Харкiвський нацiональний унiверситет iменi В.Н. Каразiна Факультет математики i iнформатики Кафедра прикладної математики Квалiфiкацiйна робота освiтньо-квалiфiкацiйний рiвень: магiстр на тему «Субрiманова метрика i нелiнiйна задача швидкодiї» Виконала: студентка групи МП62 VI курсу (другий магiстерський рiвень), спецiальностi 113 “Прикладна математика” освiтньо-професiйної програми “Прикладна математика” Спорова О.О. Керiвник: доктор фiз.-мат. наук, професор кафедри прикладної математики Iгнатович С.Ю. Рецензент: кандидат фiз.-мат. наук, старший викладач кафедри фундаментальної математики Петров Є.В. Харкiв — 2023 рiк Àíîòàöiÿ. Ñïîðîâà Î.Î. Ñóáðiìàíîâà ìåòðèêà i íåëiíiéíà çàäà÷à øâèäêîäi¨. Ó ðîáîòi ðîçãëÿäà¹òüñÿ çâ'ÿçîê çàäà÷ òåîði¨ êåðóâàííÿ (çàäà÷i øâèäêîäi¨ ç îáìåæåííÿì íà êåðóâàííÿ) iç çàäà÷àìè äèôåðåíöiàëüíî¨ ãåîìåòði¨ (çíàõîäæåííÿ ãåîäåçè÷íèõ êðèâèõ íà ãëàäêîìó ìíîãîâèäi ç ñóáðiìàíîâîþ ìåòðèêîþ) íà ïðèêëàäi äâîõ íåëiíiéíèõ êåðîâàíèõ ñèñòåì, ùî îïèñóþòü ïëîùèíó Ãðóøèíà i ãðóïó Ãåéçåíáåðãà. Abstract. Sporova O.O. Sub-Riemannian metrics and the nonlinear time-optimal control problem. In the work we study connections between the problems of control theory (time-optimal problems with constraint control) and problems of di�erential geometry (�nding geodesic curves on a smooth manifold with a sub-Riemannian metric) on the example of two nonlinear control systems describing the Grushin plane and the Heisenberg group. Змiст Вступ 3 1. Постановка задачi. Теоретичнi факти та визначення 5 1.1. Рiманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Субрiманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Алгебра Лi векторних полiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Задача швидкодiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Субрiманова метрика на площинi Грушина 12 2.1. Площина Грушина з точки зору теорiї оптимального керування 13 2.2. Площина Грушина з точки зору субрiманової метрики: зна- ходження геодезичних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Субрiманова метрика на групi Гейзенберга 29 3.1. Група Гейзенберга з точки зору теорiї оптимального керування 32 3.2. Група Гейзенберга з точки зору субрiманової метрики: зна- ходження геодезичних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Висновки 40 Список використаних джерел 41 2 Вступ У роботi розглядається зв’язок задач теорiї керування (задачi швид- кодiї з обмеженням на керування) iз задачами диференцiальної геометрiї (знаходження геодезичних кривих на гладкому многовидi з субрiмановою метрикою). Математична теорiя керування є одним iз найважливiших i найзатре- буванiших роздiлiв прикладної математики, оскiльки надає необхiдний формальний та аналiтичний iнструментарiй для розумiння, моделювання та управлiння рiзноманiтними динамiчними системами. Вона є ключовим компонентом при розробцi ефективних та стiйких систем управлiння у рi- зних галузях, вiд промислових процесiв до робототехнiки та автоматиза- цiї. Теорiя керування надає методи для аналiзу стабiльностi системи, що є критичним аспектом у розробцi стiйких та надiйних систем управлiння, а також методи оптимального керування, якi дозволяють оптимiзувати про- дуктивнiсть системи з огляду на рiзнi критерiї, такi як час, енерговитрати та iншi. Зв’язок теорiї керування з диференцiальною геометрiєю многовиду ви- користовується для полiпшення аналiзу та управлiння динамiчними систе- мами, що є особливо важливим у випадку складних систем та високоро- змiрних просторiв станiв системи. Диференцiальна геометрiя дозволяє роз- глядати простiр станiв динамiчної системи як гладкий многовид. Це дуже актуально, коли система має складну структуру чи обмеження. Диференцiально-геометричний напрямок у теорiї керування активно розвивається у теперiшнiй час. Цей пiдхiд є потужним iнструментом, який дозволяє бiльш глибоко та ефективно вивчати та вирiшувати завдання 3 4 управлiння для складних динамiчних систем. Наприклад, вiн застосовує- ться для аналiзу структури керованостi системи та оцiнки станiв i траєкто- рiй, якi можуть бути досягнутi керуючим впливом. У контекстi оптималь- ного керування диференцiально-геометричнi методи можуть використову- ватися для визначення оптимальних траєкторiй та керуючих впливiв з огляду на геометричнi структури простору станiв. Також, диференцiально- геометричний пiдхiд корисний при аналiзi та побудовi множин досяжностi, що описують, якi стани можуть бути досягнутi iз заданих початкових ста- нiв при застосуваннi керуючих впливiв. У цiй роботi iлюструється зв’язок мiж оптимальними траєкторiями си- стеми в сенсi задачi швидкодiї та геодезичними кривими на гладкому мно- говидi з субрiмановою метрикою на основi двох розглянутих прикладiв. Данi приклади є системами на многовидi з метрикою Грушина i многови- дi, що утворюється на основi групи Гейзенберга. У цьому контекстi також можна розглянути структуру i поведiнку мно- жин досяжностi системи для рiзних керувань. Роздiл 1 Постановка задачi. Теоретичнi факти та визначення 1.1. Рiманова метрика Розглянемо гладкий многовид𝑀 розмiрностi 𝑛 з заданою на ньому дода- тно визначеною квадратичною формою 𝐺(., .) для визначення скалярного добутку та норми, а отже i довжини кривих на цьому многовидi. Розгля- немо криву на цьому многовидi. Нехай вона параметризується параметром 𝑡 ∈ [0, 1]. Тодi довжина вектора швидкостi в точцi 𝑥(𝑡) дорiвнює |�̇�(𝑡)| =√︀ 𝐺(�̇�(𝑡), �̇�(𝑡)), а довжина кривої визначається як 𝑙(𝑡) = ∫︁ 1 0 |�̇�(𝑡)|𝑑𝑡. Перейдемо до постановки задачi на мовi векторних полiв. Задамо ор- тонормальний базис 𝑋1(𝑥), 𝑋2(𝑥),..., 𝑋𝑛(𝑥) дотичної площини (замiсть квадратичної форми), щоб визначити норму вектора (скалярний добу- ток). 