Кiльця — першi поняття в задачах Лекцiї для студентiв ММФ ХНУ.
Курiнний Г.Ч. Невмержицька О.М. Щугайло О.М Травень — 2015

Змiст
1 Означення кiльця 2 Задачi i вправи, що стосуються означення кiльця 3 Означення пiдкiльця 4 Задачi i вправи, що стосуються пiдкiлець 1 2 11 12

5 Елементи кiльця, що мають спецiальнi властивостi, i кiльця, що мають елементи iз сецiальними властивостями. 18 6 Задачi i вправи, що стосуються кiлець iз спецiальними елементами. 19 7 Вiдповiдi до задач,що стосуються означення кiльця. 8 24

Вiдповiдi i вказiвки до задач, що стосуються поняття “пiдкiльце“ 35

9 Елементи кiльця iз спецiальними властивостями i кiльця iз спецiальними елементами 37

1

Означення кiльця

Визначення 1.1 Кiльцем називають непорожню множину K , на якiй визначено двi двомiснi (бiнарнi) операцiї — додавання та множення так, що виконуються наступнi аксiоми: 1. вiдносно додавання кiльце є комутативною групою, тобто
1

(a) додавання асоцiативне: ∀a, b, c ∈ K (b) додавання комутативне: ∀a, b ∈ K (c) iснує 0: ∀a ∈ K a + 0 = 0 + a = a; (d) у кожного елемента iснує протилежний ∀a∃b ∈ K a + b = b + a = 0; a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c);

. (протилежний до a ∈ K елемент позначають −a.) 2. вiдносно множення кiльце є напiвгрупою, тобто (a) множення асоцiативне ∀a, b, c ∈ K (ab)c = a(bc);

3. мiж собою додавання та множення зв’язаны двома (лвим та правим) дистрибутивними законами (a) ∀a, b, c ∈ K (b) ∀a, b, c ∈ K a(b + c) = ab + ac; (a + b)c = ac + bc.

Якщо в кiльцi K є ткий елемент 1 ∈ K , що 1 · a = a · 1 = a для будь-якого елемента a ∈ K то таке кiльце називають кiльцем з одиницею. Якщо в кiльцi множення комутативне, то таке кiльце називають комутативним.

2

Задачi i вправи, що стосуються означення кiльця
1. Скiльки впорядкованихх пар бiнарних операцiй iснує на двоелементнiй множинi? 2. Скiлькома способами можна на двоелементнiй множинi визначити двi бiнарнi операцiї “додавання“ та “ множення“ так, щоб одержати кiльце? 3. Скiлькома способами на множинi {a, b, c} можна визначити операцiї додавання та множення так, щоб множина {a, b, c} разом з цими операцiями утворювала ккiльце i нулем в цьому кiльцi був елемент a?

2

4. Показати, що якщо K — кiльце i x, y, 0 ∈ K , то 0 x = x 0 = 0, (−x)y = x(−y ) = −xy, (−x)(−y ) = xy.

5. Показати, що якщо K — кiльце i x, y, z ∈ K , то (x − y )z = xz − yz = 0. 6. Нехай K кiльце i n ∈ Z. для a ∈ K визначимо na ∈ K наступним чином:  n    якщо n ≥ 1;  a + a + . . . + a, якщо n = 0; na = 0,    −a − a − . . . − a, якщо n ≤ 1;  
−n

Довести, що для будь-яких a, b ∈ K n(ab) = (na)b = a(nb). 7. Показати, що коли до аксiом кiльця додати акссiому iснування одиницi ∃1∀x 1 · x = x · 1 = x, то аксiма комутативностi додавання випливає iз решти аксiом. 8. Показати, що у визначеннi кiльця аксiома комутативностi додавання не випливає iз решти аксiом. 9. Нехай K — множина, на якiй визначенi операцiї додавання та множення, якi задовольняють увi аксiоми, крiм аксiоми комутитивностi додавання. Показати, що коли в K iснує елемент c ∈ K , на який можна скорочувати злiва, тобто ∀a, b ∈ K ca = cb ⇒ a = b, то K є кiльцем. 10. Показати, що у визначеннi кiльця аксiома iснування протилежного елемента не виводиться iз решти аксiом. 11. Показати, що у виначеннi кiльця (a) аксiома лiвої дистрибутивностi не виводиться iз решти аксiом; (b) аксiома правої дистрибутивностi не виводиться iз решти аксiом 12. Чому множина N натуральних чисел iз звичайними операцiями додавання та множення не утворюють кiльце?
3

13. Довести, що коли кiльце K комутативне, то в ньому є iстинною формула банома Ньютона, тобто ∀a, b ∈ K ∀n ∈ N (a + b) =
n n ∑ i=0 i i n− i Cn ab .

14. Яку найменшу кiiлькiсть елементiв може мати некомутативне кiльце? 15. Показати, що адитивне абелева група A з нульовим множенням, тобто ∀a, b ∈ A ab = 0, утворює кiльце. (Нагадеаємо, що група, в якiй бiнарна операцiя навана додаванням, називається адитивною, а комутативнi групи також називаються абелевими). 16. Показати, що лiнiйнi функцiї iз R в R, тобто функцiї, якi при деяких a, b ∈ R можуть бути заданими виразом f (x) = a · x + b, з поелементним додаванням, тобто (f + g )(x) = f (x) + g (x), i з множенням, яке є суперпозицiєю вiдображень, тобто (f · g )(x) = f (g (x)), не утворюють кiльце. 17. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi класiв лишкiв Zk за модулем k ∈ N, k ≥ 2. Елементами цього кiльця є числа 0, 1, 2, . . . , k − 1 (можлливi ллшки при дiленнi натурального числа на k ). Сума i довбуток цих лишкiв визначається як остача вiд дiлення звичайної суми чи добутку н k . 18. Побудувати таблицi додавання та множення елементiв кiлець лишкiв за модулями 2,3,4. 19. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi комплексних чисел C. Його елементами є вирази вигляду a + b · i, де a, b ∈ R, i — символ. Якщо u = a + bi, v = c + di ∈ C, то u + v = (a + c) + (b + d)i, u · v = (ac − bd) + (ad + bc)i.

При доведеннi можна користуватися властивостями дiйсних чисел як уже вiдомими. 20. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi H кватернiонiв. Його елементами є кватернiони,тобто вирази a + b · i + c · j + d · k , де i, j, k — символи, а
4

a, b, c, d ∈ R. Додавання та множення кватернiонiв здiйсюжть за правилом: якщо u, v ∈ H, u = a1 + b1 · i + c1 · j + d1 · k, v = a2 + b2 · i + c2 · j + d2 · k то u + v = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) · i + (c1 + c2 ) · j + d · k i u · v = (a1 a2 − b1 b2 − c1 c2 − d1 d2 ) + (a1 b2 + b2 a1 c1 d2 − d1 c2 )i+ (a1 c2 − b1 d2 + c1 a2 + d1 b2 )j + (a1 d2 + b1 c2 − c1 b2 + d1 a2 )k. 21. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi B(M ) всiх пiдмножин множини M . Додаванням в цьому кiльцi є симетрична рiзниця, а множенням — перетин пiдмножин, тобто, коли A, B ⊆ M , то A + B = (A \ B ) ∩ (B \ A), A · B = A ∩ B.

22. Пояснити, чому кiльце B(M ) (див. попередню вправу) має комутативне множення, тобто кiльце комутативне. 23. З’сувати, скiнченним чи нескiнченним є кiльце B(M ), якщо множина M скiнченна. 24. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi EndA ендоморфiзмiв адитивної абелевої групи A. Нагадаємо, що ендморфiзмом адитивної абелевої групи A є вiдображення f : A → A такi, що ∀a, b ∈ A f (a + b) = f (a) + f (b); f (−a) = −f (a), f (0) = 0.

Додавання та множення ендоморфiзмв визначається правилами ∀x ∈ A (f + g )(x) = f (x) + g (x), (f · g )(x) = f (g (x)).

25. Довести, що множення в кiльцi ендомофiзмiв адитивної групи цiлих чисел комутативне. 26. Довести, що кiльце ендоморфзмiв прямого добутку двох циклiчних груп одного порядку некомутативне. 27. Є Кiльце K i група G/ Здiйснити перевiрку∑ аксiом кiльця в hegjdjve rskmws K (G). Його елементами є формальнi суми g∈G ag · g , де ag ∈ K для g ∈ G i лише для скiнченної сукупностi доданкiв в цiй сумi коефiцiєнти ag не дорiвнюють нулю. Додавання та множення в цьому кiльцi визначється правилами: якщо a, b ∈ K (g ), ∑ ∑ a= ag · g, b= bg · g,
g ∈G g ∈G

5

то a+b=

∑
g ∈G

(ag + bg ) · g,

a·b=

∑
g ∈G

(

∑

) ag1 · bg2 · g.

g1 g2 =g

28. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi Mn (K ) квадратних матриць n−го порядку (розмiру n × n) над кiльцем K . елементами цього кiльця є квадратнi таблицi (матрицi) елементiв кiльця K , що мають n рядкiв i n стовпчикiв. Додаються i множаться матрицi наступним чином. Якщо A, B, U, V ∈ Mn (K ) a11 a12  a21 a22 A=  ... a n1 a n2  u11 u12  u21 u22 U =  ... un1 un2 то для 1 ≤ i, j ≤ n uij = aij + bij , vij =
n ∑ k=1



  b11 . . . a1n  b21 . . . a2n  ,B =    ... bn1 . . . ann   v11 . . . u1n  v21 . . . u2n  ,V =    ... . . . unn vn1

 b12 . . . b1n b22 . . . b2n  ,  bn2 . . . bnn  v12 . . . v1n v22 . . . v2n  ,  vn2 . . . vnn

aik bkj .

29. Скiльки елементiв мiстить кiльце M2 (Z2 )? 30. З’ясувати, скнченним чи нескiнченним є кiльце Mn (K ) у випадку, коли кiльце скiнченне. 31. Навести приклад такого кiльця K , що кiльце M2 (K ) комутативне. 32. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi M∞ (K ) нескiнченних матриць над кiльцем K iз скiнченною кiлькiстю ненулових елементiв в кожному рядку. Елементами цього кiльця є таблицi (матрицi) елементiв кiльця K , що мають нескiнченну кiлькiсть рядкiв i нескiнченну кiлькiсть стовпчикiв, але в кожному рядку лише скiнченна кiлькiсть ненульових елементiв. Додаються i множаться матрицi як i звичайнi матрицi: якщо A, B, U, V ∈ M∞ (K )    A=      b11 b12 . . . b1n . . . a11 a12 . . . a1n . . .  b21 b22 . . . b2n . . .  a21 a22 . . . a2n . . .      ... ,  ... , B =     bn1 bn2 . . . bnn . . .  an1 an2 . . . ann . . .  ... ...
6

   U =  

   u11 u12 . . . u1n . . . v11 v12 . . . v1n . . .  v21 v22 . . . v2n . . .  u21 u22 . . . u2n . . .     ,V =  ... , ...      un1 un2 . . . unn . . . vn1 vn2 . . . vnn . . .  ... ...
∞ ∑ k=1

то для 1 ≤ i, j < ∞ uij = aij + bij , vij = aik bkj .

33. Показати, що в кiльцi нескiнченних матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових елементiв в кожному рядку iснує одиницi — нейтралний елемент вiдносно множення. 34. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi M∞ (K ) нескiнченних матриць над кiльцем K iз скiнченною кiлькiстю ненулових елементiв в кожному стовпчику. Елементами цього кiльця є таблицi (матрицi) елементiв кiльця K , що мають нескiнченну кiлькiсть рядкiв i нескiнченну кiлькiсть стовпчикiв, але в кожному стовпчику лише скiнченна кiлькiсть ненульових елементiв. Додаються i множаться матрицi як i матрицi в прикладi 32: 35. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в прямому добутку кiлець K = K1 × K2 , (K1 , K2 — деякi кiльця). Елементами кiльця K є впорядкованi пари (a, b) такi, що a ∈ K1 , b ∈ K2 . Додавання та множення таких пар здiйснюється згiдно з правилами ∀a, c ∈ K1 , b, d ∈ K2 (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac, bd).

