Деякi диференцiальнi рiвняння у модулi кополiномiв над комутативним кiльцем

Abstract

Ця робота присвячена суто алгебраїчному пiдходу до теорiї узагальнених функцiй, що був запропонован у роботах С.Л. Гефтера i О.Л. Пiвня. Дослiджується конструкцiя множення кополiномiв, та кiльце полiномiв як простiр «основних функцiй». У цьому контекстi кополiноми, розглядаються як аналоги узагальнених функцiї. Робота починається з роздiлу, де викладенi властивостi кополiномiв та представленi приклади їх використання. Основна частина роботи, роздiл 3, мiстить ключовi результати. Теорема «про двiйку» вказує на те, що диференцiальне рiвняння T ′ = T m має ненульовий розв’язок лише при m = 2. Вона також встановлює характеристику δ-функцiї в цьому контекстi. Другий основний результат полягає в загальнiй теоремi про iснування ненульових розв’язкiв для нелiнiйного диференцiального рiвняння T ′ = P (T ), де P (y) є полiномом, що задовольняє умову P (0) = 0. Робота пропонує новий пiдхiд до розумiння узагальнених функцiй, де алгебраїчнi методи дозволяють отримати цiкавi результати, вiдмiннi вiд їх класичних аналогiв.

This work is dedicated to a purely algebraic approach to the theory of generalized functions proposed in the works of S.L. Gevter and O.L. Pivnya. It investigates the construction of copolynomials and the ring of polynomials as a space of «test functions». In this context, copolynomials are considered as analogs of generalized functions. The paper starts with a section outlining the properties of copolynomials and presenting examples of their usage. The main part of the work, Section 3, contains key results. The theorem «about two» indicates that the differential equation T ′ = T m has a nontrivial solution only for m = 2. It also establishes the characteristic of the δ-function in this context. The second main result lies in the general theorem on the existence of nontrivial solutions for the nonlinear differential equation T ′ = P (T ), where P (y) is a polynomial satisfying the condition P (0) = 0. The work proposes a new approach to understanding generalized functions, where algebraic methods lead to interesting results distinct from their classical analogs.