äíó¹ íåàäiáàòè÷íó çìiíó J− çi çíà÷åííÿì J+ òà ¹ çàñòîñîâE íèì äî áóäüEÿêîãî ïåðåõîäó ìiæ ñòàíàìè ç âiäïîâiäíèìè çàìiíàìè iíäåêñiâF Äëÿ íåëiíiéíîãî ìàÿòíèêà a+ = a− = aD at = 2aD iD ïiäñòàâëÿþ÷è @IFRIAD @IFRPAD @IFRQA òà ðîçâèíåííÿ Ji â @IFRRAD ïiñëÿ äåÿêèõ ñïðîùåíü ìîæíà îòðèE ìàòè

2πδJ+→− = −aΘ− ln

2π (1 − ξ+ ) + +(1 − ξ+ )b[+ Θ−] + Γ(ξ− )Γ(ξ+ ) + ÷ëåíèD ùî íå ìiñòÿòü ξi ,

@IFRSA

äå bi = bi − ai ln |Θi | i äëÿ êîìïàêòíîñòi âèêîðèñòàíî ïîçíà÷åííÿ x[i yj ] =

xi yj − xj yi F ×ëåíèD ùî íå ìiñòÿòü ξi D îïóùåíîD áî ïðè îá÷èñëåííi ñåðåäíüîE
êâàäðàòè÷íîãî âiäõèëåííÿ âîíè âèïàäàþòüF @Öå ðiâíÿííÿ âiäïîâiä๠@WA ⠑PR“FA
1.2.5.2. Ïåðåõiä (c).

Ïåðåõiä @™A ìîæíà ðîçãëÿíóòè ÿê îáåðíåíèé ó

˜ ÿê ó ïîïåðåäíüîìó ïóíêòi ÷àñi ïåðåõiä @—AD äå òåïåð 0 < ξ− < 1F Ââîäÿ÷è P ˜ òà ïîêëàäàþ÷è P 1D ìîæíà çàïèñàòè ˜ (1 − ξ+ ) ln ξ+ + o(P ˜ ). ln Γ(ξ− ) = ln Γ(ξ+ ) − P ˜ D iç @IFRSA ìîæíà îòðèìàòè Çàëèøàþ÷è âåäó÷i ÷ëåíè çà P 2πδJ+→− = −aΘ− ln 2π (1 − ξ+ ) + (1 − ξ+ )b[+ Θ−] + Γ(ξ+ )2 + ÷ëåíèD ùî íå ìiñòÿòü ξ+ .

47

Ïðè ïîñëiäîâíèõ ïåðåõîäàõ ÷åðåç ñåïàðàòðèñóD ïàðàìåòðè ïåðåõîäó ìîæíà ââàæàòè ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíèìè âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìèF Ñåðåäíÿ çìiE íà àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòó ïðè ïåðåõîäàõ @—A òà @™A ì๠ïðîòèëåæíèé çíàê i ñêîðî÷ó¹òüñÿD àëå J± @ðàçîì iç I± A çàçíàâàòèìå âèïàäêîâîãî áëóêàííÿ iç ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèì êðîêîì

(2π (δJ+→− − δJ+→− ))2 = M4 (aΘ− )2 + 1 +M3 aΘ− b[+ Θ−] + (b[+ Θ−] )2 , 12
äå
1

@IFRTA

M3 =
0

dx ln
1

1−x − γ2 Γ(x)2

x−
2

1 2

≈ 0.25,

M4 =
0

1−x − γ2 dx ln Γ(x)2 dx ln

≈ 2.6,

òà

1

γ2 =
0
1.2.5.3. Ïåðåõiä (d).

1−x = −1 − ln 2π. Γ(x)2

Äëÿ ðîçãëÿäó ïåðåõîäó @dA ïîòðiáíî ðîçãëÿE

íóòè âiääàëåííÿ âiä ñåïàðàòðèñè âñåðåäèíi @tAEîáëàñòiF Àíàëîãi÷íî äî âèE ùåâèêëàäåíîãîD åíåðãiÿ ñèñòåìè ïðè ïîñëiäîâíèõ ìîìåíòàõ ìàêñèìàëüíîãî íàáëèæåííÿ äî ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êè áóäå fn = f0 − nΘt D à ñàìi ìîìåíòè ÷àñó
1 1 ñïiââiäíîñèòèìóòüñÿD ÿê τt|n+1 = τt|n + 4 Tt (fn ) + 2 Tt (fn − Θ+ ) + 1 4 Tt (fn+1 )D

áî ïîâiëüíi ÷àñòèíè nEãî âèòêà òðàåêòîði¨ ! öå âiääàëåííÿ âiä ãiïåðáîëi÷íî¨ áëèçüêié äî ãiëêè ñåïàðàòðèñè ìiæ @tAE òà @CAEîáëàñòÿìèD åíåðãiÿ ñèñòåìè

òî÷êè ïðè åíåðãi¨ fn D ïðîõiä ïîâç íå¨ ïðè fn − Θ+ @íà ïîëîâèíi òðàåêòîði¨D

çìåíøó¹òüñÿ íà Θ+ A òà íàáëèæåííÿ ïðè fn+1 F Åíåðãiÿ â ìîìåíò ïåðøîãî ìàêñèìàëüíîãî íàáëèæåííÿ â @tAEîáëàñòi áóäå f0 = g∗ − Θ− = h0 − Θt D àëå òðàåêòîðiÿD ùî ïðèõîäèòü ç @CAEîáëàñòiD çàõîïèòüñÿ ëèøå òîäiD êîëè ¨¨ åíåðãiÿ ïðè îñòàííüîìó ìàêñèìàëüíîìó íàáëèæåííi â @CAEîáëàñòi äîE ñòàòíüî ìàëàD òîáòî h0 < Θt Y iíàêøå òðàåêòîðiÿ ïîòðàïèòü äî @EAEîáëàñòiF Îñêiëüêè h0 = ξ+ Θ+ D ïàðàìåòð ïåðåõîäó ξt = −f0 /Θt áóäå âiäíîñèòèñÿ äî

48

ïàðàìåòðó ïåðåõîäó òðàåêòîði¨ ó @CAEîáëàñòi ÿê Θt (1 − ξt ) = Θ+ ξ+ D ïðè÷îìó ïåðåõiä âiäáóäåòüñÿ çà óìîâè 0 < ξ+ < Θt /Θ+ F ×àñD ïîòðiáíèé òðàåêòîði¨
1 1 íà ïåðåòèí ñåïàðàòðèñèD áóäå τt|0 = τ+|0 + 1 2 T+ (h0 ) + 2 Tt (g∗ ) + 4 Tt (f0 )X òðàE

åêòîðiÿ âiääàëÿ¹òüñÿ âiä ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êè â @CAEîáëàñòi ïðè åíåðãi¨ h0 D äîñÿãòè @EAEîáëàñòiD çíîâó íàáëèæà¹òüñÿ äî ãiïåðáîëi÷íî¨ òî÷êè ïðè f0 F Îá÷èñëåííÿD àíàëîãi÷íi ïîïåðåäíüîìó ïiäïóíêòóD äàþòü ïðîõîäèòü ïîâç íå¨ ó @tAEîáëàñòi ïðè g∗ òàD ÿêùî ¨¨ åíåðãiÿ íåäîñòàòíÿD ùîá

2π (Jt0 − Jt∞ ) = at Θt − ξt −

1 Γ(ξt )Γ(ξt + ln 2 2π 1 − Θ+ /Θt 2

Θ+ Θt )

+ ξt −
@IFRUA

ln |ξt |

@öå ðiâíÿííÿ âiäïîâiä๠@RA ⠑PR“AF Îá9¹äíóþ÷è @IFRIAD @IFRUA òà @IFRRA ç âiäïîâiäíèìè çàìiíàìè iíäåêñiâD ìîæíà îòðèìàòè

2πδJ+→t = aΘt ln +

Γ(ξt )Γ(ξt +
3

Θ+ Θt )Γ(ξ+ ) Θ+ Θt

+
@IFRVA

Θt b Θt] ξt + ÷ëåíèD ùî íå ìiñòÿòü ξi . Θ+ [+

(2π ) 2 ξt − 1 +

˜ Çíîâó ïîêëàäàþ÷è P

1D ïàðàìåòð ïåðåõîäó ïiñëÿ ïåðåòèíó ñåïàðàòðèñè

−1 ˜ ) i ìîæíà ðîçâèíóòè Γ(ξ+ ) = ξ+ + O(1)F Êðiì öüîãîD îñêiëüE ξ+ = O(P ˜ −1 )D ìîæíà ðîçâèíóòè ln Γ(ξt + Θ+ /Θt ) = ln Γ(Θ+ /Θt ) + êè Θ+ /Θt = O(P ˜ )F Çàëèøàþ÷è âåäó÷i ÷ëåíè çà P ˜ D iç @IFRVA ìîæíà îòðèE ξt ln(Θ+ /Θt ) + O(P

ìàòè

2πδJ+→t = aΘt ln +

Θt b Θt] ξt + ÷ëåíèD ùî íå ìiñòÿòü ξi . Θ+ [+

Γ(ξt ) Θ+ + ξt ln 1 − ξt Θt

+

49

Ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèé êðîê ó öüîìó âèïàäêó äîðiâíþâàòèìå

(2π (δJ+→t − δJ+→t ))2 = M2 (aΘt )2 + Θ+ Θt +M1 aΘt aΘt ln + b Θt] + Θt Θ+ [+ 2 1 Θ+ Θt + aΘt ln + b Θt] , 12 Θt Θ+ [+
äå
1

@IFRWA

M1 =
0

dx ln
1

Γ(1 − x) − γ1 x

x−
2

1 2

≈ 0.001,

M2 =
0

Γ(1 − x) dx ln − γ1 x dx ln

≈ 0.77,

òà

1

γ1 =
0

√ Γ(1 − x) = 1 + ln 2π. x
Ùîá îòðèìàòè âèðàçè äëÿ ñòðèáêiâ àäiE

1.2.6. Êîåôiöi¹íò äèôóçi¨.

àáàòè÷íèõ iíâàðiàíòiâ áiëÿ òî÷îê ïåðåõîäóD áóäå âèêîðèñòàíî òåîðiþ ïåðåE õîäó ÷åðåç ñåïàðàòðèñóD ðîçðîáëåíó Íåéøòàäòîì ‘PR“F Îñêiëüêè ôàçîâèé ïîðòðåò íåëiíiéíîãî ìàÿòíèêà âiäðiçíÿ¹òüñÿ âiä ôàçîâîãî ïîðòðåòà ñèñòåE ìèD ðîçãëÿíóòî¨ â ‘PR“D âèâåäåíi òàì âèðàçè íå ìîæíà ïðÿìî çàñòîñóâàòè äî äàíî¨ çàäà÷iF Äåùî ãðîìiçäêi îá÷èñëåííÿ ñòðèáêiâ çà ìåòîäîì ‘PR“D íàâåäåíi ó ïîïåðåäíüîìó ïóíêòiD äàþòü äëÿ ñòðèáêà àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòà It ïðè ïåðåõîäi ìiæ ëîêàëüíî çàõîïëåíèì i ëîêàëüíî ïðîëiòíèì ñòàíàìè âèðàç

2πδJ+→t =

Θt (b Θt − bt Θ+ )ξ + Θ+ + Θt + Γ(ξ )Γ(ξ + Θ Θt )Γ( Θ+ (1 − ξ )) + aΘt ln , 3 Θ+ (2π ) 2 ξ − 1 + Θt

@IFSHA

äå a òà bi ! êîåôiöi¹íòèD ùî âèçíà÷àþòüñÿ iç ðîçâèíåííÿ Ii áiëÿ ñåïàðàòðèñèD à 0 < ξ < 1 ! ïàðàìåòð ïåðåõîäóD ùî âiäïîâiä๠òî÷íié êîîðäèíàòi ÷àñòèíêè ó ìîìåíò ïåðåòèíó ñåïàðàòðèñèY ÷ëåíèD ùî íå çàëåæàòü âiä ξ D îïóùåíîD áî âîíè íå äàþòü âíåñêó â êîåôiöi¹íò äèôóçi¨F Ïðè ïîâòîðíèõ ïåðåõîäàõ

50

÷åðåç ñåïàðàòðèñóD ξ ìîæíà ââàæàòè ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíîþ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþD i àäiàáàòè÷íèé iíâàðiàíò çàçíàâàòèìå âèïàäêîâîãî áëóêàííÿ ç ïîçíà÷àþòü óñåðåäíåííÿ ïî ξ F Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî ó ñïåöiàëüíîìó âèïàäêóD êîëè ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèì êðîêîì (2π (δJ+→t − δJ+→t ))2 D äå êóòîâi äóæêè

Θ+ = Θ− = Θt /2, b+ = b− ,
òè÷íîãî iíâàðiàíòà äîðiâíþâàòèìå

@IFSIA

âèðàç @IFSHA çâîäèòüñÿ äî aΘt ln sin ξ i ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèé êðîê àäiàáàE

(2π (δJ+→t − δJ+→t ))2 = (aΘt )2 π 2 /12.

@IFSPA

Öåé ñïåöiàëüíèé âèïàäîê âiäïîâiä๠çàäà÷i ïðî ÷àñòèíêó ó ãàðìîíi÷íîìó åëåêòðè÷íîìó ïîòåíöiàëiD ÿêèé ïîâiëüíî çìiíþ¹òüñÿ ç ÷àñîì ‘PPDPQDPR“F ÏðîE òå óìîâè @IFSIA îçíà÷àþòüD ùîD çàëåæíî âiä çíàêó Θt D ïðîëiòíi ÷àñòèíêè çàõîïëþþòüñÿ ïîòåíöiàëîìD à çàõîïëåíi ! ïåðåòâîðþþòüñÿ íà ïðîëiòíi ç iìîâiðíiñòþ 1D à ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ñòàíàìè ïåðåõîäiâ íåìà¹F Íà ïðîòèâàãóD ó âèïàäêó ïåðåõiäíî¨ ÷àñòèíêè â ñòåëàðàòîði iìîâiðíiñòü ïåðåE òâîðåííÿ ó âåðõíié òî÷öi ïåðåõîäó P

1D à ó íèæíié òî÷öi ïåðåõîäó ôàçîE

âèé ïîòiê ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîêD ùî ïåðåòâîðþþòüñÿ íà ëîêàëüíî ïðîëiòíiD ñêëàä๠ìàëó @∼ P A ÷àñòêó ïîòîêó ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîêD ùî çìiíþþòü íàïðÿìîê äðåéôó íà ïðîòèëåæíèéF Êðiì öüîãîD óìîâè @IFSIA âèìàãàþòü ñèìåòði¨ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ñòàíàìèD âiäñóòüî¨ â äàíîìó âèïàäêó ÷åðåç íàÿâíiñòü ó ðiâíÿííi @IFQRA ÷ëåíà − e c ψp F @Ôiçè÷íîD öÿ àñèìåE áëèçüêîþ äî @EA ãiëêè ñåïàðàòðèñèD ¹ äîâøîþ çà ϑD íiæ òàD ùî ¹ áëèçüêîþ äî @CA ãiëêèD i íàâïàêè ó íèæíié òî÷öi ïåðåõîäóFA òðiÿ îçíà÷à¹D ùî òà ÷àñòèíà òðàåêòîði¨ ëîêàëüíî çàõîïëåíî¨ ÷àñòèíêèD ÿêà ¹

˜ Ó âèïàäêóD ùî ðîçãëÿäà¹òüñÿD P

1 i ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèé êðîê äàE

¹òüñÿ @IFRWAF Íåõòóþ÷è ìàëèì êîðåëÿöiéíèì ÷ëåíîì òà íàáëèæàþ÷è â âåE

51

˜ Θt /Θ+ ≈ P ˜D äó÷îìó ïîðÿäêó çà P (2π (δJ+→t − δJ+→t ))2 ≈ M2 (aΘt )2 + 2 1 ˜ ˜ + −aΘt ln P + P (b+ Θt − bt Θ+ ) , 12 äå M2 ≈ 0.77 ! êîíñòàíòàD ùî âèíèê๠ç iíòåãðàëiâ ç ΓEôóíêöiÿìèF
@IFSQA

Äëÿ ïîäàëüøîãî ïðîñóâàííÿ ïîòðiáíi âèðàçè äëÿ êîåôiöi¹íòiâ a òà bi F

Íàñëiäóþ÷è ‘PR“D ñëiä ðîçêëàñòè àäiàáàòè÷íi iíâàðiàíòè çà åíåðãåòè÷íîþ âiäñòàííþ âiä ñåïàðàòðèñè h = ψ − ψs ïðè ôiêñîâàíîìó çíà÷åííi ÷àñó Ïîáëèçó κ2 = 1 äëÿ ôóíêöi¨ f ñïðàâåäëèâà îöiíêà

ϑF Òóò ψs ! ïîëîæåííÿ ñåïàðàòðèñèD âèçíà÷åíå iç ðiâíÿííÿ κ2 (ψs , ϑ) = 1F 16 s 1 + ln 4 |s |

f (κ) = 1 −
äå

+ O(s2 ln |s|),

∂κ2 h ∂ψ äîäàòí¹ äëÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ i âiä9¹ìíå äëÿ ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ ÷àE s = 1 − κ2 ≈ −
ñòèíîêF Òîäi äëÿ I± ìîæíà îòðèìàòè

I± ≈ ∓

e ψp e ι 1 1 ∂Is ∓ h + Is + h− cN cN 2 2 ∂ψ 1 ∂κ2 1 ∂κ2 − Is h ln h 8 ∂ψ 16e ∂ψ

i êîåôiöi¹íòè ó @IFQWA äàþòüñÿ âèðàçàìè

a± a 1 ∂κ2 ≡ = Is 2π 2π 8 ∂ψ b± ι 1 ∂Is 1 ∂κ2 1 ∂κ2 = ∓ + − Is ln , 2π N 2 ∂ψ 8 ∂ψ 16 ∂ψ òîäi ÿê äëÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê ç It = I+ + I− âèïëèâ๠bt = b+ + b− D at = 2aF Ïîçíà÷àþ÷è bi = bi − ai ln |Θi | òà çàëèøàþ÷è ñêðiçü ëèøå ˜ D ïiñëÿ äåÿêèõ ïåðåòâîðåíü ìîæíà îòðèìàòè âåäó÷i ÷ëåíè çà P b+ Θt − bt Θ+ = b+ Θ− − b− Θ+ = 2π Θ+ ι ˜ ∂Is P− + N ∂ψ Is ∂κ2 π ψp + ln κ2 , . 4 ∂ψ 8 N

52

Êðiì öüîãîD ïîòðiáíî ñïiââiäíåñòè çìiíó àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòà iç ðàE äiàëüíèì çìiùåííÿì òî÷êèD äå äðåéôîâà òðàåêòîðiÿ ÷àñòèíêè ïåðåòèí๠ñåïàðàòðèñóX

δψ+→t =
äå

dψ dIi

κ2 =1 −1

δJ+→t
−1

@IFSRA

dIi dψ dψ ∂κ2 ∂κ2 2π = =− . dIi κ2 =1 dϑ κ2 =1 dϑ ∂ϑ ∂ψ Θi Êîìáiíóþ÷è íàâåäåíi âèùå ôîðìóëèD äëÿ ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîãî ðàäiàëüE
íîãî çìiùåííÿ ÷àñòèíêè ïðè ïåðåõîäi ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèì òà ëîêàëüíî çàõîïëåíèì ñòàíàìè ìîæíà îòðèìàòè

(δψ+→t − δψ+→t )
äå

2

=

πIs ∂κ2 4 ∂ϑ

2

Q2 M2 − 12
−1

,

@IFSSA

2 ˜ + 2 ln π κ2 , ψp + 8 1 ∂Is ∂κ Q = ln P . 8 N Is ∂ϑ ∂ϑ Êîåôiöi¹íò ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨D ùî âèíèê๠âíàñëiäîê ñòðèáêiâ àäiàáàòèE

÷íèõ iíâàðiàíòiâ ïðè öèõ ïåðåõîäàõD ìîæíà îöiíèòè âèðàçîì

D=

dr dψ

2

(δψ+→t − δψ+→t )2

2P , τ

@IFSTA

äå τ ! ñåðåäíié ÷àñ ìiæ ïåðåòâîðåííÿìè ÷àñòèíêè ó âåðõíié òî÷öi ïåðåõîäóF Ìíîæíèê 2P âðàõîâó¹D ùî êîæíîãî ðàçóD êîëè ÷àñòèíêà ç iìîâiðíiñòþ P ïåðåòâîðþ¹òüñÿ íà ëîêàëüíî çàõîïëåíóD âiäáóâà¹òüñÿ äâà ïåðåõîäè ìiæ ëîE êàëüíî ïðîëiòíèì òà ëîêàëüíî çàõîïëåíèì ñòàíàìèF Âèêîðèñòîâóþ÷è îöiíE êó äëÿ τ ç ‘PI“D @IFSTA çàïèøåòüñÿ ó âèãëÿäi

D=D
äå

(0)

π2 12

−1

Q2 M2 − 12

,

@IFSUA

D

(0)

π 3 R 2 ωB ρ ¯4 l = 2 4 3 3N a r

hm

∂κ2 ∂ϑ

2 h m

δ +
hm t

+ δ/δ1

53

! êîåôiöi¹íò ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨D ùî äà¹òüñÿ ôîðìóëîþ @QTA ó ‘PI“F Éîãî ìîæíà îòðèìàòèD ïiäñòàâèâøè â @IFSRA âèðàç @IFSPA çàìiñòü @IFSQAF Îòðèìàíèé òóò âèðàç äëÿ êîåôiöi¹íòà ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ âðàõîâó¹ ëèøå âíåñîê âiä ïåðåõîäiâ ìiæ ëîêàëüíî çàõîïëåíèì òà ëîêàëüíî ïðîëiE òíèìè ñòàíàìè i íåõòó¹ ìîæëèâèì âíåñêîì â ñòîõàñòè÷íó äèôóçiþ âiä ïåE ðåòâîðåííÿ ÷àñòèíîê ìiæ äâîìà ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ñòàíàìèD òîáòî âiä çìiíè íàïðÿìêó äðåéôó ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê íà ïðîòèëåæíèéF Öåé âíåñîê äà¹òüñÿ âèðàçîì

D± =

dr dψ

2

(δψ+→− − δψ+→− )2

2 , τ

äå ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íèé êðîê àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòà äà¹òüñÿ ðiâíÿíE íÿì @IFRTAF Öåé âíåñîê íå âðàõîâó¹òüñÿD áî íåÿñíîD ÷è ìîæíà ââàæàòè ïàðàE ìåòð ïåðåõîäó ïðè êîæíîìó íàñòóïíîìó ïåðåõîäi ìiæ @CA òà @EAEïðîëiòíèìè ñòàíàìè ðiâíîìiðíî ðîçïîäiëåíîþ âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþF Êðiì öüîãîD D± ì๠òîé ñàìèé ïîðÿäîê âåëè÷èíèD ùî é D(0) D i íàâðÿä ÷è âïëèíå íà áóäüEÿêi âèñíîâêè ùîäî íàñëiäêiâ ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ â äàíîìó âèïàäêóF

107 DD cm2 /s 106 105 104

r/a = 1 r/a = 0.5 r/a = 0.25

103 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 α
ÐèñF IFQF Çàëåæíiñòü êîåôiöi¹íòà äèôóçi¨ âiä ïiò÷Eêóòîâîãî ïàðàìåòðà α =

¯ − 1 äëÿ ðiçíèõ r/aF Òîâñòi ëiíi¨X DD òîíêi ëiíi¨X D(0) F E /µB

54

107 DD cm2 /s

0.25 0.2 0.15

106 0 0.2 0.4 0.6 r/a 0.8 1

ÐèñF IFRF Çàëåæíiñòü êîåôiöi¹íòiâ äèôóçi¨ âiä ðàäióñó ïðè α = (αmin +

αmax )/2F Òîâñòi ëiíi¨X DD òîíêi ëiíi¨X D(0) F Ïóíêòèðíà ëiíiÿ ä๠çíà÷åííÿ
ñåðåäíüîãî α ïðè êîæíîìó çíà÷åííi ðàäióñóF
1.2.7. Còîõàñòè÷íà äèôóçiÿ ó ðåàêòîði-ñòåëàðàòîði Helias.

α

Ùîá

ïîðiâíÿòè D òà D(0) D áóëî îáðàõîâàíî ÷èñëîâi çíà÷åííÿ îáîõ êîåôiöi¹íòiâ äëÿ òi¹¨ æ ñàìî¨ ìàãíiòíî¨ êîíôiãóðàöi¨ òà ïàðàìåòðiâ ÷àñòèíîêD ÿêi áóëè âèêîðèñòàíi â ðîáîòi ‘PI“D à ñàìå äëÿ òåðìîÿäåðíèõ αE÷àñòèíîê ó ðåàêòîE ði reli—s ç β = 4.7%D B = 4.75T òà a/ρ ¯l = 30F Ðåçóëüòàòè îá÷èñëåíü ïðåäñòàâëåíi íà ÐèñF IFQD IFRF Çàãàëüíèé âèãëÿä çàëåæíîñòi D âiä r òà α çàëèøà¹òüñÿ òèì ñàìèìD àëå çíà÷åííÿD îá÷èñëåíi çà ôîðìóëîþ @IFSUAD ïåE ðåâèùóþòü ïîïåðåäíi îöiíêè ó êiëüêà ðàçiâD îñîáëèâî ïîáëèçó αmax D òîáòî äëÿ ñëàáêî ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîêF Âèðàç D(0) ä๠ÿêiñíî ïðàâèëüíi ðåçóëüòàòè ÷åðåç òåD ùî ñòðèáêè àäiE àáàòè÷íîãî iíâàðiàíòà ¹ äîáóòêîì ôàçîâîãî ïîòîêó ÷àñòèíîê ÷åðåç ñåïàE ðàòðèñó òà áåçðîçìiðíîãî ìíîæíèêàD ùî âðàõîâó¹ iíòåðâàëèD â ÿêèõ ðîçE ïîäiëåíi ïàðàìåòðè ïåðåõîäóD òà ñòðóêòóðó ôàçîâîãî ïðîñòîðó áiëÿ ñåïàE ðàòðèñè @çîêðåìà êiëüêiñòü i ïîðÿäîê íàáëèæåíü òðàåêòîði¨ ÷àñòèíêè äî ãiïåðáîëi÷íèõ òî÷îêAF Ôàçîâi ïîòîêè ìiæ ñòàíàìè íå çàëåæàòü íi âiä ïàE ðàìåòðiâ ïåðåõîäó îêðåìèõ ÷àñòèíîêD íi âiä ñòðóêòóðè ôàçîâîãî ïðîñòîðó

55

áiëÿ ñåïàðàòðèñèD i âèçíà÷àþòüñÿ ïðÿìî iç âèðàçiâ äëÿ àäiàáàòè÷íèõ iíâàE ðiàíòiâ @IFQVAF sìîâiðíîñòi ïåðåõîäiâ òàêîæ çàëåæàòü ëèøå âiä öèõ ïîòîêiâD òîìó âèâåäåíèé ó öié ðîáîòi âèðàç äëÿ iìîâiðíîñòi ïåðåõîäó ñïiâïàä๠ç îá÷èñëåíèì ó ‘PI“ iíøèì ìåòîäîìF
1.2.8. Ïiäñóìêè.

Âèâåäåíî êîåôiöi¹íò ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ ïåðåõiE

äíèõ ÷àñòèíîê ó ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelsteinD çàñíîâàíèé íà âèðàçi äëÿ ñòðèáêiâ àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòà â ñòåëàðàòîðíîìó ìàãíiòíîìó ïîëiD ùî âðàõîâó¹ ñòâîðþâàíó ìàãíiòíèì ïîëåì àñèìåòðiþ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèE ìè ÷àñòèíêàìè iç ïðîòèëåæíèìè çíàêàìè v F ÏîêàçàíîD ùî âèñíîâêè ðîáîE òè ‘PI“ çàëèøàþòüñÿ ÿêiñíî âiðíèìè íåçâàæàþ÷è íà âèêîðèñòàííÿ âèðàçó äëÿ ñòðèáêiâ àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòà ÷àñòèíêè ó ãàðìîíi÷íîìó åëåêòðèE ÷íîìó ïîòåíöiàëiD ùî ïîâiëüíî çìiíþ¹òüñÿ ç ÷àñîì ‘PPD PQD PR“D àëå êîåôiE öi¹íò äèôóçi¨D îá÷èñëåíèé çà íîâîþ ôîðìóëîþD â êiëüêà ðàçiâ ïåðåâèùó¹ ïîïåðåäíi îöiíêèF Ïåðåâèùåííÿ îñîáëèâî ïîìiòíå äëÿ ñëàáêî ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîêF Ðåçóëüòàòè äîñëiäæåíü çäîáóâà÷à ó öüîìó ðîçäiëi âiäîáðàæåíî â ïóáëiE êàöiÿõ ‘RD Q“F

56

ÐÎÇÄsË P
ÂÏËÈ ÐÀÄIÀËÜÍÎÃÎ ÅËÅÊÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÏÎËß ÍÀ ÍÀÄÒÅÏËÎÂI IÎÍÈ

2.1. Ïîêðàùåííÿ óòðèìàííÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ iîíiâ

2.1.1. Âñòóï.

Íà ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆ ¹ êiëüêà äæåðåë íàäE

òåïëîâèõ iîíiâD çà äîïîìîãîþ ÿêèõ íàãðiâà¹òüñÿ ïëàçìà ‘PU“X iíæåêöiÿ íåéE òðàëüíèõ ïó÷êiâ @xeutr—l fe—m snje™tionD xfsA i íàãðiâàííÿ íà iîííîìó öèE êëîòðîííîìó ðåçîíàíñi @son gy™lotron ‚eson—n™e re—tingD sg‚rAD òàêîæ ó ïðîåêòi iíæåêöiÿ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâD óòâîðåíèõ âiä9¹ìíèìè iîíàìè @xeg—tiveE ionE˜—sed xeutr—l fe—m snje™tionD xxfsA ‘PV“F Êðiì öüîãîD iíæåêöiÿ íåéE òðàëüíèõ ïó÷êiâ âèêîðèñòîâó¹òüñÿ äëÿ äiàãíîñòèêèF Ó ðåàêòîðíèõ ïëàçìàõD çîêðåìà ó ðåàêòîðiEñòåëàðàòîði reli—s ‘PH“D âàæëèâèì äæåðåëîì íàäòåïëîE âèõ iîíiâ áóäóòü òåðìîÿäåðíi ðåàêöi¨D â ÿêèõ óòâîðþâàòèìóòüñÿ i ïðîëiòíiD i çàõîïëåíi iîíèF Íà ïðîòèâàãó äî öüîãîD íà ‡UEˆ iíæåêòîðè óòâîðþþòü çäåE áiëüøîãî ñëàáêîïðîëiòíi ÷àñòèíêèF Òèì íå ìåíøåD êîëè òåìïåðàòóðà T > 2 êå i åôåêòèâíå çàðÿäîâå ÷èñëî zef f > 1D ó ïëàçìi ‡UEˆ iñíó¹ ïîìiòíà ïîE ïóëÿöiÿ çàõîïëåíèõ íàäòåïëîâèõ iîíiâD áî çà öèõ óìîâ åíåðãiÿ iíæåêòîâàíèõ iîíiâ Eb õàðàêòåðíèé ÷àñ ïiò÷Eêóòîâîãî ðîçñiÿííÿ òà õàðàêòåðíèé ÷àñ çàïîâiëüíåííÿ ÷åðåç êóëîíîâi çiòêíåííÿ ñïiâïàäàþòüF Êðiì öüîãîD äiàãíîñòè÷íà iíæåêöiÿ òà sg‚r ïðÿìî óòâîðþþòü çàõîïëåíi ÷àñòèíêèF Òàêèì ÷èíîìD i íà ‡UEˆD i íà ðåàêòîði reli—s ó ïëàçìi áóäóòü ïðèñóòíi íàäòåïëîâi iîíè ç ðiçíèìè åíåðãiÿìè òà ïiò÷EêóòàìèF Îñíîâíèé çàñiáD çà äîïîìîãîþ ÿêîãî ó ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelstein çàáåçïå÷ó¹òüñÿ äîáðå óòðèìàííÿ çàõîïëåíèõ íàäòåïëîâèõ iîíiâD öå ñòâîðåE

60 êå áëèçüêà äî êðèòè÷íî¨ åíåðãi¨ E∗ ∝ (Mi /Me )1/3 T D äëÿ ÿêî¨

57

ííÿ äîñòàòíüî âåëèêîãî âiäíîøåííÿ òèñêó ïëàçìè äî òèñêó ìàãíiòíîãî ïîëÿ

β ∼ 5%F ‘PW“ Çà öi¹¨ óìîâè äiàìàãíåòèçì ïëàçìè çàïîáiã๠óòâîðåííþ íåçàE

ìêíåíèõ ñóïåðáàíàíîâèõ îðáiòD çàìèêàþ÷è ëiíi¨ ðiâíÿ ïîçäîâæíüîãî àäiàE áàòè÷íîãî iíâàðiàíòà òà çìåíøóþ÷è ¨õ âiäõèëåííÿ âiä ìàãíiòíèõ ïîâåðõîíüF Ðàäiàëüíå åëåêòðè÷íå ïîëå Er òàêîæ âïëèâ๠íà óòðèìàííÿ ÷àñòèíîêD àëå íà ïðîòèâàãó äî äiàìàãíåòèçìó ïëàçìèD âïëèâ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ âàæëèE âèé ëèøå äëÿ ÷àñòèíîê iç åíåðãi¹þ ìåíøîþ çà ïåâíó ïîðîãîâó åíåðãiþD à ñàìå òàêó åíåðãiþD äëÿ ÿêî¨ åëåêòðè÷íà äðåéôîâà øâèäêiñòü ïðèáëèçíî ðiâE íà ìàãíiòíié äðåéôîâié øâèäêîñòiF Êðiì öüîãîD âïëèâ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ çàëåæèòü âiä éîãî çíàêóF Ðàäiàëüíå åëåêòðè÷íå ïîëå çàâæäè iñíó¹ ó ñòåëàðàòîðíié ïëàçìiF Éîãî ïëàçìi ç ìàëèì ðàäióñîì a = 0.5 öå ä๠Er ∼ 4 − 20 êÂGìF Íàñïðàâäi åëåE íàïðóæåíiñòü ïðîñòî îöiíèòèD ïðèïóñòèâøèD ùî eΦ ∼ T = 2 − 10 êåÂY ó

êòðè÷íå ïîëå ìîæå áóòè ùå ñèëüíiøèìD çàëåæíî âiä òàêèõ ÷èííèêiâD ÿê òðàíñïîðòíi âëàñòèâîñòi îñíîâíî¨ ïëàçìèD âåëè÷èíè òà ðàäiàëüíi ïðîôiëi ïàðàìåòðiâ ïëàçìèD óòðèìàííÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâ òîùîF Ïiä ÷àñ åêñïåðèE ìåíòiâ iç ïîïåðå÷íîþ iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ íà ‡endelstein UEeƒ ñïîñòåðiãàëîñÿ åëåêòðè÷íå ïîëå ç íàïðóæåíiñòþ |Er | = 20 êÂGì ‘QH“F ÍåîE êëàñè÷íi îá÷èñëåííÿ ó ‡endelstein UEˆ äàþòü çíà÷åííÿ Er öåíòði ïëàçìè @òFçâF åëåêòðîííèé êîðiíüA òà |Er | ïåðèôåði¨ ïëàçìè @iîííèé êîðiíüAF ‘QI“

18 êÂGì â

5 êÂGì @Er < 0A íà

Ìåòîþ öüîãî ïiäðîçäiëó ¹ äîñëiäæåííÿ âïëèâó åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íà óòðèìàííÿ çàõîïëåíèõ íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelsteinD à ñàìå ó ‡UEˆ òà ó ðåàêòîði reli—sF Ó ïóíêòi PFIFP âèâîäÿòüñÿ áàóíñEóñåðåäíåíi ðiâíÿííÿ ðóõó ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê òà äà¹òüñÿ ¨õ ÿêiñíèé àíàëiç ó íàáëèæåííiD ùî ðîçãëÿä๠ëèøå íàéáiëüøi ôóð9¹Eãàðìîíiêè ìàãíiòíîãî ïîëÿ ñòåëàðàòîðiâ öüîãî òèïóF Ó ïóíêòi PFIFR ðîçãëÿäà¹òüñÿ ìîæëèâiñòü âèêîðèñòàííÿ ðàäiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ äëÿ âèäàëåííÿ ïîïåëó ó ðåE àêòîði reli—sD à ó ïóíêòi PFIFS íàâåäåíi ïiäñóìêèF

58

2.1.2. Áàóíñ-óñåðåäíåíi ðiâíÿííÿ òà ¨õ àíàëiç.

ÂiäîìîD ùî ðóõ

âåäó÷îãî öåíòðó ÷àñòèíêè ó ñòàöiîíàðíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi B òà ïîòåíöiE ííÿìè àëüíîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi ç ïîòåíöiàëîì ΦD E = −∇ΦD îïèñó¹òüñÿ ðiâíÿE

˙ gc = v + vD + vE , r ρ ˙ = (v + vD + vE ) · ∇ρ ,

@PFIA @PFPA

˙ gc = drgc /dtD ρ äå r ˙ = dρ /dtD rgc ! ðàäióñEâåêòîð âåäó÷îãî öåíòðó ÷àñòèíêèD ρ = v /ωB D v = v · b øâèäêiñòü ðóõó âçäîâæ ñèëîâèõ ëiíié ìàãíiòíîãî
ïîëÿD b = B/B D B ≡ B(rgc )D

v =σ

2 [W − eΦ − µp B ], W = E + eΦ, m

dW = 0, dt

@PFQA

µp ! ìàãíiòíèé ìîìåíò ÷àñòèíêèD E = mv 2 /2 ! ¨¨ êiíåòè÷íà åíåðãiÿD e !
çàðÿäD σ = v /|v |D vD òà vE ! äðåéôîâi øâèäêîñòiD ùî äàþòüñÿ âèðàçàìè

vD =

1 µp E×B b× , ∇B + v 2 K , v E = c ωB m B2

@PFRA

òèñê ïëàçìèD à ωB ! öèêëîòðîííà ÷àñòîòà ÷àñòèíêèF

K = B −2 (B ∇⊥ B + 4π ∇⊥ p) ! êðèâèíà ñèëîâèõ ëiíié ìàãíiòíîãî ïîëÿD p !
Îñêiëüêè ∇v = (eE − µp ∇B )/mv D ëåãêî ïîêàçàòèD ùî ÷ëåíè ç åëåE

êòðè÷íèì ïîëåì ó ïðàâié ÷àñòèíi ðiâíÿííÿ @PFPA @ïîçíà÷åíi iíäåêñîì iA ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi

ρ ˙

E

= (˙ rgc · ∇ρ )E =

cE 4πcv + E · [B × ∇p]. B ωB |B |4

@PFSA

ÏðèïóñòèìîD ùî Φ = Φ(r)D äå r ! ðàäiàëüíà ïîòîêîâà êîîðäèíàòàF Òîäi ïðèñóòíîñòi ðàäiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ì๠òàêó ñàìó ôîðìóD ÿê i ó êòðè÷íå ïîëå âõîäèòü ÿâíèì ÷èíîìF ç ðiâíÿííÿ @PFSA âèïëèâà¹D ùî (˙ rgc · ∇ρ )E = 0D òîáòî ðiâíÿííÿ äëÿ ρ â

âiäñóòíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD íà âiäìiíó âiä ðiâíÿííÿ äëÿ v D ó ÿêå åëåE

59

Ïðèéìàþ÷èD ùî β

1 òà N ιr2 /R2

1D ðiâíÿííÿ @PFIAD @PFPA â áóçåðîâèõ

êîîðäèíàòàõ ìàþòü âèãëÿä

r ˙=−

vd 1 ∂B , B ∂ϑ

@PFTA @PFUA @PFVA @PFWA

˙ = v ιb3 + vd 1 ∂B + ΩE , ϑ B ∂r ϕ ˙ = v b3 , ρ ˙ =− vd B ∂B ∂B +ι ∂ϕ ∂ϑ ,

¯ D ωB 0 = eB/ ¯ (mc)D ΩE = −cE1 /(Br ¯ ) ! ÷àñòîòà âèêëèêàE äå v = ρ ωB 0 B/B
íîãî åëåêòðè÷íèì ïîëåì îáåðòàííÿ â ïîëî¨äàëüíîìó íàïðÿìêóD îáåðòàëüíå ïîâiäíî êîíòðàâàðiàíòíi òà êîâàðiàíòíi êîìïîíåíòè âåêòîðiâD òîêàìà÷íà äðåéôîâà øâèäêiñòüD ùî äà¹òüñÿ ðiâíÿííÿì ïåðåòâîðåííÿ ι = B 2 /B 3 D âåðõíi òà íèæíi iíäåêñè ID PD Q ïîçíà÷àþòü âiäE

= r/RD vd !

vd =

v2 + v2 2ωB 0 R

=

¯ λE0 B ρ + 2 B mωB 0
2

ωB 0 |B |2 ¯ |2 , R|B

@PFIHA

¯ E0 ! ïiò÷Eêóòîâèé ïàðàìåòðD E0 ≡ E (t = 0)D à b3 ≈ B/(BR ¯ )F Ó ðiâE λ = µp B/
ìàãíiòíîãî ïîëÿ B1 òà B2 íà äðåéôîâèé ðóõ ÷àñòèíêèF

íÿííÿõ @PFTAE@PFVA çíåõòóâàíî âïëèâîì ìàëèõ êîìïîíåíòiâ âåêòîðà iíäóêöi¨ ßêùî ðîçêëàñòè iíäóêöiþ ìàãíiòíîãî ïîëÿ â ðÿä Ôóð9¹ çà òîðî¨äàëüíèì òà ïîëî¨äàëüíèì êóòàìè

¯ 1+ B=B
µ 0,ν

(µν ) B (r ) cos(µϑ

− νN ϕ) ,

@PFIIA

òî ðiâíÿííÿ @PFTAE@PFWA íàáóâàþòü âèãëÿäó

¯ vd R B r ˙= r B ˙ = ι ωB 0 ρ ϑ R B ¯ B
2

µ
µν =0

(µν ) B sin(µϑ

− νN ϕ),

@PFIPA

¯ vd R B + r B

d
µ 0,ν

(µν ) B

dr

cos(µϑ − νN ϕ) + ΩE ,

@PFIQA

60

ρ ϕ ˙ = ωB 0 R ρ ˙ = vd ¯ B B (µι − νN )

B ¯ B

2

, − νN ϕ).

@PFIRA @PFISA

(µν ) B sin(µϑ

µν =0

Öi ðiâíÿííÿ iíòåãðó¹ ÷èñëîâèé êîä y‚fsƒ ‘S“F Ïðîòå ó áàãàòüîõ âèïàäE êàõ ¨õ àíàëiòè÷íèé òà ÿêiñíèé àíàëiç òàêîæ ¹ êîðèñíèìF Äëÿ öüîãî íèæ÷å áóäå âèâåäåíî óñåðåäíåíi ðiâíÿííÿ äðåéôîâîãî ðóõó ÷àñòèíêèF Óñåðåäíåííÿ ìîæëèâå çàâäÿêè òîìóD ùî N ìàãíiòíîãî ïîëÿ µ

1D òîäi ÿê äëÿ âàæëèâèõ ôóð9¹Eêîìïîíåíò 1D ùî ïðèâîäèòü äî iñíóâàííÿ äâîõ ìàñøòàáiâ

1 òà ν

êè ìîæíà ïðåäñòàâèòè ÿê ñóïåðïîçèöiþ øâèäêîãî áàóíñEðóõó i ïîâiëüíîãî äðåéôóD i óñåðåäíèòè ðiâíÿííÿ @PFIPAE@PFISA ïî øâèäêîìó ðóõóF

ìîäóëÿöi¨ B âçäîâæ ñèëîâî¨ ëiíi¨D ∆ϕ ∼ π/N òà ∆ϕ ∼ π F Òîìó ðóõ ÷àñòèíE

2.1.3. Îðáiòè íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó ñòåëàðàòîði Wendelstein 7X.

