МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені В. Н. КАРАЗІНА Н. М. Кізілова ОСНОВИ БІОМЕХАНІКИ Конспект лекцій для студентів спеціальності «Прикладна математика» У 4 частинах Частина 1. ЗАГАЛЬНА І МОЛЕКУЛЯРНА БІОМЕХАНІКА Електронний ресурс Харків – 2024 УДК: 521+612.76 К 38 Рецензенти: К. М. Музика – доктор технічних наук, професор кафедри біомедичної інженерії Харківського національного технічного університету радіоелектроніки; В. П. Берест – доктор фізико-математичних наук, доцент, завідувач кафедри молекулярної і медичної біофізики Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна. Затверджено до розміщення в мережі Інтернет рішенням Науково-методичної ради Харківського національного університету імені В. Н. Каразіна (протокол № 9 від 18 червня 2024 року) К 38 Кізілова Н. М. Основи біомеханіки : конспект лекцій для студентів спеціальності «Прикладна математика». У 4 частинах. Ч. 1. Загальна і молекулярна біомеханіка [Електронний ресурс] / Н. М. Кізілова. – Харків : ХНУ імені В. Н. Каразіна, 2024. – (PDF 104 с.) Представлені основні поняття, підходи, математичні моделі і методи загальної біомеханіки. Наведені результати вимірювань механічних властивостей, а також відповідні реологічні моделі. Обговорюються дискретні і континуальні моделі біоло- гічних систем. Для студентів математичних та фізичних факультетів, які вивчають сучасну біомеханіку, цікавляться практичними застосуваннями математичних моделей і під- ходів сучасної біомеханіки. УДК 521+612.76 © Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 2024 © Кізілова Н. М., 2024 Електронне навчальне видання комбінованого використання Можна використовувати в локальному та мережному режимі Кізілова Наталія Миколаївна ОСНОВИ БІОМЕХАНІКИ Конспект лекцій для студентів спеціальності «Прикладна математика» У 4 частинах Частина 1. ЗАГАЛЬНА І МОЛЕКУЛЯРНА БІОМЕХАНІКА В авторській редакції Підписано до розміщення 18.06.2024. Гарнітура Times New Roman. Ум. друк. арк. 4.62. Обсяг 5,917 Мб. Зам. № 174/24. Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, 61022, м. Харків, майдан Свободи, 4. Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 3367 від 13.01.2009 Видавництво ХНУ імені В. Н. Каразіна 3 ЗМІСТ Вступ……………………………………………………………….. 4 1. Загальні питання біомеханіки……………………………………. 5 1.1. Предмет, об'єкт дослідження, методи і задачі біомеханіки……. 5 1.2. Історія біомеханіки……………………………………………….. 7 1.3. Одиниці вимірювань. Формула розмірностей…………………... 14 2. Подібність біологічних систем…………………………………… 18 2.1. Алометрія і проблеми скейлінгу (skaling)………………………. 19 2.2. Безрозмірні параметри біомеханіки……………………………… 21 2.3. Геометрична подібність в біомеханіці…………………………… 22 3. Елементи біологічної термодинаміки……………………………. 26 3.1. Основні поняття термодинаміки…………………………………. 26 3.2. Засади термодинаміки і біомеханіка……………………………... 26 3.2.1. Нульовий закон ТД………………………………………………... 26 3.2.2. Перший закон ТД………………………………………………….. 27 3.2.3. Історичні відомості………………………………………………... 27 3.2.4. Другий закон ТД…………………………………………………... 34 3.2.5. Третій закон ТД……………………………………………………. 40 3.3. Термодинамічні потенціали………………………………………. 40 3.4. Системи зі змінним числом частинок……………………………. 41 3.5. ТД відкритих систем………………………………………………. 42 3.6. Ентропія……………………………………………………………. 45 3.6.1. Ентропія і інформація……………………………………………... 45 3.6.2. Ентропія динамічної системи…………………………………….. 48 3.6.3. Апроксимаційна ентропія (ApEn)………………………………... 49 3.7. Теплопродукція і теплоперенос в біосистемах………………….. 51 3.8. Термодинаміка і еволюція………………………………………… 61 3.9. Нерівноважна термодинаміка біологічних систем і процесів….. 62 4. Мікромеханіка……………………………………………………... 66 4.1. Молекулярна біомеханіка………………………………………… 66 4.2. Метод динаміки частинок в біомеханіці………………………… 68 4.3. Молекули і молекулярні структури……………………………… 71 4.3.1. Внутрішньоклітинні структури…………………………………... 72 4.3.2. Позаклітинні структури…………………………………………… 72 4.4. Експериментальні методи молекулярної біомеханіки…………. 73 5. Біомеханіка клітини………………………………………………. 75 5.1. Типи клітин і їх компоненти……………………………………… 75 5.2. Експериментальні методи біомеханіки клітин………………….. 80 5.3. Біомеханіка клітинної мембрани………………………………… 86 5.3.1. Механічні властивості мембран…………………………………. 89 5.3.2. Масообмін крізь мембрану……………………………………….. 90 5.4 Локомоції і рух клітин……………………………………………. 94 Література…………………………………………………………. 104 4 ВСТУП Біомеханіка вивчає механічні властивості організмів людини, тварин і рослин, їх органів, тканин і клітин, а також особливості механічних і пов'яза- них з ними біохімічних, біофізичних, фізіологічних процесів на всіх рівнях організації живої матерії. Біомеханіка має довгу історію від науки спостере- жної і описової до сучасної біомеханіки, яка стала невід'ємною частиною як медично-біологічних, так і інженерних, спортивних та інших прикладних наук. Біомеханіка описує механічну будову клітин, тканин, органів і організ- мів як складних структур з системами контролю і управління з боку нервової і гуморальної систем, локальної біохімічної регуляції за рахунок активації відповідних процесів, таких як скорочення м'язів і інших волокон, накачу- вання або викачування рідини, збільшення чи зменшення тиску та ін. Поведі- нка біомеханічних систем описується складними математичними моделями, розробка та аналіз яких вимагають глибоких знань в галузі фізико- математичних наук. Наукові дослідження в області біомеханіки відносяться до медичних, біологічних, технічних, спортивних, педагогічних та фізико- математичних наук. Метою даного методичного видання є формулювання найбільш загаль- них положень сучасної біомеханіки, основні розділи, моделі і методи загаль- ної біомеханіки. Особлива увага приділяється підходам загальної біомеханіки – аналізу геометричної і фізичної подібності і їх безрозмірних критеріїв, ма- тематичним моделям біомеханічних процесів і систем, а також багатьох ін- ших сучасних прикладних задач, які потребують математичного моделюван- ня, обробки даних вимірювань, розв’язання і дослідження властивостей розв’язків систем звичайних диференціальних рівнянь або систем диференці- альних рівнянь в частинних похідних із використанням підходів і методів сучасної математики і механіки. 5 1. Загальні питання біомеханіки 1.1. Предмет, об'єкт дослідження, методи і задачі біомеханіки Біомеханіка – це розділ природничих наук, що вивчає і описує на основі моделей і методів сучасної механіки властивості і механічні процеси, що протікають в біологічних системах (БС) різних рівнів організації [1,2]. Сучасна механіка – це розділ фізики, що вивчає рух матеріальних тіл і їх взаємодії, обумовлені рухом, на основі законів класичної механіки і термодинаміки, з урахуванням магнітних, електричних і ін. властивостей тіл, їх складної мікроструктури, що протікають хімічних реакцій і т.п. Механіка вивчає ті взаємодії тіл, результатом яких є зміна швидкостей руху БС або їх деформація. Біосистеми – це будь-які біологічні організми, їх органи, тканини, окремі клітини і їх органели, які розглядаються як складні ієрархічні системи, що складаються з води, органічних і неорганічних компонент і проявляють не тільки пасивні механічні властивості на зовнішні впливи, але і складні активні реакції в вигляді механічні напруги, руху та ін., що веде до зміни і фізіологічних властивостей і процесів в них. У БС будь-якого рівня організації протікає безліч взаємопов'язаних механічних процесів, які виражаються у вигляді течій біологічних рідин, деформацій і руху структур і підсистем на нано-, мікро- і макроскопічному рівнях [3]. Ієрархія об'єктів дослідження: 1) біологічні макромолекули, ММ (вивчає як деформуються ММ, реологічні властивості розчинів ММ і т.д.); 2) клітини (механічні властивості і масоперенос через мембрани; механічні властивості і роль цитоскелету; підтримання та зміна форми клітини; механічні аспекти клітинної рухливості; ділення і зростання клітин; поведінка клітин в зовнішніх полях; пухлинні клітини; клітини у суспензії та культурі); 3) кров (фізико-механічні властивості плазми; макрореологічні властивості; мікрореологічні властивості; масоперенос в крові; седиментація клітин крові; акустичні і оптичні властивості; електричні і магнітні властивості; згортання крові і механічні властивості згустку; гемоліз); 4) інші біологічні рідини (лімфа, ліквор, інтерстиціальна рідина, виділення залоз, рідини в дихальних шляхах, синовіальна рідина); 5) м'які тканини тварин і людини (стінки кровоносних судин, тканини дихальних шляхів, паренхіма легені, головний мозок, шкіра, сухожилля, суглобовий хрящ); м’язова ткань (скелетні м’язи, електроміографія; серцевий м’яз; гладкі м’язи; феноменологічні моделі; принципи управління); 6) тверді тканини тварин і людини (кісткова тканина – деформування, електромеханічні властивості; тканини зуба); 6 7) тканини новоутворень (особливо механічних, електричних і транспортних властивостей); 8) тканини рослин (фізико-механічні властивості, механізми масопереносу, зростання і розвиток); 9) механіка кровообігу (рух крові у великих артеріях; мікроциркуляція; капіляри; венозний русло; мале коло кровообігу; серце і клапани; органний кровотік; судинні патології); 10) механіка дихання (аеродинаміка дихальних шляхів; механіка плевральної порожнини; роботи дихальних м'язів; осадження частинок і мукоциліарний транспорт; звукоутворення і мова); 11) травний тракт і система мочевиведення (перистальтичний транспорт; механіка ротової порожнини і стравоходу; механіка роботи шлунка і кишківнику; механіка руху сечі); 12) опорно-руховий апарат (механічні аспекти будови; локомоторним м'язи; механіка суглоба); 13) органи чуття (органи зору, слуху, рівноваги, дотику, смаку, нюху, терморецепція); 14) органи рослин (коріння, провідні шляхи, транспорт води і асимілянтів; листя і механіка газообміну опорні структури і міцність рослин; рухливість рослин; способи розсіювання насіння; теплообмін); 15) рух тварин (плавання; політ; пересування по поверхні землі і дна; лазіння і стрибання по деревах; риття ходів і нір; вимерлі тварини); 16) рух людини (ходьба; біг; трудові руху; спортивні руху; регуляція пози і рухів); 17) рух в колективах (таксиси одноклітинних організмів; зграї птахів; міграція і поведінка популяцій; натовп і транспортні потоки); 18) реакції організмів (біомеханіка реакцій на зовнішні впливи; біомеханічні методи в психології); 19) взаємодія організму і середовища проживання (пристосувальні реакції; гнізда і нори; масовий і енергетичний баланс; екосистеми); 20) індивідуальний розвиток (алометрія, біологічна подібність; зростання, морфогенез; оптимальність біосистем); 21) електромагнітна біомеханіка (електричні і магнітні властивості БС; реакції БС на електромагнітні поля (ЕМП); механізми чутливості БС до ЕМП). Біомеханіка розвивається на стику: 1) сучасної механіки (класична механіка, термодинаміка, механіка суцільних середовищ, механіка намагнічуються і поляризуються середовищ); 2) математичних наук (з залученням теорії оптимальних процесів, теорії систем, математичного моделювання, теорії управління, чисельних методів розрахунків і обробки даних); 7 3) біологічних, медичних і спортивних наук. Отримані результати використовуються для: 1) подальшого розвитку біології, медицини, механіки; 2) розробки способів впливу на організм (профілактика, лікування); 3) для створення замінників тканин, протезів органів; 4) розробки методів аналізу та корекції природних, трудових і спортивних рухів людини; 5) розробки методів захисту людини від несприятливих факторів (вібрація, електромагнітні поля); 6) удосконалення старих і розробки нових діагностичних методик. Приклади механічних процесів в біосистемах: 1) статистичні і динамічні дії на тверді і м'які тканини (напруження, деформації, міцність); 2) течії біологічних рідин; 3) рух повітря в дихальних шляхах; 4) дія електромагнітних полів на біосистеми, які здатні намагнічуватися і поляризуватися. 