𝑋1(𝑥), 𝑋2(𝑥), ..., 𝑋𝑛(𝑥) – гладкi векторнi поля. Тодi будь-який ве- ктор дотичної площини до 𝑥(𝑡) розкладається по ортонормованому базису 𝑋1(𝑥(𝑡)), 𝑋2(𝑥(𝑡)), ..., 𝑋𝑛(𝑥(𝑡)): �̇�(𝑡) = 𝑛∑︁ 𝑗=1 𝑋𝑗(𝑥(𝑡))𝑢𝑗(𝑡), причому |�̇�(𝑡)| = ⎯⎸⎸⎷ 𝑛∑︁ 𝑗=1 𝑢2𝑗(𝑡). Перейдемо до формулювання задачi на мовi теорiї керування систе- ми. Нехай є 𝑚 векторних гладких полiв 𝑋1(𝑥), 𝑋2(𝑥), ..., 𝑋𝑛(𝑥), що є не- 5 6 нульовими та лiнiйно незалежними в будь-якiй точцi. Зручно розглядати 𝑋1(𝑥), 𝑋2(𝑥), ..., 𝑋𝑛(𝑥) як ортонормованi векторнi поля. Нехай 𝑥 – стан системи, �̇� – швидкiсть змiни стану системи. Розглянемо систему �̇� = 𝑛∑︁ 𝑗=1 𝑋𝑗(𝑥)𝑢𝑗, де 𝑢1, 𝑢2, ..., 𝑢𝑛 – скалярнi функцiї керування. Нехай заданi початковий та кiнцевий стан системи – 𝑥0 та 𝑥1 вiдповiдно. Поставимо задачу знаходження найменшого (найкоротшого за довжиною) керування (𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡), ..., 𝑢𝑛(𝑡)), 𝑡 ∈ [0, 1], що переводить систему iз стану 𝑥0 в стан 𝑥1, тобто 𝑥(0) = 𝑥0, 𝑥(1) = 𝑥1. Функцiонал, що задає умову “найменшостi” на керування, це 𝑙(𝑢1, 𝑢2, ..., 𝑢𝑛) = ∫︁ 1 0 ⎯⎸⎸⎷ 𝑛∑︁ 𝑗=1 𝑢2𝑗(𝑡)𝑑𝑡. Тобто наша задача може бути записана як min 𝑙(𝑢1, 𝑢2, ..., 𝑢𝑛). Тут де 𝑢1, 𝑢2, ..., 𝑢𝑛 – iнтегровнi в сенсi Лебега функцiї. Найчастiше достатньо роз- глядати кусково-постiйнi або кусково-неперервнi функцiї. Для вирiшення цiєї задачi пошуку певних керувань 𝑢1, 𝑢2, ..., 𝑢𝑛 можна використовувати принцип максимума Понтрягiна [5]. В формулюваннi задачi на мовi теорiї керування треба знайти керуван- ня, яке за оптимальний час переводить систему з одного певного стану в iнший. Це еквiвалентно пошуку найкоротшого шляху (кривої з найменшою довжиною) на многовидi з субрiмановою метрикою мiж певними точками. За визначенням, кривi на многовидi, у яких достатньо малi дуги є найко- ротшими шляхами мiж точками на многовидi (тобто є локально найкоро- тшими), називаються геодезичними кривими. Таким чином, задача звелась до пошуку геодезичних кривих на многовидi з рiмановою метрикою. 7 1.2. Субрiманова метрика Тепер розглянемо бiльш загальну задачу. Нехай 𝑀 – 𝑛-вимiрний многовид з локальними координатами 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛), а 𝑋1(𝑥), 𝑋2(𝑥), ..., 𝑋𝑚(𝑥) – набiр гладких векторних полiв (𝑚 ≤ 𝑛). У випадку 𝑚 = 𝑛 їх можна проiнтерпретувати як базис дотичної площини до многовиду у кожнiй точцi, якщо вектори цих полiв у кожнiй точцi є лiнiйно незалежними. Означення 1.1. Субрiмановою метрикою називають наступний вираз для вiдстанi мiж точками на многовидi 𝑥0, 𝑥1 ∈𝑀 : 𝜌(𝑥0, 𝑥1) = inf 𝑢𝑖(𝑡) ( ∫︁ 1 0 ⎯⎸⎸⎷ 𝑚∑︁ 𝑖=1 𝑢2𝑖 (𝑡)𝑑𝑡), де 𝑢𝑖(𝑡), 𝑖 = 1, ...,𝑚 – функцiї, що задовольняють наступну крайову задачу:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ �̇� = 𝑚∑︁ 𝑖=1 𝑢𝑖(𝑡)𝑋𝑖(𝑥), 𝑥(0) = 𝑥0, 𝑥(1) = 𝑥1. (1.1) Зауважимо, що субрiманова метрика є рiмановою, якщо 𝑚 = 𝑛 i ве- кторнi поля є лiнiйно незалежними, тобто кiлькiсть лiнiйно незалежних у будь-якiй точцi векторних полiв𝑋1(𝑥), 𝑋2(𝑥), ..., 𝑋𝑚(𝑥) збiгається з розмiр- нiстю многовиду. Iншими словами, якщо цi векторнi поля у кожнiй точцi утворюють базис дотичної площини у цiй точцi. Але тодi легко з’ясувати, що система буде мати властивiсть повної керованостi (за ранговим критерi- єм, див. нижче), тобто будь-яка точка є досяжною з будь-якої iншої точки многовиду. Це означає, що iснують такi оптимальнi керування 𝑢1, 𝑢2, ..., 𝑢𝑛, що переведуть систему з початкового стану 𝑥0 у будь-який стан 𝑥1 (𝑥0, 𝑥1 ∈ 8 𝑀). Тодi стає цiкаво, що буде вiдбуватись (з траєкторiями, орбiта- ми, множиною досяжностi системи), коли визначенi векторнi поля 𝑋1(𝑥), 𝑋2(𝑥), ..., 𝑋𝑚(𝑥) будуть або лiнiйно залежнi у якiйсь певнiй точцi, або якесь з цих полiв обернеться на 0, або просто 𝑚 < 𝑛. Для цього знадобиться поняття дужок Лi векторних полiв. 1.3. Алгебра Лi векторних полiв Дужка Лi – це алгебраїчна операцiя, що асоцiюється з алгеброю Лi, яка є лiнiйним простором з векторним добутком (що також називається дуж- кою Лi). Дужка Лi використовується для визначення структури алгебри Лi, якi є алгебраїчними об’єктами, пов’язаними з групами Лi (гладкими многовидами, що мають групову структуру). Для елементiв 𝑋, 𝑌 з алгебри Лi, дужка Лi позначається як [𝑋, 𝑌 ] i формально визначається наступним чином: [𝑋, 𝑌 ] = 𝑋𝑌 − 𝑌 𝑋, де 𝑋𝑌 та 𝑌 𝑋 – добутки елементiв 𝑋, 𝑌 в алгебрi Лi. Дужка Лi визначає «несиме- тричнiсть» цих добуткiв. Дужка Лi має наступнi властивостi: 1. Антикомутативнiсть: [𝑋, 𝑌 ] = −[𝑌,𝑋]. 2. Лiнiйнiсть: [𝑎𝑋 + 𝑏𝑌, 𝑍] = 𝑎[𝑋,𝑍] + 𝑏[𝑌, 𝑍]. 3. Тотожня дужка Лi: [𝑋,𝑋] = 0. 4. Тотожнiсть Якобi: [𝑋, [𝑌, 𝑍]] + [𝑌, [𝑍,𝑋]] + [𝑍, [𝑋, 𝑌 ]] = 0. 9 Означення 1.2. (Визначення досяжної точки на многовидi.) Досяжна точка на многовидi в контекстi теорiї керування означає стан системи, який може бути досягнуто з використанням певного керування з певного фiксо- ваного стану. Нехай динамiчна система задана на многовидi, i задача – визначити, якi стани можуть бути досягнутi iз заданих початкових умов при застосуваннi керувань. Означення 1.3. Множина досяжностi – це множина всiх станiв, якi можуть бути досягнутi iз заданих початкових станiв за певний заданий iнтервал часу або за певних умов. Вона визначає, якi точки многовиду є досяжними з допомогою керування. Теорема 1.4. (теорема про досяжнiсть точок многовиду або ранговий критерiй, див. [3], [1]) Нехай многовид 𝑀 зв’язний i для нього виконується умова Рашевського-Чоу: векторнi поля 𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋𝑚 i їх всiлякi дужки Лi покривають дотичний простiр 𝑇𝑥𝑀 в кожнiй точцi многовиду. Тодi кожна точка многовиду 𝑀 є досяжною (1.2) з кожної точки мно- говиду. Отже, якщо виконується умова Рашевського-Чоу, то кожна точка мно- говиду є досяжною з будь-якої, тобто буде iснувати керування, що з поча- ткового стану переведе систему в кiнцевий стан (що вiдповiдає цiй точцi). У теорiї оптимального керування в такому випадку кажуть, що система є повнiстю керованою. Тобто теорема 1.4 надає умови повної керованостi системи. 