Ó áàãàòüîõ ñòåëàðàòîðàõ äîìiíóþ÷i ãàðìîíiêè ìàãíiòíîãî ïîëÿ ìàþòü

ñïiëüíå ν = 0D çîêðåìà ó ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelstein öå çíà÷åííÿ ν = 1F Òîäi ðîçâèíåííÿ @PFIIA çâîäèòüñÿ äî ðiâíÿííÿ @IFQQA @äèâF ïóíêò IFPFQAD i óñåðåäíåííÿ ðiâíÿíü @PFIPAE@PFISA ðóõó ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê äà¹

r ˙ = ¯d ∂ hm ˙ =v ϑ − ∂r

v ¯d ∂ hm ∂ϑ

2E (κ) −1 − K (κ)

t sin ϑ

,

@PFITA

2E (κ) ∂ t ∂ 0 + ΩE , @PFIUA −1 − cos ϑ + K (κ) ∂r ∂r 1 ∂χ ˙ 1 ∂χ ϕ ˙ = ϑ + r ˙ , @PFIVA N ∂ϑ N ∂r äå v ¯d = vd (v = 0)D K = K (κ) òà E = E (κ) ! ïîâíi åëiïòè÷íi iíòåãðàëè âiäE
ïîâiäíî ïåðøîãî i äðóãîãî ðîäóD κ äà¹òüñÿ ðiâíÿííÿì @IFQSA ç óðàõóâàííÿì åëåêòðè÷íîãî ïîòåíöiàëó

κ2 =

¯) − 0 + 1 α − eΦ/(µp B + 2 2| hm | ∂ hm = ∂r
h

t cos ϑ

, −

α=

W ¯ − 1, µp B ∂r ,

@PFIWA @PFPHA

−

m cos ϑ ∂ h hm

∂r

+

m

h cos ϑ ∂ m hm

61

∂ hm m h = sin ϑ. @PFPIA ∂ϑ hm Ðiâíÿííÿ @PFITA òà @PFIUA íå ìiñòÿòü òîðî¨äàëüíèé êóò ϕ i äîñòàòíi äëÿ
îïèñó îðáiò ó ïëîùèíi (r, ϑ)F Ðiâíÿííÿ @PFIVA äëÿ ϕ ˙ âèâåäåíî ó ïðèïóE ùåííi N ϕ − χ = constD ñïðàâåäëèâîìó çà óìîâè
t

max(

m , h )F

Ëîêàëüíî çàõîïëåíi ÷àñòèíêè òà ïîâíiñòþ ïðîëiòíi ÷àñòèíêè ìàþòü âiäE

ïîâiäíî κmax < 1 òà κmin > 1D äå κmax/min ! íàéáiëüøåGíàéìåíøå çíà÷åííÿ

κ(r, ϑ) íà îðáiòi ÷àñòèíêè ‘κ(r, ϑ) íå ¹ iíòåãðàëîì ðóõó“F ×àñòèíêèD ùî ïåE
ðåòèíàþòü ñåïàðàòðèñó κ = 1D ¹ ïåðåõiäíèìè @äèâF ïîïåðåäíié ïiäðîçäiëAF Ïðèïóñêàþ÷èD ùî øèðèíà îðáiò ÷àñòèíîê @∆rA ìàëàD ç ðiâíÿííÿ @PFIWA ìîE æíà îòðèìàòè óìîâè íà ïiò÷Eêóòîâèé ïàðàìåòð α äëÿ ðiçíèõ ãðóï ÷àñòèíîêX

αmin < αloc <

0

+

m

− +

h

− t, + + t,

@PFPPA

0

+

m

−

h

−

t

< αtran <

0

m

h

@PFPQA

αpass >

0

+

m

+

h

+ t,

@PFPRA

äå αloc D αtran òà αpass ! âiäïîâiäíî ïiò÷Eêóòîâi ïàðàìåòðè ëîêàëiçîâàíèõD ïåE ðåõiäíèõ òà ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîêD à αmin âèçíà÷à¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿ κ(r, ϑ) = 0F Çîêðåìà ïðè ϑ = 0 αmin = Ïîòåíöiàëîì åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ Φ ó ðiâíÿííÿõ @PFPPAE@PFPRA çíåõòóâàíîD ùî âèïðàâäàíî çàâäÿêè ïðèïóùåííþD ùî øèðèíà îðáiò ÷àñòèíîê ∆r ìàëàF Êîëè eEr ∆r/E
tD 0− m+ h− t

i ϑ = π ïðè αmin =

0 − m − h + tF

åëåêòðè÷íå ïîëå ïî÷èí๠iñòîòíî âïëèâàòè íà óìîE òà íàáëèæåíî ïðîïîðöiéíi äî rD òà çíåõòóE
m /d ln r 2 hD

âè @PFPPAE@PFPRAF Âçÿâøè äî óâàãèD ùî âàâøè ÷ëåíàìè ç
m h t

ó ðiâíÿííi @PFPHAD ìîæíà ïîáà÷èòèD ùî îñòàííié ÷ëåí ó

ðiâíÿííi @PFPHA ìàëèé çàâäÿêè íåðiâíîñòi d ln îñòàííié ÷ëåí íåõòîâíèé çà óìîâè r
m d m /dr

1D òîäi ÿê ïåðåäE

ùî ì๠ìiñöå ëèøå ïðè

62

ìàëèõ β @ïîõiäíà

m

çðîñò๠ç β AF Òèì íå ìåíøåD öåé íàáëèæåíèé àíàëiç íåE

ïîãàíî óçãîäæó¹òüñÿ iç ïðÿìèì ÷èñëîâèì iíòåãðóâàííÿì êîäîì y‚fsƒ ‘S“D i ì๠òó ïåðåâàãóD ùî äîçâîëÿ¹ îòðèìàòè çàãàëüíó ÿêiñíó êàðòèíó âïëèâó ðàäiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íà óòðèìàííÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâF Ç óðàõóâàííÿì íàâåäåíèõ âèùå íàáëèæåíüD ðiâíÿííÿ @PFITAD @PFIUA ñïðîE ùóþòüñÿ äî

r ˙ = u sin ϑ,

@PFPSA

˙ = u cos ϑ + w, r ϑ
äå

@PFPTA

u= v ¯d

v ¯d

m h hm 2 h

2E (κ) −1 − K (κ)

t

,

@PFPUA

2E (κ) − 1 + vE , @PFPVA K (κ) hm øòðèõîì ïîçíà÷åíî ïîõiäíó çà ðàäióñîìD vE = rΩE D iD âçàãàëi êàæó÷èD u = w= r
0

−

u(r, ϑ)D w = w(r, ϑ)F
Ëåãêî ïîáà÷èòèD ùîD êîëè

δ≡

w u

1,

@PFPWA

ðiâíÿííÿ @PFPSAD @PFPTA äàþòü x ≡ r cos ϑ ≈ constD òîáòî ÷àñòèíêè íå óòðèE ìóþòüñÿF Ó ïðîòèëåæíîìó âèïàäêó δ äîñòàòíüîD ùîá íåðiâíiñòü δ

1 ÷àñòèíêè äîáðå óòðèìóþòüñÿD

ïðèíàéìíi ÿêùî u òà w ñëàáî çàëåæàòü âiä ϑF Äëÿ óòðèìàííÿ ÷àñòèíîê

1 âèêîíóâàëàñÿ ëèøå íà ïåðèôåði¨ ïëàçìèF
ðàäiàëüE

Êðiì òîãîD âèäíîD ùî δ → ∞ çà óìîâè u → 0D òîáòî êîëè ðàäiàëüíèé äðåéô ÷àñòèíîê çàíóëÿ¹òüñÿF Çîêðåìà ó ñòåëàðàòîðàõ iç
m h

íèé äðåéô ãëèáîêî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê ìiíiìàëüíèé çà óìîâè
h

= t.

@PFQHA

63

Ïðèïóñêàþ÷è ñïåðøóD ùî ðàäiàëüíå åëåêòðè÷íå ïîëå âiäñóòí¹D à òèñê ïëàçìè íåõòîâíî ìàëèé @
0

≈ 0AD ìîæíà îòðèìàòè
2 h hm m h hm

δ=

2E (κ) K (κ) 2E (κ) K (κ)

−1
t

.

−1 −

@PFQIA

Ç ðiâíÿííÿ @PFQIA âèïëèâà¹D ùî δ

1 äëÿ ñëàáêî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê

ç κ ∼ 0.9F Ïðîòå κ = κ(r, ϑ) çìiíþ¹òüñÿ â õîäi îðáiòàëüíîãî ðóõóD i ÷àñòèíE ïåðåòâîðþ¹òüñÿ íà ëîêàëüíî ïðîëiòíó i ìîæå çàçíàâàòè ñòîõàñòè÷íî¨ äèE ôóçi¨ @äèâF ïîïåðåäíié ïiäðîçäiëAF Ïîâåäiíêà ãëèáîêî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê @κ íîøåíü ìiæ ãàðìîíiêàìè ìàãíiòíîãî ïîëÿF ÇîêðåìàD ó êîíôiãóðàöiÿõ ç âèE ñîêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ ‘ âà¹D ùî |δ | ∼
h/ m m

êè ç κ ∼ 0.9 íå îáîâ9ÿçêîâî âòðà÷àòèìóòüñÿF ßêùî κ çðîñò๠äàëiD îðáiòà

1A òà ÷àñòèíîêD áëèçüêèõ äî ïåðåõiäíèõ @κ → 1A çàëåæèòü âiä ñïiââiäE

max( h , t )“ ç ðiâíÿííÿ @PFQIA âèïëèE

1D òîáòî ÷àñòèíêè íå óòðèìóþòüñÿF Ó ïðîòèëåæíîìó 0.9D òîáòî ÷àñòèíêà ðóõà¹òüñÿ ïî ñóïåðáàíàíîâié
t/ hF

âèïàäêóD êîëè äçåðêàëüíà ãàðìîíiêà ìàëàD δ ∼ ( h / t )|2E (κ)/K (κ) − 1|D

δ > 1 ïðè

h

>

t

òà κ

îðáiòi øèðèíîþ ∆r ∼ r

‘QP“

Ñêií÷åííèé òèñê ïëàçìè äîïîìàã๠óòðèìóâàòè ëîêàëiçîâàíi ÷àñòèíêè

ó êîíôiãóðàöiÿõ iç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþF ßêùî κ → 0D öå ìàòèìå ìiñöå çà óìîâè r 0 /
h

1 @òîäi δ

1AF Äëÿ óòðèìàííÿ ÷àñòèíîê
h

iç íåíóëüîâèì κ òàêî¨ æîðñòêî¨ óìîâè íå ïîòðiáíîX áåðó÷è
0

÷àñòèíîêF Îðáiòè ÷àñòèíîêD ùî äàþòüñÿ ðiâíÿííÿìè @PFPSAD @PFPTA ìàòèìóòü âèãëÿä

∝ r2 D ìîæíà âèñíóâàòèD ùî u ≈ const òà δ ∝ r äëÿ ãëèáîêî çàõîïëåíèõ

∝

t

∝

òà

δ1 2 (r0 − r2 ), @PFQPA 2a äå δ1 âèçíà÷à¹òüñÿ iç δ = δ1 r/aD à (r0 , ϑ0 ) ! òî÷êà íà îðáiòi ÷àñòèíêèF Öå x − x0 =
ä๠îðáiòó iç øèðèíîþ ∆r/a = 2/δ1 F Õî÷à ðiâíÿííÿ @PFQPA áóëî îòðèìàE

64

íî ó ïðèïóùåííi Er = 0D âîíî ñïðàâåäëèâå i ó ïðèñóòíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD ÿêùî Er ∝ rF Íà ÿêiñíîìó ðiâíi éîãî ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ ëè Er íàñòiëüêè âåëèêåD ùî δ äîâiëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ‘êîëè Er ìàëåD íèì ìîæíà çíåõòóâàòèY êîE

1D ðiâíÿííÿ @PFQPA ä๠ðóõ ÷àñòèíîê ïî

ïîâåðõíÿì r = constD íåçàëåæíî âiä ðàäiàëüíîãî ïðîôiëþ Er “F Ïåðåõîäÿ÷è äî àíàëiçó âïëèâó åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD ïåðø çà âñå ñëiä âiäE çíà÷èòèD ùî çíàêè ÷ëåíà iç
0

òà ÷ëåíà ç åëåêòðè÷íèì ïîëåì ó ðiâíÿíE

íi @PFPTA îäíàêîâi ïðè Er < 0F ÎòæåD âiä9¹ìíå ðàäiàëüíå åëåêòðè÷íå ïîëå ìîæå óòðèìóâàòè ëîêàëüíî çàõîïëåíi ÷àñòèíêè ó êîíôiãóðàöi¨ ç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ íàâiòü êîëè β íåäîñòàòíüî âåëèêåD ùîá óòðèìóâàE òè ¨õ ïðè Er = 0F Ïîòðiáíó äëÿ öüîãî âåëè÷èíó åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ìîæíà îöiíèòè iç óìîâè |vE |/u

1D ùî ä๠|Er (r∗ )| E
h

− er

t r=r∗

,
h

@PFQQA

äå r∗ ! ðàäióñD íà ÿêîìó åëåêòðè÷íå ïîëå äîñÿã๠ìàêñèìóìóD i æåííÿ
h

= t F ÎáìåE − tD

=

t

¹ íàñëiäêîì âèêîðèñòàíîãî ïðè âèâåäåííi ðiâíÿííÿ @PFQQA

íàáëèæåííÿ

hm

ùî íåâiðíîD êîëè

≈
h

m

óìîâó íà åíåðãiþ ÷àñòèíêèX

= t F Êîëè eΦ ∼ T D ðiâíÿííÿ @PFQQA ìîæíà çàïèñàòè ÿê

òà ïðèïóùåííÿD ùî κ = 0F Ðàçîì öå ä๠u ∝

h

T . @PFQRA h− t Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî êîëè ó ðiâíÿííi @PFPVA äîìiíó¹ ÷ëåí ç åëåêòðè÷íèì E
ïîëåìD ðiâíÿííÿ @PFQRA ä๠óìîâó óòðèìàííÿ ÷àñòèíêè íåçàëåæíî âiä çíàêà åëåêòðè÷íîãî ïîëÿF Íèæ÷å áóäå ïîêàçàíîD ùî ïðèñóòíîñòi ðàäiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ó âóçüêîìó iíòåðâàëi ðàäióñiâ ìîæå áóòè äîñòàòíüîD ùîá çàïîáiãòè âòðàòi ÷àñòèíîê iç ïëàçìèD òîáòî ùî ëîêàëiçîâàíå ïî ðàäióñó âiä9¹ìíå åëåêòðèE ÷íå ïîëå ìîæå âiäiãðàâàòè ðîëü áàð9¹ðó äëÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâF Òàêå åëåE

65

êòðè÷íå ïîëå ÷àñòî óòâîðþ¹òüñÿ â òóðáóëåíòíèõ ïëàçìàõ iç òðàíñïîðòíèìè áàð9¹ðàìèD òàGàáî êîëè iîííèé êîðiíü íåîêëàñè÷íîãî òðàíñïîðòó äîìiíó¹ ó ÷àñòèíi îá9¹ìó ïëàçìèF Ùîá ÷àñòèíêè óòðèìóâàëèñüD øèðèíà îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD ∆E D ì๠ïåðåâèùóâàòè ðàäiàëüíå âiäõèëåííÿ ÷àñòèíêè (∆r)E âñåE ðåäèíi öi¹¨ îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨F ÏðèïóñòèâøèD ùî åëåêòðè÷íèé áàð9¹ð ëîE êàëiçîâàíî íà ïåðèôåði¨ ïëàçìèD à ÷àñòèíêà ïiäõîäèòü äî íüîãî ç öåíòðó ïëàçìèD ðàäiàëüíå âiäõèëåííÿ ÷àñòèíêè âñåðåäèíi áàð9¹ðó áóäå ìåíøèì çà

∆rF Áåðó÷è (∆r)E ∼ ∆r/2 ç ∆r = 2a/δ1 i ïðèïóñêàþ÷èD ùî δE ∼ δ D ìîæíà
çàïèñàòè óìîâó ∆E > (∆r)E ó âèãëÿäi

e|Er (r∗ )|∆E > E (
äå çíîâó
h

h

− t )|r=r∗ .

@PFQSA

=

tF

Ìîæíà ñêàçàòèD ùî ðiâíÿííÿ @PFQSA ä๠óìîâó äëÿ åëåE

êòðè÷íîãî òðàíñïîðòíîãî áàð9¹ðó äëÿ çàõîïëåíèõ íàäòåïëîâèõ iîíiâF Íà âiäìiíó âiä âiä9¹ìíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD äîäàòíå åëåêòðè÷íå ïîëå êîíêóðó¹ iç ñïðèÿòëèâèì âïëèâîì ñêií÷åííîãî òèñêó ïëàçìè íà óòðèìàííÿ çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê ó êîíôiãóðàöiÿõ iç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþF Ïîâíà êîìïåíñàöiÿ âiäáóâà¹òüñÿ ïðè ïåâíîìó çíà÷åííi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD à ñàìå

¯d ¯v Er ∼ B R . @PFQTA c 0 Êîëè Er ∼ Φ/r ∼ T /(er)D åíåðãiþ ÷àñòèíîêD ÿêi íå óòðèìóþòüñÿ âíàñëiäîê
òàêî¨ êîìïåíñàöi¨ äiàìàãíåòèçìó ïëàçìèD ìîæíà îöiíèòè ÿê E ∼ T /(r 0 )F Çãiäíî @PFQPAD óòðèìàííÿ ÷àñòèíîê íàéãiðøåD êîëè δ = 0 i ÷àñòèíêè

ðóõàþòüñÿ âçäîâæ ëiíié x = constD ùî âiäïîâiä๠îðáiòàì iç øèðèíîþ ∆r = âèçíà÷à¹òüñÿ óìîâîþ δ = 0F Äëÿ ãëèáîêî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê âîíî äà¹òüñÿ âèðàçîì
res ∞F Òîìó ì๠ñåíñ ââåñòè ïîíÿòòÿ ðåçîíàíñíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ Er D ÿêå

66

¯d ¯v ≈B r 0− h . @PFQUA c hm Îñêiëüêè Er íå çàëåæèòü âiä ϑD öå ðiâíÿííÿ ìîæå âèêîíóâàòèñÿ àáî
res Er

2

ïðè

m

hD

àáî ïðè

m

hF

Êîëè äðóãèé ÷ëåí ó ðiâíÿííi @PFQUA ïåðåE

âèùó¹ ïåðøèéD óòðèìàííþ ÷àñòèíîê áóäå øêîäèòè íå äîäàòíåD à âiä9¹ìíå åëåêòðè÷íå ïîëåF Àëå â ñèñòåìàõ ç äîìiíóþ÷îþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ öå ì๠ìiñöå ëèøå òîäiD êîëè çàõîïëåíi íàäòåïëîâi iîíè íå óòðèìóþòüñÿ i ó âiäE ñóòíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿF Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùîD êîëè
0

=

m

= 0D ðiâíÿíE

0D îòðèìàíîãî ó ðîáîòi ‘QQ“F

res íÿ @PFQUA çâîäèòüñÿ äî ðåçîíàíñíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ Er ∼ − h E /(er) <

Êîëè äçåðêàëüíà ãàðìîíiêà ìàãíiòíîãî ïîëÿ äîìiíó¹D à ðàäiàëüíà çàëåE æíiñòü äiàìàãíiòíî¨ êîìïîíåíòè âiä ðàäióñà íàáëèæåíî îïèñó¹òüñÿ òêîìó îáåðòàííþ ïëàçìè iç ÷àñòîòîþ
2 ρ2 0 h 1 − = const, @PFQVA 2 r 20 m äå ρ = v/ωB F Øèðèíó ðåçîíàíñó ìîæíà îöiíèòèD âçÿâøè äî óâàãèD ùî ÷àE 0

åëåêòðè÷íå ïîëå @PFQUA ïðîïîðöiéíå äî rD òîáòî öå ïîëå âiäïîâiä๠æîðñE

∝ r2D

Ωres E (r ) = −ωB

ñòèíêè íå óòðèìóþòüñÿ ïðè ìàëèõ δ F Ïðèéìàþ÷è δ < δ∗ ç δ∗ > 2 íà ïåðèôåE ði¨ ïëàçìèD äëÿ iíòåðâàëó ÷àñòîò îáåðòàííÿD äå ÷àñòèíêè íå óòðèìóþòüñÿD ìîæíà îòðèìàòè

Ωmin < |ΩE | < Ωmax ,
äå

@PFQWA

i çíîâó

h

2 ρ2 δ∗ Ωmax/min = ωB 2 0 − h ± ( h − t ) , @PFRHA r 2m 2 = t F Äîäàòêîâî âèìàãàþ÷èD ùîá ΩE (r) = constD ìîæíà îòðèìàòè

δ∗ = δ∗1 r/aD äå δ∗1 ! ïàðàìåòðF
÷àñòèíêèX

Âàðòî çàçíà÷èòèD ùî âiäíîñíà øèðèíà ðåçîíàíñó íå çàëåæèòü âiä åíåðãi¨

67

äå ∆ΩE = Ωmax − Ωmin F

δ∗ ( h − t ) ∆ΩE = , 2 res h ΩE − 0
2
m

@PFRIA

Ðiâíÿííÿ @PFQVAE@PFRHA çàïèñàíi äëÿ ÷àñòèíîê iç çàäàíîþ åíåðãi¹þF ßêùî

çàäàíîþ ââàæàòè ÷àñòîòó îáåðòàííÿ ïëàçìèD öi ðiâíÿííÿ âèçíà÷àþòü ðåçîE íàíñíó åíåðãiþ E res òà åíåðãåòè÷íó øèðèíó ðåçîíàíñóD ∆E X

E ∆E = E res

res

=−

mωB ΩE r2 2
0

−

2 h

,
2 h

@PFRPA
r a t

2

m

δ∗1 (
0

h − t)
2 h

−

2

0−

2

m

2

m

−

2 δ∗ 1 4 ( h

,

@PFRQA

−

)2

äå ∆E = Emax − Emin D Emax/min ! ìàêñèìàëüíàGìiíiìàëüíà åíåðãiÿ ÷àñòèíîêD ÿêi ïîòðàïëÿþòü ó ðåçîíàíñF Ç ðiâíÿíü @PFRIAD @PFRQA âèäíîD ùî øèðèíà ðåçîíàíñó ïðîïîðöiéíà äî i
mF h

áî â öüîìó âèïàäêó ñòàþòü âàæëèâèìè ñêií÷åííiñòü κ òà ðiçíèöÿ ìiæ âèäíî ç ðiâíÿíü

− t F Ïðîòå âîíà íå çàíóëÿ¹òüñÿ ïðè

h

→

tD hm

Ðåçîíàíñ íå ñèìåòðè÷íèé âiäíîñíî E res X Emax − E res > |Emin − E res |F Öå

Emax/min = E res
t )r/aF

0 0−
2 h

−

2 h

2

m

2

m

Ç ðiâíÿííÿ @PFRRA âèïëèâà¹D ùî Emax = ∞ ïðè ( ñêií÷åííiñòü κ òà ðiçíèöþ ìiæ
hm

∓ 0.5δ∗1 (

r h − t) a 0

.
m)

@PFRRA

Öå çíîâó âêàçó¹ íà òåD ùî â òàêîìó âèïàäêó ïîòðiáíî âðàõîâóâàòè i
mD

− 0.5 2 h/

= 0.5δ∗1 (

h

−

ùîá îòðèìàòè ïðàâèëüíó âåëè÷èíó

Emax F

Îñíîâíi ðiâíÿííÿ öüîãî ïóíêòó @PFITAD @PFIUA òàêîæ ìîæíà âèâåñòèD ïîE

÷èíàþ÷è ç ïîçäîâæíüîãî àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòó ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê @IFQTAF

68

ÐèñF PFIF Êîíòóðè J = const äëÿ ïðîòîíiâ ç åíåðãi¹þ E = 50 êå ó ‡UE

ˆX @—AD ãëèáîêî çàõîïëåíi ÷àñòèíêè ç α = −0.05 ïðè Er = 0Y @˜AD òi æ

ñàìi ÷àñòèíêè ó ïðèñóòíîñòi åëåêòðè÷íîãî òðàíñïîðòíîãî áàð9¹ðó E (r) =

−E∗ e−(r−r∗ )

2

/∆2 E

ïîìiðíî çàõîïëåíi ÷àñòèíêè ç α = 0 ïðè Er = 0Y @dAD òi ÷àìi ÷àñòèíêèD ùî Ðîçðàõóíêè áàçóþòüñÿ íà ðiâíÿííi @IFQTAF

ç E∗ = 5.8 êÂGìD r∗ /a = 0.9 òà øèðèíîþ ∆E = 0.1 ìY @™AD

ó @™AD àëå ó ïðèñóòíîñòi ðåçîíàíñíîãî ïîëÿ ç |ΩE | = 8 × 10−3 s−1 D Er > 0F

69

Öiêàâî ðîçãëÿíóòè âïëèâ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ çà äîïîìîãîþ ïîçäîâæíüîE ãî àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòó @IFQTAF Íà ðèñF PFI ïîêàçàíi êîíòóðè J = const äëÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê ó êîíôiãóðàöi¨ ‡UEˆ ç âåëèêîþ äçåðE êàëüíîþ ãàðìîíiêîþF Ç ãðàôiêà @—A âèäíîD ùî çíà÷íèé âiäñîòîê ãëèáîêî çàE õîïëåíèõ ÷àñòèíîê íå óòðèìó¹òüñÿF Íåîäíîðiäíå âiä9¹ìíå åëåêòðè÷íå ïîëåD ëîêàëiçîâàíå ïðè r∗ = 0.9aD çàìèê๠êîíòóðè J ïîáëèçó r∗ D òîìó ÷àñòèíE êè áóäóòü óòðèìóâàòèñÿ @˜AF Ïîìiðíî çàõîïëåíi ÷àñòèíêè óòðèìóþòüñÿ ó âiäñóòíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ @™AD à ó ïðèñóòíîñòi äîäàòíüîãî åëåêòðè÷íîE ãî ïîëÿD ùî âiäïîâiä๠÷àñòîòi îáåðòàííÿ ïëàçìè Ωres E D âîíè óòðèìóþòüñÿ çíà÷íî ãiðøå @dAF
2.1.4. Âèäàëåííÿ ïîïåëó äîäàòíiì åëåêòðè÷íèì ïîëåì ó ðåàêòîði-ñòåëàðàòîði Helias.

sñíóâàííÿ ðåçîíàíñíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íå

îáîâ9ÿçêîâî ïðèíîñèòü øêîäóX òàêå ïîëå ìîæå äîïîìîãòè âèäàëÿòè ïîïië @òåðìàëiçîâàíi ÷è ÷àñòêîâî òåðìàëiçîâàíi αE÷àñòèíêèA ó òåðìîÿäåðíîìó ðåàêòîðiF Äëÿ öüîãî åëåêòðè÷íå ïîëå ì๠çàäîâîëüíÿòè ïåâíèì âèìîãàìF Îñêiëüêè âïëèâ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íà óòðèìàííÿ ìàëî çàëåæèòü âiä ñîðE òó ÷àñòèíîêD ñëiä ïiäáèðàòè åëåêòðè÷íå ïîëå òàêî¨ âåëè÷èíèD ùîá âîíî âèäàëÿëî ÷àñòêîâî òåðìàëiçîâàíi αE÷àñòèíêè i íå çàòîðêóâàëî iîíè îñíîâE íî¨ ïëàçìèF Âåëè÷èíó òàêîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ìîæíà îöiíèòè iç ðiâíÿíE íÿ @PFRPAD ïiäñòàâëÿþ÷è åíåðãiþ ÷àñòèíîê â äiàïàçîíi T ÌåÂEíi αE÷àñòèíêè i íå ïîãiðøèòè ¨õ óòðèìàííÿF Ðåçîíàíñ òàêîæ ì๠áóòè íå íàäìiðíî øèðîêèìD ùîá íå çàòîðêíóòè ãàðÿ÷i

E

3.5 ÌåÂF

¯ = 5 òë òà ìàëèì Ó ðåàêòîði reli—s ç N = 5D ñåðåäíiì ìàãíiòíèì ïîëåì B
ðàäióñîì ïëàçìè a = 2 ì îñíîâíi ãàðìîíiêè ìàãíiòíîãî ïîëÿ ìîæíà íàáëèE æåíî îïèñàòè ôóíêöiÿìè òà
t 0

= 0.08r2 /a2 D

m

= 0.1 + 0.02r2 /a2 D

h

= 0.08r/a

E res = 100 êåÂF Ìiíiìàëüíó åíåðãiþ ÷àñòèíîêD ÿêi âòðà÷àòèìóòüñÿ çà íàE
ÿâíîñòi ðåçîíàíñíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD ìîæíà îöiíèòè ç ðiâíÿííÿ @PFRRAY

= 0.043r/aF Òîäi ç ðiâíÿííÿ @PFRPA ìîæíà îòðèìàòè ΩE ≈ −240 c−1 äëÿ

70

ïðè δ∗1 ∼ 3 âîíà ñêëàäå Emin ∼ 50 êåÂF Çíàìåííèê ó ðiâíÿííi @PFRRA íàáëèE âîíî äà¹D áóäå çàâèùåíèìF æà¹òüñÿ äî íóëÿ ïðè δ∗1

3D òîìó ñëiä î÷iêóâàòèD ùî çíà÷åííÿ Emax D ÿêå

Öi îöiíêè óçãîäæóþòüñÿ ç ðåçóëüòàòàìè ïðÿìîãî ÷èñëîâîãî iíòåãðóâàíE íÿ ðiâíÿíü ðóõó ÷àñòèíîê êîäîì y‚fsƒ ‘S“F Íà ðèñF V ó öié ðîáîòi ïîêàçàíi ïîëî¨äàëüíi ïðîåêöi¨ îðáiò ñèëüíî çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîêD îðáiòè ÿêèõ ïî÷èE íàþòüñÿ íà ìàãíiòíié ïîâåðõíi r = 0.3aX ÷àñòèíêè ç åíåðãiÿìè 60 êå âòðà÷àþòüñÿ çà ÷àñ ïîðÿäêó ÷àñó ïðåöåñi¨D à ÷àñòèíêè ç åíåðãiÿìè

E

170

E

óòðèìóþòüñÿF

200 êåÂD ÿê i âiäíîñíî õîëîäíi ÷àñòèíêè ç åíåðãiÿìè E

50 êåÂD

Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî öi îöiíêè òà ðîçðàõóíêè íå ïîêàçóþòüD ÿêèé âiäE ñîòîê ÷àñòêîâî òåðìàëiçîâàíèõ ÷àñòèíîê âèäàëÿòèìåòüñÿ ç ðåàêòîðàF Êðiì öüîãîD âîíè ïðîâîäèëèñÿ ó ïðèïóùåííi ïàðàáîëi÷íîãî ïðîôiëþ åëåêòðèE ÷íîãî ïîòåíöiàëóD ùî äàâàëî ΩE (r) = constF Äëÿ îñòàòî÷íî¨ âiäïîâiäi íà ïèòàííÿD ÷è ìîæå åëåêòðè÷íå ïîëå ñïðàâäi âèðiøèòè ïðîáëåìó âèäàëåííÿ ïîïåëóD ïîòðiáíå íàáàãàòî áiëüø äåòàëüíå òà ðåàëiñòè÷íå ìîäåëþâàííÿF Ç iíøîãî áîêóD çàâäÿêè òîìóD ùî ðåçîíàíñ äîñèòü øèðîêèéD âïëèâ åëåêòðèE ÷íîãî ïîëÿ íà óòðèìàííÿ ñëàáêî çàëåæèòü âiä ðàäiàëüíîãî ïðîôiëþ åëåE êòðè÷íîãî ïîëÿF
2.1.5. Âèñíîâêè.

Ó öüîìó ïiäðîçäiëi áàóíñEóñåðåäíåíi ðiâíÿííÿ ðóE

õó âåäó÷îãî öåíòðó ÷àñòèíîê âèêîðèñòàíi äëÿ ÿêiñíîãî àíàëiçó âïëèâó åëåE êòðè÷íîãî ïîëÿ íà îðáiòè çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê ó ñèñòåìàõD äå äçåðêàëüE íà ãàðìîíiêà ìàãíiòíîãî ïîëÿ äîìiíó¹ àáî ¹ ïîðiâíÿíîþ ç íàéáiëüøèìè ãàðìîíiêàìèD ùî ì๠ìiñöå ó ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelsteinF ÐåçóëüòàòèD îòðèìàíi çà äîïîìîãîþ àíàëiçó óñåðåäíåíèõ ðiâíÿíü äëÿ ‡endelstein UEˆ òà ðåàêòîðà reli—sD óçãîäæóþòüñÿ ç ðåçóëüòàòàìè ÷èñëîâîãî ìîäåëþâàííÿ çà äîïîìîãîþ êîäó y‚fsƒ ‘S“F ÏîêàçàíîD ùî ïðèñóòíiñòü âiä9¹ìíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ñïðèÿ¹ óòðèE

71

ìàííþ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ iîíiâF sîíè óòðèìóþòüñÿ åëåêòðè÷íèì ïîëåìD ÿêùî ¨õ åíåðãiÿ íå ïåðåâèùó¹ ïåâíî¨ âåëè÷èíèF Åëåêòðè÷íå ïîëåD ëîêàëiE çîâàíå ó êiëüöi @òîáòî ó ïåâíîìó iíòåðâàëi çà ðàäióñîìA ìîæå ãðàòè ðîëü òðàíñïîðòíîãî áàð9¹ðà äëÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâF Äîäàòí¹ åëåêòðè÷íå ïîëå ïîãiðøó¹ óòðèìàííÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ iîE íiâD êðiì âèïàäêó äóæå âåëèêèõ çíà÷åíü íàïðóæåíîñòi ïîëÿ âiäíîñíî åíåðãi¨ ÷àñòèíîêF Øêiäëèâèé âïëèâ äîäàòíüîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ îñîáëèâî ñèëüE íèéD êîëè ÷àñòîòà âèêëèêàíîãî íèì æîðñòêîãî îáåðòàííÿ ïëàçìè áëèçüêà äî ïåâíèõ ðåçîíàíñíèõ çíà÷åíüF Ðåçîíàíñíà øâèäêiñòü îáåðòàííÿD Ωres E D ¹ ôóíêöi¹þ åíåðãi¨ ÷àñòèíêèD E F Êîëè ΩE = Ωres E D ñèëüíî çàõîïëåíi ÷àñòèíêè ç âiäïîâiäíîþ åíåðãi¹þ âòðà÷àþòüñÿ ç ïëàçìèF Ððåçîíàíñ ìîæå áóòè äîñèòü øèðîêèì ! øèðèíà iíòåðâàëó ÷àñòîò ∆Ωres E D â ÿêîìó ÷àñòèíêè iç çàäàíîþ åíåðãi¹þ âòðà÷àþòüñÿ ç ïëàçìèD äîñèòü âåëèêà ! òîìó öåé åôåêò ¹ äîñèòü ãðóáèìF ßêùî æ ðîçãëÿäàòè âïëèâ çàäàíîãî äîäàòíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîE ëÿD âåëèêà øèðèíà ðåçîíàíñó îçíà÷à¹D ùî åëåêòðè÷íå ïîëå ìîæå ïðèâîäèòè äî âòðàò ÷àñòèíîê ó äîñèòü øèðîêîìó iíòåðâàëi åíåðãié ∆E F ñòèíîê ç åíåðãiÿìè T Äîäàòí¹ åëåêòðè÷íå ïîëåD ÿêå çàäîâiëüíÿ¹ ðåçîíàíñíié óìîâi äëÿ ÷àE

÷àñòêîâî òåðìàëiçîâàíèõ αE÷àñòèíîê @ïîïåëóA iç ïëàçìè ðåàêòîðà reli—sF Ó ïðèñóòíîñòi òàêîãî ïîëÿ íà ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó αE÷àñòèíîê â ðåçîíàíñíié îáëàñòi óòâîðèòüñÿ êîíóñ âòðàòF ßêùî õàðàêòåðíèé ÷àñ ïiò÷Eêóòîâîãî ðîçE ñiÿííÿ âiä êóëîíîâèõ çiòêíåíü áóäå ïîðiâíÿíèé iç ÷àñîì çàïîâiëüíåííÿD ùî ì๠ìiñöå ïðè E res

E

QFS ÌåÂD ìîæå áóòè êîðèñíèì äëÿ âèäàëåííÿ

(Mi /Me )1/3 T D ç ïëàçìè âèäàëÿòèìóòüñÿ íå òiëüêè ëîE

êàëüíî çàõîïëåíiD à i çàïîâiëüíåíi ïðîëiòíi αE÷àñòèíêèF Êðiì öüîãîD çàâäÿêè àíiçîòðîïi¨ ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ìîæóòü çáóäæóâàòèñÿ ïëàçìîâi íåñòiéêîñòiD ÿêi òàêîæ ñïðèÿòèìóòü âèäàëåííþ ïîïåëóF Òàêèì ÷èíîìD ðàäiàëüíå åëåE êòðè÷íå ïîëå ìîæå äîïîìîãòè ðîçâ9ÿçàòè ïðîáëåìó âèäàëåííÿ ïîïåëó ó ðåàêòîði reli—sF Åëåêòðè÷íå ïîëå âïëèâàòèìå òàêîæ íà óòðèìàííÿ ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîêD

72

÷îìó ïðèñâÿ÷åíî íàñòóïíèé ïiäðîçäië PFPF
2.2. Çìåíøåííÿ äèôóçiéíèõ âòðàò ïåðåõiäíèõ iîíiâ

2.2.1. Âñòóï.

Ó öüîìó ïiäðîçäiëi çàïðîïîíîâàíî ìåòîä çìåíøåííÿ

íàñëiäêiâ ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨D âèêëèêàíî¨ ïåðåõîäàìè ÷àñòèíîêD îïèñàE íèìè ó ïiäðîçäië IFPF À ñàìåD ïðîïîíó¹òüñÿ ìîäèôiêóâàòè ìàãíiòíó êîíôiE ãóðàöiþ òàêèì ÷èíîìD ùîá ñåïàðàòðèñèD ÿêi ðîçäiëÿþòü îáëàñòi ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ òà ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ îðáiòD áóëè çàìêíåíi âñåðåäèíi ïëàçìèF Íèæ÷å áóäå ïîêàçàíîD ùî öå çìåíøó¹ âòðàòè ÷àñòèíîê âiä ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨D õî÷à ñàìà äèôóçiÿ ïðîäîâæó¹ âiäáóâàòèñÿF Õî÷à ðîçãëÿäà¹òüñÿ ìàãíiòíà êîíôiãóðàöiÿD õàðàêòåðíà äëÿ ñòåëàðàòîðiâ òèïó ‡endelstein @à ñàìå ñòàíäàðòíà êîíôiãóðàöiÿ ‡UEˆAD îñíîâíà iäåÿ çàñòîñîâíà i äî iíøèõ ìàãíiòíèõ êîíôiãóðàöiéF Ïiäðîçäië ñêëàäà¹òüñÿ ç òðüîõ ïóíêòiâ òà âèñíîâêiâF Ó ïóíêòi PFPFP îïèE ñàíi ïðèéíÿòi íàáëèæåííÿ ùîäî ìàãíiòíîãî ïîëÿ òà ðiâíÿííÿ ñåïàðàòðèñF Ó ïóíêòi PFPFQ ïîäà¹òüñÿ ãîëîâíà iäåÿ ìåòîäó çìåíøåííÿ íàñëiäêiâ ñòîõàE ñòè÷íî¨ äèôóçi¨F Ó ïóíêòi PFPFR çðîáëåíi ÷èñëîâi îöiíêè äëÿ ñòàíäàðòíî¨ êîíôiãóðàöi¨ ‡EUˆD à ó ïóíêòi PFPFS äàþòüñÿ âèñíîâêèF
2.2.2. Ñåïàðàòðèñè ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîê çà âiäñóòíîñòi òà íàÿâíîñòi ðàäiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ.

Ó öüîìó ïiäðîçäiëi ðîçãëÿE

äàòèìåòüñÿ ìîäåëü ìàãíiòíîãî ïîëÿD â ÿêié íå äîðiâíþþòü íóëþ ëèøå òîE ðî¨äàëüíà @µ = 1D ν = 0AD äçåðêàëüíà @µ = 0D ν = 1AD ãâèíòîâà @µ = ν = 1A òà äiàìàãíiòíà @µ = ν = 0A ãàðìîíiêèF Ñàìå öi ãàðìîíiêè ¹ íàéáiëüøèìè ó ñòåëàðàòîði ‡UEˆ òà ðåàêòîðàõ òèïó reli—sF Ó êîíôiãóðàöiÿõ ‡UEˆ öi ÷îE òèðè ãàðìîíiêè ó êiëüêà ðàçiâ áiëüøiD íiæ íàéáiëüøà ç ðåøòè ãàðìîíiê ‘PS“D òîìó âîíè äîìiíóþòü ó ðîçäiëåííi ôàçîâîãî ïðîñòîðó íà îáëàñòi ïðîëiòíèõ òà çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîêF Ùîá ñïðîñòèòè ïîäàëüøi îá÷èñëåííÿD äëÿ öèõ ãàðìîíiê ïðèéìàþòüñÿ íàáëèæåíi ðîçâèíåííÿ ó âèãëÿäi ëiíiéíèõ òà êâàE

73

äðàòè÷íèõ ôóíêöié xX —nd
01

10

âèçíà÷àþòüñÿ âèáðàíîþ ìàãíiòíîþ êîíôiãóðàöi¹þF Ó ‡UEˆ ç âiäïîâiäíèì ïiäáîðîì êîåôiöi¹íòiâ öi âèðàçè äàþòü ïîõèáêó ìåíøå 5 âiäñîòêiâF Òîäi iíäóêöiþ ìàãíiòíîãî ïîëÿ â áóçåðîâèõ êîîðäèíàòàõ @äèâF ïiäðîçäië IFIFPA ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi

≡

m

=

m0

+ cm x2 D äå cm D ch D ct D c0 òà

≡ − t = −ct xD

11

≡−
m0

h

! äîäàòíi êîíñòàíòèD ÿêi

= −ch xD

00

≡

0

= c0 x2

B = 1 + c0 x2 − ct x cos θ + ¯ B
äå
2 hm

hm (x, θ ) cos[N ϕ

+ χ(x, θ)],
m

@PFRSA
hm ]D

=

2 m

áåçðîçìiðíà ðàäiàëüíà êîîðäèíàòà 0 < x < 1 âèçíà÷à¹òüñÿ iç ψ = ψa x2 D à

−2

m ch x cos θ

2 −1 + c2 h x D χ(x, θ ) = cos [(

− ch x cos θ)/

ψa ! òîðî¨äàëüíèé ìàãíiòíèé ïîòiê íà ãðàíèöi ïëàçìèF
Ó íàáëèæåííi âåäó÷èõ öåíòðiâD øâèäêiñòü ÷àñòèíêè ç ìàñîþ M D çàðÿE äîì eD ïîâíîþ åíåðãi¹þ W òà ìàãíiòíèì ìîìåíòîì µp âçäîâæ ñèëîâî¨ ëiíi¨ àë åëåêòðè÷íîãî ïîëÿY íàäàëi äëÿ çðó÷íîñòi ïðèéìà¹òüñÿD ùî âií äîðiâíþ¹ íóëþ â öåíòði ïëàçìèD òîáòî ïðè x = 0 ïîâíà åíåðãiÿ ÷àñòèíêè W ñïiâïàE äà¹ ç ¨¨ êiíåòè÷íîþ åíåðãi¹þ M v 2 /2 + µp B F Ó ìîäåëüíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi âèðàç äëÿ v ñïðîùó¹òüñÿ äî ìàãíiòíîãî ïîëÿ äà¹òüñÿ âèðàçîì v 2 = 2(W − µp B − eΦ)/M D äå Φ ! ïîòåíöiE

¯ v 2 = 2µp B
äå

2 hm {κ

− sin2 [(ϕ − χ)/2]}/M,

@PFRTA

¯ ) − 1 ! ïiò÷Eêóòîâèé ïàðàìåòðD à φ = eΦ/(µp B ¯ ) ! íîðìàëiçîâàE α = W/(µp B
ëiíié äîñòàòíüî ïîâiëüíèé ïîðiâíÿíî iç ¨¨ ïîçäîâæíiì ðóõîì òà ι/N

α − φ − (c0 x2 − ct x cos θ) 1 + , κ = 2| hm | 2
2

@PFRUA

íèé ïîòåíöiàë åëåêòðè÷íîãî ïîëÿF ßêùî äðåéô ÷àñòèíêè ïîïåðåê ñèëîâèõ

1D êîE

îðäèíàòè x òà θ ìàëî çìiíþâàòèìóòüñÿ íà îäíîìó ïåðiîäi áàóíñGïðîëiòíîãî ðóõóF Òîäi ìîæíà âèâ÷àòè ðóõ ÷àñòèíêè ïî ϕ ç ôiêñîâàíèìè x òà θD ðîçE ãëÿäàþ÷è ϕ ÿê øâèäêó çìiííóD à x òà θ ! ÿê ïîâiëüíi çìiííiF Ç òî÷êè

74

çîðó øâèäêîãî ðóõó çà ϕD âèðàç @PFRTA ¹ øâèäêiñòþ íåëiíiéíîãî ìàÿòíèE êàD à ñåïàðàòðèñà ìiæ éîãî îáåðòàííÿì @ëîêàëüíî ïðîëiòíèì ðóõîìA òà ëiáðàöi¹þ @ëîêàëüíî çàõîïëåíèì ðóõîìA äà¹òüñÿ ðiâíÿííÿì κ2 (x, θ) = 1F Àäiàáàòè÷íèé iíâàðiàíòD ïîâ9ÿçàíèé çi øâèäêèì ïîçäîâæíiì ðóõîìD äà¹òüñÿ âèðàçàìè ‘IP“X

J∗ =

  σ e Ψp + Nc  M
2π

M 2π

2π/N 0

dϕ Bϕ v

B

äëÿ ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê, äëÿ çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê,

B dϕ Bϕ v

@PFRVA

äå σ = sgn(v )D Ψp ! ïîëî¨äàëüíèé ìàãíiòíèé ïîòiêD à Bϕ ! êîâàðiàíòíà êîìïîíåíòà BF síòåãðàëè òóò áåðóòüñÿ ïðè ñòàëèõ x òà θD äëÿ çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê ! ìiæ ¨õ òî÷êàìè ïîâîðîòóF
2.2.3. Çàìêíåííÿ ñåïàðàòðèñ ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîê.

ÙîðàçóD êîE

ëè âíàñëiäîê ïðåöåñi¨ ïî x òà θ ïåðåõiäíi ÷àñòèíêè ïåðåòèíàþòü ñåïàðàòðèE ñó κ2 (x, θ) = 1D âîíè ïåðåòâîðþþòüñÿ ç ëîêàëüíî ïðîëiòíèõ íà ëîêàëüíî çàõîïëåíi i íàâïàêèF Àäiàáàòè÷íiñòü ïîçäîâæíüîãî iíâàðiàíòó J ∗ áiëÿ ñåïàE ðàòðèñè ïîðóøó¹òüñÿD âií çàçí๠âèïàäêîâèõ ñòðèáêiâD ÿêi i ïðèâîäÿòü äî ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨F Ïðîòå ôîðìà ñåïàðàòðèñè íå çàëåæèòü âiä çíà÷åíE íÿ àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòóD à âèçíà÷à¹òüñÿ ëèøå W òà µp Y ó âiäñóòíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD öi äâà ïàðàìåòðà âõîäÿòü äî @PFRUA ëèøå ÷åðåç ïiò÷E êóòîâèé ïàðàìåòð αF Ó íàáëèæåííi âåäó÷èõ öåíòðiâ óñi òðè âåëè÷èíè W D

µp òà α ¹ iíòåãðàëàìè ðóõóD i ïîðóøåííÿ àäiàáàòè÷íîñòi J ∗ íà íèõ íå âïëèE
âà¹F Òîìó ïiä ÷àñ ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ äàíà ÷àñòèíêà çàâæäè ïåðåòèíàòèìå îäíó é òó æ ñàìó ñåïàðàòðèñóD õî÷à ¨¨ îðáiòà @ÿêà íà äîäà÷ó äî W òà µp âèçíà÷à¹òüñÿ ùå é J ∗ A çìiíþâàòèìåòüñÿ ïiñëÿ êîæíîãî ïåðåòèíóF Òî÷êà ïåE ðåòèíó îðáiòè ñåïàðàòðèñîþD çâè÷àéíîD áëóêàòèìå âçäîâæ ñåïàðàòðèñèF Öå ñïîñòåðåæåííÿ ä๠ïiäñòàâè âèñíóâàòèD ùî íå êîæíà ÷àñòèíêàD ÿêà çàçí๠ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨D îáîâ9ÿçêîâî âòðà÷àòèìåòüñÿ ç ïëàçìèF ÑõåìàE òè÷íî öå çîáðàæåíî íà ðèñF PFPD äå ïîêàçàíi óñåðåäíåíi ïî áàóíñGïðîëiòíîìó

75

ÐèñF PFPF Ñõåìàòè÷íå çîáðàæåííÿ äâîõ òèïiâ ñåïàðàòðèñF ÇëiâàX ÷àñòèíêà âòðà÷à¹òüñÿ ç ïëàçìèD êîëè òî÷êà ïåðåòèíó âèïàäêîâî áëóê๠âçäîâæ ñåE ïàðàòðèñèF ÑïðàâàX îðáiòà òî÷êè ïåðåòèíó çàìêíåíà âñåðåäèíi ïëàçìèF Òîíêîþ ëiíi¹þ ïîçíà÷åíî ãðàíèöþ ïëàçìèD òîâñòîþ øòðèõîâàíîþ ! ñåïàE ðàòðèñàD ëiíi¨ çi ñòðiëêàìè ïîçíà÷àþòü ðiçíi îðáiòè çàäàíî¨ ÷àñòèíêè ïiä ÷àñ ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ @ðóõ â ëîêàëüíî ïðîëiòíîìó ñòàíi ìiæ òî÷êàìè âiäáèòòÿ ïîêàçàíî âñåðåäèíiD à ïðåöåñiþ ó ëîêàëüíî çàõîïëåíîìó ñòàíi ! çîâíi ñåïàðàòðèñèAF

76

ïåðiîäó òðàåêòîði¨ ðóõó ÷àñòèíîê ó ïîëî¨äàëüíié ïëîùèíiF ßêùî ñåïàðàòðèE ñà äàíî¨ ÷àñòèíêè çàìêíåíà âñåðåäèíi ïëàçìèD à ¨¨ áàóíñEóñåðåäíåíi îðáiòè â ëîêàëüíî çàõîïëåíîìó ñòàíi äîñòàòíüî áëèçüêi äî x = const @ðèñF PFPD ñïðàâàAD íåçâàæàþ÷è íà ñòîõàñòè÷íó äèôóçiþD ÷àñòèíêà íå ìîæå âèéòè ç ïëàçìèF ÍàâïàêèD ÿêùî ñåïàðàòðèñà ïåðåòèí๠ãðàíèöþ ïëàçìè @ðèñF PFPD çëiâàAD ÷àñòèíêàD íàéiìîâiðíiøåD áóäå âòðà÷åíà ç ïëàçìè çà ÷àñ ïîðÿäêó ÷àE ñîâîãî ìàñøòàáó ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨D õiáà ùî õàðàêòåðíèé ÷àñ çàïîâiëüíåE ííÿ ìåíøèéF Âàðòî âiäçíà÷èòèD ùî ó òîìó âèïàäêóD êîëè áàóíñEóñåðåäíåíà îðáiòà ÷àñòèíêè íå çàìêíåíà âñåðåäèíi ïëàçìèD ÷àñòèíêà âòðà÷à¹òüñÿ íàáàE ãàòî øâèäøåD à ñàìå çà ÷àñ ïîðÿäêó ÷àñó ïðåöåñi¨F Ðîçãëÿäàòè ñòîõàñòè÷íó äèôóçiþ â òàêîìó âèïàäêó íå ì๠ñåíñóF Ùîá îòðèìàòè áiëüø êîíêðåòíi ðåçóëüòàòèD ìîæíà ðîçãëÿíóòè ëîêàëüE íî çàõîïëåíi ÷àñòèíêèD íåõòóþ÷è øèðèíîþ îðáiòD òîáòî x = constF Òàêå íàáëèæåííÿ âèïðàâäàíå â îïòèìiçîâàíèõ ñòåëàðàòîðàõF ×àñòèíêà iç çàäàE íèìè x òà α áóäå ïåðåõiäíîþD ÿêùî äëÿ íå¨ κ2 = 1 ïðè äåÿêîìó θF Ç ðiâíÿíE íÿ @PFRUA âèïëèâà¹D ùî öÿ óìîâà ìîæå çàäîâiëüíÿòèñÿ ëèøå äëÿ ÷àñòèíîêD ïiò÷Eêóòîâèé ïàðàìåòð ÿêèõ ëåæèòü ó ïåâíîìó iíòåðâàëiX

αmin (x) < α < αmax (x).