1.2. Історія біомеханіки Механічні методи діагностики захворювань і лікування рухових ушкоджень були відомі ще до н.е. У знаменитому єгипетському папірусі The Edwin Smith Surgical Papyrus, 1500 років до н.е. (неповна копія тексту, датованого 2686-2181 рр. до н.е., автором якого вважається засновник єгипетської медицини Імхотеп) описані різні випадки рухових пошкоджень і способи їх лікування шляхом механічної дії; описані череп, мозок, спинномозкова рідина та внутрішньочерепні пульсації. У стародавньому Китаї (трактат "Хуан-Ді ней-цзин", ~ 2700 років до н.е.) і Тибеті (трактат "Чжуд-ши", ~ V ст.) удосконалювалися методи діагностики захворювань шляхом підтискання поверхнево розташованих артерій – пульсова діагностика, – яка практикується і в наші дні як в східній, так і в західній медицині [1,2]. Батько сучасної медицини давньогрецький лікар Гіпократ (V–IV ст. до н.е.) запропонував методи лікування пошкоджень опорно-рухової системи за допомогою тугих пов'язок, витягнення, фіксації. Мабуть, уже в той час з'явилися перші вдосконалені протези кінцівок, які служили для виконання окремих функцій. У Плінія Старшого (I ст. До н.е.) є згадка про римського командувача, якому після отриманої рани була ампутована права рука і замінена залізним протезом, яким він міг утримувати щит і брати участь в битвах. «Батько всіх наук» давньогрецький філософ Аристотель (IV ст до н.е.) вперше описав різні органи, аорту і кровоносні судини тварин, проводив аналіз рухів (політ, плавання, ходьба). Він опублікував не тільки 8 манускрипти "Механіка" (Mechanica), "Фізика" (Physica), але й перші біомеханічні замітки "Про частини тварин" (De partibus animalium), "Про рух тварин" (De motu animalium), і "Про дихання" (De spiritu). Геніальний італійський живописець, скульптор, архітектор, інженер Леонардо да Вінчі (1452–1519) виконав перші дослідження з біомеханіки. Він сформулював підхід, згідно з яким досвід має вирішальне значення в пізнанні природи, і досліджував рухи людини, перенесення важких предметів, політ птахів, роботу серцевих клапанів, протягом рослинного соку. У польоті птахів він виділив махаючий політ і ширяння, і намагався пояснити появу сил, які підтримують політ птахів при змаху крил через ущільнення повітря. Птицю він розглядає як «діючий за математичними законами інструмент». Да Вінчі вперше ввів поняття опору повітря або рідини спробам руху тіл в них. На думку творця терміна «біомеханіка» відомого актора і режисера В.Е. Мейєрхольда, Леонардо да Вінчі поставив «вивчення книги про початки механіки як роботу, яка є необхідно попередньою дослідженням законів переміщення тіл або інших рухомих частин людини і тварин ...». Батько сучасної механіки італійський натураліст Галілео Галілей (1564– 1642) сформулював закони інерції, вільного падіння, руху по похилій площині і коливання математичного маятника. Він вивчав рухи тварин і запропонував довжину нитки L математичного маятника в якості міри частоти пульсу людини або тварини. Він поступово змінював довжину нитки, поки період коливань Т не збігався з періодом пульсу. Відповідно до відомої тепер формули математичного маятника довжина 2 2/ 4π=L gT , де g – прискорення вільного падіння, і є кількісною мірою частоти пульсу. Французький математик, фізик, філософ і фізіолог Рене Декарт (1596– 1650) був першим, хто запропонував механічну модель живого організму за аналогією зі складним годинниковим механізмом, але з урахуванням управління з боку нервової системи. Його трактування фізіологічної теорії на основі законів механіки була новою для того часу. Декарт також вивчав роботу ока як оптичної системи. У 1648 р. вийшов його тактат "Опис людського тіла. Про утворення тварин", в якому описувалися скорочення серця, рух крові по артеріях, живлення тканин, які він власноруч досліджував кількісно в ряді експериментів на дрібних тваринах і розрахував обсяг ударного викиду серця для ряду тварин. Перший систематизований працю «Про рух тварин» в 2-х тт. (1680–1681 рр.) був підготовлений італійським натуралістом Дж.А. Бореллі (1608–1679), якого вважають учнем Галілея. У цій праці найрізноманітніші рухи людини і тварин (політ, плавання, стрибок, присідання, підйом і перенесення вантажів) проаналізовані на основі діючих сил і законів механіки (Рис.1, б), розглянуті функції скелета, м'язів, механічні аспекти дихання і м'язового скорочення. 9 а б Рис.1. Аналіз переносу вантажу людиною (а) і політ птахів (б) із праці Дж.А. Бореллі. Нідерландський натураліст Антоні Ван Левенгук (1632–1723) став основоположником наукового мікроскопії. За допомогою створених ним мікроскопів зі збільшенням в 150–300 разів він вперше спостерігав рух і деформації клітин рослин, тварин і мікроорганізмів. Він перший звернув увагу на зміну форми і пружних властивостей еритроцитів під час і після хвороби, відкрив війка і джгутики як органи руху клітин. Англійський хімік і ботанік Стівен Хейлс (1677–1761) вперше виміряв тиск крові в артеріях різних тварин, помістивши трубку манометра в артерію і вимірявши висоту стовпа крові, що піднялася по трубці. За результатами вимірювань об'єму викиду крові з серця і площини перетину судин Хейлс вперше розрахував швидкість руху крові в артеріях і капілярах. Англійський механік і астроном Ісаак Ньютон (1643–1727) сформулював основи динаміки, закон всесвітнього тяжіння, закон тертя у в’язких рідинах, і заклав основи небесної механіки. У його праці «Математичні початки натуральної філософії» (1686–1687) були вперше на математичній основі розглянуті задачі динаміки, сформульований закон тяжіння як універсальний принцип взаємодії тел. У «Лекціях з оптики» (1729) Ньютон писав, що оптику і механіку слід відносити до математичної науки, «оскільки вони викладаються математичним міркуванням». Англійський натураліст Роберт Гук (1635–1703) досліджував пружні властивості тіл і відкрив закон пружності механіки деформівного тіла. Він удосконалив мікроскоп і, досліджуючи клітинну структуру тканин, ввів поняття клітини як найменшої одиниці будови живого. Йому належать дослідження роботи легенів і значення розчиненого у воді повітря для дихання риб. Свої дослідження механічної будови тканин рослин Гук виклав в трактаті «Мікрографія» (1665г.). Великий математик, механік, фізик і астроном Леонард Ейлер (1707– 1783) є основоположником теоретичної гідромеханіки, розробка якої була пов'язана з інтересом Ейлера до математичного дослідження руху крові по артеріях як періодичної течії рідини по еластичній трубці (1742). Результати 10 досліджень Ейлер направив на конкурс, оголошений Діжонською Академією наук, де вона згодом була удостоєна премії. В результаті цього інтересу до течії крові по артеріях Ейлером була сформульована система диференціальних рівнянь руху нев'язкої рідини (рівняння Ейлера, 1750) [4]. Діяльність Ейлера в Петербурзькій Академії наук (1727–1741, 1766–1783) протікала в тісному співробітництві з його колегою видатним механіком Даніілом Бернуллі (1700–1782), який вперше сформулював закони механіки рідини і газу (закони Бернуллі) і опублікував першу в історії науки працю з гідродинаміки («Гідродинаміка, або записки про сили і рухи рідин», 1738 р.). Бернуллі також займався дослідженнями механіки дихання, м'язового і серцевого скорочення. У першому томі «Commentarii» Петербурзької АН була опублікована його робота «Нова спроба теорії м'язового руху», в якій Бернуллі призводить детальні дані вимірювань на м'язах, що скорочуються, а в заключній частині роботи отримує диференціальне рівняння, яке описує м'язове скорочення, і доводить теорему про тип кривої, яка описує форму м'язу в стані скорочення. Французький лікар і фізик Жан Марі Пуазейль (1799–1869) експериментально встановив закон руху крові по артерії або трубці (закон Пуазейля) 4~≡ ⋅Q v S d , де Q і v – об'ємна витрата і поздовжна швидкість рідини, d і S – діаметр і площина перетину трубки. Йому належать фундаментальні праці з реології крові, фізіології кровообігу і дихання. У 1828 р. він вперше виконав безкровне вимірювання артеріального тиску за допомогою ртутного манометра. Роботи Ейлера і Пуазейля поклали початок сучасної гідромеханіки кровообігу. У 1881 р австрійський лікар С. Баш (1881) провів перше непряме (безкровне) вимірювання систолічного артеріального тиску за величиною сили, яку треба було докласти ззовні за допомогою заповненої рідиною гумової сумки, яка перетискає руку аж до зникнення пульсу радіальної артерії. У 1896 р. італійський лікар С. Ріва-Рочі (1863–1937) запропонував пережимати плечову артерію за допомогою спеціальної манжети, яка рівномірно накачувалася повітрям і була з'єднана з ртутним манометром. У 1905р. російський лікар Н.С.Коротков (1874–1920) прослухав за допомогою стетоскопа звуки, які з'являються після розправлення стінки артерії, що до того була перетиснута манжетою. Цей метод досі є золотим стандартом в медицині, на якому тестують нові методи вимірювання тиску крові [4,5]. Англійський фізик Томас Юнг (1773–1829), один з творців хвильової теорії світла, займався фундаментальними дослідженнями в області біомеханіки. Він розробив теорію кольорового зору, вивчав механіку речеутворення. Юнг вперше показав, що мова людини і голоси тварин являють собою звукові коливання, які генеруються голосовим апаратом і залежать від еластичності його тканин. Він побудував історично першу 11 модель артеріального русла у вигляді бінарного дерева (1808), отримав формулу для швидкості хвиль, що поширюються в рідинах і пружних тканинах (хвилі, або моди, Юнга). Німецький фізик, фізіолог, психолог Герман Гельмгольц (1821–1894) вніс істотний внесок в механіку, термодинаміку, оптику, акустику, електродинаміку, фізіологію і медицину. У механіці він заклав основи теорії вихрових рухів рідини, в термодинаміці розробив теорію хімічних процесів і ввів поняття вільної енергії, в електродинаміки висунув ідею атомарної природи електрики, провів основоположні дослідження процесів в коливальному контурі. У своїй роботі «Про збереження сили» (1847) він вперше сформулював в математичній формі і обґрунтував універсальність закону збереження енергії. Гельмгольц досліджував процес м'язового скорочення, вперше виявив і провів вимірювання теплопродукції в м'язах при скороченні (1845–1847), і показав, що тепло виробництво в м'язах є важливою компонентою енергетичного обміну організму. Досліджуючи механіку слуху, він побудував модель вуха, яка дозволила досліджувати вплив звукових хвиль на слуховий апарат, розробив теорію сприйняття звуків (резонансна теорія слуху) і винайшов акустичну коливальну систему – резонатор Гельмгольца. За допомогою винайдених ними приладів для дослідження очного дна (офтальмоскоп, 1850), для вимірювання кривизни рогівки (офтальмометр, 1851) і кривизни кришталика (факоскоп) він провів перші кількісні дослідження елементів оптичної системи ока. Гельмгольц також вперше виміряв швидкість поширення збудження по нервовій системі (1850). У 1860 р. він дослідив форму хвильового рівняння, яка відповідає проблемі власних значень для оператора Лапласа і називається тепер рівнянням Гельмгольца. Це рівняння має важливе значення при вирішенні прикладних задач (поширення хвиль, дифузійних фронтів та ін.), у тому числі в механіці кровообігу, дифузійних процесах в клітинах і тканинах, акустиці вуха, генерації мови, експериментальних дослідженняхм реології біоматеріалів. Французький фізіолог Е.