10 1.4. Задача швидкодiї Замiсть задачi мiнiмiзацiї довжини кривої можна розглянути iншу за- дачу для системи (1.1), а саме, задачу швидкодiї: знайти найменше 𝑇 > 0 i керування, заданi на вiдрiзку [0, 𝑇 ], якi задовольняють обмеження 𝑚∑︁ 𝑖=1 𝑢2𝑖 (𝑡) ≤ 1 i розв’язують крайову задачу⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ �̇� = 𝑚∑︁ 𝑖=1 𝑢𝑖(𝑡)𝑋𝑖(𝑥), 𝑥(0) = 𝑥0, 𝑥(𝑇 ) = 𝑥1. Розглянуте тут геометричне обмеження на керування: 𝑢21+𝑢 2 2 ≤ 1 є типовою умовою для задач теорiї керування. Ця задача швидкодiї має розв’язок, тобто оптимальне керування iснує; бiльш того, пiсля очевидної перепараметризацiї воно є оптимальним для задачi (1.1), причому оптимальний час в задачi оптимальної швидкодiї до- рiвнює субрiмановiй метрицi [6]. У данiй роботi ми будемо отримувати су- брiманову метрику, розглядаючи саме задачу оптимальної швидкодiї. У наступних двох роздiлах ми будемо розглядати задачi з площиною Грушина як многовидом та групою Гейзенберга, що утворює певний мно- говид. Такi задачi добре вiдомi як приклади субрiманової метрики, див. [2], [3], [1], [4]; також вони дослiджувалися в дипломних роботах К. Жарської i I. Лiнючих, виконаних на кафедрi диференцiальних рiвнянь i керування у 2009 р. В двох цих ситуацiях метрика не є рiмановою, але причини цьому рiзнi. В 11 першому випадку (для метрики Грушина) метрика буде сингулярна, тобто в певнiй точцi векторнi поля будуть лiнiйно залежними, а точнiше, одне з них обернеться в нуль. В другому випадку в кожнiй точцi потрiбно буде довизначати ще одне векторне поле, оскiльки розмiрнiсть многовиду – три, а маємо лише два, але лiнiйно незалежних в кожнiй точцi векторних поля. Отже, в обох випадках потрiбно буде розглядати дужку Лi двох вектор- них полiв, але причина для цього своя для кожного прикладу. Дужка Лi двох векторних полiв на многовидi, якщо вона є лiнiйно неза- лежною з ними, дає ще один напрямок траєкторiям системи, тобто розши- рює множину досяжностi. Можна зауважити, що в цьому напрямку трає- кторiя зростає повiльнiше, нiж в напрямках початкових векторних полiв. Отже, ставимо задачу знайти цю дужку Лi, незалежну з векторними по- лями 𝑋1, 𝑋2 в кожнiй точцi, знайти траєкторiю системи з точки зору теорiї оптимального керування (задачi швидкодiї) та з точки зору диференцiаль- ної геометрiї (пошуку геодезичних кривих на многовидi з субрiмановою метрикою) та порiвняти отриманi результати. Роздiл 2 Субрiманова метрика на площинi Грушина В якостi многовиду вiзьмемо площину R2. Побудуємо на ньому субрiма- нову метрику, що задається системою з двох векторних полiв 𝑋1 = ⎛⎝1 0 ⎞⎠ , 𝑋2 = ⎛⎝ 0 𝑥1 ⎞⎠ , де 𝑥1, 𝑥2 – параметризацiя многовиду. Зауважимо, що цi векторнi поля є не- залежними в усiх точках даного многовиду (площини), окрiм точок прямої 𝑥1 = 0. Оскiльки в цих точках кiлькiсть лiнiйно незалежних полiв менша за розмiрнiсть многовиду, то щоб вдало задати базис дотичної площини, додамо в точках прямої 𝑥1 = 0 вектор [𝑋1, 𝑋2], що є дужкою Лi векторних полiв 𝑋1, 𝑋2. В нашому випадку, координати отриманого вектора: [𝑋1, 𝑋2] 1 = 𝑋11𝜕1𝑋21 −𝑋21𝜕1𝑋11 +𝑋12𝜕2𝑋21 −𝑋22𝜕2𝑋11 = 0, [𝑋1, 𝑋2] 2 = 𝑋11𝜕1𝑋22−𝑋21𝜕1𝑋12+𝑋12𝜕2𝑋22−𝑋22𝜕2𝑋12 = 1·1−0+0−𝑥1·0 = 1. Отже, [𝑋1, 𝑋2] = ⎛⎝0 1 ⎞⎠ є лiнiйно незалежним з 𝑋1, тобто може утво- рювати базис з 𝑋1 в точках прямої 𝑥1 = 0. Отримали, що векторнi поля 𝑋1, 𝑋2 i їх дужка Лi [𝑋1, 𝑋2] покривають дотичний простiр 𝑇𝑥𝑀 в кожнiй точцi зв’язного многовиду 𝑀(𝑥 ∈ 𝑀), де 𝑀 це площина R2. Тобто вико- нується умова Рашевського-Чоу. Тодi можемо застосувати теорему 1.4 про досяжнiсть точок многовиду. 12 13 Векторнi поля 𝑋1, 𝑋2 породжують наступну керовану систему: �̇� = 𝑋1(𝑥)𝑢1 +𝑋2(𝑥)𝑢2 де 𝑢1, 𝑢2 – керування. В координатному запису отримуємо нелiнiйну систе- му: ⎧⎪⎨⎪⎩𝑥1 = 𝑢1 𝑥2 = 𝑥1𝑢2. Розглянемо для цiєї системи спочатку задачу теорiї керування, а саме, задачу швидкодiї, а потiм розглянемо її як систему, що задає субрiмано- ву метрику. Зауважимо, що поза прямою 𝑥1 = 0 субрiманова метрика на- справдi є рiмановою: для кожного дотичного вектора 𝑣 ∈ 𝑇𝑥𝑀 квадратична форма задається як 𝑔𝑥(𝑣) = 𝑣21 + 1 𝑥21 𝑣22. 2.1. Площина Грушина з точки зору теорiї оптимального керування Розглянемо наступну задачу швидкодiї, тобто задачу з переведення си- стеми з початкового фiксованого положення 𝑥(𝑡0) = 0 в фiксоване кiнцеве положення 𝑥(𝑇 ) = �̂� за якнайменший час:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥1 = 𝑢1 𝑥2 = 𝑥1𝑢2 𝑥1(0) = 0, 𝑥1(𝑇 ) = 𝑥1 𝑥2(0) = 0, 𝑥2(𝑇 ) = 𝑥2 𝑢21 + 𝑢22 ≤ 1 𝑇 → min . (2.1) 14 В нашiй задачi початкова точка – початок координат – це положення системи в момент часу 0 (𝑡 = 0). Вищенаведена система може бути записана у виглядi рiвняння �̇� = 𝑋1(𝑥)𝑢1 + 𝑋2(𝑥)𝑢2 з векторними полями 𝑋1 = ⎛⎝1 0 ⎞⎠, 𝑋2 = ⎛⎝ 0 𝑥1 ⎞⎠, для яких [𝑋1, 𝑋2] = ⎛⎝0 1 ⎞⎠. Оскiльки для будь-якого 𝑥1 ∈ R ранг системи векто- рiв𝑋1,𝑋2, [𝑋1, 𝑋2] дорiвнює 2 (що є розмiрнiстю простору), то за ранговим критерiєм система є повнiстю керованою. Знайдемо оптимальне керування 𝑢(𝑡), тобто 𝑢1(𝑡) та 𝑢2(𝑡), яке розв’язує задачу швидкодiї. Для цього скористуємося принципом максимума Пон- трягiна [5]. Функцiя Гамiльтона-Понтрягiна для нашої задачi швидкодiї має такий вигляд: 𝐻 = 𝑢1𝜓1 + 𝑥1𝑢2𝜓2 − 𝜆0, де (𝜓 = 𝜓1, 𝜓2) – нова, спряже- на змiнна. Тодi отримаємо спряжену систему:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 𝜓1 = −𝜕𝐻 𝜕𝑥1 = −𝜓2𝑢2(𝑡) 𝜓2 = −𝜕𝐻 𝜕𝑥2 = 0. З цiєї системи випливає, що 𝜓2 = 𝑐, �̇�1 = −𝑢2𝑐, де 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Отже, маємо, що якщо (𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)), 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] – оптимальне керування, то iснує (𝜓1(𝑡), 𝜓2(𝑡)) – не тотожньо нульовий розв’язок наступної системи:⎧⎪⎨⎪⎩𝜓1 = −𝜓2𝑢2(𝑡) 𝜓2 = 0, причому 𝜓1(𝑡)𝑢1(𝑡) + 𝜓2(𝑡)𝑢2(𝑡)𝑥1(𝑡) = max 𝑢2 1+𝑢2 2≤1 (𝜓1(𝑡)𝑢1 + 𝜓2(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑢2), 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], 15 де ⎧⎪⎨⎪⎩ ˙̂𝑥1(𝑡) = 𝑢1(𝑡) ˙̂𝑥2(𝑡) = 𝑥1(𝑡)𝑢2(𝑡). Як показано в роботi [6], ми можемо замiнити умову геометричного обмеження на керування з 𝑢21+𝑢22 ≤ 1 на умову зв’язку 𝑢21+𝑢22 = 1. Таким чином отримуємо звичайну задачу на умовний екстремум у