36. Довести, що прямий добуток комутатвних кiлець комутативний. 37. З’ясувати, чи є скiнченним кiльце K1 × K2 у випадку, коли кiльця K1 , K2 скiнченнi. 38. Нехай K — комутативне кiльце i X ⊂ K така пiдмножина в K , що x, y ∈ X ⇒ x · y ∈ X ; x ∈ X, y ∈ K, y ̸= 0 ⇒ x · y ̸= 0. Введемо на K × X вiдношення еквiвалентностi ∼, вважаючи (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc. Нехай A, B — два класи еквiвалентностi i (a, b) ∈ A, (c, d) ∈ B. Сумою A + B класiв будемо називати клас, що мiстить (ad+bc, bd), а добутком A·B назвемо клас, який мiстить (ac, bd).
7

(a) Перевiрити рефлексивнiсть, симетричнiсть i транзитивнiсть вiдношення ∼. (b) Показати, що операцiї додавання та множення класiв визначченi коректно. (c) Показати, що сукупнiсть класiв разом iз введении операцiями додавання та множення класiв утворюють кiльце. Введене кльце називають кiльцем дробiв iз знаменниками iз X . Клас, який . мiстить (a, b) ∈ K × X , позначають a b 39. Прямим добутком ∏
i∈I

Ki

сiм’ї кiлець Ki ,

inI називають множину вiдображень f : I → ∪i∈I

таких, що для i ∈ I завжди f (i) ∈ Ki , разом з так званими “поточечними“ операцiями додавання та множення, тобто i ∈ I, f, g : I → ∪i∈I Ki ⇒ (f + g )(i) = f (i)g (i), (f g )(i) = f (i)g (i)

Превiрити виконання аксiом кiльця для прямого добутку кiлець. 40. Нехай K — довiльне кльце i X — довiльна непорожня множина. Через K X позначають кiльце функцiй iз X в K . Його елементами є вiдображення f : X → K, а операцiї додавання та множення “поточечнi“,тобто x ∈ X, f, g : X → K ⇒ (f + g )(x) = f (x)g (x), (f g )(x) = f (x)g (x).

Перевiрити виконання аксiом кiльця для K X . 41. Нехай K — кiльце з операцiєю додавання + i операцiєю множення ·. Побудуємо нове двоїсте (чи дуальне) до K кiльце K ∗ . Множини елементiв у заданого кiльця i у двоїстого збiгаються. Також збiгаються операцiї додавання в цих кiльцях. А операцiя множення ⊙ в двоїстому кiльцi визначається таким чином: для a, b ∈ K a ⊙ b = c ⇔ b · a = c. Перевiрити, що множина K ∗ iз так введеними операцiями додавання та множення утворює кiльце.
8

42. Нехай M — множина, K — кiльце i f : M → K — бiєкцiя. Визначимо на M операцiї додавання та множення наступним чином: для a, b ∈ M a + b = f −1 (f (a) + f (b)), a · b = f −1 (f (a) · f (b)). Перевiрити, що множина M iз так введеними операцiями додавання та множення утворює кiльце. 43. Нехай K — кiльце з одиницею 1, операцiєю додавання + i операцiєю множення ·. Введемо на K новi операцiї додавання ⊕ i множення ⊙ правилами: для a, b ∈ K a ⊕ b = a + b − 1, a ⊙ b = a + b − ab. Показати, що K iз так введеними операцiями є кiльцем з одиницею. 44. Нехай K — кiльце i e ∈ / K. Побудуємо кiльце Ke — так зване кiльце iз зовнiшнь приєднаною одиницею. Його елементами є вирази вигляду a + ne, де a ∈ K, n ∈ Z. Додавання та множення таких виразiв здiйснюється згiдно з правилами: якщо a, b ∈ K, m.n ∈ Z, то (a + ne) + (b + me) = (a + b) + (m + n)e, (a + ne) · (b + me) = (ab + ma + nb) + (mn)e. Перевiрити, що кiльце iз зовнiшньо приєднаною одиницею дiйсно є кiльцем. 45. З’ясувати скнченним чи не скiнченнм є кiльце Ke iз зовнiшньо приєднаною одиницею, якщо початкове кiльце K скiнченне. 46. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi K [[x]] формальних степеневих рядiв над заданим кiльцем K . Елементами K [[x]] є формальнi степенев ряди, тобто вирази вигляду a0 + a1 x + a2 x2 + . . . =
∞ ∑ i=0

ai xi ,

ai ∈ K якщо i = 0, 1, 2, 3, . . .

Додавання та множення рядiв здiйснюється згiдно з правилами: якщо A= i A+B =C = то для i = 0, 1, 2, . . . ci = ai + bi , di =
∞ ∑ i=0 ∞ ∑ i=0

ai x ,

i

B=

∞ ∑ i=0

bi xi ,
∞ ∑ i=0

ci x ,

i

A·B =D = ∑
p+q =i

di xi ,

ap bq .

9

47. Перевiрити, що кiльце фомальних степеневих рядiв над комутативним кiльцем з одиницею є комутативним кiльцем з одиницею. 48. З’ясувати, скiнченним чи нескiнченним є кiльце Z2 [[x]]. 49. Здiйснити перевiрку аксiом кiльця в кiльцi формальних степеневих рядiв Лорана над заданим кiльцем K . Елементами цього кiльця є формальнi степенев ряди вигляду ∑ a0 + a1 x + a2 x2 + . . . = ai xi , ai ∈ K якщо i = 0, 1, 2, 3, . . .
i∈Z

в яких серед коефiцiєнтiв ai є лише сккiнченна кiльксiсть ненульових. Додавання та множення рядiв Лорана здiйснюється за тимми ж формулами, що i звичайнi степеневi ряди. 50. Нехай K — кiльце з одиницею, x ∈ K i є вiдобаження K → K, що ставить у вiдповiднiсть кожному елементу a ∈ K елемент a′ ∈ K , причому це вiдображення має властивостi (a + b)′ = a′ + b′ , (ab)′ = a′ b + b′ a

(таке вiдображення називається диференцiюванням в кiльцi K ). Елементами кiльця K [x,′ ] диференцiальних многочленiв з коефiцiєнтами iз K є формальнi суми a0 + a1 x + a2 x2 + . . . =
∞ ∑ i=0

ai xi ,

ai ∈ K якщо i = 0, 1, 2, 3, . . .

в яких лише скiнченна кiлькiсть доданкiв не дорiвнюють нулю (так званi диференцiальнi многочлени). Операцiї додавання та множення диференцiальних многочленiв визначаються правилами: якщо A= i A+B =C = то для i = 0, 1, 2, . . . ci = ai +bi , di = ∑
p+q −m=i m) m ap b( Cq q , ∞ ∑ i=0 ∞ ∑ i=0

ai xi ,

B=

∞ ∑ i=0

bi xi ,
∞ ∑ i=0

ci x ,

i

A·B =D =

di xi ,

(a(0) = a, a(1) = a′ , . . . , a(m) = (a(m−1) )′ ).

10

51. Нехй p ≥ 2 просте число i M множина таких послiдовностей x = (x0 , x1 , x2 , . . .) цiлих чисел, що при кожному k ≥ 0 число xk+1 − xk дiлиться на pk+1 . Введемо на M бiнарне вiдношення ∼ вважаючи, що x = (x0 , x1 , x2 , . . .) ∼ y = (y0 , y1 , y2 , . . .) в тому i тiльки тому разi, коли для будь-якого k = 0, 1, 2, . . . число xk − yk дiлиться на pk+1 . Ввдене бiнарне вiдношення ∼ є вiдношенням еквiвалентностi. Отже це вiдношення розбиває M на класи еквiвалентностi, якi називають p−адичими чи- сумнiв щодо слами. Визначимо операцiї додавання та множення класiв правилами: якщо еквiвалентностi A, B — два класи (два p−адичнi числа i x = (x0 , x1 , x2 , . . .) ∈ A, y = (y0 , y1 , y2 , . . .) ∈ B,

то сумою A + B буде клас, якому належить послiдовнiсть x + y = (x0 + y0 , x1 + y1 , x2 + y2 , . . .), а добутком AB буде клас, якому належить послiдовнiсть x · y = (x0 y0 , x1 y1 , x2 y2 , . . .).

3

Означення пiдкiльця

Визначення 3.1 Нехай на множинi L заданi операцiї додавання ⊕ i мнження ⊙, разом з якими L утворює кiльце,i на множинi K заданi операцiї додавання + i мнження ·, разом з якими K утворює кiльце. Кльце L називається пiдкiльцем кiльця K , якщо виконуються наступнi умови: 1. L ⊆ K ; 2. 0 кiльця K i 0 кiльця L збiгаються ; 3. Для кожного елемента a ∈ L протилежний елемент −a в кiльцi L i протилежний елемент −a в кiльцi L збiгаються; 4. ∀a, b ∈ L a + b = a ⊕ b; 5. ∀a, b ∈ L a · b = a ⊕ b. Iз означення пiдкiльця випливає, що для перевiрки того, що L ⊆ K є пiдкiльцем кiльця K з операцiями додавання + , множення · , нулем 0 та протилежним −x для x ∈ K потрiбно переконатись, що 1. 0 ∈ L (наявнiсть нуля); 2. ∀a, b ∈ L a + b ∈ L (замкненiсть пiдмножини L вiдносно додавання); 3. ∀a, b ∈ L a · b ∈ L (замкненiсть пiдмножини L вiдносно множення);
11

4. ∀a ∈ L

− a ∈ L (наявнiсть у кожного елемента iз L протилежного);

Три перевiрки — наявнiсть нуля, наявнiсть протилежного та замкненiсть вiдносно додавання можна замiнити однiєю перевiркою: • ∀a, b ∈ L a − b ∈ L (замкненiсть пiдмножини L вiдносно вiднiмання); Визначення 3.2 Пiдкiльце, що збiгається iз усiм кiльцем, i кiльце, о складається лише iз нуля (нульове пiдкiльце), називають тривiальними пiдкiльцями. Решта пiдкiлець називають нетривiальними.

4

Задачi i вправи, що стосуються пiдкiлець

52. Показати, що непорожня пiдмножина L кiльця K буде пiдкiльцем кiльця K тодi i тiльки тодi, коли пiдмножина L замкнена вiдносно вiднiмання та вiдносно множення в K , тобто для будь-яких x, y ∈ L x − y ∈ L, xy ∈ L.

В наступних вправах 53 — 118 потрiбно з’ясувати, чи буде пiдмножина K1 ⊆ K пiдкiльцем кiльця K 53. K1 = mZ = {0, ±m, ±2m, ±3m, . . .}, 54. K1 = mZ, K = nZ, m — дiльник n. K = Z, m ∈ N.

55. K1 − Z(i) = {a + bi|a, b ∈ Z}, K = C. √ √ 56. K1 = Z(i 3) = {a + b 3i|a, b ∈ Z}, K = C. √ √ 57. K1 = Z(i 5) = {a + b 5i|a, b ∈ Z}, K = C. √ √ 58. K1 = Q(i 2) = {a + b 2i|a, b ∈ Q}, K = C. √ √ 59. K1 = Q(i 3 2) = {a + b 3 2i|a, b ∈ Q}, K = C. {m } 60. K1 = |m, n ∈ Z, n ̸= 0 , K = Q. 2n { } m 61. K1 = |m, n ∈ Z, , K = Q. 2n + 1 { } 2m + 1 62. K1 = |m, n ∈ Z, n ̸= 0 , K = Q. n 63. K1 = Zn , 64. K1 = Z5 , K = Z. K = Z6 .
12

сумнiвний приклад

65. K1 = {0, 3}, 66. K1 = Z6 ,

K = Z6 . K = Z12 . K = Z12 . K = Z12 .

