Метод рухомого репера Картана у геометрiї пiдмноговидiв

Abstract

Для обчислення геометричних характеристик поверхонь у рiманових многовидах використовують форми зв’язностi та кривини. Це один iз способiвзнаходження цих характеристик в диференцiальнiй геометрiї, зокрема в рiмановiй геометрiї. Ця технiка належить французькому математику Елi Жозефу Картану, i вона займає промiжне положення мiж розрахунками в локальних координатах i означеннями, що застосовують векторнi поля. У данiй роботi ми детально розглядаємо цi методи, обчислюючи геометри-чнi характеристики деяких класичних тривимiрних геометрiй за їхньою допомогою. Пiсля цього ми переходимо до їх застосування у геометрiї пiдмноговидiв. Зауважимо, що детального викладення технiки форм саме для дослiдження пiдмноговидiв бракує у лiтературi. Ми самостiйно виводимо з рiвнянь Картана розкладення Гаусса i Вейнгартена, рiвняння Гаусса, Кодаццi та Рiччi, описуємо за їхньою допомогою кiлька цiкавих класiв мiнiмальних поверхонь у геометрiї Sol та отримуємо новi доведення теорем про неiснування та iснування занурень тривимiрних терстонiвських геометрiй Nil, Sol та ^ SL(2,R) у чотиривимiрнi простори постiйної кривини, що належать Л. Масальцеву.