двовимiрному просторi: ⎧⎪⎨⎪⎩max(𝜓1(𝑡)𝑢1(𝑡) + 𝜓2(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑢2) 𝑢21 + 𝑢22 = 1 (2.2) Для її розв’язання скористаємося методом множникiв Лагранжа. Функцiя Лагранжа для нашої задачi: 𝐿 = (𝑢1𝜓1 + 𝑥1𝑢2𝜓2)− 𝜆(𝑢21 + 𝑢22 − 1). Прирiвнюємо до 0 частиннi похiднi функцiї Лагранжа по 𝑢1 та 𝑢2:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 𝜕𝐿 𝜕𝑢1 = 0 = 𝜓1 − 2𝜆𝑢1, 𝜕𝐿 𝜕𝑢2 = 0 = 𝜓2𝑥1 − 2𝜆𝑢2. Звiдси отримуємо: ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝜓1 = 2𝜆𝑢1 𝜓2 = 2𝜆𝑢2 𝑥1 , отже, ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑢1 = 𝜓1 2𝜆 𝑢2 = 𝜓2𝑥1 2𝜆 . Зауваження: 𝜆 може залежати вiд 𝑡, тому що задача (2.2) розглядається для кожного 𝑡 окремо. Покажемо, що в нашому випадку 𝜆 не залежить 16 вiд 𝑡. Для цього пiдставляємо отриманi вирази для 𝑢1 та 𝑢2 у рiвнiсть 𝑢21 + 𝑢22 = 1. Отримуємо 𝜓2 1 + 𝜓2 2𝑥 2 1 4𝜆2 = 1, звiдки 𝜆 = ± √︀ 𝜓2 1 + 𝜓2 2𝑥 2 1 2 . Таким чином, 𝜆2 = 𝜓2 1 + 𝜓2 2𝑥 2 1 4 , звiдки 𝜓2 1 + 𝜓2 2𝑥 2 1 = 4𝜆2. Ми хочемо показати, що 𝜆2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Розглянемо для цього похiдну: 𝑑(𝜓2 1 + 𝜓2 2𝑥 2 1) 𝑑𝑡 = 𝑑𝜓2 1 𝑑𝑡 + 𝑑(𝜓2 2𝑥 2 1) 𝑑𝑡 = 𝑑𝜓2 1 𝑑𝑡 + 𝑥21 𝑑𝜓2 2 𝑑𝑡 + 𝜓2 2 𝑑𝑥21 𝑑𝑡 = [оскiльки 𝜓2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡] 𝑑𝜓2 1 𝑑𝑡 + 𝜓2 2 𝑑𝑥21 𝑑𝑡 = 2𝜓1𝜓1 + 𝜓2 22𝑥1𝑥1 = [𝜓1 = −𝜓2𝑢2; 𝑥1 = 𝑢1] = −2𝜓1𝜓2𝑢2 + 2𝜓2 2𝑥1𝑢1 = 2𝜓2(−𝜓1𝑢2 + 𝜓2𝑥1𝑢1) = [𝜓1 = 2𝜆𝑢1; 𝜓2 = 2𝜆𝑢2 𝑥1 ] = 2𝜓2(−2𝜆𝑢1𝑢2 + 2𝜆𝑢2 𝑥1 𝑥1𝑢1) = 2𝜓2(−2𝜆𝑢1𝑢2 + 2𝜆𝑢2𝑢1) = 0. Отже, дiйсно: 𝜆2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ |𝜆| = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. А оскiльки в задачах з обмежен- ням на керування у виглядi нерiвностi (саме така задача й розглядається) 𝜆 має зберiгати знак, то 𝜆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Отже, ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑢1 = 𝜓1 2𝜆 𝑢2 = 𝜓2𝑥1 2𝜆 , 17 де 𝜆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Тому можемо продиференцiювати керування:⎧⎪⎨⎪⎩ �̇�1 = 1 2𝜆 �̇�1 = −𝜓2 2𝜆 𝑢2(𝑡), �̇�2 = 𝜓2 2𝜆 �̇�1 = 𝜓2 2𝜆 𝑢1. Якщо позначити 𝑘 = 𝜓2 2𝜆 , то отримуємо рiвняння, з яких можна знайти оптимальнi керування: ⎧⎪⎨⎪⎩�̇�1 = −𝑘𝑢2, �̇�2 = 𝑘𝑢1. Таким чином: ⎧⎪⎨⎪⎩𝑢1(𝑡) = cos (𝑘𝑡+ 𝑏) 𝑢2(𝑡) = sin (𝑘𝑡+ 𝑏). Знаємо, що: ⎧⎪⎨⎪⎩𝑥1(𝑡) = 𝑢1(𝑡) = cos (𝑘𝑡+ 𝑏), 𝑥2(𝑡) = 𝑥1(𝑡)𝑢2(𝑡) = 𝑥1(𝑡) sin (𝑘𝑡+ 𝑏). Тодi розв’язуємо перше рiвняння системи з початковою умовою 𝑥10 = 0: 𝑥1(𝑡)− 𝑥10 = ∫︁ 𝑡 0 cos (𝑘𝑡+ 𝑏)𝑑𝑡 = sin (𝑘𝑡+ 𝑏) 𝑘 |𝑡0, звiдки 𝑥1(𝑡) = sin (𝑘𝑡+ 𝑏)− sin(𝑏) 𝑘 . Пiдставляємо отриманий розв’язок 𝑥1(𝑡) в друге рiвняння системи 𝑥2(𝑡) = sin (𝑘𝑡+ 𝑏) · 𝑥1(𝑡), отримуємо 𝑥2(𝑡) = sin (𝑘𝑡+ 𝑏) sin (𝑘𝑡+ 𝑏)− sin(𝑏) 𝑘 18 та розв’язуємо його з початковою умовою 𝑥20 = 0: 𝑥2(𝑡)− 𝑥20 = ∫︁ 𝑡 0 sin (𝑘𝑡+ 𝑏) sin (𝑘𝑡+ 𝑏)− sin(𝑏) 𝑘 𝑑𝑡 = = 1 𝑘 ∫︁ 𝑡 0 sin2 (𝑘𝑡+ 𝑏)𝑑𝑡− sin (𝑏) 𝑘 ∫︁ 𝑡 0 sin (𝑘𝑡+ 𝑏)𝑑𝑡 = [sin2 (𝑘𝑡+ 𝑏) = 1− cos 2(𝑘𝑡+ 𝑏) 2 ] = 1 2𝑘 (𝑡− sin(2(𝑘𝑡+ 𝑏)) 2𝑘 )|𝑡0 + sin (𝑏) 𝑘2 cos (𝑘𝑡+ 𝑏)|𝑡0 = = 1 2𝑘 (𝑡− sin (2(𝑘𝑡+ 𝑏)) 2𝑘 + sin (2𝑏) 2𝑘 ) + 𝑠𝑖𝑛(𝑏) 𝑘2 (cos (𝑘𝑡+ 𝑏)− cos (𝑏)) = = 1 4𝑘2 (2𝑘𝑡− sin 2(𝑘𝑡+ 𝑏) + sin (𝑏) + 4 sin (𝑏)(cos (𝑘𝑡+ 𝑏)− cos 𝑏)) = = 1 4𝑘2 (2𝑘𝑡− sin 2(𝑘𝑡+ 𝑏) + 4 sin (𝑏) cos (𝑘𝑡+ 𝑏)− sin (2𝑏)) = = 1 4𝑘2 (2𝑘𝑡+ 2 cos (𝑘𝑡+ 𝑏))(2 sin (𝑏)− sin (𝑘𝑡+ 𝑏))− sin (2𝑏)). Отже, 𝑥2(𝑡) = 1 4𝑘2 (2𝑘𝑡− sin 2(𝑘𝑡+ 𝑏) + 4 sin (𝑏) cos (𝑘𝑡+ 𝑏)− sin (2𝑏)) = = 1 4𝑘2 (2𝑘𝑡+ 2 cos (𝑘𝑡+ 𝑏))(2 sin (𝑏)− sin (𝑘𝑡+ 𝑏))− sin (2𝑏)), звiдки отримуємо вираз для оптимальних траєкторiй:⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥1(𝑡) = sin (𝑘𝑡+ 𝑏)− sin(𝑏) 𝑘 𝑥2(𝑡) = 1 4𝑘2 (2𝑘𝑡− sin 2(𝑘𝑡+ 𝑏) + 4 sin (𝑏) cos (𝑘𝑡+ 𝑏)− sin (2𝑏)). 19 Знайдемо 𝑏 з початкових умов для системи задачi швидкодiї:⎧⎪⎨⎪⎩𝑥1(0) = 0 𝑥2(0) = 0. З другого рiвняння системи (2.1) маємо, що 𝑢2(0) = 𝜓2 2𝜆 𝑥1(0), а з iншого боку 𝑢2(0) = sin (𝑘 · 0 + 𝑏) = sin 𝑏. Оскiльки 𝑥1(0) = 0 (початкова умова), то 𝑢2(0) = 0, тому sin 𝑏 = 0, а з цього випливає, що 𝑏 = 𝜋𝑚, 𝑚 ∈ Z. Пiдставляємо отриманий вираз для 𝑏 (𝑏 = 𝜋𝑚, 𝑚 ∈ Z ) в отриманi оптимальнi траєкторiї:⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥1(𝑡) = sin (𝑘𝑡+ 𝜋𝑚)− sin(𝜋𝑚) 𝑘 𝑥2(𝑡) = 1 4𝑘2 (2𝑘𝑡− sin (2𝑘𝑡+ 2𝜋𝑚) + 4 sin 𝜋𝑚 cos (𝑘𝑡+ 𝜋𝑚)− sin (2𝜋𝑚)). Зауважимо, що sin(𝜋𝑚) = 0, sin (2𝜋𝑚) = 0, sin (2𝑘𝑡+ 2𝜋𝑚) = sin (2𝑘𝑡), sin (𝑘𝑡+ 𝜋𝑚) = (−1)𝑚 sin (𝑘𝑡). Тодi система траєкторiй:⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥1(𝑡) = (−1)𝑚 sin (𝑘𝑡) 𝑘 𝑥2(𝑡) = 1 4𝑘2 (2𝑘𝑡− sin (2𝑘𝑡)), тобто ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥1(𝑡) = ±sin (𝑘𝑡) 𝑘 𝑥2(𝑡) = 𝑡 2𝑘 − sin (2𝑘𝑡) 4𝑘2 при оптимальному керуваннi:⎧⎪⎨⎪⎩𝑢1(𝑡) = cos (𝑘𝑡) 𝑢2(𝑡) = sin (𝑘𝑡). Зауваження. Можна показати [1], що оптимальною у сенсi швидкодiї 20 буде лише дiлянка траєкторiї, яка не включає точки, для яких 𝑥1(𝑡) = 0, 𝑡 > 0. Це означає, що для параметра 𝑘 i оптимального часу 𝑇 має викону- ватися умова 𝑘𝑇 ≤ 𝜋. 2.2. Площина Грушина з точки зору субрi- манової метрики: знаходження геодези- чних Площина Грушина – многовид розмiрностi 𝑛 = 2 з квадратичною фор- мою 𝐺, де 𝑔11 = 1, 𝑔12 = 0, 𝑔21 = 0, 𝑔22 = 1 𝑥21 . Субрiманова метрика на даному многовидi визначається як: 𝜌(𝑥0, 𝑥1) = inf 𝑢𝑖(𝑡) ( ∫︁ 1 0 √︁ 𝑢21(𝑡) + 𝑢22(𝑡)𝑑𝑡), де 𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡) вiдповiдають наступнiй системi диференцiальних рiвнянь i початкових умов: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ �̇�(𝑡) = 𝑢1(𝑡)𝑋1(𝑥) + 𝑢2(𝑡)𝑋2(𝑥) 𝑥(0) = 𝑥0 𝑥(1) = 𝑥1. Хочемо знайти криву, що з’єднує 𝑥0, 𝑥1 та має найменшу довжину 𝜌(𝑥0, 𝑥1), тобто треба мiнiмiзувати функцiонал 𝑙(𝑢1, 𝑢2) = ∫︁ 1 0 √︁ 𝑢21(𝑡) + 𝑢22(𝑡)𝑑𝑡. Iнши- ми словами, необхiдно знайти 𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡), для яких 𝜌(𝑥0, 𝑥1) = min 𝑙(𝑢1, 𝑢2). Для цього знаходимо геодезичнi лiнiї за допомогою рiвняння, що ви- водиться для мiнiмiзацiї функцiоналу ∫︁ ||�̇�||𝑑𝑡 = ∫︁ √︁∑︁ 𝑔𝑖𝑗�̇�𝑖𝑥𝑗𝑑𝑡 – це 21 рiвняння Ейлера для функцiоналу довжини кривої 𝛾: 𝑑2𝑥𝑗 𝑑𝑡2 + ∑︁ 𝑘,𝑖 Γ𝑗 𝑘𝑖 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑡 = 0, 𝑗 = 1, 2, де Γ𝑗 𝑘𝑖 – символ Кристофеля другого роду, що