67. K1 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, 68. K1 = {0, 2, 4, 6, 8, 10}, 69. K = B(M ),

K1 — сукупнiсть скiнченних пiдмножин множини M .

70. K = B(M ), K1 — сукупнiсть пiдмножин множини M , що мiстять заданий елемент a ∈ M . 71. K = B(M ), K1 — сукупнiсть пiдмножин множини M , що не мiстять заданий елемент a ∈ M .. 72. K = B(M ), K1 = B(M1 ), M1 ⊆ M. 73. K — адитивна абелева група з нульовим множенням, K1 пiдгрупа цiєї групи. 74. K = End A, K1 = {f ∈ End A|f (A) ⊆ B }. Тут A — адитивне абелева група, B — її пiдгрупа. 75. K = RR , K1 = R ⟨x⟩ — множина функцiй iз R в R, якi при деяких n ∈ N ∪ {0}, a0 , a1 , . . . an можуть бути заданi виразом f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn . 76. K = RR , K1 — множина функцiй iз R в R, якi при деяких n ∈ N∪{0}, R, 0 ≤ k ≤ n можуть бути заданi виразом ∑ (ak cos kx + bk sin kx) . f (x) =
0≤k≤n

ak , b k ∈

77. K = RR , K1 — множина парних функцiй iз R в R 78. K = RR , K1 — множина функцiй iз R в R, , якi при деяких n ∈ N ∪{0}, R, 0 ≤ k ≤ n можуть бути заданi виразом ∑ f (x) = ak cos kx.
0≤k≤n

ak ∈

79. K = RR , K1 — множина непарних функцiй iз R в R 80. K = RR , K1 — множина функцiй iз R в R, якi при деяких n ∈ N ∪ {0}, R, 0 ≤ k ≤ n можуть бути заданi виразом ∑ f (x) = ak sin kx.
0≤k≤n

ak ∈

13

81. K = RR , K1 — множина функцiй iз R в R, яi приймають знчення 0 в точцi 0. 82. K = R ⟨x⟩ , K1 — множина многочленв з дiйсними коейiцiєнтам, що дiляться на x − 1. 83. K = RR , K1 — множина многочленiв з цiлими коефiцiєнтами i парним вiльним членом. 84. K = RR , K1 — множина многочленiв з цiлими коефiцiєнтами i парним старшим членом. 85. K = RR , K1 — множина диференцiйовних функцiй iз R в R. 86. K = RR , K1 — множина таких диференцiйовних функцiй f iз R в R, що f ′ (0) = 0. 87. K = RR , K1 — множина функцiй iз R в R, що приймають значення 1 в точцi 0. 88. K = RR , K1 — множина таких диференцiйовних функцiй iз R в R, що f ′ (0) = 1. 89. K = RR , K1 — множина функцiй iз R в R, що прямують до нуля, коли змiнна прямує до нескiнченностi. 90. K = RR , K1 — множина iнтегровних на всiй прямiй функцiй iз R в R. 91. K = R[[x]], K1 — множина рядiв iз скiнченною кiлькiстю ненульових доданкiв (K1 називають кiльцем формальних многочленiв над полем дiйсних чисел i позначають R[x] 92. K = R[[x]], K1 — множина рядiв iз ненульовим радiусом збiжностi. 93. K = R[[x]], K1 — множина рядiв iз нульовими коефiцiєнтами при непарних степенях. 94. K = R[[x]], K1 — множина рядiв iз нульовими коефiццiєнтами при парних степенях. 95. K = R[[x]], K1 — множина рядiв,у яких першi n коефiццiєнтв дорiвнюють нулю (n = 0, 1, 2, . . . — фiксоване чило). 96. K = R[[x]], K1 — множина рядiв, що задовольняють лiнiйним рекурентним спiввiдношенням, тобто ряди a=
∞ ∑ k=0

ak xk ,

ak ∈ R,
14

k = 0, 1, 2, . . . ,

для яких iснують m ≥ 1, i числа u1 , u2 , . . . , um такi, що an + u1 an−1 + u2 an−2 + . . . + um an−m = 0 для всiх n = m, m + 1, m + 2, . . . 97. K = RR , K1 — множина функццiй, що приймають значння 0 за мжами певного вiдрiзка. 98. K = RR , K1 — множина функццiй, що приймають значння 0 у скiнченнiй множинi точок. 99. K = M2 (R) — кiльце квадратних матриць розмiру 2 на 2 над полем дiйсних чисел, K1 = M2 (Z). 100. K = M2 (R), K1 = 101. K = M2 (R), K1 = 102. K = M2 (R), K1 = 103. K = M2 (R), K1 = {( ) |a, b, c, d ∈ R, {( {( {( a 0 0 a ) } |a ∈ R .

a b b a a b −b a

)

} |a, b ∈ R . } |a, b ∈ R . } a+c=b+d .

)

a b c d

104. K = Mn (R) — кiльце квадратних матриць розмiру n на n над полем дiйсних чисел, K1 — множина тих матриць iз K , якi мають нульовий i−й рядок (i, 1 ≤ i ≤ n — фiксоване число). 105. K = Mn (R) — кiльце квадратних матриць розмiру n на n над полем дiйсних чисел, K1 — множина тих матриць iз K , якi мають нульовий i−й стовпчик (i, 1 ≤ i ≤ n — фiксоване число). 106. K = M2 (R), K1 = 107. K = M2 (C), K1 = {( {( a b 3a b ) } |a, b ∈ R . } |z1 , z2 ∈ C .

z1 z2 −z 1 −z2
15

)

108. K = M4 (R),

 a b c d    −b a −d c K1 =   − c d a −b    −d −c b a

      |a, b, c, d ∈ R .     

109. K = Mn (R), K1 — сукупнiсть верхньо-трикутних матриць iз дiйсними елементамию 110. K = Mn (R), K1 — сукупнiсть нижньо-трикутних матриць iз дiйсними елементамию 111. K = Mn (R), K1 — сукупнiсть матриць iз цiлими елементами, що мають нульовий визначник. 112. K — кiльце нескiнченних матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових елементiв у кожному стовпчику. K1 — пiдмножина, що складається iз матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових рядкiв. 113. K — кiльце нескiнченних матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових елементiв у кожному рядку. K1 — пiдмножина, що складається iз матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових стовпчикiв. 114. K — кiльце нескiнченних матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових елементiв у кожному рядку. K1 — пiдмножина, що складається iз матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових елементiв. 115. K = Z × Z, 116. K = Z × Z, K1 = {(a, a)|a ∈ Z} . K1 = {(2k, 2n), (2k + 1, 2n + 1)|k, n ∈ Z} . ∏
n=1,2,3,...

117. Позначимо p — деяке просте число. K= Zpn ,

K1 ⊆ K складається iз тих вдображень f : N → ∪n=1,2,3,... Zpn , що задовольняють умову: f (n + 1) − f (n) дiлиться на pn для будь-якого n = 1, 2, . . .. 118. Перевiрити, що пiдкiльце кiльця M2 (Z), що мiстить матрицi ( ) ( ) 1 0 0 1 , 0 0 1 0 збiгається iз усiм кiльцем M2 (Z).
16

119. Нехай K — комутативне кiльце з одиницею. Розглянемо множину K ⟨x⟩ = функцiй f iз K в K , обчислення яких можна проводити за формулою f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , при деяких n = 0, 1, 2, . . . i a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ K. Перевiрити, що K ⟨x⟩ = є пiдкiльцем кiльця всiх функцiй iз K в K — це кiльце називають кiльцем многочленiв iз коефiцiєнтами iз K в K або кiльцем полiномальних функцiй„ щоб вiдрiзнити вiд кiльця формальних многочленiв. 120. Нехай K кiльце i X ⊆ K. Перевiрити, що множина K1 = {a ∈ K |ax = xa для всiх x ∈ X } є пiдкiльцем кiльця K , його називають централiзатором пiдмножини X . 121. Нехай K — кiльце i a ∈ K. Перевiрити, що кожна iз множин (a) aK = {ax|x ∈ K }; (b) Ka = {xa|x ∈ K }; (c) aKa = {axa|x ∈ K }, є пiдкiльцем кiльця K . 122. Нехай K — кiльце i K1 , K2 — його пiдкiльця. Показати, що K1 ∪ K2 є пiдкiльцем кiльця K в тому i тiльки тому випадку, коли або K1 ⊆ K2 , або K2 ⊆ K1 . 123. Показати, що сума K1 + K2 = {x + y |x ∈ K1 , y ∈ K2 } пiдкiлець K1 , K2 ⊆ K не обов’язково є кiдкiльцем в K . 124. Нехай Ki (i ∈ I ) певна сукупнiсть пiдкiлець кiльця K . Показати, що ∩ Ki
i∈I

є пiдкiльцем кiльця K . 125. Показати, що матрицi  a1  0   ... 0 вигляду 0 a2 ... 0  ... 0 ... 0   ... ...  . . . an

(a1 , a2 , . . . , an ∈ R)

(так званi дiагональнi матрицi) утворюють пiдкiльце кiльця Mn (R).
17

5

Елементи кiльця, що мають спецiальнi властивостi, i кiльця, що мають елементи iз сецiальними властивостями.
• оборотним справа (вiдповдно, злiва), якщо iснує x ∈ K такий, що ax = 1 (вiдповiдно, xa = 1); • правим (вiдповiдно, лвим) дiльником нуля, якщо для деякого елемента x ∈ K виконуєтья рiвнiсть xa = 0 (вiдповiдно, ax = 0); • дiльником нуля, якщо вiн є або правим або лiвим дiльником нуля; • центральним, якщо для будь-якого x ∈ K виконується рiвнiсть ax = xa; • iдемпотентом (або iдемпотентним елементом), якщо a2 = a; • нiльпотентом (або нiльпотентним елементом), якщо an = 0 для деякого n ∈ N; • нерозкладним, якщо a ̸= 0 i в будь-якому розкладеннi в добуток двох множникiв a = xy один iз множинкiв x, y оборотний.

Визначення 5.1 Нехай K кiльце з одиницею 1. Елемент a ∈ K називається

Визначення 5.2 Ненульове кiльце з одиницею називається • тiлом, якщо в ньому всi ненульовi елементи оборотнi; • полем, якщо воно є комутативним тiлом; • областю цiлiсностi, якщо воно комутативне i в ньому немає дiльникiв нуля; • булевим. якщо вньому всi елементи є iдемпотентами. Визначення 5.3 Область цiлiсностi K називається факторiальним кiльцем (або кiльцем з однозначним розкладенням на нерозкладнi множники), якщо в K кожен неооротний елемент має однозначне розкладення в добуток нерозкладних множинiв. Це означає, що коли a ∈ K ненульовий необоротний елемент, то iснують нерозкладнi елементи p1 , p2 , . . . , pn n ∈ N i обортний елемент u ∈ K такi, що a = u · p1 · p2 · . . . · pn . Крiм того, якщо є два такi рзкладення a = u · p1 · p2 · . . . · pn = v · q1 · q2 · . . . · qm , в яких u, v — оборотнi елементи, а p1 , p2 , . . . , pn , q1 , q2 , . . . , qm — нерозкладнi, то m = n i змiною нумерацiї нерозкладних елементiв можна досягти того, що pk = uk · qk , для деяких оборотних елементiв u1 , u2 , . . .
18

k = 1, 2, . . .

6

Задачi i вправи, що стосуються кiлець iз спецiальними елементами.