-Ж. Марей (1830–1904) був піонером методу графічної реєстрації фізіологічних сигналів на смузі паперової стрічки, намотаної на барабан, що обертається, за допомогою самописця (Рис.2а). Він сконструював сфігмограф, кардіограф, міограф, хронограф, і виконав з їх допомогою численні дослідження. Його графічний метод реєстрації використовується і в сучасній аналоговій медичній техніці. При аналізі кінематики рухів Марей виконував на одній і тій же фотоплатівці ряд послідовних знімків людини, екіпірованої в темний костюм з нанесеними на нього контрастними мітками («чорна людина Марея», Рис.2б). Ці координати служили для детального аналізу біомеханіки рухів здорових випробовуваних і пацієнтів з різними захворюваннями. Результати проведених досліджень 12 були опубліковані в його широко відомій праці «Аnimal mechanism: a treatise on terrestrial and aerial locomotion» (1874). а б в Рис.2. Сфігмограф (а), «людина в чорному» (б) E.Марея і циклограми міток (в). Марей виготовив прообраз фоторушниці; виконані ним серії знімків польоту птахів з експозицією 1/72 с (1880) показали, що форма крила змінюється в залежності від швидкості польоту і опору повітря. Ці результати пробудили інтерес Марея до досліджень біоаеродінаміки польоту. Він побудував аеродинамічну трубу для дослідження впливу швидкості потоку, що набігає, на крило птахів при різних кутах атаки. У своїй трубі Марей також виконав перші в історії фотографії турбулентних течій повітря, що зробило також величезний вплив на розвиток механіки і фізики. У 1881 р. він опублікував велику працю, в якої продемонстрував різні криві пульсу, зареєстровані у хворих і здорових випробовуваних, показав наявність ретроградного (зворотного) кровотоку в стегнової артерії, і багато інших цікавих експериментальних даних з біомеханіки кровообігу [4,5]. XIX–ХХ ст. були ознаменовані колосальними успіхами в розвитку біологічної термодинаміки, механіки кровообігу, опорно-рухової системи, м'язового скорочення як самостійних розділів біомеханіки. Німецький фізіолог А. Фік (1829–1901) досліджував механіку і термодинаміку м'язового скорочення. Йому також належать класичні роботи по дифузії домішок в ідеальних розчинах. Фік удосконалив прилади для дослідження пружних властивостей м'язів, міографію і міотермію, експериментально показав виконання закону збереження енергії для м'язу, який скорочується, і ввів поняття ізометричного і ізотонічного скорочення м'язів. У своїх дослідженнях фізіології кровообігу він сформулював принцип, який ліг в основу методів дослідження хвилинного об’єму серця (метод Фіка). Англійський фізіолог А. Хілл (1886–1977) досліджував теплопродукцію в м'язах і хімічні зміни, які забезпечують енергетику м'язового скорочення. Високоточна техніка дозволила йому вимірювати зміни температури, які 13 супроводжують проходження нервового імпульсу до м'яза, з точністю до 0.003 с. В 1922 р роботи Хілла з механіки м'язового скорочення були удостоєні Нобелівської премії. Англійський фізіолог Е. Хакслі (1917–2012) досліджував іонні механізми генерації електричного імпульсу в нейронах і роль поперечних містків при ковзанні ниток в актін-міозинових комплексах м'язів. Він розробив теорію ниток, які ковзають (1953), для опису м'язового скорочення. За створення цієї теорії в 1963 р. він був удостоєний (спільно з А.Л. Ходжкіном і Дж. Еклсом) Нобелівської премії. Істотний прогрес стався в біомеханіці кровообігу. О. Франк (1865–1944), який досліджував пружні властивості і пульс артерій (статті 1899–1926), запропонував теорію пружного резервуару (1930) як найпростішу нульвимірну (0D) модель для опису системи кровообігу. Видатний англійський математик сер Дж. Лайтхіл (1924–1998) – основоположник аероакустики і творець лінійної теорії поширення і взаємодії хвиль, в тому числі в заповнених рідиною пружних трубках. Його математична модель лягла до основи теорії пульсових хвиль в артеріях. Крім цього, він займався моделюванням течій біологічних рідин зі складною реологією, в тому числі суспензіями рухомих частинок – бактерій. Ці результати були вперше опубліковані в його фундаментальній праці «Mathematical Biofluiddynamics» (1975). Сьогодні його моделі активних рідин (active fluids) стали невід’ємною частиною сучасної механіки рідин. У 1955–1957 рр. британський математик Джон Уомерслі (J.R. Womersley, 1907–1958) опублікував в циклі статей розв’язок задачі про нестаціонарну вісесиметричну течію в'язкої рідини по трубці під дією гармонічних коливань тиску на вході в трубку. Цей розв’язок завершував великий цикл робіт 1914–1954 рр., в яких різні автори намагалися знайти рішення аналогічної математичної задачі при ряді істотних спрощень. Поява рішення Womersley сприяло розвитку спочатку аналогового, а потім і комп'ютерного моделювання течії крові по судинній системі і розповсюдження пульсових хвиль для цілей медичної діагностики. Останні десятиріччя відзначається вибуховим зростанням числа експериментальних і теоретичних досліджень, опублікованих в світовій науковій літературі. Сучасна техніка дозволяє проводити прецизійні вимірювання біомеханічних параметрів як на тканинах, так і на окремих клітинах і навіть великих молекулах. Методи візуалізації дозволяють бачити молекулярні, клітинні, внутрішньоклітинні та позаклітинні структури в динаміці, по мірі надходження хімічних або електричних сигналів, їх трансформацій і зростання. Статистичні методи аналізу даних дозволяють виявляти закономірності на величезних масивах біомеханічної інформації для побудови клієнт-специфічних математичних моделей. Потужний математичний апарат математичної фізики та методів наближених обчислень 14 дозволяє отримувати рішення систем диференційних рівнянь, які налічують тисячі параметрів. Багато з отриманих результатів вже знайшли своє безпосереднє застосування в computer-assisted медичній діагностиці, еволюційній біології, палеонтології і антропології, сучасних мікро- і нанотехнологіях, що дозволяють вирощувати тканини і внутрішні органи (tissue engineering) для трансплантації, біоактивні протези і імплантати, мікробіологічні реактори для виробництва ліків та інших хімічних речовин. Для подальшого використання нових знань необхідне знання математичного апарату сучасної біомеханіки, а також практичні навички розв’язання відповідних математичних задач. 1.3. Одиниці вимірювань. Формула розмірності Моделювання БС вимагає введення величин, які описують властивості і процеси в БС, і можуть виступати як невідомі величини і параметри в системах звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) або диференціальних рівнянь в часткових похідних (ДРЧП) відповідної математичної моделі БС. Базисні величини в механіці – маса M , розмір L , час t , температура T , – є основними і в біомеханіці. Їх одиниці вимірювань - кг, м, с, К в системі СІ або г, см, с, К в системі СГС. Основні складові розмірні величини біомеханіки – швидкість v (м / с), сила F ( 2/= ⋅H кг м с ), механічне напруження σ ( 2/Н м ), щільність ρ ( 3/кг м ), об'ємна щільність сили F/ ρ =f ( 3/H м ), в'язкість η ( / ⋅кг м с ), робота A ( = ⋅Дж Н м ), кінетична Ек (Дж) і потенціальна Еp (Дж) енергія, кількість тепла q (Дж), і ряд інших (див. табл.1). Їх розмірності виражаються через розмірності базисних величин [L], [M], [t], [T], які можна розглядати як дійсні числа, для яких визначені комутативна операція множення [ ] [ ] [ ]⋅ = ⋅i j i jQ Q Q Q і зведення до ступеню [ ] [ ] [ ] ... [ ]= ⋅ ⋅ ⋅n i i i iQ Q Q Q . Основні величини незалежні, тому набори {[M], [L], [t]} і {[M], [L], [t], [T]} можна розглядати як базиси в просторах розмірності механічних і термомеханічних параметрів / процесів відповідно. Тоді розмірність довільної величини Q можна представити у вигляді: [ ] [ ] [ ] [ ]α β γ α β γ= =Q M L t кг м с . Наприклад, [v]=[M]0[L]1[t]1=м/с, [F]=[M]1[L]1[t]-2=кг ⋅ м/с2, а безрозмірні величини, наприклад, концентрації С домішок, мають вигляд [С]=[M]0[L]0[t]0=кг0м0с0. Виконуючи перетворення масштабу одиниць, від базисних величин {[M], [L], [t]} можна перейти до нового базису {[M]j,[L]j,[t]j}, який пов'язаний з першим базисом перетворенням масштабу [ ] [ ]=j jM m M , [ ] [ ]=j jL l L , [ ] [ ]τ=j jt t , де jm , jl , τ j – постійні. Тоді для довільної розмірної величини 15 [ ] [ ] [ ]1 1 1[ ] α β γ=Q M L t в новому базисі з'явиться постійний коефіцієнт [ ] [ ] [ ]1 1 11 1 1[ ] α β γα β γτ− − −= j j j j j j Q m l M L t , наприклад, для в'язкості, 1 1 1[ ]η −= ⋅ = ⋅ ⋅СИ Па с кг м с , а 1 1 1 1[ ] 10 [ ]η η− −= = ⋅ ⋅ = ⋅СГС СИПуаз г см с . Таким чином, при переході до нового базису показники ступенів при розмірностях зберігаються, а змінюється тільки масштабний коефіцієнт. При математичному моделюванні важливо проводити аналіз розмірностей отриманих систем рівнянь, оскільки при наявності дуже великих або маленьких безрозмірних коефіцієнтів перед складовими буде змінюватися тип рівняння і характер його рішення. Таким чином якісь з процесів можуть випадати з розгляду (з малими коефіцієнтами), а інші – превалювати (з великими коефіцієнтами). Наприклад, поздовжні і поперечні розміри БС можуть відрізнятися в 102–104 разів (біологічні мембрани), або процеси в БС можуть розділятися на повільні (гуморальна система регуляції) і швидкі (хімічні реакції, електричні сигнали). У таких випадках можуть вводитися розширені базиси з додатковими основними величинами. Приклади базисів: 1. довжина L , сила f , час t , температура T ; 2. кінетична енергія кинE , L , t,; 3. M , L , поперечний і поздовжній розміри ⊥l і ||l , t, Т; 4. M , L , характерні часи швидких і повільних процесів t1 і t2, Т; 5 M , L , t,, сила струму I (Ампер). Має месце П–теорема Ваші-Бакінгема (А. Vaschy, Е. Buckingham): залежність довільній розмірної величини Q від основних 1, 2{ ,... }nq q q і похідних 1 2,....{ , }mQ Q Q розмірних величин може бути представлена у вигляді: 1 2 1 2 1 2... ( , ,... )α α α= ⋅n n mQ kq q q f П П П , де 1 2 1 2 ...β β β= ⋅ ⋅ n j nП q q q , j = 1,2, ... m – безрозмірні комбінації ([Пj] = 1) основних розмірних величин, k = const, f – функція безрозмірних параметрів, причому k і f повинні бути визначені з додаткових вимірювань/ експериментів. Ця теорема названа на честь Е. Бакінгема, хоча вперше вона була доведена французьким математиком Жозефом Бертраном1 в 1878 р. для задач електродинаміки і теплопровідності. У статті Бертрана були використані основні ідеї методу аналізу розмірностей, який сходить до робіт Релєя2. Перше застосування π–теореми пов'язано з виведенням залежності падіння 1 Bertrand J. Sur l'homogénéité dans les Formules de Physique. Compt.Rend . 1878;86(15):916–920. 2 Rayleigh On the question of the stability of the flow of liquids. Phil. Mag. 1892;34(206): 59–70. 16 тиску в трубі від зовнішніх параметрів, а евристичний доказ залежності з використанням розкладання в ряд було опубліковано в 1894 р.3 Таблиця 1. Основні розмірні одиниці біомеханіки. . Назва Буква Розмірність в СІ Власна назва Густина ρ 3−⋅кг м Сила, вага тіла ,F P 2−⋅ ⋅кг м с Н (Ньютон) Переміщення u м Швидкість V 1−⋅м с Прискорення a 2−⋅м с Кутова швидкість Ω 1−с Кутове прискорення ς 2−с Частота ν 1−с Гц (Герц) Механічне напруження, модуль пружності Юнга, тиск , ,σ Е p 1 2− −⋅ ⋅кг м с Па(Паскаль) Момент сили FM 2 2−⋅ ⋅кг м с Н⋅м Імпульс (кількість руху) Mv 1−⋅ ⋅кг м с Момент імпульсу (момент кількості руху) MvM 2 1−⋅ ⋅кг м с Момент інерції I 2⋅кг м Робота, енергія, кількість теплоти , ,A E q 2 2−⋅кг м с Дж (Джоуль) Динамічна в'язкість η 1 1− −⋅кг м с Па ⋅ с (СИ) Пз, Пуаз (СГС) Кінематична в'язкість /ν η ρ= 2 1−⋅м с Об'ємна витрата Q 3 1−⋅м с Гідравлічний опір Z 4 1− −⋅ ⋅кг м с Швидкість зсуву γ 1−с Деформація ε безрозмірна Проникність пористого матеріалу K 2м Дарсі,D=10-12м2 Формальне узагальнення π–теореми для випадку довільного числа базисних величин було вперше представлено А. Vaschy4 в 1892; пізніше 3 Strutt J.W. The Theory of Sound. Volume II (2nd ed.). Macmillan. 