знаходиться за наступною формулою: Γ𝑗 𝑘𝑖 = 2∑︁ 𝑚=1 1 2 𝑔𝑗𝑚( 𝜕𝑔𝑚𝑖 𝜕𝑥𝑘 + 𝜕𝑔𝑘𝑚 𝜕𝑥𝑖 − 𝜕𝑔𝑘𝑖 𝜕𝑥𝑚 ), 𝑖, 𝑘, 𝑗 = 1, 2, де 𝑔𝑗𝑚 – елемент матрицi 𝐺−1 оберненої до 𝐺 (𝐺𝐺−1 = 𝐼, 𝐼 – одинична матриця), тобто 𝐺 = ⎛⎜⎝1 0 0 1 𝑥21 ⎞⎟⎠ , звiдки 𝐺−1 = ⎛⎝1 0 0 𝑥21 ⎞⎠ . Обчислимо значення кожного символу Кристофеля Γ𝑗 𝑘𝑖,∀𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1, 2. Зауваження 1 : оскiльки 𝐺,𝐺−1 - симетричнi матрицi, то Γ𝑗 𝑘𝑖 = Γ𝑗 𝑖𝑘. Зауваження 2 : оскiльки в матрицях𝐺,𝐺−1 єдиний елемент, чия похiдна може бути не 0, – це 𝑔22, причому якщо диференцiювати по 𝑑𝑥1, то символи Кристофеля будуть ненульовi тiльки для набору iндексiв, що складається з чисел 1, 2, 2. Маємо: Γ2 12 = 2∑︁ 𝑚=1 1 2 𝑔2𝑚( 𝜕𝑔𝑚2 𝜕𝑥1 + 𝜕𝑔1𝑚 𝜕𝑥2 − 𝜕𝑔12 𝜕𝑥𝑚 ) = = 1 2 (𝑔21( 𝜕𝑔12 𝜕𝑥1 + 𝜕𝑔11 𝜕𝑥2 − 𝜕𝑔12 𝜕𝑥1 ) + 𝑔22( 𝜕𝑔22 𝜕𝑥1 + 𝜕𝑔12 𝜕𝑥2 − 𝜕𝑔12 𝜕𝑥2 )) = = 1 2 𝑔22( 𝜕𝑔22 𝜕𝑥1 + 𝜕𝑔12 𝜕𝑥2 − 𝜕𝑔12 𝜕𝑥2 ) = 1 2 𝑔22( 𝜕𝑔22 𝜕𝑥1 ) = 1 2 𝑥21 𝜕(𝑥−2 1 ) 𝜕𝑥1 = − 1 𝑥1 , Γ2 21 = Γ2 12 = − 1 𝑥1 , 22 Γ1 22 = 2∑︁ 𝑚=1 1 2 𝑔1𝑚( 𝜕𝑔𝑚2 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑔2𝑚 𝜕𝑥2 − 𝜕𝑔22 𝜕𝑥𝑚 ) = = 1 2 (𝑔11( 𝜕𝑔12 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑔21 𝜕𝑥2 − 𝜕𝑔22 𝜕𝑥1 ) + 𝑔12( 𝜕𝑔22 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑔22 𝜕𝑥2 − 𝜕𝑔22 𝜕𝑥2 ) = = 1 2 𝑔11( 𝜕𝑔12 𝜕𝑥2 + 𝜕𝑔21 𝜕𝑥2 − 𝜕𝑔22 𝜕𝑥1 ) = 1 2 𝑔11(− 𝜕𝑔22 𝜕𝑥1 ) = −1 2 𝜕(𝑥−2 1 ) 𝜕𝑥1 = 1 𝑥31 . Всi iншi символи Кристофеля другого роду дорiвнюють 0: Γ1 11 = Γ2 11 = Γ1 12 = Γ1 21 = Γ2 22 = 0. Пiдставляємо отриманi значення для символiв Кристофеля в рiвняння геодезичних кривих на многовидi: 𝑑2𝑥𝑗 𝑑𝑡2 + 2∑︁ 𝑘,𝑖=1 Γ𝑗 𝑘𝑖 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑡 = 0, 𝑗 = 1, 2. Записуємо у виглядi системи для кожної координати (𝑥1, 𝑥2):⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑑2𝑥1 𝑑𝑡2 + 2∑︁ 𝑘,𝑖=1 Γ1 𝑘𝑖 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑡 = 0 𝑑2𝑥2 𝑑𝑡2 + 2∑︁ 𝑘,𝑖=1 Γ2 𝑘𝑖 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑡 = 0, тобто ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑑2𝑥1 𝑑𝑡2 + Γ1 22( 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 )2 = 0 𝑑2𝑥2 𝑑𝑡2 + (Γ2 12 + Γ2 21) 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 = 0, звiдки ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 𝑑2𝑥1 𝑑𝑡2 + 1 𝑥31 ( 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 )2 = 0 𝑑2𝑥2 𝑑𝑡2 − 2 𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 = 0. 23 Остаточно отримуємо ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 𝑑2𝑥1 𝑑𝑡2 = − 1 𝑥31 ( 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 )2 𝑑2𝑥2 𝑑𝑡2 = 2 𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 . Зауважимо, що якщо (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡)) – розв’язок вищенаведеної системи, то (𝑥1(𝑡),−𝑥2(𝑡)), (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡)+𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), (−𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡)) також є її розв’язком. Тепер запишемо рiвняння для 𝑥2(𝑥1). Розглянемо 𝑑2𝑥2 𝑑𝑥21 : 𝑑2𝑥2 𝑑𝑥21 = 𝑑 𝑑𝑥1 ( 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1 ) = 𝑑 𝑑𝑥1 ( 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ) = [ 𝑑𝑓 𝑑𝑡 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑓 𝑑𝑥1 = 𝑑𝑓 𝑑𝑡 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ] = 1 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ) = 1 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 𝑑2𝑥2 𝑑𝑡2 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 − 𝑑2𝑥1 𝑑𝑡2 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 (𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ) 2 = 𝑑2𝑥2 𝑑𝑡2 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 − 𝑑2𝑥1 𝑑𝑡2 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 (𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ) 3 . Пiдставляємо 𝑑2𝑥2 𝑑𝑥21 вирази для 𝑑2𝑥1 𝑑𝑡2 , 𝑑2𝑥2 𝑑𝑡 з системи на координати гео- дезичної кривої: 𝑑2𝑥2 𝑑𝑥21 = 2 𝑥1 (𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ) 2 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 + 1 𝑥3 1 (𝑑𝑥2 𝑑𝑡 ) 3 (𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ) 3 = 2 𝑥1 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 + 1 𝑥31 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 = [ 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1 = 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ] = 2 𝑥1 𝑥′2 + 1 𝑥31 (𝑥′2) 3, тобто отримали наступне рiвняння: 𝑥′′2 = ( 𝑥′2 𝑥1 )3 + 2 𝑥′2 𝑥1 . (2.3) Вкажемо його очевидний частинний розв’язок 𝑥2(𝑥1) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, з якого отри- 24 муємо наступнi геодезичнi у виглядi прямих: 𝑥2(𝑡) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑥1(𝑡) = ±𝑡. Для знаходження загального розв’язку диференцiального рiвняння зру- чно ввести функцiю 𝑤(𝑥1) = 𝑥′2 𝑥1 . Тодi права частина рiвняння (2.3) запису- ється у виглядi 𝑤3 1 + 2𝑤. Залишилось виразити 𝑥′′2 через 𝑤(𝑥1). Для цього розглянемо вираз 𝑑𝑤 𝑑𝑥1 : 𝑑𝑤 𝑑𝑥1 = 𝑑 𝑑𝑥1 ( 𝑥′2 𝑥1 ) = = 𝑑2𝑥2 𝑑2𝑥1 𝑥1 − 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 𝑥21 = 1 𝑥1 𝑑2𝑥2 𝑑𝑥21 − 1 𝑥21 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1 = 𝑥′′2 𝑥1 − 1 𝑥1 ( 𝑥′2 𝑥1 ) = [𝑤 = 𝑥′2 𝑥1 ] = 𝑥′′2 𝑥1 − 𝑤(𝑥1) 𝑥1 . Тодi 𝑥′′2 = 𝑥1 𝑑𝑤 𝑑𝑥1 +𝑤. Таким чином рiвняння (2.3) зведеться до рiвняння 𝑥1 𝑑𝑤 𝑑𝑥1 + 𝑤 = 𝑤3 + 2𝑤, тобто до рiвняння зi змiнними, що роздiляються: 𝑥1 𝑑𝑤 𝑑𝑥1 = 𝑤3 + 𝑤 ⇔ 𝑑𝑤 𝑤(𝑤2 + 1) = 𝑑𝑥1 𝑥1 . Оскiльки 1 𝑤(𝑤2 + 1) = 1 𝑤 − 𝑤 𝑤2 + 1 , то ∫︁ 𝑑𝑤 𝑤(𝑤2 + 1) = ∫︁ 𝑑𝑤 𝑤 − ∫︁ 𝑤 𝑤2 + 1 𝑑𝑤 = ∫︁ 𝑑𝑥1 𝑥1 , звiдки ln |𝑤| − 1 2 ln(|𝑤2 + 1|) = ln |𝑥1|+ 𝐶0, де 𝐶0 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 25 Розглянемо 𝑥1 > 0, домножимо на 2 та пропотенцiюємо двi частини попередньої рiвностi: 𝑤2 𝑤2 + 1 = 𝑥21𝐶, 𝐶 > 0, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ⇒ 𝑤 = √︃ 𝐶𝑥21 1− 𝑥21𝐶 Але 𝑤 = 𝑥′2 𝑥1 , тому 𝑑𝑥2 𝑥1𝑑𝑥1 = √︃ 𝐶𝑥21 1− 𝑥21𝐶 , звiдки 𝑑𝑥2 = √︃ 𝐶𝑥21 1− 𝑥21𝐶 𝑥1𝑑𝑥1. Iнтегруємо: ∫︁ 𝑑𝑥2 = ∫︁ √︃ 𝐶𝑥21 1− 𝑥21𝐶 𝑑(𝐶𝑥21) 2𝐶 Оскiльки 𝐶 > 0 