Математичні моделі поширення інфекційних захворювань

Abstract

Квалiфiкацiйна робота присвячена моделюванню детермiнованих (MSEIR) та схохастичних (TSIR) моделей розповсюдження кору в Японiї. Пiсля наочної iлюстрацiї нездатностi методу найменших квадратiв апроксимувати криву iнфiкованих, робиться перехiд до методу максимальної правдоподiбностi. Оптимiзується зареєстрована кiлькiсть випадкiв кору в Японiї i пояснюється, чому для подальшого аналiзу некоректно використувати зареєстрованi данi. Наочно iлюструється, що модель MSEIR не здатна вiдобразити описанi ВООЗ тренди поведiнки кору за вiдсутностi вакцинацiї i робиться перехiд до моделi TSIR. Розглядаються рiзнi розподiли кiлькостi iнфiкованих i пояснюється, чому для практичного застосування моделi найкращим розподiлом є вiд’ємний бiномiальний, тодi як для для теоретичного моделювання розподiл Пуассона є найпрактичнiшим. На гiпотетичному прикладi двох мiст демонструється, як метапопуляцiйна модель може уточнити стандартну модель. Також математично демонструється, як завчасне запровадження вакцинацiї може допомогти запобiгти епiдемiї.

This qualification paper focuses on the modelling of deterministic (MSEIR) and stochastic (TSIR) models of measles transmission in Japan. After clearly demonstrating the inability of the least squares method to approximate the infection curve, the study transitions to maximum likelihood estimation. The reported number of measles cases in Japan is optimized, and a rationale is provided as to why utilizing strictly reported data for subsequent analysis is methodologically incorrect. It is visually illustrated that the MSEIR model fails to capture the measles behavioural trends described by the WHO in the absence of vaccination, prompting a shift to the TSIR model. Various distributions for the number of infected individuals are examined, explaining why the negative binomial distribution is optimal for the model’s practical application, whereas the Poisson distribution is the most practical choice for theoretical modelling. Using two cities as a hypothetical case study, the work demonstrates how a metapopulation model can refine the standard approach. Finally, the study shows mathematically how the early implementation of vaccination can help prevent an epidemic.