@PFRWA

Ó âèáðàíîìó ìîäåëüíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi âåëè÷èíè αmin òà αmax ¹ êîðåE íÿìè ðiâíÿííÿ κ(x, θ, α) = 1 âiäïîâiäíî ïðè θ = 0 òà θ = π D i äàþòüñÿ âèðàçàìè

αmax (x) = c0 x2 + φ(x) + ct x + αmin (x) = c0 x2 + φ(x) − ct x + |

m m

+ ch x, − ch x|.
@PFSHA

Íà ðèñF PFQ ïîêàçàíi ãðàôiêè αmin (x) òà αmax (x) ó ñòàíäàðòíié êîíôiãóðàE öi¨ ‡EUˆ ç âèñîêèì β òà ó òié ñàìié êîíôiãóðàöi¨D ìîäèôiêîâàíié øëÿõîì çìåíøåííÿ äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiêè äî cm = 0.03 òà
m (0)

= 0F Ó ìîäèôiE

êîâàíié êîíôiãóðàöi¨ âòðàòè âiä ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ ïîìiòíî ìåíøiF ÄiéE

77

ñíîD ÷àñòèíêè âòðà÷àþòüñÿ ëèøå ç òèõ ñåïàðàòðèñD ÿêi ïåðåòèíàþòü ãðàE íèöþ ïëàçìè x = 1F Íà ïëîùèíi (α, x) ñåïàðàòðèñà ÷àñòèíîê iç çàäàíèì

α âèãëÿä๠ÿê ãîðèçîíòàëüíèé âiäðiçîê x ∈ [xmin (α), xmax (α)]D äå ôóíêöi¨ xmin (α) òà xmax (α) ! îáåðíåíi âiäïîâiäíî äî ôóíêöié αmax (x) òà αmin (x)D
òîáòî αmax (xmin (α)) ≡ α i αmin (xmax (α)) ≡ αF Ãðàíè÷íà ñåïàðàòðèñà ìà¹

α = αmin (1)F Âîíà ðîçäiëÿ¹ ôàçîâó ïëîùèíó ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîê (α, x)D

îáìåæåíó ðiâíÿííÿì @PFRWA òà íåðiâíiñòþ x < 1D íà äâi îáëàñòiD ïðè÷îìó ÷àñòèíêè ìîæóòü âòðà÷àòèñÿ ëèøå ç âåðõíüî¨ îáëàñòiF Âiäïîâiäíî âiäñîòîê ÷àñòèíîêD ÿêi ìîæóòü âòðà÷àòèñÿ âíàñëiäîê ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨D çðîñò๠ðàçîì iç ïëîùåþ âåðõíüî¨ îáëàñòi âiäíîñíî íèæíüî¨F
0.3

α
αmax(x)

0.25

α
αmax(x)

0.2

0.2

0.15 0.1 0.1 0

αmin(x)

0.05

-0.1 0

x*
0.2 0.4 0.6 0.8

x
0 1 0 0.2

x* αmin(x)
0.4 0.6 0.8

x
1

ÐèñF PFQF Çàëåæíiñòü αmin òà αmax âiä xF ÇëiâàX äëÿ ñòàíäàðòíî¨ êîíôiãóðàE öi¨ ‡EUˆ ç âåëèêèì β @c0 = 0.072D cm = 0.046D
m (0)

= 0.02D ct = 0.041D

ch = 0.077D β0 = 0.094D äå β0 ! âiäíîøåííÿ òèñêó ïëàçìè äî òèñêó ìàE
ãíiòíîãî ïîëÿ íà ìàãíiòíié îñi x = 0A ó âiäñóòíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ @Φ = 0AF ÑïðàâàX äëÿ òi¹¨ æ êîíôiãóðàöi¨ çi çíèæåíîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîE íiêîþ @cm = 0.03D
m (0)

= 0AF Ãðàíè÷íà ñåïàðàòðèñà ç α = αmin (1) ïîêàçàíà

òîâñòîþ øòðèõîâàíîþ ëiíi¹þF Ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ ïðèâîäèòü äî âòðàò ÷àE ñòèíîê ëèøå iç çàøòðèõîâàíèõ îáëàñòåéF Ñëiä âiäçà÷èòèD ùî äëÿ áóäüEÿêîãî âèáîðó êîíñòàíò ó ìîäåëüíîìó ìàE

78

ãíiòíîìó ïîëi òà äëÿ áóäüEÿêîãî ïðîôiëþ φ(x) αmax (x) ñòðîãî áiëüøå çà

αmin (x) ïðè âñiõ x ∈ (0, 1)F Òîìó çàâæäè çíàõîäÿòüñÿ ñåïàðàòðèñèD ÿêi ïåE
âòðàòàì ÷åðåç ñòîõàñòè÷íó äèôóçiþF

ðåòèíàþòü ãðàíèöþ ïëàçìèD i âiäïîâiäíî íåìîæëèâî ïîâíiñòþ çàïîáiãòè ßêùî äëÿ ÷àñòèíêè ç äàíèì α íàéáiëüøèé êîðiíü xr ðiâíÿííÿ αmin (xr ) =

α ìåíøèé çà îäèíèöþD òàêà ÷àñòèíêà íå âòðà÷àòèìåòüñÿ ÷åðåç ñòîõàñòè÷íó
äèôóçiþF ÂiäïîâiäíîD ìîæíà ñêàçàòèD ùî âñi ÷àñòèíêè âñåðåäèíi ïåâíîãî ðàäióñà x∗ D ÿêèé âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿì

αmax (x∗ ) = αmin (1)

@PFSIA

òåæ íå ìîæóòü âòðà÷àòèñÿX àáî âîíè íå ¹ ïåðåõiäíèìè i íå çàçíàþòü ñòîõàE ñòè÷íî¨ äèôóçi¨D àáî ¨õíÿ ñåïàðàòðèñà çàìêíåíà âñåðåäèíi ïëàçìèF Ùîá îòðèìàòè ðîçâ9ÿçîê ðiâíÿííÿ @PFSIAD ìîæíà íàáëèæåíî ïðåäñòàâèE òè íîðìàëiçîâàíèé ïîòåíöiàë åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ó âèãëÿäi ñóìè êâàäðàòèE ÷íîãî ïîòåíöiàëóD ÿêèé âiäïîâiä๠æîðñòêîìó îáåðòàííþ íàäòåïëîâèõ iîíiâD òà ïîòåíöiàëüíîãî áàð9¹ðó âèñîòîþ δφb ç ìàêñèìóìîì ïðè x = 1D ëîêàëiçîE âàíîãî çîâíi ðàäióñó x∗ X

φ(x) = cφ x2 + δφb f (x),

@PFSPA

äå f (x) îïèñó¹ ôîðìó áàð9¹ðóD f (1) = 1F Òî÷íèé âèãëÿä öi¹¨ ôóíêöi¨ ó âèáðàE ëÿ äîäà¹òüñÿ i äî αmin D i äî αmax F ßêùî áàð9¹ð ëîêàëiçîâàíèé ïðè ìåíøîìó ðàäióñi xb < 1D âií âïëèâàòèìå íà x∗ ëèøå çà óìîâè αmin (xb )+ δφb > αmin (1)F íi @PFSIAF Òîäi x∗ ìîæíà çíàéòèD ïiäñòàâëÿþ÷è xb çàìiñòü îäèíèöi ó ïðàâié ÷àñòèE Âèêîðèñòîâóþ÷è @PFSPAD ðîçâ9ÿçîê @PFSIA ìàòèìå âèãëÿä íié ìîäåëi íå ì๠çíà÷åííÿD ïîêè f (x∗ )

1D áî ïîòåíöiàë åëåêòðè÷íîãî ïîE

x∗ = −y + [(y − 1)2 + δ ]1/2 ,

@PFSQA

79

äå y = (ch + ct )/2(c0 + cm + cφ )D à

δ=
Êîëè
h (1)

| h (1) −

m (1)|

+ h (1) − c0 + cm + cφ

m (1)

+ δφb

.

@PFSRA

<

m (1)

òà δφb = 0D ÿêD íàïðèêëàäD ó êîíôiãóðàöiÿõ ‡EUˆ ç

âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþD öåé âèðàç ñïðîùó¹òüñÿ äî

x∗ = 1 −

ct + ch . c0 + cm + cφ

@PFSSA

ÂèäíîD ùî â öüîìó âèïàäêó çáiëüøåííÿ c0 òà ïàðàáîëi÷íî¨ êîìïîíåíòè äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiêè cm @íàïðèêëàäD ÷åðåç çáiëüøåííÿ òèñêó ïëàçìèA òà âiä9¹ìíå ðàäiàëüíå åëåêòðè÷íå ïîëå çáiëüøóþòü x∗ i âiäïîâiäíî çìåíøóE êîìïîíåíòè äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiêè âèïàäêóD òîáòî êîëè
h (1) m (0)

þòü âòðàòè âiä ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨Y òèì ÷àñîì çáiëüøåííÿ êîíñòàíòíî¨

>

m (1)D

âïëèâ äçåðêàëüíî¨ òà ãâèíòîâî¨ ãàðìîíiê

íå ïîëiïøó¹ x∗ F Ó ïðîòèëåæíîìó

çàëåæèòü âiä ñïiââiäíîøåííÿ âåëè÷èí âñiõ ãàðìîíiê ìîäåëüíîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿD àëå áiëüøi çíà÷åííÿ
m (0)

çàâæäè çìåíøóþòü x∗ F

2.2.4. Çìåíøåííÿ îáëàñòi äèôóçiéíèõ âòðàò ó ñòåëàðàòîði Wendelstein 7-X.

Ó êîíôiãóðàöi¨ ‡EUˆ ç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ
m (1)

òì β0 = 0.068 @äèâF ðèñF PFRAD äëÿ ÿêî¨ êîåôiöi¹íòè ãàðìîíiê ìàãíiòíîãî ïîëÿ ñêëàäàþòü ct = 0.043D ch = 0.08D c0 = 0.05D cm = 0.03 òà

= 0.125D äëÿ

ñåïàðàòðèñ íåì๠âçàãàëiF Îêðåìi îðáiòè ÷àñòèíîê ó òàêèõ êîíôiãóðàöiÿõ áíî ïîòðî¨òèF ßêùî çðîáèòè ïðàâäîïîäiáíå ïðèïóùåííÿD ùî c0 òà cm ëiíiéíî çðîñòàþòü ç β0 @çíà÷åííÿì β ïðè r = 0AD i îöiíèòè öþ çàëåæíiñòü iç äàíèõ ïî

x∗ ïðàöþ¹ ïðîñòèé âèðàç @PFSSA i ìîæíà îòðèìàòè x∗ < 0D òîáòî çàìêíåíèõ

òåæ ïîãàíî óòðèìóþòüñÿF Ùîá îòðèìàòè x∗ = 0.5D çíàìåííèê @PFSSA ïîòðiE

êîíôiãóðàöiÿõ ç ðiçíèìè β0 D ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîêD ùî äëÿ x∗ = 0.5 ïîE ìàòè ìiñöå ó ðåàêòîði reli—sF Ìîæíà òàêîæ îöiíèòè âåëè÷èíó ðàäiàëüíîãî

òðiáíî β0 > 0.2D ùî íàâðÿä ÷è ì๠ïðàêòè÷íå çíà÷åííÿ íà ‡EUˆD àëå ìîæå

åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD ïîòðiáíóD ùîá äîñÿãòè òîãî ñàìîãî çíà÷åííÿ x∗ = 0.5F

80

ßêùî ïîëå áåçáàð9¹ðíå @δfb = 0AD ðiâíÿííÿ @PFSPA ä๠cφ ∼ eEr a2 /2W F Ç öi¹¨

îöiíêè âèäíîD ùî ó òié æå êîíôiãóðàöi¨ ç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ äëÿ SHEêåÂíèõ ÷àñòèíîê çíàäîáèòüñÿ åëåêòðè÷íå ïîëå ïîðÿäêó QH êÂGìD ùî òèïîâi çíà÷åííÿF Íàâiòü îá9¹äíàíîãî âïëèâó âiä9¹ìíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ òà òèñêó ïëàçìè íåäîñòàòíüîD ùîá iñòîòíî ïîëiïøèòè ñèòóàöiþF Êðiì öüîãîD çi çáiëüøåííÿì β0 ïðîôiëü β ñò๠áiëüø ïiêîâàíèìF ÂiäïîâiäíîD íàáëèæåE ííÿ êâàäðàòè÷íî¨ çàëåæíîñòi äçåðêàëüíî¨ òà äiàìàãíiòíî¨ ãàðìîíiê âiä x ñò๠íåïðèäàòíèìD i ðiâíÿííÿ @PFSQA ïåðåñò๠ïðàöþâàòèF âiäïîâiä๠÷àñòîòi îáåðòàííÿ ïëàçìè 1.2 × 104 s−1 F Öå íàáàãàòî ïåðåâèùó¹

ÐèñF PFRF Íàéáiëüøi ôóð9¹Eãàðìîíiêè ìàãíiòíîãî ïîëÿD

(µν ) B D

ó êîíôiãóðàöi¨

‡UEˆ ç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ òà β (0) = 6.8% @ñóöiëüíi ëiíi¨A òà ó ñòàíäàðòíié êîíôiãóðàöi¨ ‡UEˆ ç òèì æå β (0) @øòðèõîâàíi ëiíi¨AFF Ó ñòàíäàðòíié êîíôiãóðàöi¨ ‡EUˆ âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
h (1)

>

m (1)D

òîìó ïîòðiáíî âèêîðèñòîâóâàòè ðiâíÿííÿ @PFSQAF Äëÿ ñòàíäàðòíî¨ êîíôiãóE ðàöi¨ ç β0 = 0.068 öå ðiâíÿííÿ ä๠x∗ ≈ 0D àëå âæå ó âàðiàíòi ç âèñîêèì

β0 = 0.094 ñèòóàöiÿ ïîêðàùó¹òüñÿ äî x∗ = 0.17D òîáòî ÷àñòèíêè ç ñàìîãî
öåíòðó ïëàçìè íå âòðà÷àòèìóòüñÿ ÷åðåç ñòîõàñòè÷íó äèôóçiþF ßêùî ìîäèE ôiêóâàòè öþ êîíôiãóðàöiþD çìåíøèâøè äçåðêàëüíó ãàðìîíiêó íà òðåòèíó !

81

äî cm = 0.03 òà

m (1)

âiä ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ ìîæíà çìåíøèòè çìiíîþ äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiêèD ÷îãî ó ‡UEˆ ëåãêî äîñÿãòèD âàðiþþ÷è ñòðóì ó êðóãîâèõ êîòóøêàõF

= 0.03D äèâF ðèñF PFQ ! x∗ çðîñò๠äî 0.46D òîáòî âòðàòè

Âïëèâ ëîêàëiçîâàíèõ åëåêòðè÷íèõ ïîëiâ òåæ ïîòðiáíî îöiíþâàòè çà äîE ïîìîãîþ @PFSQAF Ó òié æå ñòàíäàðòíié êîíôiãóðàöi¨ ‡EUˆ ç âèñîêèì β äëÿ ÷àñòèíêè ç åíåðãi¹þ SH êåÂD áàð9¹ð âèñîòîþ ó Q ê ïiäíiìå x∗ äî 0.5F Äiÿ öüîãî åëåêòðè÷íîãî äèôóçiéíîãî áàð9¹ðó äîáðå ñïîëó÷à¹òüñÿ çi ñïðèÿòëèE âèì âïëèâîì âiä9¹ìíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ íà îðáiòè îêðåìèõ ÷àñòèíîêD îïèñàíèì ó ïiäðîçäiëi PFIF Âïëèâ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ çìåíøó¹òüñÿ çi çðîñòàííÿì åíåðãi¨ ÷àñòèíîêF Äëÿ âiäíîñíî ïîâiëüíèõ ÷àñòèíîê ç åíåðãi¹þ SH êå âií ñèëüíiøèé çà âïëèâ çìiíè ìàãíiòíî¨ êîíôiãóðàöi¨D àëå çíà÷åííÿ íàïðóæåíîñòi åëåêòðè÷íîãî ïîE ëÿD ïîòðiáíiD ùîá iñòîòíî âïëèíóòè íà äðåéôîâèé ðóõ òåðìîÿäåðíèõ αE ÷àñòèíîêD âèõîäÿòü äàëåêî çà ìåæi ïðàêòè÷íî ìîæëèâîãîF Öå íàâîäèòü íà äóìêóD ùî äîäàòí¹ åëåêòðè÷íå ïîëå ìîæå äîïîìàãàòè âèäàëÿòè ãåëi¹âèé ïîïië ç ðåàêòîðàF Ó ïîïåðåäíüîìó ïiäðîçäiëi ç öi¹þ ìåòîþ áóëî çàïðîïîE íîâàíî çà äîïîìîãîþ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ðîçiìêíóòè îðáiòè ëîêàëüíî çàE õîïëåíèõ ÷àñòèíîê ïåâíî¨ åíåðãi¨F Êîëè ÷àñ ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ ìåíøèé çà ÷àñ çàïîâiëüíåííÿ äëÿ õîëîäíèõ αE÷àñòèíîêD ðîçiìêíåííÿ ñåïàðàòðèñ ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîê íèçüêî¨ åíåðãi¨ ìîæå âèêîíóâàòè òó æ ðîëüF Ç iíøîãî áîêóD çìiíè ìàãíiòíî¨ êîíôiãóðàöi¨ âïëèâàþòü íà óòðèìàííÿ ÷àñòèíîê íåçàëåæíî âiä ¨õ åíåðãi¨F Çîêðåìà âåëèêi çíà÷åííÿ β0 ñïðèÿþòü äîáðîìó óòðèìàííþF Ó ðåàêòîðiD öå âäàëî ñïîëó÷à¹òüñÿ iç ïîòðåáîþ ìàòè âåëèêå β0 äëÿ ïiäâèùåííÿ ãóñòèíè òåðìîÿäåðíî¨ ïîòóæíîñòiF Îñêiëüêè ââåäåíèé â öüîìó ïiäðîçäiëi ôîðìàëiçì íå ðîçãëÿä๠îêðåìi äðåéôîâi îðáiòè ÷àñòèíîêD iñíó¹ ïîòåíöiéíà íåáåçïåêàD ùîD â òîé ÷àñ ÿê ñåïàðàòðèñè çàìêíåíi âñåðåäèíi ïëàçìèD ëiíi¨ ðiâíÿ ïîçäîâæíüîãî àäiàáàE òè÷íîãî iíâàðiàíòàD ÿêi ïåðåòèíàþòü ñåïàðàòðèñóD íå áóäóòü çàìêíåíiF Ùîá îöiíèòèD íàñêiëüêè öåé åôåêò âàæëèâèéD áóëè ïðîâåäåíi ÷èñëîâi ðîçðàõóíE

82

êèD â ÿêèõ ïîðiâíþâàëèñü iíòåðâàëè çíà÷åíü àäiàáàòè÷íîãî iíâàðiàíòà íà ñåïàðàòðèñi òà íà ãðàíèöi ïëàçìèF ßêùî öi iíòåðâàëè íå ïåðåòèíàþòüñÿD äðåéôîâi îðáiòè íå âòðà÷àòèìóòüñÿ ç ñåïàðàòðèñèF Ðåçóëüòàòè öèõ ðîçðàE õóíêiâ ïîêàçóþòüD ùî âèïàäêèD êîëè ñåïàðàòðèñè çàìêíåíiD à äðåéôîâi îðE áiòè ! íiD òðàïëÿþòüñÿ ðiäêîF
2.2.5. Âèñíîâêè.

Ó öüîìó ïiäðîçäiëi çàïðîïîíîâàíî ìåòîä çìåíøåE

ííÿ âòðàò âiä ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ çà ðàõóíîê çàìèêàííÿ ñåïàðàòðèñ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè òà ëîêàëüíî çàõîïëåíèìè îðáiòàìè âñåðåäèíi ïëàçìèF ßêùî äëÿ ÷àñòèíêè ç ïåâíèì ïiò÷Eêóòîì äðåéôîâi îðáiòè òà ñåïàðàòðèñà çàìêíåíi âñåðåäèíi ïëàçìèD òàêà ÷àñòèíêà íå âòðà÷àòèìåòüñÿ ç ïëàçìè çà ÷àñ ïîðÿäêó ÷àñó ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨F ßêùî îðáiòè ÷àñòèíîê íå çàìêíåíiD ôîðìà ñåïàðàòðèñè íå ì๠çíà÷åííÿ äëÿ ¨õ óòðèìàííÿD àëå ó ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelstein îðáiòè ìàéæå çàâæäè çàìêíåíiD ÿêùî çàìêíåíà âiäïîâiäíà ñåïàðàòðèñàF Ó ðîçãëÿäi áóëî çíåõòóâàíî ïiò÷Eêóòîâèì ðîçñiÿííÿì òà çàïîE âiëüíåííÿì ÷àñòèíîêD òîìó âií ïðèäàòíèé ó òèõ âèïàäêàõD êîëè õàðàêòåðíi ÷àñè öèõ ïðîöåñiâ iñòîòíî ïåðåâèùóþòü õàðàêòåðíèé ÷àñ ñòîõàñòè÷íî¨ äèE ôóçi¨D àëå íàâiòü êîëè öi ÷àñè îäíîãî ïîðÿäêóD çàìêíåííÿ ñåïàðàòðèñ ä๠ïîçèòèâíèé åôåêò íà óòðèìàííÿF ÏîêàçàíîD ùî äëÿ ñòåëàðàòîðiâ òèïó ‡endelstein äiàìàãíåòèçì ïëàçìè äîïîìàã๠çàìêíóòè ñåïàðàòðèñèD à òîðî¨äàëüíà ãàðìîíiêà ìàãíiòíîãî ïîE ëÿ øêîäèòü öüîìóF Ðîëi äçåðêàëüíî¨ òà ãâèíòîâî¨ ãàðìîíiê çàëåæàòü âiä ¨õ ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ ñîáîþF Çîêðåìà ó âèïàäêóD êîëè ãâèíòîâà ãàðìîíiêà ïåðåâèùó¹ äçåðêàëüíó íà ãðàíèöi ïëàçìèD çìåíøåííÿ äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiE êèD ÿêîþ íà ‡UEˆ ìîæíà êåðóâàòè çà äîïîìîãîþ êðóãîâèõ îáìîòîêD ìîæå çàïîáiãòè âòðàòi íàäòåïëîâèõ iîíiâ ÷åðåç ñòîõàñòè÷íó äèôóçiþ iç öåíòðàëüE íî¨ îáëàñòi ïëàçìè ìàéæå äî ïîëîâèíè ¨¨ ðàäióñàF Íà çìåíøåííÿ âòðàò ìîæóòü òàêîæ âïëèíóòè çìiíè ðàäiàëüíîãî åëåE êòðè÷íîãî ïîëÿ @ÿêi ìîæóòü óòâîðþâàòèñÿD íàïðèêëàäD âiä ïåðåõîäó ìiæ

83

åëåêòðîííèì òà iîííèì êîðåíÿìè ÷è ïiä ÷àñ ôîðìóâàííÿ âíóòðiøíiõ òðàíñE ïîðòíèõ áàð9¹ðiâAF ÇîêðåìàD âiä9¹ìíå ðàäiàëüíå åëåêòðè÷íå ïîëå äîïîìàE ã๠çàìêíóòè ñåïàðàòðèñèF Ëîêàëiçîâàíi ïîòåíöiàëüíi áàð9¹ðè ïîëiïøóþòü ôîðìó ñåïàðàòðèñD êîëè îáëàñòü âiä9¹ìíîãî ïîëÿ ëåæèòü âñåðåäèíi îáëàñòi äîäàòíüîãî ïîëÿF Ó ñòàíäàðòíié êîíôiãóðàöi¨ ‡EUˆ ç âèñîêèì β D ïîòåíöiE àëüíèé áàð9¹ð âèñîòîþ Q ê çàìèê๠âñi ñåïàðàòðèñè SHEêåÂíèõ ÷àñòèíîêD ùî ïåðåòèíàþòü ïîâåðõíþ ç ðàäióñîì r = 0.5aD âíàñëiäîê ÷îãî ïåðåõiäíi ÷àñòèíêè íå âòðà÷àòèìóòüñÿ ç îáëàñòi âñåðåäèíi öi¹¨ ïîâåðõíiF  äåÿêèõ êîíôiãóðàöiÿõD äîäàòíi åëåêòðè÷íi ïîëÿD ÿêi çáiëüøóþòü âòðàE òè âiä ñòîõàñòè÷í¨ äèôóçi¨D ìîæóòü áóòè êîðèñíèìèD íàïðèêëàä äëÿ âèäàE ëåííÿ ãåëi¹âîãî ïîïåëó ó ðåàêòîðiF Îñêiëüêè âïëèâ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ çìåíøó¹òüñÿ ç ðîñòîì åíåðãi¨ ÷àñòèíîêD ïîãiðøåííÿ óòðèìàííÿ åëåêòðèE ÷íèì ïîëåì ñëàáêî âïëèâàòèìå íà âèñîêîåíåðãiéíi ÷àñòèíêèF Ó áiëüø øèðîêîìó êîíòåêñòiD ìîäèôiêàöi¨ ìàãíiòíèõ êîíôiãóðàöiéD ñïðèE ÿòëèâi äëÿ çàìêíåííÿ ñåïàðàòðèñ óñåðåäèíi ïëàçìèD ìîæóòü âèÿâèòèñÿ íåE ñïðèÿòëèâèìè ç òî÷êè çîðó iíøèõ êðèòåði¨â ÿêîñòi êîíôiãóðàöi¨ @ìàêñèE ìàëüíå äîñÿæíå β D êâàçèiçîäèíàìi÷íiñòü òîùîAF Òîìó çàìêíåííÿ ñåïàðàE òðèñ âñåðåäèíi ïëàçìè ìîæå áóòè äîäàòêîâèì êðèòåði¹ì îïòèìiçàöi¨ ñòåëàE ðàòîðíèõ êîíôiãóðàöiéF Ñëiä íàãîëîñèòèD ùî çàìêíåííÿ ôîðìè ñåïàðàòðèñ âñåðåäèíi ïëàçìè ! öå íå òå æ ñàìåD ùî êâàçèiçîäèíàìi÷íiñòü @óçãîäæåíE íÿ äðåéôîâèõ îðáiò ÷àñòèíîê ç ìàãíiòíèìè ïîâåðõíÿìèAF Ìiíiìiçàöiÿ âòðàò íàäòåïëîâèõ ÷àñòèíîêD ðîçðàõîâàíà çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ÌîíòåEÊàðëîD ÷àE ñòî âêëþ÷à¹òüñÿ äî íàáîðó êðèòåði¨â îïòèìiçàöi¨ ‘QR“F Çàìêíåíiñòü ôîðìè ñåïàðàòðèñ âñåðåäèíi ïëàçìè ìîæíà îöiíèòè íàáàãàòî øâèäøåD íiæ ìîäåE ëþâàòè âòðàòè ìåòîäîì ÌîíòåEÊàðëîD õî÷à âàðòî çàçíà÷èòèD ùî òàêå ìîE äåëþâàííÿ âðàõîâó¹ iíøi êàíàëè âòðàòD êðiì äèôóçi¨ ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîêF Ðåçóëüòàòè äîñëiäæåíü çäîáóâà÷à ó öüîìó ðîçäiëi âiäîáðàæåíî â ïóáëiE êàöiÿõ ‘SD T“F

84

ÐÎÇÄsË Q
ÅÔÅÊÒÈ ÍÅÎÑÅÑÈÌÅÒÐÈ×ÍÈÕ ÐÅÇÎÍÀÍÑI ÂÇÀ™ÌÎÄIˆ ×ÀÑÒÈÍÊÀ-ÕÂÈËß Ó ÑÒÅËÀÐÀÒÎÐÀÕ

3.1. Çãàñàííÿ Ëàíäàó àëüôâåíîâèõ ìîä

3.1.1. Âñòóï.

Âïëèâ íàäòåïëîâèõ iîíiâ íà ñòiéêiñòü ïëàçìè âèçíà÷àE

¹òüñÿ êîíêóðåíöi¹þ ìiæ ïåðåäà÷åþ åíåðãi¨ öèõ iîíiâ ïëàçìîâèì õâèëÿì i ïîãëèíàííÿì åíåðãi¨ õâèëü ÷àñòèíêàìè îñíîâíî¨ ïëàçìè ‘QSD QTD QU“F sñíó¹ êiëüêà ìåõàíiçìiâ ïîãëèíàííÿ åíåðãi¨ õâèëüX çãàñàííÿ ËàíäàóD êîíòèíóóìE íå çãàñàííÿD çãàñàííÿ ÷åðåç âèïðîìiíþâàííÿ òà çãàñàííÿ ÷åðåç çiòêíåííÿF Êîðîòêèé îãëÿä öèõ ïðîöåñiâ ó ñòåëàðàòîðàõ ìiñòèòüñÿD íàïðèêëàäD ó ‘QV“D à òàêîæ ó íîâiøié ðîáîòi ‘QW“F Ôiçèêà çãàñàííÿ ó òîêàìàêàõ i ñòåëàðàòîE ðàõ ñõîæàF Âàæëèâi âiäìiííîñòi ìiæ íèìè âèïëèâàþòü iç ðiçíèöi ó ñòðóE êòóði ìàãíiòíîãî ïîëÿ â öèõ òîðî¨äàëüíèõ ñèñòåìàõF ÏîEïåðøåD çàâäÿêè íàÿâíîñòi áàãàòüîõ ôóð9¹Eãàðìîíiê îäíîãî ïîðÿäêó âåëè÷èíè ó ðîçâèíåííi iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ çà êóòàìè òà ïåðiîäè÷íié âàðiàöi¨ ôîðìè ïîïåE ðå÷íîãî ïåðåðiçó ïëàçìè âçäîâæ òîðà ó ñòåëàðàòîðàõ óòâîðþ¹òüñÿ áiëüøå ùiëèí ó àëüôâåíîâîìó êîíòèíóóìiD ùî äîçâîëÿ¹ iñíóâàòè ðiçíîìàíiòíèì õàE ðàêòåðíèì äëÿ ñòåëàðàòîðiâ àëüôâåíîâèì âëàñíèì ìîäàì ‘RHD RID RP“D äèâF òàêîæ îãëÿä ‘QV“F Íà äîäà÷ó äî àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîäD âèêëèêàíèõ òîðî¨äàëüíiñòþ @„oroidi™ityEindu™ed elfv¡ en eigenmodesD „eiAD åëiïòè÷íiñòþ @illipti™ityEindu™ed elfv¡ en iigenmodesD ieiA òà íåêðóãëèì òðèêóòíèì ïåE ðåðiçîì ïëàçìè @non™ir™ul—r tri—ngul—rityEindu™ed elfv¡ en iigenmodesD xeiAD ÿêi iñíóþòü â òîêàìàêàõD ó ñòåëàðàòîðàõ äî íèõ äîäàþòüñÿ àëüôâåíîâi âëàE ñíi ìîäèD âèêëèêàíi äçåðêàëüíèìè @wirrorEindu™ed elfv¡ en eigenmodesD weiA òà ãâèíòîâèìè @reli™ityEindu™ed elfv¡ en eigenmodesD reiA ãàðìîíiêàìè ìàE

85

ãíiòíîãî ïîëÿF ÏîEäðóãåD ó ñòåëàðàòîðàõ iñíóþòü òàê çâàíi íåîñåñèìåòðèE ÷íi ðåçîíàíñèD çàâäÿêè ÿêèì ðîçøèðþþòüñÿ ìîæëèâîñòi äëÿ âçà¹ìîäi¨ ìiæ õâèëÿìè òà ÷àñòèíêàìè ‘RQ“F Òàêîæ ó ñòåëàðàòîðàõ ìîæóòü çáóäæóâàòèñÿ ìîäè iç ÷àñòîòàìèD ùî ëåæàòü â àëüôâåíîâîìó êîíòèíóóìi E ãëîáàëüíi àëüE ôâåíîâi âëàñíi ìîäè @qlo˜—l elfv¡ en eigenmodesD qeiA òà íåñòàíäàðòíi ãëîE áàëüíi àëüôâåíîâi âëàñíi ìîäè @xonE™onvention—l qlo˜—l elfv¡ en eigenmodesD xqeiA ‘RRD RSD RT“ E à ïðèñóòíiñòü ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîê ñóòò¹âî âïëèâ๠íà ïðîöåñè çãàñàííÿ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä ÷åðåç çiòêíåííÿ ‘RU“F ÍåE ùîäàâíî ó ñòåëàðàòîðàõ iç ìàëèì øèðîì òà îáåðòàëüíèì ïåðåòâîðåííÿìD áëèçüêèì äî îäèíèöiD ïîäiáíèì äî ‡endelstein UEˆD áóëè òåîðåòè÷íî âiäêðèE òi òàê çâàíi içîìîííi ìîäè @ssomon wodesD swA E àëüôâåíîâi ìîäè ç ðiâíèìè ïîëî¨äàëüíèìè òà òîðî¨äàëüíèìè ìîäîâèìè ÷èñëàìèD m = nD äëÿ iñíóâàíE íÿ ÿêèõ iñòîòíà ñòèñëèâiñòü ïëàçìè ‘RV“F Öi ìîäè ìàþòü øèðîêó ðàäiàëüíó ñòðóêòóðó i îõîïëþþòü âåëèêó ÷àñòèíó ïåðåðiçó ïëàçìèF Äåñòàáiëiçàöiÿ öèõ ìîä ïðîëiòíèìè íàäòåïëîâèìè iîíàìè ç ìàêñèìàëüíîþ åíåðãi¹þ 55 E 60 êåâD ÿêi óòâîðþþòüñÿ ïðè iíæåêöi¨ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ @xeutr—l fe—m snje™tionD xfsA áóëà ðîçãëÿíóòà ó ðîáîòi ‘RV“F Áóëî ïîêàçàíîD ùî iíêðåìåíò íåñòiéE êîñòi öèõ ìîä ó ïåðøèõ ïëàíîâàíèõ íà ‡EUˆ åêñïåðèìåíòàõ ç iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ ìîæå áóòè äîñèòü âåëèêèìF Îäíàê ¹äèíèì âçÿòèì äî óâàãè ⠑RV“ ìåõàíiçìîì âçà¹ìîäi¨ ÷àñòèíîê ç õâèëåþ áóâ ðåçîíàíñ ìiæ ìîE äàìè òà iíæåêòîâàíèìè iîíàìèF Íiÿêi ìåõàíiçìè çãàñàííÿ íå ðîçãëÿäàëèñÿX âçà¹ìîäi¹þ ìîä iç ÷àñòèíêàìè îñíîâíî¨ ïëàçìèD ÿêà ìîæå ïðèâîäèòè äî ïîE ãëèíàííÿ åíåðãi¨ ìîäD áóëî çíåõòóâàíîF Òîìó ç öi¹¨ ðîáîòè íå ìîæíà áóëî çðîáèòè âèñíîâîê ùîäî òîãîD ÷è ñïðàâäi iíæåêöiÿ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ ìîæå ïðèâîäèòè äî íåñòiéêîñòi içîìîííèõ ìîäF Ó öüîìó ïiäðîçäiëi áóäå ðîçãëÿíóòî çãàñàííÿ Ëàíäàó içîìîííèõ òà ùiE ëèííèõ àëüôâåíîâèõ ìîä ó ñòåëàðàòîðàõD â ïåðøó ÷åðãó ó ‡endelstein UEˆF Âàæëèâiñòü ðîëi öüîãî ìåõàíiçìó çãàñàííÿ ó ñòåëàðàòîðàõ áóëî ïåðåäáàE ÷åíî ùå ó ‘QV“X öÿ ðîáîòà ïðèâåðíóëà óâàãó äî òîãî ôàêòóD ùîD ÿê áóëî

86

ïîêàçàíî â ðàíiøié ðîáîòi ‘RQ“D â íåîñåñèìåòðè÷íèõ ðåçîíàíñàõ ðåçîíàíñíi øâèäêîñòi ÷àñòèíîê ìîæóòü áóòè íàñòiëüêè ìàëèìèD ùî òåïëîâi ÷àñòèíêè çìîæóòü ïîãëèíàòè åíåðãiþ õâèëüF Òèì íå ìåíøåD äåòàëüíî çãàñàííÿ ËàíE äàó â ñòåëàðàòîðàõ äîñi íå âèâ÷àëîñÿD õî÷à äåÿêi êðîêè â öüîìó íàïðÿìêó áóëè çðîáëåíi â ðîáîòàõ ‘QWD RW“F Ó ïóíêòi QFIFP íà îñíîâi ðiâíÿíüD ùî îïèñóþòü ðåçîíàíñè ïðîëiòíèõ ÷àE ñòèíîê ç õâèëÿìè ‘RQ“D ðîçãëÿíóòi ðåçîíàíñè âçà¹ìîäi¨ õâèëÿE÷àñòèíêà äëÿ içîìîííèõ òà ùiëèííèõ ìîä ó ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆF Ó ïóíêòi QFIFQ âèâîäÿòüñÿ çàãàëüíi âèðàçè äëÿ iíêðåìåíòiâGäåêðåìåíòiâ àëüôâåíîâèõ ìîäD âêëþ÷àþ÷è ìîäè ó ñòèñëèâèõ ïëàçìàõD ïðèäàòíi äëÿ âèâ÷åííÿ âïëèâó íà ìîäè i åëåêòðîíiâD i iîíiâ ÿê òåïëîâî¨ ïëàçìèD òàê i íàäòåïëîâèõ êîìïîíåíòF Ó ïóíêòi QFIFR iç äîïîìîãîþ âèâåäåíèõ ðiâíÿíü îá÷èñëþþòüñÿ iíêðåìåíòè òà äåêðåìåíòè içîìîííèõ òà ùiëèííèõ àëüôâåíîâèõ ìîäD ÿê ó ëîêàëüíîE ìó íàáëèæåííiD òàê i ç óðàõóâàííÿì ðàäiàëüíî¨ ñòðóêòóðè ìîäF Êîíêðåòíi ïðèêëàäè ñòîñóþòüñÿ ‡endelstein UEˆD ðåàêòîðà reli—sD à òàêîæ ïðèñòðîþ vrhF  îñòàííüîìó ïóíêòi íàâåäåíi ïiäñóìêè îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâF
3.1.2. Àíàëiç ðåçîíàíñiâ ìiæ àëüôâåíîâèìè ìîäàìè òà ïðîëiòíèìè ÷àñòèíêàìè.

Ðåçîíàíñíà âçà¹ìîäiÿ ìiæ àëüôâåíîâèìè ìîäàìè

òà ÷àñòèíêàìè ìîæå íå ëèøå ïðèâîäèòè äî äåñòàáiëiçàöi¨ öèõ ìîäD à é ãðàE òè âàæëèâó ðîëü ó ¨õ çãàñàííiD çîêðåìà ÷åðåç ìåõàíiçì ËàíäàóF ßê áóäå ïîêàçàíî íèæ÷åD öåé ìåõàíiçì îñîáëèâî âàæëèâèé ó ñòåëàðàòîðàõF
3.1.2.1. Ðiâíÿííÿ ðåçîíàíñó.

Ðîçêëàäåìî iíäóêöiþ ìàãíiòíîãî ïîE

ëÿD êðèâèíó ñèëîâî¨ ëiíi¨ @KA òà çáóðåíi âåëè÷èíè @âiäìi÷åíi òèëüäîþA â ðÿä Ôóð9¹ ‘RPD QVD RQ“X

¯ B=B

1+

1 2

iµϑ−iνN ϕ µν (r )e µ,ν

,

@QFIA @QFPA

K=
µ,ν

Kµ,ν (r)eiµϑ−iN νϕ ,

87

˜= X
m,n

Xm,n (r)eimϑ−inϕ−iωt ,

@QFQA

¯ ! ñåðåäíÿ iíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ íà ìàãíiòíié îñiD ðàäiàëüíà êîîðE äå B ¯ 2 /2D ψ ! òîðî¨äàëüíèé ìàãíiòíèé ïîòiêD ϑ äèíàòà r âèçíà÷à¹òüñÿ iç ψ = Br
òà ϕ ! âiäïîâiäíî ïîëî¨äàëüíèé i òîðî¨äàëüíèé áóçåðîâi êóòèD N ! ÷èñëî ïåE ðiîäiâ ðiâíîâàæíîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿF Ôóð9¹Eãàðìîíiêè
µν

¹ ìîíîòîííèìè

ôóíêöiÿìè ðàäióñó ìàãíiòíî¨ ïîâåðõíiF Çîêðåìà ó êîíôiãóðàöi¨ ‡UEˆ ç âåE ëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþD ÿêà âèêîðèñòîâó¹òüñÿ â öüîìó ïiäðîçäiëiD íàéáiëüøi ãàðìîíiêè
µν
0.12 (0,1) 0.08

ïîêàçàíi íà QFIF

Amplitude of harmonic

0.04

(0,0)

0 (1,0)

-0.04

(1,1) -0.08 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

r/a

ÐèñF QFIF Ôóð9¹Eãàðìîíiêè ðiâíîâàæíîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿ ó êîíôiãóðàöi¨ ‡UEˆ ç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ ïðè β (0) = 0.037F r ! ïîòîêîE âà ðàäiàëüíà êîîðäèíàòàD a ! ìàëèé ðàäióñ ïëàçìèF Ó öèõ ïîçíà÷åííÿõD ðåçîíàíñ ìiæ õâèëÿìè òà áiëüøiñòþ ïðîëiòíèõ ÷àE ñòèíîê ó ñòåëàðàòîðàõ îïèñó¹òüñÿ ðiâíÿííÿì ‘RQ“

ω = kres v res ,

@QFRA

km+µ,n+νN = [(m + µ)ι − (n + νN )]/RD ι ! îáåðòàëüíå ïåðåòâîðåííÿD ι =

äå v res ! ðåçîíàíñíà øâèäêiñòü ÷àñòèíêè âçäîâæ ìàãíiòíîãî ïîëÿD kres ≡

1/q D q ! ôàêòîð áåçïåêèD ÿêèé ïðèéíÿòî âèêîðèñòîâóâàòè â òîêàìàêàõD à

88

R ! âåëèêèé ðàäióñ òîðàF Ðiâíÿííÿ @QFRA îòðèìàíî iç òåîði¨ äåñòàáiëiçàöi¨
àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä øâèäêèìè iîíàìèD àëå éîãî òàêîæ ìîæíà âèâåñòè iç ðiâíÿíü

dE ˜, = evD · E dt ϑ(t) = ωϑ t + ϑ0 , ϕ(t) = ωϕ t + ϕ0 ,

@QFSA @QFTA

äå E ! åíåðãiÿ ÷àñòèíêèD vD ! øâèäêiñòü äðåéôó ÷àñòèíêè ó ñòåëàðàòîðíîE

˜ =E ˆ ⊥ (r) exp(−iωt + imϑ − inϕ) ! åëåêòðè÷íå ïîëå ìó ìàãíiòíîìó ïîëiD E
õâèëiD à ωϑ òà ωϕ ! âiäïîâiäíî ÷àñòîòè ðóõó ÷àñòèíêè â ïîëî¨äàëüíîìó òà òîðî¨äàëüíîìó íàïðÿìêàõ ‘QV“F Ðiâíÿííÿ äðåéôîâî¨ òåîði¨ @QFSA îïèñó¹ îáìií

˜ òà çàðÿäæåíîþ ÷àñòèíêîþD ùî åíåðãi¹þ ìiæ åëåêòðè÷íèì ïîëåì õâèëi E
ðóõà¹òüñÿ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿ ç äðåéôîâîþ øâèäêiñòþ vD F Ðiâíÿííÿ @QFTA îïèñó¹ ðóõ ÷àñòèíêè âçäîâæ ñèëîâèõ ëiíié ìàãíiòíîãî ïîëÿF  öüîE ìó ðiâíÿííi îïóùåíi äðåéôîâi ÷ëåíèD òîáòî â íüîìó çíåõòóâàíî åôåêòàìè ñêií÷åííî¨ øèðèíè îðáiòF Öå âèïðàâäàíî äëÿ ÷àñòèíîê îñíîâíî¨ ïëàçìèD àëå ìîæå áóòè íåäîñòàòíüî äëÿ îïèñó íàäòåïëîâèõ iîíiâF Öi ðiâíÿííÿ ïðèäàòíi i äëÿ iîíiâD i äëÿ åëåêòðîíiâY êîëè ó ïîäàëüøîìó öi ðiâíÿííÿ çàñòîñîâóâàE òèìóòüñÿ äî åëåêòðîíiâ ÷è iîíiâD âèêîðèñòîâóâàòèìóòüñÿ âiäïîâiäíi iíäåêñè @e àáî iAF Äëÿ çàäàíî¨ ÷àñòîòè ìîäè òà ìîäîâèõ ÷èñåë ðiâíÿííÿ @QFRA âèçíà÷๠íåñêií÷åííå ÷èñëî ðåçîíàíñíèõ çíà÷åíü øâèäêîñòi v res D çà ÿêèõ ÷àñòèíêè ìîæóòü âçà¹ìîäiÿòè ç ìîäàìèF Ïðîòå ëèøå äåêiëüêà iç öèõ çíà÷åíü ãðàþòü õî÷ áè ÿêó âàæëèâó ðîëüD áî íàâiòü ó ñòåëàðàòîðàõ âåëèêèõ ôóð9¹Eãàðìîíiê ìàãíiòíîãî ïîëÿ íå íàäòî áàãàòîF Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî iç ñïiââiäíîøåíüD ÿêi áóäå âèâåäåíî â ïîäàëüøîìóD âèïëèâà¹D ùî äçåðêàëüíà ãàðìîíiêà ìàãíiòíîE ãî ïîëÿD õî÷ âîíà i íàéñèëüíiøà ó öåíòði ïëàçìè ⠇endelstein UEˆ @îñîáëèâî â êîíôiãóðàöi¨D ùî âèêîðèñòîâó¹òüñÿ â öüîìó ïiäðîçäiëiAD ìàëî âïëèâ๠íà çãàñàííÿ õâèëüF

89

3.1.2.2. Ðåçîíàíñè ìiæ ÷àñòèíêàìè òà ùiëèííèìè àëüôâåíîâèìè ìîäàìè.

