Поліноміальні розв’язки систем лінійних диференціальних рівнянь нескінченного порядку

Abstract

Роботу присвячено опису полiномiальних розв’язкiв системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь нескiнченного порядку в скiнченновимiрному просторi. З такою системою пов’язується лiнiйний диференцiальний оператор нескiнченного порядку з квадратними матричними коефiцiєнтами. Показано, що необхiдною i достатньою умовою iснування та єдиностi розв’язку цiєї системи при будь-якiй полiномiальнiй правiй частинi є оборотнiсть вiльного члену цього оператору. Для побудови вiдповiдного єдиного розв’язку застосовується метод iталiйського математика У. Броджи, який вiн запропонував для побудови розв’язкiв скалярних лiнiйних диференцiальних рiвнянь скiнченного порядку. У випадку необоротностi вiльного члену лiнiйного диференцiального оператору система або взагалi не має полiномiальних розв’язкiв, або має нескiнченну кiлькiсть таких розв’язкiв. В цьому випадку виникає задача побудови загального полiномiального розв’язку цiєї системи. При додаткових умовах на матричнi коефiцiєнти для опису загального полiномiального розв’язку також можна використати метод У. Броджи. Зроблено програмну реалiзацiю цього методу в середовищi Python для побудови загального полiномiального розв’язку системи. В загальнiй ситуацiї при необоротному вiльному членi оператора запропоновано метод невизначених коефiцiєнтiв, який зводить задачу знаходження полiномiальних розв’язкiв системи до розв’язання деякої системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Створена програмна реалiзацiя методу невизначенних коефiцiєнтiв дозволяє описати полiномiальнi розв’язки степеню не вище заданого числа. Надано оцiнку знизу степеню полiномiального розв’язку системи. Результати роботи також частково узагальнюють вiдповiднi результатi робот С.Л. Гефтера, А.Б. Гончарук та О.Л. Пiвня для скалярних лiнiйних диференцiальних рiвнянь скiнченного i нескiнченного порядку над комутативними кiльцями з одиницею.

This study is devoted to a description of the polynomial solutions of the system of infinite order linear differential equations in the finite-dimensional space. The infinite order linear differential operator with square matrix coefficients is connected with this system. It is shown that the invertibility of the constant matrix term is a necessary and sufficient condition for the existence and uniqueness of the solution of this system for an arbitrary polynomial right-hand side. To construct the corresponding unique solution it is applied the method of Italian mathematician U. Broggi, which was originally used to construct the solutions of scalar finite order linear differential equations. In the case of non-invertibility of the constant matrix term of the linear differential operator, the system either has infinitely many polynomial solutions or has no such solutions. In this case, the problem of the constructing of the general polynomial solution of this system appears. Under additional conditions on matrix coefficients for the description general polynomial solution can be used the U. Broggi’s method. The software implementation has been developed for this method in a Python environment for the construction of a general polynomial solution of the system. In the general case, under non-invertibility of the constant matrix term of the operator, an undetermined coefficients method is proposed that reduces the problem of finding polynomial solutions of the system to the problem of solving some system of linear algebraic equations. The software implementation has been developed of the undetermined coefficients method, making it possible to describe polynomial solutions of degree less than or equal to a given integer. A lower bound has been established for the degree of the solution of the system. The results of this study partially generalize the results of S.L. Gefter, A.B. Goncharuk, A.L. Piven’ for scalar linear differential equations of finite and infinite order over a commutative ring with identity.