1896. 4 Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique. Ann. Télégraphiques. 1892;19:25–28. 17 незалежні докази були представлені в 1911 р. А. Федерманом5 і Д. Рябушинським6. У 1914 р. Бакінгем7 опублікував статтю, в якій ввів символ π для безрозмірних комбінацій параметрів, що і послужило джерелом назви теореми. Попередній аналіз поставленого завдання на основі π–теореми дозволяє виявити і виключити несуттєві змінні, спростити експериментальні методики, зменшити обчислювальну роботу, будувати прикладні математичні моделі8,9. Фізичне моделювання проводиться на підставі безрозмірних комбінацій розмірних величин, такі як числа Рейнольдса, Фруда, Галілей, Пеклі та ін., які будуть представлені нижче. Приклади задач на використання формули розмірності і π –теореми: 1. У гідродинаміці і біогідродінаміці важливу роль грає безрозмірний параметр Re – число Рейнольдса, який пов'язаний з щільністю ρ і в'язкістю η рідини, з характерним розміром L задачі і швидкістю руху V. Отримати формулу для цього параметру, знаючи що Re = Re ( ρ , V, L, η ). 2. Частинка з радіусом а повільно рухається в рідині з в'язкістю η зі швидкістю V. Знайти формулу для сили опору F, що діє на частинку з боку рідини, знаючи що F = F (а, V, η ). 3. Частинка з радіусом а повільно осідає в рідині з в'язкістю η в полі сили тяжіння g. Щільності матеріалу частинки і рідини – 1ρ і 2ρ . Знайти швидкість осідання V частинки, якщо V= V(а, g, 1ρ – 2ρ ,η ). 4. Рідина з в'язкістю η рухається по трубці довжиною L і круговим перерізом з радіусом R під дією перепаду тисків 1 2 0δ = − >p p p на кінцях трубки. Знайти формулу для об'ємної витрати рідини 3[ ] /=Q м c через перетин трубки, якщо Q=Q(δ p ,L,R, η ). 5. Отримайте вираз для гідравлічного опору Z відрізка кровоносної судини, знаючи, що вона залежить від радіусу R і довжини L судини, перепаду тисків ∆p на його кінцях і в'язкості рідини η . 6. Отримайте вираз для швидкості поширення пульсової хвилі в артеріях, знаючи, що вона залежить від радіуса R судини, товщини h його стінки, щільності ρ та модуля пружності Е матеріалу стінки. 5 Federman A. On some general methods of integration of first-order partial differential equations, Proc. of the St- Petersburg Polytechnic Institute. Section of technics, natural science, and mathematics. 1911;16(1): 97–155. 6 Riabouchinsky D. Мéthode des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique. L'Aérophile, 1911;407–408. 7 Buckingham E. On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 1914; 4(4):345–376. 8 Buckingham E. The principle of similitude. Nature. 1915;96(2406):396–397. 9 Buckingham E. Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. Amer. Soc. Mech. Eng. 1915; 37:263–296. 18 Під час розв’язання задач використовуйте дані з Табл.1; докладні приклади розв'язання см. в [6]. Аналіз розмірностей в основному і розширеному базисах має величезне значення в механіці і біомеханіці, оскільки дозволяє виявити в рівняннях математичної моделі малі складові, якими можна знехтувати, але зберегти складові, які відповідають за істотні механічні процеси в БС і змінюють вигляд і властивості рішення відповідних систем ЗДР і ДРЧП. 2. Подібність біологічних систем. В основі теорій подібності лежить засноване на результатах статистичного аналізу поняття про подібність в будові і пропорціях різних фізіологічних функціях БС, яке також використовується в порівняльній анатомії / біології. Аналогічні уявлення існують і в фізичних науках. Так, – Г. Галілей вивів перший закон подібності для балки довжиною L і перетином S у вигляді виразу для максимальної сили Fmax, яку можна прикласти до балки, не зруйнувавши її, у вигляді Fmax ~ S / L; – Ж.-Б. Фур'є в 1882 р обгрунтував подобу законів охолодження нагрітого металевого кулі і нашої планети (за рахунок тепловіддачі, без урахування радіоактивності); – Дж.У. Релєй ініціював наукову дискусію 1900–1920 рр. про геометричну і динамічну подібність процесів і систем. Порівняльна фізіологія вивчає анатомічні та фізіологічні подібності та відмінності аналогічних систем у різних тварин і людини (кістки, скелет, серце, легені, локомоції та ін.). В геометрії існують відомі критерії геометричної подоби фігур і тіл. Чи існують такі критерії в біомеханіці і біофізиці? Ці знання важливі для використання в медицині, спорті, фармацевтиці, біоніці, робототехніці. В якості прикладу на Рис.3 наведено скелети людини і птиці в схожій пропорції і в вертикальному положенні для порівняння і виявлення їх подібності. Рис.3. Скелети людини і птаха в однаковому масштабі довжин. 19 2.1. Алометрія. Питання про суттєві відмінності геометричних розмірів, форм і способів існування різних рослин, тварин і одноклітинних організмів при їх загальній схожості обговорюються в теоретичної і експериментальної біології і фізіології протягом століть [7]. Аналіз результатів статистичної обробки даних вимірювань на подібних органах, тканинах, клітинах і самих тварин різних видів показав наявність статистично значущих залежностей. Ґрунтуючись на подібних залежностях, поступово сформувався такий розділ біологічних наук як алометрія, де вивчаються кореляції різних фізіологічних параметрів з середньою масою особи даного виду у вигляді степеневих функцій (scaling). В основі такого підходу лежать досить прозорі логічні міркування. Так, якщо L – характерний розмір тварини, то можна припустити, що для геометрично подібних (ізоморфних) тварин (без великої кількості щупалець, нижніх кінцівок і ін. виростів на тілі) об’єм їх тіла 3~ LV . Оскільки тіла більшості тварин містять подібні об’єми води і сухого вмісту (~ 87: 13), так що середня щільність їх тканин приблизно однакова, можна покласти, що і середня маса особини 3~ LM , а площа поверхні тіла 2 2/3~ L ~S M . Відповідно до законів фізики тепловіддача відбувається через поверхню тіла, так що сумарний потік тепла крізь цю поверхню 2/3~ ~q S M . Тепло, що віддається, виробляється в кожній клітині тіла за рахунок сукупності великого числа біохімічних реакцій, які в своїй більшості є екзотермічними реакціями окислення (= горіння), а сумарна кількість енергії, виробленої в БС в одиницю часу називається в біології основним обміном (Дж/с). Далі, у теплокровних температура тіла, тобто вироблене за рахунок метаболічних реакцій тепло (основний обмін) повністю відводиться через поверхню S . В цьому випадку 2/3 0.667~ ~ ≈P S M M , тобто основний обмін і всі пов'язані з ним фізіологічні процеси матимуть таку алометричну залежність. Багаторічні вимірювання тепловіддачі теплокровних, які були виконані на тварин різних розмірів в термостатично ізольованих камерах, показали (Рис.4) дуже гарну відповідність осередненої експериментальної залежності 0.7343.41= ⋅P M і теоретичними оцінками [7,8]. Таким чином, великі тварини споживають при диханні більше кисню, ніж дрібні. Вперше ця залежність була представлена і обґрунтована в роботах M. Kleiber (1893–1976). Пізніше були запропоновані різні уточнення моделі Кляйбера, зокрема, було запропоновано додати в модель тепловіддачу не тільки через поверхню тіла тварини, а й через верхні дихальні шляхи, які мають, в силу своєї фрактальної структури, алометричну площу поверхні 3/4 0.75~Σ =M M . Тоді теоретична залежність мало відрізняється від експериментальної (показники ступеня 0.75 і 0.734). Статистичний розкид для показника ступеня становить 20 0.67–0.86. У той же час залежність щільності N популяції виду тварин (число особин на 1 км2) залежить від маси особини як 4 0.731.41 10 −= ⋅ ⋅N M . Таким чином, великі тварини представляють собою більш нечисленні популяції, ніж дрібні, що добре відомо з багатолітніх спостережень зоологів. Рис.4. Алометричні залежності Р(М) для одноклітинних, холодно- и теплокровних многоклітинних (по результатам [7]). Приклади інших алометричних залежностей [8]: 5 0.99 1 , 5.13 10 ~−= ⋅ ⋅крові що циркулюєV М M 3м ; 0.27 1/30.278 ~= ⋅серцевого циклуt М M c; 0.28 1/31.18 ~= ⋅дихального циклуt М M с; (2.1) 5 1.06 15.53 10 ~−= ⋅ ⋅життєва ємність легенівV М M 3м ; 8 0.29 1/32.37 10 ~= ⋅ ⋅життяt М M с. Алометричний аналіз бігу подібних тварин по горизонтальній поверхні. При бігу по горизонтальній поверхні =потенцU const , а сила опору тіла в потоці повітря 2 2/3 2~ ~⋅ ⋅сопрF S v M v . Сила м'язової тяги, що сприяє бігу, пропорційна площі перетину працюючих м'язів кінцівок, тобто в кінцевому рахунку ~l2 (дані експериментів). Отже, відношення /сопр тягиF F не буде залежати від розміру тварини. Це підтверджується і даними вимірювань на різних тваринах. Аналіз бігу в гору. Потенційна енергія тіла при підйомі в гору лінійно зростає =ПU Мgh за рахунок роботи м'язів кінцівок. Витрачається на підйом 21 енергія ~ ~ПE U M , а ось основний обмін, який забезпечує роботу м'язів, 2 3~P M . Отже, відношення 2 3/ ~E P M , тому при бігу в гору дрібні тварини витрачають менше енергії в порівнянні з основним обміном і, таким чином, мають перевагу по відношенню до великих тварин. Зі зростанням M відбувається збільшення відносної «слабкості м'язів», яке пов'язане з тим, що вага тіла і потенційна енергія зростають як ~ M , а м'язова сила збільшується лише як 2 3~ M . Саме тому дрібні комахи (мурахи, оси) здатні піднімати і нести вантаж, що перевищує вагу власного тіла в 30–40 разів, тоді як середньостатистична людина здатна тривалий час нести вантаж, рівний всього ~ 0.8 маси власного тіла, а кінь – всього 0.7 маси свого тіла. 2.2. Безрозмірні параметри біомеханіки. Безрозмірні параметри, які використовуються в біомеханіці для порівняльного аналізу фізичних процесів на різних масштабах, а також механічних властивостей організмів, які значно відрізняються розмірами, мають різну природу, а саме: 1. Безрозмірні критерії механіки – числа Рейнольдса, Ейлера, Фруда та ін.; 2. Безрозмірні критерії подібності фізіологічних систем, що складаються з алометричних залежностей вигляду (2.1), наприклад: 0.018.3= ⋅ ≅ Маса крові М const Маса серця , 0.0014.4= ⋅ ≅ Маса крові М const Маса легенів , 0.013.9= ⋅ ≅ Час дихального циклу М const Час серцевого циклу , 0.02' 0.03 ' ⋅ = ⋅ ≅ Об ємна витрата в легенях час серцевого циклу М const Об єм крові , 0.02'є 0.03 'є ⋅ = ⋅ ≅ Об мна витрата крові час дихального циклу М const Об м легенів , Щільність популяції ⋅ Основний обмін = 4 0.044.82 10⋅ = ⋅ ⋅ ≅N P M const . Методи біологічної подібності використовуються в антропології (визначення маси тварини виходячи з розмірів знайдених кісток), в фармакології (розрахунок дози лікарської речовини для даного пацієнта, виходячи з доз, визначених експериментально для ряду дрібніших піддослідних тварин на зразок лабораторних мишей, свинок, кроликів), у загальній біології (отримання порівняльних характеристик подібних тварин). 22 2.3. Геометрична подібність в біомеханіці. Геометрична подібність – це подібність геометричних розмірів тіл різних тварин, наприклад, розмірів кінцівок, черепа, хребта, подібних по розташуванню і функцій м'язів або внутрішніх органів і т.