Деякі властивості лінійних функціоналів у просторі поліномів

Abstract

У кваліфікаційній роботі за допомогою теореми Бореля про нескінченно диференційовані функції наведено коротке доведення теореми про те, що на відміну від скінченного відрізку, довільний лінійний функціонал у просторі поліномів ℝ[𝑥] можна представити за допомогою інтегралу з функцією з простору Шварца. Наведені явні приклади такого представлення для дельта-функції. Також наведені прості приклади, що показують неоднозначність таких представлень. Показано, що ситуація у просторі поліномів ℂ[𝑧] протилежна: на відміну від представлення довільного лінійного функціоналу у просторі ℝ[𝑥] у вигляді інтегралу по дійсній вісі, у випадку поля комплексних чисел не всі лінійні функціонали у просторі ℂ[𝑧] можна представити за допомогою звичайного інтеграла Коші.

In the qualified work, in addition to Borel's theorem about infinitely differentiable functions, a short summary of the theorem about those that can be administrated from a skimmed section, rather linear The functional of the polynomial space ℝ[𝑥] can be represented by an additional integral with the function of the Schwartz space. There are clear applications of such a representation for the delta function. We also point out simple examples to show the ambiguity of such ideas. It is shown that the situation in the space of polynomials ℂ[𝑧] is similar: in view of the representation of a sufficient linear functional in the space ℝ[𝑥] in the form of an integral over the ℝ, in the case of the field of complex numbers, not all linear functionals in the space ℂ[𝑧] can be represented using the prime Cauchy integral.