126. Перевiрити, що коли a ∈ K оборотний елемент, то −a i a−1 також оборотнi елементи, до того ж (a−1 )−1 = a, (−a)−1 = −(a−1 ).

127. Перевiрити, що коли a, b ∈ K оборотнi елементи, то a також є оборотним елементом, i (ab)−1 = b−1 a−1 . 128. Знайти оборотнi елементи кiлець Z; Zn ; M2 (Z); R[x]

i кiльця End A, де A — абелева група. 129. Нехай K — комутативне кiльце з одиницею i ∑ ak xk ∈ K [[x]]. f=
k=0,1,2,...

Показати, що ряд f оборотний в кiльцi K [[x]] тодi i тiльки тодi, коли елемент a0 оборотний в кiльцi K 130. Знайти умову оборотностi цiлого p−адичного числа (див. вправу 51). 131. Перевiрити, що квадратна матриця з коефiцiєнтами iз комуттативного кiльця з одиницею оборотна тодi i тiльки тодi, коли оборотним є виначник цiєї матрицi. 132. Перевiрити, що матриця iз кiльця Mn (Z) оборотна тодi i тiльки тодi, коли визначник цiєї матрицi дорiвнює +1 або -1. 133. Перевiрити, що матриця iз кiльця Mn (R[x]) оборотна тодi i тiльки тодi, коли визначник цiєї матрицi є формальним многочленом нульового степеня, тобто числом. 134. Нехай A — прямий добуток циклiчних груп одного i того ж порядку. Показати, що в кiльцi ендоморфiзмiв цiєї групи є оборотнi справа але не оборотнi злiва елементи, i є елементи, якi оборотнi злiва, але не оборотнi справа. 135. Показати, що коли в кiльцi K є ждиний елемент e ∈ K такий, що ex = x для кожного елемента x ∈ K , то e — одиниця кiльця K .

19

136. Нехай K — кiльце з одиницею i елементи x, y ∈ K такi, що xy = 1 i yx ̸= 1. Перевiрити, що (a) y m xm = ̸ 1 для m = 1, 2, 3, . . .; m m ̸ y n xn для m, n = 1, 2, 3, . . . , (b) y x = m ̸= n.

137. Нехай x — оборотний справа елемент кiльця. Перевiрити, що наступнi умови рiвносильнi (a) x має бiлььш нiжодин правий обернений; (b) x не оборотний (оберненого не має); (c) x — лiвий дiльник нуля. 138. Показати, що оборотнi елементи кiльця з одиницею утворюють групу вiдносно множення. 139. Знайти кiльце, група оборотний елементiв в якому iзоморфна групi Z2 ; {1}; R \ {0}.

140. Показати, що комплекснi числа утворююь поле. 141. Показати, що кiльце класiв лишкiв за простим модулем утворюють поле. √ 142. Показати, що Q( 2) полем. 143. Показати, що формальнi ряди Лорана з коефiцiєнтами iз поля утворюють поле. 144. Показати, що скiнченна область цiлiсностi є полем. 145. Показати, що в скiнченному полi F для буудь-якого a ∈ F знйдеться ненульове натуральне число n таке, що an = 1. 146. Побудувати поле, що складається iз чотирьох елементiв. 147. Показати, що кватернiони утворюють тiло, але не утворюють поле. 148. Нехай є послiдовнiсть тiл, кожне з яких є пiдтiлом наступного тiла. Довести, що об’єднання усiх тiл є тiлом. 149. Показати, що в прмому добутку тiл для будь-якого елемента a знайдеться елемент b такий, що aba = a i bab = b. 150. Перевiрити, що кiльце з одиницею буде тiлом тодi i тiльки тодi, коли для будь-якого елемента x ̸= 1 знайдеться елемента y такий, що x + y − xy = 0,
20

y + x − yx = 0.

151. Показати, що дiльник нуля не може бути оборотним елементом кiльця. З цiєї причини поле завжди є областю цiлiсностi. 152. Показати, що функцiя iз R в R є оборотним елементом тодi i тiльки тодi, коли вона не є дiльником нуля. 153. Показати, що елемент скiнченного кiльця з одиницею оборотний тодi i тiльки тодi, коли вiн не є дiльником нуля. 154. Знайти всi дiльники нуля в кiльцi ZN ; Z18 ; Z × Z.

155. Знайти всi дiльники нуля в кiльцi K1 × K2 , де K1 , K2 — деякi кiльця. 156. Перевiрити, що в кiльцi нескiнченних матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових рядкiв всi матрицi є дiльниками нуля. 157. Показати, що в кiльцi K ⊆ ZN , о складається iз послiдовностей, що мають скiнченну кiлькiсть ненульових елементiв, всi елементи є дiльниками нуля. 158. Показати, що формальний многочлен f (x) =
n ∑

ai xi ∈ K [x]

з коефiцiєнтам iз ненульового комутативного кiльця K є дiльником нуля тодi i тiльки тода, коли для дякого b ∈ K , b ̸= 0 i для будь-якого i = 0, 1, 2, . . . , n виконується рiвнiсть ai · b = 0. 159. Показати, що кiльце формальних многочленiв над обалстю цiлiсностi є областю цiлiсностi. 160. Показати, що кiльце цiлих p−адичних чисел є областю цiлiсностi. 161. Знайти iдемпотенти кiльця Z; ZN ; Z18 ; Z36 ; End A.

162. Показати, що кои e— iдемпотент в кiльцi з одиницею, то 1 − e також є iдемпотентом. 163. Показати, що кожен вiдмiнний вiд 1 iдемпотент кiльця з одиницею є iдемпотентом.

21

164. Нехай A ненульова i не одинична матриця в кiльцi M2 (K ) над полем K . Показати, що A є iдемпотентом тодi i тiльки тодi, коли для деякої оборотної матрицi T ∈ M2 (K ) виконується рiвнiсть ) ( 1 0 −1 A=T T. 0 0 165. Нехай K — кiльце з одиницею 1 i G — кнченна група. Показати, що коли елемент n · 1 оборотний в кiльцi K (n = |G|), то елемент ∑ (n · 1)−1 · g
g ∈G

є iдемпотентом в кiльцi K (G). 166. Нехай K — кльце з одиницею i елементи x, y ∈ K такi, що xy = 1, a yx ̸= 1. Показати, що (a) елементи y 2 x2 , yx − y 2 x2 , 1 − yx + x2 y 2 є iдемпотентами; (b) в кiьцi K для удь-якого натурального n можна вказати n рiних взаємно ортогональних iдемпотентiв, тобто iснуюють iдемпотенти e1 , e2 , . . . , en такi, що ei · ej = 0 для будь-яких i ̸= j, 1 ≤ i, j ≤ n. 167. Скажемо, що iдемпотент e є нерозкладним, якщо в будь-якому представленнi e = f + g у виглядi двох переставних iдемпотенiвт (f 2 = f, g 2 = g, gf = f g ) один iз доданкв дорiвнює нулю. 168. Показати, що коли в кiльцi K для будь-якого елеента a ∈ K знайдеться iдемпотент e ∈ K такий, що aK = eK , то в цьому кiльцi для будь-якого елеента a ∈ K знайдеться елемент ∈ K такий, що aK + bK = K, aK ∩ bK = {0}.

А чи було групове клiьце?

169. Показати, що кiльце пiдмножин B(M ) булеве. 170. Показати, що коли I — деяка непорожня множина, то кiльце ZI булеве. 171. Показати, що коли M — нескiнченна множина, то пiдкiльце кiльця B(M ), що складається iз скiнченних пiдмножин, не має одиницi i всi його елементи є iдемпотентами. 172. Показати, що в будь-якому бульовому кiльцi K для будь-якого елемента a ∈ K знайдеться елемент binK такий, що aba = a,
22

bab = b.

173. Знайти нiльпотенти кiльця Z18 ; Z36 . 174. Показати, що нiльпотенти комутативного кiльця утворюють пiдкiльце. 175. Навести приклад двох нiльпотентiв кiльця M2 (Z), сума яких не є нiльпотентом. 176. Перевiрити, що матриця  0 1 0 A= 0 0 1  0 0 0 

є нiльпотентом в кiльцi M2 (R). 177. Показати, що коли кльце K не має ненулових нiльпотентiв, то для будь-якої непорожньої множини M кiльце K M також не має ненульових нiльпотентiв. 178. Показати, що формальний многочлен над комутативним кльцем є нiльпотентом тодi i тiльки тодi, коли всi його коефiцiєнти є нiльпотентами. 179. Навести приклад формального степеневого ряда з нiльпотентними коефiцiєнтами, який не був би нiльпотентом. 180. Нехай K — кiльце з одиницею, Q ⊆ K , a ∈ K — нiльпотент. Тодi рiвняння x2 = 1 − a має в K розв’язок. 181. Показати, що коли a — нiльпотент комутативного кiльця з одиницею, то для будь-якого x ∈ K елементи 1 − ax, 1 − xa оборотнi. Зокрема, оборотним уде елемент 1 − a. 182. Показати, що формальний многочлен над комутативним кiльцем з одиницею оборотний тодi i тiльки тодi, коли вiльний член цього многочлена є оборотним, а решта коефiцiєнтiв — нiльпотенти. 183. Показати, що в кiльцi Z10 немає ненульови нiльпотентiв. 184. Нехай n ∈ N натуральне число, n ≥ 2 i
αk α2 1 n = pα 1 · p2 · . . . ·k ,

k ≥ 11

де p1 , p2 , . . . , pk — рiзнi простi числа, α1 ≥ α2 . . . αk ≥ 1. Показати, що число m ∈ Zn є нiльпотентом в кiльцi Zn тодi i тiльки тодi, коли числа p1 , p2 , . . . , pk є дiльниками числа m. 185. Показати, що коли A — абелева група, то ендоморфiзм f : A → A є нiльпотеном в кiльцi End A тодi i тiльки тодi, коли для деякого натурального n ∈ N, n ≥ 1 A = B0 ⊇ f (A) = B1 ⊇ f (B1 ) = B2 ⊇ . . . f (Bn−1 ) = Bn = 0.
23

186. Знайти нiльпотенти кiльця ендоморфiзмiв цiклiччної групи порядку p2 , p — просте число. 187. Перевiрити, що коли K — поле, то в кiльцi Mn (K ) можна знайти матрицю A таку, що An = 0, але An−1 ̸= 0, але не iснує матрицi B ∈ Mn (K ) такої, що B n+1 = 0, але B n ̸= 0. 188. Перевiрити, що центральнi елементи кiльця утворюють пiдкiльце. 189. Знайти центральнi елементи алгебри кватернiонiв. 190. Нехай K кiльце з одиницею i A ∈ Mn (K ). Показати, що матриця A є центральним елементом в Mn (K ), коли для деякого a ∈ K матриця A скалярна, тобто має вигляд   a 0 ... 0  0 a ... 0     ... ... ... ... . 0 0 ... a 191. Показати, що в кiльцi нескiнченних матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових рядкiв над кiльцем з одиницею центральним елемнтом є лише нульова матриця. √ √ √ 192. Показати, що в кiльцi Z(i 3) елементи 2, 1 + i 3, 1 − 3 є нерозкладними. √ √ √ 193. Показати, що в кiльцi Z(i 5) елементи 3, 7, 1 = i2 5, 1 − 2 5 є нерозкладними. 194. Показати, що кiльця не факторiальнi. 195. Показати, що кiльця Z, факторiальнi. 196. Показати, що кiльце цiлих p−адичних чисел факторiальне. C ⟨x⟩ √ Z(i 3), √ Z(i 5)

7

Вiдповiдi до задач,що стосуються означення кiльця.
1. 256. 2. 4. 3. 2.
24

4. Скористатися рiвностями x0 = x(0 + 0) = x0 + x0, рiвностям (−x)y + xy = (−x + x)y = 0y = 0, та (−x)(−y ) − xy = (−x)(−y ) + (−x)y = (−x)(−y + y ) = 0. 7. Cкористатися спiввiдношеннями (−1)x = −x та 0 = (x + y ) − (x + y ) = (x + y ) + (−1)(x + y ), 0 = (x + y ) + (−y − x) = (x + y ) + ((−1)x + (−1)y ) = (x + y ) + (−1)(y + x). Iз цихспiввiдношень випливає, що (x + y ) + (−1)(x + y ) = (x + y ) + (−1)(y + x); (−1)(x + y ) = (−1)(y + x), x + y = y + x. 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x,

8. Взяти некомутативну групу, її групову операцiю назвати додаванням, а добуток взяти нульовим, тобто добуток довiльних двох елементiв дорiвнює нулю — нейтральному елементу групи. 10. Розглянути множину натуральних чисел iз звичайними операцiями додавання та множення. 11. (a) Розглянемо множину M всiх вiдображенm адитивної абелевої групи A в себе з операцiями додавання та множення, що заданi правилами: якщо f, g ∈ M , x ∈ A то (f + g )(x) = f (x) + g (x); (f g )(x) = f (g (x)).

