Неявні лінійні різницеві рівняння вищого порядку з випадковою правою частиною

Abstract

Розглянуто неявне лінійне різницеве рівняння над кільцем цілих чисел зі сталими коефіцієнтами та випадковими правими частинами, що приймають цілі значення. Для випадку скінченного проміжку часу надано явний опис випадкової події, яка полягає в існуванні розв’язку рівняння в цілих числах. Для випадку нескінченного часу знайдено достатні умови, за яких ймовірність цієї події дорівнює нулю. Одержані результати ілюструються конкретними прикладами.

An implicit linear difference equation over the ring of integers with constant coefficients and integer-valued random right-hand sides is considered. For the case of a finite time interval, an explicit description of the random event consisting in the existence of an integer solution to the equation is provided. For the case of infinite time, sufficient conditions are found under which the probability of this event is zero. The obtained results are illustrated by specific examples.