Розв’язання задачі швидкодії для одного класу нелінійних керованих систем

Abstract

Дана робота присвячена дослiдженню нелiнiйної задачi швидкодiї для одного класу двовимiрних керованих систем, який є узагальненням системи, що описує площину Грушина. Мета роботи– отримати розв’язок цiєї задачi швидкодiї, якщо початкова точка дорiвнює нулю, а кiнцева– фiксована. У роботi були отриманi необхiднi умови оптимальностi на основi принципу максимуму Понтрягiна. Зокрема, було показано, що оптимальнi керування є неперервно-диференцiйовними. Показано, що з мiркувань симетрiї достатньо обмежитися першим квадрантом площини без втрати загальностi. Оптимальнi траєкторiї можуть мати точки повороту, якi утворюють певну криву. У роботi отримано рiвняння цiєї кривої та вiдповiдний момент часу повороту в явному виглядi з застосуванням бета-функцiї. Показано, що задача Кошi для визначення оптимальних траєкторiй мiстить числовий параметр, i наведений метод знаходження цього параметра за заданою кiнцевою точкою. Таким чином, в роботi вперше отриманий повний розв’язок задачi швидкодiї для розглянутого класу систем. Теоретичнi результати пiдкрiпленi чисельним моделюванням та програмною реалiзацiєю в середовищi Python.

The thesis is devoted to the study of a nonlinear time-optimal control problem for a class of two-dimensional control systems that generalizes the system describing the Grushin plane. The aim of the work is to obtain a solution to this time-optimal control problem when the initial point is zero and the terminal point is fixed. In this work, the necessary optimality conditions were obtained using Pontryagin’s Maximum Principle. In particular, it was shown that the optimal controls are continuously differentiable. It is also shown that, due to symmetry considerations, it is sufficient to restrict the analysis to the first quadrant of the plane without loss of generality. The optimal trajectories may possess turning points that form a certain curve. In this work, an explicit equation of this curve and the corresponding turning time were obtained using the beta function. It is shown that the Cauchy problem for determining the optimal trajectories contains a numerical parameter, and a method for finding this parameter for a given terminal point is presented. Thus, this work provides the first complete solution to the time-optimal control problem for the considered class of systems. The theoretical results are supported by numerical modeling and a software implementation in Python.