Групою A вiзьмемо циклiчну групу -3-го порядку A = {0, a, 2a} i вiдображення f, g, h : A → A оберемотак, щоб виконувалися рiвностi f (a) = a, Тодi (h(f + g ))(a) = h((f + g )(a)) = h(f (a) + g (a)) = h(a + a) = h(2a) = 2a; (hf +hg )(a) = (hf )(a)+(hg )(a) = h(f (a))+h(g (a)) = h(a)+h(a) = 0+0 = 0. Це означає, що у множинi M разом iз введениими операцiями додавання та множення не виконується закон лiвої дистрибутивностi. Разом з тим
25

g (a) = a,

h(a) = 0,

h(2a) = 2a.

решта аксiом виконується. Перевiримо асоцiативнiсть додавання: для будь-яких f, g, h ∈ M i лля будь-якого x ∈ A ((f + g ) + h)(x) = (f + g )(x) + h(x) = (f (x) + g (x)) + h(x) = f (x) + (g (x) + h(x)) = f (x) + (g + h)(x) = (f + (g + h))(x) Рiвностi 1б2б4б5 правильнi за ознченням додавання на множинi вiдображень, а рiвнiсть 3 можна псатитому, що доавання вруп асоцiативне. Подiбним чином перевiряється решта аксiом. (b) Розглянемо множину M всiх вiдображень адитивної абелевої групи A в себе з операцiями додавання та мнження, що заданi правилами: якщо f, g ∈ M , x ∈ A то (f + g )(x) = f (x) + g (x); 14. 4 17. Для позначення операцiй додавання та множення на множинi Zk = {0, 1, 2, . . . , k − 1} введемо смволи ⊕, ⊙ на вiдмiну вiд символiв +, ·, якими будемо позначати операцiї додавання та множення на множинi цiлих чисел. Якщо звачайна сума a + b чисел a, b ∈ Zk при дiленнi на k дає остачу r, тобто a + b = k · q + r, то a⊕b=r за правилом додавання в Zk . Iз наведеного означенна оперцiй видно, що завжди (a + b) − (a ⊕ b дiлиться на k . Подiбним чином одержуємо, що рiзниця (a + b) − (a ⊙ b) дiлиться на k для будь-яких a, b ∈ Z. Доведемо асоцiативнiсть додавання, тобто тотожну iстиннiсть формули ∀a, b, c, ∈ Zk Оскiльки рiзницi u1 = (a + b) − (a ⊕ b), u3 = ((a ⊕ b) + c) − ((a ⊕ b) ⊕ c)), дiляться в кiльцi цiлих чисел на k , то (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) = u4 − u3 + u2 − u1 також дiлиться на k . а осскiльки цiлi числа (a ⊕ b) ⊕ c, a ⊕ (b ⊕ c) знаходяться в межах вд 0 до k − 1, то їх рiзниця може дiлитися на k лише у випадку коли цi чсла рiвнi.
26
4 5 1 2 3

(f g )(x) = g (f (x)).

(0 ≤ r < k ),

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c). u2 = (b + c) − (b ⊕ c), u4 = (a + (b ⊕ c) − (a ⊕ (b ⊕ c))

(1)

20. Перевiримо праву дистрибутивнiсть, тобто виконання рiвностi (u + v )w = uw + vw для будь-яких u, v, w ∈ H. Нехай u = a1 + b1 i + c1 j + d1 k, Тодi (u + v )w = ((a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i + (c1 + c2 )j + (d1 + d2 )k ) w = = (a1 + a2 )a3 − (b1 + b2 )b3 − (c1 + c2 )c3 − (d1 + d2 )d3 + + ((a1 + a2 )b3 + (b1 + b2 )a3 + (c1 + c2 )d3 − (d1 + d2 )c3 ) i+ + ((a1 + a2 )c3 − (b1 + b2 )d3 + (c1 + c2 )a3 − (d1 + d2 )b3 ) j + + ((a1 + a2 )d3 + (b1 + b2 )c3 − (c1 + c2 )b3 − (d1 + d2 )a3 ) i = = (a1 a3 − b1 b3 − c1 c3 − d1 d3 + a2 a3 − b2 b3 − c2 c3 − d2 d3 ) + + (a1 b3 + b1 a3 + c1 d3 − d1 c3 + a2 b3 + b2 a3 + c2 d3 − d2 c3 ) i+ + (a1 c3 − b1 d3 + c1 a3 + d1 b3 + a2 c3 − b2 d3 + c2 a3 + d2 b3 ) j + + (a1 d3 + b1 c3 − c1 b3 + d1 a3 + a2 d3 + b2 c3 c2 b3 − d2 a3 ) k = = ((a1 a3 − b1 b3 − c1 c3 − d1 d3 ) + (a1 b3 + b1 a3 + c1 d3 − d1 c3 )i (a1 c3 − b1 d3 + c1 a3 + d1 b3 )j + (a1 d3 + b1 c3 − c1 b3 + d1 a3 )k )+ +((a2 a3 − b2 b3 − c2 c3 − d2 d3 ) + (a2 b3 + b2 a3 + c2 d3 − d2 c3 )i+ (a2 c3 − b2 d3 + c2 d3 + d2 b3 )j + (a2 d3 + b2 c3 − c2 b3 + d2 a3 )k ) = uw + vw. Тут рiвностi 1,2,4,5 правильнi за означенням дiй з кватернiонам, а рiвнiсть 3 грунтується на вiдомих властивостях дiй з дiйсними числами. 21. Перевiримо наявнiсть нуля та наявнiсть протилежного елемента. Роль нуля в кiльцi пiдмножин виконує порожня множина,тому що для кожної дмножини A ⊆ M ∅ + A = A + ∅ = (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) = A. Протележним до кожного елемента буде сам цей елемент, тому що A + A = (A \ A) ∪ (A \ A) = ∅.
27
5 4 4 3 3 2 1 2

v = a2 + b2 i + c2 j + d2 k,

w = a3 + b3 i + c3 j + d3 k.

24. Перевiримо лiву дистрибутивнiсть. Нехай f, g, h — три довiльно вибранi ендоморфизми групи A. Заозначенням, два вiдображення є рiвними в тому i тiльки тому випадку, коли образи кожного елемента пiд дiєю цих вдображень збiгаються. Отже, щоб довести рiвнiсть (f + g )h = f h + gh, потрiбно довести, що для кожного елемента x ∈ A виконується рiвнсть ((f + g )h)(x) = (f h + gh)(x). Останню рiвнiсть i перевiряємо. Дiйсно, за визнченням дiй над ендоморфiзмами ((f +g )h)(x) = (f +g )(h(x))) = f (h(x))+g (h(x)) = (f h)(x)+(gh)(x)(f h+gh)(x). 26. Якщо група A елементна, то i група B = A × A одноелементна, i кiльце ендоморфiзмiв групи B одноелементне i, вiдповiдно, комутативне. Якщо ж група A має бiльше нiж один елемент, тодi прикладом непереставних ендоморфiзмiв будуть ендоморфiзми , g , що визначаються правилами: для a, b ∈ A (a, b) → (a, 0)
f

(a, b) → (b, a).

g

27. Перевiримо лiву дистрибутивнiсть, тобто виконання рiвностi a(b + c) = ab + ac для a= ∑
g ∈G

ag g,

b=

∑
g ∈G

bg g,

c=

∑
g ∈G

cg g.

де ag , bg , cg ∈ K. Позначимо a(b + c) = x = b+c=d= ∑
g ∈G

∑
g ∈G

xg g,

ab + ac = y = ∑
g ∈G

∑
g ∈G

yg g, ∑
g ∈G

dg g,

ab = h =

hg g,

ac = f =

fg g.

В цих познченнях потрiбно превiрити, що для вссiх g ∈ G виконується рiвнiсть xg = yg . За визначенням додавання елементiв кiльця K (G) dg = bg + cg ,
28

y g = h g + fg .

Отже, для g ∈ G ∑ ∑ ∑ xg = ag1 dg2 = ag1 (bg2 + cg2 ) = (ag1 bg2 + ag1 cg2 ) =,
g = g1 g2

=

∑
g =g1 g2

g = g1 g2

ag1 bg2 +

∑
g = g1 g2

g = g1 g2

ag1 cg2 = hg + fg = yg .

32. Перевiримо асоцiативнiсть множення в кiльцi нескiнченних матриць iз скiнченною кiлькiстю ненульових елемнтiв у кожному рядкутобто якщо A, B, C такi матрицi, i X = (AB )C, Y = A(BC ) то X = Y. (2)

Позначимо D = AB, H = BC. Елементи матриць будемо позначати вiдповiдними малими латинськими буквами з iндексами, що належать множинi N = {1, 2, 3, . . .}. Для перевiрки рiвностi матриць потрiбно переконатись в рiвностi вiдповiдних елементiв. Отже, щоб перевiрити рiвнiсть (2) потрiбно перевiрити рiвнiсть xp,q = yp,q (3) для будь-якоих p, q ∈ N. За правлиом множення матриць ми можемо записати ∑ ∑ ∑ xp,q = dp,i ci,q , yp,q = ap,j hj,q dp,i = ap,j bj,i ,
i∈N j ∈N j ∈N

hj,q =

∑
i∈N

aj,i hi,q

Тому xp,q =

( ∑ ∑
i∈N j ∈N

) ap,j bj,i ci,q =

∑
i,j ∈N

ap,j bj,i ci,q =

∑
j ∈N

ap,j

( ∑
i∈N

) aj,i hi,q = yp,q ,

Мiняти пордяок пiдсумовування ми маємо право тому, що елементи матриць належать кiльцю, а в кiльцi додавання комутативне, а додавання та множення асоцiативнi. Перевiрка асоцiативностi множення матриць завершена. 35. Перевiримо наявнiсть нуля в кiльцi K1 × K2 , це робиться конструкктивно, тобто ми вказуємо прямо на нуль — якщо 01 є нулем кльця K1 , а 02 є нулем кльця K2 б то (01 , 02 ) є нулем кiльця K1 × K2 . Справдi, якщо a ∈ K1 , b ∈ K2 , то (a, b)+(01 , 02 ) = (a+01 , b+02 ) = (a, b), Кiнець перевiрки.
29

(01 , 02 )+(a, b) = (01 +a, 02 +b) = (a, b).