та пiдкореневий вираз додатний (1−𝐶𝑥21 > 0 ⇒ 𝐶𝑥21 < 1), то можемо зробити пiдстановку 𝐶𝑥21 = sin2 𝛼(𝑥1) (тодi 𝛼 = arcsin √︁ 𝐶𝑥21). Тодi ∫︁ 𝑑𝑥2 = ∫︁ √︃ 𝐶𝑥21 1− 𝑥21𝐶 𝑥1𝑑𝑥1 = ∫︁ √︃ sin2 𝛼 1− sin2 𝛼 𝑑(sin2 𝛼) 2𝐶 = = ∫︁ √︂ sin2 𝛼 cos2 𝛼 2 sin𝛼 cos𝛼 2𝐶 𝑑𝛼 = 1 𝐶 ∫︁ sin2 𝛼𝑑𝛼 = = 1 𝐶 ∫︁ 1− cos 2𝛼 2 𝑑𝛼 = 𝛼 2𝐶 − sin 2𝛼 4𝐶 + 𝐶2 = 𝛼− sin𝛼 cos𝛼 2𝐶 + 𝐶2, де 𝐶2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Повертаємось до початкової змiнної 𝑥1: 𝑥2 = arcsin √︀ 𝐶𝑥21 2𝐶 − sin(2 arcsin √︀ 𝐶𝑥21) 4𝐶 + 𝐶2. Залишилось знайти 𝑥1(𝑡). Для цього розглянемо рiвняння на першу ко- ординату геодезичної кривої i замiсть 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 пiдставимо функцiю вiд 𝑥1, 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 : 𝑑2𝑥1 𝑑𝑡2 + 1 𝑥31 ( 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 )2 = 0, 26 𝑑𝑥2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 = √︃ 𝐶𝑥21 1− 𝐶𝑥21 𝑥1 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 , звiдки 𝑑2𝑥1 𝑑𝑡2 + 1 𝑥31 (𝑥1 √︃ 𝐶𝑥21 1− 𝐶𝑥21 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 )2 = 0, а тому 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 ) + 𝐶𝑥1 1− 𝐶𝑥21 ( 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 )2 = 0. Введемо 𝑝(𝑥1) = 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 . Тодi отримуємо 𝑑𝑝 𝑑𝑡 + 𝐶𝑥1 1− 𝐶𝑥21 𝑝2 = 0. Подiлимо на 𝑝: 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑝 + 𝐶𝑥1 1− 𝐶𝑥21 𝑝 = 0. Зауважимо, що: 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑝 = 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 = 𝑑𝑝 𝑑𝑥1 = 𝑝′. Отримали просте лiнiйне однорiдне рiвняння зi змiнними, що роздiляю- ться: 𝑝′ + 𝐶𝑥1 1− 𝐶𝑥21 𝑝 = 0 ⇒ 𝑝′ 𝑝 = 𝐶𝑥1 𝐶𝑥21 − 1 , тобто 𝑑𝑝 𝑝 = 𝐶𝑥1𝑑𝑥1 𝐶𝑥21 − 1 = 𝑑(𝐶𝑥21 − 1) 2(𝐶𝑥21 − 1) , звiдки отримуємо ln |𝑝| = 1 2 ln |𝐶𝑥21 − 1|+ 𝐶3 = 1 2 ln (1− 𝐶𝑥21) + 𝐶3, де 𝐶3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, причому 𝐶3 = lim 𝑥→0 ln |𝑝(𝑥1)| = 0. Оскiльки маємо сингулярнiсть метрики на прямiй 𝑥1 = 0 та iнварiан- 27 тнiсть зсувiв по вiсi 𝑂𝑥2, то отрмимуємо наступнi умови для нормування: 𝑥1(0) = 0, 𝑥1(0) = 1, 𝑥2(0) = 0, 𝑥2(0) = 0, звiдки 𝐶3 = 0, 𝑝 > 0. Тодi ln 𝑝 = ln 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 = 1 2 ln (1− 𝐶𝑥21), тобто 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 = √︁ 1− 𝐶𝑥21 ⇒ 𝑑𝑥1√︀ 1− 𝐶𝑥21 = 𝑑𝑡 ⇒ arcsin ( √ 𝐶𝑥1) = 𝑡 √ 𝐶. Отримали 𝑥1(𝑡) = sin (𝑡 √ 𝐶)√ 𝐶 , що є розв’язком i коли 𝑑𝑥1 𝑑𝑡 < 0. Тепер заходимо 𝑥2(𝑡), пiдставляючи 𝑥1(𝑡) в отриманий вираз для 𝑥2(𝑥1): 𝑥2(𝑥1(𝑡)) = arcsin √︀ 𝐶𝑥21(𝑡) 2𝐶 − sin(2 arcsin √︀ 𝐶𝑥21(𝑡)) 4𝐶 + 𝐶2 = [𝑥1(𝑡) = sin (𝑡 √ 𝐶)√ 𝐶 ] = arcsin √︁ 𝐶 sin2 𝑡 √ 𝐶 𝐶 2𝐶 − sin (2 arcsin √︁ 𝐶 sin2 𝑡 √ 𝐶 𝐶 ) 4𝐶 + 𝐶2 = = arcsin (sin 𝑡 √ 𝐶) 2𝐶 − sin (2 arcsin (sin 𝑡 √ 𝐶)) 4𝐶 +𝐶2 = 𝑡 √ 𝐶 2𝐶 − sin (2𝑡 √ 𝐶) 4𝐶 +𝐶2. Отже, геодезичними лiнiями на площинi Грушина є кривi, що задаються наступним чином: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 𝑥1(𝑡) = sin (𝑡 √ 𝐶)√ 𝐶 𝑥2(𝑡) = 𝑡 √ 𝐶 2𝐶 − sin (2𝑡 √ 𝐶) 4𝐶 + 𝐶2. Покладемо 𝑐 := √ 𝐶. Оскiльки 𝑥2(0) = 0, то 𝐶2 = 0. Остаточно, отриму- 28 ємо ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑥1(𝑡) = sin (𝑐𝑡) 𝑐 𝑥2(𝑡) = 𝑡 2𝑐 − sin (2𝑐𝑡) 4𝑐2 . Зауважимо, що рiвняння геодезичних кривих на многовидi з метрикою Гру- шина спiвпадає з отриманими траєкторiями системи в задачi швидкодiї (2.1). Рис. 2.1: Межi множин досяжностi для рiзних значень 𝑇 Рис. 2.2: Геодезичнi кривi на многовидi для 𝑇 = 1.5 Роздiл 3 Субрiманова метрика на групi Гейзенберга Означення 3.1. Група Гейзенберга (позначається як 𝐻3) – множина квадратних матриць виду ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 𝑎 𝑐 0 1 𝑏 0 0 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ де 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R, з операцiєю множення. Зауважимо, що множина з такою алгебраїчною операцiєю дiйсно утворює групу за визначенням, оскiльки виконується замкненiсть вiдносно операцiї множення; асоцiативнiсть (вла- стивiсть асоцiативностi множення матриць); iснування нейтрального еле- менту ("одиницi"), що належить цiй множинi: 𝐼 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ (𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0), де 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴 для всiх 𝐴 у вищевизначенiй множинi; iснування оберненої матрицi для кожного елемента множини, що також належить цiй множинi: ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R матриця 𝐴−1 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 −𝑎 𝑎𝑏− 𝑐 0 1 −𝑏 0 0 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ 29 30 є оберненою для 𝐴 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 𝑎 𝑐 0 1 𝑏 0 0 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ , оскiльки задовольняє умову 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼. Зауважимо, що група Гейзенберга не є лiнiйним простором, оскiльки результати операцiї додавання та множення на скаляр, що не дорiвнює одиницi, не належать 𝐻3. Справдi, для будь-яких 𝐴1, 𝐴2 ∈ 𝐻3, якщо 𝐴1 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 𝑎1 𝑐1 0 1 𝑏1 0 0 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ , 𝐴2 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 𝑎2 𝑐2 0 1 𝑏2 0 0 1 ⎞⎟⎟⎟⎠ , то 𝐴1 + 𝐴2 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 2 𝑎1 + 𝑎2 𝑐1 + 𝑐2 0 2 𝑏1 + 𝑏2 0 0 2 ⎞⎟⎟⎟⎠ /∈ 𝐻3 i для будь-якого 𝜆 ∈ R, якщо 𝜆𝐴1 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 𝜆 𝜆𝑎1 𝜆𝑐1 0 𝜆 𝜆𝑏1 0 0 𝜆 ⎞⎟⎟⎟⎠ ∈ 𝐻3, то 𝜆 = 1. Групу Гейзенберга визначають три параметри 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R, тобто во- на тривимiрна. Будемо розглядати цю групу як тривимiрний многовид у дев’ятивимiрному просторi матриць розмiру три на три. Оскiльки на цьому многовидi визначена операцiя множення, що є не- перервною як вiдображення, то група Гейзенберга є групою Лi, причому дотичним простором до одиничного елементу буде алгебра Лi, що поро- 31 джується двома векторними полями: 𝑋1 