Розробка програмних засобів для розв'язання диференціальних рівнянь у фізичних задачах із застосуванням нейронних мереж

Abstract

Метою дипломної роботи є дослідження застосування фізично-інформованих нейронних мереж (PINNs) для розв’язання диференціальних рівнянь, що описують фізичні процеси (теплопровідність, деформація твердого тіла, гідродинаміка), та оцінка їх ефективності порівняно з класичними методами. Методологія дослідження базується на використанні глибокого навчання й автоматичного диференціювання. Основними інструментами слугували Python із бібліотеками PyTorch, NumPy, Matplotlib та спеціально створені модулі. У рамках роботи розроблено універсальний фреймворк для застосування PINN до задач різних класів. Проведено експерименти для трьох типових фізичних моделей, досягнуто високої точності за помірного часу навчання. Результати візуалізовано графічно, що підтверджує їх відповідність аналітичним розв’язкам. Новизна роботи полягає у створенні універсальної архітектури для PINN із підтримкою похідних до 4-го порядку, застосуванні автоматичного диференціювання та аналізі розв’язків для різних типів рівнянь. Отримані результати можуть бути використані в науковому моделюванні, інженерному аналізі та чисельній механіці, а також як навчальний приклад сучасного нейромережевого підходу до розв’язання диференціальних рівнянь. Реалізацію можна адаптувати до задач із ускладненою геометрією або параметричною невизначеністю.The aim of this thesis is to explore the application of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) for solving differential equations that describe various physical processes, including heat conduction, solid body deformation, and hydrodynamics. The study also evaluates their effectiveness in comparison with classical numerical methods. The research methodology is based on the use of deep learning and automatic differentiation. The main tools included Python along with libraries such as PyTorch, NumPy, and Matplotlib, as well as custom-developed modules. As part of the work, a universal framework was developed to apply PINNs to different classes of problems. Experiments were conducted on three representative physical models, achieving high accuracy within reasonable training time. The results were visualized graphically, confirming their consistency with analytical solutions. The novelty of the work lies in the creation of a universal PINN architecture supporting derivatives up to the 4th order, the use of automatic differentiation in a real project, and comparative analysis of solutions for different types of equations. The obtained results can be used in scientific modeling, engineering analysis, and computational mechanics, as well as serve as an educational example of a modern neural network approach to solving differential equations. The proposed implementation can be adapted for problems with complex geometry or parametric uncertainty.