38. Перевiримо транзитивнiсть вiдношення ∼ (a1 , a2 ) ∼ (b1 , b2 ) ⇔ a1 b2 = a2 b1 на множинi K × X , тобто коли (a1 , a2 ), (b1 , b2 ), (c1 , c2 ) ∈ K × X, i (a1 , a2 ) ∼ (b1 , b2 ), тодi (a1 , a2 ) ∼ (c1 , c2 ). За ознченням вiдношення ∼ залежностi (5) означають a1 b2 = a2 b1 i b 1 c2 = c1 b 2 . (7) Домножим рiвнiсть (6) на c2 , а рiвнiсть (7) на a2 . Одержимо вiдповiдно рiвностi a1 b2 c2 = a2 b1 c2 (8) i a2 b1 c2 = a2 c1 b2 . Iз (8), (9) одержуємо a1 b2 c2 = a2 c1 b2 . Оскiльки кiльце K комутативне, то iз (10) випливає b2 (a1 c2 − a2 c1 ) = 0. Множина X вибрана так, що iз (11) випливає a1 c2 − a2 c1 = 0, a1 c2 = a2 c1 . (12) (11) (10) (9) (6) (5) (b1 , b1 ∼ (c1 , c2 ), (4)

Отже (6) довели. Клас екввалентностi, якому належить пара (a1 , a2 ) ∈ K × X позначають 1 через a i називають дробом iз знменником a2 i чисельником a1 . Вiдповiдно, a2 множину класiв еквiвалентностi ∼ називають множиною дробiв iз знаменникаи iз множини X . Перевiримо коректнiсть додавання класiв (дробiв), тобто потрiбно переконатися в тому, що коли виконуються рiвностi a1 b1 = , a2 b2 c1 d1 = , c2 d2 (13)

30

тодi b1 d2 + b2 d1 a1 c2 + a2 c1 = , a 2 c2 b2 d2 тобто (a1 c2 + a2 c1 )b2 d2 = (b1 d2 + b2 d1 )a2 c2 , Заданi рiвностi (13) переписуємо у виглядi a1 b2 = b1 a2 , c1 d2 = d1 c2 . (16) (15) (14)

Домножаємо першу з цих рiвностей на c2 d2 , а другу — на a2 b2 a1 b2 c2 d2 = b1 a2 c2 d2 , a2 b2 c1 d2 = a2 b2 d1 c2 . (17)

Сума цих рiвностей збiгається iз потрiбною нам рiвнiстю (15) 39. Перевiримо наявнiсть протилежних елементiв. Для ∏ Ki f∈
i∈I

протилежним буде елемент g∈

∏
i∈I

Ki ,

який визначається умовою: для i ∈ I g (i) = −f (i). 40. Перевiримо праву дистрибутивнiсть, тобто для будь-яких f, g, h ∈ K X (f + g )h = f h + gh. Щоб довести цю рiвнiсть, потрiбно для будь-якого x ∈ X перевiрити рiвнiсть ((f + g )h)(x) = (f h + gh)(x). Дiйсно, ((f + g )h)(x) = (f + g )(x)h(x) = (f (x) + g (x))h(x) = = f (x)h(x) + g (x)h9x) = (f h)(x) + (gh)(x) = (f h + gh)(x). Тут рiвностi 1,2,4,5 вконуюються за ознченням дiй з вiдображеннями, а рiвнiсть 3 виконується тому, щоправа дистрибутвнiсть є властивiстююкiльця K.
3 4 5 1 2 3

31

41. Асоцiативнiсть множення в K ∗ випливає iз асоцiативностi в K . Дiйсно, для будь-яких a, b, c ∈ K ∗ (a ◦ b) ◦ c = c · (a ◦ b) = c(ba) = (cb)a = a ◦ (cb) = a ◦ (b ◦ c). 44. Перевiримо асоцiативнiсть множення в кiльцi Ke . Нехай a, b, c ∈ K i n, m, k ∈ Z. Тодi ((a + ne)(b + me))(c + ke) = (ab + ma + nb + (mn)e)(c + ke) = = abc + (mk )a + (nk )b + (mn)c + n(bc) + m(ac) + k (ab) + (nmk )e = (a + ne)(bc + kb + mc + (mk )e) = (a + ne)((b + me)(c + ke)). 46. Перевiримо асоцiативнiсть множення формальних степеневих рядiв, тобто перевiримо рiвнiсть (AB )C = A(BC ) для будь-яких форальних степеневих рядiв ∑ ∑ A= ai xi , B= bi xi ,
i≥0 i≥0

C=

∑
i≥0

ci xi .

Позначимо U = (AB )C =

∑
i≥0

ui xi ,

V = A(BC ) =

∑
i≥0

vi xi ,

D = AB =

∑
i≥0

di xi ,

F =

∑
i≥0

fi xi .

Побрiбно довести рiвнiсть uk = vk для будь-якого k = 0, 1, 2, 3, . . . За правилом множення формальних степеневих рядiв ∑ ∑ ∑ ∑ ap ft , ds = a p bq , f t = bq cr .2 ds cr , vk = uk =
r+s=k p+t=k p+q =s q +r=t

Отже uk = ∑
r+s=k

(

∑

) a p bq cr =

∑
p+q +r=k

ap bq cr =

∑
p+t=k

( ap

∑

) b q cr = vk .

p+q =s

q +r =t

50. Перевiримо асоцiативнiсть множення диференцiальних многочленв, тобто перевiримо рiвнiсть (AB )C = A(BC ) для будь-яких диференцiальних многочленiв ∑ ∑ A= ai xi , B= bi xi ,
i≥0 i≥0

C=

∑
i≥0

ci xi .

32

Позначимо U = (AB )C =

∑
i≥0

ui xi , ∑
i≥0

V = A(BC ) = F = ∑
i≥0

∑
i≥0

vi xi ,

D = AB =

di xi ,

fi xi .

побрiбно довести рiвнiсть uk = vk для будь-якого k = 0, 1, 2, 3, . . . За правилом множення диференцiальних многочленiв ∑ ∑ (q ) q (s) s a i fm Ci , uα = dk cl Ck , vα =
k +l −q =α i+m−s=α

dk = Тому uα = ∑
k +l −q =α

∑
i+j −p=k

ai bj Cip , )

(p)

fm =

∑
j +l −r =m

r b j cl C j .

(r)

(

∑
i+j −p=k

ai bj Cip ∑

(p)

q cl C k =

(q )

∑
i+j +l−q −p=α

(

) (p) (q ) ai bj cl Cip Ciq+j −p

uα =

ai bj cl
(s)

(p) (q )

(

Cip Ciq+j −p

)

(18)

i+j +l−q −p=α

Для знаходження vα потрiбно знайти fm : ∑ ∑ ( (r) )(s) r (s) bj cl Cj = fm =
j +l−r=m

∑ (

) (p) (q ) p r Cj bj cl Cs

j +l−r=m p+q =r+s

Тепер vα =

∑
i+m−s=α

ai ∑ ∑

∑

∑ ( ∑

) (p) (q ) p r s Cj Ci bj cl Cs (19)

j +l−r=m p+q =r+s p r s ai bj cl Cs Cj Ci (p) (q )

vα = vα =

i+j +l−r−s=α p+q =r+s

ai bj cl

(p) (q )

∑
p+q =r+s

p s r (Cs Ci ) Cj

(20)

i+j +l−p−q =α

За допомогою явних формул для бiномних коефiцiєнтiв перевiряємо рiвнiсть
−s p p s Cs Ci = Cii− p Ci .

(21)

33

Дiйсно,
p s Cs Ci = −s p Cii− p Ci =

s! i! i! · = p!(s − p)! s!(i − s)! p!(s − p)!(i − s)!

(i − p)! i! i! · = . (i − s)!(s − p)! p!(i − p)! p!(s − p)!(i − s)!

Рiвнiсть (21) дозволяє переписати суму ∑ p s r (Cs Ci ) Cj
p+q =r+s

у формулi (20) у виглядi ∑ (
p+q =r+s i ∑ ) r p −s p −s p+q −s = C Cii− Cii− C C j p i i p Cj s=0

що дозволяє переписати формулу (20) у виглядi vα = ∑
i+j +l−p−q =α (p) (q ) ai bj cl Cip i ∑ s=0 −s p+q −s Cii− p Cj

(22)

Iз (18), (22) бачимо, що для перевiрки рiвностi uα = vα лишилося перевiрити рiвнiсть
i ∑ s=0 −s p+q −s Cii− p Cj

=

i ∑ s=0

−p Cis− p Cj

q −(s−p)

= Ciq+j −p .

(23)

В правильностi останньої тотожностi можна переконатися комбiнаторними мiркуваннями: якщо є множина M, |M | = i + j − p, i в нiй двi пiдмножини M1 ⊆ M, |M1 | = i − p, M2 ⊆ M, |M2 | = j, то вибiрка N ⊆ M, |N | = q рiвносильна вибiрцi двох пiдмножин N1 ⊆ M1 , |N1 | = s − p, N2 ⊆ M2 , |N2 | = q − (s − p)

для деяких s − p = 0, 1, . . . , i − p. Асоцiативнiсть множення диференцiяльних рядiв перевiрена. 51. Перевiрка коректностi визначення додавання та множення класiв полягає в перевiрцi двох речей. Спочатку потрiбно переконатися в тому. що результат додавання та множення послiдовнностей iз вказаною властивсiстю знову має цю властивiсть, а потiм потрiбно переконатися в тому, що результат додавання чи множення двох класiв не залежить вiд вибору представникiв в цих класах. Обмежимося множенням.
34

Нехай є двi послiдовностi x = {x0 , x1 , x2 , . . .} ∈ M , i y = {y0 , y1 , y2 , . . .} ∈ M , тобто для будь-якого n = 0, 1, 2, . . . цiлi числа xn+1 − xn , yn+1 − yn дiляться на pn+1 . Щоб показати, що послiдовнiсть xy лежить в M потрiбно переконатися в тому, що число xn+1 yn+1 − xn yn дiлиться на pn+1 . Це дiйсно так, тому що це число можна записати у виглядi xn+1 yn+1 −xn yn = xn+1 yn+1 −xn yn+1 +xn yn+1 −xn yn = (xn+1 − xn ) yn+1 +xn (yn+1 − yn ) . Отже добуток послiдовностей iз M знову лежить в M . Переконаємося тепер в тому, що добуток двох класiв не залежить вiд вибору представникiв в цих класах. Нехай A, B два класи еквiвалентностi на множинi M i x, x′ ∈ A, y, y ′ ∈ B , а клас C такий, що xy ∈ C. Потрiбно переконатися в тому, що x′ y ′ ∈ C . Для цього позначимо x = {x0 , x1 , x2 , . . .}, x′ = {x′0 , x′1 , x′2 , . . .}, xy = {x0 y0 , x1 y1 , x2 y2 , . . .}, y = {y0 , y1 , y2 , . . .}
′ ′ ′ y ′ = {y0 , y1 , y2 , . . .} ′ ′ ′ x′ y ′ = {x′0 y0 , x′1 y1 , x′2 y2 , . . .}

За означенням, послiдовностi xy, x′ y ′ лежать в одному класi, якщо для будь′ якого n = 0, 1, 2, . . . число x′n yn − xn yn дiлиться на pn+1 . А цедiйсно так, тому що
′ ′ ′ x′n yn − xn yn = x′n yn − x′n yn + x′n yn − xn yn = x′n (yn − yn ) + (x′n − xn ) yn .