Ó öüîìó ïiäïóíêòi àíàëiçóþòüñÿ ðåçîíàíñè äëÿ âëàñíèõ

ìîä ç ÷àñòîòàìèD ùî ëåæàòü ó ùiëèíàõ àëüôâåíîâîãî êîíòèíóóìóF Êîëè ó ôóð9¹Eðîçâèíåííi iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ òàGàáî ìåòðè÷íîãî òåíçîðà ïðèñóòíÿ ãàðìîíiêà ç ÷èñëàìè (µ0 , ν0 )D â àëüôâåíîâîìó êîíòèíóE óìi ç9ÿâëÿ¹òüñÿ ùiëèíà íà ðàäióñi r∗ D äå ïåðåòèíàþòüñÿ äâi öèëiíäðè÷íi ãiëêè êîíòèíóóìó ç ìîäîâèìè ÷èñëàìè m, n òà m + µ0 , n + ν0 F ÏðèðiâíþE àëüôâåíîâà øâèäêiñòüD ìîæíà îòðèìàòè ‘RP“

þ÷è ÷àñòîòè öèõ ãiëîê ω1 = |kmn |vA (r) òà ω2 = |km+µ0 ,n+ν0 N |vA (r)D äå vA !

ι∗ =

2n + ν0 N . 2m + µ0

@QFUA

×èñëà (µ0 , ν0 ) íóìåðóþòü ôóð9¹EãàðìîíiêèD ÿêi ñòîñóþòüñÿ àëüôâåíîâîãî êîíòèíóóìó òà àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîäD íà ïðîòèâàãó äî ÷èñåë (µD ν )D ÿêi ñòîñóþòüñÿ ðåçîíàíñóF ×àñòîòó öèõ äâîõ ãiëîê â òî÷öi ïåðåòèíó ι = ι∗ ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi

ω ω ω ˆ = |kmn |vA∗ = 0.5|kµ |vA∗ , 0 ν0

@QFVA

vA∗ = vA (ι∗ )D à Rω = R â òî÷öi ïåðåòèíó ó ïðîñòîði (r, ω )F  öèõ ïîçíà÷åE
ííÿõD ðåçîíàíñíà óìîâà @QFRA ïðè ι = ι∗ íàáóâ๠âèãëÿäó ω = [−0.5kµ0 ν0 +
ω kµν ]v res D äå kµν = kµν ç Rω = RF Ðiâíÿííÿ @QFVA îòðèìàíå áåç ââåäåííÿ

ω ω ω ω ïðè÷îìó kmn = −0.5kµ D kmn = (mι∗ − n)/Rω D kµ = (µ0 ι∗ − ν0 N )/Rω D 0 ν0 0 ν0

ÿêî¨ñü ôiêñîâàíî¨ âåëè÷èíè âåëèêîãî ðàäióñó òîðàF Òîìó ðàäióñ Rω ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè ÿê ïiäãîíî÷íèé ïàðàìåòðD ÿêèé äîçâîëÿ¹ ðiâíÿííþ @QFVA îïèñóâàòè íå ëèøå êîíòèíóóìíi ÷àñòîòè öèëiíäðè÷íèõ ãiëîêD à é ìîäîâi ÷àñòîòè â ðåàëiñòè÷íèõ ìàãíiòíèõ êîíôiãóðàöiÿõF ×àñòîòà ùiëèííî¨ âëàñíî¨ ìîäèD âçàãàëi êàæó÷èD íå äîðiâíþ¹ ω ˆ D àëå âîíà áëèçüêà äî öi¹¨ ÷àñòîòèD êîëè ùiëèíà âóçüêàF Îäíàê ó ñòåëàðàòîðàõ iñíóE þòü øèðîêi ùiëèíèD ÿêi äî òîãî æ ìîæóòü áóòè çìiùåíi âíàñëiäîê âçà¹ìîäi¨ ùiëèíF Çîêðåìà „eiEùiëèíà ó àëüôâåíîâîìó êîíòèíóóìi ñòåëàðàòîðiâ òèE

90

ïó ‡endelstein çìiùåíà äîíèçó ÷åðåç âçà¹ìîäiþ ãîëîâíî iç äóæå øèðîêîþ ùiëèíîþD óòâîðåíîþ ãâèíòîâîþ µ0 /ν0 = 2/1 êîìïîíåíòîþ ôîðìè ïåðåðiE çó ïëàçìèD äèâF íàïðF ðèñF P ó ðîáîòi ‘QV“AF Öåé åôåêò ìîæíà âðàõóâàòèD ïðèéìàþ÷è Rω > RF Ç iíøîãî áîêóD ñòèñëèâiñòü ïëàçìèD çàâäÿêè ÿêié óòâîE ðþ¹òüñÿ íèçüêî÷àñòîòíà ùiëèíàD ïîâ9ÿçàíà ç β @β = 8πp/B 2 ! âiäíîøåííÿ òèñêó ïëàçìè p äî òèñêó ìàãíiòíîãî ïîëÿAD çìiùó¹ ùiëèíè ó àëüôâåíîâîìó êîíòèíóóìi âãîðóF Öåé åôåêò ñëàáêèé ó ñòåëàðàòîðàõD àëå ó ñôåðè÷íèõ òîE êàìàêàõ òà ó çâè÷àéíèõ òîêàìàêàõ iç ïîðîæíèñòèì ïðîôiëåì ñòðóìóD êîëè

β > ι2 âií ìîæå áóòè äóæå ñèëüíèì ‘SH“F
Ñïîëó÷àþ÷è ðiâíÿííÿ @QFRA òà ðiâíÿííÿ @QFVAD ìîæíà îòðèìàòè
−1

v

res

R = Rω

Âàðòî âiäçíà÷èòèD ùî |v res | = vA∗ òà |v res | = vA∗ /3 ïðè µ = µ0 D ν = ν0 òà äëÿ âñiõ ùiëèííèõ ìîä îäíàêîâiD äîñòàòíüî ëèøåD ùîá iñíóâàëè âiäïîâiäE íi ôóð9¹Eãàðìîíiêè ìàãíiòíîãî ïîëÿ @öå íå çàâæäè òàêD áî äåÿêi ùiëèíè â àëüôâåíîâîìó êîíòèíóóìi óòâîðþþòüñÿ çàâäÿêè âàðiàöiÿì ôîðìè ïåðåðiçó ïëàçìè ! òîáòî ìåòðè÷íîãî òåíçîðà ! à íå çàâäÿêè âàðiàöiÿì iíäóêöi¨ ìàE ãíiòíîãî ïîëÿAF Ç iíøîãî áîêóD êîëè µ = µ0 àáî ν = ν0 D íàâiòü ïðè R = Rω iñíó¹ öiëèé íàáið ðåçîíàíñíèõ øâèäêîñòåéF Ðîçãëÿíåìî êiëüêà ïðèêëàäiâF Äëÿ äîáðîãî óòðèìàííÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâ ïîòðiáíà ïëàçìà ç âèñîêèì

µι∗ − νN sgn kmn + 2 |µ0 ι∗ − ν0 N |

v A∗ .

@QFWA

R = Rω â òî÷öi ïåðåòèíóD äå ι = ι∗ F Öå îçíà÷à¹D ùî ðåçîíàíñíi øâèäêîñòi

β D çîêðåìà ó ðåàêòîði reli—s ïåðåäáà÷à¹òüñÿ β (0) = 13 − 14% ‘SI“F Áåðó÷è

βi ≡ 8πni Ti /B 2 = 6.5% äëÿ iîíiâ îñíîâíî¨ ïëàçìèD ìîæíà ïîáà÷èòèD ùî
çàçíà÷åíà âèùå ðåçîíàíñíà øâèäêiñòü v res = vA /3 íàäà¹òüñÿ äî åôåêòèâE íî¨ âçà¹ìîäi¨ ùiëèííèõ àëüôâåíîâèõ ìîä ç iîíàìè îñíîâíî¨ ïëàçìèD áî çà òàêîãî β öÿ øâèäêiñòü áëèçüêà äî òåïëîâî¨ øâèäêîñòi iîíiâD v res /vT i = 1.3F Ïðîòå ïîäàëüøèé ðîçãëÿä îáìåæóâàòèìåòüñÿ ïëàçìîâèìè ïàðàìåòðàìèD õàðàêòåðíèìè äëÿ iñíóþ÷èõ åêñïåðèìåíòiâD à òàêîæ ïàðàìåòðàìèD ÿêi ïåE

91

ðåäáà÷àþòüñÿ íà ïåðøîìó åòàïi åêñïåðèìåíòàëüíî¨ êàìïàíi¨ ç iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ íà ‡endelstein UEˆF ßêùî ïðèïóñòèòèD ùî â îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäè

1 , @QFIHA 4N 2 òî ç ðiâíÿííÿ @QFWA äëÿ „eiEìîäèD ùî âçà¹ìîäi¹ ç iîíàìè îñíîâíî¨ ïëàçìè βi ∼
÷åðåç ãâèíòîâèé ðåçîíàíñ µ/ν = 1/1D ïðè N äå vT i =

2Ti /Mi ! òåïëîâà øâèäêiñòü iîíiâ îñíîâíî¨ ïëàçìèF ÏëàçìèD ùî

1 âèïëèâ๠îöiíêà v res ∼ vT i D

çàäîâiëüíÿþòü @QFIHAD äàëi ó ïiäðîçäiëi íàçèâàòèìóòüñÿ ïëàçìàìè ç íèçüêèì

βF
ïðè ι = ι∗ ä๠(Rω /R)|v res |/vA ∗ = 1/10.1 i 1/8.1F Òîìó Çîêðåìà ó ‡endelstein UEˆD äå N = 5 òà ι∗ ≈ 0.9D ðåçîíàíñ µ = ν = 1

|v res | vT i

=

R √ . 10Rω βi

@QFIIA

ßê i î÷iêóâàëîñüD öÿ ðåçîíàíñíà øâèäêiñòü áëèçüêà äî òåïëîâî¨ øâèäêîñòi iîíiâ îñíîâíî¨ ïëàçìè ïðè βi = 0.01F Ãâèíòîâà ãàðìîíiêà ç µ = ν = 1 ó ‡endelstein UEˆ äîñèòü âåëèêàD òîìó ìîæíà î÷iêóâàòèD ùî ãâèíòîâi ðåçîE íàíñè ñïðàâëÿòèìóòü ñèëüíèé ñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ íà „eiEíåñòiéêîñòi íà öüîìó ïðèñòðî¨F Âèñîêî÷àñòîòíi ìîäè @rei11 D rei21 òà weiA ìîæóòü çãàñàòè íà âiäîE ìîìó â òîêàìàêàõ ñàéäáåíäEðåçîíàíñiD µ/ν = 1/0F Âèêîðèñòîâóþ÷è òå ñàìå îáåðòàëüíå ïåðåòâîðåííÿD N = 5D i ïîêëàäàþ÷è R = Rω D ìîæíà îòðèìàE òè |v res |/vA∗ = 0.735 i 1.56 äëÿ weiD |v res |/vA∗ = 0.69 i 1.78 äëÿ rei11 D

|v res |/vA∗ = 0.64 i 2.28 äëÿ rei21 F Âñi öi çíà÷åííÿ ðåçîíàíñíî¨ øâèäêîñòi
çíà÷íî ïåðåâèùóþòü òåïëîâó øâèäêiñòü iîíiâD ç ÷îãî âèïëèâà¹D ùî çãàñàíE íÿ íà iîíàõ äëÿ öèõ ìîä áóäå åêñïîíåíöiéíî ìàëèìF Íà ïðîòèâàãóD îñêiëüêè òåïëîâà øâèäêiñòü åëåêòðîíiâ vT e çàçâè÷àé ïåðåâèùó¹ àëüôâåíîâó øâèäE êiñòüD çãàñàííÿ íà åëåêòðîíàõ ìîæå áóòè iñòîòíèìX

|v res | vT e

=

|v res | vA∗

Me ni∗ 1 R √ , Mi ne∗ βe Rω

@QFIPA

92

äå βe = 8πne∗ Te∗ /B 2 F

ïàäêiâ òàêiX 0.17 i 0.36 äëÿ weiD 0.16 i 0.41 äëÿ rei11 D 0.14 i 0.52 äëÿ rei21 F Ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîêD ùî çãàñàííÿ öèõ ìîä íà åëåêòðîíàõ áóäå íå òàêèì ñèëüíèìD ÿê çãàñàííÿ „eiEìîä íà iîíàõD ñïðè÷èíåíå ãâèíòîâèì

Ó âîäíåâié ïëàçìi âåëè÷èíè âiäíîøåííÿ Rω |v res |/(RvT e ) äëÿ ðiçíèõ âèE

ðåçîíàíñîì µ/ν = 1/1F ÑïðàâäiD âiäíîøåííÿ |v res /vT e | äëÿ rei òà wei íàáàãàòî ìåíøå îäèíèöi @õiáà ùî R òîâó
2 µν AF

Êðiì öüîãîD òîðî¨äàëüíà ôóð9¹Eãàðìîíiêà
11

Rω AD òîäi ÿê äëÿ „ei |v res /vT i | ∼ 1F
10

ó ‡UEˆ âäâi÷i ìåíøà çà ãâèíE

@íèæ÷å áóäå ïîêàçàíîD ùî äåêðåìåíò çãàñàííÿ ïðîïîðöiéíèé äî

Íàâåäåíi âèùå ïðèêëàäè ñòîñóþòüñÿ âîäíåâî¨ ïëàçìèF Ç ðiâíÿííÿ @QFIPA âèäíîD ùî ó ïëàçìàõ ç áiëüø âàæêèìè iîíàìè âiäíîøåííÿ |v res |/vT e áóäå ìåíøèìF Âiäïîâiäíî ñëàáiøèì áóäå i çãàñàííÿ íà åëåêòðîíàõF Íà çãàñàííÿ weiEìîäè ó ‡UEˆ òàêîæ âïëèâ๠ãâèíòîâà ãàðìîíiêà
3.1.2.3. Ðåçîíàíñ ìiæ ÷àñòèíêàìè òà içîìîííèìè ìîäàìè.

11 F

Ç

ðiâíÿííÿ @QFRA âèïëèâà¹D ùî içîìîííi ìîäè âçà¹ìîäiþòü ç ÷àñòèíêàìè ÷åðåç ãâèíòîâèé ðåçîíàíñD ÿêîìó âiäïîâiä๠ïîçäîâæíÿ øâèäêiñòü

v res =

Rω , −m∆ι + µι − νN

@QFIQA

äå ∆ι = 1 − ιF ×àñòîòè içîìîííèõ ìîä ëåæàòü òðîõè âèùå çà ÷àñòîòó ω = íà ðàäióñiD äå àìïëiòóäà ìîäè ìàêñèìàëüíàF Òîìó âiäíîøåííÿ ðåçîíàíñíî¨ øâèäêîñòi iîíiâ äî òåïëîâî¨ øâèäêîñòi

m|∆ι|vAm /R @ïðèíàéìíi êîëè m > 1AD äå vAm ! àëüôâåíîâà øâèäêiñòü

v res vT i

=

|m|∆ι √ . | − m∆ι + µι − νN | βi

@QFIRA

Ïðèéìàþ÷è µ = ν = 1 @ãâèíòîâèé ðåçîíàíñAD ∆ι = 0.1 òà βi = 0.01D ðiâíÿííÿ @QFIRA ä๠v res /vT i ïåðåâèùó¹ âåëè÷èíó m∆ιvA /R ó 2.4 ðàçè çàâäÿêè ñòèñëèâîñòi ïëàçìè ‘RV“F

1 äëÿ m = 2 − 4F ×àñòîòà ìîäè ç m = 1

93

Òîìó v res äëÿ ìîäè ç m = 1 òåæ áëèçüêà äî òåïëîâî¨ øâèäêîñòi iîíiâF ÎòæåD ìîæíà î÷iêóâàòè çíà÷íîãî çãàñàííÿ içîìîííèõ ìîä íà iîíàõF Ç iíøîãî áîêóD içîìîííi ìîäè äåñòàáiëiçóþòüñÿ ïðîëiòíèìè iíæåêòîâàE íèìè iîíàìè ÷åðåç ðåçîíàíñ @QFIQA ç ν = 0D ÿêîìó âiäïîâiä๠ïîçäîâæíÿ ðåçîíàíñíà øâèäêiñòü iîíiâ

v res ≈ vA
äîâiëüíÿ¹òüñÿ ïðè m∆ι

m∆ι . ±ι − m∆ι

@QFISA

Ó ‡UEˆ øâèäêiñòü iíæåêòîâàíèõ iîíiâ vb < vA F Òîìó ðiâíÿííÿ @QFISA çàE

1D ùî âèïðàâäîâó¹ îáìåæåííÿ íàâåäåíîãî âèùå

ðîçãëÿäó ìîäîâèìè ÷èñëàìè m = 1 − 4D ÿêi âèâ÷àëèñÿ ó ðîáîòi ‘RV“F

Ðiâíÿííÿ @QFIRA òà @QFISA âèçíà÷àþòüD ÿêà ãðóïà iîíiâ áóäå âçà¹ìîäiÿòè

ç ìîäàìèD àëå ¨õ íåäîñòàòíüîD ùîá ïåðåäáà÷èòè çàëåæíiñòü iíêðåìåíòó íåE ñòiéêîñòi âiä ìîäîâèõ ÷èñåëD áî i iíêðåìåíò çáóäæåííÿD i äåêðåìåíò çãàñàííÿ çàëåæàòü âiä ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ÷àñòèíîê ó ôàçîâîìó ïðîñòîðiF ÇîêðåìàD ÿê áóäå ïîêàçàíî ó ïiäïóíêòi QFIFRFID âiäñóòíiñòü ïðîëiòíèõ iíæåêòîâàíèõ iîíiâ íà ïåðèôåði¨ ïëàçìè ó ïëàíîâàíèõ åêñïåðèìåíòàõ ç iíæåêöi¹þ íà ‡UE ˆ iñòîòíî îáìåæó¹ ñèëó çáóäæåííÿ íåñòiéêîñòiD õî÷à öåé åôåêò çàëåæèòü âiä ìîäîâèõ ÷èñåëF Êðiì öüîãîD ¹ ðåçîíàíñèD ÿêi iñíóþòü çàâäÿêè ñêií÷åíE íié øèðèíi îðáiò ÷àñòèíîê ‘SP“D i öi ðåçîíàíñè òàêîæ ìîæóòü âïëèâàòè íà çàëåæíiñòü iíêðåìåíòiâ íåñòiéêîñòi âiä ìîäîâèõ ÷èñåëF
3.1.3. Âèâåäåííÿ âèðàçiâ äëÿ iíêðåìåíòó/äåêðåìåíòó ìîäè. 3.1.3.1. Âèðàçè äëÿ àëüôâåíîâèõ ìîä.

Ó öüîìó ïiäïóíêòi ìåòîE

äîì òåîði¨ çáóðåíü âèâîäÿòüñÿ çàãàëüíi âèðàçè äëÿ iíêðåìåíòiâGäåêðåìåíòiâ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä ó ïëàçìiD ùî ìiñòèòü íàäòåïëîâi iîíèF Ðiâíÿííÿ êâàçiíåéòðàëüíîñòi ïëàçìè !

∇ ·˜ j = 0,

@QFITA

äå j ! ñòðóì ïëàçìèD òèëüäîþ ïîçíà÷åíi çáóðåíi âåëè÷èíèF Äîìíîæèâøè

94

ðiâíÿííÿ @3.16A íà çáóðåíèé ñêàëÿðíèé ïîòåíöiàë åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿ

˜ òà iíòåãðóþ÷è äîáóòîê ïî îá9¹ìó ïëàçìèD ìîæíà îòðèìàòè Φ ˜ =0 d3 x˜ j · ∇Φ ˜ çàäîâiëüíÿ¹ çà óìîâèD ùî Φ
ïëàçìèF @QFIUA

˜ = 0D äå iíòåãðàë áåðåòüñÿ ïî ãðàíèöi ds · ˜ jΦ

Ñòðóì ˜ jD ùî âõîäèòü â ïiäiíòåãðàëüíèé âèðàç ðiâíÿííÿ @QFIUAD çðó÷íî íè âçäîâæ i ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿF Ïîçäîâæíié ñòðóì ìîæíà âèçíà÷èòè çàïèñàòè ó âèäi ˜ j =˜ j +˜ j⊥ D äå iíäåêñè òà ⊥ âiäïîâiäíî ïîçíà÷àþòü âåëè÷èE

˜ = 4π˜ iç ðiâíÿíü ÌàêñâåëàX äëÿ ïîçäîâæíüîãî ñòðóìó ñïðàâåäëèâî c∇ × B j ˜ =∇×A ˜ D äå B ! ìàãíiòíå ïîëåD à A ! âåêòîðíèé ïîòåíöiàë åëåêòðîE òà B
ìàãíiòíîãî ïîëÿF Ïîïåðå÷íèé ñòðóì â ïðèñóòíîñòi íàäòåïëîâèõ ÷àñòèíîê
HD ˜α ˜M HD ! ñòðóì ïëàçìè âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿìè ˜ j⊥ = ˜ jM +˜ jkin ⊥ ⊥ + j⊥ D äå j⊥

˜ jα ⊥ ! ñòðóì íàäòåïëîâèõ iîíiâF ˜ ìàëàD òîìó âiäïîâiäíî ìàëîþ ¹ A ˜ ⊥ D i íèìè Â àëüôâåíîâèõ õâèëÿõ B
ìîæíà çíåõòóâàòèF Òîäi

â iäåàëüíîìó ÌÃÄEíàáëèæåííiD ˜ jkin ⊥ ! êiíåòè÷íèé ñòðóì îñíîâíî¨ ïëàçìèD à

c ˜ )]b, ˜ [∇ · B0 (∇⊥ A j ≈− 4πB0

@QFIVA

äå b = B0 /B0 ! îäèíè÷íèé âåêòîð âçäîâæ ìàãíiòíîãî ïîëÿD à iíäåêñ H ïîçíà÷๠ðiâíîâàæíi âåëè÷èíèF Ç iíøîãî áîêóD iç ðiâíÿíü iäåàëüíî¨ ÌÃÄD

˜ iΦ ˜ ∝ exp(−iωt)D âèïëèâà¹D ùî ˜ = −∇⊥ Φ äå E iωc2 M HD ˜ ˜ j⊥ ≈ 2 ∇⊥ Φ. 4πvA
@QFIWA

Çáóäæóâàòèñÿ ó ïðèñóòíîñòi íåâåëèêî¨ ãðóïè íàäòåïëîâèõ iîíiâ ìîæóòü ëèøå òi õâèëiD ÿêi ñëàáêî çãàñàþòü ó ¨õ âiäñóòíîñòiD òîìó ïðîáëåìó ñòiéêîñòi òàêèõ õâèëü @à îòæå i ðiâíÿííÿ @QFIUAA ìîæíà àíàëiçóâàòè ìåòîäàìè òåîði¨ çáóðåíü @âèíÿòîê ñòàíîâëÿòü òàê çâàíi ìîäè íà åíåðãiéíèõ ÷àñòèíêàõ ! inergeti™ €—rti™le wodesD i€w ! ÿêi òóò íå ðîçãëÿäàþòüñÿAF Ïîïåðåäíüî

95

ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî ïîçäîâæíié ñòðóìD òàê ñàìî ÿê i ïîïåðå÷íèéD ìîæíà

˜ çà äîïîìîãîþ ñïiââiäíîøåííÿ ω A ˜ = çàïèñàòè ÷åðåç ñêàëÿðíèé ïîòåíöiàë Φ ˜ D ÿêå âèïëèâ๠iç ðiâíÿííÿ iäåàëüíî¨ ÌÃÄ E ˜ = 0 @k âèçíà÷à¹òüñÿ ÿê ck Φ ˜ = b ·∇Φ ˜ AF Òîäi ˜ j ∝ ω −1 iD îòæåD d(ω˜ j )/dω = 0F Ç îãëÿäó íà öåD ìîæíà ik Φ çàïèñàòè ω˜ j = ω˜ j(0) + ω˜ j(1) D äå ˜ j(0) = ˜ j +˜ jM HD òà ˜ j(1) = ˜ jkin +˜ jα D ïðè÷îìó ˜ j(1)
ìàëèé ïîðiâíÿíî iç ˜ j(0) F  íóëüîâîìó íàáëèæåííiD ç @QFIUA ìîæíà îòðèìàòè ðiâíÿííÿD ÿêîìó çàäîâiëüíÿþòü âëàñíi ÷àñòîòè iäåàëüíî¨ ÌÃÄ @ω0 A òà âëàñíi ìîäèX
⊥ ⊥ ⊥

˜ = 0. d3 x˜ j(0) (ω0 ) · ∇Φ
(0)

@QFPHA

j(1) D äå ∆ω = ω − ω0 F Â ïåðøîìó íàáëèæåííiD (ω˜ j)(1) = [d(ω0˜ j⊥ )/dω0 ]∆ω + ω0˜
@QFIWAD â öüîìó íàáëèæåííi ïiñëÿ óñåðåäíåííÿ ïî ÷àñó ç ðiâíÿííÿ @QFIUA ìîæíà îòðèìàòè

Âèçíà÷àþ÷è iíêðåìåíòGäåêðåìåíò ìîäè ÿê γ = sm ∆ω i áåðó÷è äî óâàãè

γ=

0.5‚e
‚e{(iω )−1

˜kin ˜∗ d3 x(˜ jα ⊥ + j⊥ ) · ∇ ⊥ Φ , ˜ ∗} d3 x[∂ (ω˜ jM HD )/∂ω ] · ∇⊥ Φ
⊥

@QFPIA

àëüôâåíîâî¨ ìîäèD

äå iíäåêñè  0 ïðè ω îïóùåíiD à çíàìåííèê äîðiâíþ¹ 2WA D äå WA ! åíåðãiÿ

WA =

c2 ˜ 2 dx 2 |E | . 8πvA
3

@QFPPA

˜Y ˜ ) = 0.5‚e (XY ∗ )F Ïðè âèâåäåííi öèõ ðiâíÿíü âðàõîâóâàëîñÿD ùî ‚e (X
Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî ðiâíÿííÿ @QFPIA âiäðiçíÿ¹òüñÿ âiä âiäïîâiäíîãî ðiâE çàìiñòü d(˜ jM HD )/(dω )Y ïåðåâàãà öüîãî âèðàçó äëÿ åíåðãi¨ ìîäè â òîìóD ùî @QFPIA ìiñòèòü êiíåòè÷íó ÷àñòèíó ñòðóìó îñíîâíî¨ ïëàçìèF
3.1.3.2. Âèðàçè äëÿ ìîä ó ñòèñëèâèõ ïëàçìàõ.

HD íÿííÿ @UA â ðîáîòi ‘RQ“X çíàìåííèê ó @QFPIA ìiñòèòü ïîõiäíó d(ω˜ jM )/(dω ) ⊥

˜ F Êðiì öüîãîD ÷èñåëüíèê âií íå ìiñòèòü ïîçäîâæíüîãî ñòðóìó ˜ j M HD òà ∇ Φ
Ðiâíÿííÿ êâàçiE

íåéòðàëüíîñòi QFIFQFI òà íàáëèæåíüD çðîáëåíèõ ó ðiâíÿííÿõ @QFIVAD @QFIWAD íåäîñòàòíüî äëÿ îïèñó içîìîííèõ ìîä ó êâàçèiçîäèíàìi÷íèõ ñòåëàðàòîðàõD

96

çîêðåìà ó ‡endelstein UEˆ òà ó ðåàêòîði reli—s ‘SI“F Öi ìîäè âèçíà÷àþòüñÿ

˜ @ζ ˜ = ∇ · ξ D äå ξ ! çìiùåííÿ ˜ òà ñòèñëèâîñòi ζ ðiâíÿííÿìè äëÿ ïîòåíöiàëó Φ
ïëàçìèAD ïîâ9ÿçàíèìè ìiæ ñîáîþ ÷åðåç êðèâèíó ñèëîâî¨ ëiíi¨ òà ñêií÷åíE íó òåìïåðàòóðó ïëàçìè ‘RV“F Òîìó â öüîìó ïiäïóíêòi ç ðiâíÿííÿ içîìîííèõ ìîä ‘RV“ ç äîäàâàííÿì êiíåòè÷íîãî ÷ëåíàD ÿêèé âiäïîâiä๠çà âçà¹ìîäiþ ç îñíîâíîþ ïëàçìîþD áóäå âèâåäåíî àíàëîãi÷íå äî @QFPIA ñïiââiäíîøåííÿD ÿêå äîçâîëèòü îá÷èñëèòè iíêðåìåíòGäåêðåìåíò ìîäèF Ðiâíÿííÿ içîìîííèõ ìîä ì๠âèãëÿä
2 ω 2 − ωG dΦm,n 1 d 2 rδ0 − k mn 2 r dr vA dr 2 2 2 2 2 ω − ωG r t / t kmn 2 − kmn (rδ0 kmn ) Φm,n + 2 vA r 4πiω r d j0 4πiω ˜kin ]m,n , jα − 2 Bmn = 2 [∇ · ˜ ⊥ + j⊥ c dr B c

m2 δ0 − r2

@QFPQA

äå
2 ωG

c2 = ˜ s2 R
2

øâèäêiñòü çâóêóD Γ = 5/3 ! âiäíîøåííÿ òåïëî¹ìíîñòåéD p ! òèñê ïëàçìèD ρ ! ¨¨ ãóñòèíàD δ0

˜ D kmn ≡ k (m, n) = (mι − n)/RD cs = Φm,n ! ôóð9¹Eêîìïîíåíòè Φ

l=±1

ω2 2 2 ω 2 − km +l,n cs

,

@QFPRA

Γp/ρ !

1 âèçíà÷à¹òüñÿ ôîðìîþ ïåðåðiçó ïëàçìè @äèâF ðîáîòó ‘RP“AD =−
1,0 D

˜2 =

2 2 t /(δ0 )D t

= r/RD øòðèõîì ïîçíà÷åíà ïîõiäíà çà ðàäióñîìD

à j0 ! ðiâíîâàæíèé ñòðóì ïëàçìèF Ïîìíîæèâøè ðiâíÿííÿ @QFPQA íà Φ∗ mn i ïðîiíòåãðóâàâøè ïî îá9¹ìó ïëàE çìèD iD ÿê ó ïiäïóíêòi QFIFQFID ðîçãëÿäàþ÷è õâèëþ ÿê çáóðåííÿD ìîæíà îòðèE ìàòè

2γ W ≡

mn γ

δ0 d3 x 4cπv 2

2

A

1−
mn ‚e

2 dωG dω 2

|Φmn |2 +

m2 r2

1−

2 2 2 dωG r t dω 2 2 t

|Φ2 mn |
@QFPSA

= 0.5

kin ∗ d3 x jα ⊥mn + j⊥mn · ∇⊥ Φmn .

Òóò W âiäðiçíÿ¹òüñÿ âiä WA ÷ëåíàìèD ùî âèíèêàþòü âíàñëiäîê çâ9ÿçêó ìiæ

˜F Ïðè âèâåäåííi öüîãî ðiâíÿííÿ âðàõîâóâàëîñÿD ùî äîáóòîê ωB r @äå ˜ òà ζ Φ mn

97
r Bmn âèðàæàþòüñÿ ÷åðåç Φmn A íå çàëåæèòü âiä ω F Öå ðiâíÿííÿ óçãîäæó¹òüñÿ

ç ðiâíÿííÿì @3.21AD àëå â íüîìó âðàõîâàíà ñòèñëèâiñòü ïëàçìèF Ïåðøèé ÷ëåí ó ïðàâié ÷àñòèíi öüîãî ðiâíÿííÿ îïèñó¹ ðîçãîéäóâàííÿ íåE ñòiéêîñòi íàäòåïëîâèìè iîíàìèD γα F Äðóãèé ÷ëåíD γd D îïèñó¹ çãàñàííÿ @êîëè ïëàçìà ðiâíîâàæíàAF Âåëè÷èíè γα òà γd ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi

γα =
òà

1 4W 1 4W

‚e
mn

∗ d3 x (jα ⊥mn ) · ∇⊥ Φmn

@QFPTA

γd =

‚e
mn

∗ d3 x jkin ⊥mn · ∇⊥ Φmn ,

@QFPUA

äå W âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿì @QFPSAF síêðåìåíò íåñòiéêîñòi äîðiâíþ¹ γα +

γd D ïðè÷îìó γα > 0 i γd < 0F

3.1.3.3. Iíêðåìåíòè/äåêðåìåíòè ó ìàêñâåëîâié ïëàçìi ç ïó÷êîì.

Ñëiäóþ÷è ïðîöåäóði ‘RV“ i âðàõîâóþ÷è íàÿâíiñòü ðiçíèõ ãàðìîíiê êðèâèE íè ñèëîâî¨ ëiíi¨ òà ïðèéìàþ÷è ìàêñâåëîâèé ðîçïîäië øâèäêîñòåé ÷àñòèíîê îñíîâíî¨ ïëàçìèD ìîæíà îòðèìàòè

jr(mn)

iM c2 = ¯2 2 4B r Mc ¯ 2r 4B
2

(µ2 2 µν Φm,n
µν

− µm

µν µν Φm,n )

dv

3

w4 ω − km+µ,n+νN v w
4

ˆ F, Π
@QFPVA

jϑ(mn) =

µν (µ µν Φm,n µν

−m

µν Φm,n )

d3 v

ω − km+µ,n+νN v

ˆ F, Π
@QFPWA

2 ˆ â çìiííèõ @r, v A @äëÿ äîáðå ïðîëiòíèõ äå w2 = (0.5v⊥ + v 2 )D à îïåðàòîð Π

÷àñòèíîê r ¹ íàáëèæåíèì iíòåãðàëîì ðóõóA ì๠âèãëÿä

ˆ =−2 + Π 2 vT

ω 1 1 ∂ +n , ωϕ ιωωB r ∂r

@QFQHA

äå ωϕ = v /RF Öi ðiâíÿííÿ ñïðàâåäëèâi i äëÿ iîíiâD i äëÿ åëåêòðîíiâF  ïîäàëüøîìó áóäå âèêîðèñòàíî ïðèïóùåííÿD ùî äðóãèé ÷ëåí ó ðiâE íÿííi @QFQHA ìàëèé i íèì ìîæíà çíåõòóâàòèF Öå ïðèïóùåííÿ âèïðàâäàíåD

98

êîëè

äå L = |d ln F/dr|−1

vT σ L |m + µ − νN ι−1 | , @QFQIA 2ωr ρσ ! õàðàêòåðíà äîâæèíà íåîäíîðiäíîñòi ïëàçìèD ρσ =

vT σ /ωBσ D à iíäåêñ σ íóìåðó¹ ñîðòè ÷àñòèíîê @åëåêòðîíè òà iîíèAF Ïðè âèE
Êîëè äðóãèé ÷ëåí â ðiâíÿííi @QFQHA ïåðåâàæà¹D â ñòåëàðàòîðàõ ìîæóòü

âåäåííi ðiâíÿííÿ @QFQIA âèêîðèñòàíà ðåçîíàíñíà óìîâà @QFRAF âèíèêàòè íåñòiéêîñòiD çáóäæóâàíi ïðîñòîðîâîþ íåîäíîðiäíiñòþ îñíîâíî¨ ïëàE çìèD òîáòî òåïëîâi ÷àñòèíêèD ÿê i åíåðãiéíiD ìîæóòü âèêëèêàòè íåñòiéêîñòiF Ó ðîáîòi ‘RW“ áóëî ïðîäåìîíñòðîâàíî òàêó íåñòiéêiñòü äëÿ „ei ó ‡UEˆF Ìîæíà ïîêàçàòèD íàïðèêëàäD ùî ðåçîíàíñ ÷åðåç ãâèíòîâó êîìïîíåíòó ìàE ãíiòíîãî ïîëÿ @µ = 1, ν = 1A ä๠äëÿ „ei ìîäè ç ìîäîâèì ÷èñëîì m = 5D ëîêàëiçîâàíî¨ ïîáëèçó ðàäióñà r/a ∼ 0.5 ó ïëàçìi ç βi = 0.01 òà ι = 0.9D êðèòè÷íå çíà÷åííÿ äîâæèíè íåîäíîðiäíîñòi (L/ρi )cr = 21D òîáòî òàêà ìîäà ìîãëà á çáóäæóâàòèñüD êîëè L/ρi < 21F ×è áóäå íàñïðàâäi çáóäæóâàòèñü òàêà ìîäàD çâè÷àéíîD çàëåæàòèìå ùå é âiä áàëàíñó ïîòóæíîñòi ðîçêà÷êè i çãàñàííÿ â òié ÷àñòèíi îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäèD äå L/ρi < (L/ρi )cr D i â òié ÷àñòèíiD äå L/ρi > (L/ρi )cr F Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî ó ìàêñâåëîâèõ ïëàçìàõ çà íàÿâíîñòi íåîäíîðiäíîñòi òåìïåðàòóðè õàðàêòåðíà äîâæèíà L çíà÷íî çðîñòà¹D êîëè v res > vT D äå v res âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿì @QFRAF Öåé åôåêò ðîçãëÿäàòèìåòüñÿ ó ïiäðîçäiëi QFPF Äëÿ îá÷èñëåííÿ iíêðåìåíòiâGäåêðåìåíòiâ ïîòðiáíi ëèøå óÿâíi ÷àñòèE íè iíòåãðàëiâ ó ðiâíÿííÿõ @QFPVA!@QFPWAD ÿêi âèíèêàþòü çàâäÿêè ðåçîíàíñó @QFRAF Ïiäñòàâëÿþ÷è −iπδ (Ω) çàìiñòü 1/ΩD ó ïëàçìi ç ìàêñâåëîâèì ðîçïîäiE ëîì øâèäêîñòåé ìîæíà îòðèìàòè @ïîðF ðîáîòè ‘SQD SRD RQ“D äå ìàêñâåëîâèé „ei ìîä ó òîêàìàêàõAX sm ðîçïîäië åíåðãiéíèõ iîíiâ âèêîðèñòîâóâàâñÿ äëÿ äîñëiäæåííÿ äåñòàáiëiçàöi¨

d3 v

w4 ω − km+µ,n+νN v

ˆF = Π

√

πnσ ω Q(u), 2 kres

@QFQPA

99

äå

Q(u) = 1 1 2 1+ Q = u 2 ef |v res |/vT D = |
µν | 2

1 2 (2u4 + 2u2 + 1)e−u − Q , u u4 + 2 1 + 1 2
ef

@QFQQA
−1 2

u2 + 1 e−(1+ ef )u ,

@QFQRA

kres ≡ km+µ,n+νN D nσ ! êîíöåíòðàöiÿ ÷àñòèíîê @iîíiâ ÷è åëåêòðîíiâAD u =
ef µν

@µ = ν = 0A ! åôåêòèâíå çíà÷åííÿ ôóð9¹Eãàðìîíiêè

ìàãíiòíîãî ïîëÿD ÿêå âèçíà÷๠ìåæó îáëàñòi äîáðå ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê ó ïðîñòîði øâèäêîñòåéF Çîêðåìà ó êîíôiãóðàöi¨ ‡UEˆ ç âåëèêîþ äçåðêàëüE íîþ ãàðìîíiêîþD
ef

íàáóâ๠çíà÷åíü âiä 0.08 íà ìàãíiòíié îñi äî 0.24 íà

ïåðèôåði¨ ïëàçìèF Ó ïîäàëüøèõ îá÷èñëåííÿõ ïðèéìà¹òüñÿD ùî ïîïåðå÷íi ×ëåí Q çìåíøó¹ çãàñàííÿD àëå éîãî âïëèâ ñò๠iñòîòíèì ëèøå çà óìîâè øâèäêîñòi ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê ëåæàòü â iíòåðâàëi 0 < v⊥ < |v |/

√

ef F

u

√

ef F

Ôóíêöiÿ Q(u) ¹ äîñèòü ïëàñêîþ â iíòåðâàëi 0.5

u

1F Öå

ñïðîùó¹ îöiíêè ó òèõ âèïàäêàõD êîëè ÷àñòîòà ìîäè òî÷íî íå âiäîìàD àëå

ω/(|kres |vT ) ëåæèòü ó âêàçàíîìó iíòåðâàëiF Ç iíøîãî áîêóD êîëè ÷àñòîòà ìîE

äè âiäîìàD çðó÷íiøå âèêîðèñòîâóâàòè ôóíêöiþ u2 Q(u)D ÿêà âèíèêà¹D ÿêùî çà äîïîìîãîþ ñïiââiäíîøåííÿ kres = ω/v res âèêëþ÷èòè ç ïðàâî¨ ÷àñòèíè
2 F ðiâíÿííÿ @QFQRA ÷ëåí kres

Çíàþ÷è êîìïîíåíòè ñòðóìó jkin mn òà âèêîðèñòîâóþ÷è ðiâíÿííÿ @QFPUA òà @QFPSA ç µ = 0, ±1D ìîæíà çàïèñàòè òàêå ðiâíÿííÿ äëÿ äåêðåìåíòóX

√ (σ ) γd π Mσ =− ω 8δ0 Mi

2 a −2 ¯ −2 − m Φ Q(uσ )k drrn ( r ) µ Φ σ µν mn res mn µν mn 0 µν , a −1 n (r ) (g r 2 |Φ 2 + g m2 |Φ 2) drr | | i 1 2 mn mn mn 0

@QFQSA

¯res ≡ kres R = (m + µ)ι − (n + νN )D u = Rω/(|k ¯res |vT )D g1 = 1 − dω 2 /dω 2 D äå k G
2 g2 = 1 − (dωG /dω 2 )(r2 2 2 t / t )F

Ãðàôiê ôóíêöi¨ Q(uσ ) ïîêàçàíèé íà ðèñóíêó

QFPF Ôóð9¹Eãàðìîíiêà

t

çàïèñàòè ó âèãëÿäi

ïðèáëèçíî ïðîïîðöiéíà äî rD òîìó g1 ≈ g2 i g1 ìîæíà
2 4 km +l,n cs . 2 2 2 R2 (ω 2 − km +l,n cs )

g1 = 1 + ˜

2 l =±1

@QFQTA

100

Öå ðiâíÿííÿ äëÿ g1 ìîæíà òàêîæ îòðèìàòè iç ðiâíÿííÿ @QFPQAD ÿêùî ïiñëÿ
kin îá÷èñëåííÿ óÿâíî¨ ÷àñòèíè jr,mn çàëèøèòè â íüîìó ëèøå ÷ëåíD ïðîïîðöiéE

íèé äî Φmn @âií óòâîðþ¹òüñÿ ñàìå ç öi¹¨ êîìïîíåíòè ñòðóìóAF Íàâåäåíèé
2 2 âèùå àíàëiç ïðèïóñêà¹D ùî ω 2 = km +l,n cs D òîáòî â íüîìó íå âðàõîâóþòüñÿ

àëüôâåíîâîEçâóêîâi ðåçîíàíñè i âiäïîâiäíi ùiëèíè â àëüôâåíîâîìó êîíòèE íóóìiF Öåé âèïàäîê çàñëóãîâó¹ íà îêðåìå äîñëiäæåííÿF
2 Îñêiëüêè c2 s /vA

æåíîãî âèðàçó äëÿ g1 F ÍàïðèêëàäD ÿêùî äëÿ ÷àñòîòè ìîäè âèêîðèñòàòè íàáëèæåíå çíà÷åííÿ iç ðiâíÿííÿ @QFVAD ìîæíà çàïèñàòè ðiâíÿííÿ @QFQTA äëÿ „eiEìîä ó âèãëÿäi
2 c4 s∗ Rω g1 = 1 + 4˜ 2 4 2 ι vA∗ R 2

1 i ˜2 ≡

2 t /(δ0

)

1D äëÿ àíàëiçó äîñòàòíüî íàáëèE

l =±1

(1 + 2l)2 2 , 1 − (1 + 2l)2 c2 s∗ /vA∗

@QFQUA

äå iíäåêñîì B ïîçíà÷åíî âåëè÷èíèD âçÿòi íà ðàäióñi ïåðåòèíó ãiëîê êîíòèE íóóìóD äå îáåðòàëüíå ïåðåòâîðåííÿ âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿì @QFUAF ÂèäíîD ùî g1 áóäå çäåáiëüøîãî áëèçüêèì äî îäèíèöiF Ç ðiâíÿííÿ @QFQSA âèäíîD ùî äåêðåìåíò ïðîïîðöiéíèé äî Mσ /Mi D ç ÷îãî ìîæå âèíèêíóòè õèáíå âðàæåííÿD ùî çãàñàííÿ íà åëåêòðîíàõ çàâæäè ìàëåD òîìó âàðòî çâåðíóòè óâàãó íà öå ïèòàííÿF
σ ßêùî ïðèïóñòèòèD ùî |v res | = vT D òî ç ðåçîíàíñíî¨ óìîâè äëÿ çàäàE

íÿ íå çàëåæèòü âiä Mσ F Ç ôiçè÷íî¨ òî÷êè çîðóD öå ¹ íàñëiäêîì òîãî ôàE êòóD ùî äðåéôîâà øâèäêiñòü vD âèçíà÷à¹òüñÿ åíåðãi¹þ ÷àñòèíêèD à íå ¨¨ øâèäêiñòþF Îäíàê íàñïðàâäi ôiêñîâàíèìè âåëè÷èíàìè ¹ íå v res D à ÷àñòîE

¯2 = ω 2 R2 /v 2 ∝ Mσ D òîáòî çãàñàíE íî¨ ÷àñòîòè ìîäè ìîæíà îòðèìàòè k res Tσ

¯res òà ìîäè òà ìîäîâi ÷èñëàF Òîìó áiëüø ïðàâèëüíî ïðèïóñòèòèD ùî ω òà k
çàäàíiD i âèêëþ÷èòè Mσ ç âèðàçó äëÿ γd
(σ )

çà äîïîìîãîþ ñïiââiäíîøåííÿ

¯−2 Mσ /Mi = u2 c2 /(R2 ω 2 )D äå c2 = 2Tσ /Mi F Òåïåð î÷åâèäíîD ùî äåêðåìåíò k res σ σ σ
çãàñàííÿ íà åëåêòðîíàõD ÿê i äåêðåìåíò çãàñàííÿ íà iîíàõD çàëåæèòü âiä ìàñè ÷àñòèíêè ëèøå ÷åðåç âiäíîøåííÿ v res /vT D òîáòî íiÿêî¨ äîäàòêîâî¨ çàE ëåæíîñòi âiä ìàñè ÷àñòèíêè íåìà¹F

101

100 ǫef ǫef ǫef ǫef ǫef ǫef = = = = = = 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24

Q( u)

10−1

10−2 10−1

100

u
ÐèñF QFPF Çàëåæíiñòü Q âiä u äëÿ ðiçíèõ çíà÷åíü
ef D

ôiãóðàöi¨ ‡UEˆ ç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþD

äå u = |v res |/vT F Ó êîíE
ef

çìiíþ¹òüñÿ âiä 0.08

íà ìàãíiòíié îñi äî 0.24 íà ïåðèôåði¨ ïëàçìèY ó ñòàíäàðòíié êîíôiãóðàöi¨

0.03

ef

0.18F

Âàðòî âiäçíà÷èòèD ùî ïîäiáíèé äî @QFQSA âèðàç äëÿ iíêðåìåíòó íåñòiéêîE ñòi ìîæíà îòðèìàòèD iíòåãðóþ÷è @QFQPA ç ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó íàäòåïëîâèõ ÷àñòèíîêD Fα F Äëÿ iîíiâ ïó÷êà ìîæíà âçÿòè Fα ó íàáëèæåíîìó âèãëÿäi ‘RV“

Fα =

2nb (r) δ (χ − χ0 )η (v0 − v ), 3 π (1 + χ2 0 )v

@QFQVA

äå iíäåêñ ˜ ïîçíà÷๠÷àñòèíêè ïó÷êàD η (v0 − v ) ! ôóíêöiÿ ÃåâiñàéäàD χ =
2 v /v D êîíöåíòðàöiÿ ÷àñòèíîê âèçíà÷à¹òüñÿ iç nb = pb /E0 D äå E0 = 0.5Mb v0 i pb

! òèñê íàäòåïëîâèõ iîíiâD ðiâíèé pb = 0.5(p + p⊥ )D äå p =

êîëè åíåðãiÿ iîíiâ ïó÷êà äîñòàòíüî âèñîêàD ùîá êóëîíîâi çiòêíåííÿ ëèøå çàïîâiëüíþâàëè iîíè i íå âèêëèêàëè ïîìiòíîãî ðîçñiÿííÿ çà ïiò÷EêóòîìX

2 0.5 d3 vv⊥ Fα D i äëÿ ïðîñòîòè âçÿòî Mb = Mi F Ðiâíÿííÿ @QFQVA ñïðàâåäëèâåD

d3 vv 2 Fα D p⊥ =

E

(Mi /Me )1/3 Te F Ó òàêîìó ðàçiD ðiâíÿííÿ äëÿ γα ìàòèìå òàêèé ñàìèé √

âèãëÿäD ÿê i @QFQSAD ç çàìiíîþ iíäåêñó σ íà bD c2 b = 2E /Mb D i ç ôóíêöi¹þ

π ω∗b Qb (ub ) = − 2 (1 + χ0 ) ω

1 +1 χ2 0

2

u2 b +

3 2 − 2 −5 , 4 χ0 χ0

@QFQWA

102
2 äå ω∗b = n[1 + σv ωR/(nv0 ub )]v0 (ιωBb r)−1 ∂ ln nb /∂rD ub = |v res |/v0 i σv =

sgn v res D çàìiñòü Q(u)F

3.1.3.4. Îöiíêà iíêðåìåíòó/äåêðåìåíòó, âèêëèêàíîãî ïó÷êîì, ó ëîêàëüíîìó íàáëèæåííi.