д. Розмір людського тіла коливається в широких межах – від пігмеїв зростом 1.4 м в Африці та Океанії до 2 м середнього зросту нілотських народів Східної Африки10. Задачі математичного моделювання вимагають розробку базової моделі тіла людини, яку потім можна буде «перераховувати» до індивідуального тіла будь-якої людини. Це відноситься не тільки до зовнішнього вигляду або особливостей будови опорно-рухової системи, але і до розробки моделей серцево-судинної, дихальної та інших систем організму, будова яких залежить від геометрії тіла даної людини. Розв’язання цієї задачі потребує враховувати стать, расу, географічні умови життя, тренованість тіла, наявність залишкової ваги та інші фактори, які впливають на пропорції та механічні характеристики людського тіла. Слід також розрізняти масштабування (глобальну зміну розмірів основних частин тіла) і морфінг (зміни кривизн окремих частин тіла, збільшення/зменшення опуклостей і увігнутостей). Ще з часів Давньої Греції було відомо, що пропорції між сегментами тіла людини відповідають «золотій» пропорції a:b=b:(a+b), тобто 38% і 62% від цілого (Рис.5а), так само як і пропорції рис обличчя і кисті (Рис.5б). Да Вінчі описав ці залежності в своїх працях з анатомії і використав в картинах і скульптурах. З давніх часів ці пропорції використали в дизайні храмів (Рис.6а), палаців, башт, мавзолеїв (Рис.6б) як для підвищення їх механічної стійкості, так і поліпшення естетичних властивостей. Відповідні пропорції в інших позах (Рис.5в) важливі при проектуванні робочого місця людини. Цікаво, що «золота» пропорціє є границею для відношення членів ряду Фібоначчі 0,1 1 11; + −= = +n n nF F F F : 1lim( / ) 0,618+→∞ ≈n nn F F , так що у промисловому дизайні часто використовують розміри різних характерних елементів з ряду чисел Фібоначчі (Рис.6в). Пропорції тіла людини важливі для проектування кінцівок роботів, які призначені до маніпуляцій з твердими і м’якими предметами на виробництві (robotic arm, robotic hand). Так, верхня кінцівка людини може бути представлена у вигляді кінематичного ланцюга − − −A B C D (Рис.7а), де −A B – плече, −B C – передпліччя, −C D – кисть від зап'ястя до кінчиків пальців, причому довжини можна обчислити по кожному з п'яти пальців ( 1,CD 2 ,CD …. 5CD ). Характеристикою 3-ланкових ланцюгів є подвійне відношення W , яке зазвичай використовується в проекційної геометрії: 10 Molnar S. Human Variation: Races, Types and Ethnic Groups, Prentice Hall, Inc., 1998. 23 ( ) ( ) ( ) + + + = + АВ ВС ВС СD АB ВС СD W ВС . (2.2) Ця величина характеризує конформні перетворення. Наприклад, для кінематичного ланцюга 1 1 1 1− − −A B C D (Рис.7б), центральна проекція (центр О) ланок ланцюга на іншу пряму дає ланцюг відрізків 2 2 2 2− − −A B C D , для якого і довжини, і відносини довжин сусідніх сегментів залишаються різними, але подвійні відношення в обох випадках рівні ( 1 2=W W ). а б в Рис.5. Пропорції сегментів тіла (а), обличчя і кисті (б) людини в положенні стоячи та в деяких робочих/спортивних позах (в). а б в Рис.6. «Золота» пропорція в храмах Давньої Греції (а) і Сходу (б), а також у промислових виробах (в). 24 Розрахунки значень 1 5−W по (2.2) для кожного з пальців 1 5−D (статистичний матеріал) показали, що 1,26 1,35= −W , середнє значення по всіх пальцях для людей різного віку, росту, статури становить 1,31=срW . Відхилення від срW мінімальні для середнього пальця (2%) і максимальні для найменш розвиненого мізинця (9%). Отже, у зростаючої кінцівки довжини ділянок − − −A B C D конформно подібні. Значення 1,31 виникає при в інших вимірах геометричних розмірів біологічних об'єктів, а також – в ряді Фібоначчі lim ( ) 1,31 →∞ ≡ =F nn W W F . Числа Фібоначчі, «золота» пропорція і «золоте» співвідношення 1,31 величини з'являються також при вимірюваннях відносного розташування листя на стеблі, завитків равлику вуха і раковин морських молюсків, спіральних структур в кістках, волокон в м'язових клітинах, і характеризує геометрично подібні властивості біологічних об'єктів. Близькі до «золотої пропорції» і відношення довжини і ширини яєць різних птахів і комах (Рис.7в,г). Маса яєць птахів варіює від 300 мг (у колібрі) до 9 кг (у вимерлого нелітаючого птаха мадагаскарського епіорніса). Контур y(x) і об’єм V курячих яєць дуже добре описуються рівняннями11 2 2 2 2 2 (1 ) 1, ( ) , a a x y kx V y x dx a b π − + + = = ∫ , (2.3) де 2а – довжина, 2b – ширина при х=0, bm – максимальна ширина при x=am. При k=0 (2.3) дає еліпс, при k=0.1 – форму курячого яйця (Рис.7в), а зі збільшенням k дає конусоподібні форми (Рис.7в). Ця математична модель з великою точністю визначає реальну форму різних яєць, але не пояснює, чому яйце має саме таку форму. Слід зазначити, що далеко не у всіх птахів яйця схожі на курячі (Рис.7г). Так, яйця пугача чи шуліки майже сферичні, а у куліка чи тонкодзьобової кайри — близькі до конуса. При цьому 2/ / 2 1.309ma b ≈ Φ ≈ , що теж близько до значення 1,31FW ≈ . «Золота пропорція» була також виявлена в кінцівках комах, які мають N=3–5 і більше сегментів. Вимірювання на різних типів жуків показали12, що відносні довжини сегментів j jL L / L= , де L – довжина тіла, змінюються в достатньо вузьких діапазонах значень (Рис.7д). Порівняльний аналіз значень j j 1L / L + для комах, у яких кінцівки «сконструйовані» для різних цілей 11 Weng Y.-K., Li C.-H., Lai C.-C., Cheng C.-W. Equation for Egg Volume Calculation Based on Smart’s Model. Mathematics 2022, 10, 1661. 12 Denisov O., Kizilova N. Geometry and mechanicі of multi-joint extremities from mammals to insects: towards biomimetic degign of robotic arm. BIOMDLORE 2016. VGTU Press. 2016. P.69-72. 25 (Рис.7е), показав, що відношення 1 2L / L , 2 3L / L близькі до FW (червона лінія на Рис.7е) і до «золотої» пропорції (блакитна лінія). а б в г д е Рис.7. Схема будови верхньої кінцівки людини (а); центральна проекція відрізку A1D1 на непаралельну пряму (б), геометричні параметри (в) і різні форми (г) яєць птахів; значення довжин сегментів кінцівок у комах (д) і відношення довжин суміжних сегментів (е). Геометричні співвідношення тіл людей, тварин, рослин і відповідність пропорцій мають важливе значення в порівняльній біомеханіці, теоретичній біології, медицині, робототехніці, біоінженерії і ергономіці. 26 3. Елементи біологічної термодинаміки. 3.1. Основні поняття термодинаміки. Термодинаміка (ТД) вивчає закономірності перетворення енергії при перенесенні її в формі кількості теплоти Q і роботи A . Методи ТД застосовні до макроскопічних систем, тобто до систем, які містять достатно велику кількість частинок (молекул, клітин, особин в колективі, і т.д.) для застосування статистичних методів аналізу. Стан БС характеризується її макропараметрами – тобто параметрами, які характеризують систему в цілому, а саме об’ємом V , тиском p , температурою T , масовими концентраціями /=j jC M M різних компонент j = 1,2, ... N, де – jM їх маси, 1= = ∑ n jj M M , та ін. Якщо макропараметри системи постійні і в системі відсутні потоки (перенесення маси, імпульсу, тепла, заряду, ...), стан системи називається рівноважним. Фізичний процес, в ході якого макропараметри системи залишаються постійними і відсутні потоки, називається рівноважним процесом. Рівноважні процеси – це зручна для теоретичних побудов модель, яка широко використовувалася в рамках т.зв. рівноважної ТД. Існує також поняття квазірівноважних процесів, протягом яких параметри системи залишаються постійними з задовільною точністю. Такі процеси можна здійснити при досить повільному впливі на систему зовнішніх факторів, щоб параметри системи встигали вирівнюватися за величиною по всьому об'єму. Процес, в результаті якого система приходить в початковий стан (з тими ж макропараметрами), називається круговим процесом або циклом. TД системи можуть бути відкритими, закритими і ізольованими. Ізольовані системи не обмінюються із зовнішнім середовищем ні речовиною ні енергією; закриті обмінюються тільки енергією, а відкриті – і енергією, і речовиною. Прикладами таких ТД систем є ідеальний термос, наповнений гарячою водою, термос з пошкодженим дьюаром, і термос з пошкодженим дьюаром і нещільно пригнаною пробкою, відповідно. 3.2. Засади термодинаміки і біомеханіка. 3.2.1. Нульовий закон ТД. Важливу роль в ТД грає аксіома/постулат про існування термодинамічної рівноваги або т.зв. нульовий закон (Zeroth law): якщо кожна з двох ТД систем знаходиться в термічній рівновазі з 3-ю системою (тобто теплообмін між ними відсутній), то вони також знаходяться в термічній рівновазі між собою. Цей закон дає можливість ввести поняття температури системи і способу її вимірювання за допомогою 3-го тіла, яке називається термометром. 27 Результатом вимірювання температури є розширення газу або рідини в судині (газові і рідинні термометри), виникнення/зміна електричного опору/ ємності/заряду (електричні термометри), викликані інфрачервоним (тепловим) випромінюванням фізичні процеси (ІК-термометри) та ін. 3.2.2. Перший закон ТД. Має місце фундаментальний закон природи – 1-й закон/засада ТД, який представляє собою закон збереження енергії при її перетворенні в інші види, математична формулювання якого має вигляд: δ δ δ= +Q U A , (3.1) де U – внутрішня енергія, d і δ – диференціали (прирощення), причому d – повний, а δ – неповний диференціал. Робота вважається позитивною, якщо вона виконується тілом над зовнішніми тілами, і відємною – якщо зовнішні тіла виконують роботу над даним тілом. Таким чином, словесне формулювання співвідношення (3.1) має вигляд: кількість теплоти δQ , яка була передана тілу, йде на зміну внутрішньої енергії тіла δU і на виконання тілом роботи δ A над зовнішніми тілами. Перша засада термодинаміки часто формулюється як неможливість існування вічного двигуна першого роду, який здійснював би роботу, не отримуючи енергію ззовні (perpetuum mobile). 3.2.3. Історичні відомості. Відкриттю закону збереження енергії в його загальній формі передував цілий ряд досліджень в галузі фізики, хімії та фізіології. З незапам'ятних часів людство використовувало вогонь для приготування їжі, обігрівання помешкань, обробки матеріалів. Ідеї використання вогню як двигуна (зовнішнього згоряння) сходять до часів Римської імперії. У стародавній філософії вогонь розглядався як окремий елемент, що лежить в основі світобудови, і саме з ним пов'язувалися уявлення про теплоту і способи її передачі. У 1667 р. була сформульована наукова концепція флогістону – речовини (елемента), який міститься в горючих тілах і може виділятися і передаватися при горінні. Експериментальні дослідження флогістону в кінцевому рахунку привели до відкриття кисню і процесів окислення. Наприкінці XVII – на початку XVIII ст. проводилися інтенсивні дослідження молекулярного складу, хімічних і фізичних властивостей газів. У 1662 р. англійський фізик і хімік Р. Бойль відкрив один з основних газових законів, який описує поведінку ідеального газу в ізотермічному процесі (PV = const при T = const, де Р – тиск, V – об'єм газу). У 1676 р. цей закон був перевідкритий французьким фізиком Е. Маріоттом і тепер носить назву закону Бойля – Маріотта. 28 У 1787 р. французький винахідник і вчений Ж. Шарль, відомий як винахідник повітряної кулі, яка наповнюється воднем і може літати, експериментальним шляхом встановив залежність тиску газу від температури при постійному об'ємі (Р/Т = const при V = const, закон Шарля). У 1802 р. французький фізик і хімік Ж. Гей-Люссак підтвердив цю залежність і вперше опублікував свої експериментальні дані про залежність об’єму газу від абсолютної температури при постійному тиску (V/Т = const при Р = const), який тепер називають законом Гей-Люссака. В англомовній літературі закони Гей-Люссака і Шарля часто називають першим і другим законами Гей-Люссака відповідно. У 1834 р. французький фізик і інженер Б. Клапейрон зібрав три газових закону в одному співвідношенні, яке в 1874 р. узагальнив російський хімік Д.