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 ⎞⎟⎟⎟⎠ та 𝑋2 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 0 1 𝑥1 ⎞⎟⎟⎟⎠. Цi векторнi поля є лiнiйно незалежними, але їх кiлькiсть менша за роз- мiрнiсть многовиду, тому щоб вдало задати базис дотичної площини, треба додати ще одне векторне поле, що є дужкою Лi векторних полiв 𝑋1, 𝑋2. Оскiльки алгебра Лi задана на гладкому многовидi, то дужка Лi дiє як диференцiальний оператор, тому координати отриманого вектора такi: [𝑋1, 𝑋2] 1 = 𝑋𝑗 1𝜕𝑗𝑋 1 2 −𝑋𝑗 2𝜕𝑗𝑋 1 1 = 𝑋1 1𝜕1𝑋 1 2 −𝑋1 2𝜕1𝑋 1 1 = 0, [𝑋1, 𝑋2] 2 = 𝑋𝑗 1𝜕𝑗𝑋 2 2 −𝑋𝑗 2𝜕𝑗𝑋 2 1 = 𝑋1 1𝜕1𝑋 2 2 −𝑋1 2𝜕1𝑋 2 1 = 0, [𝑋1, 𝑋2] 3 = 𝑋𝑗 1𝜕𝑗𝑋 3 2 −𝑋𝑗 2𝜕𝑗𝑋 3 1 = 𝑋1 1𝜕1𝑋 3 2 −𝑋1 2𝜕1𝑋 3 1 = 1 · 1 = 1. Отже, [𝑋1, 𝑋2] = ⎛⎜⎜⎜⎝ 0 0 1 ⎞⎟⎟⎟⎠, що є лiнiйно незалежним вiд 𝑋1 та 𝑋2 в усiх точках многовиду, тобто вектори𝑋1, 𝑋2, [𝑋1, 𝑋2] можуть утворювати базис тривимiрного простору. Маємо, що дотичний простiр 𝑇𝑥𝑀 в кожнiй точцi зв’язного многовиду𝑀 (𝑥 ∈𝑀), де 𝑀 це тривимiрний многовид, що утворюється групою Гейзен- берга, покривається векторними полями 𝑋1, 𝑋2 та їх дужкою Лi [𝑋1, 𝑋2]. Це означає, що виконується умова Рашевського-Чоу, а з цього випливає досяжнiсть кожної точки многовиду 𝑀 . Векторнi поля 𝑋1, 𝑋2 породжують наступну систему: �̇� = 𝑋1(𝑥)𝑢1(𝑡) +𝑋2(𝑥)𝑢2(𝑡), (3.1) де 𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡) можуть розглядатися як керування. В нашому випадку отри- 32 муємо наступну керовану нелiнiйну систему:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥1 = 𝑢1 𝑥2 = 𝑢2 𝑥3 = 𝑥1𝑢2. (3.2) Розглянемо для цiєї системи спочатку задачу швидкодiї, а потiм розгля- немо її як систему, що задає субрiманову метрику аналогiчно попередньому роздiлу. 3.1. Група Гейзенберга з точки зору теорiї оптимального керування Розглянемо задачу з переведення системи з початкового фiксованого положення 𝑥(𝑡0) = 𝑥0 в фiксоване кiнцеве положення 𝑥(𝑇 ) = �̂� за якнай- менший час: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥1 = 𝑢1 𝑥2 = 𝑢2 𝑥3 = 𝑥1𝑢2 𝑥1(0) = 0, 𝑥1(𝑇 ) = 𝑥1, 𝑥2(0) = 0, 𝑥2(𝑇 ) = 𝑥2, 𝑥3(0) = 0, 𝑥3(𝑇 ) = 𝑥3, 𝑢21 + 𝑢22 ≤ 1, 𝑇 → min. В цiй задачi швидкодiї початкова точка (положення системи в момент часу 0, тобто при 𝑡 = 0) – початок координат. 33 Можемо записати вищенаведену систему як �̇� = 𝑋1(𝑥)𝑢1 +𝑋2(𝑥)𝑢2, де векторнi поля 𝑋1 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 1 0 0 ⎞⎟⎟⎟⎠, 𝑋2 = ⎛⎜⎜⎜⎝ 0 1 𝑥1 ⎞⎟⎟⎟⎠, [𝑋1, 𝑋2] = ⎛⎜⎜⎜⎝ 0 0 1 ⎞⎟⎟⎟⎠. Оскiльки векторнi поля 𝑋1, 𝑋2, [𝑋1, 𝑋2] лiнiйно незалежнi ∀𝑥1 ∈ R, то ранг системи векторiв 𝑋1, 𝑋2, [𝑋1, 𝑋2] дорiвнює розмiрностi простору (а саме, 3), тобто система є повнiстю керованою за ранговим критерiєм. Розв’язати задачу швикодiї означає знайти оптимальне керування 𝑢(𝑡), тобто 𝑢1 та 𝑢2. Для цього використаємо принцип максимума Понтрягiна. Функцiя Гамiльтона-Понтрягiна для нашої задачi швидкодiї: 𝐻 = 𝑢1𝜓1 + 𝑢2𝜓2 + 𝑥1𝑢2𝜓3 − 𝜆0, де 𝜓1, 𝜓2, 𝜓3 – спряженi змiннi. Спряжена система:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝜓1 = −𝜕𝐻 𝜕𝑥1 = −𝑢2𝜓3 𝜓2 = −𝜕𝐻 𝜕𝑥2 = 0 𝜓3 = −𝜕𝐻 𝜕𝑥3 = 0, тобто ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝜓1 = −𝑢2𝜓3 𝜓2 = 0 𝜓3 = 0. Маємо, що 𝜓2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜓3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 та будемо вважати, що 𝜓3 ̸= 0. Якщо (𝑢1(𝑡), 𝑢2(𝑡)), 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] – оптимальне керування, то iснує 34 (𝜓1(𝑡), 𝜓2(𝑡), 𝜓3(𝑡)) – не тотожньо нульовий розв’язок наступної системи:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝜓1 = −𝜓3𝑢2(𝑡) 𝜓2 = 0 𝜓3 = 0, причому 𝜓1(𝑡)𝑢1(𝑡) + 𝜓2(𝑡)𝑢2(𝑡) + 𝜓3(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑢2(𝑡) = = max 𝑢2 1+𝑢2 2≤1 (𝜓1(𝑡)𝑢1(𝑡) + 𝜓2(𝑡)𝑢2(𝑡) + 𝜓3(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑢2(𝑡)), 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], де ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ˙̂𝑥1(𝑡) = 𝑢1(𝑡) ˙̂𝑥2(𝑡) = 𝑢2(𝑡) ˙̂𝑥3(𝑡) = 𝑥1(𝑡)𝑢2(𝑡). Аналогiчно задачi швидкодiї у попередньому роздiлi можемо еквiвален- тно замiнити умову обмеження на керування з 𝑢21+𝑢 2 2 ≤ 1 на умову зв’язку 𝑢21 + 𝑢22 = 1 для задачi на умовний екстремум.⎧⎪⎨⎪⎩max(𝜓1(𝑡)𝑢1(𝑡) + 𝜓2(𝑡)𝑢2(𝑡) + 𝜓3(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑢2(𝑡)) 𝑢21 + 𝑢22 = 1. За методом множникiв Лагранжа функцiєю Лагранжа для нашої задачi є: 𝐿 = (𝑢1𝜓1 + 𝑢2𝜓2 + 𝑥1𝑢2𝜓3)− 𝜆(𝑢21 + 𝑢22 − 1). Прирiвнюємо до 0 частиннi похiднi функцiї Лагранжа по 𝑢1 та 𝑢2:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 𝜕𝐿 𝜕𝑢1 = 0 = 𝜓1 − 2𝜆𝑢1 𝜕𝐿 𝜕𝑢2 = 0 = (𝜓2 + 𝜓3𝑥1)− 2𝜆𝑢2, 35 звiдки отримуємо ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝑢1 = −𝜓1 2𝜆 𝑢2 = −𝜓2 + 𝜓3𝑥1 2𝜆 . Зберiгаємо умову 𝑢21 + 𝑢22 = 1, тодi: 𝜓2 1 4𝜆2 + (𝜓2 + 𝜓3𝑥1) 2 4𝜆2 = 1, звiдки 𝜆 = √︀ 𝜓2 1 + (𝜓2 + 𝜓3𝑥1)2 2 . Аналогiчно попередньому роздiлу, 𝜆 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Диференцiюємо вищеотриману систему:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 𝑢1 = −𝜓1 2𝜆 = 𝜓3 2𝜆 𝑢2 𝑢2 = −𝜓2 + 𝜓3𝑥1 + 𝜓3𝑥1 2𝜆 = −𝜓3 2𝜆 𝑢1. Позначимо 𝐶 = 𝜓3 2𝜆 , тодi система набуває вигляду системи звичайних диференцiйних рiвнянь: ⎧⎪⎨⎪⎩𝑢1 = 𝐶𝑢2 𝑢2 = −𝐶𝑢1. Аналогiчно попередньому роздiлу отримуємо оптимальнi керування:⎧⎪⎨⎪⎩𝑢1(𝑡) = sin (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝑢2(𝑡) = − cos (𝐶𝑡+ 𝛿). 