Ùîá îá÷èñëèòè äåêðåìåíò çãàñàííÿ iç ðiâE ìîæíà çðîáèòè ó ëîêàëüíîìó íàáëèæåííiF
(σ )

íÿííÿ @QFQSAD ïîòðiáíî çíàòèD ÿê àìïëiòóäà ìîäè Φ(r) çàëåæèòü âiä ðàäiE óñóF Ïðîòå ïðîñòó îöiíêó γd
(σ )

Ùîá îòðèìàòè ëîêàëüíå çíà÷åííÿ γd D ìîæíà ïðèïóñòèòèD íàïðèêëàäD ùî ó @QFQSA äîìiíóþòü ÷ëåíèD ùî ìiñòÿòü ïîõiäíi ïîòåíöiàëó ìîäè Φmn çà ðàE äióñîìD i ùî ìîäà äóæå âóçüêàF Òîäi ðiâíÿííÿ @QFQSA ñïðîùó¹òüñÿ äî

γd

(σ ) loc

ω

π Mσ nσ =− 2 Mn 8δ0 g1 i i

√

µ
µν

µν

2

¯−2 Q(uσ ), k res

@QFRHA

äå âñi âåëè÷èíè âçÿòi ïðè òîìó çíà÷åííi ðàäióñóD äå àìïëiòóäà ìîäè ìàêñèE ìàëüíàF Ââîäÿ÷è ‘RV“ áåçðîçìiðíó ÷àñòîòó ìîäè ω ¯ = ωR/cs0 D äå cs0 = cs (0)D

¯res vT |)D ùî ó âèïàäêó ïëàçìè ç âèðàç äëÿ u ìàòèìå âèãëÿä u = ω ¯ cs0 /(|k g1 çàïèøåòüñÿ ÿê

√ √ ¯res | Θ)D äå Θ = T (r)/T0 D à âèðàç äëÿ Ti = Te ñïðîùó¹òüñÿ äî u = ω ¯ Γ/(|k ¯2 Θ2 k m+l,n . ¯2 ω ¯ 4 (1 − k Θ/ω ¯ 2 )2
m+l,n

g1 = 1 + ˜

2 l=±1

@QFRIA

Ç ðiâíÿíü @QFQTA òà @QFRIA âèïëèâà¹D ùî ñòèñëèâiñòü ïëàçìè çáiëüøó¹ åíåðãiþ ìîäè @g1 > 0A iD îòæåD çìåíøó¹ γd D ïðîòå öåé åôåêò ìàëèéD g1 ≈ 1D êîëè

ω2

2 2 km +l,n cs F

Äåêðåìåíò @QFRHA çàëåæèòü âiä ìîäîâèõ ÷èñåëF síêîëè ìîæå áóòè çðóE ÷íiøèì âèðàç äëÿ γd D ÿêèé ìiñòèâ áè çàìiñòü ìîäîâèõ ÷èñåë ¨¨ ÷àñòîòóF

¯res D ìîæíà îòðèìàòè Âèêëþ÷àþ÷è k γd
(σ ) loc

ω

π nσ =− 2 8g1 δ0 ni

√

µ
µν

µν

2

c2 σ u2 Q(uσ ). 2 2 ω ¯ cs0 σ

@QFRPA

103

Öå ðiâíÿííÿD ÿê i @QFRHAD ñïðàâåäëèâå i äëÿ åëåêòðîíiâD i äëÿ iîíiâF Êîëè

Te = Ti D çãàñàííÿ íà åëåêòðîíàõ çðiâíþ¹òüñÿ ç çãàñàííÿì íà iîíàõ çà óìîâè
2 loc loc u2 e Q(ue ) = ui Q(ui )F Çîêðåìà ó âîäíåâié ïëàçìi γd,e = γd,i ïðè ue ≈ 0.1 òà

ui ≈ 4D à ó äåéòåði¹âié ïëàçìi ! ïðè ue ≈ 0.07 òà ui ≈ 4.2F

Ñõîæå ðiâíÿííÿ ñïðàâåäëèâå äëÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâF Çàâäÿêè öüîìó ìîE

æíà íàïèñàòè ïðîñòó îöiíêó ïîðîãîâî¨ êîíöåíòðàöi¨ íàäòåïëîâèõ iîíiâD çà ÿêî¨ ñèñòåìà áóäå íà ìåæi ñòiéêîñòiF Ïðèïóñêàþ÷èD ùî ó âèðàçàõ äëÿ äåE êðåìåíòó çãàñàííÿ íà îñíîâíié ïëàçìi òà iíêðåìåíòó íà íàäòåïëîâèõ iîíàõ @γα A äîìiíó¹ ïî îäíié ãàðìîíiöi ìàãíiòíîãî ïîëÿD ìîæíà îòðèìàòè

Tσ ncr b = nσ E0

µσ

(σ ) µν (b) µb µν

2

u2 σ Q(uσ ) . 2 j ub Qb (ub )
j

@QFRQA

Òóò σ = e, iY j = ±µD sign µ = sign ν F ñêó âiä äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiêèD
01 D

Âèâåäåíi âèùå â ëîêàëüíîìó íàáëèæåííi ðiâíÿííÿ íå âêëþ÷àþòü âíåE áî ó @QFQSA ÷ëåí ç Φmn âèÿâëÿ¹òüñÿ

ïðîïîðöiéíèé äî µF Âïëèâ äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiêè ìîæíà îöiíèòèD áåðó÷è

Φmn (r) ∝ exp(ikr r) i íåõòóþ÷è çàëåæíiñòþ iíøèõ âåëè÷èí âiä ðàäióñóD ùî
äà¹

γd

(σ ) loc

ω

µ=0

2 π Mσ nσ kθ =− 2 M n k2 8δ0 g1 i i ⊥

√

r

2 01

¯−2 Q(uσ ), k res

@QFRRA

2 2 2 äå k⊥ = kr + kϑ F Êîëè µ = 0D öåé ïiäõiä ïðèâîäèòü äî òîãî ñàìîãî ðiâíÿííÿ

@QFRHA ÷åðåç íàáëèæåíå ñïiââiäíîøåííÿ r

µν

=

µν F

Êîðèñòàþ÷èñü iç òîãîD

2 2 2 2 ¯2 ω ùî k res ¯ = uσ vT σ /cs0 D ìîæíà îòðèìàòè äëÿ äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiêè âèðàçD

ïîäiáíèé äî @QFRPAF Ïîðiâíþþ÷è éîãî iç @QFRPAD ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîêD ùî äëÿ äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiêè iíêðåìåíòGäåêðåìåíò çáiëüøó¹òüñÿ ïðîïîðöiéíî äî âåëè÷èíè
2 r 01 kϑ . @QFRSA F =1+ 2 k⊥ µ µν Ùîá îöiíèòè ¨¨ ó êîíôiãóðàöi¨ ‡EUˆ ç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ 2

i β (0) = 0.037D ìîæíà âçÿòè µ = ν = 1 i

01

=

01 (0)(1

+ ζr2 /a2 )D äå

104
01 (0)

äçåðêàëüíà ãàðìîíiêà íå ä๠âåëèêîãî âíåñêó ó iíêðåìåíòGäåêðåìåíò ìîäèF

= 0.09 i ζ = 0.33F Òîäi F = 1 + 0.55(kϑ r)2 /(k⊥ a)2 < 1.55F ÎòæåD

3.1.4. Äåêðåìåíòè çãàñàííÿ ó ñòåëàðàòîði Wendelstein 7-X, ðåàêòîði-ñòåëàðàòîði Helias òà ñòåëàðàòîði LHD.

3.1.4.1. Iíêðåìåíòè/äåêðåìåíòè içîìîííèõ ìîä ó W7-X.

Öåé

ïiäïóíêò ïðèñâÿ÷åíî âèâ÷åííþ çãàñàííÿ içîìîííèõ ìîä ó ïåðøié åêñïåðèE ìåíòàëüíié êàìïàíi¨ ç iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ íà ‡UEˆF Ðîçðàõóíêè çàñíîâóâàòèìóòüñÿ íà çàãàëüíèõ ñïiââiäíîøåííÿõD âèâåäåíèõ ó ïîïåðåäíüîE ìó ïóíêòiD òà âëàñíèõ ìîäàõD îá÷èñëåíèõ ó ðîáîòi ‘RV“F Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùîD îñêiëüêè äçåðêàëüíà ãàðìîíiêà íå ä๠âåëèêîãî âíåñêó äî γ D à iíøi ãàðìîE íiêè ó ñòàíäàðòíié êîíôiãóðàöi¨ òà êîíôiãóðàöi¨ iç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ ïðèáëèçíî îäíàêîâiD iíêðåìåíòè òà äåêðåìåíòè â öèõ êîíôiãóE ðàöiÿõ áóäóòü áëèçüêèìèF  ëîêàëüíîìó íàáëèæåííiD âçÿâøè çà òî÷êó ëîêàëiçàöi¨ ìîäè ðàäióñ ðàòóðè iç ðèñF Q ðîáîòè ‘RV“ áåðó÷è Θ ≡ T (r)/T0 = 0.77D ç ðiâíÿííÿ @QFIQA äëÿ ãâèíòîâîãî ðåçîíàíñó µ/ν = 1/1 ìîæíà îòðèìàòè

r/a ∼ 0.7D äå ¨¨ àìïëiòóäà ìàêñèìàëüíàD i âiäïîâiäíî äî ïðîôiëÿ òåìïåE

ui ≡ |v res /vT i | =

1.47¯ ω . |m∆ι ± (5 − ι)|

@QFRTA

ÍàïðèêëàäD äëÿ ìîäè ç m = 3D ι = 0.9D i ω ¯ = 1.98 öåé âèðàç ä๠ui = 0.65 òà

òà 3.7 äëÿ m = 4F Âèêîðèñòîâóþ÷è öi çíà÷åííÿ i ïðèéìàþ÷è
loc iîíàõ |γd,i |/ω ≈ 0.02 äëÿ îáîõ ìîäF

0.76D à äëÿ ìîäè iç m = 4D ι = 0.9D i ω ¯ = 2.56 ! ui = 0.83 òà 1.02F Ç ðèñF QFP ¯res = 4.5 ¯res = 4.4 òà 3.8 äëÿ m = 3D i k âèäíîD ùî Q(ui ) ≈ 2F Êðiì öüîãîD k
2 2 11 /

= 0.82

òà δ0 = 1.5D ç ðiâíÿííÿ @QFRHA ìîæíà îòðèìàòèD ùî äåêðåìåíò çãàñàííÿ íà Ðåçóëüòàòè áiëüø ðåàëiñòè÷íèõ ðîçðàõóíêiâD çàñíîâàíèõ íà ðiâíÿííi

@QFQSA òà ìîäàõ ç m = 1 − 4D çîáðàæåíèõ íà QFQD ïîêàçàíi â òàáëèöi QFIF

105

Φ (a.u.)

|m|=|n|=1, ω ¯ =1.821 |m|=|n|=2, ω ¯ =1.384 |m|=|n|=2, ω ¯ =1.292 |m|=|n|=3, ω ¯ =1.980 |m|=|n|=4, ω ¯ =2.562

0

0.2

0. 4 r/a

0.6

0.8

1

ÐèñF QFQF Ñòðóêòóðà içîìîííèõ ìîä ó ‡endelstein UEˆ ‘RV“F ÂèäíîD ùî äåêðåìåíòè çãàñàííÿ ç öi¹¨ òàáëèöi äîáðå óçãîäæóþòüñÿ iç äåE êðåìåíòàìèD îá÷èñëåíèìè ó ëîêàëüíîìó íàáëèæåííiF Êðiì öüîãîD âàðòî çàE óâàæèòèD ùî äåêðåìåíòè çãàñàííÿ âñiõ ðîçãëÿíóòèõ ìîä ïðèáëèçíî îäíàE êîâiF Çãàñàííÿ íà åëåêòðîíàõ ìàëåD i â áóäüEÿêîìó ðàçi íå îïèñó¹òüñÿ âèâåE äåíèìè âèðàçàìèD áî ue åëåêòðîíàõF síêðåìåíò íåñòiéêîñòiD γα D ìîæíà ðîçãëÿíóòèD ïiäñòàâëÿþ÷è ó ðiâíÿííÿ @QFQSA Qb iç ðiâíÿííÿ @QFQWAF Õàðàêòåðèñòèêè íàäòåïëîâèõ iîíiâ íà ïî÷àE òêîâîìó åòàïi ðîáîòè ‡EUˆ ç iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ íàâåäåíi ó Äîäàòêó e ðîáîòè ‘RV“F Ç ðèñóíêó eP öi¹¨ ðîáîòè âèäíîD ùî íà êîæíîìó ðàäióñi ó ðîçïîäiëi iíæåêòîâàíèõ ÷àñòèíîê çà ïiò÷Eêóòîâèì ïàðàìåòðîì λ

1 i çãàñàííÿ ìîæå âiäáóâàòèñÿ íà çàõîïëåíèõ

¯ E D äå µp ! ãiðîìàãíiòíèé ìîìåíò ÷àñòèíêèA iñíó¹ äâà ðiçêèõ @λ = µp B/
ìàêñèìóìèD àëå ëèøå îäèí iç íèõ âiäïîâiä๠ïðîëiòíèì ÷àñòèíêàìY ïðè

106
Òàáëèöÿ

QFI

Äåêðåìåíòè çãàñàííÿ içîìîííèõ ìîä, çîáðàæåíèõ íà 3.3, îá÷èñëåíi ç ðiâíÿííÿ (3.35) ïðè

δ0 = 1.5.

man I P P Q R

ω ¯

IFVPI HFHIQQ IFQVR HFHPQW IFPWP HFHPTQ IFWVH HFHIWW PFSTP HFHIWP

|γd |/ω

r/a > 0.8 ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê ìàéæå íåìà¹F Êðiì öüîãîD äîáðå ïðîëiòíi
÷àñòèíêè óòâîðþþòüñÿ ëèøå â öåíòðàëüíié îáëàñòi ïëàçìèD ïåðåâàæíî çà

r/a < 0.4D äå λ ≈ 0.75 @χ0 ≈ 0.5AF Öå îçíà÷à¹D ùî â ÷èñåëüíèê @QFQSA âíåE
içîìîííèõ ìîäD ìàêñèìóì àìïëiòóäè ÿêèõ ëåæèòü ïðè r/a > 0.5F

ñîê äàþòü ëèøå öåíòðàëüíi îáëàñòi ïëàçìèD ùî ñóòò¹âî çìåíøó¹ iíêðåìåíò Ðåçóëüòàòè ðîçðàõóíêó iíêðåìåíòó γα ç óðàõóâàííÿì íàâåäåíèõ âèùå ìiðêóâàíü ïîêàçàíi íà ðèñóíêó QFS @â ÿêîñòi ðàäiàëüíîãî ðîçïîäiëó íàäòåE ïëîâèõ iîíiâ áóâ âçÿòèé ðàäiàëüíèé ðîçïîäië ïîãëèíóòî¨ ïîòóæíîñòi iíæåE êöi¨D ïîêàçàíèé íà QFRAF ÂèäíîD ùî êîëè âåðõíÿ ìåæà iíòåãðóâàííÿ ó ÷èE ñåëüíèêó @QFQSA ðiâíà 0.4aD iíêðåìåíò ñêëàä๠ëèøå γα /ω ∼ 10−3 F Ç öüîãî âèïëèâà¹D ùî âïëèâó äîáðå ïðîëiòíèõ iíæåêòîâàíèõ iîíiâ íåäîñòàòíüîD ùîá ïåðåìîãòè çãàñàííÿ íà îñíîâíié ïëàçìiF Ðîëü iíæåêòîâàíèõ iîíiâ â îáëàñòi

r/a > 0.4 íåÿñíàD áî òàì âîíè ïåðåâàæíî ñëàáêîïðîëiòíi i ïåðåõiäíiD i íå
îïèñóþòüñÿ ðîçâèíåíîþ âèùå òåîði¹þF Âàðòî âiäçíà÷èòèD ùîD õî÷à ìàêñèìóì àìïëiòóäè ìîäè çíàõîäèòüñÿ â îáëàñòiD äå äîáðå ïðîëiòíèõ iíæåêòîâàíèõ iîíiâ äóæå ìàëîD ìîæíà îöiíèòè

γα D âèäîçìiíèâøè ëîêàëüíå ðiâíÿííÿ @QFRHAX √ (loc) γα π Mb nb t 2 ¯−2 Qb (ub ), =− K1 K2 k res 2 ω 8δ0 g1 Mi ni µ=±1

@QFRUA

107

8

nb /1011 cm−3

6 4 2 0 0 0 .2 0.4 0 .6 0 .8 1

r/a

ÐèñF QFRF Ðàäiàëüíèé ðîçïîäië iíæåêòîâàíèõ iîíiâD âèêîðèñòàíèé äëÿ ðîçE ðàõóíêó iíêðåìåíòiâ íåñòiéêîñòi içîìîííèõ ìîä ‘U“F

10−1 10−2 10−3 γα /ω 10−4 10−5 10−6 10
−7 |m|=|n|=1, ω ¯ =1.821 |m|=|n|=2, ω ¯ =1.384 |m|=|n|=2, ω ¯ =1.292 |m|=|n|=3, ω ¯ =1.980 |m|=|n|=4, ω ¯ =2.562

0

0.2

0. 4 0.6 rmax /a

0.8

1

ÐèñF QFSF Çàëåæíiñòü iíêðåìåíòó íåñòiéêîñòi içîìîííèõ ìîä íà iíæåêòîâàíèõ iîíàõ ó ‡UEˆ âiä ìàêñèìàëüíîãî ðàäióñó îáëàñòi iñíóâàííÿ äîáðå ïðîëiòíèõ êå òà |χ0 | = 0.5F Îñêiëüêè ïåðåâàæíà áiëüøiñòü äîáðå ïðîëiòíèõ iíæåE âèñíîâîêD ùî γα /ω ∼ 10−3 F ÷àñòèíîêD rmax F Ðîçðàõóíêè ïðîâîäèëèñÿ äëÿ ïðîòîíiâ ç åíåðãi¹þ E = 55 êòîâàíèõ ÷àñòèíîê ðîçòàøîâàíà â îáëàñòi r/a < 0.4 ‘RV“D ìîæíà çðîáèòè

108

ðèñóíêiâ R òà T ðîáîòè ‘RV“X K2 = 0.02 äëÿ ìîäè iç m = n = 2D K2 = 0.04 @QFRUAD ÿêiñíî óçãîäæóþòüñÿ iç ïîêàçàíèìè íà QFS äëÿ rmax /a = 0.4F
3.1.4.2. Çãàñàííÿ TAE-ìîä ó Wendelstein 7-X.

àìïëiòóäè ìîäè ïðè r/a = 0.3 òà â ìàêñèìóìiY K2 ìîæíà îòðèìàòè iç

çäåáiëüøîãî ïðîëiòíi iîíèD K2 = |Φ0.3 |2 /|Φmax |2 D Φ0.3 òà Φmax ! âiäïîâiäíî

äå K1 ≈ 0.5 ! ÷àñòêà iîíiâD iíæåêòîâàíèõ òèìè äæåðåëàìèD ÿêi óòâîðþþòü

äëÿ ìîä iç m = n = 3 òà m = n = 4F síêðåìåíòèD îòðèìàíi ç ðiâíÿííÿ

Ó ïiäïóíêòi QFIFPFP

áóëî ïîêàçàíîD ùî âiäíîøåííÿ ðåçîíàíñíî¨ øâèäêîñòi äëÿ ðåçîíàíñó µ/ν =

1/1 äî òåïëîâî¨ øâèäêîñòi iîíiâ ïiä ÷àñ „eiEíåñòiéêîñòåé ó ïåðøèõ åêñïåE
ðèìåíòàõ ç iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ íà ‡UEˆ ìîæå áóòè áëèçüêèì äî îäèíèöiF Òîìó ìîæíà î÷iêóâàòèD ùî çãàñàííÿ „eiEìîä áóäå ñèëüíèìD ÿê i ó âèïàäêó içîìîííèõ ìîäF Çãàñàííÿ ìîæíà ñïåðøó îöiíèòè â ëîêàëüíîìó íàáëèæåííi çà äîïîìîE ãîþ ðiâíÿííÿ @QFRHAD âçÿâøè òàêi æ ïàðàìåòðè ïëàçìèD ÿê i â ïîïåðåäíüîìó

¯res = 4.55 òà 3.65D ùî äàñòü u = 1 ïiäïóíêòiF Äëÿ ι∗ = 0.9 ìîæíà îòðèìàòè k
loc òà 1.23D äèâF QFPF Çãiäíî ðiâíÿííÿ @QFRHAD äåêðåìåíò |γd |/ω ∼ 0.02F

Äëÿ ïðèêëàäó ìîæíà ðîçãëÿíóòè „eiEìîäó ç m = 14, 15 òà n = 13D

ðàäiàëüíîþ ñòðóêòóðîþD ïîêàçàíîþ íà QFTD i ÷àñòîòîþ 42.48 êÃö ‘SS“F Ç ðiâE íÿííÿ @QFQSA âèïëèâà¹D ùî äåêðåìåíò çãàñàííÿ öi¹¨ ìîäè |γd |/ω = 0.0244F ìîäè äîñèòü ìàëàD i ïðàêòè÷íî íå çìiíþ¹òüñÿD ÿêùî ïîêëàñòè ne = const ÷è Ti = Ti (r∗ ) = constF Äåêðåìåíòè çãàñàííÿ äëÿ öi¹¨ ìîäè iç øòó÷íî ïiäE âèùåíîþ äî 70 êÃö ÷àñòîòîþ ïîêàçàíi â òàáëèöi QFPF Âñi öi âåëè÷èíè ÿêiñíî óçãîäæóþòüñÿ ç íàâåäåíîþ âèùå îöiíêîþ â ëîêàëüíîìó íàáëèæåííiF
3.1.4.3. Çãàñàííÿ TAE-ìîä ó åêñïåðèìåíòi íà LHD.

Âií ñëàáêî çàëåæèòü âiä ïðîôiëiâ êîíöåíòðàöi¨ òà òåìïåðàòóðèD áî øèðèíà

ÂèùåíàâåE

äåíèé àíàëiç ïåðåäáà÷à¹D ùî içîìîííi òà „eiEìîäè ó ‡endelstein UEˆ çàçíàE âàòèìóòü ñèëüíîãî çãàñàííÿ ÷åðåç ìåõàíiçì ËàíäàóF Ïðîòå „eiEíåñòiéêîñòi âæå ñïîñòåðiãàëèñÿ ó ñòåëàðàòîðàõ i ïîäiáíèõ ñèñòåìàõD çîêðåìà íà ïðèE

109
Òàáëèöÿ

QFP

Äåêðåìåíò çãàñàííÿ TAE-ìîäè ó W7-X ç ÷àñòîòîþ øòó÷íî çáiëüøåíèìè çíà÷åííÿìè ÷àñòîòè.

42.48

êÃö òà ç

Ðîçðàõîâàíî çà

ðiâíÿííÿì @QFQSA ç δ0 = 1.5 äëÿ ìîäè çi ñòðóêòóðîþD çîáðàæåíîþ íà QFTF

f Dkrz |γd |/ω
UH TH SH RPFRV

HFHISP HFHIWP HFHPPS HFHPRR

ñòðî¨ vrh â ðîçðÿäi 5PRSIP ‘STDSU“F Ç ìåòîþ ïåðåâiðêè âiäïîâiäíîñòi ðîçâèE íåíî¨ òåîði¨ äî åêñïåðèìåíòóD íèæ÷å áóäå íàâåäåíà îöiíêà çãàñàííÿ Ëàíäàó äëÿ öüîãî ðîçðÿäóF êå â ãåëi¹âó ïëàçìóD ó öüîìó ðîçðÿäi ñïîñòåðiãàëàñü àëüôâåíîâà àêòèâE íiñòü ç òîðî¨äàëüíèìè ìîäîâèìè ÷èñëàìè n = 1 òà n = 2 i ÷àñòîòàìè â iíòåðâàëi SHEVH êÃö ‘SU“F Îá÷èñëåííÿ âëàñíèõ ìîä êîäîì fye ‘RP“ çíàE éøëè äâi äèñêðåòíi „eiEìîäè ç n = 1 ‘SV“D ïàðíó „eiEìîäó ç ÷àñòîòîþ Ïiä ÷àñ äîòè÷íî¨ iíæåêöi¨ íåéòðàëüíèõ ïðîòîíiâ ç åíåðãiÿìè E0 äî 150

50 êÃö òà íåïàðíó iç ÷àñòîòîþ 60 êÃöF Îáèäâi ìîäè áóëè ëîêàëiçîâàíi
áiëÿ ïîâåðõíi r/a ∼ 1/3Y äëÿ íèõ áóëè îá÷èñëåíi iíêðåìåíòè íåñòiéêîñòi

γα /ω ≈ 0.3 äëÿ ïàðíî¨ i γα /ω ≈ 0.03 äëÿ íåïàðíî¨ ìîäè ‘SV“F

 öåíòðàëüíié îáëàñòi ïëàçìèD òèñê iîíiâ ïó÷êà iñòîòíî ïåðåâèùóâàâ

êòðîíiâ íà ìàãíiòíié îñi ñêëàäàëà ne (0) = 1019 ì−3 F Öi ïëàçìîâi ïàðàìåòðè äóæå âiäðiçíÿþòüñÿ âiä î÷iêóâàíèõ ó ïåðøèõ åêñïåðèìåíòàõ ç iíæåêöi¹þ íà ‡endelstein UEˆF Êëþ÷îâi âiäìiííîñòi ïîëÿãàþòü ó áiëüøié ïîïóëÿöi¨ íàäòåE ïëîâèõ iîíiâ òà íèæ÷îìó ïëàçìîâîìó β F Êðiì öüîãîD ÷èñëî ïåðiîäiâ ìàãíiE

òèñê îñíîâíî¨ ïëàçìèX βb (0) = 1.7% D β (0) ≈ 0.45%F Êîíöåíòðàöiÿ åëåE

110

0

Φ (a.u.)

−1 −2 −3 0 0. 2 0.4 0.6 rmax /a
m=14, n=13 m=15, n=13

0. 8

1

ÐèñF QFTF „eiEìîäà ó ‡endelstein UEˆF ×àñòîòà ìîäè ! 42.48 êÃöD ãîëîâíi ìîäîâi ÷èñëà ! m = 14, 15 òà n = 13 ‘SS“F òíîãî ïîëÿ íà vrh âäâi÷i áiëüøåD íiæ íà ‡EUˆD à îáåðòàëüíå ïåðåòâîðåííÿ ó öåíòðàëüíié îáëàñòi ïëàçìèD íàâïàêèD ìåíøå @ιLHD = 0.4 − 0.5AF ×åðåç öåD íàéøèðøà ùiëèíà ó àëüôâåíîâîìó êîíòèíóóìi µ/ν = 2/1 ðîçòàøîâàíà äóæå äàëåêî âiä „eiEùiëèíè @âiäíîøåííÿ ÷àñòîò ω∗,21 /ω∗,10 = 23D íàáàãàòî áiëüøåD íiæ ó ‡UEˆAD i âiäïîâiäíî âïëèâ ãâèíòîâî¨ ùiëèíè íà „eiEùiëèíó â öåíòðàëüíié îáëàñòi ïëàçìè @r/a < 0.4A ìàëèéD äèâF ðèñF U— ⠑SV“F Òèì íå ìåíøåD çíà÷åííÿ βi â vrh áëèçüêå äî @QFIHAD ÿê i íà ‡UEˆF Òîìó çãàE ñàííÿ Ëàíäàó íå áóäå íàäòî ìàëèìD ùî áóäå ïîêàçàíî ëèøå â ëîêàëüíîìó íàáëèæåííiX ç ðîçðàõóíêiâD íàâåäåíèõ ó ïîïåðåäíiõ ïiäïóíêòàõD âèäíîD ùî öå íàáëèæåííÿ ä๠ðåçóëüòàòèD ÿêi ÿêiñíî óçãîäæóþòüñÿ ç áiëüø ñòðîãèìè ðîçðàõóíêàìè γd F ìiðÿíà ÷àñòîòà ω ˆ ëåæèòü âñåðåäèíi „eiEùiëèíè @äèâF ðèñF U— ⠑SV“AD ìîæíà âçÿòè Rω = RF Êðiì öüîãîD ãâèíòîâi ãàðìîíiêè
11

×åðåç òåD ùî â îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîä @r/a ∼ 0.3A åêñïåðèìåíòàëüíî âèE òà
21

ïðèáëèçíî ðiâíi

@äèâF ðèñF T ⠑SV“AD òîìó ñëiä âðàõîâóâàòè îáèäâiF Ðåçîíàíñíi øâèäêîñòi ïðè ι = 0.5 âèõîäÿòü ðiâíèìè v res /vA∗ = (1 ± 36)−1 òà v res /vA∗ = (1 ± 38)−1 D âiäïîâiäíîD à ïðè ι = 0.4 @îñêiëüêè øèð ìàãíiòíîãî ïîëÿ â vrh íå ìàE

111

ëèéD ι ïîìiòíî çìiíþ¹òüñÿ â îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäèA ! ùå ìåíøèìèF Öå

r/a = 0.3 íîðìîâàíó òåìïåðàòóðó Θ ≡ Ti (r)/T0 = 0.9 òà 3.24 äëÿ íåïàðíî¨ ìîäèF Âiäíîøåííÿ
µν /

ä๠u = 0.55 − 0.61 ïðè βi = βe = 2.14 × 10−3 F Ïðèéìàþ÷è íà ðàäióñi
ef

= 0.08D 33

for whi™h Q(u) ≈ 2F Íîðìàëiçîâàíà ÷àñòîòà ñêëàä๠ω ¯ = 2.7 äëÿ ïàðíî¨ i äëÿ
11

òà

21

ìîæíà íàáëèæåíî

loc âçÿòè ðiâíèì 0.5F Òîäi ðiâíÿííÿ @QFRHA äàñòü |γd |/ω = 0.01 äëÿ ïàðíî¨ ìîE

äè i 7.6 × 10−3 äëÿ íåïàðíî¨ ìîäèF Âiäïîâiäíi çíà÷åííÿ iíêðåìåíòiâ γα /ω ÷àñòèíîê ïó÷êà â îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ „eiEìîäF

íàáàãàòî ïåðåâèùóþòü öi öèôðè çàâäÿêè äóæå âåëèêîìó ãðàäi¹íòó òèñêó Çðîáëåíi îöiíêè ¹ äîñèòü ãðóáèìèD áî ÷àñòêà âîäíþ ó ãåëi¹âié ïëàçìi vrh òî÷íî íå âiäîìà @âiäîìî ëèøåD ùî âîíà íå äóæå ìàëàAF Òèì íå ìåíøåD öèõ îöiíîê äîñòàòíüîD ùîá âèñíóâàòèD ùî â ðîçãëÿíóòîìó åêñïåðèìåíòi íà vrh çãàñàííÿ áóëî ìåíøèìD à äðàéâ íåñòiéêîñòi ! íàáàãàòî áiëüøèìD íiæ î÷iêó¹òüñÿ ó ïåðøèõ åêñïåðèìåíòàõ ç iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ íà ‡UEˆF
3.1.4.4. Çãàñàííÿ âèñîêî÷àñòîòíèõ ìîä ó Wendelstein 7-X.

ßê

res ïîêàçàíî ó ïiäïóíêòi QFIFPFPD vi /vT i

1 äëÿ rei òà weiEìîäD ç ÷îãî

âèïëèâà¹D ùî çãàñàííÿ Ëàíäàó íà iîíàõ äëÿ íèõ åêñïîíåíöiéíî ìàëå @êðiì âèïàäêiâD êîëè βi äóæå âåëèêåAF Òîìó íèæ÷å áóäå ðîçãëÿíóòî çãàñàííÿ òàE êèõ ìîä íà åëåêòðîíàõ ïðè ìàëîìó β i íà iîíàõ ïðè âåëèêîìó β F Ùîá îöiíèòè äåêðåìåíò çãàñàííÿ âèñîêî÷àñòîòíèõ ùiëèííèõ ìîä íà åëåE êòðîíàõD äîñòàòíüî íàáëèçèòè ¨õíi ÷àñòîòè ðiâíÿííÿì @QFVAF Òîäi ðiâíÿííÿ @QFRPA íàáóäå âèãëÿäó

γd
äå

(e) loc

ω

πβe∗ 1 =− 2 2g1 δ0 (µ0 ι∗ − ν0 N )2 ue = ne Me ni Mi βe∗
1/2

√

µ
µν

µν

2

u2 e Q(ue ),

@QFRVA

1+2

µι∗ − νN . µι0 − ν0 N

@QFRWA

112

0.01 i δ0 = 1.5F Äëÿ çãàñàííÿ ÷åðåç òîðî¨äàëüíó ãàðìîíiêó ìàãíiòíîãî ïîE

Ïîäàëüøèé ðîçãëÿä âåñòèìåòüñÿ äëÿ âîäíåâî¨ ïëàçìè ó ‡UEˆD ç βe∗ =

ëÿ @µ = ±1D ν = 0AD ïðèéìàþ÷è Rω = RD ìîæíà îòðèìàòè ue = 0.41 òà 0.16 äëÿ rei11 Y ue = 0.525 òà 0.15 äëÿ rei21 F Çà òàêèõ çíà÷åíü ue D âåëè÷èíà Q(ue ) ñèëüíî çàëåæèòü âiä
ef D

äèâF QFPF Öå îçíà÷à¹D ùî äåêðåE

ìåíò çãàñàííÿ äóæå ÷óòëèâèé äî ðàäiàëüíîãî ïðîôiëÿ àìïëiòóäè ìîäè i äî ðîçòàøóâàííÿ ÷àñòîòè ìîäè ó ùiëèíi àëüôâåíîâîãî êîíòèíóóìóF Ó êîíE ôiãóðàöi¨ ç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþ çãàñàííÿ áóäå íàéìåíøèìD

|γd

(e)loc

âèñîêèìè ÷àñòîòàìè @Rω < RAD äåêðåìåíò çãàñàííÿ áóäå áiëüøèìF Òàêèì ÷èíîìD ìîæíà âèñíóâàòèD ùî âïëèâ çãàñàííÿ ËàíäàóD ïîâ9ÿçàíîãî iç ðåçîE íàíñîì µ/ν = ±1/0D íà âèñîêî÷àñòîòíi ùiëèííi ìîäè ìåíøèéD íiæ äëÿ „ei

|/ω ∼ 5 × 10−6 äëÿ rei11 òà 2 × 10−5 äëÿ rei21 F Äëÿ ìîä ç áiëüø

òà içîìîííèõ ìîäF Öå i íå äèâíîX ó ‡endelstein UEˆ òîðî¨äàëüíà ãàðìîíiE
AE êðiì öüîãîD uT e AE uHAE,M i

êà âäâi÷i ìåíøà çà ãâèíòîâó @ùî ä๠ðiçíèöþ äåêðåìåíòiâ ó ÷îòèðè ðàçèAY

1D ùî çìåíøó¹ âåëè÷èíó QF

ßêùî òåïåð ðîçãëÿíóòè çãàñàííÿ weiEìîä íà iîíàõ ÷åðåç ãâèíòîâèé

¯res = 6.6 òà 1.6F Ïðèïóñêàþ÷èD ðåçîíàíñ @µ = ν = 1AD ìîæíà ïîáà÷èòèD ùî k
ùî ìîäà ëîêàëiçîâàíà â öåíòðàëüíié îáëàñòiD äå òèñê ïëàçìè âèñîêèéD βi =

4%D ìîæíà îòðèìàòè ui = 1.9 òà 7.8 âiäïîâiäíî äëÿ áiëüøîãî i ìåíøîãî ¯res F Òîäi ðiâíÿííÿ @QFRHA ä๠|γd |/ω = 10−3 F çíà÷åíü k
3.1.4.5. Çãàñàííÿ àëüôâåíîâèõ ùiëèííèõ ìîä ó ðåàêòîði Helias.

ßê ïîêàçàíî ó ïiäïóíêòi QFIFPFPD ðåçîíàíñàì ç µ = µ0 D ν = ν0 âiäïîâiäà¹

ðåçîíàíñíà øâèäêiñòü v res = vA∗ /3D ÿêà äîçâîëÿ¹ ùiëèííèì ìîäàì âçà¹ìîäiE ÿòè ç òåïëîâèìè iîíàìè ó ïëàçìàõ ç âèñîêèì β F Ó ìàãíiòíîìó ïîëi ðåàêòîðà UEˆ ç âåëèêîþ äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêîþF Òîìó ðåçîíàíñ ç v res = vA∗ /3 ìîE æå ãðàòè âàæëèâó ðîëü ó çãàñàííi „ei òà rei11 EìîäF Ëåãêî ïîáà÷èòèD ùî reli—s äîìiíóþòü òi ñàìi ôóð9¹EãàðìîíiêèD ùî i ó êîíôiãóðàöi¨ ‡endelstein

¯res | = 1.5|µ − νN |F v res = vA∗ /3 ïðè |kres | = 1.35 äëÿ äëÿ öèõ ðåçîíàíñiâ |k

113

øèD ùî â öåíòðàëüíié îáëàñòi òèñê ïëàçìè βi = 6.5%D ùî óçãîäæó¹òüñÿ ç ïàðàìåòðàìè ðåàêòîðà reli—sD íàâåäåíèìè ó ‘SI“D ìîæíà îòðèìàòè u = 1.3

¯res | = 6.15 äëÿ rei11 Eìîä íà ðàäióñi ι∗ = 0.9F ÏðèéíÿâE „eiEìîä òà ïðè |k

loc òà Q(u) = 1.5F Òîäi ðiâíÿííÿ @QFRHA ä๠|γd |/ω = 0.02 äëÿ „eiEìîä òà loc |γd |/ω = 3.7 × 10−3 äëÿ rei11 EìîäF

Îñêiëüêè N

1D ÷àñòîòà weiEìîä ëèøå íåçíà÷íî ïåðåâèùó¹ ÷àñòîòó

rei11 EìîäF Òîìó äëÿ weiEìîä ðåçîíàíñíà øâèäêiñòü v res D ùî âiäïîâiä๠ðåçîíàíñó µ/ν = 1/1D ìàëî âiäðiçíÿòèìåòüñÿ âiä vA /3D à ñàìåD v res = vA /2.6 ïðè ι = 0.9F Ëîêàëüíà îöiíêà âiäïîâiäíîãî äåêðåìåíòó çãàñàííÿ ñêëàäàòèìå
loc |γd |/ω = 2.4 × 10−3 F
3.1.5. Ïiäñóìêè òà âèñíîâêè.

Ó öüîìó ïiäðîçäiëi áóëî âèâåäåíî

çàãàëüíi ôîðìóëè äëÿ iíêðåìåíòiâGäåêðåìåíòiâD ïîâ9ÿçàíèõ iç ìåõàíiçìîì ËàíäàóF Ïîðiâíÿíî ç ôîðìóëàìèD âiäîìèìè ç ïîïåðåäíiõ ðîáiò ‘RQDSV“D â íèõ âðàõîâàíi êiíåòè÷íi åôåêòè îñíîâíî¨ ïëàçìè òà ¨¨ ñòèñëèâiñòüF Ñòèñëèâiñòü âàæëèâà äëÿ iñíóâàííÿ içîìîííèõ ìîäD àëåD ÿê ïîêàçàíî ó öüîìó ïiäðîçäiëiD ñïðàâëÿ¹ ìàëèé âïëèâ íà ¨õ çãàñàííÿF Âèâåäåíi ôîðìóëè íåõòóþòü øèðèE íîþ îðáiòY öå íàáëèæåííÿ âèïðàâäàíå äëÿ ÷àñòèíîê îñíîâíî¨ ïëàçìè i òîìó äîñòàòí¹ äëÿ ðîçãëÿäó ïîñòàâëåíî¨ çàäà÷iF Åôåêòè ñêií÷åííî¨ øèðèíè îðE áiò ìîæóòü áóòè âàæëèâèìè äëÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâY ¨õ ìîæíà âðàõóâàòèD íàïðèêëàäD ÿê ó ðîáîòi ‘SP“F ÏîêàçàíîD ùî çãàñàííÿ Ëàíäàó àëüôâåíîâèõ ìîä âiäiãð๠âàæëèâó ðîëü ó ñòåëàðàòîðàõF Ïðè íèçüêîìó β D çãàñàííÿ Ëàíäàó ñèëüíî ñòàáiëiçó¹ „ei òà içîìîííi ìîäèF Ïðè âèñîêîìó β D ÿêå ïåðåäáà÷à¹òüñÿ ó ðåàêòîði reli—s ‘SI“D çãàñàííÿ Ëàíäàó íà iîíàõ âåëèêå íå ëèøå äëÿ „eiD à é äëÿ rei òà wei ìîäF Öå ñèëüíå çãàñàííÿ ¹ íàñëiäêîì âiäñóòíîñòi â ñòåëàðàòîðàõ îñüîâî¨ ñèìåòði¨D ùî ïðèâîäèòü äî iñíóâàííÿ ðåçîíàíñiâ ÷åðåç ãâèíòîâi ãàðìîíiêè ìàãíiòíîãî ïîëÿ @
h

„eiEìîä ó ïëàçìi ç âèñîêèì β D ÿêå âiäáóâà¹òüñÿ çà ðàõóíîê òîêàìà÷íîãî

≡

µν

ç µ = 0D ν = 0AF Âèíÿòîê ñòàíîâèòü çãàñàííÿ

114

ñàéäáåíäEðåçîíàíñóF Ñèëüíèé âïëèâ íåîñåñèìåòðè÷íèõ ðåçîíàíñiâ íà „ei òà içîìîííi ìîäè ó ïëàçìàõ ç íèçüêèì β ìîæíà ïîÿñíèòè íàñòóïíèì ÷èíîìF Äåêðåìåíò çãàñàE ííÿ ïðîïîðöiéíèé äî êâàäðàòà ãâèíòîâèõ ôóð9¹Eãàðìîíiê ìàãíiòíîãî ïîëÿD ÿêi íàëåæàòü äî íàéáiëüøèõ ãàðìîíiê ó ñòåëàðàòîðàõ @ó ‡UEˆ íàéáiëüøîþ ãâèíòîâîþ ãàðìîíiêîþ ¹
11 AF

Íà ïðîòèâàãóD iíêðåìåíò äðàéâó ïðîïîðöiéE
2 t 2 hF

ðåçîíàíñè äàþòü „ei òà içîìîííèì ìîäàì âçà¹ìîäiÿòè ç äóæå ÷èñåëüíîþ ãðóïîþ ÷àñòèíîêD à ñàìå ç òåïëîâèìè iîíàìè îñíîâíî¨ ïëàçìèD ÿêùî ¨õ òèñê

íèé äî êâàäðàòà òîðî¨äàëüíî¨ ãàðìîíiêèD γα ∝

Êðiì öüîãîD ãâèíòîâi

βi çàäîâiëüíÿ¹ ïåâíi óìîâèF
Çãàñàííÿ âèñîêî÷àñòîòíèõ ùiëèííèõ ìîä ó ïëàçìàõ ç íèçüêèì β âiäE áóâà¹òüñÿ ÷åðåç òîêàìà÷íèé ñàéäáåíäEðåçîíàíñD àëå ðîëü öüîãî çãàñàííÿ íåçíà÷íàF ÏîEïåðøåD iíêðåìåíò äðàéâó öèõ íåñòiéêîñòåé áiëüøèéD γα ∝ òîäi ÿê äåêðåìåíò ¨õíüîãî çãàñàííÿ γd ∝
2 tF 2 hD

Êðiì öüîãîD â çãàñàííi áåE

ðå ó÷àñòü ïîðiâíÿíî íåáàãàòî ðåçîíàíñíèõ ÷àñòèíîê @åëåêòðîíiâAF ÎòæåD çà âiäñóòíîñòi áiëüø ñèëüíèõ ìåõàíiçìiâ çãàñàííÿD âèñîêî÷àñòîòíi ùiëèííi ìîäè ëåãøå äåñòàáiëiçóþòüñÿ ó ïëàçìàõ ç íèçüêèì β F Êîëè β âèùåD wei ìîäè ìîæóòü äîñèòü ñèëüíî çãàñàòè íà iîíàõ ÷åðåç ãâèíòîâèé ðåçîíàíñF Ïðèêìåòíîþ îñîáëèâiñòþ íåîñåñèìåòðè÷íèõ ðåçîíàíñiâ ¹ òåD ùî ïðè

µ = µ0 òà ν = ν0 ¨ì âiäïîâiäàþòü òi æ ñàìi õàðàêòåðíi ðåçîíàíñíi øâèäE
êîñòiD ÿêi ç9ÿâëÿþòüñÿ äëÿ ñàéäáåíäEðåçîíàíñó ç „eiEìîäàìè â òîêàìàêàõD à ñàìå v res = vA òà vA /3 ‘RQ“F Ðåçîíàíñíà øâèäêiñòü v res = vA /3 ïîâ9ÿçàíà iç òèñêîì iîíiâ ïëàçìè ñïiââiäíîøåííÿì βi = 1/(9u2 i )F Ç öüîãî âèïëèâà¹D ùî ðåçîíàíñíà øâèäêiñòü òî÷íî äîðiâíþ¹ òåïëîâié øâèäêîñòi iîíiâ @ui = 1A ïðè βi = 1/9D ùî íàâðÿä ÷è ìîæå ìàòè ìiñöå ó ñòåëàðàòîðàõF Çãiäíî ‘SI“D íà ìàãíiòíié îñi ðåàêòîðà reli—s β íå ïåðåâèùó¹ 13.55%F Ïðèïóñêàþ÷èD ùî

βi = 0.5β D ìàòèìåìî βi = 6.5%F Òîäi ui = 1.3 i Q áóäå äîñèòü áëèçüêèì
äî Q(ui = 1)D äèâF QFPF Òîìó çãàñàííÿ ëîêàëiçîâàíèõ â öåíòðàëüíié îáëàñòi

115

ïëàçìè ìîäD â òîìó ÷èñëi âèñîêî÷àñòîòíèõD â ðåàêòîði reli—sD ìîæå áóòè çíà÷íèìF Ïðîâåäåíî äåòàëüíèé àíàëiç içîìîííèõ òà „eiEìîä ó ïëàíîâàíèõ åêñE ïåðèìåíòàõ ç iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ íà ‡UEˆF Öåé àíàëiç ïîêàçàâD ùî äåêðåìåíò çãàñàííÿ içîìîííèõ ìîä ìîæå ïåðåâèùóâàòè iíêðåìåíò äðàéE âóD âèêëèêàíîãî ïðîëiòíèìè iíæåêòîâàíèìè iîíàìèD òîáòî ìåõàíiçì çãàñàE ííÿ Ëàíäàó íà îñíîâíié ïëàçìi ìîæå çàïîáiãòè äåñòàáiëiçàöi¨ öèõ ìîäF Äëÿ óòî÷íåííÿ öüîãî ïåðåäáà÷åííÿ ñëiä ðîçðàõóâàòè iíêðåìåíò ç ðåàëiñòè÷íîþ ôóíêöi¹þ ðîçïîäiëó iíæåêòîâàíèõ iîíiâ i âðàõóâàòè âíåñîê çàõîïëåíèõ íàäE òåïëîâèõ iîíiâF Ïðîòå âèäà¹òüñÿ ìàëîiìîâiðíèìD ùî çàõîïëåíi iíæåêòîâàíi iîíè ìîæóòü ñóòò¹âî çáiëüøèòè äðàéâ ó ïåðøèõ åêñïåðèìåíòàõ ç xfsD áî iíæåêöiÿ ïîðîäæó¹ ìàëó ÷àñòêó çàõîïëåíèõ iîíiâD ÿêi çíàõîäèòèìóòüñÿ çäåE áiëüøîãî íà ïåðèôåði¨ ïëàçìè i âòðà÷àòèìóòüñÿ çâiäòè ‘SW“D äèâF ðèñF eP â ðîáîòi ‘RV“F Ç iíøîãî áîêóD íàÿâíiñòü äîäàòêîâîãî çãàñàííÿ íà çàõîïëåíèõ iîíàõ îñíîâíî¨ ïëàçìèD ÿêå íå âðàõîâóâàëîñÿ ó öüîìó ïiäðîçäiëiD ñõèëÿ¹ äî âèñíîâêóD ùî içîìîííi òà „eiEìîäè áóäóòü ñòiéêèìè â ïåðøèõ åêñïåðèìåíE òàõ ç iíæåêöi¹þF Ïîêàçàíî òàêîæD ùî ðîçâèíåíà òåîðiÿ óçãîäæó¹òüñÿ ç åêñïåðèìåíòîì íà vrhD äå ñïîñòåðiãàëèñÿ äâi „eiEìîäèX ó öüîìó åêñïåðèìåíòi ïëàçìîâå β áóëî íèçüêèìD à β ïó÷êà ! âèñîêèìD i â îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ „eiEìîä iñíóâàâ âåëèêèé ãðàäi¹íò òèñêó iíæåêòîâàíèõ ÷àñòèíîêF Çàâäÿêè öüîìó çãàñàííÿ áóëî íåäîñòàòíiìD ùîá ñòàáiëiçóâàòè íåñòiéêiñòü öèõ ìîäF
3.2. Çáóäæåííÿ òåìïåðàòóðíî-ãðàäi¹íòíî¨ àëüôâåíîâî¨ íåñòiéêîñòi ïëàçìè

3.2.1. Âñòóï.