І. Менделєєв (рівняння Менделєєва – Клапейрона), яке є рівнянням стану ідеального газу: PV = nRT, (3.2) де n – число молей газу, R – універсальна газова стала. Ідеальний газ являє собою теоретичну концепцію газу, який складається з великої кількості точкових частинок, які випадково рухаються в просторі і не взаємодіють між собою (не зіштовхуються). Подальші дослідження показали, що добре наближення для внутрішньої енергії ідеального газу дає залежність 0= +U U ncRT , (3.3) де 0 =U const , с=1.5 для одноатомних газів (He, Ar, …) і с=2.5 – для двоатомних (Н2,О2,…). Через сто років після відкриття закону Бойля–Маріотта нідерландський фізик Ван-дер-Ваальс (1837–1923) запропонував для реального газу (частинки якого не можуть не взаємодіяти, принаймні при достатньо великому тиску, коли газ стискається і частинки знаходяться достатньо близько і можуть зіштовхуватися) рівняння стану у вигляді 2 2( / )( )+ − =p an V V bn nRT , (3.4) де V – об’єм газу, , =a b const , причому а характеризує сили при тяжіння молекул, а значення b пропорційне їх розміру; при , 0=a b (3.4) переходить в рівняння стану ідеального газу (3.2). В силу наявності у тіл теплового розширення маємо залежність 0( ) (1 )α= +V T V T , (3.5) де 0 (0)=V V , α = коефіцієнт термічного розширення при =p const . Тоді для внутрішньої енергії газу Ван-дер-Ваальса (VdW) замість (3.3) маємо 2 0= + −VdW nU U ncRT a V . (3.6) 29 Французький натураліст і засновник сучасної хімії А.Л. Лавуазьє (1743– 1794) відкрив кисень, пояснив процес горіння як хімічні реакції з'єднання з киснем (окислення) і передбачив, що дихання людини і тварин є повільне горіння, за допомогою якого організми отримують енергію. У 1777 р. він опублікував роботу «Експерименти з вивчення дихання тварин і зміни, які зазнає повітря при проходженні через легені», де були викладені результати його досліджень по диханню дрібних ссавців, які були розміщені в калориметрі (Рис.8 а,б). Хімічна лабораторія Лавуазьє була одним з головних наукових центрів Парижу того часу. У ній збиралися як дослідники з різних галузей знання, так і молоді початківці. Вони спостерігали або брали участь в дослідах Лавуазьє, обговорювали нові наукові теорії. Лавуазьє і французький математик П.-С. Лаплас були першими, хто застосував калориметр – пристрій з термоізольованою камерою, який використовується для визначення кількості тепла, виділеного або поглиненого в ході хімічної або біохімічної реакції, фізичного або біологічного процесу. В 1779–1784 рр. Лавуазьє і Лаплас спільно вивчали питання теорії теплоти, винайшли крижаний калориметр, запропонували назву «калориметр» (1780) і проводили з ним експерименти, у тому числі з невеликими теплокровними тваринами. Сучасні калориметри працюють в діапазоні температур Т=0.1–3500 К і дозволяють вимірювати кількість теплоти з точністю до 0.01%. а б Рис.8. Лавуазьє проводить в своїй лабораторії досліди по диханню людини (а); кролик в термостаті з датчиками (б). Лавуазьє показав, що під ковпаком термостату після дихання кількість повітря зменшується на ~ 20%, і що повітря, яке залишається після цього, не підтримує ні дихання, ні горіння. Було також розраховано, що споживання 1 літра 2О і виділення 1 літра 2СО супроводжується виділенням одного і того ж кількості теплоти 5,05 ккал теплоти як при диханні тварини (окислення в організмі), так і при окисленні 2 2+ =C О CО в лабораторній хімічної реакції. Вимірювання були проведені на різних лабораторних тваринах. 30 У своїй статті13 1783 р. Лавуазьє показав, що теорія флогістону несумісна з його експериментальними результатами, і запропонував в якості носія тепла концепцію «тонкої рідини», яку назвав калорійною. Згідно з його теорією, кількість цієї речовини у всесвіті постійна, і вона тече від більш теплих тіл до більш холодних. В цей же час проходили інтенсивні дослідження можливості здійснення механічної роботи за рахунок розширення газу, якому передається деяка кількість теплоти. У 1824 р. французький інженер і фізик Саді Карно опублікував книгу «Роздуми про рушійну силу вогню», в якій запропонував теоретичну концепцію для збільшення ефективності теплових машин. Ця концепція (цикл Карно) представляє циклічний процес, що складається з чергування двох ізотермічних і двох адіабатичних процесів з поверненням системи в початковий стан. Теорія Карно ґрунтувалася на концепції калорійної рідини, запропонованої Лавуазьє. Пізніше концепцію двигуна Карно було переформульовано в термінах фізичних величин. У 1834 р. Б. Клапейрон запропонував графічне представлення процесів в циклі Карно у вигляді звичних нам діаграм в координатах P–V (або P–T і V–T). У 1850 р. Р. Клаузиус в своїй статті «Про рушійну силу тепла» запропонував сучасне формулювання циклу Карно. Цей цикл досліджень по суті послужив появі нової науки – термодинаміки, закони якої описують всі процеси від молекулярних до макроскопічних аж до масштабів всесвіту, як в неживих, так і в живих тілах. У 1841 р. російський хімік Г.І. Гесс відкрив закон, який по суті є окремим випадком 1-го закону ТД стосовно до хімічних реакцій, і є основним законом термохімії. Формулювання закону Гесса: Тепловий ефект хімічної реакції не залежить від шляху її протікання, а залежить тільки від виду та стану вихідних речовин і продуктів реакції. Кількість виробленого тепла дорівнює різниці ентальпій (тепломісткостей) продуктів реакції і вихідних речовин. Таким чином, кількість теплоти, що виділяється або поглинається при хімічній реакції А + В  C, можна розрахувати як δ = − −C A BQ H H H , де НА,В,С – ентальпії речовин F, B, C (визначення див. нижче), незалежно від того, яким чином протікала реакція. Закон Гесса дозволяє розрахувати тепловий ефект реакції, не проводячи лабораторних експериментів, а тільки використовуючи табличні значення тепломісткостей речовин. Закон Гесса пояснює результати дослідів Лавуазьє: тепловий ефект хімічної реакції окислення вуглецю не залежить від того, відбувається реакція в лабораторних умовах («в пробірці»), або ж проходить складний ланцюжок перетворень, пересуваючись із легенів тварини в тканини у 13 Lavoisier A.L. Réflexions sur le phlogistique, pour servir de développement à la théorie de la combustion & de la calcination. Paris, Académie des sciences, 1783. 31 вигляді сполук 2О з гемоглобіном (Hb) крові, беручи участь в реакціях окислення на тканинному рівні, а потім проходячи зворотний шлях від тканин до легенів у вигляді сполук 2СО з Hb і потрапляючи в навколишнє середовище у вигляді молекулярного 2СО . Хоча якісь з проміжних реакцій в цьому довгому ланцюжку можуть бути ендотермічними, а якісь - екзотермічними, залежати від дії каталізаторів чи ні, – загальна кількість теплоти буде такою же, якщо б хімічна реакція відбувалася безпосередньо ( 2 2+ =C О СО ). Закон Гесса лежить в основі роботи калориметра: оскільки енергія надходить в організм у вигляді їжі, яка, в кінцевому підсумку, окислюється (з’єднується з 2О ), загальне тепловиділення можна оцінити шляхом вимірювання тепла, яке виділяється безпосередньо при окисленні (спалюванні) їжі в калориметрі. Перша засада ТД була сформульована в середині XIX ст. в роботах німецького лікаря і натураліста Ю.Р. Майєра (1814–1878), який поширив закон збереження механічної енергії спочатку на термічні (1842), а потім (1845) – і на всі немеханічні процеси. У 1840 р. Майєр здійснив подорож на острів Ява в якості суднового лікаря. В процесі лікування матросів методом кровопускання, який широко практикувався в той час, він звернув увагу, що при просуванні судна від північних широт до екватора венозна кров, яка випускалася з вени, ставала все світліше і наближалася за яскравістю до артеріальної крові. Майєр припустив, що «температурна різниця між власним теплом організму і теплом навколишнього середовища повинна знаходитися в кількісному співвідношенні з різницею в кольорі артеріальної і венозної крові. Ця різниця є вираженням розміру споживання кисню або сили процесу згоряння, що відбувається в організмі ». Якщо в умовах холодного клімату тепловіддача тіла вище, то для підтримки постійної температури тіла потрібні більш інтенсивний основний обмін, ніж в умовах тропічних температур. На жаль, перша робота Майєра «Про кількісне та якісне визначення сил»14, яка була спрямована в 1841 р. в журнал «Аннали фізики і хімії» (Annalen der Physik und Chemie), не була опублікована. Майєр не мав фізичної освіти, і присланий їм текст містив принципові неточності. Засновник і редактор журналу німецький фізик І.К. Поггендорф без пояснень відхилив статтю і не повернув її автору. Манускрипт 36 років пролежав у шухляді стола, де і був виявлений вже після смерті редактора. Підкоригований варіант цієї статті «Зауваження щодо сил неживої природи» був пізніше опублікований в хіміко-фармацевтичному журналі, який не 14 Mayer R. Remarks on the Forces of Nature (1841). 32 читали фізики15. Лише в 1862 р. вийшов доступний для наукової спільноти англійський переклад цієї статті16. Третя робота «Органічний рух в його зв'язку з обміном речовин» була також відхилена, і Майер опублікував її в 1845 р. на власні кошти у вигляді брошури17. У своїх роботах Майєр вперше сформулював закон збереження енергії і теоретично розрахував механічний еквівалент теплоти. Він стверджував, що «тепло є сила, яка може трансформуватися в механічний ефект», а також «робота, що здійснюються машиною, нерозривно пов'язана зі спожитим теплом»18. Пізніше Майєр поширив закон збереження енергії на небесні тіла і показав, що сонячна енергія не може бути результатом лише хімічних реакцій19. Звичайно, в той час не було відомо про існування термоядерних реакцій, і Майєр припустив, що додатковим джерелом енергії може бути масивне бомбардування Сонця та інших зірок метеоритами. Роботи Майєра довго залишалася непоміченими, і тільки англійський переклад 1862 р. звернув на себе увагу німецького фізика Р. Клаузіуса, що викликало запеклу полеміку між Клаузиусом, Тіндалем, Джоулем і Дюрінгом в оцінці ідей Ю.Р. Майєра. Ім'я Майєра носить відоме співвідношення − =p vc c R (формула Майєра) між питомими теплоємностями речовини при постійному тиску pc і об'ємі pc , де R – газова постійна. У 1843–1850 рр. англійський фізик Дж.П. Джоуль в серії експериментів по дослідженню тепловиділення в провідниках експериментально обґрунтував 1-й закон ТД. Джоуль показав, що тепло, яке виділяється в провіднику зі струмом, не забирається з навколишнього середовища, а виробляється з електричної енергії, що безповоротно спростовувало існуючу тоді теорію специфічної субстанції – теплороду, – яка розглядалася як єдиний механізм теплопередачі. Не знаючи про роботи Майєра, Джоуль займався експериментальним визначенням механічного еквівалента тепла – залежності між зробленою роботою і переданою кількістю теплоти. У своїх різноманітних експериментах він підтверджував збереження енергії кількісними данями. Математичне формулювання (3.1) 1-го закону ТД належить німецькому фізику Г. Гельмгольцу (1847), який, не знаючи про роботи Майєра, 15 Mayer J.R. Bemerkungen über die Kräfte der unbelebten Natur. Annalen der Chemie und Pharmacie. 1842;42(2):233–240. 16 Mayer J.R. Remarks on the Forces of Inorganic Nature. Philosophical Magazine. S.4. 1862; 24(162): 371–377. 17 Mayer J.R. Die Organische Bewegung in Ihrem Zusammenhange mit dem Stoffwechsel, Dreschsler, Heilbronn, 1845. 