Implicit linear nonhomogeneous difference equation over Z with a random right-hand side

Abstract

Let {fn}∞ n=0 be a sequence of independent identically distributed integer valued random variables which are defined on a probability space (Ω, F, P). We assume that these variables have a non-degenerate distribution. Let a and b be integers, b 6= 0, ±1, and let a be not divisible by b. For every ω ∈ Ω, we consider the implicit first-order linear nonhomogeneous difference equa tion bxn+1 + axn = fn(ω), n = 0, 1, 2, . . .. It is proved that the probability that there exists an integer solution of this implicit difference equation is equal to zero. Hence, under the random choice of integers f0, f1, f2, . . ., the implicit linear difference equation bxn+1 + axn = fn, n = 0, 1, 2, . . ., has no solutions in integers. We also prove that if a and b are co-prime integers, then the solvability set for this difference equation is an uncountable dense meagre set in the space of all sequences of integers.

Нехай {fn}∞ n=0 – послiдовнiсть незалежних цiлозначних однаково розподiлених випадкових величин, що визначенi на ймовiрнiсному просторi (Ω, F, P). Припускається, що цi величини мають невироджений розподiл. Нехай a та b – цiлi числа, b 6= 0, ±1 та a не дiлиться на b. Для кожного ω ∈ Ω розглядається наступне неявне лiнiйне неоднорiдне рiзницеве рiвняння першого порядку: bxn+1 + axn = fn(ω), n = 0, 1, 2, . . .. Доведено, що ймовiрнiсть iснування розв’язку в цiлих числах цього неявного рiзницевого рiвняння дорiвнює нулю. Отже, при випадковому виборi цiлих чисел f0, f1, f2, . . . неявне рiзницеве рiвняння bxn+1 +axn = fn, n = 0, 1, 2, . . ., не має розв’язкiв в цiлих числах. Також доведено, що якщо a та b – взаємно простi числа, то множина розв’язностi цього рiвняння є незлiченою щiльною множиною першої категорiї у просторi всiх послiдовностей цiлих чисел.