Ïåðåíåñåííÿ åíåðãi¨ òà iìïóëüñó ïîïåðåê ìàãíiòíîãî

ïîëÿ äåñòàáiëiçîâàíèìè àëüôâåíîâèìè âëàñíèìè ìîäàìè @ïðîñòîðîâå êàíàE ëþâàííÿA ìîæå áóòè âàæëèâèì ÷èííèêîìD ùî âïëèâ๠íà ðîáî÷i ïîêàçíèêè

116

ïëàçìè ‘TH“F ÏðèïóñêàþòüD ùî ñàìå ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ ïiä ÷àñ iíæåE êöi¨ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ íà ñôåðè÷íîìó òîêàìàöi xƒ„ˆ ïîãiðøóâàëî íàãðiE âàííÿ ïëàçìèD ïåðåíîñÿ÷è ÷àñòèíó iíæåêòîâàíî¨ ïîòóæíîñòi ç öåíòðàëüíî¨ îáëàñòi ïëàçìè íà ïåðèôåðiþ @iíøà ãiïîòåçà ïðèïóñêà¹D ùî äåñòàáiëiçîâàE íi àëüôâåíîâi âëàñíi ìîäè ñèëüíî ïîãiðøèëè óòðèìàííÿ åíåðãi¨ åëåêòðîE íàìè ‘TI“AF Ç iíøîãî áîêóD ÿêáè ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ áóëî íàïðàâëåíå äîñåðåäèíèD âîíî ñïðàâëÿëî á ñïðèÿòëèâèé âïëèâ íà áàëàíñ åíåðãi¨ ïëàçìèF Ìîæíà ïðèïóñòèòèD ùî ñàìå öå ÿâèùå ìàëî ìiñöå ïiä ÷àñ ïåðøèõ åêñïåE ðèìåíòiâ íà ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆX ÏîEïåðøåD ðàäiàëüíèé ïðîôiëü òåìïåðàòóðè iîíiâD Ti (r)D áóâ äîñèòü ïëàñêèì ó öåíòðàëüíié îáëàñòi ïëàE çìè i êðóòî ñïàäàâ íà ïåðèôåði¨ ‘IDTPDTQ“Y ïîEäðóãåD ñïîñòåðiãàëèñü òðèâàëi âèñîêî÷àñòîòíi îñöèëÿöi¨D iäåíòèôiêîâàíi ÿê ieiEìîäàD ëîêàëiçîâàíà ïðè

r/a

0.5D äå a ! ìàëèé ðàäióñ ïëàçìè ‘TR“F ÏîEòðåò¹D â öèõ åêñïåðèìåíE

òàõ äæåðåë íàäòåïëîâèõ iîíiâ íå áóëîD iîíè íàãðiâàëèñÿ âèêëþ÷íî ÷åðåç çiòêíåííÿ ç åëåêòðîíàìèF Öi ôàêòè íàâîäÿòü íà äóìêóD ùî íåîäíîðiäíiñòü òåìïåðàòóðè iîíiâ íà ïåðèôåði¨ ïëàçìè ðîçãîéäóâàëà àëüôâåíîâó ìîäóD ÿêà âïëèíóëà íà ïðîôiëü òåìïåðàòóðè òàêèì ÷èíîìD ùî äåñòàáiëiçàöiÿ â ïåðèE ôåðiéíié îáëàñòi êîìïåíñóâàëàñÿ çãàñàííÿì â îáëàñòiD äå Ti (r) ≈ ™onstF Ó öüîìó ïiäðîçäiëi áóäå ðîçãëÿíóòî ïèòàííÿD ÷è ìîæóòü àëüôâåíîâi

âëàñíi ìîäè çáóäæóâàòèñÿ ó ñòåëàðàòîðíié ïëàçìi ç ìàêñâåëîâèì ðîçïîE äiëîì øâèäêîñòåé @íàé÷àñòiøå àëüôâåíîâi íåñòiéêîñòi çáóäæóþòüñÿ íàäE òåïëîâèìè iîíàìèD óòâîðåíèìè iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ àáî iíøèìè äæåðåëàìè íàãðiâàííÿ ïëàçìèA i ÷è ìîæóòü íåñòiéêîñòiD çáóäæåíi ãðàäi¹íE òîì òåìïåðàòóðèD ïðèâîäèòè äî äîöåíòðîâîãî ïðîñòîðîâîãî êàíàëþâàííÿF Êðiì çàãàëüíîãî àíàëiçóD áóäå ðîçãëÿíóòî êîíêðåòíèé ïðèêëàäD ùî ñïiââiäE íîñèòüñÿ ç îïèñàíèì ó ðîáîòi ‘TR“ åêñïåðèìåíòîì íà ‡UEˆF  àíàëiçi áóäå âèêîðèñòàíî òîé ôàêòD ùî òàê çâàíi íåîñåñèìåòðè÷íi ðåE çîíàíñèD ÿêi âèíèêàþòü ó ñòåëàðàòîðàõ ÷åðåç âiäñóòíiñòü ó íèõ îñüîâî¨ ñèE ìåòði¨D ìîæóòü ïðèâîäèòè äî âçà¹ìîäi¨ àëüôâåíîâèõ ìîä òà iîíiâ iç øâèäêîE

117

ñòÿìèD çíà÷íî ìåíøèìè çà ðåçîíàíñíi øâèäêîñòi â òîêàìàêàõ ‘RQ“F Çàâäÿêè öüîìóD ÷àñòèíêè ç åíåðãiÿìè E

Ti ìîæóòü âçà¹ìîäiÿòè ç ìîäàìèF

Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî àëüôâåíîâi êîëèâàííÿ ó âiäñóòíîñòi íàäòåïëîâèõ

iîíiâ ìîæóòü çáóäæóâàòèñÿ i â òîêàìàêàõF ÇîêðåìàD ó ïðèñóòíîñòi ãðàäiE ¹íòà òåìïåðàòóðè iîíiâ òà ìàãíiòíèõ îñòðîâiâ ìîæóòü çáóäæóâàòèñÿ íèçüE êî÷àñòîòíi íåñòiéêîñòiD òàê çâàíi áåòàEiíäóêîâàíÿ àëüôâåíîâi âëàñíi ìîäè @fet—Eindu™ed elfv¡ en iigenmodesD feiA ‘TSD TT“D äèâF òàêîæ îãëÿäîâó ðîáîE òó ‘QU“F
3.2.2. Äåñòàáiëiçàöiÿ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä ãðàäi¹íòîì òåìïåðàòóðè åëåêòðîíiâ òà iîíiâ.

Ó âiäñóòíîñòi íàäòåïëîâèõ iîíiâD iíêðåE

ìåíòGäåêðåìåíò àëüôâåíîâî¨ íåñòiéêîñòi îïèñó¹òüñÿ âèðàçîì

γ=
äå γ =
σ =e,i γσ D kin ˜ j⊥ =

˜kin σ =e,i jσ,⊥

1 ‚e 2W

kin ˜, d3 x˜ j⊥ · ∇⊥ Φ

@QFSHA

! ïîïåðå÷íèé ñòðóìD

W=

2 ˜ 2 /(4πvA ) d3 xc2 (∇⊥ Φ)

! åíåðãiÿ ìîäèD Φ ! ïîòåíöiàë åëåêòðè÷íîãî ïîëÿD vA ! àëüôâåíîâà øâèäE êiñòüD òèëüäîþ ïîçíà÷åíi çáóðåíi âåëè÷èíèD à iíäåêñàìè e òà i ! âiäïîâiäíî åëåêòðîíè òà iîíèF Êîëè ïîïåðå÷íèé ñòðóì âèíèê๠âíàñëiäîê äðåéôó ÷àE ñòèíîê ó ðiâíîâàæíîìó ìàãíiòíîìó ïîëi i âïëèâîì çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê ìîæíà çíåõòóâàòèD îá÷èñëåííÿ äàþòü @äèâF ïiäðîçäië QFIA

√ γ (σ ) πMσ = ω 8δ0 Mi ×
a −2

a

drrnσ (r)
mnµν µν Φmn 0 2

µ

µν Φmn

−m

¯ −2 Q(uσ )k res
−1

×

mn

0

drr−1 ni (r) r2 |Φmn |2 + m2 |Φmn |2
µν

,

@QFSIA

äå iíäåêñ σ ïîçíà÷๠ñîðò ÷àñòèíîêD Φmn òà

! ôóð9¹Eãàðìîíiêè ó ðîçâèíåE
µ,ν µν

˜= ííÿõ Φ

m,n Φm,n (r ) exp(imϑ−inϕ−iωt)

¯ [1+0.5 òà B = B

exp(iµϑ−

118

¯ ! ñåðåäíÿ iíäóêöiÿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ íà ìàãíiòíié îñiD ðàäiàëüíà iνN ϕ)]D B ¯ 2 /2D äå ψ ! òîðî¨äàëüíèé êîîðäèíàòà r âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿì ψ = Br
ìàãíiòíèé ïîòiêD ϑ òà ϕ ! âiäïîâiäíî ïîëî¨äàëüíèé òà òîðî¨äàëüíèé áóçåE ðîâi êóòèD N ! ÷èñëî ïåðiîäiâ ðiâíîâàæíîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿD

= r/RD nσ

¯res ≡ kres R = (m + µ)ι − (n + νN )D ι ! îáåðE ! êîíöåíòðàöiÿ ÷àñòèíîêD k
òîðàD øòðèõîì ïîçíà÷åíi ïîõiäíi çà ðàäióñîìD δ0

òàëüíå ïåðåòâîðåííÿ ñèëîâèõ ëiíié ìàãíiòíîãî ïîëÿD R ! âåëèêèé ðàäióñ

1 âèçíà÷à¹òüñÿ ôîðìîþ

ïîïåðå÷íîãî ïåðåðiçó ïëàçìî ‘RP“D Q(u) âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿì

nσ ω 2 2 ˆ Fσ = √ Q(uσ ), d3 v (v 2 + 0.5v⊥ ) δ (ω − kres v )Π 2 πkres

@QFSPA

äå Fσ ! ôóíêöiÿ ðîçïîäiëó ÷àñòèíîêD uσ ≡ |v res |/vT σ D v res = ω/kres D vT =

ˆ ó âèïàäêó 2T /M ! òåïîëâà øâèäêiñòüD M ! ìàñà ÷àñòèíîêD à îïåðàòîð Π ˆ =1 ∂ + Π v ∂v ωR 1 1 ∂ +n v ιωωB r ∂r

ïëàçìè ç içîòðîïíèì ðîçïîäiëîì øâèäêîñòåé ì๠ôîðìó @QFSQA

äå ωB ! öèêëîòðîííà ÷àñòîòàF Çàâäÿêè òîìóD ùî âèðàç @QFSQA äëÿ îïåðàòîðà

ˆ ðîçïàäà¹òüñÿ íà äâi ÷àñòèíèD ìîæíà çàïèñàòè Q = Qv + Qr D äå Qv òà Qr Π
ïîâ9ÿçàíi âiäïîâiäíî ç ïåðøèì i äðóãèì ÷ëåíàìè ïðàâî¨ ÷àñòèíè ðiâíÿííÿ @QFSQAF Î÷åâèäíîD ùî Qv < 0 iD îòæåD γ < 0 ó ïëàçìi ç ìàêñâåëîâèì ðîçïîäiE ëîì øâèäêîñòåéD FM ∝ exp −(E + E⊥ )/T D äå E òà E⊥ ! êiíåòè÷íà åíåðE ãiÿ ðóõó ÷àñòèíêè âçäîâæ òà ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿF ÎòæåD íåñòiéêiñòü ç9ÿâëÿ¹òüñÿD êîëè Qr > |Qv |F Âåëè÷èíà Qr ïî ñóòi âèçíà÷à¹òüñÿ ðåçîíàíE ñíîþ øâèäêiñòþF Îñêiëüêè

∂FM ∂r ×

=
v =v res

nσ −u2 σ −E⊥ /Tσ e 3 3 / 2 π vT σ Tσ , Tσ
@QFSRA

E⊥ 3 nσ + u2 − σ + nσ Tσ 2

âiäíîøåííÿ ÷ëåíà ç ∇Tσ äî ÷ëåíà ç ∇nσ çðîñò๠ç uσ D ïðèíàéìíi äëÿ u2

3/2F ÎòæåD ìîæíà î÷iêóâàòèD ùî óìîâó Qr > |Qv | ëåãøå çàäîâiëüíèòè ïðè

119

âåëèêèõ uF ×åðåç öå íàäàëi ïðèïóñêàòèìåòüñÿD ùî u > 1F Òîäi iíòåãðàë ïî ïîïåðå÷íié øâèäêîñòi â @QFSPA ìîæíà áðàòè â ìåæàõ @0, ∞AD áî ïðè u > ìîæíà îòðèìàòè

1 îáëàñòü çàõîïëåíèõ ÷àñòèíîê çíàõîäèòüñÿ ïðè E⊥

Tσ F Â ðåçóëüòàòi

1 2 Qv (u) = − (2u4 + 2u2 + 1)e−u , u ρσ vT σ n T Qr (u) = − [(m + µ)ι − νN ] Qv σ + QT σ , 2ιωr nσ Tσ QT (u) =

@QFSSA @QFSTA

1 2 (2u6 + u4 + 2u2 + 1.5)e−u . @QFSUA u Íàäàëi ïðèïóñêàòèìåòüñÿD ùî Qr > 0 @iíàêøå íåì๠íåñòiéêîñòiAF Öå íàE
êëàä๠îáìåæåííÿ íà ìîäîâi ÷èñëàD íîìåðè ðåçîíàíñíèõ ãàðìîíiê @µD ν A òà íà ðàäiàëüíi ïîõiäíi òåìïåðàòóðè i êîíöåíòðàöi¨ ïëàçìèF Âiäíîøåííÿ ÷ëåE íàD ùî âiäïîâiä๠çà çáóäæåííÿD äî ñòàáiëiçóþ÷îãî ÷ëåíà áóäå âiä9¹ìíèì i äà¹òüñÿ âèðàçîì

äå

ρσ vT σ T Qr nσ =− +K σ [(m + µ)ι − νN ] Qv 2ιωr nσ Tσ
äå K ≡ QT /|Qv | ! ïiäñèëþþ÷èé ìíîæíèêD

,

@QFSVA

2u6 + u4 + 2u2 + 1.5 K= . 2u4 + 2u2 + 1

@QFSWA

ÍàïðèêëàäD K(2) = 3.44D K(3) = 8.61F Ç iíøîãî áîêóD ôóíêöiÿ QT (u) ïîE âiëüíî ñïàä๠â iíòåðâàëi 1 < u < 3D äèâF ðèñF QFUF ÎòæåD ñëiä î÷iêóâàòèD ñòiéêîñòÿõF Ðiâíÿííÿ @QFSSA!@QFSWA ïðàöþþòü i ïiä ÷àñ ðîçâèòêó íåñòiéêîñòiD ÿêùî êóëîíîâi çiòêíåííÿ äîñòàòíüî ñèëüíiD ùîá ïiäòðèìóâàòè ìàêñâåëîâèé ðîçE ïîäië øâèäêîñòåéF
3.2.2.1. Äîöåíòðîâå ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ òà éîãî íàñëiäêè.

ùî ñàìå öåé iíòåðâàë ðåçîíàíñíèõ øâèäêîñòåé ãðàòèìå ãîëîâíó ðîëü â íåE

ïåðàòóðèF Òîäi K ≈ u2 ∝ 1/Tσ D áî kres ≈ ™onst âñåðåäèíi îáëàñòiD çàéíÿòî¨

Íåõàé K

1 i ó âiäíîøåííi Qr /Qv äîìiíó¹ ÷ëåí ç ãðàäi¹íòîì òåìE

120

100

10
|Q v ( u) | Q T (u ) K (u)

| Qv | &Qr

K ( u)

10−1

10−2

5

10−3

1

1 .5

2

2 .5

3

3 .5

u
ÐèñF QFUF Çàëåæíiñòü ôóíêöié Qv (u)D QT (u)D òà ïiäñèëþþ÷îãî ìíîæíèêà K

âiä u ≡ |v res |/vT F

ìîäîþD êîëè øèð ìàãíiòíîãî ïîëÿ íåçíà÷íèéF Öå ïðèâîäèòü äî Qr /Qv ∝

1D ç Qr > 0D íàéïðîñòiøå çàäîâiëüíèòè íà ïåðèôåði¨ ïëàçìèD äå òåìïåðàòóE
ðà íèçüêàF ÍàïðèêëàäD êîëè Tσ = T0 (1 − r2 /a2 )τ D Qr /Qv ∝ (1 − r2 /a2 )−1 F àëå Qr /|Qv | > 1 â îáëàñòi r0 < r < r2 D äå r0 âèçíà÷à¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿ Ç öüîãî âèïëèâà¹D ùî ìîæå ìàòè ìiñöå Qr /|Qv | < 1 â îáëàñòi r1 < r < r0 D

Tσ /(rTσ )D çâiäêè ìîæíà âèñíóâàòèD ùî óìîâi iñíóâàííÿ íåñòiéêîñòi Qr /|Qv | >

Qr /|Qv | = 1D à r1 < r < r2 ! îáëàñòü ëîêàëiçàöi¨ ìîäèF Ñóìàðíèé iíêðåE

ìåíò íåñòiéêîñòiD γ = γ+ − |γ− |D äå γ+ > 0 òà γ− < 0 ! âiäïîâiäíî iíêðåE ìåíò çáóäæåííÿ i äåêðåìåíò çãàñàííÿD ÿêi âèçíà÷àþòüñÿ ðiâíÿííÿì @QFSIAD ñòàöiîíàðíîìó ñòàíi γ+ = |γ− |D òàê ùî ñóìàðíèé iíêðåìåíò γ = 0F äå iíòåãðàë ó ÷èñåëüíèêó áåðåòüñÿ âiäïîâiäíî ó ìåæàõ @0, r0 A òà @r0 , aAF Ó Â ðîçiáðàíîìó âèïàäêó ìîäà ïåðåíîñèòèìå åíåðãiþ ç ïåðèôåði¨ äî öåíE

òðàëüíî¨ îáëàñòi ïëàçìèD òîáòî â îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäè ìàòèìå ìiñöå äîöåíòðîâå ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ åíåðãi¨D ÿêå ïîëiïøóâàòèìå ¨¨ óòðèìàE ííÿ â ïëàçìiF Ïðèñóòíiñòü äîäàòêîâèõ ìåõàíiçìiâ çãàñàííÿ ìîæå ïðèâîäèòè äî ïîãëèE

121

íàííÿ åíåðãi¨ ìîäè çà ìåæàìè îáëàñòi r1 < r < r0 D ùî çìåíøóâàòèìå ïîòiê åíåðãi¨F Äîöåíòðîâå ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ áóäå iñòîòíèìD ÿêùî ùiëüíiñòü ïîE ãëèíóòî¨ â îáëàñòi r0 < r < r2 ïîòóæíîñòi @P+ A òà ùiëüíiñòü ïîòóæíîñòi íàãðiâàííÿ ïëàçìè ìîäîþ â îáëàñòi r1 < r < r0 @P− A äîñòàòíüî âåëèêiF Ùiëüíiñòü ïîòóæíîñòi P± ìîæíà îöiíèòè ÿê

γ± B 2 P± = 2ω ω 4π

˜ B B

2

.

@QFTHA

Ó ñòàöiîíàðíîìó ñòàíiD ïîòiê åíåðãi¨ äîñåðåäèíè ÷åðåç ïîâåðõíþ r0 äîðiâE íþâàòèìå P+ V+ D äå V+ ! îá9¹ì îáëàñòiD äå ìîäà ïîãëèí๠åíåðãiþF ÏðèïóE ñêàþ÷è äëÿ ïðèêëàäóD ùî r0 /a = 0.6 òà r2 /a = 0.7D i áåðó÷è çàãàëüíèé îá9¹ì ïëàçìè ðiâíèì Vp = 30 ì3 D ìîæíà îòðèìàòè V+ = 0.13Vp = 3.9 ì3 F Àìïëiòóäà ìîäè íå âèçíà÷à¹òüñÿ òåîði¹þD ðîçãëÿíóòîþ ó öüîìó ïiäðîçE äiëiF ßêùî îöiíèòè ¨¨ ó ïðèïóùåííiD ùî ïîòiê åíåðãi¨ âiä äîöåíòðîâîãî ìó ïåðåíåñåííþ åíåðãi¨ òåïëîâèìè iîíàìè äî ïåðèôåði¨ ïëàçìè @∼ 0.05 öèêëîòðîííîìó ðåçîíàíñi ïîòóæíiñòþ P = 2 ÌÂò ‘TP“D òîD âçÿâøè γ+ /ω = ïðîñòîðîâîãî êàíàëþâàííÿ íà ðàäióñi r/a ∼ 0.6 äîðiâíþ¹ íåîêëàñè÷íîE

ÌÂòAD ðîçðàõîâàíîìó äëÿ ïëàçìè ó ‡UEˆ ç íàãðiâàííÿì íà åëåêòðîííîE

äåùî áiëüøåD íiæ àìïëiòóäè àëüôâåíîâèõ çáóðåíüD ùî çàçâè÷àé ñïîñòåðiE

10−3 D B = 2.3 òëD f = 200 êÃö @öÿ ÷àñòîòà ëåæèòü ó ùiëèíi àëüôâåíîâîãî ˜ êîíòèíóóìóD ïîâ9ÿçàíié ç åëiïòè÷íiñòþAD ìîæíà îòðèìàòè B/B ∼ 10−3 F Öå

˜ ãàþòüñÿ â åêñïåðèìåíòàõ @B/B

àìïëiòóäàìè ìîæóòü ñïðàâëÿòè ïîìiòíèé âïëèâF

5 × 10−4 ‘QU“AD àëå é ìîäè ç ìåíøèìè

3.2.3. Çàñòîñóâàííÿ òåîði¨ äî åêñïåðèìåíòó ç âèñîêî÷àñòîòíèìè êîëèâàííÿìè íà ñòåëàðàòîði Wendelstein 7-X.

Ó öüîìó ïiäïóíE

êòi ðîçãëÿäàòèìåòüñÿ íåñòiéêiñòüD ÿêà ðîçâèíóëàñÿ ïðè t1 ∼ 100 ìñ i ìàëà òà îñöèëÿöié çìåíøóâàëàñü ç ÷àñîìD ùî âêàçó¹ íà ¨¨ àëüôâåíîâó ïðèðîäóD

íà öåé ìîìåíò ÷àñòîòó f ∼ 220 êÃöD äèâF ðèñF II ó ðîáîòi ‘TR“F ×àñòîE

122

áî êîíöåíòðàöiÿ ïëàçìè â öåé ÷àñ çðîñòàëàF Àìïëiòóäà ìîäè çðîñòàëà äî

t2 ∼ 200 ìñD ïiñëÿ ÷îãî ìîäà äîñÿãëà êâàçèñòàöiîíàðíîãî ñòàíó iç ÷àñòîE
òîþ áiëÿ 180 êÃö i ïîëî¨äàëüíèì ìîäîâèì ÷èñëîì |m| = 16D ÿêèé òðèâàâ êàðòèíà íàâîäèòü íà äóìêóD ùî àìïëiòóäà ìîäè â ïåðiîä äî t2 çðîñòàëàD áî íàðíèé ïîòiê åíåðãi¨ iç îáëàñòiD äå ìàâ ìiñöå âåëèêèé ãðàäi¹íò òåìïåðàòóðèD äî îáëàñòiD ðîçòàøîâàíî¨ ïðè ìåíøèõ ðàäióñàõD ç γ+ ≈ |γ− |F

600 ìñ @êîíöåíòðàöiÿ ïëàçìè ïîâiëüíî çðîñòàëà ïðîòÿãîì öüîãî ÷àñóAF Òàêà

γ+ > |γ− |D à êîëè ¨¨ àìïëiòóäà ñòàëà äîñòàòíüî âåëèêîþD âñòàíîâèâñÿ ñòàöiîE

Íèæ÷å ðîçãëÿäàòèìåòüñÿ ñòàöiîíàðíà ôàçà öi¹¨ íåñòiéêîñòi ó ïðèïóùåíE

íiD ùî îáëàñòü ëîêàëiçàöi¨ ìîäè âêëþ÷๠ïðèíàéìíi ÷àñòèíó îáëàñòi ç âåE

µ = ν = ±1 @áî ãàðìîíiêà

ëèêèì Ti @áiëÿ r/a ∼ 0.6A i ùî ìîäà âçà¹ìîäi¹ ç ÷àñòèíêàìè ÷åðåç ðåçîíàíñ
11

ó ‡UEˆ îäíà ç íàéáiëüøèõAF Òîäi ìîæíà âçÿòè

øâèäêiñòüD ùî âiäïîâiä๠ðåçîíàíñó íà ãâèíòîâié ãàðìîíiöiD äîðiâíþâàòèìå

ι = 0.8 − 0.82D Ti = 1 − 1.5 êåÂD |m| = 16D n = 12D f = 180 êÃöF Ðåçîíàíñíà

v = ω/kres D äå kres = [(m + µ)ι − (n + νN )]/RF Ïiäñòàâëÿþ÷è ìîäîâi ÷èñëà òà ¯res | = 5 − 5.3 òà 3.4 − 3.06D ùî äàñòü |v res | = 1.24 × 108 ðåçîíàíñíi íîìåðèD |k
ñì ñ−1 òà 1.82 × 108 ñì ñ−1 F ÎòæåD 2.3

ui

4.6D ïiäñèëþþ÷èé ìíîæíèê

äëÿ iîíiâ íàáàãàòî áiëüøèé çà îäèíèöþD à ñàìå 5 < K < 20 @äèâF @QFSWAAF Ç

iíøîãî áîêóD ue íàáàãàòî ìåíøå çà îäèíèöþD òîìó Qr (ue ) íàâðÿä ÷è ïåðåE âèùóâàòèìå |Qv (ue )|F Êðiì öüîãîD ÷àñòêà ðåçîíàíñíèõ ïðîëiòíèõ ÷àñòèíîê ïðè u ðîçâèíóòî¨ òåîði¨D ìîæíà çíåõòóâàòèF òèìåòüñÿ â îáëàñòi âåëèêèõ T F Àëå öå ùå íå îçíà÷à¹D ùî iíêðåìåíò çáóE äæåííÿ ìîäè ïåðåâèùóâàòèìå äåêðåìåíò ¨¨ çãàñàííÿ íà îñíîâíié ïëàçìi ó âñié îáëàñòi ¨¨ ëîêàëiçàöi¨F Ùîá âèçíà÷èòèD ÷è γ Îñêiëüêè K çíà÷íî áiëüøèé çà îäèíèöþD óìîâà Qr > |Qv | çàäîâiëüíÿE

1 ìàëàF Òîìó âçà¹ìîäi¹þ ìîäè ç åëåêòðîíàìèD ïðèíàéìíi â ðàìêàõ

0D ïîòðiáíî îá÷èñëèòè

iíòåãðàëè ó ðiâíÿííi @QFSIAD à äëÿ öüîãî ïîòðiáíî çíàòè ñòðóêòóðó ìîäè òà ðàäiàëüíi ïðîôiëi ïàðàìåòðiâ ïëàçìèF Çãiäíî ‘TR“D ó ðîçðàõóíêàõ ïðèE éìàòèìåòüñÿD ùî ìîäà ! öå ieiD ëîêàëiçîâàíà ïðè 0.5

r/a

0.7D ç

123

ïðè÷îìó ne (r) áåðåòüñÿ ç ðèñF IH ó öèòîâàíié ðîáîòiF Êðiì öüîãîD îñêiëüE êè òî÷íèõ ïðîôiëiâ òåìïåðàòóðè iîíiâ äëÿ öüîãî åêñïåðèìåíòó íåìà¹D ðîçE ðàõóíêè îáìåæóâàòèìóòüñÿ ìîäåëüíèì ïðîôiëåìX Ti (r) = const = Ti (r1 ) ïðè 0

ìîäîâèìè ÷èñëàìè |m1 | = 16D |m2 | = 14D òà |n| = 12D ùî ni (r) = ne (r)D

r

T (r) = T (r2 )[1 − (r − r2 )/(a − r2 )] ïðè r2

r1 Y T (r) = T (r1 )[1 − (r − r1 )/(r2 − r1 )] ïðè r1 r

r

r2 Y

aF Öåé ïðîôiëü ÿêiE

ñíî óçãîäæó¹òüñÿ ç ïðîôiëåìD âèìiðÿíèì ó ðîçðÿäi ‡UEˆ ç íàãðiâàííÿì íà åëåêòðîííîEöèêëîòðîííîìó ðåçîíàíñi ïîòóæíiñòþ P = 2 ÌÂòD äèâF ðèñF T ó ðîáîòi ‘I“Y öåé ïðîôiëü õàðàêòåðèçó¹òüñÿ êðóòèì ãðàäi¹íòîì Ti (r) ïðè

ïðîôiëü Ti (r)D àëå iç çíà÷íî áiëüøèì ñïàäîì òåìïåðàòóðè iîíiâ â îáëàñòi

r/a ∼ 0.6D àëå âèìiðÿíèé ïðîôiëü íå äîòÿãó¹òüñÿ äî ïåðèôåði¨F Ñõîæèé

r/a = 0.6 − 0.8 @íà ∼ 2.5 êåÂA áóâ ïåðåäáà÷åíèé ÷èñëîâèì ìîäåëþâàííÿì
ó ‘TR“D ïðîâîäèâñÿ ïðè P = 2 ÌÂòF Òîìó ìîæíà î÷iêóâàòèD ùî ïðîôiëü âèùå ðîçðÿäàõF Îá÷èñëåííÿ ïðîâîäèëèñÿ äëÿ äâîõ âèïàäêiâX Ti (0) > 2 êå òà Ti (0) < 2 êåÂF Ðåçóëüòàòè îá÷èñëåíü ÷àñòêîâîãî iíêðåìåíòóGäåêðåìåíòó γr D ÿêèé âèE çíà÷à¹òüñÿ ç ðiâíÿííÿ γ = a−2
a 0 drrγr D

äëÿ ðîçðÿäó iç P = 4 ÌÂòD äèâF ðèñF R ó ðîáîòi ‘TU“F ÅêñïåðèìåíòD îïèñàíèé

Ti (r) ó öüîìó åêñïåðèìåíòi áóâ ïîäiáíèé äî òîãîD ùî ìàâ ìiñöå ó çãàäàíèõ

òîãî çi çíà÷åíü uD ïðè ÿêîìó âîíè íàéáiëüøiD äëÿ âèïàäêó Ti (0) > 2 êå íàâåäåíi íà ðèñF QFVF Ìîæíà áà÷èòèD ùîD ÿê i î÷iêóâàëîñÿD îáëàñòüD äå äîE ìiíó¹ çáóäæåííÿGçãàñàííÿD ðîçòàøîâàíà âiäïîâiäíî ïðè áiëüøèõGìåíøèõ ðàäióñàõD òîáòî ì๠ìiñöå äîöåíòðîâå ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿF Ñèñòåìà áëèçüêà äî ïîðîãó ñòiéêîñòiD γ+ ≈ |γ− |D ïðè÷îìó (γ+ − |γ− |)/γ+ = 9%F ÎòE æåD ìîäà ìîæå iñíóâàòè ó êâàçiñòàöiîíàðíîìó ñòàíiD ùî i ñïîñòåðiãàëîñÿ â ïåðàòóðèD ìîæíà îòðèìàòè äóæå âiäìiííi ðåçóëüòàòèD âiä ñèëüíîãî çáóäæåE ííÿ äî ñèëüíîãî çãàñàííÿ ìîäèF Öå íàâîäèòü íà äóìêóD ùî â åêñïåðèìåíòi åêñïåðèìåíòiF Òðîõè çìiíþþ÷è ïîëîæåííÿ îáëàñòi âåëèêîãî ãðàäi¹íòó òåìE

à òàêîæ ôóíêöié Qr òà |Qv | äëÿ

124

ÐèñF QFVF Ïàðàìåòðè ïëàçìè òà ëîêàëüíèé iíêðåìåíòGäåêðåìåíò ïîáëèçó ïîðîãó ñòiéêîñòi @γ+ /ω = 1.40 × 10−3 D γ− /ω = −1.27 × 10−3 AF Çãàñàííÿ òà çáóäæåííÿ âåëèêiD àëå ìàéæå êîìïåíñóþòüñÿF Íèæíié ãðàôiêX òåìïåðàE òóðà òà êîíöåíòðàöiÿ iîíiâD ïðèéíÿòà â ðîçðàõóíêàõY îáëàñòü ëîêàëiçàöi¨ ieiEìîäè ç m1 = −16D m2 = −14D òà n = −12 ‘TR“ çàøòðèõîâàíàF Âåðõíié ãðàôiêX çàëåæíiñòü ëîêàëüíîãî iíêðåìåíòóGäåêðåìåíòó γr @ñóöiëüíà ëiíiÿA ííÿì γ = a−2
a 0 drrγr F

i ôóíêöié |Qv | òà Qr @øòðèõîâàíi ëiíi¨A âiä ðàäióñóF γr âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿE

125

ãðàäi¹íò òåìïåðàòóðè ñàìîðåãóëþâàâñÿ ïiä âïëèâîì íåñòiéêîñòiF Ìåõàíiçì òàêî¨ ñàìîðåãóëÿöi¨ ïðîñòèéX îñêiëüêè γr ìàêñèìàëüíèé áiëÿ ãðàíèöi ìiæ îáëàñòÿìèD äå γr > 0 i γr < 0D äëÿ ñòàáiëiçàöi¨ @γ ≈ 0A äîñòàòíüî çíèçèE òè T ëèøå â öié âóçüêié îáëàñòiF Òàêà ñòàáiëiçàöiÿ ìîæå âiäáóòèñÿD êîëè àìïëiòóäà ìîäè ïiñëÿ ïî÷àòêîâîãî çáóäæåííÿ ñòàíå äîñòàòíüî âåëèêîþF Îá÷èñëåííÿ ïðè òåìïåðàòóði iîíiâ Ti (0) < 2 êå ïðîâîäèëèñÿ äëÿ çíà÷åE ííÿ Ti (0) = 1.8 êåÂF Çàãàëüíà êàðòèíàD ïîêàçàíà íà ðèñF QFVD çáåðiãà¹òüñÿD îáëàñòi r/a > 0.65 ïðàêòè÷íî íå âïëèâ๠íà ðåçóëüòàòè îá÷èñëåíüD áî àìE ïëiòóäà ìîäè òàì íåõòîâíî ìàëàF Ìîæå âèíèêíóòè ïèòàííÿD ÷îìó íà ‡EUˆ íå çáóäæóâàëèñÿ iíøi àëüôâåE íîâi ìîäèc Äëÿ ìîäD ïîâ9ÿçàíèõ ç ãâèíòîâîþ i äçåðêàëüíîþ ãàðìîíiêàìè @rei òà weiA âiäïîâiäü ÿñíàX ÷àñòîòè öèõ ìîä ñóòò¹âî ïåðåâèùóþòü ÷àE ñòîòó ieiEìîäèD i òîìó íåðiâíiñòü Qr > |Qv | äëÿ íèõ íå ìîæå çàäîâiëüíÿE òèñÿF Ç iíøîãî áîêóD ÷àñòîòè ìîäD âèêëèêàíèõ òîðî¨äàëüíiñòþ @„eiA âäâi÷i íèæ÷i çà ÷àñòîòó ieiEìîäèD i íà ïåðøèé ïîãëÿä „eiEìîäè ìàëè á çáóE äæóâàòèñÿF Àëå äëÿ öèõ ìîä ui ∼ 1D i âiäïîâiäíî ïiäñèëþþ÷èé ìíîæíèê àëå γ+ òà γ− çìåíøóþòüñÿF Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî ôîðìà ïðîôiëþ Ti (r) â

KT AE ∼ 1.3D ùî çíà÷íî ìåíøåD íiæ äëÿ ieiEìîäèF Çàâäÿêè öüîìóD âiäíîøåE
ííÿ Qr /|Qv | äëÿ „eiEìîäè ìåíøå çà îäèíèöþD òîáòî ¨õ çãàñàííÿ ñèëüíiøå ¹íòîì òåìïåðàòóðè íåìîæëèâà â ïðèíöèïiX äëÿ ïðèêëàäóD äåñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ íåîäíîðiäíîñòi òåìïåðàòóðè iîíiâ íà „eiEìîäó ó ïëàçìi ç âèñîêèì çà çáóäæåííÿF Çâè÷àéíîD öå íå îçíà÷à¹D ùî äåñòàáiëiçàöiÿ „eiEìîäè ãðàäiE

β ñïîñòåðiãàâñÿ â ÷èñëîâèõ åêñïåðèìåíòàõD îïèñàíèõ â ðîáîòi ‘RW“F
3.2.4. Âèñíîâêè.

Ó öüîìó ïiäðîçäiëi ïîêàçàíîD ùî äåñòàáiëiçóþ÷èé

âïëèâ ïðîñòîðîâî¨ íåîäíîðiäíîñòi îñíîâíî¨ ïëàçìè ç ìàêñâåëîâèì ðîçïîäiE ëîì øâèäêîñòåé íà àëüôâåíîâi âëàñíi ìîäè â òîðî¨äàëüíèõ ñèñòåìàõ ìîæå ïåðåáîðîòè ¨õ çãàñàííÿ ÷åðåç ìåõàíiçì ËàíäàóF ßêùî ïðè öüîìó iíøi ìåõàE íiçìè çãàñàííÿ ñëàáêiD ìîæå çáóäèòèñÿ àëüôâåíîâà íåñòiéêiñòüF Îòðèìàíà

126

ùî íàäòåïëîâi ÷àñòèíêè äàþòü çíà÷íèé âíåñîê ó äiàìàãíiòíó ÷àñòîòó @ω∗ A çàâäÿêè ñèëüíié çàëåæíîñòi âiä u êîåôiöi¹íòàD ùî ñòî¨òü ïðè T ó âèðàçi äëÿ ω∗ F Öåé êîåôiöi¹íò äà¹òüñÿ ðiâíÿííÿì @QFSWAF  êîíòåêñòi íåñòiéêîñòiD çáóäæóâàíî¨ ãðàäi¹íòîì òåìïåðàòóðèD âií äi¹ ÿê ïiäñèëþþ÷èé ìíîæíèêF Îäíàê ïðè u

ñò๠ç u ≡ |v res |/vT @ïðè u > 1AF Ïðè÷èíà öüîãî çðîñòàííÿ ïîëÿã๠â òîìóD

íåîáõiäíà óìîâà äåñòàáiëiçàöi¨ @Qr (r) > |Qv |(r)AF Âiäíîøåííÿ Qr /|Qv | çðîE

1 iíêðåìåíò çáóäæåííÿ ñò๠åêñïîíåíöiéíî ìàëèìD òîìó

ïðàêòè÷íèé iíòåðåñ ñòàíîâëÿòü çíà÷åííÿ u â iíòåðâàëi u = 2 − 3D ÿêîìó âiäïîâiä๠3.4 < K < 8.6F  ñòåëàðàòîðàõ âiäïîâiäíi ðåçîíàíñíi øâèäêîñòi ìîæóòü iñíóâàòè çà ðàõóíîê íåîñåñèìåòðè÷íèõ ðåçîíàíñiâF Âàæëèâîþ îñîáëèâiñòþ çáóäæóâàíèõ ∇T íåñòiéêîñòåé ¹ òåD ùîD êîëè

äî äîöåíòðîâîãî ïðîñòîðîâîãî êàíàëþâàííÿ åíåðãi¨D òîáòî äî ïåðåíåñåííÿ åíåðãi¨ äî ñåðåäèíè ïëàçìè ! åíåðãiÿD ïîãëèíóòà ìîäîþ ó íåñòiéêié îáëàñòiD íàãðiâ๠ïëàçìó â ñòiéêié îáëàñòiD ðîçòàøîâàíié ïðè ìåíøèõ ðàäióñàõF Âàðòî âiäçíà÷èòèD ùî äîöåíòðîâå ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ ìîæå òàêîæ âiäáóâàòèñÿ ïðè âçà¹ìîäi¨ òåðìîÿäåðíèõ αE÷àñòèíîê ç øâèäêèìè ìàãíiòîE çâóêîâèìè õâèëÿìè ç ÷àñòîòàìèD ùî ïåðåâèùóþòü ëàðìîðîâó ÷àñòîòó αE ÷àñòèíîê ‘TV“F Îïèñàíèé ìåõàíiçì ìîæå ïðèâîäèòè äî çáóäæåííÿ iei ÷è iíøî¨ àëüE íà ãâèíòîâié ôóð9¹Eãàðìîíiöi ðiâíîâàæíîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿ ç µ = ν = 1F ÏîêàçàíîD ùî çáóäæåííÿ òàêî¨ ìîäè òàêîæ ñóïðîâîäæóâàòèìåòüñÿ äîöåíE òðîâèì ïðîñòîðîâèì êàíàëþâàííÿì åíåðãi¨ iîíiâD i ùî âîíî ìîæå ïîÿñíèòè òðèâàëi âèñîêî÷àñòîòíi îñöèëÿöi¨D ùî ñïîñòåðiãàëèñÿ â åêñïåðèìåíòi ‘TR“F Àíàëiç íåñòiéêîñòi ó ‡UEˆ âèêîíàíèé äëÿ ïðîñòîãî ìîäåëüíîãî ïðîôiëþ òåìïåðàòóðèF Öüîãî äîñòàòíüîD ùîá ïðîäåìîíñòðóâàòè ôiçè÷íèé ìåõàíiçì ÿâèùàD àëå íå äëÿ ïîâíîöiííîãî ÷èñëîâîãî ìîäåëþâàííÿ åêñïåðèìåíòiâF ôâåíîâî¨ ìîäè ç ÷àñòîòîþ ω ∼ 200 êÃö íà ‡endelstein UEˆ ÷åðåç ðåçîíàíñ

Qr (r) < |Qv |(r)D à çàãàëüíèé iíêðåìåíò γ > 0D âîíè ìîæóòü ïðèâîäèòè

â îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäè ¹ i iíòåðâàëD äå Qr (r) > |Qv |(r)D i iíòåðâàëD äå

127

Ñëiä âiäçíà÷èòèD ùî çáóäæåííÿ ìîäè ìîäå ïðèâîäèòè äî ïîÿâè àíîìàëüE íî¨ òåïëîïðîâiäíîñòiD ùî ñïðèÿòèìå âèðiâíþâàííþ ãðàäi¹íòà òåìïåðàòóðèF Ïðè âèâ÷åííi öüîãî åôåêòó ñëiä âðàõîâóâàòèD ùî ïðèñóòíiñòü äæåðåë òà ñòîêiâ åíåðãi¨ âïëèâ๠íà ðàäiàëüíèé ïðîôiëü àìïëiòóäè âëàñíèõ ìîä ‘TV“D ùî ñò๠iñòîòíèì äëÿ íåñòiéêîñòåé iç äîñòàòíüî âåëèêèìè iíêðåìåíòàìè @γ+ A òà äåêðåìåíòàìè @γ− AF Ðîçãëÿíóòà íåñòiéêiñòü ìîæå âïëèâàòè íà ðîáî÷i ïîêàçíèêè ïëàçìè ó

‡UEˆ i çàñëóãîâó¹ íà ïîäàëüøi åêñïåðèìåíòàëüíi òà òåîðåòè÷íi äîñëiäæåE ííÿF Âîíà òàêîæ ìîæå ãðàòè ðîëü â iíøèõ ñòåëàðàòîðàõD çîêðåìà ó vrhD „tEssD rEID …EQw òà iíøèõ ‘STD TWD UHD UI“F
3.3. Ïåðåíåñåííÿ åíåðãi¨ ÌÃÄ-ìîäàìè ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿ

3.3.1. Âñòóï.