18 Mayer J.R. The Motions of Organisms and Their Relation to Metabolism. In: Lindsay R.B. "Julius Robert Mayer. Prophet of Energy", Pergamon Press, 1973, pp.76-145. 19 Mayer J.R. Beiträge zur Dynamik des Himmels, Heilbronn, 1848. 33 обґрунтував закон збереження енергії для всіх її можливих видів.20 Цій роботі передували скрупульозні експерименти Гельмгольца по м'язовому скороченню, в яких він вимірював генерацію тепла при скороченні м'язів жаби21 і метаболічну теплопродукцію у тварин.22,23 У 1850 р. була опублікована робота Р.Клаузиуса «Про рушійну силу теплоти і про закони, які можна звідси отримати для теорії теплоти», в якій теорія циклічних процесів в теплових двигунах, яка була сформульована Карно в термінах теплороду, була переформульована відповідно до робот Джоуля про механічний еквівалент теплоти. Клаузіус також сформулював цей закон в іншій формі, пославшись на існування функції стану системи, яку висловив у термінах диференціального рівняння вигляду (3.1), а в 1882 р. Гельмгольц запропонував назвати цю функцію внутрішньою енергією U. Таким чином, починаючи зі спостережень за процесами перетворення теплоти в організмах теплокровних, базуючись на численних експериментах з тепловими машинами (цикл Карно) і теплопродукцією в електричних процесах, було отримане математичне формулювання 1-го закону ТД. Як показали вимірювання параметрів газу в ході циклічних процесів, відношення кількості тепла δQ , переданого робочому тілу, до виконаної їм роботі δ A в ході деякого циклічного процесу є константа: /δ δ =∫ ∫  Q A const , причому в разі вимірювання Q і A в одних і тих же одиницях (в Дж або калоріях) ця постійна є одиниця, тобто ( ) 0δ − =∫ Q A , Це може бути тоді і тільки тоді, якщо під знаком інтеграла стоїть повний диференціал деякої функції ( )δ= −dU Q A . Функції, представлені під час переходу системи зі стану 1 в стан 2 як повні диференціали (dF), можуть бути обчислені для конкретного стану системи: 2 2 11 = −∫ dF F F , тоді як функції, представлені неповними диференціалами (δ℘ ), залежать від шляху інтегрування, тобто від способу переходу зі стану 1 в стан 2 і, таким чином, є функціями процесу. Таким чином, 1-й закон ТД вводить новий параметр стану системи, який не залежить від шляху інтегрування – внутрішню енергію системи U . Внутрішня енергія дорівнює сумі кінетичної енергії руху і потенційної енергії взаємодії частинок (молекул), що складають тіло. При переході системи зі стану 1 в стан 2 зміна внутрішньої енергії U . 20 Helmholtz H. Über die Erhaltung der Kräft. Eine Physikalische Abhandlung, G Reimer, Berlin, 1847. 21 Helmholtz H. Metabolism of muscular activity. Müller’s Archive (1845) 22 Helmholtz H. Heat phenomena in physiology. Müller’s Archive (1846) 23 Helmholtz H. Heat production in animals. Müller’s Archive (1847) 34 Якщо система характеризується одним макропараметром – об'ємом V , то з елементарного розгляду стиснення газу під поршнем виходить, що δ δ=A p V . При ізобаричних процесах (δ δ=A p V ) з I закону ТД (3.1) випливає, що кількість теплоти набуває властивостей функції стану: ( )δ = + =Q d U pV dH – повний диференціал, де ( )δ = + =Q d U pV dH – ентальпія або тепломісткість системи. При цьому ( )δ = + =Q d U pV dH . Як випливає з закону Гесса, ентальпію будь-якого тіла можна визначити шляхом спалювання і вимірювання загального теплового ефекту в спеціальному термостатованому пристрої (Рис.9а). Приклади ентальпій різних продуктів наведені на Рис.9б в розрахунку на 100г речовини. а б Рис.9. Камера для вимірювання ентальпії H (а) і значення H (ккал) для деяких продуктів харчування (б). 3.2.4. Другий закон ТД. I закон ТД говорить про баланс енергії в різних її формах, але не вказує можливого напрямку її передачі (від більш нагрітого тіла до менш нагрітого або ж навпаки). Крім цього, I закон не дозволяє кількісно оцінити теплові ефекти сухого і в'язкого тертя і інших форм розсіювання енергії (дисипації). Ґрунтуючись на своїх дослідженнях циклу Карно і наявні відомості про направлення теплових процесів, в 1854 р.24 Клаузиус сформулював твердження: «Теплота сама собою не може переходити від тіла холодного до тіла гарячого без будь-яких інших пов'язаних з ним змін, що відбуваються в той же час ». Пізніше це твердження було названо теплової аксіомою (the axiom of Clausius) і переформулювано в термінах теплових машин в роботі25 британського механіка, фізика, інженера У. Томсона (лорда Кельвіна, 1824– 24 Clausius R. Ueber eine veränderte Form des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheoriein. Annalen der Physik und Chemie. 1854; 93(12): 481–506. 25 Clausius R. Ueber eine veränderte Form des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheoriein. Annalen der Physik und Chemie. 1854; 93(12): 481–506. 35 1907). Таким чином, теплова аксіома Клаузиуса стала першим формулюванням другого закону ТД. Сучасне формулювання II закону ТД пов'язане з введенням нової функції стану системи – ентропії S, абсолютної термодинамічної температури і шкали температур (У. Томсон, 1848). У 1865 р. з'явилася робота «Про різні зручні для використання форми другого начала математичної теорії теплоти», в якій Клаузиус ввів найважливіше для ТД поняття ентропії. У своєму циклі робіт Карно показав, що за допомогою теплової машини теплота може бути перетворена в роботу тільки при наявності різниці температур, тобто наявності у теплової машини як мінімум двох теплових резервуарів з різними температурами – нагрівача і холодильника, причому коефіцієнт корисної дії К.К.Д. (η ) теплової машини не залежить від природи робочого тіла і термодинамічної циклу, а визначається виключно температурами нагрівача hT і холодильника fT (Теорема Карно): 1 1η = − = −f f h h Q T Q T . (3.7) У циклі Карно кількість теплоти Qh поглинається робочим тілом (газом) від нагрівача при температурі Тh і потім кількість теплоти Qf віддається холодильника при температурі Тf. Клаузіус показав, що Qf/ Тh = Qf/Тf, тобто, незважаючи на відмінність температур і кількостей теплоти, їхнє відношення може бути функцією стану, яка зберігається протягом повного циклу Карно. Клаузіус назвав цю функцію стану ентропією. Таким чином, ентропія була відкрита як математична конструкція, яка не має чіткої фізичної аналогії і недоступна для безпосередніх експериментальних вимірювань. Ентропія, яка надходить до системи, завжди менше ентропії, яка залишає систему; таким чином, внутрішні незворотні процеси сприяють зростанню ентропії (за рахунок дисипації енергії), що не дозволяє теплової машині виробляти максимальну кількість роботи, тому 1η < (приклади наведені в Табл.2). Табл.2. К.К.Д. різних процесів і пристроїв. Назва К.к.д. (%) 1 Фотосинтез 0.5–3 (6 макс.) 2 Парова машина Уатта 3–4 3 Паровоз 8 4 Сонячна батарея 6–40 5 Двигун внутрішнього згоряння 10–40 6 Світлодіод (LED) 8–55 7 М'язове скорочення 14–25 8 Дизельний двигун 40 9 Побутовий холодильник 20–50 10 Газова турбіна 35–46 36 11 Перетворення енергії АТФ в роботу 40–45 12 Гліколіз (енергетика клітин) 36 13 Реактивний двигун на рідкому паливі 47 14 Газова турбіна комбінованого циклу 60 15 Електроліз води 50–80 16 Літій–іонний акумулятор 80–90 17 Флуоресценція тропічних комах 96–98 18 Розряд електричних скатів 98 19 Електронагрівач 90–99 Дж. Гіббс, Дж. Максвелл і Л. Больцман створили статистичну механіку, яка пов'язує термодинамічні величини з мікроскопічною поведінкою великих ансамблів частинок і пояснює закони ТД як статистичні властивості таких ансамблів. При цьому результат дослідження властивостей і вимірювання макропараметрів ТД систем визначаються мікропараметрами частинок в ансамблі, які в силу наявності молекулярно-кінетичного (теплового) руху частинок осцилюють відносно деяких середніх значень. Американський фізик-теоретик Дж.У. Гіббс (1839–1903) в 1876–1878 рр. сформулював закон зростання ентропії у вигляді принципу максимуму ентропії (і мінімуму внутрішньої енергії) системи в стані термодинамічної рівноваги. Принцип максимуму ентропії стверджує, що найбільш характерними розподілами ймовірностей станів деякого невизначеного середовища є такі розподіли, які максимізують обрану міру невизначеності при заданій інформації про «поведінку» середовища. Цей підхід Гіббс вперше використав для знаходження екстремальних функцій розподілів фізичних ансамблів частинок. Австрійський фізик Л. Больцман (1844–1906) дав теоретичне обґрунтування II закону ТД і показав (1877) зв'язок між ентропією і ТД ймовірністю макростану фізичної системи, який характеризується не взаємним розташуванням частинок, а набором макропараметрів ( , , , ,...M V p T ). Після цього II закон ТД отримав просту статистичну інтерпретацію: ТД система завжди мимоволі прагне до найбільш вірогідного стану, переходячи з менш ймовірного стану в більш ймовірне. Російсько–німецький фізик і хімік В. Оствальд (1853–1932) сформулював (1892) II закон ТД у вигляді твердження про неможливість створення вічного двигуна 2-го роду, тобто теплової машини, яка циклічно працює і перетворює в роботу всю енергію, видобуту з «нагрівача». Таким чином, формулювання II закону ТД включає два твердження: 1) існує функція стану системи ентропія, яка визначається як сума поглинених системою приведених теплот /δQ T в рівноважному 37 (equilibrium) процесі, так що приріст ентропії в рівноважному (equilibrium) процесі є /δ= eq dS Q T ; 2) Ентропія ізольованої системи не зменшується; вона строго зростає, якщо система здійснює нерівноважний процес, переходячи з початкового нерівноважного в кінцевий рівноважний стан. Отже, відповідно до II законом ТД /δ≥dS Q T , причому рівність має місце в рівноважних процесах, а нерівність - в нерівноважних. Математично величина 1−T є інтегруючим множником, після множення на який неповний диференціал δQ стає повним, тобто функція процесу Q стає функцією стану S. Розглянемо ізольовану систему, яка складається з нагрітого тіла, яке знаходиться в камері, заповненій повітрям з більш низькою температурою Т1 (чайник в кімнаті, Рис.10). Припустимо, деяка кількість теплоти δQ передається від чайника до повітря. Тоді, відповідно до визначення ентропії, приріст ентропії повітря складе 1 1/δ=dS Q T , а зменшення ентропії чайника – 2 2/δ= −dS Q T . Тоді повна зміна ентропії системи буде 1 2 2 1 1 2 1 2 ( )δ δ δ = + = − = − Q Q QdS dS dS T T T T T T . Оскільки систему чайник + кімната можна вважати замкнутою, то відповідно до II закону ТД загальний приріст ентропії 0≥dS , що може бути тільки в тому випадку, якщо 2 1≥T T , тобто чайник має температуру вище від температури повітря. Таким чином, зворотний перенос тепла від холодного повітря до гарячого чайнику неможливий. Більш глибокий сенс ентропії розкривається в статистичній фізиці, де показано, що ентропія системи в даному стані характеризує ймовірність реалізації даного макростану ТД системи, причому ln= ⋅BS k W (Формула Больцмана), (3.8) де W – термодинамічна ймовірність (число мікростанів, які реалізують даний макростан системи), kВ = 1.38 ⋅ 10-23 Дж / К – постійна Больцмана. На Рис.11а наведено приклад макростану системи – розподілу двох частинок з шести за двома відсіками в співвідношенні 2: 4, а на Рис.11б показано один з мікростанів, який відповідає такому макростану. У макростані важливі не конкретні частинки, які розподілилися по відсіках відповідним чином, а статистичне співвідношення між частинками у відсіках. Навпаки, в мікростані важливо, які саме частинки потрапили в лівий відсік, а які – в правий. Очевидно, що число макростанів, які реалізують даний макростан, можна знайти з комбінаторики як W2:4=C6 2=15. Проводячи 38 розрахунки ТД ймовірностей для різних можливих макростанів, отримаємо наступний розподіл (Табл.3, Рис.12). Із Рис.12 видно, що з навіть із незначним збільшенням числа частинок в системі ймовірність рівномірного розподілення ( 3:3 4:4 5:5, , ,...W W W ) істотно зростає, тоді як ймовірність найбільш нерівномірного розподілення ( 0:(i j) (i j):0 1+ += =W W ) не змінюється. Очевидно, що в макросистемах з числом молекул >1020 вірогідність рівномірного розподілення на багато порядків перевищує ймовірності всіх інших нерівномірних розподілень. Рис.10. Приклад теплообміну с навколишнім середовищем. а б Рис.11. Приклади макро- (а) и мікро- (б) станів системи. Таблиця 3. Розподілення : jiW для системи із 6 частнок в 2 відсіках (Рис. 9). i:j 0:6 1:5 2:4 3:3 4:2 5:1 6:0 W 1 6 15 20 15 6 1 Таким чином, прагнення будь-якої ТД системи, яка ізольована від зовнішніх джерел маси і енергії, до стану з рівномірним розподіленням частинок за концентраціями, імпульсами, моментами імпульсів, енергіями і т.