8

Вiдповiдi i вказiвки до задач, що стосуються поняття “пiдкiльце“

53 — 58. Так. 59. Нi. 60. Так. 61. Так. 62. Нi. 63. Нi. 64. Нi. 65. Так. 66. Нi. 67. Нi. 68. Так. 69. Так. 70. Нi, оскiльки K1 не мiстить порожньої множини, яка вiдiграє роль нуля — нейтрального елемента за додаванням. 71. Так. 72. Так. 73. Так. 74. Так. 75. Так. 76. Так. 77. Так. 78. Так. 79. Нi. 80. Нi. 81. Так. 82. Так. 83. Так. 84. Нi. 85. Так. 86. Так. 87. Нi. 88. Нi. 89. Так. 90. Нi. 91. Так. 92. Так. 93. Так. 94. Нi. 95. Так. 96. Зв’язати з рядом, який задовольняє лiнiйному рекурентному спiввiдношенню вiдношення двох многочленiв. Зробити висновок, що такi вiдношення утворюють кiльце.
35

97. Так. 98. Нi. 99. Так. 100 – 110. Так. 111. Нi. 112 – 117. Так. 118. Скористатися рiвностями: )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 = , = 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ( )( ) ( ) 0 1 1 0 0 0 = . 1 0 0 0 1 0 119. Iз комутативностi кiльця K i виконання в ньому вiдповiдних аксiом можна одержати настцпнi формули для рiзницi i добутку двох могочленiв: якщо f, g ∈ KK, f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , то (f − g )(x) = (a0 − b0 ) + (a1 − b1 )x + . . . + (am − bm )xm + am+1 xm+1 + . . . + an xn , ) ( n +m ∑ ∑ aj bk xi . (f g )(x) =
i=0 j +k =i

g (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bm xn ,

n ≥ m ≥ 0,

120. Нехай a, b лежать в централiзаторi множини X . Тодi для будь-якого x ∈ X будуть виконуватися рiвностi (a − b)x = ax − bx = xa − xb = x(a − b), abx = axb = xab, що i доводить належнiсть елементiв a − b, ab централiзатору мноини X . 122. Якщо одне iз пiдкiлець мiститься в iншому, то їх об’єднання збiгається з бiльшим пiдкiльцем, отже є пiдкiльцем кiльця. Якщо нi одне iз двох пiдкiлець K1 , K2 не мiститься в iншому, то вибираємо два елементи x ∈ K1 \ K2 , y ∈ K2 \ K1 ,

i розглядамо суму z = x + y. Припущення z ∈ K1 приводить до суперечностi y = z − x ∈ K1 , а припущення z ∈ K2 приводить до суперечностi x = z − y ∈ K2 . 123. Взяти K = M2 (Z), } } {( ) {( ) 0 0 0 n n∈Z n∈Z , K2 = K1 = n 0 0 0

36

9

Елементи кiльця iз спецiальними властивостями i кiльця iз спецiальними елементами

128 б). Оборотними є тi елементи m кiльця Zn , якi є взаємно простими з n. в). Оборотною еоементом в M2 (Z) є така матриця ( ) a b A= , c d у якої ad − bc = ±1. д). Ендоморфiзм абелевої групи оборотний тодi i тiльки тодi, коли вiн є автоморфiзмом, тобто бiєктивним ендоморфiзмом. 129. Нехай ряд g = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . є оберненим до ряду f = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .. Iз f g = 1 випливають рiвностi a 0 b0 = 1 a0 b1 + a1 b0 = 0, a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 = 0, ... (24)

Рiвнiсть (24) показує, що елемент a оборотний. Якщо ж елемент a оборотний, то систему рiвнянь, що починається iз (24), можна розглядати як систему рiвнянь для знаходження оберненого до f ряду g , — ця система має розв’язок, отже ряд f має обернений g . 130. Факт, що рiзниця n, m цiлих чисел дiлиться на число pk , записуємо у виглядi n ≡ m(mod pk ). Роль одиницi в кiльцi p−адичних чисел вiдiграє клас, що мiстить послiдовнiсть {1, 1, 1, . . .}. Якщо p−адичне число A мiстить послiдовнiсть {x0 , x1 , x2 , . . .}. , є оборотним, i B = A−1 , B = {y0 , y1 , y2 , . . .}, то для всiх n = 0, 1, 2, . . . xn yn ≡ 1(mod pn+1 ), зокрема x0 y0 ≡ 1(mod p), i x0 ̸≡ 0(mod p). (27) Навпаки, нехай число A мiстить послiдовнiсть {x0 , x1 , x2 , . . .} таку, що виконується (27). Iз xn ≡ xn−1 ≡ . . . ≡ x1 ≡ x0
37

(25) (26)

випливає, що система рiвнянь (25) має розв’язок i число A є оборотним. 131. Скористатися тим, що визначник добутку двох матриць є добутком визначникiв множникiв, а також скористатися формулою для обчислення елементiв оберненої матрицi. 134. Нехай B — неодноелементна циклiчна група, I — нескiнченна множина, що мiстить нескiнченну послiдовнiсть {i0 , i1 , i2 , ldots} i A = B I . Виберемо два ендоморфiзми α, β : A → A, що визначаються правилами: для f ∈ A { f (i), якщо i ∈ I \ {i0 , i1 , i2 , . . .} α(f ) = f (i + 1), якщо i ∈ {i0 , i1 , i2 , . . .}   якщо i ∈ I \ {i0 , i1 , i2 , . . .} f (i), α(f ) = 0, якщо i = i0 ,  f (i − 1), якщо i ∈ {i , i , . . .} 1 2 Тодi αβ = 1, але нi α нi β не оборотнi, оскiльки не є бiєктивними вiдображеннями. 135. Оскiльки для будь-яких x, y ∈ K ((xe − x) + e)y = (xe − x)y + ey = (xe − x)ey + ey = xeey − xey + ey = y, то xe − x + e = e i xe = x. 136 a). Припустомо, що xy = 1 i y m xm = 1 для деякого m > 1. Тодi можна записати (xy ) · (y m−1 xm−1 ) · (xy ) = x · 1 · y = 1, y m−1 xm−1 = 1. Продовжуючи цей процес переконуємося, що yx = 1. 137. а) ⇒ б). Якщо y1 , y2 — правi оберненi до елемента x, тобто xy1 = xy2 = 1, то припущення про iснування оберненого до x приводить до рiвностей y1 = x−1 xy1 = x−1 xy2 = y2 . б) ⇒ в). Нехай xy = 1, але x не оборотний, тобто yx ̸= 1 i, вiдповiдно, yx−1 ̸= 0. Тодi x(yx − 1) = x − x = 0 i x є лiвим дiльником нуля. в) ⇒ а). Нехай xy = 1 i x є лiвим дiльником нуля, тобто xz = 0 для деякого ненульового елемента z . Тодi y + z ̸= y i 1 = xy = x(y + z ). 138. Скористатися вправою 127. 139 а). Z. 139 б). Z2 . 139 в). R[x]. 140. Скористатися тим, що коли z = a + bi — комплексне число i a2 + b2 ̸= 0, то для b a − 2 t= 2 2 a +b a + b2 будуть виконуватися рiвностi zt = tz = 1. 141. Можна скористатися тим, що для 1 ≤ m < p найбiльший спiльний дiльник m i p дорiвноює одиницi i, вiдповiдно, mx + py = 1 для деяких цiлих чисел x, y .
38

Тодi елемент r ∈ Zp 1 ≤ r < p такий, що x ≡ r(mod p), буде оберненим до m в кiльцi Zp . 142. Переконатися в тому, що коли a, b ∈ Q i одно iз чисел a, b не дорiвнює нулю, то a2 − 2b2 ̸= 0, пiсля чого перевiрити, що число a2 a b − 2 2 − 2b a − 2b2

√ буде оберненим до числа a + b 2. 143. Нехай ряд Лорана f має вигляд

f = an xn + an+1 xn+1 + an+2 xn+2 + . . . де n ∈ Z, an , an+1 , an+2 . . . — елементи поля K , an ̸= 0. Ряд g , що обернений до f будемо шукати у виглядi g = b−n x−n + b−n+1 x−n+1 + b−n+2 x−n+2 + . . . Iз умови f g = 1 для визначення коефiцiєнтiв ряда g одержуємо систему рiвнянь an b−n = 1, an b−n+1 + an+1 b−n = 0, an b−n+2 + an+1 b−n+1 + an+2 b−n = 0, ... яка завжди має розв’язок, оскiльки an в полi K має обернений. 144. Нехай K — скiнченна область цiлiсностi i x ∈ K, x ̸= 0. Тодi вiдображення a −→ xa iз K в K є iн’єктивним. Оскiльки множина K скiнченна, то це вiдображення також сюр’єктивне, i xa = 1 для деякого a ∈ L. 145. Скористатися тим, що ненульовi елементи поля утворюють мультиплiкативну групу. 146. Полем iз 4-х елементiв буде {0, 1, i, j } з наступними таблицями додавання та множення + 0 1 i j 0 0 1 i j 1 1 0 j i i i j 0 1 j j i 1 0 × 0 1 i j 0 0 0 0 0 1 0 1 i j i 0 i j 1 j 0 j 1 i

39

147. Оскiльки jk = i i kj = −i, то H є некомутативними кiльцем i, таким чином, не є полем. Якщо x = a + bi + cj + dk — ненульовий катернiон, тобто N (x) = a2 + b2 + c2 + d2 ̸= 0, то x має обернений елемент x−1 . Ним буде a b c d − i − j − k+ N N N N ∏ 149. Нехай Ki (i ∈ I ) множина тiл i a ∈ i∈I Ki елемент прямого добутку цих ∏ тiл. Потрiбний елемент b ∈ i∈I Ki визначається умовою { 0, якщо ai = 0, b(i) = −1 ai , якщо ai = 0 x−1 = 150. Нехай K — тiло i x ̸= 1. Тодi для y = −x(1 − x)−1 буде y + x − yx = y (1 − x) + x = −x + x = 0. 152. Нехай f : R → R деяка функцiя. Коли для деякого a ∈ R f (a) = 0, то побудуємо функцiю g : R → R { 1, якщо x = a, g (x) = 0, якщо x ̸= a. Функцiя g не нульова i для неї виконується тотожнiсть g (x)f (x) = 0. Отже в такому випадку функцiя f є дiльником нуля. Припустимо, що функцiя f (x) не є дiльником нуля i, вiдповiдно, f (a) ̸= 0 для будь-якого a ∈ R. Тодi побудуємо функцiю g за допомогою правила: g (x) = (f (x))−1 . Для так побудованої функцiї g буде виконуватися тотожнiсть f (x)g (x) = 1, i функцiя g є оберненою до функцiї f . 153. Скористатися тим, що коли K скiнченне кiльце i a ∈ K , то вiдображення iз K в K , задане правилом x −→ ax не буде сюр’єктивним тодi i тiльки тодi, коли воно не iн’єктивне. 154 а). Послiдовнiсть {a0 , a1 , . . . , an , . . .}, в якiй хоч один iз елементiв дорiвнює нулю. 154 б). Числа, якi можна записати у виглядi 2k або 3k . 154 в). Пари (a, b), в яких або a = 0, або b = 0. 155. Пари (a, b), в яких або a або b є дiльником нуля. 156. Нехай A — матриця. яка має нескiнченну кiлькiсть рядкiв i нескiнченну кiлькiсть стовпчикiв, в якiй всi рядки, починаючи з n−го нульовi. будуємо ненульюву матрицю B з елементами bi,j i, j = 1, 2, . . . таку, що b1,n = 1 а решта

40

елементiв — нулi. Для такої матрицi буде виконуватись рiвнiсть BA = 0, отже матриця A є правим дiльником нуля. Матрицю C, C ̸= 0 для якої AC = 0, можна вибирати з єдиним ненульовим стовпчиком, в якому ненульвоi елементи стоять в перших n рядках. 157. Скористатися вправою 154 а). 158. Нехай K — комутативне кiльце з одиницею i i многочлен f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . з коефiццiєнтами iз K дiльником нуля в кiльцi многочленiв, отже f g = 0 для деякого ненульоваго многочлена g (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . Якщо ai bj ̸= 0 для деяких i, j = 0, 1, 2, . . ., то вибираємо серед них найбiльш можливi i коефiцiєнт при xi+j в f g буде ненульовим, що суперечить приущенню. Отже ai bj = 0 для будь=яких i, j = 0, 1, 2, . . . Для одного ненульового коефiцiєнта b = bj многочлена g буде виконуватся рiвнiсть ai b = 0 для всiх i = 0, 1, 2, . . . 159. Скористатися тим, що молодший член добутку двох рядiв збiгається з добутком молодших членiв множникiв. 160. Показати, що кожне ненульове p−адичне число A можна записати у виглядi A = pk · B, де B — оборотне p−адичне число. 161 г). 0,1,9,28. 161 д). Ендоморфiзми f , для яких iснує пiдгрупа B ⊆ A така, що f (A) = B, f (x) = x для будь-якого x ∈ B. 164. Нехай матриця A ∈ M2 (K ) ( ) ( ) ( ) a b 1 0 0 0 A= ̸= , c d 0 1 0 0 є iдемпотентом, тобто A =
2

(

a2 + bc ab + bd ca + dc cb + d2

) =

(

a b c d

) ,

що рiвносильно системi рiвнянь a2 + bc (a + d)b (a + d)c d2 + bc = = = = a, b, c, d.