Ñòiéêiñòü àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä @„eiD iei i òFäFA

âèçíà÷à¹òüñÿ êîíêóðåíöi¹þ ìiæ âïëèâîì ãðóï ÷àñòèíîêD ÿêi ïåðåäàþòü åíåðãiþ ìîäi @äîíîðiâA òà ãðóï ÷àñòèíîêD ùî ïîãëèíàþòü åíåðãiþ ìîäè @àêöåïòîðiâAF Ìîæå âèÿâèòèñÿD ùî öi ãðóïè ïðîñòîðîâî ðîçíåñåíi ìiæ ñîE áîþY â òàêèõ âèïàäêàõ çàâäÿêè ìîäi âiäáóâà¹òüñÿ ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ åíåðãi¨ äîíîðiâF ‘THD UP“ síøèìè ñëîâàìèD ïîòóæíiñòüD îòðèìóâàíà ìîäîþ â îáëàñòiD äå íåñòiéêiñòü çáóäæó¹òüñÿD íàãðiâ๠ïëàçìó â îáëàñòi ìåíøèõ @àáî áiëüøèõA ðàäióñiâD äå ìîäà çãàñà¹Y ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ ìîæå áóE òè ñïðÿìîâàíå äîñåðåäèíè àáî íàçîâíiF Çãiäíî ðîáiò ‘THD UPD UQ“D âiäöåíòðîâå ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ ìàëî ìiñöå â åêñïåðèìåíòàõ íà xƒ„ˆD îïèñàíèõ ó ðîáîòi ‘UR“D äå ñïîñòåðiãàëîñÿ ïîãiðøåííÿ íàãðiâàííÿ ïëàçìè iíæåêöi¹þ íåéòðàëüíèõ ïó÷êiâ îäíî÷àñíî ç äåñòàáiëiçàöi¹þ ÌÃÄEìîä @àëüôâåíîâèõ ÷è øâèäêèõ ìàãíiòîçâóêîâèõAF Ç iíøîãî áîêóD äîöåíòðîâå ïðîñòîðîâå êàíàE ëþâàííÿ åíåðãi¨ òåðìîÿäåðíèõ αE÷àñòèíîê çáóäæóâàíèìè íèìè øâèäêèìè ìàãíiòîçâóêîâèìè ìîäàìè ç ÷àñòîòàìèD áëèçüêèìè äî ãàðìîíiê öèêëîòðîE

128

íî¨ ÷àñòîòèD ìîæå âiäïîâiäàòè çà ïîëiïøåííÿ ðîáî÷èõ ïîêàçíèêiâ ïëàçìè íà ti„F ‘TV“ ßê áóëî ïîêàçàíî ó ïîïåðåäíüîìó ïiäðîçäiëiD äîöåíòðîâå ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ ìîæå âiäáóâàòèñÿ íàâiòü ó âiäñóòíîñòi äæåðåë íàäòåïëîâèõ iîíiâD ÿêèìè ¹ iíæåêöiÿ òà òåðìîÿäåðíi ðåàêöi¨F Äåñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ ãðàE äi¹íòà òåìïåðàòóðè iîíiâ @∇Ti A íà ùiëèííi àëüôâåíîâi âëàñíi ìîäè ìîæå áóòè äîñèòü âåëèêèì i ïðèâîäèòè äî íåñòiéêîñòi çà óìîâèD ùî øâèäêîñòi þòü òåïëîâó øâèäêiñòüF Ó ñòåëàðàòîðàõ öÿ óìîâà ìîæå çàäîâiëüíÿòèñÿ çàâE äÿêè íåîñåñèìåòðè÷íèì ðåçîíàíñàìD ïåðåäáà÷åíèì ó ðîáîòi ‘RQ“F ßêùî íà ïåðèôåði¨ ïëàçìè iñíó¹ âåëèêèé ãðàäi¹íò òåìïåðàòóðèD äåñòàáiëiçîâàíà àëüE ôâåíîâà ìîäà ìîæå êàíàëþâàòè åíåðãiþ ó âíóòðiøíi îáëàñòi ïëàçìèF Öåé ìåõàíiçì äåñòàáiëiçàöi¨ ìîæå ïîÿñíþâàòè âèñîêî÷àñòîòíi îñöèëÿöi¨D ÿêi ñïîE ñòåðiãàëèñÿ ó íåäàâíiõ åêñïåðèìåíòàõ íà ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆF ‘TR“ Ó öüîìó ïiäðîçäiëi áóäå ïîêàçàíîD ùî ó íåñòiéêèõ ïëàçìàõ ïîòiê åíåðãi¨ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿ iñíó¹ íàâiòü çà âiäñóòíîñòi ïðîñòîðîâîãî êàíàëþE âàííÿD òîáòî êîëè çãàñàííÿ ìîäè íåõòîâíå àáî êîëè îáëàñòüD äå ìîäà çãàñà¹D ñïiâïàä๠ç îáëàñòþD äå âîíà çáóäæó¹òüñÿF Öåé ïîòiê âiäïîâiä๠çà îáìií åíåðãi¹þ ìiæ çáóðåííÿìè ïëàçìè íà ðiçíèõ ìàãíiòíèõ ïîâåðõíÿõ ! âëàñíåD ìîæíà ñêàçàòèD ùî âií âiäïîâiä๠çà ñàìå iñíóâàííÿ ìîäè ! à ïðè âåëèE êèõ àìïëiòóäàõ ÷è âåëèêèõ iíêðåìåíòàõ íåñòiéêîñòi âií ìîæå çìiíþâàòè ¨¨ ôîðìóF ‘TV“ Ìåòà öüîãî ïiäðîçäiëó ! îöiíèòè ïîïåðå÷íèé ïîòiê åíåðãi¨D ÿêèì ñóïðîâîäæó¹òüñÿ äåñòàáiëiçàöiÿ àëüôâåíîâèõ òà øâèäêèõ ìàãíiòîçâóêîâèõ âëàñíèõ ìîä i îòðèìàòè êàðòèíó ðàäiàëüíîãî ðîçïîäiëó öüîãî ïîòîêóF Äëÿ öüîãî äîñëiäæó¹òüñÿ ðàäiàëüíèé áàëàíñ ïîòóæíîñòiD óñåðåäíåíî¨ ïî ìàãíiE òíié ïîâåðõíiF Òàêèé ïiäõiä â ïðèíöèïi äîçâîëÿ¹ îá9¹äíàòè ëiíiéíèé òà íåëiE íiéíèé îïèñè àëüôâåíîâèõ êîëèâàíüD äèâF îãëÿä ‘QU“ òà ïîñèëàííÿ ó íüîìóF Àíàëiç ïðîâîäèòüñÿ äëÿ àëüôâåíîâèõ ìîäD àëå çàãàëüíi ôîðìóëè ñïðàE âåäëèâi i äëÿ øâèäêèõ ìàãíiòîçâóêîâèõ ìîäF iîíiâD ÿêi ðåçîíàíñíî âçà¹ìîäiþòü ç àëüôâåíîâèìè ìîäàìèD äåùî ïåðåâèùóE

129

Öåé ïiäðîçäië ñêëàäà¹òüñÿ ç äâîõ ïóíêòiâ òà âèñíîâêiâF Ó ïóíêòi QFQFP âèâîäÿòüñÿ òà àíàëiçóþòüñÿ çàãàëüíi ðiâíÿííÿ äëÿ ïîòîêó åíåðãi¨ â ìîäiF Ó ïóíêòi QFQFQ ðîçãëÿäàþòüñÿ ìîäåëüíi òà êîíêðåòíi ïðèêëàäè äëÿ âèïàäêó îäíi¹¨ àëüôâåíîâî¨ ìîäèF Ó ïåðøîìó ìîäåëüíîìó ïðèêëàäi ïðèïóñêà¹òüñÿD ùî øèðèíà ðåçîíàíñíî¨ îáëàñòiD ÿêà çáóäæó¹ íåñòiéêiñòüD âóçüêàD à çãàñàíE íÿ íåìà¹F Ó äðóãîìó ìîäåëüíîìó ïðèêëàäi äîäà¹òüñÿ îáëàñòüD äå äîìiíó¹ çãàñàííÿF Çà êîíêðåòíèé ïðèêëàä âçÿòà íåñòiéêiñòü ïëàçìè ‡endelstein UE ˆD çáóäæóâàíà ∇Ti D çà ðiçíèõ ïðèïóùåíü ùîäî ïðîôiëÿ òåìïåðàòóðè iîíiâF Êðiì öüîãîD äëÿ äåÿêèõ àëüôâåíîâèõ íåñòiéêîñòåé íà s„i‚ òà ‡EUˆ îöiE íþ¹òüñÿ ïîòóæíiñòü ïîòîêó åíåðãi¨ ÷åðåç ìàãíiòíó ïîâåðõíþD áëèçüêó äî ìàêñèìóìó ëîêàëüíîãî iíêðåìåíòó çáóäæåííÿ íåñòiéêîñòiF
3.3.2. Âèâåäåííÿ òà àíàëiç îñíîâíèõ ðiâíÿíü.

Ç ðiâíÿíü ÌàêñâåE

ëà âèïëèâà¹D ùî

c 1 ∂ E 2 + B 2 + ∇ · (E × B) + j · E = 0, 8π ∂t 4π

@QFTIA

äå ED BD òà j ! âiäïîâiäíî åëåêòðè÷íå òà ìàãíiòíå ïîëå i ãóñòèíà ñòðóìóF Âñi öi âåëè÷èíè ìîæíà ðîçêëàñòè íà ñóìó ðiâíîâàæíî¨ ÷àñòèíè òà çáóðåííÿF Çáóðåíi âåëè÷èíè ïîçíà÷àòèìóòüñÿ òèëüäîþF Äëÿ iäåàëüíèõ ÌÃÄEìîäD ïîçäîâæí¹ åëåêòðè÷íå ïîëå äîðiâíþ¹ íóëþD

˜ jM HD ! iäåàëüíèé ÌÃÄEñòðóìD à ˜ jres ! ñòðóìD ïîâ9ÿçàíèé iç ðåçîíàíñíîþ
âçà¹ìîäi¹þ ÷àñòèíîê ç ìîäîþF Ç ðiâíÿíü ðóõó iäåàëüíî¨ ÌÃÄ òà iäåàëüíîE ãî çàêîíó Îìà âèïëèâà¹D ùîD êîëè ÷àñòîòà ìîäè ìàëà ïîðiâíÿíî ç öèêëîE
HD 2 −1 ˜ òðîííîþ ÷àñòîòîþD ˜ jM = c2 (4πvA ) ∂ E⊥ /∂tD äå vA ! àëüôâåíîâà øâèäE ⊥

˜ = 0Y òîìó ïîçäîâæíié ñòðóì @˜ E j A íå ä๠âíåñêó â îñòàííié ÷ëåí ðiâíÿííÿ @QFTIAF Ïîïåðå÷íèé ñòðóì ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi ˜ j⊥ = ˜ jM HD + ˜ jres D äå
⊥ ⊥

2 çìiíó êiíåòè÷íî¨ åíåðãi¨ ÷àñòèíîê ó ïîëi õâèëiY âîíà çíà÷íî @â c2 /vA ðàçiâA

˜ = c2 (8πv 2 )−1 ∂ E ˜ 2 /∂tF Öÿ âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿ¹ êiñòüF ‘RP“ Òîìó ˜ jM HD · E A

˜ 2 /∂tF ïåðåâèùó¹ çìiíó åíåðãi¨ åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ (8π )−1 ∂ E

130

Çáóðåííÿ áóäå âçÿòî ó ôîðìi

˜ = 1 Xe ˆ −iωt + c.c. , X 2
äå

@QFTPA

ˆ= X
m

Xm (r, t)eimϑ−inϕ ,

@QFTQA

ω ! ÷àñòîòà ìîäèD r ! ðàäiàëüíà êîîðäèíàòàD ϑ òà ϕ ! âiäïîâiäíî áóçåðîE
âi ïîëî¨äàëüíèé òà òîðî¨äàëüíèé êóòèD à m òà n ! ìîäîâi ÷èñëàF Ðàäiàëüíà êîîðäèíàòà r âèçíà÷à¹òüñÿ ðiâíÿííÿì ψ =

¯ Brdr D äå ψ ! òîðî¨äàëüíèé ìàE

¯ ! ñåðåäí¹ çíà÷åííÿ iíäóêöi¨ ìàãíiòíîãî ïîëÿ íà ìàãíiòíié ãíiòíèé ïîòiêD à B
îñiF Àìïëiòóäè Xm ïîâiëüíî çìiíþþòüñÿ ç ÷àñîìF Âiäñóòíiñòü ñóìóâàííÿ çà òîðî¨äàëüíèì ÷èñëîì n îçíà÷à¹D ùî â öüîìó ïóíêòi íå ðîçãëÿäàòèìóòüñÿ õàðàêòåðíi äëÿ ñòåëàðàòîðiâ ìîäèD ïîâ9ÿçàíi ç ãâèíòîâèìè òà äçåðêàëüíèìè ãàðìîíiêàìè ìàãíiòíî¨ êîíôiãóðàöi¨F Ïiñëÿ óñåðåäíåííÿ ïî øâèäêîìó ÷àñó òà êóòîâèì çìiííèìD ç ðiâíÿííÿ @QFTIA ìîæíà îòðèìàòè

∂W 1 ∂ 1 + rS + ∂t r ∂r 2
äå

m

∗ ‚e (jres m · Em ) = 0,

@QFTRA

1 W = 16π

m

c2 |Em |2 + |Bm |2 2 vA

@QFTSA

öå ãóñòèíà åíåðãi¨ ìîäèD à

√ c δ0 S= 8π

‚e Eb,m B ∗,m
m

@QFTTA

öå ãóñòèíà ïîòîêó åíåðãi¨ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿF síäåêñè ˜ òà  || ïîE çíà÷àþòü âiäïîâiäíî êîìïîíåíòè âåêòîðiâ âçäîâæ áiíîðìàëi äî ñèëîâî¨ ëiE íi¨ òà âçäîâæ ñèëîâî¨ ëiíi¨ ðiâíîâàæíîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿ B0 D òîáòî Eb,m = ÷íîãî ïåðåðiçó ïëàçìè ‘RP“F

Em · (b × ∇r/|∇r|)D äå b ≡ B0 /B0 F Âåëè÷èíà δ0

1 îïèñó¹ ôîðìó ïîïåðåE

131

Âëàñíi ìîäè ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ñòîÿ÷ó õâèëþD ùî óòâîðþ¹òüñÿ âíàE ñëiäîê ñóïåðïîçèöi¨ äâîõ áiæó÷èõ õâèëüD îäíà ç ÿêèõ ðîçïîâñþäæó¹òüñÿ ïî ðàäióñó ç öåíòðó íàçîâíiD à iíøà E ç ïåðèôåði¨ äî öåíòðóF ÂiäïîâiäíîD ïîòiê åíåðãi¨ â ìîäi ìîæíà çàïèñàòè ÿê ñóìó S = S+ − S− D äå S+ òà S− ! âiäE ïîâiäíî ïîòîêè åíåðãi¨ â áiæó÷ié õâèëiD ùî ðîçïîâñþäæó¹òüñÿ íàçîâíi òà äîñåðåäèíèF Ó âiäñóòíîñòi íåñòiéêîñòi S+ (r) = S− (r) òàD îòæåD S (r) = 0F Â

íåñòiéêié ïëàçìiD âçàãàëi êàæó÷èD S+ (r) = S− (r) i S (r) = 0 â îáëàñòi ëîE

êàëiçàöi¨ ìîäèD õî÷à ïîçà ìåæàìè öi¹¨ îáëàñòiD äå àìïëiäóòà ìîäè íåõòîâíî ìàëàD S = 0F ‘TV“ Òîìó ìîæíà ñêàçàòèD ùî âëàñíi ìîäè iñíóþòü çàâäÿêè çäàòíîñòi õâèëü ðîçïîâñþäæóâàòèñÿ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿF Ìîæå âèíèêíóòè ïèòàííÿ ! ÷è óçãîäæó¹òüñÿ öå òâåðäæåííÿ ç òèì ôàE êòîìD ùî àëüôâåíîâi õâèëi ó êëàñè÷íié iäåàëüíié ÌÃÄ ìàþòü ω = k vA i

˜ = 0D òîáòî ùî öi õâèëi ðîçïîâñþäæóþòüñÿ ëèøå âçäîâæ ìàãíiòíîãî ïîëÿ B
i S = 0c Ñïðàâà â òîìóD ùî ó òîðî¨äàëüíèõ ñèñòåìàõ iñíó¹ øèð ìàãíiòíîãî ïîëÿD çàâäÿêè ÿêîìó ðiâíiñòü ω = k vA íå ìîæå âèêîíóâàòèñü äëÿ çàäàíî¨ ÷àñòîòè ω íà ðiçíèõ ìàãíiòíèõ ïîâåðõíÿõF Íàòîìiñòü ÷àñòîòè âëàñíèõ ìîä ëåæàòü àáî ó ùiëèíàõ àëüôâåíîâîãî êîíòèíóóìó @„eiEìîäè òà iíFAD àáî ïiä ÷è íàä ãiëêîþ êîíòèíóóìó @qei òà iíFA ÒîìóD ñòðîãî êàæó÷èD ω = k vA F Ìîæíà ïîêàçàòèD ùî çàâäÿêè öüîìó ∇ · ξ = 0 @ξ ! çìiùåííÿ åëåìåíòà ïëàE

˜ = 0 i ðàäiàëüíèé ïîòiê çìèAD ÿê äëÿ ìàãíiòîçâóêîâèõ õâèëüF ÂiäïîâiäíîD B

åíåðãi¨ â àëüôâåíîâèõ õâèëÿõ íå ùåçà¹F ‘US“ Íàäàëi ñòðóêòóðà ìîäè ââàæà¹òüñÿ âiäîìîþF Òîäi ìîæíà ðîçãëÿíóòè ðiâíÿííÿ @QFTRA ÿê ðiâíÿííÿD ùî âèçíà÷๠ïîòiê åíåðãi¨ â ìîäiF síòåãðóþ÷è @QFTRA çà ðàäiàëüíîþ êîîðäèíàòîþ @ ìàòè
r 0

dr r (...)AD ìîæíà îòðèE
@QFTUA

∂ W (r ) 1 rS (r) = − − ∂t 2 W
(r)

r m r 0

∗ dr r ‚e (jres m · Em ),

äå

=
0

dr r W (r).

@QFTVA

132

Íà çîâíiøíié ãðàíèöi ïëàçìèD r = aD ïîòiê åíåðãi¨ ùåçà¹D S (a) = 0D òîìó

1 ∂ W (a) =− ∂t 2

a m 0

∗ dr r ‚e (jres m · Em ).

@QFTWA

síêðåìåíòGäåêðåìåíò ìîäèD γ = sm ω D ìîæíà âèçíà÷èòè ðiâíÿííÿì ∂ W (a) /∂t =

2γ W (a) F Çàâäÿêè @QFTWA öå ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿäi γ = γ (r) |r=a D äå γ
(r)

1 =− 4W (r)

r

m

0

∗ dr r ‚e (jres m · Em ).

@QFUHA

ßêùî iíêðåìåíò íåñòiéêîñòi ìîäè íå ïåðåâèùó¹ ïåâíîãî ïîðîãîâîãî çíàE ÷åííÿD ¨¨ ôîðìà ïiä ÷àñ íåñòiéêîñòi íå çìiíþ¹òüñÿD ‘TV“ ùî ìîæíà çàïèñàòè ÿê

∂ ln W (r) ∂ ln W (a) = . ∂t ∂t Òîäi ðiâíÿííÿ @QFTUA íàáóäå ôîðìè rS (r) = −2γ W
àáî
(r)

@QFUIA

1 − 2

r m 0

∗ dr r ‚e (jres m · Em ),

@QFUPA

2 γ − γ (r) W (r) . @QFUQA r ˜ = 0 òà ω = k vA D íå äîçâîëÿ¹ Íàáëèæåííÿ iäåàëüíî¨ ÌÃÄD â ÿêîìó B S (r) = −

îá÷èñëèòè S áåçïîñåðåäíüîD àëå éîãî äîñòàòíüîD ùîá îòðèìàòè âiäíîøåíE íÿ äëÿ åíåðãi¨ ìîäè òà ÷ëåíàD ùî îïèñó¹ ðåçîíàíñíó âçà¹ìîäiþ ÷àñòèíîê ç õâèëåþF Ó öüîìó íàáëèæåííi âñi ïîòðiáíi âåëè÷èíè ìîæíà çàïèñàòè ÷åðåç

˜F îäíó çìiííóD à ñàìå çáóðåíèé ñêàëÿðíèé ïîòåíöiàë åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ Φ ˜ ⊥ = 0D äå A ! âåêòîðíèé ïîòåíE ˜ = 0 òà E ˜ = 0D ìîæíà ïîêëàñòè A Êîëè B ˜ = 0 òà ω = k vA D A ˜ = (c/vA )Φ ˜ D ùî ïðèâîäèòü äî B ˜ 2 = (c2 /v 2 )|∇⊥ Φ ˜ |2 F E A ˜ |2 = g ik (∇⊥ Φ) ˜ i (∇⊥ Φ) ˜ ∗ D äå g ik ∝ δ0 δik ! ìåòðè÷íèé òåíçîðD à ÍàðåøòiD |∇⊥ Φ k δik ! ñèìâîë ÊðîíåêåðàF ‘RP“ Ðiâíÿííÿ @QFTSA òåïåð íàáóâ๠âèãëÿäó c 2 δ0 W = 2 8πvA m2 |Φm | + 2 |Φm |2 , r
2

˜ = ∇×A ˜ = −∇⊥ Φ ˜ bD à E ˜ F Îñêiëüêè öiàë åëåêòðîìàãíiòíîãî ïîëÿF Òîäi B

@QFURA

m

133
∗ äå øòðèõîì ïîçíà÷åíà ïîõiäíà çà ðàäióñîìF Äîáóòîê (jres m · Em ) çàëåæèòü

âiä ôóíêöi¨ ðîçïîäiëó ðåçîíàíñíèõ ÷àñòèíîêF

Ðiâíÿííÿ @QFUPA òà @QFUQA ïîêàçóþòüD ùîD âçàãàëi êàæó÷èD ïiä ÷àñ íåñòiéE êîñòi ãóñòèíà ïîòîêó åíåðãi¨ S (r) = 0F Âîíà ùåç๠ëèøå ó òîìó ìàëîiìîâiðE íîìó âèïàäêóD êîëè ëîêàëüíèé iíêðåìåíòGäåêðåìåíò íåñòiéêîñòi

γ loc ≡ (4W )−1

m

∗ ‚e(jres m · Em ) = γ.

@QFUSA

Íåíóëüîâèé ïîòiê åíåðãi¨ ïiäòðèìó¹ ôîðìó ìîäè @ÿêùî γ íå íàäòî âåëèêåAD iD íà äîäà÷óD âiäïîâiä๠çà ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿD íàãðiâàþ÷è ïëàçìó â òié îáëàñòiD äå ìîäà ñèëüíî çãàñà¹F Öå ìîæíà çàïèñàòèD øòó÷íî ðîçäiëèâøè ãóñòèíó ïîòîêó åíåðãi¨ íà äâi ÷àñòèíèD

S = Smode + Sheat ,

@QFUTA

äå Smode ! ïîòiêD ùî ïiäòðèìó¹ ôîðìó ìîäèD à Sheat ! ïîòiêD ùî íàãðiâ๠ïëàçìó ÷åðåç ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿF Ïîòiê åíåðãi¨ ìîæå áóòè ñïðÿìîâàíèé ÿê äîñåðåäèíèD òàê i íàçîâíiF Öå ëåãêî ïîáà÷èòèD ÿêùî ïðèïóñòèòèD ùî øèðèíà ðåçîíàíñíî¨ îáëàñòi @äå ¹ ðåE çîíàíñíi ÷àñòèíêèD çàâäÿêè ÿêèì çáóäæó¹òüñÿ ìîäàA ìåíøàD íiæ øèðèíà
res ìîäèD ∆res < ∆m F Êîëè ðåçîíàíñíà îáëàñòü r1

r

res ðîçòàøîâàíà r2

ç ïðàâîãî @çîâíiøíüîãîA êðàþ îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäèD ïîòiê åíåðãi¨ áóäå ñïðÿìîâàíèé äîñåðåäèíèF Öå âèïëèâ๠ç ðiâíÿííÿ @QFUPAX iíòåãðàëD ùî ìiE
res ñòèòü ðåçîíàíñíèé ñòðóìD ùåç๠ïðè r < r1 D òîìó rS (r) = −2γ W (r) < 0 res ïðè r < r1 Y äðóãèé ÷ëåí â ðiâíÿííi @QFUPA äîäàòíiéD i ïðè âåëèêèõ ðàäióñàõ

ñêîðî÷ó¹òüñÿ ç ïåðøèìD äèâF ðiâíÿííÿ @QFUQAF s íàâïàêèD êîëè ðåçîíàíñíà îáëàñòü ðîçòàøîâàíà ç ëiâîãî @âíóòðiøíüîãîA êðàþ îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîE äèD ïîòiê åíåðãi¨ áóäå ñïðÿìîâàíèé íàçîâíiF  öiêàâèõ ç ïðàêòè÷íî¨ òî÷êè çîðó âèïàäêàõD ðàäiàëüíèé ðîçïîäië ãóE ñòèíè ïîòîêó åíåðãi¨ äîâîäèòüñÿ ðîçðàõîâóâàòè ÷èñëîâèìè ìåòîäàìèF Òèì

134

íå ìåíøåD ìîæíà ñêëàñòè ÿêiñíå óÿâëåííÿ ïðî öåé ðîçïîäië íà ïðîñòèõ ìîäåëÿõF
3.3.3. Çàëåæíiñòü ïîòîêó åíåðãi¨ âiä õàðàêòåðèñòèê íåñòiéêîñòi ïëàçìè.

Ó öüîìó ïiäïóíêòi ðîçãëÿäàþòüñÿ ïðîñòi ìîäåëiD ùî iëþñòðóþòü

ÿêiñíó ïîâåäiíêó ïîòîêó åíåðãi¨F
3.3.3.1. Çáóäæåííÿ äîìiíó¹ ó âñié ðåçîíàíñíié îáëàñòi.

Ó ãðàE

íè÷íîìó âèïàäêó ∆res
res m ‚e (jm

∆m ç γ loc (r) > 0D S (r) îïèñó¹òüñÿ ïðîñòèìè âèðàE
(m)

çàìèF ˆõ ìîæíà îòðèìàòèD çìîäåëþâàâøè ðåçîíàíñíèé ñòðóì δ Eôóíêöi¹þX íà ÿêîìó ëîêàëiçîâàíèé ðåçîíàíñF Ïðèïóñòèâøè äëÿ ïî÷àòêóD ùî â îáëàE ñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäè W (r) = constD ç ðiâíÿííÿ @QFUQA ëåãêî ïîáà÷èòèD ùî

· E∗ m ) ∝ δ (r − rr )D äå rr ! òîé ðàäióñ â îáëàñòi r1

r

r2 D

(m)

S = 0 ïðè 0
Öå ïðèâîäèòü äî

r

r1

(m)

γ (r) = γ AF Ç iíøîãî áîêóD â îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäè W (r) = W (r2 − r1 1 2 )γrr W, S in (ξ ) = − (ξ 2 − ξ1 ξ ξ1 ξ 1,

@áî W (r) = 0A i ïðè r > r2

(m)

@áî â öié îáëàñòi
(m)2

)/2F

@QFUUA

1 2 S out (ξ ) = (ξ2 − ξ 2 )γrr W, 1 ξ ξ2 , @QFUVA ξ äå iíäåêñàìè in òà out ïîçíà÷åíî âiäïîâiäíî ïîòiê äîñåðåäèíè òà íàçîâíiD ξ = r/rr D ξ1,2 = r1,2 /rr D à γrr âiäiãð๠ðîëü õàðàêòåðíî¨ âåëè÷èíè ãðóïîâî¨
øâèäêîñòi íåñòiéêî¨ ìîäèF Áiëüø çàãàëüíi âèðàçè äëÿ ïîòîêó åíåðãi¨D ïðèäàòíi äëÿ áóäüEÿêî¨ ôîðE ìè ìîäèD ìàþòü âèãëÿä
ξ 0 (m)

¯in (ξ ) = − 2 S ξ

¯, dξ ξ W

ξ1

ξ

1,

@QFUWA

2 ξa out ¯ ¯, S (ξ ) = dξ ξ W 1 ξ ξa , @QFVHA ξ ξ ¯ = S/S ˆD S ˆ = γrr W ˆD W ¯ = W/W ˆ D ξa = a/rr D à W ˆ ! ÿêåñü ôiêñîâàíå äå S ˆ ≡ m—x [W (r)]F çíà÷åííÿ W Y äàëi áåðåòüñÿ W

135

Ôóíêöi¨ S (ξ ) ïîêàçàíi íà ðèñF QFWF ÂèäíîD ùî ìîäà ïîðîäæó¹ ïîòîêè åíåðãi¨ i äîñåðåäèíèD i íàçîâíiF Öi ïîòîêè ïîñòà÷àþòü ìîäi åíåðãiþD ïîòðiáíó äëÿ çðîñòàííÿ ¨¨ àìïëiòóäè ïðè r = rr F

1

0 .5

ˆ) S/(γrr W

0

− 0 .5 −1

0 .7

0.8

0 .9

1

1 .1

1 .2

1 .3

ξ
ÐèñF QFWF Ãóñòèíà ïîòîêó åíåðãi¨D âèçíà÷åíà ðiâíÿííÿìè @QFUWAD @QFVHA âiä

¯ = 1D rr /a = 0.55D ξ1 = 0.727 @r(m) /a = 0.4A òà ξ ≡ r/rr X ñóöiëüíà ëiíiÿD W 1 (m) ˆ ξ −1 exp[−α(ξ − 1)2 ]D äå ξ2 = 1.27 @r2 /a = 0.7AY øòðèõîâàíà ëiíiÿD W = W α âèáðàíå òàêèì ÷èíîìD ùîá W (r1 ) = 0.1W (rr )F
(m)

ÇîêðåìàD ç ðiâíÿííÿ @QFUUA ìîæíà îöiíèòè ìàêñèìàëüíèé ïîòiê åíåðãi¨ @P A äîñåðåäèíè ÷åðåç ìàãíiòíó ïîâåðõíþ (rr − 0)X

Ïîòiê åíåðãi¨ äîñåðåäèíèGíàçîâíi ìàêñèìàëüíèé ïðè r = (rr −0)G(rr +0)F

ˆ ∆V in , P in = S (rr − 0)σ (rr ) = 2γ W
(m)

@QFVIA

äå σ (rr ) ! ïëîùà öi¹¨ ïîâåðõíiD ∆V in ≡ [Vp (rr ) − Vp (r1 )] ! îá9¹ì ÷àE

136

ñòèíè îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäèD ðîçòàøîâàíî¨ âñåðåäèíi ðåçîíàíñíî¨ ïîE âåðõíiD Vp (rj ) ! îá9¹ì ïëàçìè âñåðåäèíi ìàãíiòíî¨ ïîâåðõíi ç ðàäióñîì rj D

rj = rr , r1 F Àíàëîãi÷íèé âèðàç ìîæíà çàïèñàòè äëÿ ïîòîêó åíåðãi¨ íàçîâE
íiX

(m)

ˆ ∆V out , P out = S (rr + 0)σ (rr ) = 2γ W
äå ∆V out ≡ [Vp (r2 ) − Vp (rr )]F
(m)

@QFVPA

Çãiäíî öèõ âiäíîøåíüD ìàêñèìàëüíèé ïîòiê åíåðãi¨ ïðîïîðöiéíèé äî ∆V F

Òàê âiäáóâà¹òüñÿ ÷åðåç òåD ùî â ðîçãëÿíóòîìó âèïàäêó S = Smode D à çáóE äæåííÿ ëîêàëiçîâàíå íà ðàäióñi r = rr D i âiäïîâiäíî îáëàñòüD êóäè ïîòiê ïîñòà÷๠åíåðãiþ íà çáiëüøåííÿ àìïëiòóäè ìîäèD ñïiâïàäà¹ ç ¨¨ îáëàñòþ ëîêàëiçàöi¨F Ïåðåâàãà íàâåäåíîãî âèùå àíàëiçó ó éîãî ïðîñòîòiD áî âií íå ïîòðåáó¹ çíàííÿ ðîçïîäiëó ðåçîíàíñíîãî ñòðóìóF Òîìó âií äîçâîëÿ¹ îöiíþâàòè ïîòiê åíåðãi¨ áiëÿ ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìó çáóäæåííÿ áåç äåòàëüíèõ ðîçðàõóíêiâF Äëÿ ïðèêëàäó ìîæíà âçÿòè „eiEíåñòiéêiñòü ó áàçîâîìó ñöåíàði¨ s„i‚ çi ñòðóìîì ïëàçìè IS weF Î÷iêó¹òüñÿ ‘UT“D ùî áëèæ÷å äî ïåðèôåði¨ ïëàE çìèD r/a

0.5D ìîæóòü çáóäæóâàòèñÿ ãëîáàëüíi „eiD òîáòî ïàêåòè ìîä

ç êiëüêîìà çíà÷åííÿìè m i äàíèì nD ç ñóìàðíèì iíêðåìåíòîì çáóäæåííÿ

αE÷àñòèíêàìè òà iíæåêòîâàíèìè iîíàìè γ/ω ∼ 10−2 F Ñóìàðíèé iíêðåìåíò
çáóäæåííÿ ì๠êiëüêà ëîêàëüíèõ ìàêñèìóìiâD íàéáiëüøèé ç ÿêèõ ëåæèòü ïðè r/a = 0.5D à äâà ìåíøèõ ! ïðè r/a = 0.75 òà r/a = 0.95D äèâF ðèñF PI ó ðîáîòiF ‘UT“F ÏðèïóñòèâøèD ùî àìïëiòóäà ìîäè íàéáiëüøà ïîáëèçó îäíîãî ç

˜ 0 = 3 × 10−4 D çàéìàíèé íåþ îá9¹ì öèõ ìàêñèìóìiâ i ñêëàä๠ïîðÿäêó B/B
! ∆V = 80 ì3 @ïðèáëèçíî IH7 çàãàëüíîãî îá9¹ìó ïëàçìèAD ÷àñòîòà ìîäè

ω

íiæ ïîòóæíiñòüD ùî ïîòðàïëÿ¹ ó ïëàçìó ç òåðìîÿäåðíèìè αE÷àñòèíêàìèD òîìó ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîêD ùî ïåðåíåñåííÿ åíåðãi¨ ìîäîþ íàâðÿä ÷è

100 êÃöD à ¨¨ iíêðåìåíò ! γ = 6 × 103 s−1 D ùî âiäïîâiä๠γ/ω 10−2 D ˆ ïðîñòi ïiäðàõóíêè äàþòü W 1 ÄæGì3 i P ∼ 1 ÌÂòF Öå íàáàãàòî ìåíøåD

137

ñïðàâëÿòèìå iñòîòíèé âïëèâ íà åíåðãåòè÷íèé áàëàíñ ïëàçìèF
3.3.3.2. Çáóäæåííÿ äîìiíó¹ ó ÷àñòèíi ðåçîíàíñíî¨ îáëàñòi.

Íà

îñîáëèâó óâàãó çàñëóãîâó¹ âèïàäîêD êîëè ðåçîíàíñíà îáëàñòü ñêëàäà¹òüñÿ ç äâîõ ÷àñòèíX îäíi¹¨D äå íåñòiéêiñòü çáóäæó¹òüñÿD òà iíøî¨D äå äîìiíó¹ çãàE ñàííÿF Çàâäÿêè îñòàííüîìó âiäáóâà¹òüñÿ ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿ åíåðãi¨D ïëàçìà íàãðiâà¹òüñÿ çàâäÿêè ïåðåíåñåííþ åíåðãi¨ ìîäîþF Ç ðiâíÿííÿ @QFUTA âèäíîD ùî ó ñòàöiîíàðíîìó ñòàíi @γ = 0A S = Sheat F Öå îçíà÷à¹D ùî íàE ãðiâàííÿ ïëàçìè çáiëüøó¹òüñÿ â õîäi ðîçâèòêó íåñòiéêîñòi @êîëè iíêðåìåíò çáóäæåííÿ ñïàäà¹D àëå àìïëiòóäà ìîäè çðîñòà¹AD äîñÿãàþ÷è ìàêñèìóìó â ïîãðàíè÷íî ñòiéêîìó ðåæèìiD êîëè àìïëiòóäà ìîäè ìàêñèìàëüíàF Ðåçóëüòàòè îá÷èñëåíü ïîòîêiâ åíåðãi¨ äëÿ äåñòàáiëiçîâàíî¨ ãðàäi¹íòîì òåìïåðàòóðè iîíiâ ieiEìîäè íà ‡EUˆD ÿêà ðîçãëÿäàëàñÿ ó ïiäðîçäiëi QFPD ïðåäñòàâëåíî íà ðèñF QFIHF Ùîá ïðîäåìîíñòðóâàòè îñîáëèâîñòi ðîçïîäiëó ïîòîêó åíåðãi¨D â ìîäåëüíîìó ïðîôiëi iîííî¨ òåìïåðàòóðè ¨¨ çíà÷åííÿ â öåíE òði øòó÷íî âàðiþâàëîñÿ âiä 1.8 äî 10 êåÂF Âèðàç äëÿ ðåçîíàíñíîãî ñòðóìó äà¹òüñÿ ðiâíÿííÿìè @QFPVAE@QFPWAF Ìîæíà áà÷èòèD ùî ïðè íèçüêié öåíòðàëüíié òåìïåðàòóði iîíiâ iD âiäïîE âiäíîD ìàëîìó iíêðåìåíòó íåñòiéêîñòiD ïîòiê åíåðãi¨ íàïðàâëåíèé âñåðåäèíó ïëàçìè @S (r) < 0A ó âñié îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäèF Öüîãî ñëiä áóëî î÷iE êóâàòèD áî ó êâàçiñòàöiîíàðíîìó ñòàíi @γ ≈ 0AD ïîòiê åíåðãi¨ çâîäèòüñÿ äî

S = Sheat D i ñïðÿìîâàíèé âiä îáëàñòi ðîçòàøóâàííÿ äæåðåëà åíåðãi¨ @íåE
ñòiéêî¨ îáëàñòiA äî îáëàñòiD äå åíåðãiÿ ïîãëèíà¹òüñÿ @â äàíîìó âèïàäêó öå îáëàñòüD äå ∇T = 0AF ÍàâïàêèD ïðè âèñîêié öåíòðàëüíié òåìïåðàòóði iîíiâ åíåðãi¨ íà ïåðèôåðiþF Öåé íåñïîäiâàíèé íà ïåðøèé ïîãëÿä ðåçóëüòàò ì๠ïðîñòå ïîÿñíåííÿX ëîêàëüíèé iíêðåìåíò çáóäæåííÿ íåñòiéêîñòi äóæå íåîE äíîðiäíèé @âií ì๠ñèëüíèé ìàêñèìóì ïîáëèçó r ó çîâíiøíié ÷àñòèíi îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäè ç9ÿâëÿ¹òüñÿ ïîìiòíèé ïîòiê

r1 AF ×åðåç öåD êîëè r1

ñóìàðíèé iíêðåìåíò γ âåëèêèéD ç9ÿâëÿ¹òüñÿ ïîòiêD íàïðàâëåíèé âiä r

138

1 0

S (r)/(ωW (a) /a) · 103

−1 −2 −3 25 0

Ti0 , keV γ/ω 1 .8 2.8 · 10−6 2 .0 1.6 · 10−4 2 .5 9.0 · 10−4

−25 −50 T i0

Ti0 , keV γ/ω 2 .5 9.0 · 10−4 5 .0 1.2 · 10−2 10.0 4.8 · 10−2 Ti ne

ne [1019 m−3 ]

Ti , keV

2

1 1 0 .4 0.45 0 .5 0.55 0 .6 0.65 0 0 .7

r/a
ÐèñF QFIHF Ãóñòèíà ïîòîêó åíåðãi¨ ó çáóäæóâàíié ãðàäi¹íòîì òåìïåðàòóðè íà ‡endelstein UEˆ ieiEíåñòiéêîñòi äëÿ ðiçíèõ çíà÷åíü òåìïåðàòóðè iîíiâ ó öåíòðiD àëå ç îäíàêîâèì ðîçòàøóâàííÿì îáëàñòi âåëèêîãî ∇Ti @r1 /a ≈ 0.55D ìåíòó ‘TR“D äå áóëî Ti0 ≡ Ti (0)

˜ r) òà ïàðàìåòðè ïëàçìè âiäïîâiäàþòü åêñïåðèE r2 /a ≈ 0.65AF Ôîðìà ìîäè Φ(

2 êåÂF ÂèäíîD ùî ïðè íèçüêèõ öåíòðàëüíèõ

òåìïåðàòóðàõ ì๠ìiñöå äîöåíòðîâèé ïîòiê åíåðãi¨ @S < 0AD à ïðè âèñîêèõ

äîäàòêîâî ç9ÿâëÿ¹òüñÿ ïîòiê åíåðãi¨ íàçîâíiF Àìïëiòóäà ìîäè çà ìåæàìè îáëàñòi 0.5 íå ìàëèéF

r/a

0.65 íåâåëèêàD àëå ïîòiê åíåðãi¨D ùî ïåðåíîñèòüñÿ íåþD

139

äî r

r2 D áî ïîòiê Smode ãåíåðó¹òüñÿ i ïðè r

r1 D i ïðè r

r1 D i çðîñò๠ç

ðîñòîì iíêðåìåíòó íåñòiéêîñòiF  ïåðøié åêñïåðèìåíòàëüíié êàìïàíi¨ íà ‡UEˆD äå òåìïåðàòóðè iîíiâ

T

2 ê堑TR“D äîöåíòðîâèé ïîòiê åíåðãi¨ ÷åðåç ìàãíiòíó ïîâåðõíþ r1 ìîE

˜ r/a ∼ 0.6D äèâF ðîáîòó TPAD ÿêùî àìïëiòóäà ìîäè ñêëàä๠B/B ∼ 10−3 D ùî

æå êîìïåíñóâàòè íåîêëàñè÷íèé òåïëîâèé ïîòiê íà iîíàõ @∼ 0.05 ÌÂò ïðè íåçíà÷íî ïåðåâèùó¹ òèïîâi âåëè÷èíèD ÿêi ñïîñòåðiãàþòüñÿ â åêñïåðèìåíE òàõF Ç iíøîãî áîêóD ÿêáè òåìïåðàòóðà iîíiâ â öåíòði ñêëàäàëà 5 − 10 êåÂD ãóñòèíà äîöåíòðîâîãî ïîòîêó åíåðãi¨ áóëà á ó 50 − 100 ðàçiâ áiëüøîþD íiæ âèñîêîþ òåìïåðàòóðîþ iîíiâ äîöåíòðîâèé ïîòiê åíåðãi¨ P ìiã áè äîñÿãàòè ïðè T ∼ 2 êåÂD òîáòî ìîæíà î÷iêóâàòèD ùî â åêñïåðèìåíòàõ íà ‡UEˆ ç

1 ÌÂòF

3.3.4. Âèñíîâêè.