д., визначається імовірнісними законами, а 2-й закон ТД, який визначає напрямок еволюційних процесів в будь-якій системі, показує, що прагнення системи до рівноважного розподілення, так само як і неможливість передачі енергії від більш холодного тіла до більш гарячого, зумовлено співвідношеннями теорії ймовірностей, які легко обчислити. 39 Рис.12. Розподілення :i jW для i+j=6 (1), 8 (2), 10 (3) частинок по 2 відсікам. У стані, рівноваги макропараметри системи прагнуть до своїх екстремальних значень: min( )→U U , а max( ) max(W)→ =S S . Тому умови рівноваги, наприклад, для простої системи з одним макропараметром можна отримати з умов екстремуму відповідних функцій, наприклад, для ентропії: ,( ) 0,= =U V constdS 2 ,( ) 0= A тільки за рахунок зменшення її вільної енергії ( 0>dF d F ). Записуючи диференціал вільної енергії як функції двох змінних ( , )F T V у вигляді = = ∂ ∂ = + ∂ ∂V const T const F FdF dT dV T V і порівнюючи з (3.11), отримаємо термодинамічні визначення ентропії і тиску , = = ∂ ∂ = − = − ∂ ∂V const T const F FS p T V . Порівнюючи з виразами з попереднього розділу, отримаємо, що = == ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂T const U constS const F U ST V V V . 41 2. Вільна енергія Гіббса визначається як = − +G U TS pV . Записуючи її диференціал = − − + +dG dU TdS SdT pdV Vdp і підставляючи вираз для dU з 1-го закону ТД, отримаємо = − +dG SdT Vdp . (3.12) Якщо фізико-хімічні процеси протікають за умов , =p V const , енергія Гіббса приймає мінімальне значення ( 20, 0= >>dG d G ). Записуючи диференціал енергії Гіббса як функції двох змінних ( , )G T p , у вигляді = = ∂ ∂ = + ∂ ∂p const T const G GdG dT dp T p і порівнюючи з (3.12), отримаємо , = = ∂ ∂ = − = ∂ ∂p const T const G GS V T p . Порівнюючи з результатами попереднього розділу, отримаємо зв'язок = = ∂ ∂ = ∂ ∂p const V const G F T T . У стані ТД рівноваги вільні енергії Гельмгольца і Гіббса приймають мінімальні значення, тому ці функції широко використовуються для дослідження рівноважних станів при різних фізичних процесах. 3.4. Системи зі змінним числом частинок. Для систем, що містять різні частки (атоми, молекули), число яких ( iN , 1..n=i ) змінюється за рахунок хімічних реакцій, вирази для ,F G потрібно модифікувати з урахуванням кінетики хімічних процесів, вводячи більш загальну залежність. В цьому випадку I закон ТД набуде вигляду: 1 µ = = − +∑ N i i i dU TdS pdV dN , (3.13) де , µ = ∂ =  ∂  i S V const U N – хімічний потенціал частинок і-го сорту. Поняття хімічного потенціалу було введене Дж.У. Гіббсом. Як видно з (3.13), хімічний потенціал частинок і-го сорту дорівнює зміні внутрішньої енергії системи про додаванні в неї однієї частки цього сорту. Градієнти коефіцієнтів, які стоять перед диференціалами в правій частині (3.13), представляють собою термодинамічні сили, що викликають відповідні термодинамічні потоки: ∇T – викликає потік тепла, ∇p – конвективний потік маси, а µ∇ i – дифузний перенос частинок і-го сорту. Це перенесення 42 відбуватиметься до тих пір, поки концентрації частинок різних сортів не будуть розподілені рівномірно і тоді µ∇ i = 0. Є залежність µi від молярної концентрації частинок iC : 0 lnµ µ= +i i iRT C , (3.14) де 0µi – постійна для даного сорту частинок, R – газова постійна. Для процесів в електричному полі замість хімічного потенціалу потрібно використовувати електрохімічний потенціал µ µ ϕ= +i i iz F , (3.15) де /=i iz q e – зарядове число, q – заряд частинки, 191.602 10−= ⋅e Кл – заряд електрона; 49.65 10= = ⋅AF eN кал/моль – постійна Фарадея, 236.022 10= ⋅AN моль-1 – число Авогадро; ϕ – електричний потенціал, градієнт якого ϕ= −∇  E – це напруженість електричного поля. Вирази (3.14), (3.15) широко використовуються при дослідженні процесів переносу на рівні клітин і тканин (див. розд. 5,6). 3.5. ТД відкритих систем. БС – це відкриті ТД системи, які безперервно обмінюються з навколишнім середовищем речовиною (випаровування води і відтік молекул з поверхні, харчування, виділення, і т.д.) і енергією (теплообмін при прямому контакті, випромінювання в інфрачервоному (ІК) і ряді інших діапазонів). Для БС стаціонарний стан (всі макропараметри постійні і відсутні потоки) означає смерть, оскільки повільні зміни параметрів і потоки мають місце навіть в стані сплячки і анабіозу, і відсутні тільки при кріоконсервації при температурах, близьких до Т ~ 0ºК. Таким чином, функціонування БС можна представити як безперервні переходи з одного рівноважного стану в інший, які характеризуються постійною ентропією (тобто 0=dS ). Такі стані ТД систем називаються стаціонарними. У стаціонарному стані макропараметри ТД системи постійні, ентропія залишається незмінною, але при цьому є ненульові ТД потоки (маси, імпульсу, моменту імпульса, заряду, енергії, ентропії), Тому стаціонарні стани іноді називають станом проточної рівноваги. Повну зміну ентропії БС такому стані можна представити у вигляді: = +i edS dS dS , (3.16) де idS – приріст ентропії за рахунок необоротних внутрішніх процесів і за рахунок обміну ентропією з навколишнім середовищем edS . 43 Відповідно до II закону ТД 0>idS , тому БС може перебувати в стаціонарному стані ( 0=dS ) тільки за рахунок 0dS ). Підходи ТД відкритих систем дозволяють пояснювати результати самих різних спостережень над БС, наприклад, чому живі клітини мають настільки малі розміри (~ 5–30 мкм)? Чому одноклітинні організми після досягнення певного розміру діляться на дві дочірніх клітини? Чи можливе існування життя без поділів,26 наприклад, у вигляді великих за розмірами одноклітинних? Розглянемо процес зростання і розвинення молодої клітини. При цьому її ентропія зростає внаслідок виробництва за рахунок величезного числа необоротних процесів (2 закон ТД) в обсязі клітини. Навіть не з'ясовуючи числа і природи цих процесів, можна стверджувати, що швидкість приросту ентропії пропорційна об’єму клітини, якщо в кожній точці цього об’єму всі процеси протікають однаково. Тоді для сферичної моделі клітини отримаємо: 34 3 α π=idS r , (3.17) 26 Leaver M., Domínguez-Cuevas P., Coxhead J.M., et al. Life without a wall or division machine in Bacillus subtilis. Nature. 2009;457(7231):849-853. 44 де r – радіус клітини, α = const – постійна, що відповідає всім ТД процесів, що протікають в кожній точці клітини. Оскільки клітина – це відкрита ТД система, то вона обмінюється ентропією з навколишнім середовищем. Не знаючи точного числа і природи обмінних процесів, можна стверджувати, що сумарний (однорідний) потік пропорційний поверхні клітини, так що 24β π=edS r , (3.18) де β = const . Підставляючи (3.17), (3.18) в (3.16), отримаємо, що 24 ( / 3 )π α β= − = −i edS dS dS r r . (3.19) Як випливає з (3.19), клітина, яка зростає, знаходиться в стаціонарному стані до тих пір, поки її радіус r не перевищує критичного значення * 3 /β α< =r r . Якщо клітина буде зростати далі, то виробництво ентропії в її об’ємі не зможе бути далі збалансовано відтоком ентропії через поверхню, і ентропія (тобто ймовірність неупорядкованого стану внутрішньоклітинних структур і процесів) почне зростати аж до стану повної невпорядкованості, несумісної з життям. У разі якщо клітина, навіть маючи розмір, близький до критичного ~ *r r , розділиться на дві, наприклад, рівні за об’ємом сферичні клітини з об’ємами 3* 4 ( *) / 6π=V r , тобто з радіусами 3* / 2=r r , то приріст ентропії в кожній з дочірніх клітин відповідно до (3.17) – (3.19) буде 2 3 23 3 3 3 * * 9 14 4 1 0 4 3 2 4 2 α βπ β π α     = − = − <         r rdS , тобто після поділу в кожній з дочірніх клітин зростання ентропії буде компенсуватися її відтоком через поверхню і клітина зможе рости далі. На Рис.13 зображені бактеріальні клітини в процесі ділення. Чітко видні звужені пояски, які відповідають майбутньому місцю поділу клітини на дві дочірні, щоб кожна з них змогла перейти в стан, який допускає подальшу можливість зростання і розвинення. Рис.13. Ділення одноклітинних. 45 3.6. Ентропія. Таким чином, вище для ентропії були введені різні визначення: 1) калориметричне: /δ= ∑ j j j eq dS Q T або /δ= ∫ eq S Q T ; 2) термодинамічне: / = = −∂ ∂ V const S F T , 3) статистичне: ln= ⋅BS k W (формула Больцмана). Підхід, представлений на Рис.11 для ілюстрації формули Больцмана, можна узагальнити на випадок важливих для БС молекул білків, які являють собою ланцюжки амінокислот (АК), які розташовані в певному порядку. У природі існують 20 різних АК, однак не всі з них можуть бути сусідами в ланцюжку, тобто число ймовірностей знаходження кожної з АК на певній ділянці ланцюжка, є різною. Представляючи молекулу як послідовність з k «відсіків», кожен з яких може бути заповнений однією з 20-ти АК ( або <20 АК в залежності від тієї АК, що знаходиться в попередньому відсіку), отримаємо узагальнення (10) у вигляді 1 2: :...: 1 2 ! ! !... ! = kN N N j k NW N N N N , (3.20) де jN – число можливих АК, які можна помістити в j-й відсік. Крім вищенаведених визначень ентропії, існують і інші, які важливі для розрахунків цієї функції стану системи для різних прикладних задач. 3.6.1. Ентропія і інформація Ентропія пов'язана з інформацією, що міститься в системі (повідомленні, подію, процес). Кількість інформації I можна розрахувати за формулою 2log= after before p I p , (3.21) де beforep і beforep – ймовірності настання події до і після отримання інформації про неї, відповідно; ймовірності розраховуються звичайним чином як /= favor totalp N N , де favorN і totalN – число сприятливих і загальне число можливих подій. У разі отримання повідомлення про подію, яка вже відбулася, 1=afterp , і з (3.21) отримуємо, що величина інформації у повідомленні 2log= −I p , де р – математична ймовірність події. Наприклад, повідомлення «я підкинув монету і випала« решка »містить 2 1log 1 1/ 2 = =I біт інформації. Повідомлення «я кинув кубик і випало 6» містить 2log 6 2.59= ≈I біт 46 інформації, а повідомлення «я взяв колоду в 52 карти і витягнув туз пік» містить 2log 52 5.7= ≈I біт інформації. Таким чином, інформація зростає при збільшенні міри невизначеності події, і ентропія є характеристикою цієї міри невизначеності настання події в ряду рівноможливих подій. Повідомлення, які пов'язані з повторними діями (кинув монету / кубик n раз, витягнув одночасно або одну за однією n карт і т.д.) можуть оцінюватися шляхом стандартних операцій з математичними можливостями, в т.ч. умовними ймовірностями. Оскільки ТД ймовірність = favorW N , формула (3.8) може бути переписана для ентропії у вигляді , ln(2)= ⋅ = BS k I k k . (3.22) Вираз (3.22) являє собою ентропію як міру інформації пр