(28)

Припустивши, що a + d ̸= 1 одержуємо одну з 2-х можливостей ( ) ( ) 1 0 0 0 A=E= , A=0= . 0 1 0 0
41

Далi вважаємо, що a + d = 1 або d = 1 − a. Знайдемо всi такi iдемпотентнi матрицi. Система рiвнянь (28) перепишеться у виглядi a2 + bc = a, d = 1 − a. (29) В залежностi вiд того, b = 0 чи b ̸= 0 маємо такi можливостi. Якщо b = 0, то a(1 − a) = 0 i a = 0 або a = 1, тобто ( ) 0 0 A = A1 = , c 1 або A = A2 = Якщо b ̸= 0, то ( ( 1 0 c 0 ) .

) a b A = A3 = a(1 − a) 1−a b Для вказаних матриць A потрiбно знайти оборотну матрицю ( ) x y T = u v таку, що A=T або ( x y u v )( a b c d
−1

( ) =

1 0 0 0 (

) T, )( x y u v )

1 0 0 0

тобто xa + yc = x, xb + yd = y, ua + vc = 0, ub + vd = 0. Для матрицi A = A1 можна взяти ( ) c 1 T = T1 = , 1 0 Для матрицi A = A2 можна взяти ( ) 1 0 T = T2 = , −c 1
42

(30)

(
−1 T1

= (

0 1 1 −c 1 0 −c 1

)

) .

−1 T2

=

Для матрицi A = A3 система (30) перепишеться у виглядi x(a − 1) + y a(1 − a) = 0, b xb + y (−a) = 0, a(1 − a) ua + v = 0, b ub + v (1 − a) = 0. ub + v (1 − a) = 0. v = b, u = a − 1, ( , det T3 = b, ( T3 A = ) T3 . T −1 = 1 −1 1−a a b b )

(31)

або xb − ya = 0, Одним iз розв’язкiв системи (32) буде x = a, що дає нам ( T = T3 = i a b a−1 b ) y = b, (32)

1 0 0 0

166 б. Для натурального n ≥ 1 взаємно ортогональними многочленами будуть ek = y n−k xn−k − y n−k−1 xn−k−1 , k = 0, 1, . . . , n − 1.

Те, що iдемпотенти рiзнi, можна одержати iз вправи 136. 167. Нехай f i g — переставнi iдемпотенти. Показати, що f g i f − f g є iдемпотентами. Далi потрiбне випливає з того, що f = (f − f g ) + f g, g = (g − gf ) + gf.

168. Таким елементом буде b = 1 − e. 169. Булевiсть кiльця B(M ) випливає з того, що A·A=A∩A=A для будь-якого A ⊆ M , i в B(M ) є одиниця M . 173 б. 0,6,12,18,24,30. 174. Потрiбно лише переконатися в тому, що добуток i рiзниця двох iдемпотентiв є iдемпотентом. А для цього порiбно переконатися в тому, що коли a, b — нiльпотенти, i an = bm = 0 для деяких натуральних m, n, то (a · b)min{mn} = 0,
43

(a − b)m+n = 0.

) ( ) 0 0 0 1 , . 175. 1 0 0 0 178. Скористатися ти, що сума i рiзнця двох нiльпотентiв знову буде нiльпотентом (див. вправу 174.) 179. Розглянути кiльце формальних степеневих рядiв над кiльцем K = Z3 × Z9 × Z27 . . . В кiльцi K розглянути послiдовнiсть (0, 0, 0, 0, . . .) = 0 = a0 , (0, 3, 0, 0, . . .) = a1 , (0, 0, 3, 0, . . .) = a2 , ... тобто в an на n+1−му мiсцi стоїть 3, а решта елементiв — нулi. Елементи вибраної послiдовностi a0 , a1 , a2 , . . . мають двi властивостi: i ̸= j ⇒ ai · aj = 0, i, j, = 0, 1, 2, . . . ; +1 n an = 0 , a = ̸ 0 , n = 0, 1, 2, . . . n n Далi розглядаєься формальний степеневий ряд f = a0 + a1 x + a2 x2 . . . Всi коефiцiєнти цього ряду нiльпотентнi, але сам ряд не нiльпотентний. 180. Скористатися формулою Маклорена (1 + x) =
r ∞ ∑ r(r − 1)(r − 2) . . . (r − k + 1) k=0 3 ∏ i=1

(

Z3i . =

k!

181. Скористатися тим, що коли an = 0, то (1 − a) · (1 + a + a2 + . . . an−1 ) = 1. 182. Нехай f = a0 + a1 x + . . . + an xn оборотний елемент кiльця K [x] i для g = b0 + b1 x + . . . + bm xm виконується рiвнiсть f · g = h = c0 + c1 x + . . . + cn+m xn+m = 1, де ci = ∑ p + q = iap bq .

44

Прирiвнюючи вiдповiднi коефiцiєнти у многояленiв h i 1 одержуємо систему рiвностей c0 = a0 b0 c1 = a0 b1 + a1 b0 c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ... cn+m = an bm = 1, = 0, = 0, = 0.

(33)

Перша рiвнiсть в системi (33) показує, що елемент a0 обов’язково оборотний. Далi вважаємо, що n > 0 i будемо перевiряти, що решта коефiцiєнтiв многочлена f є нiльпотентами. Iндукцiєю по r = 0, 1, 2, . . . , m перевiряємо, що
+1 ar n bm−r = 0.

(34)

При r = 0 рiвняння збiгається iз останнiм рiвнянням системи (33), тому воно +1 правильне. Припускаємо, що ak n bm−k = 0 при k = 0, 1, . . . r − 1. i доводимо цю рiвнiсть при k = r. Оскiльки cn+m−r = an bm−r + an−1 bm−r+1 + an−2 bm−r+2 + . . . + an−r+1 bm−1 + an−r bm = 0, то i ( r−1 ) r+1 r 1 r−1 cn+m−r ar (an bm ) = 0. n = an bm−r +an−1 (an bm−r+1 )+an−2 an an bm−r+2 . . .+an−r an Множники ar n bm−r+1 ,
−1 ar n bm−r+2 ,

...,

an bm

+1 дорiвнюють нулю за iндуктивним припущенням. Тому ar n bm−r = 0. Рiвнiсть m+1 (34) доведена. Зокрема, доведена рiвнiсть an b0 = 0. Iз оборотностi елемента b0 випливає, що an нiльпотент. Використовуючи вправу 181 переконуємося, що f − an xn оборотний многочлен. Повторюючи попереднi iркування n − 1 раз переконуємося, що коефiцiєнти an , an−1 , an−2 , . . . , a1 є нiльпотентами. Нехай тепер вiдомо, що a0 оборотний елемент кiльця коефiцiєнтiв, а a1 , a2 , . . . , an — нiльпотенти. Використовуючи вправу 181 переконуємося послiдовно, що многочлени a0 , a0 + a1 x, a0 + a1 x + a2 x2 , . . . a0 + a1 x + . . . + an xn

є оборотними. 184. Нехай p1 , p2 , . . . , pk є дiльниками чсла m. Тод n буде дiльником числа mα1 i mα1 є нiльпотентом в кiльцi Zn .
45

Якщо pi не є дiльником числа m для деякого 1 ≤ i ≤ k , то pi не є дiльником числа mα для будь-якого α = 1, 2, . . ., mα не дорiвнює нулю в кiльцi Zn i mα не нiльпотент в цьому кiльцi. 186.Якщо елементами циклiчної групи A є e, a, a2 , a3 , . . . , ap , ap+1 , . . . , ap
n −1

то нiльптентами будуть ендоморфiзми f : A → A, для яких f (a) = akp , 187. Якщо матриця     A=   0 0 0 ... 0 0 k = 1, 2, . . . , n − 1.  1 0 ... 0 0 1 ... 0   0 0 ... 0    0 0 ... 1  0 0 ... 0

має розмiр n × n, то An = 0, an−1 ̸= 0. Щоб довести вiдсутнiсть матрицi розмiру n × n, для якої An ̸= 0, An+1 = 0, можна побудувати лiнiйний простiр V , елементами якого є вектори   x1  x2   x=  ... , xn i в цьому просторi розглянути пiдпрстори V1 , V2 , . . . Vi = {x ∈ V |Ai x = 0}. Далi потрiбно довести, що немає ланцюжка рiзних пiдпросторiв 0 ⊂ V1 ⊂ V2 . . . ⊂ Vn ⊂ Vn+1 ⊆ V. 189. Кватернiони вигляду a + 0i + 0j + 0k = a. 190. Записати умову того, що матриця iз центру комутує iз матрицями, що мають один елемент 1, а решта елементiв 0. √ 192. Покажемо, як доводити нерозкладнiсть числа 3 в Z(i 5). Нехай √ √ b = b1 + b2 5, a · b = 3. a = a1 + a2 5, Тодi
2 2 2 |a|2 · |b|2 = (a2 1 + 5a2 )(b1 + 52 ) = 9,

46

що можливо лише у випдку, коли одне iз чисел |a|2 , |b|2 дорiвнює одиницi i, вiдповiдно, це число оборотне. 194 б. Скористатися вправою 192. 196. Скористатися тим, що для ненульового p−адичного числа A iснує однозначно визначене натуральне число k i оборотне p−адичне число B такi, що A = pk · B. Необоротне p−адичне число буде нерозкладним тодi i тiльки тодi, коли k = 1.

Лiтература
[1] В.I.Андрiйчук , Б.В. Забавський “Алгебра i теорiя чисел“ — Львiв. — 2005. [2] В.I. Андрiйчук , Б.В. Забавський “Лiнiйна алгебра“ — Львiв. — 2008. [3] В.I. Андрiйчук, Б.В. Забавський “Загальна алгебра“ — Львiв. — 2009.

47

Покажчик
асоцiативнiсть додавання, 2 множення, 2 число цiле p−адичне, 19 дiльник нуля, 18 додавання, 1 дрiб, 30 чисельник, 30 знаменник, 30 елемент протилежний, 2 елемент кiльця центральний, 18 iдемпотентний, 18 нерозкладний, 18 нiльпотентний, 18 оборотний справа, 18 оборотний злiва, 18 обротний, 18 група абелева, 4 адитивна, 4 комутативна, 1 iдемпотент, 18 iдемпотенти взаємно ортогонаьнi, 22 кiльце булеве, 18 формальних многочленiв, 14 формальних степеневих рядiв, 14 многочленiв, 17 полiномiальних функцiй, 17 матриця скалярна, 24 множення, 1 напiвгрупа, 2 наявнiсть нуля, 12 протилежного, 12 нiльпотент, 18 область цiлiсностi, 18 операцiя бiнарна, 1 двомiсна, 1 пiдкiльце нетривiальне, 12 нульове, 12 тривiальне, 12 поле, 18 тiло, 18 закненiсть вiдносно вiднiмання., 12 закон дистрибутивний, 2 розподiльний, 2 замкненiсть вiдносно додавання, 12 вiдносно множення, 12

48