Ó öüîìó ïiäðîçäiëi áóëî âèâåäåíî i ïðîàíàëiçîâàE

íî ðiâíÿííÿ @QFUPA @äèâF òàêîæ ðiâíÿííÿ @QFUQAA äëÿ ãóñòèíè ïîòîêó åíåðãi¨ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿF Ç öüîãî ðiâíÿííÿ âèïëèâà¹D ùî äåñòàáiëiçàöiÿ âëàE ñíèõ ìîä ó ïëàçìi îáìåæåíîãî îá9¹ìó ñóïðîâîäæó¹òüñÿ ãåíåðàöi¹þ ðàäiàëüE íîãî ïîòîêó åíåðãi¨F Öåé ïîòiê ùåç๠ëèøå ó íåðåàëiñòè÷íîìó âèïàäêóD êîE ëè γ loc (r) = constD òîáòî ëîêàëüíèé iíêðåìåíò íåñòiéêîñòi ñêðiçü äîðiâíþ¹ ãëîáàëüíîìóF Ïîïåðå÷íèé ïîòiê âèíèê๠âíàñëiäîê ïîðóøåííÿ áàëàíñó ìiæ äîöåíòðîâèì òà âiäöåíòðîâèì ïîòîêàìè åíåðãi¨D ïîâ9ÿçàíèìè iç áiæó÷èìè õâèëÿìèD ç ÿêèõ ñêëàäà¹òüñÿ ìîäàF Çà ïîðóøåííÿ áàëàíñó âiäïîâiä๠ïðèE ñóòíiñòü äîíîðà @äæåðåëàA åíåðãi¨F  àíàëiçi ïðèïóñêàëîñÿD ùî äèñáàëàíñ ïîðiâíÿíî ñëàáêèéD i ùî ôîðìà ìîäè çàëèøà¹òüñÿ ïðèáëèçíî íåçìiííîþ ïiä ÷àñ ðîçâèòêó íåñòiéêîñòi @âiäïîâiäíà óìîâà íàâåäåíà ó ðîáîòi ‘TV“AF ÏîêàçàíîD ùî ïîòiê åíåðãi¨ ìîæíà ðîçäiëèòè íà äâi ÷àñòèíèD îäíà ç ÿêèõ @Smode A ïîñòà÷๠åíåðãiþD ùî ïåðåõîäèòü ó çðîñòàííÿ àìïëiòóäè ìîäè â îáëàñòÿõD äå ìîäà çáóäæó¹òüñÿ ñëàáêî àáî âçàãàëi íå çáóäæó¹òüñÿD à iíE øà @Sheat A íàãðiâ๠ïëàçìó â îáëàñòÿõD äå äîìiíó¹ çãàñàííÿD i âiäïîâiä๠çà

140

ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿF Ïîòiê åíåðãi¨ ìîæå áóòè ñïðÿìîâàíèé i íàçîâíiD i äîñåðåäèíèF Êîëè íåE ñòiéêà îáëàñòü ðîçòàøîâàíà ïîñåðåäèíi îáëàñòi ëîêàëiçàöi¨ ìîäèD óòâîðþE þòüñÿ îáèäâà ïîòîêèD âiäïîâiäíî ïðè áiëüøèõ i ïðè ìåíøèõ ðàäióñàõF ÎñîE áëèâèé iíòåðåñ âèêëèêàþòü âèïàäêèD êîëè íåñòiéêà îáëàñòü ðîçòàøîâàíà íà ïåðèôåði¨D à çãàñàííÿ äîìiíó¹ ó öåíòðàëüíié îáëàñòi ïëàçìèF Ïðè öüîE ìó âiäáóâà¹òüñÿ äîöåíòðîâå ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿD i íåñòiéêiñòü íàãðiâ๠ïëàçìó â öåíòðàëüíié îáëàñòiD îõîëîäæóþ÷è ïåðèôåðiþF Ïðîòå íàâiòü ó òàE êèõ âèïàäêàõ îäíî÷àñíî ç äîöåíòðîâèì êàíàëþâàííÿì ìîæå ãåíåðóâàòèñÿ i âåëèêèé ïîòiê åíåðãi¨ íàçîâíiF Äëÿ öüîãî ïîòðiáíîD ùîá iíêðåìåíò íåñòiéE êîñòi áóâ âåëèêèìF Öå ïîêàçàíî íà ïðèêëàäi çáóäæóâàíî¨ ∇Ti íåñòiéêîñòi ieiEìîäè ó ‡endelstein UEˆD ðîçãëÿíóòî¨ ó ïîïåðåäíüîìó ïiäðîçäiëiF Øòó÷íî âàðiþþ÷è òåìïåðàòóðó iîíiâ ó öåíòði ïëàçìè ‡UEˆ âiä T (0) ∼

êåÂD áóëî ïîêàçàíîD ùî ãóñòèíà ïîòîêó åíåðãi¨ ïðè íåçìiííié àìïëiòóäi ìîäè ëîêàëüíîãî iíêðåìåíòó çáóäæåííÿ çðîñò๠âiä P

2 êå @ùî âiäïîâiä๠ïåðøié åêñïåðèìåíòàëüíié êàìïàíi¨A äî T (0) = 5 − 10

çðîñò๠ìàéæå íà äâà ïîðÿäêèX ïîòiê åíåðãi¨ ÷åðåç ïîâåðõíþ ìàêñèìàëüíîãî Îöiíêè íà îñíîâi äàíèõ ïî áàçîâîìó ñöåíàðiþ s„i‚ çi ñòðóìîì ïëàçìè

0.05 ÌÂò äî P ∼ 1 ÌÂòF

IS ÌÀ ‘UT“ ïîêàçóþòüD ùî ïðè î÷iêóâàíié „eiEíåñòiéêîñòi ç iíêðåìåíòîì

γ/ω ∼ 10−2 D ëîêàëiçîâàíié ïîáëèçó r/a

0.5D òàì ìîæå âèíèêàòè ïîòiê

òàêîãî æ ïîðÿäêó âåëè÷èíè P ∼ 1 ÌÂòF

Íàâåäåíi âèùå îöiíêè çðîáëåíi ç âèêîðèñòàííÿì ïðîñòèõ ìîäåëåé òà

òèïîâèõ ïàðàìåòðiâ íåñòiéêîñòåéF Âîíè íàî÷íî äåìîíñòðóþòü ôiçèêó ÿâèE ùà i âêàçóþòü ïîðÿäîê âåëè÷èí ïîòîêiâ åíåðãi¨D ïðîòå íàâåäåíîãî àíàëiçóD çâè÷àéíîD íåäîñòàòíüîD ùîá ðîáèòè êiëüêiñíi ïåðåäáà÷åííÿF Âàðòî çàçíà÷èòèD ùî çàêëàäåíi â íàâåäåíîìó â öüîìó ïiäðîçäiëi àíàE ëiçi iäå¨ ìîæóòü òàêîæ íàäàâàòèñÿ äî âèâ÷åííÿ âèïàäêiâD êîëè ì๠ìiñöå ïåðåäà÷à åíåðãi¨ ïî ñïåêòðó ìiæ ðiçíèìè êîìïîíåíòàìèD àáî íàïðÿìó ÷åE ðåç âçà¹ìîäiþ ìîäàEìîäàD àáî îïîñåðåäêîâàíî ÷åðåç ïåâíi ãðóïè ÷àñòèíîê i

141

íåëiíiéíi ñïîòâîðåííÿ ôóíêöi¨ ¨õ ðîçïîäiëóF Ðåçóëüòàòè äîñëiäæåíü çäîáóâà÷à ó öüîìó ðîçäiëi âiäîáðàæåíî â ïóáëiE êàöiÿõ ‘UD VD W“F

142

ÂÈÑÍÎÂÊÈ

Ó äèñåðòàöiéíié ðîáîòi ç9ÿñîâàíî îñîáëèâîñòi òðàíñïîðòó íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó ñòåëàðàòîðàõD çîêðåìà â îïòèìiçîâàíèõ @êâàçèiçîäèíàìi÷íèõA ñòåëàE ðàòîðàõ òèïó ‡endelsteinD îòðèìàíî óìîâè çáóäæåííÿ òà çãàñàííÿ àëüôâåE íîâèõ íåñòiéêîñòåé ó ïëàçìi òàêèõ ñòåëàðàòîðiâD òà âèâ÷åíî ïåðåíåñåííÿ åíåðãi¨ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿD ïîâ9ÿçàíå ç öèìè íåñòiéêîñòÿìèF Îñíîâíi ðåçóëüòàòèD îòðèìàíi â äèñåðòàöi¨X
1. Ðîçâèíåíî òåîðiþ ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨ íàäòåïëîâèõ iîíiâ òà çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîñëàáëåííÿ ¨ ¨ íåãàòèâíîãî âïëèâó â îïòèìiçîâàíèõ ñòåëàðàòîðàõ.

ÏîêàçàíîD ùî ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ ïåðåõiäíèõ

÷àñòèíîê ó ñòåëàðàòîðàõ òèïó ‡endelstein ¹ ó êiëüêà ðàçiâ ñèëüíiøîþD íiæ ïåðåäáà÷àëîñÿ ðàíiøå ‘PI“D çàâäÿêè ñòâîðþâàíié ìàãíiòíèì ïîëåì àñèìåòði¨ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè ÷àñòèíêàìè iç ïðîòèëåæíèìè çíàêàìè ïîçäîâE æíüî¨ øâèäêîñòiF Åôåêò ïiäñèëåííÿ äèôóçi¨ çà ðàõóíîê àñèìåòði¨ îñîáëèâî ïîìiòíèé äëÿ ñëàáêî ïåðåõiäíèõ ÷àñòèíîêF Îòðèìàíî íîâi âèðàçè äëÿ àäiàáàòè÷íèõ iíâàðiàíòiâ ðóõó âåäó÷îãî öåíE òðó ÷àñòèíîê ó àêñiàëüíîEíåñèìåòðè÷íîìó ïîëiD ÿêi äàþòü çìîãó âèçíà÷èE òè ðóõ ÷àñòèíîê ó êîìïàêòíèõ @ç ìàëèì ÷èñëîì ïåðiîäiâ N A ïðèñòðîÿõ çi ñêëàäíîþ êîíôiãóðàöi¹þ ìàãíiòíîãî ïîëÿ çi çíà÷íî áiëüøîþ òî÷íiñòþF Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ïîñëàáëåííÿ íåãàòèâíîãî âïëèâó ñòîõàñòè÷íî¨ äèE ôóçi¨ íà óòðèìàííÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâ øëÿõîì çàìèêàííÿ ñåïàðàòðèñ ìiæ ëîêàëüíî ïðîëiòíèìè òà ëîêàëüíî çàõîïëåíèìè îðáiòàìè âñåðåäèíi ïëàçìèX ÿêùî äëÿ ÷àñòèíêè ç ïåâíèì ïiò÷Eêóòîì äðåéôîâi îðáiòè òà ñåïàðàòðèñà çàE ìêíåíi âñåðåäèíi ïëàçìèD òàêà ÷àñòèíêà íå âòðà÷àòèìåòüñÿ ç ïëàçìè çà ÷àñ ïîðÿäêó ÷àñó ñòîõàñòè÷íî¨ äèôóçi¨F ÏîêàçàíîD ùî äëÿ ñòåëàðàòîðiâ òèïó ‡endelstein äiàìàãíåòèçì ïëàçìè äîïîìàã๠çàìêíóòè ñåïàðàòðèñèD òîðîE

143

¨äàëüíà ãàðìîíiêà ìàãíiòíîãî ïîëÿ øêîäèòü öüîìóD à ðîëi äçåðêàëüíî¨ òà ãâèíòîâî¨ ãàðìîíiê çàëåæàòü âiä ¨õ ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ ñîáîþF Çîêðåìà ïîE êàçàíîD ùî ó âèïàäêóD êîëè ãâèíòîâà ãàðìîíiêà ïåðåâèùó¹ äçåðêàëüíó íà ãðàíèöi ïëàçìèD çìåíøåííÿ äçåðêàëüíî¨ ãàðìîíiêèD ÿêîþ íà ‡UEˆ âiäíîñíî ëåãêî êåðóâàòè çà äîïîìîãîþ êðóãîâèõ îáìîòîêD ìîæå çàïîáiãòè âòðàòi íàäE òåïëîâèõ iîíiâ ÷åðåç ñòîõàñòè÷íó äèôóçiþ iç öåíòðàëüíî¨ îáëàñòi ïëàçìè ìàéæå äî ïîëîâèíè ¨¨ ðàäióñàF Òàêîæ ïîêàçàíîD ùî íà çìåíøåííÿ âòðàò ìîæóòü âïëèíóòè çìiíè ðàE äiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ @ÿêi ìîæóòü óòâîðþâàòèñÿD íàïðèêëàäD âiä ïåðåõîäó ìiæ åëåêòðîííèì òà iîííèì êîðåíÿìè ÷è ïiä ÷àñ ôîðìóâàííÿ âíóE òðiøíiõ òðàíñïîðòíèõ áàð9¹ðiâAF Çîêðåìà ïîêàçàíîD ùî âiä9¹ìíå ðàäiàëüíå åëåêòðè÷íå ïîëå äîïîìàã๠çàìêíóòè ñåïàðàòðèñè i ùî ëîêàëiçîâàíi ïîòåíE öiàëüíi áàð9¹ðè ïîëiïøóþòü ôîðìó ñåïàðàòðèñD êîëè îáëàñòü âiä9¹ìíîãî ïîëÿ ëåæèòü âñåðåäèíi îáëàñòi äîäàòíüîãî ïîëÿF Çàïðîïîíîâàíî âèêîðèñòîâóâàòè çàìêíåííÿ ñåïàðàòðèñ âñåðåäèíi ïëàE çìè ó ÿêîñòi äîäàòêîâîãî øâèäêîãî êðèòåðiþ îïòèìiçàöi¨ ñòåëàðàòîðíèõ êîíôiãóðàöiéF
2. Ïîêàçàíî âàæëèâiñòü âïëèâó åëåêòðè÷íãî ïîëÿ íà óòðèìàííÿ ëîêàëüíî çàõîïëåíèõ íàäòåïëîâèõ iîíiâ ó ñòåëàðàòîðàõ.

ÐàE

äiàëüíå åëåêòðè÷íå ïîëå ¹ íåâiä9¹ìíîþ âëàñòèâiñòþ ïëàçìè ó àêñiàëüíîE íåñèìåòðè÷íèõ òîðî¨äàëüíèõ ñèñòåìàõD áî âîíî çàáåçïå÷ó¹ àìáiïîëÿðíiñòü íåîêëàñè÷íî¨ äèôóçi¨ ó öèõ ñèñòåìàõF Ó äèñåðòàöi¨ çíàéäåíîD ùî ïðèñóE òíiñòü âiä9¹ìíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ ñïðèÿ¹ óòðèìàííþ ëîêàëüíî çàõîïëåE íèõ iîíiâF sîíè óòðèìóþòüñÿ åëåêòðè÷íèì ïîëåìD ÿêùî ¨õ åíåðãiÿ íå ïåE ðåâèùó¹ ïåâíî¨ âåëè÷èíèF Åëåêòðè÷íå ïîëåD ëîêàëiçîâàíå ó êiëüöi @òîáòî ó ïåâíîìó iíòåðâàëi çà ðàäióñîìA ìîæå ãðàòè ðîëü òðàíñïîðòíîãî áàð9¹ðà äëÿ íàäòåïëîâèõ iîíiâF ÐåçóëüòàòèD îòðèìàíi çà äîïîìîãîþ àíàëiçó óñåðåE äíåíèõ ðiâíÿíü äëÿ ‡endelstein UEˆ òà ðåàêòîðà reli—sD óçãîäæóþòüñÿ ç ðåçóëüòàòàìè ÷èñëîâîãî ìîäåëþâàííÿ çà äîïîìîãîþ êîäó y‚fsƒ ‘S“F

144

Òàêîæ çíàéäåíîD ùî äîäàòí¹ åëåêòðè÷íå ïîëå ïîãiðøó¹ óòðèìàííÿ ëîE êàëüíî çàõîïëåíèõ iîíiâD êðiì âèïàäêó äóæå âåëèêèõ çíà÷åíü íàïðóæåíîñòi ïîëÿ âiäíîñíî åíåðãi¨ ÷àñòèíîêF Øêiäëèâèé âïëèâ äîäàòíüîãî åëåêòðè÷íîãî ïîëÿ îñîáëèâî ñèëüíèéD êîëè ÷àñòîòà âèêëèêàíîãî íèì æîðñòêîãî îáåðòàE ííÿ ïëàçìè áëèçüêà äî ïåâíèõ ðåçîíàíñíèõ çíà÷åíüF Çàïðîïîíîâàíî âèêîðèñòàííÿ äîäàòíüîãî ðàäiàëüíîãî åëåêòðè÷íîãî ïîE ëÿ iç âiäïîâiäíî ïiäiáðàíèì ïðîôiëåì äëÿ âèäàëåííÿ ãåëi¹âîãî ïîïåëó ó ðåàêòîði reli—sF
3. Âïåðøå ïîêàçàíî ìîæëèâiñòü çáóäæåííÿ àëüôâåíîâèõ âëàñíèõ ìîä ãðàäi¹íòîì òåìïåðàòóðè iîíiâ â íåîñåñèìåòðè÷íèõ ñèñòåìàõ.

Ðîçâèíåíî òåîðiþD ç ÿêî¨ âèïëèâà¹D ùî äåñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ ïðîE

ñòîðîâî¨ íåîäíîðiäíîñòi îñíîâíî¨ ïëàçìè ç ìàêñâåëîâèì ðîçïîäiëîì øâèäE êîñòåé íà àëüôâåíîâi âëàñíi ìîäè â òîðî¨äàëüíèõ ñèñòåìàõ ìîæå ïåðåáîE ðîòè ¨õ çãàñàííÿ ÷åðåç ìåõàíiçì ËàíäàóF ßêùî ïðè öüîìó iíøi ìåõàíiçìè çãàñàííÿ ñëàáêiD çáóäæóâàòèìåòüñÿ àëüôâåíîâà íåñòiéêiñòüF Îòðèìàíî íåE îáõiäíó óìîâó äåñòàáiëiçàöi¨ ìîäè òà ïîêàçàíîD ùî äåñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ çðîñò๠ç ðîñòîì âiäíîøåííÿ ðåçîíàíñíî¨ øâèäêîñòi äî òåïëîâî¨D êîëè öå âiäíîøåííÿ áiëüøå îäèíèöiF äèòè äî äîöåíòðîâîãî ïðîñòîðîâîãî êàíàëþâàííÿ åíåðãi¨ ! åíåðãiÿD ïîãëèE íóòà ìîäîþ ó íåñòiéêié îáëàñòiD íàãðiâ๠ïëàçìó â ñòiéêié îáëàñòiD ðîçòàE øîâàíié ïðè ìåíøèõ ðàäióñàõF ÒåìïåðàòóðíîEãðàäi¹íòíà íåñòiéêiñòü ìîæå âïëèâàòè íà ðîáî÷i ïîêàçíèêè ïëàçìè ó ‡endelstein UEˆD à òàêîæ ìîæå ãðàòè ðîëü â iíøèõ ñòåëàðàòîðàõD çîêðåìà ó vrhD „tEssD rEID …EQwF Çîêðåìà ïîêàçàíîD ùî îïèñàíèé ìåõàíiçì ìîæå ïðèâîäèòè äî çáóäæåE ííÿ àëüôâåíîâî¨ ìîäè ç ÷àñòîòîþ ω ∼ 200 êÃö íà ‡endelstein UEˆ ÷åE ðåç ðåçîíàíñ íà ãâèíòîâié ôóð9¹Eãàðìîíiöi ðiâíîâàæíîãî ìàãíiòíîãî ïîëÿ ç µ = ν = 1D ÿêå ñóïðîâîäæóâàòèìåòüñÿ äîöåíòðîâèì ïðîñòîðîâèì êàE íàëþâàííÿì åíåðãi¨ iîíiâF Çáóäæåííÿ òàêî¨ ìîäè ìîæå ïîÿñíèòè òðèâàëi ÏîêàçàíîD ùî çà ïåâíèõ óìîâ çáóäæóâàíi ∇T íåñòiéêîñòi ìîæóòü ïðèâîE

145

âèñîêî÷àñòîòíi îñöèëÿöi¨D ùî ñïîñòåðiãàëèñÿ â åêñïåðèìåíòi ‘TR“F
4. Âèÿâëåíî âëàñòèâîñòi ïåðåíåñåííÿ åíåðãi¨ ïîïåðåê ìàãíiòíîãî ïîëÿ âëàñíèìè àëüôâåíîâèìè ìîäàìè.

ÏîêàçàíîD ùî äåñòàáiëiçàE

öiÿ âëàñíèõ ìîä ó ïëàçìi îáìåæåíîãî îá9¹ìó ñóïðîâîäæó¹òüñÿ ãåíåðàöi¹þ ðàäiàëüíîãî ïîòîêó åíåðãi¨D ÿêèé ìîæå áóòè ñïðÿìîâàíèé íå ëèøå âiä öåíE òðó äî ïåðèôåði¨D àëå i ç ïåðèôåði¨ äî öåíòðó ïëàçìèF Ïîïåðå÷íèé ïîòiê âèíèê๠âíàñëiäîê ïîðóøåííÿ áàëàíñó ìiæ äîöåíòðîâèì òà âiäöåíòðîâèì ïîòîêàìè åíåðãi¨D ïîâ9ÿçàíèìè iç áiæó÷èìè õâèëÿìèD ç ÿêèõ ñêëàäà¹òüñÿ ìîäàF Ïîòiê åíåðãi¨ ìîæíà ðîçäiëèòè íà äâi ÷àñòèíèD îäíà ç ÿêèõ ïîñòà÷๠åíåðãiþD ùî ïåðåõîäèòü ó çðîñòàííÿ àìïëiòóäè ìîäè â îáëàñòÿõD äå ìîäà çáóäæó¹òüñÿ ñëàáêî àáî âçàãàëi íå çáóäæó¹òüñÿD à iíøà íàãðiâ๠ïëàçìó â îáëàñòÿõD äå äîìiíó¹ çãàñàííÿD i âiäïîâiä๠çà ïðîñòîðîâå êàíàëþâàííÿF ÇíàéäåíîD ùî ãóñòèíà ïîòîêó åíåðãi¨ ñèëüíî çàëåæèòü âiä òåìïåðàòóðè iîíiâX íàïðèêëàäD äëÿ ieiEìîäè ó ‡endelstein UEˆ ïðè íåçìiííié àìïëiòóäi ìîäè çáiëüøåííÿ òåìïåðàòóðè iîíiâ ó öåíòði ïëàçìè ç 2 äî 10 êå âèêëèE ê๠çáiëüøåííÿ ïîòîêó åíåðãi¨ ÷åðåç ïîâåðõíþ ìàêñèìàëüíîãî iíêðåìåíòó íåñòiéêîñòi ìàéæå íà äâà ïîðÿäêèF
5. Âèÿâëåíî ñèëüíèé ñòàáiëiçóþ÷èé âïëèâ ìåõàíiçìó çãàñàííÿ Ëàíäàó íà àëüôâåíîâi ìîäè ó ñòåëàðàòîðàõ.

ÏîêàçàíîD ùî çãàñàííÿ

Ëàíäàó àëüôâåíîâèõ ìîä âiäiãð๠âàæëèâó ðîëü ó ñòåëàðàòîðàõ çàâäÿêè iñíóâàííþ íåîñåñèìåòðè÷íèõ ðåçîíàíñiâF Ïðè íèçüêîìó β D çãàñàííÿ ËàíE äàó ñèëüíî ñòàáiëiçó¹ „ei òà içîìîííi ìîäè ó ñòåëàðàòîði ‡endelstein UEˆF Ïðè âèñîêîìó β D ÿêå ïåðåäáà÷à¹òüñÿ ó ðåàêòîði reli—sD çãàñàííÿ Ëàíäàó íà iîíàõ âåëèêå íå ëèøå äëÿ „eiD à é äëÿ rei òà wei ìîäF Öå ñèëüíå çãàñàííÿ ¹ íàñëiäêîì âiäñóòíîñòi â ñòåëàðàòîðàõ îñüîâî¨ ñèìåòði¨D ùî ïðèE âîäèòü äî iñíóâàííÿ ðåçîíàíñiâ ÷åðåç ãâèíòîâi ãàðìîíiêè ìàãíiòíîãî ïîëÿF Âèíÿòîê ñòàíîâèòü çãàñàííÿ „eiEìîä ó ïëàçìi ç âèñîêèì β D ÿêå âiäáóâàE ¹òüñÿ çà ðàõóíîê òîêàìà÷íîãî ñàéäáåíäEðåçîíàíñóF Çãàñàííÿ âèñîêî÷àñòîE òíèõ ùiëèííèõ ìîä ó ïëàçìàõ ç íèçüêèì β âiäáóâà¹òüñÿ ÷åðåç òîêàìà÷íèé

146

ñàéäáåíäEðåçîíàíñD àëå ðîëü öüîãî çãàñàííÿ íåçíà÷íàD òîìó çà âiäñóòíîñòi áiëüø ñèëüíèõ ìåõàíiçìiâ çãàñàííÿD âèñîêî÷àñòîòíi ùiëèííi ìîäè ëåãøå äåE ñòàáiëiçóþòüñÿ ó ïëàçìàõ ç íèçüêèì β F Äåêðåìåíò çãàñàííÿ içîìîííèõ ìîä ìîæå ïåðåâèùóâàòè iíêðåìåíò äðàéâóD âèêëèêàíîãî ïðîëiòíèìè iíæåêòîE âàíèìè iîíàìèD òîáòî ìåõàíiçì çãàñàííÿ Ëàíäàó íà îñíîâíié ïëàçìi ìîæå çàïîáiãòè äåñòàáiëiçàöi¨ öèõ ìîäF Ðîçâèíåíà òåîðiÿ óçãîäæó¹òüñÿ ç åêñïåðèìåíòîì íà îñíîâíîìó ÿïîíE ñüêîìó ãâèíòîâîìó ïðèñòðî¨ vrhD äå ñïîñòåðiãàëèñÿ äâi „eiEìîäèX ó öüîìó åêñïåðèìåíòi ïëàçìîâå β áóëî íèçüêèìD à β ïó÷êà ! âèñîêèìD i â îáëàñòi ëîE êàëiçàöi¨ „eiEìîä iñíóâàâ âåëèêèé ãðàäi¹íò òèñêó iíæåêòîâàíèõ ÷àñòèíîêF Çàâäÿêè öüîìó çãàñàííÿ áóëî íåäîñòàòíiìD ùîá ñòàáiëiçóâàòè íåñòiéêiñòü öèõ ìîäF

147

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÈÕ ÄÆÅÐÅË

IF Performance and properties of the first plasmas of Wendelstein 7-X /

T Klinger, A Alonso, S Bozhenkov et al. // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2017. –– Vol. 59, no. 1. –– P. 014018. 2. Fusion Minh Physics Quang / Ed. by Mitsuru : Kikuchi, Karl Lackner, p. –– Tran. –– Vienna IAEA, 2012. –– 1129

ISBN: 9789201304100. 3. „ykhyy eF Ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ åíåðãiéíèõ éîíiâ ó ñòåëàðàòîðàõ òèE
ïó ‡endelstein GG …kr—ini—n tourn—l of €hysi™sF " PHIVF " ÒF TQD  TF " ÑF RWS!SHSF RF Tykhyy A., Yakovenko Y. V. Invariants of fast ion motion in stellara-

tors // Ukrainian Journal of Physics. –– 2006. –– Vol. 51, no. 11-12. –– P. 1077–1082. 5. Effects of the radial electric field on the confinement of trapped fast ions in the Wendelstein 7-X and Helias reactor / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, AV Tykhyy et al. // Physics of Plasmas. –– 2006. –– Vol. 13, no. 7. –– P. 072504. 6. Mitigation of stochastic diffusion losses in optimized stellarators / AV Tykhyy, Ya I Kolesnichenko, Yu V Yakovenko et al. // Plasma Physics and Controlled Fusion. –– 2007. –– Vol. 49, no. 6. –– P. 703. 7. Kolesnichenko Y. I., Tykhyy A. V. Landau damping of Alfv´ enic modes in stellarators // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2018. –– Vol. 60. –– P. 125004. 8. Kolesnichenko Y. I., Tykhyy A. V. Temperature gradient driven Alfv´ en instability producing inward energy flux in stellarators // Physics Letters A. –– 2018. –– Vol. 382, no. 37. –– P. 2689–2692.

148

9. Kolesnichenko Y. I., Tykhyy A. V. Radial energy flux during destabilized Alfv´ en eigenmodes // Physics of Plasmas. –– 2018. –– Vol. 25. –– P. 102507. 10. Áàêàé ÀF ÑFD Ñòåïàíîâñêèé ÞF ÏF Àäèàáàòè÷åñêèå èíâàðèàíòûF " ÊèE
åâ X Íàóêîâà äóìêàD IWVIF IIF Northrop T. The adiabatic motion of charged particles. –– New York–

London–Sydney : Interscience Publishers, 1963. 12. Cary J. R., Hedrick C. L., Tolliver J. S. Orbits in asymmetric toroidal magnetic fields // Phys. Fluids. –– 1988. –– Vol. 31. –– P. 1586–1600. 13. Littlejohn R. G. Variational principles of guiding centre motion // J. Plasma Phys. –– 1983. –– Vol. 29. –– P. 111. 14. Littlejohn R. G. Hamiltonian perturbation theory in noncanonical coordinates // J. Math. Phys. –– 1982. –– Vol. 23. –– P. 742. 15. Arnold V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. –– New York : Springer, 1978. –– ISBN: 9781475716931. 16. Cary J. R., Shasharina S. G. Probability of orbit transition in asymmetric toroidal plasma // Phys. Fluids B. –– 1993. –– Vol. 5. –– P. 2098–2121. 17. Boozer A. H. Plasma equilibrium with rational magnetic surfaces // Phys. Fluids. –– 1981. –– Vol. 24. –– P. 1999–2003. 18. Nuhrenberg J., Zille R. Quasi-helically symmetric toroidal stellarators // Phys. Lett. A. –– 1988. –– Vol. 129. –– P. 113. 19. Nuhrenberg J., Lotz W., Gori S. Theory of fusion plasmas // Proc. Joint Varenna-Lausanne Int. Workshop (Varenna, Italy, 1994) / Ed. by E Sindoni, F Troyon, J Vaclavik. –– Bologna : Editrice Compositori, 1994. –– P. 3. 20. Coil system of a Helias reactor / J Kisslinger, C D Beidler, E Harmeyer et al. // Proc. 17th Int. Conf. (Yokohama, 1998). –– Vienna : IAEA, 1999. –– P. 1239. 21. Stochastic diffusion of energetic ions in optimized stellarators / C D Beidler, Ya I Kolesnichenko, V S Marchenko et al. // Phys. Plasmas. ––

149

2001. –– Vol. 8. –– P. 2731. 22. Timofeev A. V. On the constancy of an adiabatic invariant when the nature of the motion changes // Sov. Phys. JETP. –– 1978. –– Vol. 48. –– P. 656. 23. Cary J. R., Escande D. F., Tennyson J. L. Adiabatic-invariant change due to separatrix crossing // Phys. Rev. A. –– 1986. –– Vol. 34. –– P. 4256. 24. Neishtadt A. I. Change of an adiabatic invariant at a separatrix // Sov. J. Plasma Phys. –– 1986. –– Vol. 12. –– P. 568. 25. Vacuum magnetic configurations of Wendelstein 7-X : Rep. : IPP III/270 / Max-Planck-Institut f¨ ur Plasmaphysik ; Executor: T Andreeva : 2002. 26. Cary J. R., Shasharina S. G. Helical plasma confinement devices with good confinement properties // Phys. Rev. Lett. –– 1997. –– Vol. 78. –– P. 674. 27. Grieger G., the W7-X Team. Physics and engineering studies for Wendelstein 7-X // J. Plasma Fusion Res. –– 1998. –– Vol. 1, no. 53. 28. Status of Wendelstein 7-X construction / M Wanner, V Erckmann, J H Feist et al. // Nucl. Fusion. –– 2003. –– Vol. 43. –– P. 416. 29. Collisionless alpha-particle confinement in stellarators / W Lotz, P Merkel, J N¨ uhrenberg, E Strumberger // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 1992. –– Vol. 34. –– P. 1037. 30. Perpendicular neutral beam injection into the stellarator W7-AS / J Baldzuhn, A Werner, H Wobig et al. // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2003. –– Vol. 45. –– P. 891. 31. Beidler C. D., Maassberg H. Implications of the quasi-neutrality condition for neoclassical transport in stellarators // IAEA Technical Meeting on Innovative Concepts and Theory of Stellarators. –– Madrid : IAEA, 2005. –– P. 155.

150

32. Galeev A. A., Sagdeev R. Z. Theory of neoclassical diffusion // Problems of Plasma Theory / Ed. by M A Leontovich. –– New York : Consultants Bureau, 1979. –– Vol. 7. –– P. 257. 33. Itoh K., Itoh S.-I. The role of the electric field in confinement // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 1996. –– Vol. 38. –– P. 1. 34. Lotz W., Nuhrenberg J. Theory of fusion plasmas // Proc. doni, J Vaclavik. –– Bologna : Editrice Compositori, 1992. –– P. 17. 35. Kolesnichenko Y. I. The role of alpha particles in tokamak reactors // Nuclear Fusion. –– 1980. –– Vol. 20. –– P. 727. 36. Gorelenkov N. N., Pinches S. D., Toi K. Energetic particle physics in fusion research in preparation for burning plasma experiments // Nuclear Fusion. –– 2014. –– Vol. 54. –– P. 125001. 37. Chen Liu F. Z. Physics of Alfv´ en waves and energetic particles in burning plasmas // Rev. Mod. Phys. –– 2016. –– Vol. 88. –– P. 015008. 38. Affinity and difference between energetic-ion-driven instabilities in 2D and 3D toroidal systems / Ya I Kolesnichenko, A K¨ onies, V V Lutsenko, Yu V Yakovenko // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2011. –– Vol. 53. –– P. 024007. 39. Slaby C., K¨ onies A., Kleiber R. Numerical investigation of nonperturbative kinetic effects of energetic particles on toroidicity-induced Alfv´ en eigenmodes in tokamaks and stellarators // Phys. Plasmas. –– 2016. –– Vol. 23. –– P. 092501. 40. Nakajima N., Cheng C. Z., Okamoto M. High-n helicity-induced shear Alfv´ en eigenmodes // Phys. Fluids. –– 1992. –– Vol. B 4. –– P. 1115. 41. N¨ uhrenberg C. Computational ideal MHD: Alfv, sound and fast global modes in W7-AS // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 1999. –– Vol. 41. –– P. 1055. Joint Varenna-Lausanne Int. Workshop (Varenna, Italy, 1992) / Ed. by E Sin-

151

42. Alfv´ en continuum and high-frequency eigenmodes in optimized stellarators / Ya I Kolesnichenko, V V Lutsenko, H Wobig et al. // Phys. Plasmas. –– 2001. –– Vol. 8. –– P. 491. 43. Alfv´ en eigenmodes and their destabilization by energetic circulating ions in Wendelstein-line stellarators / Ya I Kolesnichenko, V V Lutsenko, H Wobig, Yu V Yakovenko // Phys. Plasmas. –– 2002. –– Vol. 9. –– P. 517. 44. Li Y. M., Mahajan S. M., Ross D. W. Destabilization of global Alfv´ en eigenmodes and kinetic Alfv´ en waves by alpha particles in a tokamak plasma // Phys. Fluids. –– 1987. –– Vol. 30. –– P. 1466. 45. Weiland J., Lisak M., Wilhelmsson H. Excitation of global alfven modes by trapped alpha particles // Phys. Scr. –– 1987. –– Vol. T16. –– P. 53. 46. Conventional and nonconventional global Alfv´ en eigenmodes in stellarators / Ya I Kolesnichenko, V V Lutsenko, A Weller et al. // Phys. Plasmas. –– 2007. –– Vol. 14. –– P. 102504. 47. Kolesnichenko Y. I., Marchenko V. S., Wobig H. Damping of Alfv´ en eigenmodes on localized electrons in stellarators // Phys. Plasmas. –– 2004. –– Vol. 11. –– P. 4616. 48. Isomon instabilities driven by energetic ions in Wendelstein 7-X / Ya I Kolesnichenko, A K¨ onies, V V Lutsenko et al. // Nucl. Fusion. –– 2016. –– Vol. 56. –– P. 066004. 49. K¨ onies A., Mishchenko A., Hatzky R. From kinetic MHD in stellarators to a fully kinetic description of wave particle interaction // Theory of Fusion Plasmas / Ed. by X Garbet. –– AIP Publishing, 2008. –– Vol. 1069. –– P. 133. 50. Fesenyuk O. P., Kolesnichenko Y. I., Yakovenko Y. V. Geodesic acoustic mode frequency and the structure of Alfv´ en continuum in toroidal plasmas with high q2β // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2012. –– Vol. 54. –– P. 085014.

152

51. Concept of a Helias ignition experiment / H. Wobig, T. Andreeva, C.D. Beidler et al. // Nucl. Fusion. –– 2003. –– Vol. 43. –– P. 889. 52. Effects of fast-ion-orbit width on Alfv´ en instabilities in stellarators: a general theory and its application to a W7-AS experiment / Ya I Kolesnichenko, V V Lutsenko, A Weller et al. // Nucl. Fusion. –– 2006. –– Vol. 46. –– P. 753. 53. Fu G. Y., Van Dam J. W. Excitation of the toroidicity-induced shear Alfv´ en eigenmode by fusion alpha particles in an ignited tokamak // Phys. Fluids B. –– 1989. –– Vol. 1. –– P. 1949–1952. 54. Belikov V. S., Kolesnichenko Y. I., Silivra O. A. Destabilization of the shear Alfv´ en mode by alpha particles and other high energy ions // Nucl. Fusion. –– 1992. –– Vol. 32. –– P. 1399. 55. K¨ onies A. –– private communication. –– 2017. 56. Energetic-ion-driven global instabilities in stellarator/helical plasmas and comparison with tokamak plasmas / K Toi, K Ogawa, M Isobe et al. // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2011. –– Vol. 53. –– P. 024008. 57. Experimental studies of energetic-ion-driven MHD instabilities in Large Helical Device plasmas / S. Yamamoto, K. Toi, S. Ohdachi et al. // Nucl. Fusion. –– 2005. –– Vol. 45. –– P. 326. 58. Interplay of energetic ions and Alfv´ en modes in helical plasmas / Ya I Kolesnichenko, S Yamamoto, K Yamazaki et al. // Phys. Plasmas. –– 2004. –– Vol. 11. –– P. 158. 59. Fast particle confinement with optimized coil currents in the W7-X stellarator / M Drevlak, J Geiger, P Helander, Y Turkin // Nucl. Fusion. –– 2014. –– Vol. 54. –– P. 073002. 60. Kolesnichenko Y. I., Yakovenko Y. V., Lutsenko V. V. Channeling of the energy and momentum during energetic-ion-driven instabilities in fusion plasmas // Phys. Rev. Lett. –– 2010. –– Vol. 104. –– P. 075001.

153

61. Anomalous electron transport due to multiple high frequency beam ion driven Alfv´ en eigenmodes / N.N. Gorelenkov, D. Stutman, K. Tritz et al. // Nucl. Fusion. –– 2010. –– Vol. 50. –– P. 084012. 62. Confinement in Wendelstein 7-X limiter plasmas / M. Hirsch, A. Dinklage, A. Alonso et al. // Nucl. Fusion. –– 2017. –– Vol. 57. –– P. 086010. 63. Major results from the first plasma campaign of the Wendelstein 7-X stellarator / R.C. Wolf, A. Ali, A. Alonso et al. // Nucl. Fusion. –– 2017. –– Vol. 57. –– P. 102020. 64. Poloidal correlation reflectometry at W7-X: radial electric field and coherent fluctuations / T Windisch, A Kr¨ amer-Flecken, J L Velasco et al. // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2017. –– Vol. 59. –– P. 105002. 65. Existence of ion temperature gradient driven shear Alfv´ en instabilities in tokamaks / F Zonca, Liu Chen, J Q Dong, R A Santoro // Phys. Plasmas. –– 1999. –– Vol. 6. –– P. 1917. 66. Excitation of the beta-induced Alfv´ en eigenmode by a plasma flow around the magnetic island / V S Marchenko, A Panwar, S N Reznik, C M Ryu // Nucl. Fusion. –– 2016. –– Vol. 56. –– P. 106021. 67. Electron cyclotron heating for W7-X: Physics and technology / V. Erckmann, P. Brand, H. Braune et al. // Fusion Science and Technology. –– 2007. –– Vol. 52. –– P. 311. 68. Analysis of possible improvement of the plasma performance in JET due to the inward spatial channelling of fast-ion energy / Ya I Kolesnichenko, V V Lutsenko, M H Tyshchenko et al. // Nucl. Vol. 58. –– P. 076012. 69. Alfv´ en eigenmodes measured in the TJ-II stellarator / R Jim´ enez-G´ omez, A K¨ onies, E Ascas´ ıbar et al. // Nucl. Fusion. –– 2011. –– Vol. 51. –– P. 033001. 70. Global Alfv´ en eigenmodes in the H-1 heliac / M J Hole, B D Blackwell, G Bowden et al. // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2017. –– Vol. 59. –– Fusion. –– 2018. ––

154

P. 125007. 71. Observation of 20-400 kHz fluctuations in the U-3M torsatron / M B Dreval, Yu V Yakovenko, E L Sorokovoy et al. // Phys. Plasmas. –– 2016. –– Vol. 23. –– P. 022506. 72. Effects of energetic-ion-driven instabilities on plasma heating, transport and rotation in toroidal systems / Ya I Kolesnichenko, Yu V Yakovenko, V V Lutsenko et al. // Nucl. Fusion. –– 2010. –– Vol. 50. –– P. 084011. 73. Nonlinear simulations of beam-driven compressional Alfv´ en eigenmodes in NSTX / E V Belova, N N Gorelenkov, N A Crocker et al. // Phys. Plasmas. –– 2017. –– Vol. 24. –– P. 042505. 74. Correlation between electron transport and shear Alfv´ en activity in NSTX / D Stutman, L Delgado-Aparicio, N N Gorelenkov et al. // Phys. Rev. Lett. –– 2009. –– Vol. 102. –– P. 115002. 75. Kolesnichenko Y. I., Yakovenko Y. V., Tyshchenko M. H. Mechanisms of the energy transfer across the magnetic field by Alfv´ en waves in toroidal plasmas // Phys. Plasmas. –– 2018. –– Vol. 25. –– P. 122508. 76. Energetic ions in ITER plasmas / S D Pinches, I T Chapman, Ph W Lauber et al. // Phys. Plasmas. –– 2015. –– Vol. 22. –– P. 021807. 77. Painter S. L., Lyon J. F. Alpha-particle losses in compact torsatron reactors // Fusion Technol. –– 1989. –– Vol. 16. –– P. 157. 78. Garabedian P. R. Stellarators with the magnetic symmetry of a tokamak // Phys. Plasmas. –– 1996. –– Vol. 3. –– P. 2483. 79. Overview on Wendelstein 7-X theory / J N¨ uhrenberg, W Lotz, P Merkel et al. // Trans. Fusion Technol. –– 1995. –– Vol. 27. –– P. 71. 80. Development of a robust quasi-poloidal compact stellarator / D J Strickler, S P Hirshman, D A Spong et al. // Fusion Sci. Technol. –– 2004. –– Vol. 45. –– P. 15. 81. Overview of lhd experiments / M. Fujiwara, K. Kawahata, N. Ohyabu et al. // Nucl. Fusion. –– 2001. –– Vol. 41. –– P. 1355.

155

82. Recent results from the Large Helical Device / A Komori, N Ohyabu, H Yamada et al. // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2003. –– Vol. 45. –– P. 671. 83. Mynick H., Chu T., Boozer A. Class of model stellarator fields with enhanced confinement // Phys. Rev. Lett. –– 1982. –– Vol. 48. –– P. 322. 84. Marchenko V. S. Collisionless diffusive fluxes of locally trapped ions in tokamaks with rippled magnetic field // Nucl. Fusion. –– 1995. –– Vol. 35. –– P. 69. 85. Novel physics involved in interpretation of Alfv´ enic activity accompanied by thermal crashes in W7-AS / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, A Weller et al. // 15th International Stellarator Workshop. –– 2005. 86. Analysis and interpretation of observations of Alfv´ enic activity in Wendelstein 7-AS / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, A Weller et al. // 32nd EPS Plasma Physics Conference combined with the 8th International Workshop on Fast Ignition of Fusion Targets / European Physical Society. –– 2005. 87. Confinement of fast ions in the presence of the radial electric field in Wendelstein-line stellarators / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, AV Tykhyy et al. // 13th International Congress on Plasma Physics. –– 2006. 88. Yakovenko Y. V., Tykhyy A., Werner A. Mitigation of stochastic diffusion losses in optimized stellarators // 13th International Congress on Plasma Physics. –– 2006. 89. Effect of the radial electric field on the confinement of fast ions in optimized stellarators / VV Lutsenko, Ya I Kolesnichenko, A Weller et al. // 10th IAEA Technical Meeting on Energetic Particles in Magnetic Confinement Systems. –– 2007. 90. Tykhyy A. Stochastic diffusion of energetic ions in Wendestein-type configurations // 11th IAEA Technical Meeting on Energetic Particles in

156

Magnetic Confinement Systems. –– 2009. 91. Tykhyy A. Stochastic diffusion of energetic ions in Wendelstein-type stellarators // 15th IAEA Technical Meeting on Energetic Particles in Magnetic Confinement Systems. –– 2017. 92. Tykhyy A. V. Generation of inward energy flux by Alfv´ en eigenmodes // International Conference-School on Plasma Physics and Controlled Fusion. –– Kharkiv, 2018.

157

Äîäàòîê À
Ñïèñîê ïóáëiêàöié çäîáóâà÷à çà òåìîþ äèñåðòàöi¨ òà âiäîìîñòi ïðî àïðîáàöiþ ðåçóëüòàòiâ äèñåðòàöi¨

À.1. Ñïèñîê ïóáëiêàöié çäîáóâà÷à çà òåìîþ äèñåðòàöi¨

IF Tykhyy A., Yakovenko Y. V. Invariants of fast ion motion in stellara-

tors // Ukrainian Journal of Physics. –– 2006. –– Vol. 51, no. 11-12. –– P. 1077–1082. 2. Effects of the radial electric field on the confinement of trapped fast ions in the Wendelstein 7-X and Helias reactor / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, AV Tykhyy et al. // Physics of Plasmas. –– 2006. –– Vol. 13, no. 7. –– P. 072504. 3. Mitigation of stochastic diffusion losses in optimized stellarators / AV Tykhyy, Ya I Kolesnichenko, Yu V Yakovenko et al. // Plasma Physics and Controlled Fusion. –– 2007. –– Vol. 49, no. 6. –– P. 703. 4. Kolesnichenko Y. I., Tykhyy A. V. Landau damping of Alfv´ enic modes in stellarators // Plasma Phys. Control. Fusion. –– 2018. –– Vol. 60. –– P. 125004. 5. Kolesnichenko Y. I., Tykhyy A. V. Temperature gradient driven Alfv´ en instability producing inward energy flux in stellarators // Physics Letters A. –– 2018. –– Vol. 382, no. 37. –– P. 2689–2692. 6. Kolesnichenko Y. I., Tykhyy A. V. Radial energy flux during destabilized Alfv´ en eigenmodes // Physics of Plasmas. –– 2018. –– Vol. 25. –– P. 102507. 7. „ykhyy eF Ñòîõàñòè÷íà äèôóçiÿ åíåðãiéíèõ éîíiâ ó ñòåëàðàòîðàõ òèE
ïó ‡endelstein GG …kr—ini—n tourn—l of €hysi™sF " PHIVF " ÒF TQD  TF " ÑF RWS!SHSF

158

VF Novel physics involved in interpretation of Alfv´ enic activity accompa-

nied by thermal crashes in W7-AS / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, A Weller et al. // 15th International Stellarator Workshop. –– 2005. 9. Analysis and interpretation of observations of Alfv´ enic activity in Wendelstein 7-AS / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, A Weller et al. // 32nd EPS Plasma Physics Conference combined with the 8th International Workshop on Fast Ignition of Fusion Targets / European Physical Society. –– 2005. 10. Confinement of fast ions in the presence of the radial electric field in Wendelstein-line stellarators / Ya I Kolesnichenko, VV Lutsenko, AV Tykhyy et al. // 13th International Congress on Plasma Physics. –– 2006. 11. Yakovenko Y. V., Tykhyy A., Werner A. Mitigation of stochastic diffusion losses in optimized stellarators // 13th International Congress on Plasma Physics. –– 2006. 12. Effect of the radial electric field on the confinement of fast ions in optimized stellarators / VV Lutsenko, Ya I Kolesnichenko, A Weller et al. // 10th IAEA Technical Meeting on Energetic Particles in Magnetic Confinement Systems. –– 2007. 13. Tykhyy A. Stochastic diffusion of energetic ions in Wendestein-type configurations // 11th IAEA Technical Meeting on Energetic Particles in Magnetic Confinement Systems. –– 2009. 14. Tykhyy A. Stochastic diffusion of energetic ions in Wendelstein-type stellarators // 15th IAEA Technical Meeting on Energetic Particles in Magnetic Confinement Systems. –– 2017. 15. Tykhyy A. V. Generation of inward energy flux by Alfv´ en eigenmodes // International Conference-School on Plasma Physics and Controlled Fusion. –– Kharkiv, 2018.

159

À.2. Âiäîìîñòi ïðî àïðîáàöiþ ðåçóëüòàòiâ äèñåðòàöi¨

Ðåçóëüòàòè äèñåðòàöi¨ äîïîâiäàëèñÿ íà ISEié Ìiæíàðîäíié ñòåëàðàòîðE íié êîíôåðåíöi¨ @ÌàäðèäD sñïàíiÿD PHHSAD QPEié Êîíôåðåíöi¨ ™ÔÒ ç ôiçèêè ïëàçìè @ÒàðàãîíàD sñïàíiÿD PHHSAD IQEìó Ìiæíàðîäíîìó êîíãðåñi ç ôiçèêè ïëàçìè @Êè¨âD PHHTAD IHEié @Êëîñòåð ÇåîíD Íiìå÷÷èíàD PHHUAD IIEié @Êè¨âD PHHWA òà ISEié @ÏðèíñòîíD ÑØÀD PHIUA Òåõíi÷íèõ êîíôåðåíöiÿõ ÌÀÃÀÒÅ ç åíåðãiéíèõ ÷àñòèíîê ó ñèñòåìàõ ìàãíiòíîãî óòðèìàííÿD Ìiæíàðîäíié êîíE ôåðåíöi¨ òà øêîëi ç ôiçèêè ïëàçìè òà êåðîâàíîãî òåðìîÿäåðíîãî ñèíòåçó @ÕàðêiâD PHIVAD à òàêîæ íà ùîði÷íèõ íàóêîâèõ êîíôåðåíöiÿõ sßÄ ó PHHTD PHHUD PHIU òà PHIV ððF