Узагальнений оператор зсуву i лiнiйне операторне рiвняння у кiльцi формальних степеневих рядiв з цiлими коефiцiєнтами

Abstract

Робота присвячена узагальненню методу пошуку розв’язкiв лiнiйних рiзницевих та диференцiальних рiвнянь вищих степенiв з цiлими коефiцiєнтами. Розглядається лiнiйне операторне рiвняння у кiльцi формальних степеневих рядiв з цiлими коефiцiєнтами, де оператором виступає узагальнений оператор зсуву. Лiнiйне диференцiальне рiвняння та лiнiйне неоднорiдне неявне рiзницеве рiвняння є частковими випадками операторного рiвняння. Для знаходження розв’язкiв застосовується метод схожий на спосiб пошуку часткового розв’язку диференцiального рiвняння, який використав У.Броджi [2, §5, 22.1]. В роботi дослiджуються достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку операторного рiвняння у виглядi формальних степеневих рядiв з цiлими коефiцiєнтами. Для цього вводиться спецiальна ¯q-адична метрика на цiлих числах, розглядається також спецiальне кiльце ¯q-адичних цiлих чисел, що є поповненням кiльця цiлих чисел за цiєю метрикою. Сформульованi достатнi умови iснування та єдиностi розв’язку в кiльцi формальних степеневих рядiв з коефiцiєнтами з кiльця ¯q-адичних цiлих чисел.

The work is dedicated to the generalization of the method for finding solutions to linear implicit difference difference and differential equations of higher powers with integer coefficients. Considers a linear operator equation in the ring of formal power series with integer coefficients, where the operator is a generalized shift operator. The linear differential equation and the linear nonhomogeneous implicit difference equation are special cases of the operator equation. The method used to find solutions is similar to the approach of finding a particular solution to a differential equation used by U. Broggi. The paper investigates sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions to the operator equation in the form of formal power series with integer coefficients. For this purpose, a special ¯q-adic metric is introduced on integers, and a special ring of ¯q-adic integers, which is a completion of the ring of integers with respect to this metric, is considered. Sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions on the ring of formal power series with coefficients from the ring of ¯q-adic integers are formulated.