36 Тодi система для знаходження оптимальної траєкторiї має вигляд:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥1 = sin (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝑥2 = − cos (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝑥3 = −𝑥1 cos (𝐶𝑡+ 𝛿). Розв’язуємо окремо кожне рiвняння, як рiвняння зi змiнними, що роз- дiляються: 𝑥1 − 𝑥10 = ∫︁ 𝑡 0 sin (𝐶𝑡+ 𝛿)𝑑𝑡 = −cos (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝐶 |𝑡0 = −cos (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝐶 + cos 𝛿 𝐶 , 𝑥2 − 𝑥20 = − ∫︁ 𝑡 0 cos (𝐶𝑡+ 𝛿)𝑑𝑡 = −sin (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝐶 |𝑡0 = −sin (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝐶 + sin 𝛿 𝐶 , 𝑥3 − 𝑥30 = − ∫︁ 𝑡 0 𝑥1 cos (𝐶𝑡+ 𝛿)𝑑𝑡 = [𝑥10 = 0 ⇒ 𝑥1 = −cos (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝐶 + cos 𝛿 𝐶 ] = − ∫︁ 𝑡 0 (−cos (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝐶 + cos 𝛿 𝐶 ) cos (𝐶𝑡+ 𝛿)𝑑𝑡 = = 1 𝐶 ∫︁ 𝑡 0 cos2 (𝐶𝑡+ 𝛿)𝑑𝑡− cos 𝛿 𝐶 ∫︁ 𝑡 0 cos (𝐶𝑡+ 𝛿)𝑑𝑡 = = 1 2𝐶 ∫︁ 𝑡 0 (1 + cos 2(𝐶𝑡+ 𝛿))𝑑𝑡− cos 𝛿 𝐶 ∫︁ 𝑡 0 cos (𝐶𝑡+ 𝛿)𝑑𝑡 = = 𝑡 2𝐶 + 1 4𝐶2 sin 2(𝐶𝑡+ 𝛿)|𝑡0 − cos 𝛿 𝐶2 sin (𝐶𝑡+ 𝛿)|𝑡0 = = 𝑡 2𝐶 + sin 2(𝐶𝑡+ 𝛿) 4𝐶2 − sin 2𝛿 4𝐶2 − cos 𝛿 𝐶2 sin (𝐶𝑡+ 𝛿) + cos 𝛿 𝐶2 sin 𝛿 = = 𝑡 2𝐶 + sin 2(𝐶𝑡+ 𝛿) 4𝐶2 − sin 2𝛿 4𝐶2 − cos 𝛿 𝐶2 sin (𝐶𝑡+ 𝛿) + sin 2𝛿 2𝐶2 = = 𝑡 2𝐶 + sin 2(𝐶𝑡+ 𝛿) 4𝐶2 + sin 2𝛿 4𝐶2 − cos 𝛿 𝐶2 sin (𝐶𝑡+ 𝛿) = 37 [sin (𝐶𝑡+ 𝛿) cos 𝛿 = 1 2 (sin (𝐶𝑡) + sin (𝐶𝑡+ 2𝛿)] = 𝑡 2𝐶 + sin 2(𝐶𝑡+ 𝛿) 4𝐶2 + sin (2𝛿) 4𝐶2 − sin𝐶𝑡 2𝐶2 − sin (𝐶𝑡+ 2𝛿) 2𝐶2 . Отримуємо наступний розв’язок (враховуючи, що 𝑥10 = 0, 𝑥20 = 0, 𝑥30 = 0): ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑥1(𝑡) = −cos (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝐶 + cos 𝛿 𝐶 𝑥2(𝑡) = −sin (𝐶𝑡+ 𝛿) 𝐶 + sin 𝛿 𝐶 𝑥3(𝑡) = 𝑡 2𝐶 + sin 2(𝐶𝑡+ 𝛿) 4𝐶2 + sin (2𝛿) 4𝐶2 − sin𝐶𝑡 2𝐶2 − sin (𝐶𝑡+ 2𝛿) 2𝐶2 . 3.2. Група Гейзенберга з точки зору субрi- манової метрики: знаходження геодези- чних Для знаходження геодезичних можна звести тривимiрну задачу до дво- вимiрної: зменшити розмiрнiсть многовиду, що буде розглядатись, до двох. Для цього спочатку зробимо замiну⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑦1 = 𝑥1 𝑦2 = 𝑥2 𝑦3 = 2𝑥3 − 𝑥1𝑥2. В цих координатах система матиме вигляд⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ �̇�1 = 𝑢1 �̇�2 = 𝑢2 �̇�3 = 𝑦1𝑢2 − 𝑦2𝑢1. (3.3) 38 Тепер зробимо цилiндричну замiну координат (введемо змiннi 𝜌, 𝜑):⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑦1 = 𝜌 sin𝜑 𝑦2 = 𝜌 cos𝜑 𝑦3 = 𝑧. Диференцiюємо по 𝑡:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 𝑦1 = �̇� sin𝜑+ 𝜌 cos𝜑�̇� = 𝑢1 𝑦2 = �̇� cos𝜑− 𝜌 sin𝜑�̇� = 𝑢2 𝑦3 = �̇� = 𝜌 sin𝜑𝑢2 − 𝜌 cos𝜑𝑢1. Додаючи перше рiвняння системи, помножене на cos𝜑, до другого, помно- женого на sin𝜑, а потiм перше на − sin𝜑 до другого, що помножене на cos𝜑, отримуємо наступну систему:⎧⎪⎨⎪⎩�̇� = 𝑢1 cos𝜑+ 𝑢2 sin𝜑 𝜌�̇� = 𝑢2 cos𝜑− 𝑢1 sin𝜑 Позначимо ⎧⎪⎨⎪⎩𝑣1 = 𝑢1 cos𝜑+ 𝑢2 sin𝜑 𝑣2 = 𝑢2 cos𝜑− 𝑢1 sin𝜑, тодi 𝑣1 = �̇�, 𝑣2 = 𝜌�̇�. Отже, отримали систему другого порядку, що зв’язана з площиною Грушина: ⎧⎪⎨⎪⎩�̇� = 𝑣1 �̇� = 𝜌𝑣2. 39 Для цього многовиду (площини R2 з метрикою Грушина) вже були знайденi рiвняння на координати геодезичних лiнiй у роздiлi 2.2:⎧⎪⎨⎪⎩ 𝜌 = sin (𝑐𝑡) 𝑐 𝑧 = 𝑡 2𝑐 − sin (2𝑐𝑡) 4𝑐2 . (3.4) Зауважимо, що якщо пiдставити вирази для координат геодезичних кри- вих iз системи (3.4) в початкову систему, то отримаємо рiвняння геодези- чних кривих для тривимiрного многовиду, що збiгається з траєкторiями системи для задачi швидкодiї, якi отримане в роздiлi 3.1. Висновки В данiй роботi було проiлюстровано зв’язок мiж задачами теорiї ке- рування (задачами швидкодiї) та диференцiальною геометрiєю (задачею пошуку геодезичних кривих на многовидi з субрiмановою метрикою). Були детально проаналiзованi два субрiмановi многовиди – площина Грушина та група Гейзенберга. В цих прикладах вiдповiдна метрика не є рiмановою, але причини цьому рiзнi. Для площини Грушина метрика є сингулярною, тобто в деяких точках векторнi поля є лiнiйно залежними. Для групи Гейзенберга розмiрнiсть многовиду – три, а маємо лише два лiнiйно незалежних векторних поля. Iз застосуванням принципу максимума Понтрягiна були знайденi в явно- му виглядi оптимальнi за швидкодiєю керування i оптимальнi траєкторiї. Також були отриманi i розв’язанi диференцiальнi рiвняння геодезичних. Було показано, що цi методи еквiвалентнi, тобто приводять до однакових результатiв. 40 Список використаних джерел [1] A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain. A Comprehensive Introducti- on to sub-Riemannian Geometry (from Hamiltonian viewpoint) (electronic), 2019. https://people.sissa.it/~agrachev/agrachev_ files/ABB-final-SRnotes.pdf [2] A. Belläıche: The tangent space in sub-Riemannian geometry. In: Sub- Riemannian Geometry. Progress in Mathematics, vol 144. Birkhäuser Basel, 1996, 1–78. [3] E. Le Donne. Lecture notes on sub-Riemannian geometry (from the Lie group viewpoint) (electronic), 2021. https://cvgmt.sns.it/media/ doc/paper/5339/sub-Riem_notes.pdf [4] R. R. Faizullin. On connection between the nonholonomic metric on the Heisenberg group and the Grushin metric. Sib. Math. J. 44 (2003), no. 6, 1085–1090. [5] L.S. Pontryagin, V.G. Boltyansky, R.V. Gamkrelidze and E.F. Mi- shchenko. The Mathematical Theory of Optimal Processes. Wiley Interscience, New York, 1962. [6] G. M. Sklyar, S. Yu. Ignatovich. Free algebras and noncommutative power series in the analysis of nonlinear control systems: an applicati- on to approximation problems, Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.), 504, 2014, 1–88. 41 https://people.sissa.it/~agrachev/agrachev_files/ABB-final-SRnotes.pdf https://people.sissa.it/~agrachev/agrachev_files/ABB-final-SRnotes.pdf https://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/5339/sub-Riem_notes.pdf https://cvgmt.sns.it/media/doc/paper/5339/sub-Riem_notes.pdf 0583033a2fa7b60b2969f1710e75be17c2d5e5f34275019376cd8fbc2482d5bf.pdf a8d2967808d7b662bff5f29a4066334a5478cb08ecd55a7a8d63e49c72e91133.pdf 0583033a2fa7b60b2969f1710e75be17c2d5e5f34275019376cd8fbc2482d5bf.pdf Вступ Постановка задачі. Теоретичні факти та визначення Ріманова метрика Субріманова метрика Алгебра Лі векторних полів Задача швидкодії Субріманова метрика на площині Грушина Площина Грушина з точки зору теорії оптимального керування Площина Грушина з точки зору субріманової метрики: знаходження геодезичних Субріманова метрика на групі Гейзенберга Група Гейзенберга з точки зору теорії оптимального керування Група Гейзенберга з точки зору субріманової метрики: знаходження геодезичних Висновки Список використаних джерел